Bài tập số học luyện thi học sinh giỏi toán quốc gia - Văn Phú Quốc

Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia

Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443

1. LÝ THUYẾT CHIA HẾT

1. (Hanoi 2002). Cho ,a b sao cho 2 2a b ab . Tính 2 2a b

Aab

.

2. (Kvant, Russia). Cho 1 2*, ,. 1.., ;1 ,

na na a và thỏa mãn

1 2 2 3 1... 0

na a a a a a .

Chứng minh rằng: 4n . 3. (IMO 2001). Cho a b c d là những số nguyên dương và giả sử

ac bd b d a c b d a c .

Chứng minh rằng: ab cd không phải là số nguyên tố.

4. (Spanish MO 1996). Cho ,a b sao cho: 1 1a bb a

.

Chứng minh rằng ước chung lớn nhất của a và b không vượt quá a b . 5. (Russia 2001). Cho ,a b và a b thỏa: ab a b chia hết cho 2 2a ab b .

Chứng minh rằng: 3a b ab .

6. (HMMT 2002). Hãy tính 2 32002 2;2002 2;2002 2;... .

7. (K..u rschák 1953). Cho ,n d sao cho 22d n . Chứng minh rằng 2n d không thể

là số chính phương. 8. (IMO 1960). Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thương số trong phép chia số đó cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số.

9. (VMO 2007). Cho \, 1x y sao cho 4 41 1

1 1x yy x

. Chứng minh rằng:

4 44 1 1x y x . 10. (IMO 1967). Cho *, ,k m n sao cho 1m k là số nguyên tố lớn hơn 1n . Đặt

1sc s s . Chứng minh rằng: 1 2

1

...n

n m i ki

c c c c c

.

11. (Romania 1999). Cho , ,a b c là những số nguyên khác không, a c sao cho 2 2

2 2

a a bc c b

. Chứng minh rằng: 2 2 2a b c không phải là số nguyên tố.

12. (Romania 1999). Cho , ,p q r là các số nguyên tố và n là một số nguyên dương sao cho 2n np q r . Chứng minh rằng: 1n . 13. (IMO 1969). Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương a thỏa 4z n a không phải là số nguyên tố với mọi số nguyên dương n . 14. (IMO 1984). Tìm hai số nguyên dương ,a b thỏa mãn hai điều kiện:

(i). ab a b không chia hết cho 7 ; (ii). 7 7 7a b a b chia hết cho 77 .

http://www.vietmaths.com/





15. (Vietnam 1983).Cho , 3n n . Chứng minh rằng nếu 2 10 0 10n a b b

thì tích ab chia hết cho 6. 16.(Romania 2003). Cho n là một số nguyên dương chẵn và cho ,a b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm a và b nếu n na b a b .

17. Chứng minh rằng 5 64 53 4 là một tích của hai số nguyên mà mỗi số này lớn hơn

200210 . 18. Cho 2p là một số lẻ và n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng

1 2 ... 1n

n n pp pp p

19. Tìm tất cả các cặp số nguyên ,m n sao cho những số 2 2 2 2 2 22 3 2, 2 3 2, 3 2 1A n mn m B n mn m C n mn m

có một ước chung lớn hơn 1 20. Cho M là một tập hợp tất cả các giá trị ước chung lớn nhất của d của các số

2 3 13, 3 5 1, 6 8 1A n m B n m C n m với ,m n là những số nguyên dương. Chứng minh rằng M là một tập hợp của tất cả các ước của một số nguyên k . 21. (St. Petersburg City MO 1998). Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n , giữa 2n

và 21n có thể tìm được ba số tự nhiên , ,a b c sao cho 2 2a b chia hết cho c .

22. (India 1998). Tìm tất cả các bộ ba , ,x y n nguyên dương sao cho , 1 1x n và 11n nx y .

23. (APMO 1999). Tìm số nguyên lớn nhất chia hết cho tất cả các số nguyên dương bé hơn căn bậc ba của nó. 24. (Russia 2001). Tìm số nguyên dương lẻ 1n sao cho a và b là hai ước nguyên tố cùng nhau bất kì của n thì 1a b cũng là ước của n . 25. (Vietnam 1979). Cho ,m n là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm 2 2,m n m n

26. Cho , , ,a b c d là các số nguyên dương thỏa mãn ab cd . Chứng minh rằng n n n nA a b c d là hợp số với mọi n nguyên dương.

27. Có tồn tại hay không 2013 số nguyên dương 1 2 2013, ,...,a a a sao cho các số

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 3 1 2 2013

, ,..., ...a a a a a a a a đều là số chính phương?

30. (Vietnam TST 1992). Chứng minh rằng: 125

25

5 1

5 1N

không phải là số nguyên tố.

31. Cho , ,x y p là các số nguyên và 1p sao cho mỗi số 2012x và 2013y đều chia hết cho p . Chứng minh rằng: 1A x y không chia hết cho p . 32. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước số tự nhiên của 4p là một số chính phương. 33. Chứng minh rằng một số nguyên tố tùy ý có dạng 22 1,

n

n không thể biểu diễn được dưới dạng hiệu các lũy thừa bậc 5 của hai số tự nhiên.






34. Chứng minh rằng với 2m , giữa m và !m có ít nhất một số nguyên tố. Từ đó suy ra rằng có vô số số nguyên tố. 35. Có tồn tại một số tự nhiên n có thể viết dưới dạng: ! !n x y với ,x y và x y bằng hai cách khác nhau hay không?

36. Chứng tỏ rằng số 444444 303030 3 không thể biểu diễn dưới dạng 23x y với

,x y .

37. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 2n ta có: 12 12 1

0

.n

n k

n n kk

C C

chia hết cho 14n .

38. Tìm tất cả các số hữu tỉ dương ,x y sao cho x y và 1 1x y là các số nguyên.

39. Cho p là số tự nhiên lẻ và các số nguyên , , , ,a b c d e thỏa mãn các điều kiện: a b c d e ; 2 2 2 2a b c d đều chia hết cho p . Chứng minh rằng số

5 5 5 5 5 5a b c d e abcde cũng chia hết cho p . 40. Cho 5 số nguyên phân biệt tùy ý

1 2 3 4 5, , , ,a a a a a . Xét tích sau đây:

1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Chứng minh rằng: P chia hết cho 288. 41. Giả sử phương trình 2003 2 0x ax bx c với các hệ số nguyên , ,a b c có ba nghiệm nguyên

1 2 3, ,x x x . Chứng minh rằng: , ,a b c có ba nghiệm nguyên

1 2 2 3 3 11a b c x x x x x x chia hết cho 2003 .

42. Cho ba số nguyên dương khác nhau , ,x y z . Chứng minh rằng:

5 5 5x y y z z x chia hết cho 5 x y y z z x

43. Giả sử rằng số nguyên tố p có thể được viết thành hiệu hai lập phương của hai số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng khi đem 4p chia cho 3, nếu loại bỏ phần dư đi thì sẽ nhận được số là bình phương của một số nguyên lẻ. 44. (Komal - Hungary C.640, 2001). Tìm tất cả các số tự nhiên thỏa mãn tính chất sau: Nếu thay đổi hai chữ số cuối cùng của bình phương số tự nhiên đó, ta nhận được bình phương của số tự nhiên liền sau nó.

45. (Komal - Hungary C.676, 2002). Tìm số nguyên ,a b sao cho 44 4a a b b là

số chính phương. 46. (Komal - Hungary B.3525, 2002). Chứng minh rằng trong dãy 1;31;331;3331;... có vô hạn các hợp số. 47. (Komal - Hungary B.3474, 2001).

Xác định chữ số thứ 73 tính từ bên phải của số : 2112

111...1

.

48. (Komal - Hungary A.243, 2000). Xác định tất cả các số nguyên tố ,p q sao cho:






2 1 31 11 1

np qp q

với 1,n n .

49.(Komal - Hungary A.244, 2000). Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 2n a b với ,a b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và ab chia hết cho

mọi số nguyên tố bé hơn hoặc bằng n . 50. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1995). Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , mệnh đề sau đây đúng: “ Số 7 là một ước số của 33n n nếu chỉ nếu 7 là một ước số của 33 1nn ”. 51. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1995).

Cho 2

1

4 4 1A

x x

và

2

2 2

2 1

xB

x x

. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao

cho 23

A BC

là một số nguyên.

Giải 52. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1996). Cho số nguyên dương

n và số thực sao cho 1osc

n . Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho cosk

là một số nguyên. 53. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1997). Tìm tổng tất cả các số tự nhiên dạng:

1 2 2...

na a a sao cho:

(i). Không có một chữ số i

a nào bằng 0.

(ii). Tổng 1 2 3 4 2 1 2

...n n

a a a a a a là một số chẵn. 54.(The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1999). Tìm số tự nhiên n

nhỏ nhất sao cho tổng bình phương các ước số của nó ( kể cả 1 và n ) bằng 23n .

55.(The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 2000). Chứng minh rằng chữ số hàng trăm của số 1999 2000 20012 2 2 là một số chẵn.

56. Viết tổng 2 32 2 2 2

...1 2 3

n

n thành phân số tối giản p

q. Chứng minh rằng: 8p

với mọi 4n . 57. (APMO 1999). Xác định tất cả các cặp số nguyên ;a b sao cho hai số 2 4a b và

2 4b a đều là những số chính phương. 58. (Singapore 1995-1996). Với mỗi số nguyên dương k . Hãy chứng minh rằng tồn tại một số chính phương có dạng: 2 7kn , trong đó n là số nguyên dương. 59. (Singapore 1996-1997). Ta viết bốn số nguyên

0 0 0 0, , ,a b c d trên một đường tròn theo

chiều kim đồng hồ. Bước đầu tiên ta thay 0 0 0 0, , ,a b c d bằng các số

1 1 1 1, , ,a b c d với

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0, , ,a a b b b c c c d d d a . Ở bước tiếp theo ta thay

1 1 1 1, , ,a b c d

bằng các số 2 2 2 2, , ,a b c d sao cho

2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1, , ,a a b b b c c c d d d a .






Tổng quát ở bước thứ k , ta nhận được các số , , ,k k k k

a b c d trên đường tròn sao cho:

1 1 1 1 1 1 1 1, , ,

k k k k k k k k k k k ka a b b b c c c d d d a .

Sau 1997 lần thay thế như trên ta đặt 1997 1997 1997 1997

, , ,a a b b c c d d .

Hỏi tất cả các số , ,bc ad ac bd ab cd có đồng thời là các số nguyên tố hay không? Chứng minh cho câu trả lời. 60. (Hungary 2000). Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho với số p đó tồn tại các số nguyên dương , ,n x y thỏa 3 3np x y . 61. (China 2001). Cho 7 số nguyên tố khác nhau có thể được viết thành:

; ; ; ; ; ;a b c a b c a b c a b c a b c trong đó, hai trong ba số ; ;a b c có tổng bằng 800. Gọi d là khoảng cách giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất trong 7 số nguyên tố. Hỏi giá trị lớn nhất có thể có của d ? 62. Cho đa thức P x có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại số nguyên dương c sao cho

không có số nào trong các số: 1 , 2 ,...,P P P c chia hết cho c . Chứng minh rằng với

mọi số nguyên b , ta có: 0P b .

63.Chứng minh rằng nếu 2 2x y là một số chính phương với ,x y thì 2x y là

tổng của hai số chính phương.

64. Tìm số nguyên tố p sao cho 2 1p là lập phương của một số tự nhiên.

65. Chứng minh rằng đa thức:

9999 8888 7777 6666 4444 3333 2222 1111 1P x x x x x x x x x

chia hết cho đa thức: 9 8 7 6 5 4 3 2 1Q x x x x x x x x x x .

66. (Bulgaria MO 1995, Round 3 ).Tìm tất cả các số nguyên dương ,x y sao cho 2 2x yx y

là số nguyên và nó là ước của 1995.

67. (Bulgaria MO 1995, Round 4 ). Giả sử ;x y là các số thực khác nhau sao cho có bốn

số nguyên dương n liên tiếp nhau để n nx yx y

là một số nguyên. Chứng minh rằng:

n nx yx y

là một số nguyên với mọi số nguyên dương n .

68. (Bulgaria MO 1996, Round 3). Chứng minh rằng với mọi số nguyên 3n , tồn tại các số nguyên dương lẻ

nx và

ny sao cho: 2 27 2n

n nx y .

69.(Bulgaria MO 1998,Round 4). Gọi ,m n là các số tự nhiên sao cho

3 1

3

nm

Am

là số nguyên. Chứng minh rằng A là một số nguyên lẻ.

70. (diendantoanhoc.net). Cho ; ; ;a b c d thỏa mãn 2 2ac bd a b .






Chứng minh rằng: 2 2 2 2; 1a b c d .

71. Tìm n nguyên dương sao cho: 333 31 2 ... 2 4 7225n n .

72. Tính: 199945 1999

, trong đó: a là ký hiệu phần nguyên của số a.

73. Chứng minh rằng: 2 3n

là số lẻ với mọi số tự nhiên n .

2. QUAN HỆ ĐỒNG DƯ 1. (Komal-Hungary C.691, 2002). Cho hình lập phương có ba cạnh là các số nguyên. Tổng thể tích của chúng bằng 2002 đơn vị được không? 2. (Komal - Hungary A.271, 2001).

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố 5p , số 2

03

kp

pk

C

p

chia hết cho p .

3. (Komal - Hungary A.271, 2001). Tìm các cặp số ;a b sao cho ,a b và 2 2a ab b là bội số của 57 .

4. Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh: 0

2 1p

k k pp p k

kC C

chia hết cho 2p .

5. Chứng minh rằng số: 555 222222 555 chia hết cho 7.

6. Tìm bộ số nguyên dương ;m n sao cho 2 2p m n là số nguyên tố và 3 3 4m n chia hết cho p

7. Chứng minh rằng: 2 1 32 1

02

nk kn

kC

không chia hết cho 5 với mọi n là số tự nhiên.

8. Cho p là số nguyên tố khác 2 và ,a b là hai số tự nhiên lẻ sao cho a b chia hết cho p và a b chia hết cho 1p . Chứng minh rằng: b aa b chia hết cho 2 p .

9. Cho số nguyên tố 3p và m, n là hai số nguyên tố cùng nhau sao cho

22 2

1 1 1...1 2 1

mn p

. Chứng minh rằng m chia hết cho p .

10. (Baltic 2001). Cho a là số nguyên dương lẻ, m và n là hai số nguyên dương phân

biệt. Chứng minh rằng: 2 2 2 22 ; 2 1n n m m

a a .

11. Cho 5n là số tự nhiên. Chứng minh rằng: 1 !n

n

chia hết cho 1n . Biết a

là ký hiệu phần nguyên của a . 12. Tồn tại hay không một số nguyên x sao cho 2 1 2003x x ?






13. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n là ước số của 123 1 nhưng n không là ước số của 3 1i với mọi 1,2, 3,...,11i . Có bao nhiêu số n chẵn và bao nhiêu số n lẻ? 14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p , tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn: 2n n p .

15. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2 25 1 0 modp p .

16. Cho ;a b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương ,m n sao cho: 1m na b ab . 17. Cho 5n là số nguyên dương lẻ và có các số nguyên tố là

1 2, , ...,

kp p p . Chứng minh

rằng 2 1n có ước số nguyên tố không thuộc tập 1 2

; ;...;k

p p p .

18. (IMO 1978). Cho m và n là những số tự nhiên với 1n m . Trong cách viết thập phân ba chữ số cuối cùng của 1978m theo thứ tự bằng ba chữ số cuối cùng của 1978n . Tìm các số m và n sao cho tổng m n nhỏ nhất. 19. (VMO 2001 A). Cho số nguyên dương n và hai số nguyên tố cùng nhau ,a b lớn

hơn 1 . Giả sử ,p q là hai ước lẻ lớn hơn 1 của 6 6n n

a b . Hãy tìm số dư trong phép chia 6 6n n

p q cho 6.12n . 20. (VMO 2008). Đặt 20082007m . Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà n m và

2 1 5 2n n n chia hết cho m .

21. Chứng minh rằng không tồn tại một dãy vô hạn tăng các số nguyên tố np thỏa mãn

12 1

n np p với mọi 1n .

22. Cho p là số nguyên tố, 1 2; ;...;

pr r r và 1 2

; ;...;p

s s s là các hệ thặng dư đầy đủ

modulo p . Hỏi tập hợp 1 1 2 2; ;...;

p pr s r s r s có phải là một hệ thặng dư đầy đủ modulo p

không? 23. Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì 2 ! 1p p nhưng nếu 5p thì

2 ! 1p không phải là một lũy thừa của p .

24. Chứng minh rằng: 20135 7n

chia hết cho 12 với mọi số tự nhiên n . 25. (Nordic 1998). Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng các số

0;1;2;...;nk thỏa mãn kn

C lẻ là một lũy thừa của 2.

26. (Korea 1999). Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 1 3n và 2 13

n là ước

số của một số nguyên có dạng 24 1m .






27. (Bulgaria). Cho 7 4 3 , 1n

na n . Chứng minh rằng trong biểu diễn thập phân

của n

a có ít nhất n chữ số 9 nằm sau dấu phẩy. 28. (Ukraine 1976). Tìm bốn chữ số cuối cùng của số:

1976 1974 1975 19731976 1974 1976 1974a .

29. Tìm ba chữ số tận cùng của số 10000

199519941993M

.

3. DÃY SỐ VÀ SỐ HỌC

1. Cho dãy số nu xác định bởi : 1

1

13 31 2 , n 1n n

u

u un n

.

Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đều là số nguyên.

2. Cho dãy số nu xác định như sau : 0 1 2

3 2

1

1

! , nn n

n n

u u uu u

nu u

.

Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy đều nguyên.

3. Cho dãy số nu xác định bởi : 24 4 1 , n 1

2 1 2 1nn nun n

.

Chứng minh rằng : 1 2 40...u u u là một số nguyên.

4. Cho dãy số vô hạn nu xác định như sau : 23 7nu n n , *n . Chứng minh rằng không có phần tử nào của dãy là lập phương của một số nguyên. 5. Cho dãy số nu được xác định như sau:

3 5 3 5 2, 2 2

n n

nu n

Chứng minh rằng 2 1ku , k là một số chính phương. 6. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy nu xác định bởi:

0

21

1

2 3 2n n n

u

u u u

đều nguyên.

7. Cho m . Dãy nu được xác định theo công thức:

1

2 *1

1

5 . 8 n n n

u

u u m u n

.

Tìm m để dãy nu là một dãy số nguyên.






8. Dãy số nu được xác định theo công thức: 13 2

1

23 2 9 9 3 2n n

uu u n n n n

.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các tổng tương ứng:

1 2 1... pu u u đều chia hết cho p .

9. (Putnam 1999). Dãy số nguyên nu được xác định như sau:

1 2 3

2 21 3 1 2

2 3

1, 2, 24

6 8 4n n n nn

n n

u u uu u u uu n

u u

.

Chứng minh rằng nu luôn là bội của n .

10. Dãy số nu được xác định như sau: 1

1 1

74 5 1975 2n n n

uu u u n

.

Chứng minh rằng 1996u chia hết cho 1997.

11. Cho dãy số nu xác định như sau:

1 2

1

2012, 20131 2 2n n n

u uu u u n

.

Chứng minh rằng số 2 2 21 2 20131 1 ... 1 1A u u u là số chính phương.

12. Cho dãy số nu xác định bởi: 1 1 1

os os os7 7

37

5nn n n

uc c c

.

Chứng minh rằng nu luôn là số nguyên và chia hết cho 8. 13. (VMO 1997). Cho dãy số nguyên nu được xác định như sau:

0 1 2 11, 45, 45 7 n n nu u u u u n . a) Tính số các ước dương của 2

1 2n n nu u u theo n . b) Chứng minh rằng 2 11997 7 .4n

nu là số chính phương với mỗi n .

14. Cho dãy số nu xác định bởi: 1 2

21

11

0

2 2 21

n n nn

n

u uu u uu n

u

.

Chứng minh rằng nu nguyên với mọi n . 15. Cho *k và dãy số nu thỏa mãn điều kiện: 0 1 2 11; 1; 4n n nu u u u u .

Chứng minh rằng: 3knu khi và chỉ khi 3kn .

16. Cho dãy số nu được xác định bởi công thức: 1 23 2008

1 1

5, 76 3.2n n n

u uu u u

.

Chứng minh rằng nu không thể biểu diễn được dưới dạng tổng lũy thừa bậc 6 của ba số nguyên dương.






17 . Gọi là nghiệm dương của phương trình: 2 2014 1 0t t và dãy nu được xác định

như sau: 0 11, n nu u nu , ở đây x là ký hiệu phần nguyên của số thực x . Tìm số dư 2014u khi chia cho 2014.

18. Cho dãy số nu xác định như sau: 2 2 22 *1 2 3 nu n n n n n . Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 10. 19. Dãy số nu xác định như sau: 2 nu n n . Chứng minh rằng có vô số số

hạng của dãy là số chính phương. 20. Cho dãy số ,n nu v xác định bởi: 0 1 1 13, 2, 3 4n n nu u u u v , 1 12 3n n nv u v

với mọi *n . Chứng minh rằng dãy nw xác định bởi 2 21 4n n nw u v không chứa các số nguyên tố. 21. Cho dãy số nu xác định bởi: 0 1 3u u , 1 17 1n n nu u u n . Chứng minh rằng 2nu là một số chính phương 1n . 22. (VMO 2011). Cho dãy số nguyên nu xác định bởi: 0 1 1 21, 1, 6 5 2n n nu u u u u n . Chứng minh rằng: 2012 2010u chia hết cho 2011 .

23. Cho dãy số nu xác định bởi: 0

2

1

1

7 45 36,

2n n

n

u

u uu n

.

Chứng minh rằng: a) nu là số nguyên dương n . b) 1 1n nu u là số chính phương n .

24. Cho dãy số nu xác định như sau: 2 3 2 3

, 2 3

n n

nu n

.

a) Chứng minh rằng: nu là số nguyên n . b) Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 3 25. Cho f x x thỏa 0 10 1 1, , n nf f x x f x n . Chứng minh

rằng với mọi , , nm n m ta luôn có: , 1m nx x .

26. Cho *k , xét 2 *2 1 n

nf k n . Chứng minh rằng nf đôi một nguyên tố cùng nhau. 27. (Journal of Mathematical youth ). Cho dãy số na với 1 2 1a a và 2 1 1n n na a a n . Tìm tất cả các cặp số nguyên

dương ;a b , a b thỏa 2 nna na chia hết cho b 1n .

28. Cho dãy số 24 38 nx n n n . Tìm lim nnx

, x là phần lẻ của x .

29. Xét dãy số ,n nu v xác định bởi:






1 13, 2u v và 1 3 4n n nu u v , 1 2 3 1n n nv u v n .

Chứng minh rằng: 2 2n n n nu v u v 1n .

30. Cho dãy Fibonacci: 1 2 2 11, n n nu u u u u . Chứng minh rằng với mọi 6n giữa

nu và 1nu có một số chính phương.

31.(IMO 1994). Cho dãy số 2

0 1: 1994; ( )1

nn n

n

aa a a n Na

. Chứng minh rằng khi

0 998n thì 1994na n

32. (Bulgaria 1999). Cho dãy các số nguyên na thoả mãn

*1( 1) ( 1) 2( 1), n nn a n a n n .

Biết 1999a chia hết cho 2000. Tìm số n nhỏ nhất sao cho na chia hết cho 2000 2n

33. (Bulgaria 1978). Cho dãy số na xác định như sau:

2 21 2

1 21 2

, , a a aa aa a

; *0 n na và 2

*12 n

nn

a aa na

( a là số cho trước ). Chứng minh rằng dãy số đã cho gồm toàn số nguyên.

34. ( Vietnam TST 1982). Cho *a và na là dãy số xác định bởi:

0 1

1 1

0, 12 1n n n

a aa a a a

.

Với 0p là số nguyên cố định lớn hơn 2. Hãy tìm giá trị bé nhất của a sao cho hai khẳng định sau đúng:

a) Nếu p là số nguyên tố, 0p p thì pa p .

b) Nếu p là số nguyên tố, 0p p thì pa không chia hết cho p .

35. Cho dãy số na xác định bởi 0 10, 1a a và 1 13 12

nn n na a a với *n .

Chứng minh na là số chính phương với mọi 0n .

36. Cho dãy số na xác định bởi: 0 1 2 30, 1, 2, 6a a a a và

4 3 2 12 2n n n n na a a a a với mọi *n . Chứng minh rằng: na chia hết cho n , 1n .

37. Cho , 1k k . Xét dãy số na xác định bởi:






220 1 2

1 1 1 2

4, 2

2 8 2n n n n n n

a a a k

a a a a a a n

.

Chứng minh rằng: 2 na là số chính phương với mọi 0n .

38. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 4n thì 1nF không là số nguyên tố.

39. Cho dãy số nguyên nx xác định bởi: 0 13; 11x x và 2 12 7 n n nx x x n .

Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ a sao cho với mọi ,m n nguyên dương tồn tại k nguyên dương mà k

nx a chia hết cho 2m .

40. Cho dãy số nguyên na xác định bởi: 1 22; 7a a và 2

11

1 , 22

12

nn

n

aaa

n

.

Chứng minh rằng: na là số lẻ với mọi 2n .

41. Cho ,a b là hai số thực khác 0. Xét dãy số nu xác định

bởi: 0 1

2 1

0; 1 0n n n

u uu au bu n

.

Chứng minh rằng nếu có bốn số hạng liên tiếp của dãy nu là số nguyên thì mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.

42. Cho dãy số nguyên na thỏa mãn điều kiện: 1 27 100 9, 0n n na a a n .

Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên 0n sao cho với mọi 0n n thì 0na .

43. Cho dãy số na xác định bởi 0 1 2

3 2 1

29, 105, 3813 2 0n n n n

a a aa a a a n

.

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho các số 1 2, 1, 2n n na a a đều chia hết cho m .

44. (BMO 2000, Round 3). Cho dãy số na xác định bởi : 1 43a , 2 142a và

1 13n n na a a với mọi 2n .

a) Chứng minh rằng : 1, 1n na a với mọi 1n .

b) Với mọi số tự nhiên m , tồn tại số tự nhiên n sao cho 1na và 1 1na đều chia hết cho m






45. (Slovenia 1999). Cho dãy các số thực 1 2, ,...,a a thỏa mãn điều kiện:

1 2 32, 500, 2000a a a và 2 1 1

1 1 1

n n n

n n n

a a aa a a

2n . Chứng minh rằng tất cả các số

hạng của dãy đều là số dương và 2000a chia hết cho 20002 .

46. (WMSETS 1999 - 2000). Giả sử 1 2

1 1 1... 1ma a a

với các số 1 2, ,..., ma a a nguyên

dương và đôi một khác nhau. Nếu các số lớn nhất trong các số ia là 2 p với p là số nguyên tố nào đó, hãy tìm tập 1 2, ,..., ma a a .

47. (WMSETS 2000 - 2001). Cho 1 214, 144a a và 1444...4na với n số 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho na là số chính phương.

48. (USAMTS 2000 - 2001). Xét dãy số thực 0 1 2, , ,...s s s thỏa mãn tính chất:

(i). i j i j i js s s s với mọi số nguyên không ,i j sao cho i j

(ii). 12i is s với mọi số nguyên không âm i ; 0 1 2 0s s s .

Tìm ba số 0 1 2, ,s s s .

49. (Putnam 1990). Xét dãy số 2,3,6,14, 40,152,784... với số hạng đầu là 0 2a và số hạng tổng quát 1 2 34 4 4 8n n n na n a na n a với mọi 3n .

Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy trên có thể được viết thành tổng của các số hạng tương ứng của hai dãy quen thuộc.

50. (Putnam 1991). Với mọi số nguyên dương n ta định nghĩa 2d n n m trong đó

m là số nguyên lớn nhất sao cho 2m n . Cho số nguyên dương 0b , ta thiết lập dãy

0 1, ,..., ,...kb b b với 1k k kb b d b . Những giá trị 0b như thế nào thì dãy trên có ib là hằng số với i đủ lớn?

51. (Putnam 1997). Cho dãy số na xác định bởi 1 11, 2 nana a . Chứng minh rằng

1 modn na a n với 2n .

52. (Czech and Slovak Republic 2000). Chứng minh rằng tồn tại một dãy các số tự nhiên tăng dần n

a với mọi 0k là dãy nk a chỉ chứa một số hữu hạn số nguyên

tố.

53. (The Winter mathematical competitions in Bulgaria 1997). Cho là hai nghiệm của phương trình 2 0x px q . Với mọi số tự nhiên n ta

ký hiệu: n

n

n

a

.

a) Tìm p và q sao cho với mọi số tự nhiên n đẳng thức sau đây đúng:






1 2 31

n

n n n na a a a

.

b) Chứng minh rằng với ,p q nói trên ta có: 1 2n n n

a a a với mọi số tự nhiên.

c) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n , n

a là số nguyên và nếu 3n thì n

a là số chẵn. 54. (The Winter mathematical competitions in Bulgaria 1998). Cho dãy số nguyên m

a mà khi viết trong hệ thập phân, các số hạng của dãy bao gồm

các chữ số chẵn 1 2 32, 4, 6,...a a a . Tìm tất cả các số nguyên m sao cho

12m

a m .

55. Lập dãy ka như sau:

0 11; 1a a với 1k thì

1 12

k k ka a qa trong đó q là số

nguyên tố cố định nào đó. Tìm q sao trong dãy có số hạng 3n

a nhận giá trị 1 .

56. Dãy na thỏa mãn tính chất sau: 11

5;7 , 5 ;7n na a

na a

với 1;2;...n

Tìm mọi giá trị có thể của hai chữ số cuối của 2011

a .

57. (BMO 2001, Round 4). Cho dãy na thỏa mãn

0 14; 22a a và

1 26 0

n n na a a với 2n . Chứng minh rằng tồn tại các dãy ,

n nx y gồm các số

nguyên dương sao cho 2 7n

nn n

ya

x y

với mọi 0n .

58. (Romania 1996). Tìm số nguyên lớn nhất n để tồn tại n số nguyên không âm

1 2; ;...;

nx x x không đồng thời bằng 0, sao cho với mọi dãy số

1 2, ,...,

n gồm các phần

tử không đồng thời bằng 0 lấy từ tập 1;0;1 ta có: 3n không chia hết

1 1 2 2...

n nx x x .

59. (BMO 1996, Round 4). Cho dãy số na xác định bởi:

1 11; n

nn

a na a

n a .

Chứng minh rằng: 2n

a n với 4n ( ký hiệu x là phần nguyên của x ).

60. Cho dãy số nu xác định bởi: 1 2

2 1

0; 1

1n n n

u u

u u u

.

Chứng minh rằng: Nếu 5p là số nguyên tố thì 1p pu u chia hết cho p .

61. (St. Petersburg City MO 2002).Cho dãy số na xác định bởi:

1

1,

22

, 1

1

1

nn

nn

nn

aif a

a aif a

a






Cho 0

a là một số nguyên dương, 2n

a với mỗi 1;2;...;2011n và 2002

2a . Tính

0?a

62. Cho dãy số nx xác định bởi:

0 1 20; 1; 0x x x và

2

23 2 1

1 1 11

n n n n

n n n nx x n n x x

n n

.

Chứng minh rằng n

x là số chính phương với mọi 0n .

63. (VMO 1987). Cho dãy số ,n n

x y xác định bởi:

19860 1

365 ; 1 1622n n n

x x x x , 0n

và 0

16y ; 31

1 1952n n n

y y y , 0n .

Chứng minh rằng: 0n k

x y , 1,n k .

64. (VMO 1995). Một dãy số na được xác định bởi:

10 1 2

1

9 , 1, 3,

9 5 , n n

nn n

a a if n is evena a a

a a if n is odd

Chứng minh rằng:

a) 2000

2

1995k

k

a chia hết cho 20 ; b)

2 1na không phải là một số chính phương *n

65. (VMO 1998 A). Cho dãy số nguyên dương 0n n

a

xác định bởi:

0 1 2 120, 100, 4 5 20

n n na a a a a với 0n .

Tìm số dương h nhỏ nhất có tính chất: n h n

a a chia hết cho 1998 với mọi n . 66. (VMO 1989). Xét dãy số Fibonacci 1,1,2,3,5, 8,13,... Đặt

21985 1956 1960f n n n .

a) Chứng rằng tồn tại vô hạn số F của dãy trên sao cho f F chia hết cho 1989.

b) Tồn tại hay không một số G của dãy sao cho 2f G chia hết cho 1989?




Education

Bài tập số học luyện thi học sinh giỏi toán quốc gia - Văn Phú Quốc