Ejercicio 3 y 4 Ecuación de la Parábola y la circunferencia.

Problema 1 Se sabe que la temperatura afecta a la eficiencia de

cierta reacción química. Se lleva a cabo un experimento y se encuentran los resultados señalados en la tabla adjunta. Determina la temperatura a la que debe efectuarse la reacción para que la eficiencia sea la más alta posible.

Temperatura 79.5 85.2 88.6Eficiencia 92.9 94.4 91.1

Solución El primer paso es analizar el problema, la temperatura seria la

variable independiente y la eficiencia la dependiente, pues depende directamente a la temperatura. Si lo plasmamos en un plano cartesiano los valores de la temperatura quedarían en el eje x y los valores de la eficiencia en eje y.

78 80 82 84 86 88 9089

90

91

92

93

94

95

Eficiencia

Solución El Segundo paso es determinar las tres ecuaciones en la forma de las

ecuación cuadrática de la parábola Ecuaciones: Ec1: Ec2: Ec3:

El tercer paso es encontrar los valores de las tres incógnitas, a, b y c. Este proceso se puede realizar por diversos métodos, reducción, igualación, sustitución, Cramer, Gauss etcétera.

Solución A continuación se muestra la solución con el método de Cramer

+ 6320.3 + 79.5 + 1.0DP = + 7259.0 + 85.2 + 1.0 = + 538485.3 + 624071.8 + 643150.9 - 668816.6 - 559974.2 - 577093.7 = - 176.4

+ 7850.0 + 88.6 + 1.0

+ 92.9 + 79.5 + 1.0 Valor de aDx1 = + 94.4 + 85.2 + 1.0 = + 7915.1 + 7242.5 + 8363.8 - 7761.7 - 8230.9 - 7504.8 = + 23.9 - .135576

+ 91.1 + 88.6 + 1.0

+ 6320.3 + 92.9 + 1.0 Valor de bDx2 = + 7259.0 + 94.4 + 1.0 = + 596631.6 + 729261.3 + 661298.5 - 741036.2 - 575774.8 - 674364.8 = - 3984.4 + 22.5926

+ 7850.0 + 91.1 + 1.0

+ 6320.3 + 79.5 + 92.9 Valor de cDx3 = + 7259.0 + 85.2 + 94.4 = + 49056010.8 + 58912379.8 + 59748722.7 - 62133061.4 - 52861559.8 - 52573234.2 = + 149257.9 - 846.3349

+ 7850.0 + 88.6 + 91.1

Solución

El cuarto paso se sustituyen los valores de a, b y c en la ecuación Obteniendo la ecuación de la parábola.

El ultimo paso es encontrar en vértice de la parábola con la ecuación

Siendo la coordenada en x del vértice.

- .135576498 x + 22.592600 x - 846.3349 = y

Solución Para la coordenada en y sustituimos el valor de x:

Entonces las coordenadas de nuestro vértice son (83.3208,94.87) que representa el punto máximo de eficiencia.

y = .135576498(83.3208)2+22.5926(83.3208)-846.3349

y = + 94.87

Problema 2 Se va a fabricar una caja a partir de una pieza rectangular de

cartón cuya longitud es 10+NL/10 cm más grande que su ancho. Para fabricar la caja se recortarán, en las 4 esquinas, cuadrados de 6.NL cm y se doblará la pieza resultante como se muestra en la figura. Si el volumen de la caja debe ser de 2 litros, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la pieza rectangular de cartón?

Solución

Las dimensiones de las cajas serán de x-13.2 de ancho, x-2.6 de largo y 6.6 de altura y si su área es igual a 2000 podemos determinar que:

Desarrollando operaciones nos queda.

Igualando a cero

Obtenemos una ecuación de segundo grado que resolveremos con ayuda de la formula general.

Solución

a x2 + b x + c = 0↓ ↓

+ 7 x2 - 104 x = 0x1 =

## - b ± √ b2

+ 2 ax2 =

-(-104.28) ± √(-104.28) 2

+ 2 (6.6)x2 =

+ 344.47658948+ 13

+ 26.09671132

- 10.29671132

- 135.91658948+ 13

x2 =#######+ 13

x1 =

Sustituyendo en la fórmula general:

x =

x = - 4ac

- 1773

↓

-4(6.6)(-1773.488)

Solución El último paso seria graficar

Problema 3 Un puente colgante es sostenido por dos torres de 25+NL/10

metros que se encuentran a una distancia de 40+NL/10 metros entre sí y su punto más pequeño es de 8+NL/10. Es necesario determinar las alturas de los 7 soportes intermedios que se encuentran a distancias iguales entre sí.

Solución Se utiliza la ecuación de la parábola en la forma Obteniendo las siguientes ecuaciones: Ec 1: c=25.6 Ec2: 424.36 a+20.6b+c= 8.6 Ec3: 1648.36 a+40.6b+c=25.6 Estas ecuaciones se pueden solucionar por diversos métodos, en este documento se solucionaran por el método de Cramer

+ 424 + 21 x1 = 0.0 + 424 x1 + 21 x2 = + 9

+ 1648 + 41 x2 = 0.2 + 424 (0.0106533071882921) + 21 (0.198017600076522)= + 9= + 9= + 9

+ 9 + 21+ 26 + 41 + 1648 x1 + 41 x2 = + 26

+ 1648 (0.0106533071882921) + 41 (0.198017600076522)= + 26= + 26

+ 424 + 9 = + 26+ 1648 + 26

Determinante para x1

Determinante para x2

Área de fórmulas, no modificar. licmata@hotmail.com

http://licmata-math.blogspot.mx/

- 16727

Determinante principal

= - 3312

Dx1 = = + 349 - 527 =

DP = = + 17229 - 33956 =

- 178

+ 26Dx2 = = + 10864 - 14176

+ 5 + 4+ 9

+ 18 + 8

Grafica

Problema

Es necesario realizar una perforación para colocar la polea que transmitirá el movimiento mediante una banda como se muestra en la figura, utiliza las coordenadas de los puntos A, B y C para determi-nar la ecuación de la circunferencia que nos indi-cará las coordenadas del centro y el radio.

Solución

Obtenemos tres ecuaciones Ec1: 4.6 A+5B+C=-46.16 Ec2: 4.6A+10B+C=-121.16 Ec3: 7.6 A+12.6B+C=-216.52

Al igual que en los casos anteriores se resolverán por el método de cramer

Solución

+ 5 + 5 + 1DP = + 5 + 10 + 1 = + 46 + 38 + 58 - 76 - 58 - 23 = - 15

+ 8 + 13 + 1

- 46 + 5 + 1 Valor de aDx1 = - 121 + 10 + 1 = - 462 - 1083 - 1527 + 2165 + 582 + 606 = + 282 - 19

- 217 + 13 + 1

+ 5 - 46 + 1 Valor de bDx2 = + 5 - 121 + 1 = - 557 - 351 - 996 + 921 + 996 + 212 = + 225 - 15

+ 8 - 217 + 1

+ 5 + 5 - 46 Valor de cDx3 = + 5 + 10 - 121 = - 9960 - 4604 - 2675 + 3508 + 7022 + 4980 = - 1729 + 115

+ 8 + 13 - 217