Upload
emanuella-gomes
View
101
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
01/09/13 FATOS MATEMÁTICOS: Cálculo de Limites Exponenciais
fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/02/calculo-de-limites-exponenciais.html 1/8
Downloads Posts por Ordem Alfabética Fatocoleções Fatos da Física Matemática Fatos Históricos Interessantes
Participar deste siteGoogle Friend Connect
Membros (1688) Mais »
Já é um membro? Fazer login
segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
Para estudar a derivada das funções exponenciais e logarítmicas,faz-se necessário aplicar dois limites fundamentais queapresentaremos neste post.
Proposição 1: Se , então
onde é a constante de Euler ou Napier.
Demonstração: Vale ressaltar que o símbolo significa
ou . Mostraremos o caso em que , o outro caso
é análogo. Dado , existe tal que .Assim,
de modo que
Cálculo de Limites Exponenciais
Calendário Dodecaédrico2013
Siga o blog por e-mail
Email address... Submit
11 Visitantes Online
Inscrever-se
Postagens
Comentários
Inscreva-se em uma dasopções acima parareceber em seu e-mail osmais recentes posts dosfatos matemáticos.
► 2013 (68)
▼ 2012 (121)
► Dezembro (7)
Arquivos do Blog
Pesquisar
Pesquise no blog
Este blog possuiatualmente:
3254 Comentários em 746Artigos!
Widget UsuárioCompulsivo
Comentários/Posts
Como EstudarMatemática?
Estratégia aoIntegrar porPartes
Cálculo deLimitesAlgébricos eIrracionaisAlgébricos
O Problema das Torneiras
Postagens Top 5
01/09/13 FATOS MATEMÁTICOS: Cálculo de Limites Exponenciais
fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/02/calculo-de-limites-exponenciais.html 2/8
Note que
e que
Substituindo e em , temos:
Mas vimos no post O Número e que
e como
fazendo na expressão , temos
donde segue o resultado.
Corolário 1:
Demonstração: Basta fazer na Prop. 1.
Vejamos como podemos usar estes resultados no cálculo de limitesexponenciais.
Exemplo 1: Calcule os limites abaixo:
► Novembro (7)
► Outubro (4)
► Setembro (2)
► Agosto (7)
► Julho (11)
► Junho (12)
► Maio (12)
► Abril (13)
► Março (14)
▼ Fevereiro (15)
O CálculoAtravés daHistória(Promoção!)
O Sistema deCoordenadas Polares
ADesigualdade deBernoulli
O Volume daCunhaCilíndrica
Uma FormaIterativa deResolver aTorre deHanói
O TeoremaFundamental do CálculoSegundoNewton
Áreas deSegmentose LaçosParabólicossemIntegra...
A Torre deHanói
Cálculo deLimitesExponenciais
JacquesBernoulli
EquaçõesDiferenciasOrdináriasde SegundaOrdem (...
O Método deDescartesPara TraçarTangentes
A Rotação deEixos noPlano
A Área doSegmentoParabólicoAtravés doMétododa...
Tópicos Sobreas FunçõesHiperbólicas(Parte 3)
► Janeiro (17)
O Método daChave ParaExtrair RaízesCúbicas
Total de visualizações depágina
2 2 4 7 9 6 2
Visitas ao Blog
Blogs Interessantes
FATOS MATEMÁTICOSEquações deDiferençasFinitas dePrimeiraOrdem
Há 6 horas
Brasil AcadêmicoO que IsaacAsimov previusobre 2014em 1964
Há 20 horas
O Baricentro da MenteUm PoucoSobreCapacitores
Há 3 dias
Matemágicas eNúmeros
TRIPARTIÇÃODE UMÂNGULODADOQUALQUER, É
POSSÍVEL????? SIM, POIS,É UMA QUESTÃO... DETEMPO!!!!!Há uma semana
União dos Blogs deMatemática
Carnaval daMatemática da
UBM Nº #27
01/09/13 FATOS MATEMÁTICOS: Cálculo de Limites Exponenciais
fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/02/calculo-de-limites-exponenciais.html 3/8
Resolução:
Para este limite, fazemos a mudança de variáveis, colocando
, ou seja, . Se , também
temos que . Logo, pela Prop. 1, obtemos:
Analogamente, fazendo , segue que
. Se , também temos que .Assim,
Neste caso, observe que
Assim, fazemos a substituição colocando , de
modo que . Como , segue que
. Assim,
Fazendo , segue que . Se
. Logo, pelo Cor. 1, temos:
Outro limite exponencial fundamental importante é dado napróxima proposição.
► 2011 (151)
► 2010 (248)
► 2009 (158)
Prof. Paulo Sérgio
Tangará da Serra, MT,Brazil
Bacharel em EngenhariaAgrícola pela UFLA,Mestre em MatemáticaPura pela UFSCar e Ateu.Tenho muita admiraçãopor Leonardo da Vinci eLeonhard Euler por suasgrandes realizações emvários campos da ciência.Apesar de não possuir otítulo de doutor, não mesinto inferior a nenhumdeles, pois continuo emminha longa jornada decompreender e divulgar aMatemática e outrasáreas afins.
Visualizar meu perfilcompleto
Quem sou eu
Direitos Autorais
O objetivo deste blog édivulgar a Matemática emtodos os seus níveis,buscando deste modomelhorar a Educação dopaís. Peço a compreensãode todos vocês, no caso decopiar qualquer post, queseja educado e cite o blogFatos Matemáticos ou oseu autor.As sugestões serão semprebemvindas e podem serencaminhadas [email protected],Prof. Paulo Sérgio C. Lino
Blog Filiado
Mostrar todosHá 2 semanas
Fatocoleções
A Espiral de Arquimedes
A Área do SegmentoEsférico (Arquimedes)
A Área do SegmentoParabólico Através doMétodo da Alavanca
Arquimedes e o Parabolóidede Revolução
Arquimedes e o Volume daEsfera
Grandes Matemáticos(Arquimedes de Siracusa)
O Teorema da CordaQuebrada de Arquimedes
O Volume do Elipsóide deRevolução Pelo Método daAlavanca
PSP 1 (O Teorema doArbelo)
Uma Solução Analítica doProblema do Arbelo
Fatocoleções
Euler e as Equações Cúbicas
A Função Zeta de Euler
A Identidade de Euler e asRaízes Enésimas de umNúmero Complexo
Grandes Matemáticos(Leonhard Euler)
Euler: O Mestre de TodosNós
Euler e o QuadriláteroConvexo
A Matemática de Euler(Parte 1)
A Matemática de Euler(Parte 2)
01/09/13 FATOS MATEMÁTICOS: Cálculo de Limites Exponenciais
fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/02/calculo-de-limites-exponenciais.html 4/8
Proposição 2: Se , então
Demonstração: Fazemos a mudança de variáveis colocando
, de modo que
Note que se . Assim,
Exemplo 2: Calcule os limites abaixo:
Resolução:
Neste caso, basta adicionar e subtrair , para usarmos aProp. 2, isto é,
Este limite segue direto da Prop. 2, ou seja,
Neste caso, usamos um truque algébrico, para que o limitedado fique no formato do limite fundamental, isto é,
Fatocoleções
Aprendendo a AprenderMatemática
Como a CompreensãoMatemática éTransmitida?
Como EstudarMatemática?
Como se Compreende aMatemática?
Matemáticos RefletindoSobre a Matemática
Motivação na Matemática
O Método Para BemConduzir a Razão deDescartes
O que Motiva as Pessoasa Fazer Matemática?
O que Realizam osMatemáticos?
O que é uma Prova?
Ensino e Reflexões
Compêndio do BlogFatos Matemáticos
A Matemática de Euler(Parte 3)
A Matemática de Euler(Parte 4)
Problemas dos FatosMatemáticos!
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 27)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 26)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 25)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 24)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 23)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 22)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 21)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 20)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 19)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 18)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 17)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 16)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 15)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 14)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 13)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 12)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 11)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 10)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 9)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 8)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 7)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 6)
Problemas dos Fatos
01/09/13 FATOS MATEMÁTICOS: Cálculo de Limites Exponenciais
fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/02/calculo-de-limites-exponenciais.html 5/8
Exercícios Propostos:
Calcule os limites abaixo:
Mostre que a derivada da função é igual a
.
3) Prove que a derivada da função é igual a
.
Gostará de ler também:- Limites Pela Definição;- Cálculo de Limites Algébricos e Irracionais Algébricos;- Cálculo de Limites Trigonométricos;- O Número e.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 13.2.12
Marcadores: Cálculo
Reações: razoável (0) interessante (0) excelente (5)
+2 Recomende isto no Google
9 comentários:
Aloisio Teixeira 13 de fevereiro de 2012 19:27
Bonito! Interessante generalização do limite de variávelnatural para real...
Responder
Prof. Paulo Sérgio 13 de fevereiro de 2012 20:39
Acho que os conceitos matemáticos devem ser apresentadosseguindo o padrão de qualidade grego, ou seja, dentro deuma lógica impecável. Pode ser que em uma aula deCálculo, ele omita algumas demonstrações, mas suas notasde aula devem ser impecáveis, mostrando aos alunos que aMatemática está muito bem organizada. Obrigado pelocomentário e volte sempre!
Responder
Aloisio Teixeira 13 de fevereiro de 2012 22:04
O equivalente exponencial do quociente de Newton é
.É correto eu afirmar que
? O desenvolvimento foi
Revista Número 1 -Volume 3
Revista Número 1 -Volume 2
Revista Número 1 -Volume 1
Fatocoleções
A Desigualdade deCauchy-Schwarz
A Desigualdade de Erdos-Mordell
A Desigualdade deGronwall
A Desigualdade deNesbitt
A Desigualdade dePtolomeu
A Desigualdade deWeitzenbock
A DesigualdadeIsoperimétrica
Duas Médias (Parte 1)
Duas Médias (Parte 2)
Expressões Modulares
Mínimos Locais Atravésda DesgualdadeAritmética-Geométrica
Provando DesigualdadesAtravés de FunçõesLineares
PSP (Parte 10)Desigualdades naHipérbole
PSP (Parte 4) ADesigualdade de Cauchy-Schwarz
Quem é Maior?
Matemáticos (Parte 5)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 4)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 3)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 2)
Problemas dos FatosMatemáticos (Parte 1)
Um Convite ao Cálculo dasVariações
Um Convite à GeometriaFractal
Um Convite àsTransformadas Discretas deLaplace
Uma Breve História daHipótese de Riemann
Uma Breve História dasEquações Diferenciais
Uma Breve História dasFunções Elípticas
Uma Breve História dasMatrizes e Determinantes
Uma Breve História doCálculo Fracionário
Uma Breve História dosSistemas de Numeração
Fatocoleções
Análise Combinatória (5)
Aritmética (26)
Biografias (52)
Curiosidades Matemáticas(46)
Cálculo (104)
Cálculo Avançado (31)
Cálculo Numérico (16)
Downloads (24)
Editoriais (34)
Ensino e Reflexões (17)
Equações Diferenciais (27)
Estatística (2)
Geometria Analítica (55)
Geometria Espacial (32)
Geometria Plana (67)
História da Matemática (71)
Instrumentação para oEnsino da Matemática (22)
Matemática Aplicada (71)
Matemática Financeira (13)
Poemas e FrasesMatemáticas (11)
Probabilidade (3)
Posts por Áreas
01/09/13 FATOS MATEMÁTICOS: Cálculo de Limites Exponenciais
fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/02/calculo-de-limites-exponenciais.html 6/8
assim:
.Multiplicando o numerador e denominador da segundaparcela por prossegue-se
. Portanto,
. O que acha?
Responder
Prof. Paulo Sérgio 14 de fevereiro de 2012 10:03
Isto está correto, mas não sei para que serve ou em quepodemos usá-la. Analisando estas contas, achei outro modode prová-la. Seja
Aplicando logaritmo em ambos os lados, temos
Aplicando limite em ambos os lados e fazendo e
usando o fato que é uma função contínua,então podemos permutar o limite com o logaritmo, paraobter
donde segue o resultado.
Responder
Aloisio Teixeira 14 de fevereiro de 2012 10:28
Interessante a demonstração por logaritmo. Eu estavepensando em utilizar o limite de para algum tipo deprodutório infinito. É por isto que gosto da matemática pura.
Responder
Bruno de Andrade Barroca 15 de setembro de 2012 20:05
Qual seria a resolução do exercícios propostos cujo resultadoé 1/e.
Responder
Prof. Paulo Sérgio 15 de setembro de 2012 22:31
A dica para a resolução do exercício 1 a) é
Agora faça que o resultado segue.
Obrigado pelo comentário e volte sempre!
Uma Desigualdade Entreo Circunraio e o Inraio deum Triângulo
<a href="http://fatosmatematicos.blogspot.com"><img border="0" src="http://i.picasion.com/pic46/721fbaf771e4ef76d25eafcc7a74a9c7.gif" /></a>
Link-me
Fatocoleções
A Desigualdade deCauchy-Schwarz
A Equação daCircunferência Através deum Determinante 4x4
A Matriz Projeção de umVetor Sobre uma Reta doPlano Cartesiano
A Regra de CramerAtravés do Produto Misto
A Reta no EspaçoTridimensional
A Rotação de Eixos noPlano
A Translação de Eixos noPlano
Cálculo de Áreas Atravésdo Vetor Projeção
DemonstraçõesGeométricas Através deVetores (Parte 1)
DemonstraçõesGeométricas Através deVetores (Parte 2)
Distância de um Ponto àuma Reta Através doVetor Projeção
O Plano no EspaçoTridimensional
O Produto Vetorial e a Leide Biot-Savart
Representação de umInteiro Positivo ComoSoma de 4 Quadrados
Retas Perpendiculares noPlano
Problemas Matemáticos (36)
Provas sem Palavras (26)
Raciocínio Lógico (15)
Recreações Matemáticas(20)
Teoria dos Números (62)
Trigonometria (21)
Variáveis Complexas (8)
Álgebra Elementar (81)
Álgebra Linear (22)
Fatocoleções
Provas do Teorema dePitágoras (Parte 1)
Provas do Teorema dePitágoras (Parte 2)
Provas do Teorema dePitágoras (Parte 3)
Provas do Teorema dePitágoras (Parte 4)
Provas do Teorema dePitágoras (Parte 5)
Provas do Teorema dePitágoras (Parte 6)
Provas do Teorema dePitágoras (Parte 7)
Provas do Teorema dePitágoras (Parte 8)
Provas do Teorema dePitágoras (Parte 9)
Provas do Teorema dePitágoras (Parte 10)
Cálculo Mental
Fatocoleções
01/09/13 FATOS MATEMÁTICOS: Cálculo de Limites Exponenciais
fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/02/calculo-de-limites-exponenciais.html 7/8
Postagem mais recente Postagem mais antigaInício
Assinar: Postar comentários (Atom)
Respostas
Responder
Digite seu comentário...
Comentar como: Conta do Google
Publicar Visualizar
Responder
Ernesto Ernane 5 de maio de 2013 11:06
este site me foi muito útil para a a resolução da minhaprimeira prova da faculdade.
Responder
Prof. Paulo Sérgio 5 de maio de 2013 11:34
Fico feliz em saber que o site está lhe ajudando emseus estudos. Se possível divulgue para os demaiscolegas. Obrigado pelo comentário e volte sempre!
Sobre o Duplo ProdutoVetorial e Generalizações
Sobre o Produto Escalar
Sobre o Produto Misto
Sobre o Produto Vetorial
Sobre o Vetor Normal àuma Reta no PlanoCartesiano
Sobre o Vetor Projeção
Superfícies Quádricas: OElipsóide e a SuperfícieEsférica
Superfícies Quádricas: OHiperbolóide de umaFolha
Fatocruzadas (Parte 5)
Fatocruzadas (Parte 4)
Fatocruzadas (Parte 3)
Fatocruzadas (Parte 2)
Fatocruzadas (Parte 1)
Fatocruzadas
Problemas Interessantes
A Dobradura deComprimento Mínimo
A Escada deComprimento Mínimo
O Desafio de EinsteinResolvido
O Problema da Bola naCesta
O Problema da Herança
O Problema da Inclinaçãodo Copo
O Problema da Passagemdo Guarda-Roupa
O Problema das PlacasQuadradas
Cálculo Mental (Parte 1)
Cálculo Mental (Parte 2)
Cálculo Mental (Parte 3)
Cálculo Mental (Parte 4)
Cálculo Mental (Parte 5)
Cálculo Mental das Raízes deAlgumas EquaçõesQuadráticas
Origem dos Visitantes
Live Traffic Feed
A visitor from Brazil viewed"FATOS MATEMÁTICOS:Cálculo de LimitesExponenciais" 0 secs agoA visitor from São Paulo, SaoPaulo viewed "FATOSMATEMÁTICOS: Métododo Fator Integrante Para EDO´s Lineares de PrimeiraOrdem" 1 min agoA visitor from Camboriú,Santa Catarina viewed"FATOS MATEMÁTICOS:Demonstrações GeométricasAtravés de Vetores (Parte 1)"1 min agoA visitor from Ipatinga, MinasGerais viewed "FATOSMATEMÁTICOS:Determinantes Através deMatrizes em Blocos" 2 minsagoA visitor from Criciúma, SantaCatarina left "FATOSMATEMÁTICOS" viamatemagicasenumeros.blogspot.com 2 mins agoA visitor from Limeira, SaoPaulo viewed "FATOSMATEMÁTICOS: 10Mandamentos da Matemática"2 mins agoA visitor from Niterói, Rio deJaneiro viewed "FATOSMATEMÁTICOS: AlgunsFatos Sobre os QuadradosMágicos" 2 mins ago
01/09/13 FATOS MATEMÁTICOS: Cálculo de Limites Exponenciais
fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/02/calculo-de-limites-exponenciais.html 8/8
O Problema das Torneiras
O Problema das TrêsConferências
O Problema das Velas
O Problema das Vendasdos Porcos
O Problema do BodeFaminto
O Problema do Pulo doGrilo
O Problema do Trem
O Ângulo Ótimo deRamificação de umaArtéria
Problemas de OtimizaçãoAtravés da Trigonometria
Um Problema de MisturasAtravés de EDO's
Um Problema Geométricono Triângulo Isósceles
Várias Soluções de umProblema Geométrico
Blogs Parceiros
Imagens de modelo por Jason Morrow. Tecnologia do Blogger.