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Ecuaciones de segundo grado
Taller de elaboración de recursos
Su expresión general es:
2 0ax bx c Con 0a
Nota: Siempre podemos escribir una ecuación de segundo grado de esta forma.
Solución de la ecuación2 20ax bx c ax bx c
Multiplicamos cada miembro por
2 24 4 4a x abx ac
4a
Sumamos a cada miembro
2b
2 2 2 24 4 4a x abx b b ac
Solución de la ecuación
El primer miembro es el cuadrado de un binomio
Por tanto:
2 2 2 24 4 4a x abx b b ac
2 22 4ax b b ac
22 4ax b b ac
Luego:
2 4
2
b b acx
a
Las dos soluciones son:
2
1
4
2
b b acx
a
2
2
4
2
b b acx
a
Una ecuación de segundo grado siempre tiene dos soluciones.
Propiedades de las soluciones
2 2
1 2
4 4
2 2
b b ac b b acx x
a a
¿Cuánto vale la SUMA de las soluciones?
1 2 1 2
2
2
b bx x x x
a a
2
1 2
4b b acx x
2 4b b ac 2a
Propiedades de las soluciones
2 2
1 2
4 4
2 2
b b ac b b acx x
a a
¿Cuánto vale el PRODUCTO de las soluciones?
1 2 1 22
4
4
ac cx x x x
aa
22 2
2
1 2 2
4
2
b b ac bx x
a
2b2
4
4
ac
a
Estas propiedades las podemos utilizar para escribir una ecuación de segundo grado, conociendo las soluciones.
Por ejemplo: Si quiero escribir una ecuación cuyas soluciones sean 1 23 y 5x x
Calculamos:
1 2
1 2
3 5 = 2
3 5 = 15
x x
x x
La ecuación sería 2 2 15 0x x
-b/a
c/a
También podemos utilizar otro procedimiento para obtener la ecuación de segundo grado, conociendo las soluciones.
Por ejemplo: Si quiero escribir una ecuación cuyas soluciones sean 1 23 y 5x x
Calculamos:
3 5 0 3 5 0x x x x
2 25 3 15 0 2 15 0x x x x x
Solución de ecuaciones desegundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado se dice incompleta cuando 0 o 0b c= =
Supongamos
0b=2 0ax c La ecuación toma la expresión
Por tanto:
2 2 20c c
ax c ax c x xa a
Solución de ecuaciones desegundo grado incompleta
Supongamos
0c =2 0ax bx La ecuación toma la expresión
Por tanto:
1
2
00
0
xx ax b b
ax b ax b xa
Sacamos factor común 2 0ax bx x ax b
Recurso elaborado por:
Colegio Providencia Sagrado Corazón
La Línea de la ConcepciónMarzo de 2011
El departamento de matemáticas del
