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Cálculo 1Introdução a Limites e Continuidades
Prof: MSc. Jonathan Willian Zangeski Novais
Definição intuitiva de limite:Considere a função f(x) = 2x+3 , e tivesse que responder a seguinte pergunta:Para que valor a função vai quando x se aproxima de 1?X f(x)0,95 4,9
0,96 4,92
0,97 4,94
0,98 4,96
0,99 4,98
X f(x)1,006 5,012
1,007 5,014
1,008 5,016
1,009 5,018
1,01 5,02
Parece razoável dizer que o valor de f(x) aproxima-se cada vez mais de 5, quando x se aproxima de 1. Ou seja, 5 é o limite da função f quando x tende a 1.
Assim:lim𝑥→ 1
𝑓 (𝑥 )=5
lim𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥 )=𝐿
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a 1 é 5.De uma forma geral
No início tínhamos a funçãof(x) = 2x+3, e quando x se aproxima de 1, temos o limite igual a 5.O que acontece se jogarmos o número 1 na função?f(1) = 2 . 1 + 3 = 5Ou seja:
lim𝑥→1
𝑓 (𝑥 )= 𝑓 (1)
Mas será que isso vale para qualquer função?
Considere a f R – {-2 , 2} -> R definida por:
lim𝑥→ 2
𝑓 (𝑥 )=0,25
Qual o valor da função quando x tente a 2?
Mas como validar isso?
f(x) = Não pode ser zero!
Parece razoável dizer que:
Por produtos notáveis sabe-se que: Com x-2 diferente de zero. Simplificando:
lim𝑥→2
1(𝑥+2)
= 12+2=
14=0,25
Assim vimos que a função não estava definida em x=2, porém obtivemos que limx→2
f ¿¿
Isso significa que nem sempre o valor de uma função em um determinado ponto é igual ao seu limite nesse ponto. Isto é nem sempre:limx→a
f ¿¿
Considere a f: definida porf ¿
Vamos calcular o limx→0
f ¿¿
Parece que Mas essa não é a resposta correta!
Considere a f: definida porlim𝑥→ 0
√𝑥 ²+9−3𝑥 ² ❑
Aqui precisamos usar um artifício algébrico, multiplicaremos o numerador e o denominador por :lim𝑥→0
√𝑥 ²+9−3𝑥 ² ¿ lim
𝑥→0
√𝑥 ²+9−3𝑥 ²
√𝑥 ²+9+3√𝑥 ²+9+3
lim𝑥→ 0
√𝑥 ²+9−3𝑥 ² ¿ lim
𝑥→0
√𝑥 ²+9−3𝑥 ²
√𝑥 ²+9+3√𝑥 ²+9+3Fazendo produtos notáveis teremos:
lim𝑥→ 0
√𝑥 ²+9−3𝑥 ² ¿ lim
𝑥→0
(√𝑥2+9)²−3²𝑥 ²(√𝑥2+9+3)
❑
¿ lim𝑥→0
𝑥 ²𝑥 ² (√𝑥2+9+3)
❑
Sabendo que x se aproxima de 0, mas não pode ser 0, temos que ¿ lim𝑥→0
𝑥 ²𝑥 ² (√𝑥2+9+3)
❑ ¿ lim𝑥→0
1(√𝑥2+9+3)
❑
lim𝑥→ 0
√𝑥 ²+9−3𝑥 ² ¿ lim
𝑥→0
1(√𝑥2+9+3)
❑
Note que quando x se aproxima de 0, se aproxima de 6. Assim: lim𝑥→ 0
√𝑥 ²+9−3𝑥 ² ¿ lim
𝑥→0
1(√𝑥2+9+3)
❑
lim𝑥→0
√𝑥 ²+9−3𝑥 ² ¿ 1
(√0²+9+3)¿ 16
Resumindo, aprendemos hoje que:lim𝑥→ 1
(2𝑥+3 )=5
Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3lim
𝑥→0
√𝑥 ²+9−3𝑥 ² ¿ lim
𝑥→0
1(√𝑥2+9+3)
¿ 16
Exercício: Calcule os seguintes limites:lim𝑥→ 1
𝑥 ²−𝑥+1
lim𝑥→ 5
𝑥 ²−4 𝑥+3
lim𝑥→ 2
❑5 𝑥 ³+4𝑥−3
lim𝑥→2
𝑥−3𝑥 ²−9 =
lim𝑥→ 1
𝑥−1√𝑥−1