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7/23/2019 Cálculo Diferencial e Integral 2 Unidade 01- Integral Indefinida- Conceitos e Propriedades
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Ensino Superior
1 Integral Indefnida
Conceitos e Propriedades
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
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Derivada e Antiderivada
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P(x1,y1)
Q(x2,y2)
y1
y2
x1 x2 x
y
∆x
∆y
O coeciente angular da reta s é dadoor!
x
y
x x
y ytg
∆
∆=
−
−=
12
12α
s
Derivada e Antiderivada
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Derivada e Antiderivada
A reta "angente #anten$a P xo e fa%a Q se mover no sentido anti&$or'rio
sore a curva em dire%o a P*
Percea +ue a inclina%o da reta s ir' variar*
A medida +ue Q vai se aroximando cada ve mais de P,a inclina%o da secante tende ara um valor limite*
-sse valor limite, é c$amado inclina%o da reta tangente. curva no onto P*
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Derivada e Antiderivada
P(x1,y1)/ Q(x2,y2)
x1/ x2 x
y
y1/ y2
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Derivada e Antiderivada
Deni%o! Dada uma curva y / f(x), se0a P(x1, y1) um ontosore ela* A inclina%o da reta tangente . curva no onto P édada or!
Quando o limite existe* aendo , odemosescrever a e+ua%o acima como!
12
121
)()(limlim)(
12 x x
x f x f
x
y xm
x x P Q
−
−=
∆
∆=
→→
x x x ∆+= 12
x x f x x f xm
x ∆ −∆+= →∆)()(lim)( 11
01
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Derivada e Antiderivada
-xemlo! -ncontre a inclina%o da reta tangente . curva
no onto (x1, y1)*
e
122 +−= x x y
122)(21)(2)()(
,12)(
,12)(
1
2
1
2
11
2
11
1
2
11
2
+∆−−∆+∆+=+∆+−∆+=∆+
+−=
+−=
x x x x x x x x x x x x f
e x x x f
então x x x f
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Derivada e Antiderivada
-xemlo! 3sando a deni%o de coeciente angular de uma reta,
temos!
x
x f x x f xm
x
∆
−∆+=
→∆
)()(lim)( 11
01
x
x x x x x x x x xm
x ∆+−−+∆−−∆+∆+
=→∆
)12(122)(2lim)( 1
2
11
2
1
2
1
01
x
x x x x
xm x ∆
∆−∆+∆
= →∆
2)(2
lim)(
2
1
01
22)22(
lim)( 11
01 −=
∆−∆+∆
=→∆
x x
x x x xm
x
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Derivada e Antiderivada
A reta "angente Portanto, a inclina%o da reta tangente . curva
no onto (x1, y1) é m(x1) / 2x1 & 2*122 +−= x x y
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Derivada e Antiderivada
Derivada de uma fun%o num onto A derivada de uma fun%o f(x) no onto x1, simolicamente
designada or f 4(x1), é denida elo limite!
-ste limite nos d' a inclina%o da reta tangente . curva y /f(x) no onto (x1, f(x1))* Portanto, geometricamente, aderivada de uma fun%o reresenta o coeciente angularda reta tangente . curva neste onto*
Devemos esta deni%o ao ilustre matem'tico Pierre deermat*
x x f x x f x f
x ∆−∆+=
→∆)()(lim)(' 11
01
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Derivada e Antiderivada
Pierre de ermat
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Derivada e Antiderivada
-xemlo 1 -ncontre o coeciente angular da reta tangente . curva y
/ x2 no onto (1, 1)* 3tiliando a deni%o, temos +ue!
5asta alicar os ontos na regra +ue dene a fun%o*
x
x f x x f x f
x ∆−∆+
=→∆
)()(lim)(' 11
01
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Derivada e Antiderivada
22lim
)2(lim
1)(21lim
1)1(lim
)1()1(lim)1('
0
0
2
0
22
0
0
=∆+∆
∆+∆∆ −∆+∆+
∆−∆+
∆−∆+=
→∆
→∆
→∆
→∆
→∆
x
x
x x
x
x x
x
x
x f x f f
x
x
x
x
x
Portanto, a derivada de y / x2 no onto P / (1, 1) é igual a 2*
imolicamente! ara f(x) / x2, f 4(1) / 1 (ou, y6 / 2)*
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Derivada e Antiderivada
-xemlo 2 -ncontre o coeciente angular da reta tangente . curva y /
x7 8 2x no onto (x, x7 8 2x)* 3tiliando a deni%o, temos +ue!
5asta alicar os ontos na regra +ue dene a fun%o*
x
x f x x f x f
x ∆−∆+
=→∆
)()(lim)(' 11
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Derivada e Antiderivada
23233lim
)233(lim
222)()(33lim
]2[)](2)[(lim
)()(lim)('
2220
22
0
33223
0
33
0
0
==+∆+∆+
∆+∆+∆+∆
∆−−∆++∆+∆+∆+
∆+−∆++∆+
∆−∆+=
→∆
→∆
→∆
→∆
→∆
x x x x x
x
x x x x x
x x x x x x x x x x x
x
x x x x x x
x x f x x f x f
x
x
x
x
x
Portanto, a derivada de y / x2 no onto P / (x, x2) é igual a2x*
imolicamente! ara f(x) / x2
, f 4(x) / 2x (ou, y6 / 2x)*
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Derivada e Antiderivada
Derivada
Pelas colunas, é oss9vel erceer +ue a 1*: e a 7*: colunasdeterminam uma nova fun%o* -sta nova fun%o, derivada da fun%o original f, ser' denotada or f 4 e c$amada dederivada de f*
x y =(x)
y’ = ’(x)
1 x2 2
x x2 2x
x ;7 8 2x 7x2 8 2
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Derivada e Antiderivada
Derivada Diferenciar uma fun%o é oter sua
derivada* Por exemlo! Otemos 1 derivando x< Otemos x derivando <
Otemos x2 derivando <
Otemos x7 derivando < -m geral,
Otemos xn derivando
2
2 x
3
3 x
4
4 x
1
1
+
+
n
xn
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Derivada e Antiderivada
Derivada Dada a taela aaixo!
Derivar uma fun%o imlica em encontrar a fun%o +uereenc$e a terceira coluna a artir da segunda*
ignica, ortanto, alicar a deni%o de ermat ou asregras de deriva%o arendidas na discilina de ='lculo >*
x y
x (x)
dx
dy
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Derivada e Antiderivada
Antiderivada Dada a taela aaixo!
?osso interesse agora na discilina de ='lculo >> é oinverso!"rata&se de como reenc$er a segunda coluna aartir da terceira*
-sta é a oera%o do c'lculo integral, denida or @einiem 1B*
x y
x (x)dx
dy
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Derivada e Antiderivada
Cottfried il$elm von@eini
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Derivada e Antiderivada
Antiderivada A oera%o do ='lculo integral consiste no rolema de
determinar uma antiderivada ara uma fun%o* Assim,saemos +ue!
x é a antiderivada de 1<
é a antiderivada de x<
é a antiderivada de x2<
é a antiderivada de x7
< -m geral!
é a antiderivada de xn*
2
2 x
3
3 x
4
4 x
1
1
+
+
n
xn
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Derivada e Antiderivada
Antiderivada aendo disso, é oss9vel encontrar antiderivadas de muitas
fun%Ees cu0a regra envolve otFncias* Assim! 3ma antiderivada de G72 é &72x< 3ma antiderivada de G72x é G1x2< 3ma antiderivada de H G 72x é Hx G 1x2< 3ma antiderivada de 1 8 Hx G Bx2 é x 8 2x2 G 7x7*
Diemos IumaJ em ve de IaJ antiderivada or+ue $'geralmente mais de uma antiderivada ara uma dada
fun%o*
-ncontrando uma, ode&se facilmente encontrar outraacrescentando uma constante a +ue 0' existe*
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Derivada e Antiderivada
-xemlo 1e é uma antiderivada de f, ento 6 / f e 8 = tamém
ois a derivada de uma constante é ero* Assim! G72x<
&72x G K< &72x 8 π< &72x 8 =<
o todas antiderivadas de &72* A menos +ue se eseci+ue, com alguma informa%o
adicional, exatamente +ue antiderivada se +uerdeterminar, no odemos falar da antiderivada, mas deuma antiderivada*
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Derivada e Antiderivada
-xemlo 2=onsidere a fun%o f(x) / &72 com dom9nio L ≤ x* -ncontre!
a) Uma antiderivada de f<b) A antiderivada de f +ue assume o valor H +uando x é
igual a L<c) A antiderivada de f +ue assume o valor &HL +uando x é
igual a M<
olu%oa) Qual+uer fun%o da forma G72 x 8 = ser' uma antiderivada
de f, ois = ode ser +ual+uer constante (inclusive L)*b) Para resonder b), devemos lemrar da taela e do +ue
consiste a oera%o de encontrar a antiderivadax !(x)
(x)
" #$
x %&2
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Derivada e Antiderivada
?este item a 1*: lin$a da taela nos d' informa%osuciente ara saer +ue a antiderivada é Nnica* Peloitem a) saemos +ue!
(x) / &72x 8 =<
-, ela rimeira lin$a da taela devemos ter!
(L) / H<
ustituindo na e+ua%o geral, temos!(L) / &72*(L) 8 =<
(L) / = → = / H<
Portanto, a antiderivada de f +ue assume o valor H+uando x / L é (x) / &72x 8 H*
c) aer o item c) como exerc9cio*
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Derivada e Antiderivada
>#PO"A?"- A roosi%o!
e f6(t) / L, ento f(t) / =,
sendo = uma constante +ual+uer, s é verdadeira se f(t) for
cont9nua em seu dom9nio* O gr'co aaixo mostra +ue emora f 6(t) / L, f(t) no éconstante, ois $' IfurosJ no seu dom9nio*
f(t)
Dom9niodescontinuo
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Derivada e Antiderivada
Princ9io undamental do ='lculo >ntegrale0am A e F fun%Ees cont9nuas denidas num mesmo
dom9nio e assuma +ue a derivada de A em rela%o a t éigual a derivada de F em rela%o a t , ou se0a!
-nto, A(t) = F(t) + C, ara +ual+uer C constante*
dt
dF
dt
dA=
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Derivada e Antiderivada
Alica%Ees Aesar de astrato o Princ9io undamental do ='lculo >ntegraltem alica%Ees r'ticas* -la é Ntil semre +ue +ueremos saer ataxa de varia%o de uma certa +uantidade e a rria+uantidade* 3m exemlo disso é fornecido no estudo dos corpos
em queda livre*
Os coros em +ueda livre se referem ao movimento vertical deo0etos rximos a suerf9cie da "erra* A gravidade é a Nnica for%a aagir no coro e a resistFncia do ar é ignorada*
=onsidere +ue a velocidade de um coro em +ueda livre so o efeitoda acelera%o da gravidade aumente a cada segundo* -nto, o efeitoda gravidade é denido ela e+ua%o!10−=
dt
dv
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Derivada e Antiderivada
-ssa e+ua%o fornece a taxa de aumento da velocidade* e+uisermos saer o valor da velocidade, o rinc9io fundamentaldo c'lculo nos di +ue!
Para alguma constante =*
e tivéssemos informa%Ees adicionais oder9amos determinar ovalor de =* Por exemlo, se fosse fornecido +ue a velocidadeinicial era de 2L mRs, ento !
e, or outro lado, souéssemos +ue a velocidade é de &1H mRs+uando t / Ms, ento!
C t v +−= 10
2010
+−= t v
3610 +−= t v
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Derivada e Antiderivada
-xemlo 7 3ma edra é arremessada ara cima a artir do solo
com uma velocidade inicial de 2L mRs* =onsidere aedra como um coro em +ueda livre e resonda!a) Qual é a altura m'xima alcan%ada ela edraS) Onde est' a edra 7 segundos as o lan%amentoSc) Quando e com +ue velocidade ela atingir' o soloS
olu%o aemos +ue a velocidade v é dada or v / 1Lt 82L*
#as, a velocidade de suida é igual a varia%o da alturaelo temo, ortanto!
2010 +−= t dt
dh
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Derivada e Antiderivada
-ntretanto, elo rinc9io fundamental!
Para alguma constante =* #as +uanto vale = S
3ma ve +ue a edra foi arremessada do solo, saemos+ue, nesta situa%o a altura $ / L* =omo t, nesteinstante, tamém é L, ento!
@ogo,
C t t h ++−= 205 2
C ++−= )0.(20)0.(50 2
0=C
t t h 205 2 +−=
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Derivada e Antiderivada
a) Quando a edra atinge sua altura m'xima, avelocidade é ero, ou se0a!
Portanto a edra atinge sua altura m'xima +uando otemo é aroximadamente t/2s*
5asta sustituir o valor do temo na e+ua%o da altura!
t t h 205 2 +−=
0=dt
dh02010 =+− t
)2(20)2(5 2 +−=h
)2.(20)4.(5 +−=h
smh /20=
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Derivada e Antiderivada
) As t / 7s a edra est' a uma altura de!
- continua a cair atingindo o solo aroximadamente+uando t / Hs*
c) A edra atinge o solo com velocidade aroximada de 2L mRs*
t t h 205 2 +−=
)3.(20)3.(5 2 +−=h
)3.(20)9.(5 +−=h
mh 15=
t
temo
'
altura
velocidade
a
acel*da grav*
t $ H &72
dt
dh
dt
dv
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Derivada e Antiderivada
-xemlo H 3ma ola é lan%ada de um edif9cio de Lm de altura com
uma velocidade inicial de &1M mRs* -ncontre uma exressoalgérica ara reresentar a altura da ola em fun%o dotemo as o lan%amento, considerando a ola como um
o0eto em +ueda livre* olu%o
?este exemlo, odemos iniciar a resolu%o destacando asinforma%Ees +ue o texto fornece em uma taela!
t
temo
'
altura
velocidade
a
acel*da grav*
L L &1M
t S S &1L
dt
dh
dt
dv
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Derivada e Antiderivada
As colunas com interroga%o so as duas antiderivadas +uedevemos encontrar*
aemos +ue uma antiderivada de G1L é! G1Lt 8 =, logo!
Precisamos agora encontrar o valor da constante =* =omo oexerc9cio fornece a velocidade inicial! &1M mRs, temos +ue!
Agora recisamos ac$ar a antiderivada de! v = -10t – 15, +ue
é!
T esta e+ua%o fornece o valor de $ em fun%o de t*
Pergunta! em +uanto temo a ola atinge o soloS
C t v +−= 10
1510 −−= t v
60155 2 +−−= t t h
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Derivada e Antiderivada
O método usado nos exemlos 7 e H fornecem um ImodeloJmatem'tico caa de rever o movimento de um coro em+ueda livre*
O valor utiliado ara a acelera%o da gravidade foi
arredondado ara 1L mRs2
, mas o valor mais aroximado daacelera%o da gravidade é de B,K2U mRs2*
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Derivada e Antiderivada
3sando antiderivadas ara calcular distVncias O método ara calcular coros em +ueda livre no se alica
a o0etos automotores como motocicletas, carros ouro0éteis<
=ontudo, as antiderivadas odem ser Nteis +uando se dese0aconverter as leituras do veloc9metro m distVncia ercorrida*
uon$a +ue nas cartas de um navegador as leituras doveloc9metro registrem +ue ele varia a cada $ora<
=omo o navegador ode determinar, a artir de sua carta,distVncia ercorrida durante a Nltima $oraS
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Derivada e Antiderivada
-xemlo M 3m foguete atravessa o rmamento numa 0ornada
diretamente além da "erra* ?um certo dia . tarde onavegador lF o veloc9metro do foguete como fun%o do
temo, e conclui +ue ele é dado or! f (t) = 100t – !00t" + #00t , onde t é o temo em $oras* e a fun%o ffornece a velocidade em WmR$, encontre a distVnciaercorrida elo foguete!
a) -ntre o in9cio da tarde e as duas $oras<
) -ntre uma e H $oras da tarde*
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Derivada e Antiderivada
olu%o A leitura do veloc9metro é a taxa de varia%o
instantVnea da distVncia em fun%o do temo* aendo+ue s é a distVncia da "erra, temos +ue!
e disusermos os dados numa taela, teremos!
t t t dt
ds800400100
23 +−=
)(t f dt ds =
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Derivada e Antiderivada
t
temo
s
distVncia
velocidade
L S
1 S
2 S
H S
t (t) f(t)
dt ds
=on$ecemos a exresso f(t), recisamos encontrar suaantiderivada (t), +ue é!
C t t t
t F ++−=2
800
3
400
4
100)(
234
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Derivada e Antiderivada
Precisamos agora determinar o valor de =< =ontudo, sustituindo o valor de t or L, 1, 2 e H na exresso ,
odemos facilmente resonder o +ue se ede no item a)!
a) A distVncia ercorrida entre t / L e t / 2 é igual a!
(osi%o ara t/2) menos (osi%o ara t/L)s / (2) G (L)
=alculemos ento +uando t/2!C t t t
t F ++−=2
800
3
400
4
100)(
234
C F
C F
C F
C F
+=
++−=
++−=
++−=
33,933)2(
160066,1066400)2(
2
4.800
3
8.400
4
16.100)2(
2
)2(800
3
)2(400
4
)2(100
)2(
234
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Derivada e Antiderivada
Agora vamos calcular +uando t/L!
aendo temos!
C t t t
t F ++−=2
800
3
400
4
100)(
234
C F
C F
C F
=
++−=
++−=
)0(
000)0(
2
)0(800
3
)0(400
4
)0(100)0(
234
)0()2( F F s −=
km s
C C s
33,933
33,933
=
−+=
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Derivada e Antiderivada
) A distVncia ercorrida entre t / 1 e t / H é igual a!
)1()4( F F s −=
C F
C F
C F
C F
+=++−=
++−=
++−=
67,4266)4(
400.633,8533400.6)4(
2
16.800
3
64.400
4
256.100)4(
2
)4(800
3
)4(400
4
)4(100
)4(
234
C F
C F
C F
C F
+=
++−=
++−=
++−=
67,291)1(
40033,13325)1(
2
1.800
3
1.400
4
1.100)1(
2
)1(800
3
)1(400
4
)1(100)1(
234
km s
C C s
F F s
3975
67,29167,4266
)1()4(
=−−+=
−=
l d id
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ntideria*+o e Integra*+o Antideriva%o é uma oera%o +ue consiste em encontrar uma
fun%o (x), cu0a derivada 6(x) é uma fun%o con$ecida f(x)*e a fun%o (x) existir, ela é c$amada antiderivada de f(x)*
>ntegral >ndenida
C x x F += 3
31)(
2)( x x f =
2)(' x x F =
-xemlo
e0a * 3ma antiderivada de f(x) é!
, ois
=ostuma&se c$amar a oera%o de antideriva%o
tamém or integra%o e a antideriada de integral*
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Antiderivação e Integração Todas as integrais indefinidas devem ter o complemento
“ +C ” em sua solução pois muitas funções têm a mesma
derivada;
A integral indefinida é aquela para a qual não foi definida
um intervalo de valores, portanto, ela é uma função ou
família de funções;
A integral definida é aquela definida dentro de um certo
intervalo e calculada neste intervalo, portanto, ela é um
número.
>ntegral >ndenida
l d id
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Integral Indefinida A oera%o +ue envolve uma integral indenida consiste
em ac$ar sua rimitiva, ou se0a, é a mesma oera%o +ueconsiste em ac$ar uma antiderivada* O +ue muda entoS
A nota%o Para denotar a integral de uma fun%o assaremos a
utiliar a seguinte nota%o!
e0a * 3ma rimitiva de f é!
Pois * Assim, a nova nota%o estaelece +ue!
2)( x x f = C x x F += 3
3
1)(
)()(' x f x F =
c x F dx x f +=∫ )()(
>ntegral >ndenida
> t l > d id
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-xemlo A integral de é!2
)( x x f = C x
dx x +=∫ 3
32
>ntegral >ndenida
x x f sen)( = C x xdx +−=
∫ cossen
A integral de é!
xe x f =)( C edxe x x +=∫
A integral de é!
x x f cos)( = C x xdx +=∫ sencos A integral de é!
> l > d id
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utro !"emplo
A função é uma primitiva da função
f#"$ % cos&", pois .
'a(endo,
)ão é uma tarefa muito f*cil encontrar a primitiva de
certas funções, mas e"istem métodos para isto e iremos
aprender alguns deles.
C x x F += 2sen2
1)(
)(2cos02cos2.2
1)(' x f x x x F ==+=
C x xdx +=
∫ 2sen
2
12cos
>ntegral >ndenida
> t l > d id
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Definição simbólica +e F(x) é uma primitiva de f(x), a e"pressão F(x) + C
é camada integral indefinida da função f(x) e érepresentada pela e"pressão-
símolo /dx0 que aparece na f1rmula serve para
identificar a vari*vel sore a qual se processa aintegração.
∫ += C x F dx x f )()(
>ntegral >ndenida
> l > d id
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!"emplo
+ignifica que a operação de integração incide sore avari*vel /x0.
+ignifica que a operação de integração incide sore avari*vel /y0.
dx x∫ 2
dy y x∫ 32.
>ntegral >ndenida
>ntegral >ndenida
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Integral de uma função constante 2ma primitiva de uma função constante f(x) !, é a
função linear F(x) !"x, pois F#(x) (!"x)# !.
3ogo-
!"emplo
C xk dxk +=∫ ..
C xdx +=∫ .5.5
>ntegral >ndenida
> t l > d id
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Integral de uma função $ot%ncia
+e4a, por e"emplo, f#"$ % "5.
2ma primitiva de f#"$ é pois '6#"$ % "5.
3ogo-
7ortanto, uma primitiva da função f#"$ % "n, com
n ≠ 89, é a função
:
: x x F =)(
C n xdx x
nn +
+=
+
∫ 1.
1
C x
dx x +=∫ :
:
5
1)(
1
+=
+
n
x x F
n
>ntegral >ndenida
> t l > d id
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Caso es$ecial de Integral de uma função $ot%ncia +e4a, por e"emplo, f(x) x&' 'x.
2ma primitiva de f(x) 'x é a função F(x) lnx,portanto-
C xdx
x
+=∫ ln1
>ntegral >ndenida
> t l > d id
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Integral de un*+o exponencial
Integrais de un*,es trigono-.tricas
C edxe x x +=∫
C x xdx +=∫ sencos
C x xdx +−=
∫ cossen
C tgx xdx +=∫ 2sec
>ntegral >ndenida
C xdxtgx x +=∫ sec..sec
C gxdx x +=
∫ cot.seccos &
C xdx gx x +=∫ seccos.cot.seccos
>ntegral >ndenida
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Integral das un*,es inersas
C xdx x
+=−
∫ arcsen.1
1
2
C arctgxdx x
+=+∫ .
1
12
>ntegral >ndenida
> t l > d id
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*ro$riedades
Integral da soma
!"emplo
∫ ∫ ∫ +=+ dx x g dx x f dx x g x f )()()].()([
∫ ∫ ∫ ∫ ++=++ dx xdxdx xdx x x 4)4( 22
3
3 x
2
2 x x48 8 8 =
>ntegral >ndenida
>ntegral >ndenida
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*ro$riedades Integral da diferença
!"emplo
∫ ∫ ∫ −=− dx x g dx x f dx x g x f )()()].()([
∫ ∫ ∫ −=− dx xdx xdx x x 2424 )(
5
5 x
3
3 x& 8 =
>ntegral >ndenida
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>ntegral >ndenida
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/i0liografa utiliada lemming, D* #* X Con%alves, #* 5* C$lculo A* Person
-ducation* o Paulo, 1BB2* Adounur, O* Y* X ZariWi, * #atem'tica Alicada* araiva*
o Paulo, 2LL* te[art, Y* C$lculo% &olume '* "$omson* o Paulo, 2LL* Priestley, * #* Calculus A *istorical Approac*
ringer&\erlag* ?e[ ]orW, 1BKB* -ves, Z* Foudatios ad Fudametal Cocepts o,
atematics* Dover, 1BBL*
>ntegral >ndenida
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