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Exponenciais Complexas Modelagem de Sistemas Dinâmicos Michel Leles

Aula 2 Exponenciais Complexas

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  • Exponenciais Complexas

    Modelagem de Sistemas Dinmicos Michel Leles

  • Reviso Matemtica

    Nmeros Complexos: Forma cartesiana:

    Forma polar:

    Relao Frmula de Euller:

    ,jyxz += }{},{ ymyzex ==,1=j

    ,j

    rez = |,| zr = z=

    j += Relao Frmula de Euller:

    Representao:

    Michel Leles Exponenciais Complexas |2

    22|| yxzr +==

    ==x

    yarctgz

    )sin()cos( je j +=

  • Exponencial Real Contnua

    e Nmeros Reais:atCetx =)( C a

    Michel Leles Exponenciais Complexas |3

  • Sinais Senoidais Contnuos

    (imaginrio),

    Sinal peridico: Perodo:

    Diretamente relacionado:

    atCetx =)( 1=Ctjwa 0=tjw

    e 0

    ( ) == + 100000 TjwTtjwtjw eee0

    02

    pi=T

    Michel Leles Exponenciais Complexas |4

  • Sinais Senoidais Contnuos

    Relao entre frequncias:

    Michel Leles Exponenciais Complexas |5

  • Sinais Senoidais Contnuos

    Energia:

    Potncia:

    Para que a exponencial seja peridica:

    000

    000

    .1 TdtdteETT tj

    periodo ===

    110

    == periodoperiodo ETP

    10 =Tje Para que a exponencial seja peridica:

    Harmnicos: sinais cujas frequncias fundamentais sejam mltiplas de uma frequncia positiva

    Michel Leles Exponenciais Complexas |6

    1=e

  • Sinais Senoidais Contnuos

    Senoides...

    Michel Leles Exponenciais Complexas |7

  • Sinais Senoidais Contnuos

    Adio:

    Em que Em que

    Relembrando...

    Michel Leles Exponenciais Complexas |8

    {

  • Sinais Senoidais Contnuos

    Exemplo Representao de duas senoides como uma s:

    Soluo:

    { Soluo:

    Michel Leles Exponenciais Complexas |9

  • Forma Geral da Exponencial Complexa

    sendo e complexos:

    Ento:

    atCetx =)( C a

    +=

    =

    0

    ||

    jraeCC j

    ( ) ( ) ++==

    tjrttjrjat eeCeeCCe 00 ||||

    Michel Leles Exponenciais Complexas |10

    Usando Euller:

    == eeCeeCCe 00 ||||

    [ ])sin()cos(|| 00 +++= tjteCCe rtat

  • Sinais Senoidais Discretos

    ou , com

    Supondo C e reais:

    nCnx =][ nCenx =][ e=

    Michel Leles Exponenciais Complexas |11

  • Sinais Senoidais Discretos

    Sinais senoidais: njwenx 0][ = )cos(][ 0 += nwAnx

    Michel Leles Exponenciais Complexas |12

  • Exponencial Complexa Discreta

    Parte real Governa o decaimento/crescimento

    Parte imaginria Refere-se a frequncia

    Michel Leles Exponenciais Complexas |13

  • Exponencial Complexa Discreta

    Exemplo: )3cos(9.0][ nnx n=

    0.6

    0.8

    1x[n]=0.9n cos(n/3)

    Michel Leles Exponenciais Complexas |14

    0 5 10 15 20 25 30-0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    n

    x

    [

    n

    ]

  • Sinais Senoidais Discretos

    Sinais Exponenciais complexos gerais: ,|| jeCC = 0|| jwe =

    Michel Leles Exponenciais Complexas |15

  • Sinais Senoidais Discretos

    Periodicidade:

    Observao:

    Analisar o sinal no intervalo: Analisar o sinal no intervalo:

    Frequncia NO AUMENTA com aumento de

    Michel Leles Exponenciais Complexas |16

  • Sinais Senoidais Discretos Efeito

    0.6

    0.8

    1x[n]=cos(3*pi/2n)

    0.6

    0.8

    1x[n]=cos(pin)

    0.6

    0.8

    1x[n]=cos(pi/2n)

    0 5 10 15 20 25 30-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    n

    x

    [

    n

    ]

    x[n]=cos(pi/4n)

    0 5 10 15 20 25 30-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    n

    x

    [

    n

    ]

    x[n]=cos(pi/8n)

    0 5 10 15 20 25 300

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    n

    x

    [

    n

    ]

    x[n]=cos(0n)0

    Michel Leles Exponenciais Complexas |170 5 10 15 20 25 30

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    n

    x

    [

    n

    ]

    x[n]=cos(2*pin)

    0 5 10 15 20 25 30-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    n

    x

    [

    n

    ]

    x[n]=cos(15*pi/8n)

    0 5 10 15 20 25 30-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    n

    x

    [

    n

    ]

    x[n]=cos(7*pi/4n)

    0 5 10 15 20 25 30-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    n

    x

    [

    n

    ]

    0 5 10 15 20 25 30-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    n

    x

    [

    n

    ]

    0 5 10 15 20 25 30-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    n

    x

    [

    n

    ]

  • Sinais Senoidais Discretos

    Para o sinal seja peridico, para N>0:

    , mltiplo 2:

    Michel Leles Exponenciais Complexas |18

  • Sinais Senoidais Discretos

    Peridico ???Perodo ???

    N=12

    Michel Leles Exponenciais Complexas |19

    Peridico ???Perodo ???

    N=31

  • Sinais Senoidais Discretos

    Michel Leles Exponenciais Complexas |20

    Peridico ???Perodo ???No Existe...

  • Material de Estudo e Exerccios

    Material de Estudo: Captulo 1: Sinais e Sistemas Oppenheim (2011), 2 ed.

    Seo 1.3

    Captulo B: Sinais e Sistemas Lineares Lathi (2004), 2 ed. Sees B.1 a B.3 e seo B.8 MATLAB Sees B.1 a B.3 e seo B.8 MATLAB

    Exerccios: Lathi (2004) B1 a B9 e B21 a B25

    Oppenheim (2011) 1.1, 1.2, 1.3, 1.25, 1.48, 1.49, 1.50, 1.51, 1.52

    Michel Leles Exponenciais Complexas |21