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ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES.

Ciclo 02 de 2012.

Circunferencia.

Elementos de la circunferencia.

El segmento de recta es una cuerda.

El segmento de recta es una cuerda que pasa por el

centro, por lo tanto es un diámetro

Propiedades.

1. Toda recta tangente es perpendicular al radio en su punto de tangencia.

2. Toda cuerda es perpendicular al radio, en el punto medio de la cuerda.

3. Si en una circunferencia se tienen n cuerdas, se tiene que toda recta perpendicular a

cada una de las cuerdas en el punto medio de cada una de ellas pasa por el centro de la

circunferencia. Es decir que las diferentes rectas perpendiculares a las cuerdas en el

punto medio de ellas, se cortan en el centro de la circunferencia.

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4. Todo triángulo inscrito en una circunferencia, en donde uno de sus lados es el diámetro y

el vértice opuesto es un punto que pertenece a la circunferencia, constituye un triángulo

rectángulo.

Problemas resueltos sobre circunferencia.

1. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto y es tangente a la

recta en el punto .

Recta tangente:

Ecuación de la forma:

Pendiente de la recta tangente:

Pendiente de la recta perpendicular:

Ecuación de la recta ; la cual es perpendicular a la recta tangente en el punto .

Es: —

El centro pertenece a la recta , por lo que podemos escribir:

.

Con los puntos y podemos trazar una cuerda, la cual posee como punto

medio

.

Una recta perpendicular a dicha cuerda, en el punto medio a ella, pasa por el centro de la

circunferencia.

Pendiente de la cuerda es

Por lo que la pendiente de la recta es

Con el punto medio de la cuerda y la pendiente ,

podemos escribir la ecuación de la recta :

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El centro pertenece a la recta , por lo que podemos escribir

Igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos:

Sustituyendo en la ecuación (2) tenemos:

Centro de la circunferencia . Note que se ha obtenido, que el centro de

la circunferencia, en este caso coincidió con el punto medio de la cuerda . Note que la

recta y la recta tangente son paralelas, ya que tienen la misma pendiente y la recta

es paralela a la cuerda , ya que estas dos rectas poseen la misma pendiente

.

Ecuación de la circunferencia:

El radio de la circunferencia lo podemos calcular como el

módulo del vector , con , es

decir .

. Luego el radio de la circunferencia

buscada es .

Ecuación de la circunferencia con centro y radio es:

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Relaciones entre circunferencias.

1. Circunferencias que son tangentes.

Circunferencias que son tangentes: .

2. Circunferencias que se intersectan.

Distancia entre los centros es menor que la suma de los radios

3. Circunferencias que NO son tangentes, NI se intersectan.

Distancia entre los centros es menor que la suma de los radios

Recta de los centros.

Es la línea recta que une los centros de 2 circunferencias.

Eje radical.

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Es la recta perpendicular a la recta de los centros.

Cuando se tienen 2 circunferencias que son tangentes, el eje radical para por el punto

de tangencia.

Cuando se tienen 2 circunferencias que se intersectan, el eje radical pasa por los

puntos de intersección de las dos circunferencias.

Cuando se tienen 2 circunferencias que NO se intersectan, NI son tangentes; el eje

radical se ubica más cerca de la circunferencia de menor radio.

Circunferencias que son tangentes

Circunferencias que se intersectan

Circunferencias que NO son tangentes, NI se intersectan

Ejercicios Resueltos.

1. Determinar si las circunferencias y

Se intersectan, son tangentes o NI SE CORTAN, NI SON TANGENTES.

Determine la ecuación de la recta de los centros y los puntos de intersección o de tangencia de las

circunferencias, según sea el caso.

Centro , radio

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Centro , radio

Distancia entre los centros y

Distancia entre los centros

Conclusión: Las circunferencias se intersectan.

Recta de los centros

Pendiente:

Con

escribimos la ecuación de la recta de los centros:

Para encontrar los puntos de intersección de las circunferencias, simultanearemos las ecuaciones

de ella; para ello multiplicamos por -1 la ecuación de

_

Note que es una ecuación de la forma que es la ecuación de una línea recta en

.

Esta ecuación constituye, la ecuación del eje radical.

Despejemos “y”:

Sustituyamos “y” en la ecuación de , para encontrar los puntos de intersección.

Por 196:

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Puntos de intersección de

las circunferencias.

Distancia de un punto a la recta en con ecuación general .

(Menor distancia del punto a la recta en , la cual es la distancia perpendicular).

Si se tiene la ecuación general de una línea recta en : , se debe tener

presente que un vector paralelo a dicha línea recta es el vector

Ej. Sea la recta en Un vector paralelo a ella es

Si tenemos la ecuación de la recta , podemos calcular los intersectos de dicha

recta con los ejes “x” e “y”. Teniendo:

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Note que, de la figura

Si y multiplicamos y dividimos por tenemos:

Con

y tenemos:

Luego = , ya que

Teniendo:

Fórmula de la distancia del punto

a la recta en ,

Ejemplo: Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro y que es tangente a la

recta

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Calculemos la distancia del punto C(0,6) a la recta 3x-4y-1=0, ya que dicha distancia es el valor

del radio r.

Con r=5 y el centro C(0,6), escribimos la ecuación de la circunferencia:

Ejercicio: Hallar la ecuación general y la ecuación ordinaria de la circunferencia; así como

también el centro y el radio de ella, si la circunferencia pasa por los puntos A(-1,-1), B(5,7) y

E(7,3).

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Pendiente de una recta perpendicular a la

cuerda :

Pendiente de una recta perpendicular a la

cuerda :

Con y

escribimos la ecuación de la recta perpendicular a la cuerda

en el punto medio de ella:

Como pertenece a esta recta escribimos:

Con y

escribimos la ecuación de la recta perpendicular a la cuerda

en el punto medio de ella:

Como pertenece a esta recta escribimos:

Igualando las ecuaciones I y II tenemos:

I

II

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Luego

Centro

Calculemos el radio, como el módulo del vector , siendo

. Luego

Escribamos la ecuación de la circunferencia con centro y radio :

Ecuación ordinaria de

la circunferencia

Ecuación general de

la circunferencia

Problemas resueltos sobre cónicas.

1. Sobre Circunferencia.

1) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos y cuyo centro

es el punto común de las rectas: y

Solución:

Encontremos el punto de intersección de las rectas:

Por (-2): Por (7):

Sustituyendo x en la ecuación de es:

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Tenemos la ecuación de la circunferencia: sabemos que h=4,

k=2 es el centro de la circunferencia.

En la ecuación, es el punto de la circunferencia, son las coordenadas del

centro de la circunferencia. Para encontrar el radio tenemos:

Luego la ecuación de la circunferencia buscada es:

2) Una circunferencia contiene a los puntos y . Hallar la ecuación

de la circunferencia, su centro y radio.

Solución:

La ecuación general de la circunferencia es de la forma:

Son las coordenadas de un punto de la circunferencia.

Sustituyamos cada punto en la ecuación general:

Con tenemos:

Con tenemos:

Con tenemos:

Resolvamos el SEL generado utilizando el método de Gauss Jordan:

De la matriz normalizada tenemos:

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Tenemos la ecuación general de la circunferencia:

Completemos cuadrados:

Circunferencia de radio y con centro .

3) Hallar el área de la región limitada por y el centro de la

circunferencia.

Solución:

Esta ecuación representa una circunferencia, completemos cuadrados:

Circunferencia con centro y radio .

Área del círculo=

4) Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es .

Determine las coordenadas del centro.

Solución:

El perímetro de la circunferencia es , que representa a la longitud de la

circunferencia.

Completemos cuadrados:

Circunferencia con centro y radio .

Perímetro del círculo=

2. Sobre Parábola.

1) Graficar la cónica cuya ecuación es . Determine sus elementos

característicos.

Solución:

Tenemos la ecuación . Comparándola con la ecuación general

de segundo grado , tenemos que:

La ecuación representa una parábola vertical.

De la ecuación , completemos cuadrados:

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Parábola abierta

hacia abajo

Ecuación de la forma: De donde: Longitud del lado recto:

Vértice Foco

-

2) Graficar la parábola cuya ecuación es: . Encuentre:

a) Vértice

b) Foco

c) Longitud del lado recto.

Solución:

Completemos cuadrados

Parábola horizontal abierta

hacia la izquierda

Vértice

Longitud del lado recto:

Foco

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2. Sobre Elipse.

1) Determinar focos, vértices, centro excentricidad, longitud del lado recto de la cónica

cuya ecuación es: . Graficar la cónica y sus elementos.

Solución:

Tenemos la ecuación . Comparándola con la ecuación

general de segundo grado , tenemos que:

La cónica es una elipse.

Note también que A y C son distintos y del mismo signo.

Completamos cuadrados:

Elipse horizontal con

Ecuación de la forma:

C(3,0)

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Vértice: Focos:

Puntos donde corta el eje normal con la elipse:

Longitud del lado recto:

Excentricidad: e

2) Determine focos, vértices, centro, excentricidad, longitud del lado recto, puntos donde corta la

elipse con el eje normal. Grafique la cónica y sus elementos, cuya ecuación es:

Solución:

Note que en la ecuación A y C son distintos y del mismo signo.

La ecuación representa una elipse.

Completamos cuadrados:

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Centro , elipse vertical.

Longitud del lado recto:

Excentricidad: e

3. Sobre Hipérbola.

La ecuación general de la hipérbola con ejes paralelos a los ejes coordenados es de la forma:

con y con A y C de signo diferente.

Ecuación ordinaria de la hipérbola con eje transverso paralelo al eje x (hipérbola horizontal):

Ecuaciones de sus asíntotas:

Ecuación ordinaria de la hipérbola con eje transverso paralelo al eje y (hipérbola vertical):

Ecuaciones de sus asíntotas:

Ejemplo:

1) Encuentre los elementos de la hipérbola, cuya ecuación es:

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Note que:

1-

2- A y C son de signo diferente.

Completando cuadrados:

Note que el término positivo, es el que lleva la variable “y” luego la hipérbola es

vertical.

Para toda hipérbola: , luego:

Centro

Vértices:

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Puntos sobre el eje conjugado:

Focos:

Asíntotas:

I:

II:

Longitud del lado recto:

Excentricidad:

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