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Cálculo de Limites: Limites Indeterminados e no Infinito.
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AULA 02MATEMÁTICA II
Professor: João Alessandro
CÁLCULO DE LIMITES
Cálculo - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na expressão da função f(x).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem
sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se
faz a substituição direta de x por seu valor de tendência
e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou / ou /0).
Veja os casos nos slides seguintes.
Cálculo - Limites
Regras adicionais • 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0
quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.
422)2(lim2
)2)(2(lim
2
4lim
0
0
22
42
2
4lim
22
2
2
22
2
xx
xx
x
x
x
x
xxx
xIndeterminação
Regras adicionais
• 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se os limites laterais forem iguais.
.limlim
lim
2
1
2
2
1
2
0
1
22
1
2
1
2
xxe
xx
xx
Portanto o limite não existe.Pois pela condição de existência de limite, o limite pela direita deve ser igual ao limite pela esquerda.
Regras adicionais – Limites com e/no Infinito • 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função
racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞, são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo.
222
22323
).(5)5(lim)125(lim
).(22lim2
lim2
352lim
xxx
xx
x
x
xxx
xx
xxx
1o exemplo (função racional):
2o exemplo (função polinomial):
Expressões indeterminadas: Considere o seguinte limite:
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já
conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
0
0
33
273
3
27lim
33
3
x
xx
3
27lim
3
3
x
xx
EXEMPLO
EXEMPLOExpressões indeterminadas
Mas vejamos o gráfico desta função:
x f(x)2,7
2,8
2,9
3,03,1
3,2
3,3
24,39
25,24
26,11
2727,9
128,8
429,7
9
L
• Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:
• Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar a este valor?
273
27lim
3
3
x
xx
• Com a FATORAÇÃO de Produtos Notáveis!!!
Neste exemplo,
Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:
Basta então calcular:
)93)(3(27 23 xxxx
93)3(
)93)(3()( 2
2
xx
x
xxxxf
27)93(lim 2
3
xx
x
FATORAÇÃO• Diferença de quadrados
Exemplos:
)).((22 bababa 2222 ..)).(( bababbaababa
)).(() 44162 xxxa
)).(() ayayayb 33229
)).().(()).((
)
9243232924924
81416
xxxxx
xc
FATORAÇÃO• Trinômio quadrado perfeito
Exemplos: 22442 )( aaa2
3349324616
yyy
22222 2)).(()( bababbaababababa 22222 2)).(()( bababbaababababa
Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença de quadrados a2 - b2.
FATORAÇÃO• Soma e Diferença de Cubos
Exemplos:
)).(( 2233 babababa
)42).(2()22.).(2(8 2223 xxxxxxx
)252016).(54(5)4(12564 2333 aaaaa
)).(( 2233 babababa
PROPRIEDADES DE LIMITES• P1 - O limite da soma é igual a soma dos limites
(caso esses limites existam): )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax
1552322
522
32
2
253
2
2
2
532
2
.
limlimlim
limlimlim
)(lim
xx
xx
x
xx
xx
x
xxx
Exemplo:
PROPRIEDADES DE LIMITES• P2- O limite da diferença é igual a diferença dos limites (caso esses limites existam):
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
622.2limlim2
lim2lim)2(lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
xxxx
xx
xxx
Exemplo:
PROPRIEDADES DE LIMITES• P3 - O limite do produto é igual ao produto dos limites (caso esses limites existam):
)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfaxaxax
93.3lim.lim.lim)(lim333
2
3
xxxxx
xxxx
Exemplo:
PROPRIEDADES DE LIMITES• P4- O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
(caso esses limites existam):
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
10
1-
20
2
727
53
73
3
53
735
3
)(lim
)(lim
limx
x
xx
x
x
x
Exemplo:
DÚVIDAS?