Introduccin
La Geometra Analtica, es fundamental para el estudio y desarrollo de nuevos materiales que nos facilitan la vida diaria, razn por la cual esta asignatura siempre influye en la vida de todo ser humano. El objetivo del presente trabajo es ayudar al estudiante del tercer curso curso de Geometra Analtica a comprender de qu manera se relaciona esta asignatura con su entorno, con las actividades que realiza y consigo mismo. La Ecuacin de la Recta, La Ecuacin de la Circunferencia, La Ecuacin del Elipse, La
Ecuacin de la Parbola y La Ecuacin de la Hiprbola en sus diferentes representaciones (en
el origen, fuera del origen y su forma general), son las cinco grandes temticas en torno a las cuales se centrarn las actividades de aprendizaje en este curso. Partiendo de que La Geometra Analtica, estudia las figuras geomtricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geomtricos por mtodos algebraicos, donde las coordenadas se representan por grupos numricos y las figuras por ecuaciones, abordaremos las temticas anteriores partiendo de esta definicin. Esperamos que el presente texto contenga el material bsico para el desarrollo de este curso, bienvenido y.... A estudiar!
14
15
ndice Tema Pgina. Unidad I. Introduccin a la geometra analtica ... 17 Antecedentes histricos ... 17 Sistema de coordenadas cartesianas ... 18 Localizacin de puntos en el plano ... 19 Distancia entre dos puntos ... 20 Divisin de un segmento en una razn dada ... 24 rea de un polgono en funcin de las coordenadas de sus vrtices
... 30
Lugares geomtricos y grfica de una ecuacin ... 33 Ejercicios de repaso ... 37 Unidad II. La lnea recta ... 38 ngulo de inclinacin ... 38 Determinacin de la ecuacin de la recta ... 40 Ecuacin general de la recta ... 44 Ecuacin simtrica de la recta ... 45 Ecuacin de la recta en la forma normal ... 47 Procedimiento para obtener la forma normal de una recta a partir de su forma general
... 49
Angulo de interseccin entre dos rectas ... 51 Familia de rectas ... 54 Aplicaciones de la forma normal de la recta ... 57 Ejercicios de repaso ... 61 Unidad III. La circunferencia y las cnicas parte I ... 62 Ecuacin cartesiana de la circunferencia ... 62 Ejercicios ... 68 Circunferencia determinada por tres condiciones ... 69 Intersecciones de una recta y una circunferencia ... 72 Interseccin de dos circunferencias ... 72 Ecuaciones de la tangente a una circunferencia en uno de sus puntos
... 73
Ecuaciones de las tangentes a una circunferencia desde un punto exterior
... 74
Ecuaciones de las tangentes a una circunferencia paralelas a una recta dada.
... 75
Circunferencia circunscrita a un tringulo ... 76 Ejercicios ... 76
16
Las cnicas ... 78 La parbola ... 79 Ejercicios ... 85 Parbola con vrtice en (h, k) ... 86 Simetra ... 89 Ejercicios ... 92 Recta tangente a la parbola ... 93 Ejercicios ... 97 Unidad IV. Las cnicas Parte II ... 98 La elipse como lugar geomtrico. Definicin y elementos.
... 98
Construccin de una elipse ... 99 Principales propiedades de la elipse ... 100 Ecuacin cartesiana de una elipse de centro en el origen y cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados
... 101
Determinacin de los principales elementos de una elipse, dada en la primera forma ordinaria
... 104
Ejercicios ... 107 Ecuacin de una elipse de centro un punto cualquiera y ejes paralelos a los coordenados (segunda forma ordinaria)
... 108
Determinacin de los elementos de una elipse dada en su segunda forma ordinaria
... 110
Ejercicios ... 116 Definicin de la hiprbola ... 117 Hiprbola con centro en el origen ... 117 Asntotas de la hiprbola ... 120 Excentricidad de la hiprbola ... 123 Ejercicios ... 124 Hiprbolas con eje focal paralelo a un eje cartesiano ... 125 Consecuencia de la definicin de la hiprbola ... 129 Recta tangente a una hiprbola ... 131 Ejercicios ... 135 Solucin de algunos ejercicios propuestos ... 136 Bibliografa ... 139 Sitios WEB ... 140
17
Unidad I.- Introduccin a la geometra analtica. En los cursos anteriores de matemticas I y matemticas II estudiamos el lgebra y la geometra
euclidiana; ahora estudiaremos una rama de las matemticas que aborda problemas en los que intervienen
elementos de ambas disciplinas. En esta rama, conocida como geometra analtica, se introduce el empleo
de sistemas de coordenadas, mediante los cuales se pueden aplicar procedimientos algebraicos para
estudiar situaciones geomtricas y viceversa.
La geometra analtica estudia los elementos de la geometra euclidiana refirindolos a sistemas de
coordenadas, como el cartesiano. En este texto nos limitaremos a estudiar solamente algunas figuras
respecto de dicho sistema coordenado.
1.- Antecedentes histricos de la geometra analtica. La historia de las matemticas considera a Ren Descartes el fundador del sistema matemtico moderno
y, por lo tanto, el padre de la geometra analtica.
La geometra analtica surge de la necesidad de resolver problemas para los que no bastaba la aplicacin
aislada de las herramientas del lgebra y de la geometra euclidiana, pero cuya solucin se encontraba en
el usa combinado de ambas. En este sentido, podemos entender a la geometra analtica como la parte de
las matemticas que relaciona y fusiona el lgebra con la geometra euclidiana para crear una nueva rama
que estudia las figuras geomtricas, referidas a un sistema de coordenadas, por mtodos algebraicos.
Descartes, en su geometra analtica de 1637, considera el segmento como una unidad o como un nmero
y transforma as la geometra en aritmtica; como la suma, la resta, la multiplicacin y la divisin de
segmentos da lugar a otro segmento, Descartes relaciona los nmeros con las mismas operaciones, y
enfrenta problemas puramente algebraicos, ya que sabe que todos los problemas geomtricos de carcter
lineal y cuadrtico pueden resolverse con regla y comps, pues los considera problemas del plano.
Descartes quiere resolver grficamente ecuaciones de grado mayor por curvas algebraicas engendradas
paso a paso par mecanismos lineales del movimiento, al usar elementos de referencia en posiciones
especiales; resuelve el problema de las normales a las curvas algebraicas evitando operaciones
infinitesimales; entre sus ejemplos aclaratorios figuran la concoide y el llamado valo de Descartes; habla
de la tangente, creyendo haber resuelto todas las cuestiones principales de la matemtica y que sus
mtodos de tangentes y normales son los ms sencillos.
Descartes y Fermat son los inventores de la geometra sobre ejes de coordenadas, donde el lgebra y la
geometra s renen en el trazado de grficas de ecuaciones y desigualdades.
El clculo y la geometra analtica marcan el comienzo de las matemticas modernas en el siglo XVII.
18
Geometra analtica
Estudia las figuras geomtricas utilizando un sistema de coordenadas y
resuelve los problemas geomtricos por mtodos algebraicos; las coordenadas
se representan por grupos numricos y las figuras por ecuaciones.
Lo que debes recordar
La geometra analtica es la parte de las matemticas que establece una conexin entre el lgebra y la geometra euclidiana, y en la cual se estudian figuras referidas a un sistema de coordenadas.
Ren Descartes es considerado el creador o inventor de la geometra analtica.
2.- Sistemas de coordenadas cartesianas. Este sistema tambin se denomina cartesiano en honor a Ren Descartes, par haber sido quien lo
empleara en la unin del lgebra y la geometra plana para dar lugar a la geometra analtica.
Recordemos cmo se construye un sistema de coordenadas rectangulares: trazamos dos rectas
perpendiculares que se intersecan en el punto O, al cual se le llama origen.
La recta horizontal es el eje de las abscisas o eje de las x; la recta vertical es el eje de las ordenadas o eje
de las y. Usando un segmento "unidad" conveniente, se divide cada eje de manera que los nmeros
enteros positivos queden a la derecha del origen sobre el eje x, y arriba del origen sobre el eje y. Los
enteros negativos quedan a la izquierda del origen sobre el eje x, y abajo del origen sobre el eje y.
Tomando los ejes como elementos de referencia, se puede localizar cualquier punto situado en el plano
que forman, procediendo en la forma siguiente: se indica la distancia del punto a la derecha o a la
izquierda del eje horizontal, y la distancia hacia arriba o hacia abajo del eje vertical.
La abscisa es positiva o negativa segn el punto P situado a la derecha o a la izquierda del eje horizontal;
la ordenada es positiva o negativa segn el punto este situado arriba o abajo del eje vertical.
A la abscisa y a la ordenada de un punto se les llaman coordenadas del punto y se escriben como un par
de nmeros dentro de un parntesis separado por una coma; el primero de estos nmeros representa
siempre a la abscisa y el segundo a la ordenada.
19
En general, un punto cualquiera por ejemplo el punto A, cuya abscisa es x y la ordenada y se designa
mediante la notacin A(x, y).
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes, llamada cada una cuadrante; los cuadrantes se
numeran con nmeros romanos I, II, III, IV como se indica en la figura anterior.
3.- Localizacin de puntos en el plano. En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relacin que establece que a cada par de nmeros
