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Geometría Analítica
Plana
I. Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola
Geometría Analítica Plana
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
Introducción Segmento rectilíneo dirigido Sistema coordenado lineal Sistema coordenado en el plano Carácter de la Geometría Analítica La distancia entre dos puntos División de un segmento en una razón dada La pendiente de una recta Significado de “condición necesaria y suficiente” El ángulo entre dos rectas Demostración de teoremas geométricos por el método analítico Resumen de fórmulas
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
Introducción
¿Qué es la Geometría Analítica?
Es el estudio de la geometría
usando los principios del
álgebra.
Es la unión de la geometría
y el álgebra
¿Qué es la Geometría Analítica?
Ecuaciones en dos variables
Figuras geométricas en el
plano
Ecuaciones en x
e y
Figuras en
el plano
4 2 5x y
4 2 5 x y
5 3 23 4 2 5x y xy x y
5 3 23 4 2 5x y xy x y
2 23 4 2 7 0x y xy x y
2 23 4 2 7 0x y xy x y
2 27 3 2 7x y x y
2 27 3 2 7x y x y
Algunos aspectos históricos
Los aspectos históricos presentados ha
continuación han sido obtenidos en su
totalidad de la Wikipedia en español:
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C
3%ADa_Anal%C3%ADtica
El sistema coordenado que caracteriza a la
Geometría Analítica fue introducido por
primera vez en 1637 por el matemático
francés René Descartes (1596-1650).
Por esta razón, la Geometría Analítica
se conoce también con el nombre de
Geometría Cartesiana.
Algunos aspectos históricos
Por la parte que toma en la unificación
de las diversas ramas de las matemáticas ,
la introducción de la Geometría Analítica
representa uno de los adelantos más
importantes en el desarrollo de las
matemáticas.
Algunos aspectos históricos
Existe una cierta controversia sobre la verdadera
paternidad de este método. Lo único cierto es que
se publica por primera vez como "
", en un apéndice al
de Descarte
Geometría
analítica Discurso del método
s.
Se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba
el método antes de su publicación por Descartes.
Algunos aspectos históricos
Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI
utilizara un método muy parecido para
determinar ciertas intersecciones entre
curvas, es imposible que alguno de los
citados matemáticos franceses tuvieran
acceso a su obra.
Algunos aspectos históricos
El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría
cartesiana, y ambos son indistinguibles.
Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría
cartesiana al apéndice del Discurso d , mientras que se
entiende que comprende no sólo a la
geometría cartesiana (en el sentido que acabamos de citar, es
decir, al texto del apéndice del ), si
el método
geometría analítica
Discurso del método no
también todo el desarrollo posterior de la geometría que se basa
en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las
figuras mediante funciones — algebraicas o no.
Algunos aspectos históricos
Se dice "paradójicamente" porque se usa
precisamente el término "geometría cartesiana"
para aquello que el propio Descartes bautizó
como "geometría analítica".
Algunos aspectos históricos
Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría
cartesiana al apéndice del .Discurso del método
El problema es que durante ese periodo no existe
una diferencia clara entre geometría analítica y
análisis matemático —esta falta de diferencia se
debe precisamente a la identificación hecha en la
época entre los conceptos de función y curva—,
por lo que resulta a veces muy difícil intentar
determinar si el estudio que se está realizando
corresponde a una u otra rama.
Algunos aspectos históricos
La geometría diferencial de curvas sí permite
un estudio mediante un sistema de coordenadas,
ya sea en el plano o en el espacio tridimensional.
Pero en el estudio de las superficies, en general,
aparecen serios obstáculos. Gauss salva dichos
obstáculos creando la geometría diferencial, y
marcando con ello el fin de la geometría analítica
como disciplina. Es con el desarrollo de la
geometría algebraica cuando se puede certificar
totalmente la superación de la geometría analítica.
Algunos aspectos históricos
En este curso, de
Geometría Analítica Plana,
nos limitaremos a:
Las líneas rectas
Las secciones cónicas, que son:La elipse (y la circunferencia como caso especial)
La parábolaLa hipérbola
Las ecuaciones lineales en dos variables.
Es decir, todas las ecuaciones de la forma
0
donde , y son números reales y 0 ó 0
ax by c
a b c a b
Las líneas rectas en el plano
2 2
Las ecuaciones de segundo grado en dos variables.
Es decir, todas las ecuaciones de la forma
0
donde , , , , y son números reales y
alguno de los numeros , , es distinto de
Ax Bxy Cy Dx Ey F
A B C D E F
A B C
cero.
Las cónicas o casos degenerados
de ellas en el plano
¡No toda ecuación de
segundo grado en dos
variables tiene asociada
una curva!
Más adelante veremos
algunos ejemplos.
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
Segmento rectilineo dirigido
A Bl
Segmento rectilineo
La porción de una línea recta comprendida entre
dos de sus p segmento rectiuntos se llama o
simplemen
líneo
segmte ento.
A Bl
Segmento rectilineo
Los dos puntos se llaman extremos del
segmento y lo denotamos como AB
La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus
puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento.
A Bl
Segmento rectilineo
La longitud del segmento
la denotaremos como
AB
AB
La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus
puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento.
Segmento rectilineo dirigido
A Bl
Para los fines de la Geometría Analítica agregaremos
el concepto de sentido ó dirección. Desde este punto
de vista el segmento es generado por un punto
que se mueve a lo largo de la línea de hacia
AB
l A .
Entonces el segmento está dirigido de a y se
indica por medio de la flecha .
El punto es el origen o punto inicial y es el
extremo o punto final.
B
AB A B
AB
A B
��������������
Se puede obtener el mismo segmento
de recta dirigiéndose de a .
El punto es el origen y es el
ext
El sentido de
remo, este
un segment
segmento se designa
o dirigido
se indica escribiendo p
por .
r
B A
B A
BA��������������
imero el origen.
Segmento rectilineo dirigido
En Geometría Analítica si la longitud
del segmento es positiva entonces
la longitud del segmento es negativa:
AB
BA
AB BA
��������������
��������������
����������������������������
Segmento rectilineo dirigido
Considerando 3 puntos sobre una línea recta:
A B C AB BC AC
AC B CB BA CA
AB C BA AC BC
Considerando 3 puntos sobre una línea recta:
A C B AC CB AB
BC A CA AB CB
CB A BC CA BA
Son 3!=3*2*1=6 posibles combinaciones:
A B C AB BC AC
AC B CB BA CA
AB C BA AC BC
A C B AC CB AB
BC A CA AB CB
CB A BC CA BA
Se puede demostrar, que todas
estas relaciones están incluidas
en la relación fundamental :
AB BC AC
A B C AB BC AC
Se puede demostrar que todas esas relaciones
estan incluidas en la relación fundamental : AB BC AC
Veamos, por ejemplo, :
Ya vimos que ,
de manera que podemos escribir
como
Arreglando los términ
os
AC CB AB
CB BC
AC CB AB
AC
AC AB B
A
C
BC B
Otro ejemplo, :
Ya vimos que y ,
de manera que podemos escribir
como
Arreglando los términos obtenemos
CA AB CB
CA AC CB BC
CA AB CB
AC
AC AB
AB BC
BC
Se puede demostrar que todas esas relaciones
estan incluidas en la relación fundamental : AB BC AC
Sistema coordenado
lineal
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
Sistema coordenado lineal
En el artículo anterior hemos introducido
los conceptos de dirección y signo con
respecto a los segmentos rectilíneos.
Ahora vamos a dar un paso más
introduciendo la idea de correspondencia
entre un punto geométrico y un número
real.
Sistema coordenado lineal
Consideremos en la figura una recta '
cuya dirección positiva es de izquierda
a derecha.
Sea un punto fijo sobre esta linea.
XX
O
Sistema coordenado lineal
Tomemos una longitud conveniente
como unidad de medida: Si es un
punto de ' distinto de y
situado a su derecha, la longitud
puede considerarse como unidad de
longitud.
A
XX O
OA��������������
Sistema coordenado lineal
Si es un punto cualquiera de ', situado
a la derecha de , y tal que el segmento
dirigido , de longitud positiva, contiene
veces a la unidad adoptada de longitud,
entonces diremos que el punto
P XX
O
OP
x
��������������
corresponde al número positivo .
P
x
Sistema coordenado lineal
Análogamente, si ' es un punto cualquiera
de ' situado a la izquierda de y tal que
el segmento dirigido ' tenga una longitud
negativa de ' unidades, entonces diremos
que el punto ' correspon
P
XX O
OP
x
P
��������������
de a1 número
negativo '.x
Sistema coordenado lineal
De esta manera, cualquier número real puede representarse
por un punto P sobre la recta '. Y reciprocamente,
cualquier punto dado situado sobre la recta ' representa
un número real , cuyo valor
x
XX
P XX
x numérico es igual a la longitud
del segmento y cuyo signo es positivo ó negativo según
que esté a la derecha o a la izquierda de .
OP
P O
��������������
Sistema coordenado lineal
De acuerdo con esto , hemos construido un
esquema por medio del cual se establece una
correspondencia biunivoca entre puntos de
una recta y los números r
Tal esquema se llama un sistema coorde
eales.
nado.
Sistema coordenado lineal
En el caso particular considerado,
como todos los puntos estan sobre
la misma r el sistema se llama
sistema unidimensional o sistema
coordenado li
ecta ,
neal.
Sistema coordenado lineal
La recta ' se llama eje y el punto
es el origen del sistema coordenado lineal.
El número real correspondiente al punto
se llama coordenada del punto y se
representa por .
XX O
x
P P
x
Sistema coordenado lineal
Evidentemente , de acuerdo con
las convenciones adoptadas,
el origen tiene por coordenada 0
y el punto tiene por coordenada 1 .
O
A
Sistema coordenado lineal
El punto con su coordenada es la representación
geométrica o gráfica del número real , y la coordenada
es la representación analitica del punto .
Ordinariamente escribiremos el punto y su coord
P x
x
x P
P
enada
juntos, tal como sigue: P x
Sistema coordenado lineal
Es importante hacer notar que la correspondencia
establecida por el sistema coordenado lineal es única.
Es decir, a cada número corresponde uno y
solamente un punto sobre el eje, y a cada punto
del eje correspode uno y solamente un número real.
En la línea recta X'X, la dirección positiva es de izquierda a derecha.
O es un punto fijoA está a la derecha de OOA es la unidad.
Sistema coordenado lineal
La recta X'X se llama eje
Al punto O se le llama origen
El número real x que corresponde al punto P se le
llama coordenada del punto P y se representa por
(x)
El origen O tiene coordenada (0) y el punto A -
unidad- tiene coordenada (1).
A este esquema se le llama sistema coordenado.El caso tratado, en el cual todos los puntos están sobre una línea recta, se llama sistema coordenado lineal.
Sistema coordenado lineal
1 1 2 2
Vamos a determinar ahora la longitud del
segmento que une dos puntos dados
cualesquiera , tales como ( ) y ( )
de la figura.
P x P x
La longitud de un segmento que une dos puntos cualesquiera tales como P1(x1) y P2(x2) es
1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1
pero, y
Por tanto,
de donde,
OP PP OP
OP x OP x
x P x
PP x x
P
������������������������������������������
����������������������������
��������������
En cualquier caso, la longitud de un segmento dirigido se obtiene restando la coordenada del punto inicial de la coordenada del punto final.
1 2 2 1PP x x ��������������
Teorema.- En un sistema coordenado
lineal, la longitud del segmento dirigido
que une dos puntos dados se obtiene, en
magnitud y signo, restando la coordenada
del origen de la coordenada del extremo.
Sistema coordenado lineal
Teorema.- En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dirigido que une dos puntos dados se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo.
1 2 1 2
2 1 2 1
La distancia entre dos puntos se define como
el valor numérico o valor absoluto de la
longitud del segmento rectilíneo que une esos
dos puntos.
d PP x x
d P P x x
��������������
��������������
Sistema coordenado lineal
Podemos establecer una relación
entre conjuntos de puntos en un
sistema coordenado lineal (una
dimensión) y ecuaciones con
una sola variable.
Podemos establecer una relación entre conjuntos de puntos en un sistema
coordenado lineal (una dimensión) y ecuaciones con una sola variable.
Sistema coordenado lineal
'X XO1
2x
La ecuación
3 5 1
representa al punto
1
2
x x
x
Podemos establecer una relación entre conjuntos de puntos en un sistema
coordenado lineal (una dimensión) y ecuaciones con una sola variable.
Sistema coordenado lineal
2
La ecuación
6 0
representa a los puntos
2 y 3
x x
x x
2x 3x
'X
OX
Sistema coordenado lineal
La relación
1,1
representa a todos los puntos
entre -1 y 1, incluyendolos
x
'X XO1x 1x
Podemos establecer una relación entre conjuntos de puntos en un sistema
coordenado lineal (una dimensión) y ecuaciones con una sola variable.
Sistema coordenado en
el plano
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
Sistema coordenado en el plano
En un sistema coordenado lineal, cuyos puntos
están restringidos a estar sobre una recta, el eje,
es evidente que estamos extremadamente
limitados en la investigación analítica de las
propiedades geométricas.
Es, por ejemplo, imposible estudiar las
propiedades de los puntos de una
circunferencia.
Sistema coordenado en el plano
Para extender la utilidad del metodo analitico,
consideraremos ahora un sistema coordenado en
el cual un punto puede moverse en todas las
direcciones, manteniendose siempre en un plano.
Este se llama sist
, y es el sistema coordenado usa
ema coordenado-bidimensional
o pl do en la
Geometría Analítica Pl
ano
ana.
Sistema coordenado en el planoEl primer ejemplo que estudiaremos de uno de
estos sistemas, y además el más importante, es el
sistema
coordenado
rectangular.
Sistema coordenado en el plano
Este sistema, indicado en la figura, consta de dos rectas
dirigidas ' e ', llamadas ejes de coordenadas ,
perpendiculares entre si.
La recta ' se llama eje
' es el eje Y
El punto de intersección
XX YY
XX X
YY
,
el origen .
O
Sistema coordenado en el planoEstos ejes coordenados dividen a1 plano en cuatro
regiones llamadas cuadrantes, numerados tal como
se indica en la figura.
Sistema coordenado en el planoLa dirección positiva del eje es hacia la derecha;
la dirección positiva del eje , hacia arriba.
X
Y
Sistema coordenado en el plano
Todo punto del plano puede localizarse por medio del
sistema rectangular.
En efecto, se traza
perpendicular a1 eje
y perpendicular a1
eje .
P
PA
X
PB
Y
��������������
��������������
Sistema coordenado en el plano
La longitud del segmento
dirigido se representa
por y se llama la
abscisa de .
La longitud del segmento
dirigido se representa
por y se llama
ordenada de .
OA
x
P
OB
y
P
��������������
��������������
Sistema coordenado en el plano
Los dos números reales, e , se llaman
coordenadas de y se representan por , .
x y
P x y
Sistema coordenado en el plano
Las abscisas medidas
sobre el eje
a la derecha de
son positivas
y a la izquierda
son negativas.
X
O
Los dos números reales, e , se llaman
coordenadas de y se representan por , .
x y
P x y
Sistema coordenado en el plano
Las ordenadas medidas
sobre arriba de
son positivas
y abajo son
negativas.
Y O
Los dos números reales, e , se llaman
coordenadas de y se representan por , .
x y
P x y
Sistema coordenado en el planoLos signos de las coordenadas en los cuatro
cuadrantes están indicados en la figura.
X
Y
Plano cartesiano
X
Ordenada
Plano cartesiano
Abscisa
Y
Abscisa
Ordenada
Plano cartesiano
P
x
y
Abscisa
Ordenada
Plano cartesiano
Cuadrante ICuadrante II
Cuadrante IVCuadrante III
Abscisa
Ordenada
Plano cartesiano
Cuadrante ICuadrante II
Cuadrante IVCuadrante III
(+,+)(-,+)
(-,-) (+,-)
Dadas las coordenadas , , ,
quedan determinados dos puntos,
uno de coordenadas ,
y otro de coordenadas ,
que son dife .rentes
x y x y
x y
y x
Sistema coordenado en el plano
De aquí que sea importante escribir las
coordenadas en su propio orden, escribiendo la
abscisa en el primer lugar y la ordenada en el
segundo. Por esta razón, un par de coordenadas
en el plano se llama un par ordenado de
números
reales.
Dadas las coordenadas , , , quedan
determinados dos puntos, uno de coordenadas
, y otro de coordenadas , que son diferentes.
x y x y
x y y x
el sistema coordenado rectangular en
el plano establece una correspondencia
biunívoca entre
En vista de n
cada punto d
uestra discusión anterior,
podemos decir q
el plano y
un par ordenado de números
ue
reales.
Sistema coordenado en el plano
La localización de un punto
por medio de sus coordenadas
se llama trazado del punto.
Sistema coordenado en el plano
Por ejemplo, para trazar el punto 5, 6 ,
señalaremos primero el punto , sobre el eje ,
que está 5 unidades a la izquierda de ;
después , a partir de , sobre una paralela al
eje , mediremos seis unid
A X
O
A
Y
ades hacia abajo del
eje , obteniendo así e1 punto 5, 6 .X P
La localización de un punto por medio de sus
coordenadas se llama trazado del punto.
La localización de un punto por medio de sus
coordenadas se llama trazado del punto.
Si consideramos solamente aquellos puntos cuyas
ordenadas son cero , veremos que todos ellos
están sobre el eje , y el sistema coordenado
plano se reduce a1 sistema coordenado lineal.
Por lo tanto, el si
X
stema coordenado lineal es,
simplemente, un caso especial del sistema
plano .
Sistema coordenado en el plano
Otro sistema plano muy utilizado
es el sistema de coordenadas polares.
Las coordenadas polares se estudiarán
en otro curso.
Sistema coordenado en el plano
En los sistemas coordenados que han
sido estudiados, se establece una
correspondencia entre los puntos y el
conjunto de los números reales.
No se ha hecho mención de los números
complejos.
En este curso no se considerarán.
Sistema coordenado en el plano
Puntos en el plano Cartesiano
-5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
(x1,y1)
(x2,y2)
(x3,y3)
(x5,y5)
(x4,y4)
-5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
(4,-3)
(-3,-1)
(-3,3)
(0.5,0.5)
(2,2)
Puntos en el Plano Cartesiano
El caracter de la Geometría Análitica
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
La Geometría Elemental, se llama Geometría pura
para distinguirla de la Geometría Analítica.
Por medio de un sistema coordenado es posible
obtener una correspondencia biunivoca entre
puntos y números reales. Esto, como veremos, nos
permitirá aplicar los métodos del Análisis a la
Geometría , y de ahí el nombre de Geometria
Analítica.
El caracter de la Geometría Análitica
Al ir avanzando en nuestro estudio veremos, por
ejemplo , cómo pueden usarse, ventajosamente,
los métodos algebraicos en la resolución de
problemas geométricos.
Reciprocamente, los métodos de la Geometría
Analítica pueden usarse para obtener una
representación geométrica de las ecuaciones y
de las relaciones funcionales.
El caracter de la Geometría Análitica
El sistema coordenado que caracteriza a la Geometría
Analítica fue introducido por primera vez en 1637 por
el matemático francés René Descartes (1596-1650).
Por esta razón, la Geometría Analítica se conoce
también con el nombre de Geometría Cartesiana.
Por la parte que toma en la unificación de las diversas
ramas de las matemáticas , la introducción de la
Geometría Analítica representa uno de los adelantos
más importantes en el desarrollo de las matemáticas.
El caracter de la Geometría Análitica
En Geometría pura, generalmente es necesario
aplicar un método especial o un artificio, a la
solución de cada problema; en la Geometría
Analítica, por el contrario, una gran variedad
de problemas se pueden resolver muy
fácilmente por medio de un procedimiento
uniforme asociado con el uso de un sistema
coordenado.
El caracter de la Geometría Análitica
Se debe tener siempre presente que se está
siguiendo un curso de Geometría Analítica
y que la solución de un problema geométrico
no se ha efectuado por Geometría Analítica
si no se ha empleado un sistema coordenado.
Según esto, un buen plan para comenzar la
solución de un problema es trazar un
sistema de ejes coordenados propiamente
designados.
El caracter de la Geometría Análitica
Lo anterior es de particular importancia en los primeros
pasos de la Geometría Analítica, porque un defecto
muy común del principiante es que si el problema
que trata de resolver se le dificulta, está propenso a
caer en los métodos de la Geometría pura.
Se debe hacer un esfuerzo para evitar esta tendencia
y para adquirir el método y el espíritu analitico lo
más pronto posible.
El caracter de la Geometría Análitica
139. Definición. Dos triángulos son semejantes
cuando tienen sus ángulos respectivamente
iguales y sus lados proporcionales.
El signo de semejanza es .
Sí , y
e
A A B B C C
AB BC CA
A B B C C A
ntonces ABC A B C
139. Definición. Dos triángulos son semejantes
cuando tienen sus ángulos respectivamente
iguales y sus lados proporcionales.
El signo de semejanza es .
139. Definición. Dos triángulos son semejantes
cuando tienen sus ángulos respectivamente
iguales y sus lados proporcionales.
El signo de semejanza es .
Sí , y
e
A A B B C C
AB BC CA
A B B C C A
ntonces ABC A B C
Sí , y ,
y
entonces
A A B B C C
AB BC CA
A B B C C A
ABC A B C
Para asegurar la semejanza de dos triángulos no es
necesaria la comprobación de todas estas condiciones,
pues el hecho de tener algunas nos determina todas
las demás, con las diferencias que implique cada caso.
140. Lados homólogos. Son los lados que
se oponen a los ángulos iguales.
En la figura son lados homólogos:
y ; y ; y AB A B BC B C CA C A
141. Propiedades de la semejanza de triángulos
1) Identidad. Todo triángulo es semejante a si
mismo.
2) Reciprocidad. Si un triángulo es semejante
a otro, éste es semejante al primero.
Si
ABC ABC
ABC
también
3) Dos triángulos semejantes a un tercero, son
semejantes entre sí.
Si y
entonces
A B C A B C ABC
ABC A B C A B C A B C
ABC A B C
Triángulos semejantesDos triángulos son semejantes cuando
tienen sus ángulos respectivos iguales
y sus lados son proporcionales.
Triángulos rectángulos semejantes
Dos triángulos rectángulos son semejantes
cuando tienen un ángulo agudo igual
El teoremade Pitágoras
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
El teorema de Pitágoras
2 2 2
En un triángulo rectángulo la suma de
los cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa
a b c
a
b
c
El teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo la suma de
los cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa.
a
b
c2 2 2a b c
2
De la semejanza entre los triángulos y ,
, lo cual implica que ´´
ABC AHC
b cb b c
b b
2
De la semejanza entre los triángulos y ,
, lo cual implica que ´´
ABC BHC
a ca a c
a a
2
2 2 2
2
Así que
´ ´ ´ ´
pero ´ ´ , así que
a b a c b c c a b
a b
a
c
b c
2
2
´
´
a a c
b b c
La distanciaentre dos puntos
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2
Sean ( , ) y ( , ) dos puntos dados
cualesquiera.
Vamos a determinar la distancia entre
( , ) y ( , ),
siendo
P x y P x y
d
P x y P x y
d PP��������������
La distancia entre dos puntos
1 1 1 2 2 2
1 2
Por ( , ) y ( , ) tracemos las
perpendiculares y a ambos ejes
coordenados, como
se indica en la figura,
y sea su punto de
intersección.
P x y P x y
P A P D
E
La distancia entre dos puntos
2 2 22
1 2 2 1
Por el teorema de Pitágoras tenemos:
d PP P E EP ������������������������������������������
La distancia entre dos puntos
1 1
2 2
2 1 2
1 1 2
Las coordenadas de los pies de las perpendiculares
a los ejes coordenados son ( ,0), (0, ),
( ,0) y (0, ).
Por lo tanto,
y
A x B y
C x D y
P E CA x x
EP DB y y
La distancia entre dos puntos
2 2 22
1 2 2 1
2 1 2 1 1 2
d PP P E EP
P E CA x x EP DB y y
������������������������������������������
La distancia entre dos puntos
2 2
2 22
1 2 1
1
2
2 1 2
Tenemos entonces
+
que trivialmente nos a
+
d
d x x
d x x y y
y y
1 1 1 2 2 2
2 2
2 1 2 1
Teorema 2. La distancia , entre dos
puntos ( , ) y ( , ), está dada
por la formula:
d
P x y P x y
d x x y y
La distancia entre dos puntos
1 1 1 2 2 2
2 2
2 1 2 1
Teorema 2. La distancia entre dos puntos
( , ) y ( , ) está dada por la formula:
d
P x y P x y
d x x y y
Notas:1. El resultado del teorema es completamente
general e independiente de la posición de los puntos.
2. La distancia es positiva, por esa razón no se toma en cuenta el signo negativo del radical.
La distancia entre dos puntos
http://www.licimep.org/geometriaanalitica.htm
División deun segmento enuna razón dada
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
1 2
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
1 2
Teorema 3: Si ( , ) y ( , ) son los
extremos de un segmento , las
coordenadas ( , ) del punto que divide
a este segmento en una razón da
:
1
da
son:
cy o1
r PP PP
x r
P x y P x y
PP
x
x y ry
P
xr
y
yr
n 1r
División de un segmento en una razón dada
1 2Demostración: Por los puntos , , , tracemos
perpendiculares a los ejes coordenados, como se
indica en la figura
P P P
División de un segmento en una razón dada
1 1 2 2
1 2 1 2
Por Geometría elemental , las tres rectas paralelas
, y , intersectan segmentos
proporcionales sobre las dos transversales y .
P A PA P A
PP A A
������������������������������������������
����������������������������
1 1
2 2
Por lo tanto,
podemos escribir
PP A A
PP AA
����������������������������
����������������������������
1 1
2 2
Por tanto,
es claro,
por lo que ya vimos,
que
A A x x
AA x x
��������������
��������������
1 1 2 2
Las coordenadas de los pies de las perpendiculares
a1 eje son ( ,0), ( ,0), ( ,0).X A x A x A x
1
2
1 2
de donde
1siempre que 1
x xr
x x
x rxx
rr
1 11 1 2 2
2 2
PP A A
r A A x x AA x xPP AA
����������������������������
��������������������������������������������������������
1
2
1 2
de donde
1siempre que 1
y yr
y y
y ryx
rr
1 1 1
22 2
Para las ordenadas tenemos
= y por tanto,PP B B y y
y yPP BB
����������������������������
����������������������������
1 2
1 2
1 2
En el caso particular en que es el punto medio del
segmento dirigido , es 1, de manera que los
resultados anteriores se reducen a
2e
2
P
PP r
x xx
y yy
��������������
1 1 2 2
1 2 1 2
Corolario. Las coordenadas del punto
medio de un segmento dirigido con
puntos extremos ( , ) y ( , ) son
e 2 2
x y x y
x x y yx y
División de un segmento en una razón dada
Notas:
1.- En geometría analítica, las relaciones deben de ser consideradas con su signo, ya que se tratan de segmentos rectilíneos dirigidos.
2.- Es preferible no sustituir directamente en las formulas del teorema, sino escribir directamente los valores de las razones.
3.- Si el punto de división P es externo al segmento dirigido P1P2, la razón r es negativa.
División de un segmento en una razón dada
La pendiente de una recta
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
La trigonometría es la rama de
las matemáticas que estudia las
relaciones entre los ángulos y los
lados de los triángulos.
ab
cB
C
Es el cateto opuesto entre
la hipotenusa:
sen
sen
bB
a
cC
a
ab
cB
C
Es el cateto adyacente entre
la hipotenusa:
cos
cos
cB
a
bC
a
ab
cB
C
Es el cateto opuesto entre
el cateto adyacente:
tan
tan
bB
c
cC
b
ab
cB
C
Es el cateto adyacente entre
el cateto opuesto:
cot
cot
cB
b
bC
c
ab
cB
C
Es la hipotenusa entre el
el cateto adyacente:
sec
sec
aB
c
aC
b
ab
cB
C
Es la hipotenusa entre el
el cateto opuesto:
sec
sec
aB
b
aC
c
ab
cB
C
sen
cos
tan
cot
sec
csc
bB
ac
Bab
Bcc
Bba
Bca
Bb
La pendiente de una recta
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Por lo tanto, la expresión “el ángulo comprendido entre dos rectas” es ambigua.
La pendiente de una recta
La pendiente de una recta
Tal ángulo puede ser a o bien su suplemento b. Para hacer una distinción entre estos dos ángulos, consideremos que las rectas están dirigidas.
Definición 1 Se llama ángulo formado de dos rectas dirigidas al formado por los lados que se alejan del vértice.
1 2Si y son paralelas, diremos que el ángulo
comprendido entre ellas es de 0 grados cuando
tienen la misma dirección, y de 180 grados
cuando tienen direcciones opuestas.
l l
La pendiente de una recta
Definición 2. Se llama ángulo de inclinación de una recta
al formado por la parte positiva del eje y la recta,
cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.
X
Definición 2. Se llama ángulo de inclinación de una recta
al formado por la parte positiva del eje y la recta,
cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.
X
De acuerdo con las
definiciones 1 y 2,
el ángulo de
inclinación de la
recta es ,
y el de ' es '.
l
l
Evidentemente,
puede tener
cualquier valor
entre 0 y 180 ;
es decir, su intervalo
de variación está
dado por
0 180
Definición 2. Se llama ángulo de inclinación de una recta
al formado por la parte positiva del eje y la recta,
cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.
X
Para la mayor
parte de los
problemas de
Geometria Analítica,
emplearemos
más la tangente del
ángulo de inclinación
que el ángulo mismo.
Definición 2. Se llama ángulo de inclinación de una recta
al formado por la parte positiva del eje y la recta,
cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.
X
Definición 3: Se llama pendiente
o coeficiente angular de una
recta, a la tangente del ángulo
de inclinación.
La pendiente de una recta
La pendiente de una recta se
denota comúnmente por la
letra ; es decir,
tan
m
m
La pendiente de una rectaDefinición 3: Se llama pendiente o
coeficiente angular de una recta,
a la tangente del ángulo de inclinación.
Si es agudo,la pendiente es positiva, recta .
Si ' es obtuso, la pendiente es negativa, recta '.
l
l
Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje ,
será perpendicular al eje y su pendiente no existe.
El ángulo que forma la recta es de 90º y la tan90 no
está definida.
Y
X
1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
Teorema 4 : Si ( , ) y ( , ) son dos puntos
diferentes cualesquiera de una recta y ,
la pendiente de la recta es :
tan
(recordar que )
P x y P x y
x x
y ym
x x
x x
La pendiente de una recta
1 2
1 1 1 2 2 2
Demostración: Consideremos la recta de la figura,
determinada por los puntos ( , ) y ( , ),
y sea su ángulo de inclinación.
PP
P x y P x y
��������������
1 2
1 2
Queremos demostrar
que:
tany y
mx x
1 2 1 1 2 2
2
1 1
Por y tracemos las perpendiculares y
al eje , y por tracemos una paralela a1 eje
que corte a en .
P P P A P A
X P X
P A B
����������������������������
��������������
1 2
1 2
Queremos demostrar
que:
tany y
mx x
1 2
1
2
El ángulo , y por Trigonometría, tendremos
tan
PP B
BPm
P B
1 2
1 2
Queremos demostrar
que:
tany y
mx x
1 2
1 1 2 2 1 2
1 1 2
2 1 2 1 2
Las coordenadas de los puntos , y son
,0 , ,0 y , .
Por tanto, por el teorema 1, artículo 3, tenemos
y
A A B
A x A x B x y
BP y y
P B A A x x
1 2
1 2
Queremos demostrar
que:
tany y
mx x
1
2
1 2
1 2
De la figura es evidente que tan así que
tan
BPm
P B
y ym
x x
1 2
1 2
Queremos demostrar
que:
tany y
mx x
1 1 2 2 1 2 1 2 y BP y y P B A A x x
1 2
1 2
1 2
NOTA 1.
El valor de dado por la fórmula
tan
no está definido analiticamente para .
m
y ym
x x
x x
La pendiente de una recta
En este caso, la interpretación geométrica es que
una recta determinada por dos puntos diferentes
con abscisas iguales es paralela al eje y, por tanto,
como se anotó anteriormente, no tiene pendiente.
Y
La pendiente de una recta
1 2
1 2
1 2
NOTA 1. El valor de dado por la fórmula
tan
no está definido analiticamente para .
m
y ym
x x
x x
1 2
1 2
1 2 2 1
1 2 2 1
2. El orden en que se toman las coordenadas en
tan
no tiene importancia, ya que
OJO: Se debe evitar, en cambio, el error muy
frecuente, de tomar las ordenadas en un orde
y ym
x x
y y y y
x x x x
n
y las abscisas en el orden contrario, ya que
esto sí cambia el signo de .m
El significado de la frase “condición
necesaria y sufciente”
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
Nos apartaremos momentaneamente de
nuestro estudio de la Geometría Analítica
para considerar el significado de una
expresión que se presenta frecuentemente
en las Matemáticas.
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
La expresión particular a que nos
referimos
"una condición necesaria y suficien
es:
te".
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
Veamos primero su significado con un ejemplo.
Consideremos el sencillo teorema siguiente de
la Geomet
Si un triángulo es isósceles, los ángulos opuestos
a los lados iguale
ría elem
s son ig
ental :
uales.
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
Este teorema establece que si un triángulo es
isosceles necesariamente se verifica que los
ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.
Por tanto, podemos decir que la existencia de
dos ángulos iguales es una
para que el trián
condición necesar
gulo sea isos
ia
celes
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
Si un triángulo es isósceles, los ángulos
opuestos a los lados iguales son iguales.
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
Si un triángulo es isosceles, los ángulos
opuestos a los lados iguales son iguales.
Pero el recíproco de este teorema también es
verdadero, a saber : Si dos ángulos de un
triángulo son iguales, los lados opuestos a
estos ángulos son también iguales, y el
triángulo es isósceles.
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a
estos ángulos son también iguales, y el triángulo es isósceles.
Este teorema establece que la existencia de dos
ángulos iguales es suficiente para que un
triángulo sea isósceles. De ahi deducimos que
la existencia de dos ángulos iguales es una
condición suficiente para que el triángulo sea
isósceles.
Una condición n
Podemos entonce
ecesaria y sufi
s combinar ambos teoremas,
dire
ciente para que
un triángulo se
cto y recíproco, en
a isósceles es que
el siguien
dos de sus
á
t
n
e
gu
enunciado
único
los sea
:
n iguales.
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
Una frase de uso frecuente en lugar de
"una condición necesaria y suficiente"
es "si y solamente si".
As
Un triángulo
i el enuncia
es isóscele
do precedente puede escr
s si y solamente si
dos d
ibi
e s
rse :
us ángulos son iguales.
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
De una manera más general, si la hipótesis A
de un teorema implica la verdad de una tesis B,
entonces B es una condición necesaria para A.
Por otra parte, si, recíprocamente, B implica
la verdad de A, entonces B es una condición
suficiente para A.
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
Debemos hacer notar, sin embargo,
que una condición puede ser
necesaria sin ser suficiente,
y viceversa.
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
Por ejemplo, para que un triángulo sea
equilátero, es necesario que sea isósceles;
pero la condición no es suficiente, ya que un
triángulo puede ser isósceles sin ser equilátero .
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
Debemos hacer notar, sin embargo, que una condición
puede ser necesaria sin ser suficiente, y viceversa.
Puede haber más de una
condición necesaria
y suficiente para la verdad
de un teorema.
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
Así, una condición necesaria y suficiente para
que un triángulo sea equilátero es que sea
equiángulo. Y otra condición necesaria y
suficiente para que un triángulo sea equilátero
es la igualdad de sus tres alturas.
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
Puede haber más de una condición necesaria
y suficiente para la verdad de un teorema.
A medida que vayamos avanzando en
nuestro estudio de la Geometría
Analítica, tendremos ocasiones frecuentes
de deducir condiciones necesarias y
suficientes de naturaleza analitica para
diversas propiedades geométricas.
El significado de la frase “condición necesaria y sufciente”
El ánguloentre
dos rectas
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
El ángulo entre dos rectas
1 2Consideremos las rectas y .l l
1 2
Sea su punto
de intersección
y y los puntos
en que cortan al eje .
Sean y
los ángulos
suplementarios
que forman.
C
A B
X
El ángulo entre dos rectas
1 1 1
2 2 2
es el ángulo de y es su pendiente.
es el ángulo de y es su pendiente.
l m
l m
Los ángulos se miden en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
El ángulo entre dos rectas
La recta a partir de la cual se mide el ángulo se llama recta inicial, la recta hacia la cual se dirige el ángulo se le llama recta final.
El ángulo entre dos rectas
La pendientes de las rectas se les llama pendiente de la recta inicial y pendiente de la recta final respectivamente.
El ángulo entre dos rectas
1En el triángulo , ángulo
ya que se trata de ángulos opuestos por el vertice
ABC ACB
2
2
2
Como los ángulos y son suplementarios
tenemos 180, ó despejando
18
0
ABC
ABC AB
A C
C
B
1 1
La suma de los ángulos interiores
de un triángulo es 180.
Es decir,
en est
+ +
e cas
0
o
18ABC
1 1 2
1 1
1 2
2
1
Por tanto,
+ +180 180
que nos da
+ 0
y finalmente
1 1 2+ + 180 y 180ABC ABC
2
2 1
11
2
1 2 22 1
1 1 2 2
1
De las relaciones trigonométricas tenemos
tan tantan tan
1 tan tan
pero tan y tan , así qu
an1
e
tm m
m m
m m
1 2 1
2 12 1
2 1
1 2
Teorema 5
El ángulo formado por dos rectas está dado
por la fórmula
tan , cuando 11
en donde es la pendiente inicial y es la
pendiente final correspondiente al ángulo .
m mm m
m m
m m
El ángulo entre dos rectas
2 1
Si dos rectas son paralelas, el ángulo formado
es 0 grados ó 180 grados.
En ese caso, la tangente del ángulo es igual a cero.
Para que se cumpla la igualdad, el numerador
debe ser igual a cero:
01
m m
m
1 22 1
es decir m mm
El ángulo entre dos rectas
2 1
2 1
Si dos rectas son paralelas, el ángulo formado es 0 ó 180 grados.
En ese caso, la tangente del ángulo es igual a cero.
Para que se cumpla la igualdad, el numerador debe ser igual a cero:
0 e1
m m
m m
1 2s decir m m
Corolario1. La condición necesaria y suficiente
para que dos rectas sean paralelas es que sus
pendientes sean iguales.
El ángulo entre dos rectas
2 11 2
2 1
Si dos rectas son perpendiculares,
el ángulo formado entre ellas es de 90,
pero tan90 no esta definido,
entonces usamos cotangente
1cot es decir 1
m mm m
m m
El ángulo entre dos rectas
2 11 2
2 1
Si dos rectas son perpendiculares, el ángulo formado entre
ellas es de 90, pero tan90 no esta definido, entonces usamos
la cotangente
1cot( ) es decir 1
m mm m
m m
Corolario 2. La condición necesaria y suficiente
para que dos rectas sean perpendiculares entre si,
es que el producto de sus pendientes sea igual a 1.
El ángulo entre dos rectas
Demostración de teoremas geométricos
por el método analítico
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Con los resultados obtenidos en este
capítulo es posible demostrar muy
fácilmente muchos teoremas de la
Geometría elemental por los
métodos de la Geometria analitica.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Se comprenderá el alcance de la Geometría
analítica comparando la demostración
analitica de un teorema con la demostración
del mismo teorema dada en Geometria
elemental.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
En relación con la demostración analítica de
un teorema, son necesarias ciertas precauciones.
Como en la demostración se emplea un sistema
coordenado , es muy útil construir la figura de
manera que se facilite la demostración.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Una figura debe colocarse siempre
en la posición más simple; es decir,
en una posición tal que las
coordenadas de los puntos de la
figura simplifiquen lo más posible
los cálculos algebraicos.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Por ejemplo, en un
teorema relativo a un
triángulo cualquiera,
la figura puede suponerse
tal como se indica en la
figura, teniendo los
vertices las coordenadas
que se indican.
Pero es más sencillo suponer el triángulo en la posición
indicada en la figura; en efecto, para esta posición
solamente tenemos tres cantidades, , y que considerar,
mientras que si
consideramos el
tr
a b c
iángulo dado en la
figura de la página
anterior serán
seis las cantidades
que entrarán en
nuestros cálculos.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Una posición análoga a la dada en la figura de la
página anterior es aquella en que ningún vértice
está en el origen, pero un vértice está sobre uno
de los ejes coordenados y los otros dos están
sobre el otro eje coordenado.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Por afán de simplificación no
se debe caer, sin embargo, en
el extremo opuesto y situar la
figura de tal manera que el
teorema quede restringido.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Por ejemplo , las coordenadas para los vertices del
triángulo de la figura contienen solamente dos
cantidades y ,
pero está figura es el caso
especial de un triángulo
rectángulo y no servirá
para la demo
a b
stración de
un teorema relativo a
un triángulo cualquiera.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Para todas las variables
se deben usar letras,
simbolos; no se deben
usar números concretos.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Como primer paso en la demostración
analítica de un teorema , se debe dibujar
un sistema de ejes coordenados y, despues,
colocar la figura en una de las posiciones
más simples, sin particularizar el teorema,
tal como se explicó en el párrafo anterior.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
A continuación todos los puntos comprendidos
por el teorema deberán designarse por
coordenadas apropiadas marcadas sobre la figura.
El procedimiento a seguir después de esto
depende de la propiedad o propiedades particulares
que van a dernostrarse y se comprenderá mejor
por medio de ejemplos.
Resumende
fórmulas
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
Resumen de fórmulas1 2
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 2 1 1 1
Longitud de un segmento de recta dirigido,
, con punto inicial y punto final .
coincidiendo con el eje ; ( ,0) y ( ,0).
paralelo al eje ; ( , ) y
PP
PP P P
PP X P x P x
PP X P x y
��������������
��������������
��������������
��������������2 2 2
1 2 1 1 2
1 2 2 1
1 2
2
1 2 1
1
1 1 2 2 2
2
( , ), 0.
coincidiendo con el eje ; (0, ) y (0, ).
paralelo al eje ; ( , ) y ( , ), 0.
P x y y
PP Y P y P y
PP
PP x x
PP y y
Y P x y P x y x
��������������
��������������
��������������
1 1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
2
Distancia entre dos puntos dados
( , ) y ( , ) :
d x
d
P x y P x
x
y
y y
Resumen de fórmulas
1 2 1
1 2
1 2
1
2
1 2
2
Coordenadas ( , ) del punto que divide a1
segmento rectilineo dirigido , con puntos
extremo
s dados y , en la razón
,
dada
:
1
,
1
x y P
PP
P P
PPr P
x rx y ryx y
r r
P PPPP
��������������
������������������������������������������
��������������
con 1.r
Resumen de fórmulas
1 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2 , 2 2
Coordenadas ( , ) del punto medio
del segmento rectilineo dirigido ,
con puntos extremos dados
( , ) y ( , ),
x y P
PP
P x
x x y y
x
y
y P y
x
��������������
Resumen de fórmulas
1 1 1 2 2 2
11 2
12
2
Pendiente de la recta que pasa
por los dos puntos dados diferen
tes
( , ) y ( , )
,
on cy y
m
P x y P x y
xx
xmx
Resumen de fórmulas
1
2
1 2
2 1
1 2
Angulo formado por dos rectas
con pendiente inicial y
pendiente final ,
con 1
tan1
m
m
m
m
m
m m
m
Resumen de fórmulas
1
1 2
2
Condición necesaria y suficiente para
el paralelismo de dos rectas dadas de
pendientes y ,
m
m m
m
Resumen de fórmulas
2
1 2
1
Condición necesaria y suficiente para
la perpendicularidad de dos rectas
dadas de pendientes y ,
1
m m
m m
Resumen de fórmulas
