Tema 2. La integral indefinida

MATEMÁTICA II. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 1: LA INTEGRAL

INDEFINIDA.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 2. La integral indefinida.

Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática II (Cálculo integral) para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática II en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



2.1.- ANTIDERIVADAS (O PRIMITIVAS).

Definición 2.1.

Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo I si )()( xfxF

para todo valor de x en I.

En otras palabras, dada la derivada de una función, hallar tal función.

Esta operación de determinar la función original a partir de su derivada es la operación

inversa de la derivación y la llamaremos cálculo de antiderivadas.

Es importante hacer notar que si )(xF es una antiderivada de )(xf , también lo es

automáticamente CxF )( (donde C es cualquier constante). Ya que si

)()]([ xfxFxd

d

Entonces también es cierto que

)(])([ xfCxFxd

d

Teorema 2.1.

Si F y G tienen idéntica derivada sobre un intervalo abierto, entonces CxGxF )()(

sobre ese intervalo. Es decir, cualesquiera dos antiderivadas de una función difieren a lo

sumo en una constante.

La operación de antiderivación es una operación lineal, esto es:

])([ daAntideriva])([ daAntideriva])()([ daAntideriva xgxfxgxf

En los ejercicios siguientes, encuentre una antiderivada )(xF para cada función dada.

Verifique el resultado calculando la derivada de la respuesta.

1. 3612)( 23 xxxf 2. 2)( xxf

3. 4

5)(

xxf 4.

4

1321)(

32

xxxxf

5. 76

6)(

3

3

x

xxf 6. 532)( 2 xxxf , 3)1( F

7. 2

1

)(

xxf , Si 2)0( F 8. 3

1

2

1

)( xxxf , 4)1( F



9. 3

4

4

3)( xxf , 2)1( F 10. xxxf sen 4cos5)(

11. x

xxf

2cos

sen )( 12.

x

xxf

2sen

cos)(

13. xxxxf 2sec2cotcsc4)( 14. xxxxf tansec5csc3)( 2

15. xxxf 22 tan3cot2)( 16. x

xxxf

cos

cos4tan3)(

2

17. Demuestre que las funciones: x

xF

1

1)(1 y

x

xxF

1)(2 son ambas primitivas de

2)1(

1)(

xxf

El proceso de cálculo de primitivas se suele denominar integración y se denota por el

símbolo llamado signo integral. El símbolo xdxf )( se llama la integral indefinida

de )(xf . Más en detalle, si )()( xfxF para todo x, entonces CxFxdxf )()(

donde )(xf se llama integrando y C constante de integración.

La diferencial xd en la integral indefinida identifica la variable de integración.

La naturaleza inversa de las operaciones de integración y derivación puede simbolizarse

así:

)(])([ xfxdxfxd

d Cxfxdxf )()(

2.2.- REGLAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN.

1.- Cxxd

2.- xdxfaxdxfa )()( , a es una constante.

3.- xdxgxdxfxdxgxf )()()()([

4.- Cn

xxdx

nn

1

1

, 1n

5.- Cxx

xd ln



Integrales de funciones algebraicas.

Se usarán con frecuencia las reglas básicas de integración sin citarlas explícitamente, e

incluso muchas veces se utilizarán varias de ellas en un cierto paso del cálculo con objeto

de abreviar la resolución de un problema.

Calcular integrales se convertirá de ahora en adelante en un proceso determinístico, en base

a las reglas elementales dadas. Se pueden hacer operaciones matemáticas (factorización,

desarrollo de productos notables, simplificación, etc) en el integrando para convertirlo en

una forma matemáticamente equivalente que permita resolver la integral aplicando las

reglas básicas.

Es importante resaltar que varias operaciones matemáticas pueden ser realizadas sobre el

integrando de manera simultánea.

Calcular las siguientes integrales:

1. xdx3 2 2. xdx

xx

4 3.

xd

x

x

1

12

4. xdxx )( 32 5.

xd

xx1

5223

6. xdx

xn

n

21 , 1n

7. xdxxx )7( 5 823 2 8.

xd

xxx 3

412

9. xdxxx

3 2

23

42

10.

xdx

xxx 4

1

7442

11.

udu

uu 32

12.

xda

xaax

13. x

td

t

txxt2

14.

xd

xx

x 13 2

15.

xdx

xx2

32 23

16.

xdx

x

3

2)52( 17. xdx 32 )1( 18. xdxx 33 )1(

19. xdx

xx

)2()1(

Integrales de funciones trigonométricas.

Cxxdx cossen Cxxdx sen cos

Cxxdx )(seclntan Cxxdx )(csclncot



Cxxxdx )tan(seclnsec Cxxxdx )cot(csclncsc

Cxxdxx sectansec Cxxdxx csccotcsc

Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc2


20. udusec 21. vdvcot 22. xdxxx )tan(secsec

23. xdx

x2cos

sen 24. x

xd

sen1

25. x

xd

cos1

26. x

xdx

cos1

sen

27.

xd

x

x2

2

sen

tan1

28.

xd

x

kx2

2

sen

sen

29.

xdx

xk2

2

cos

1cos 30.

xdxx 52sen])2(cos1[

2.3.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLES.


Hasta ahora se han ilustrado situaciones en las cuales al operar matemáticamente el

integrando se ha logrado reducirlo a expresiones que son integrables en forma inmediata

con el uso de las reglas básicas de integración. En lo sucesivo se mostrará un procedimiento

conocido como integración por cambio de variables, en las cuales es necesario definir una

nueva variable y escribir el integrando en función de dicha nueva variable. De esta manera

la integral se reduce mediante operaciones matemáticas y se lleva a las formas básicas de

integración ya discutidas.


1. xdxx 32 )3( 2. xdxx 102 )2( 3. xdxx 21

4. xdxxx )21()( 32 5.

xd

xx 2

111 6.

32 )21( x

xdx

7. xdx3 31 8. 5 3)( xba

xd 9.

222 xba

xdx

10.

xdxa

xb544

33

)1( 11. xdxx 2349 12. xdxx 53 54



13.

xdx

x4

3

11

14. 3)1( xx

xd 15. 5)3( xx

xd

16. xdx

x

1 17.

xx

xd

1 18.

xd

x

x 2

3

)1(

19.

xdx

x31 20.

xd

x

x

3 2

5)2( 3

1

21. 53 4

3

)1( x

xdx

22. xdx

x

3

2

31 23.

2

31

1x

xd

x 24. xd

xx

11

12

25. 23

11

x

xd

x 26.

td

t

bab

t

a25

27. xdxxx 1

28.

xd

x

x

xx

2

2 11 3

5

29.

xd

xx

x

x23

3 12 30.

d

8

2

2

3

11

31. 266 x

xd 32.

22

)1(

2 xx

xdx 33.

xd

xx

x

32

)32(

12

34.

14

)2(2 xx

xdx 35.

xx

xdx

3

)32(

2 36.

xx

xdx

6

)3(2

37. xdxxxx )510( 324 38.

224

2

)123(

)13(

xx

xdxx

39.

2

1

)310(

)4(

25

3

tt

tdtt 40. ydyy 42

41.

xd

x

xx

1

)12( 5

12

42. xdxx 14)1( 43. xdxx 8

21 )3( 44. 7)1(

2

x

xdx

45. 2

3

)( bxa

xdx 46. xdxx 2

5

)3( 47. 4

2

)81(

4

x

xdx

48.

xd

x

x4

2

)1(

3 49. xdxx 12 50. 1

2

x

xdx

51. 12

3

x

xdx 52. xdxx 322 53.

xdxx 2

3

)31(2



54. xdxx 13 55.

xdx

x

13

7

56. 15

13

x

xdx

57. xdxx 2038 )1(5 58. xdxx 32 31

)12( 59. 3

1

)61( 2

3

x

xdx

60. tdtt 32 3

1

)21( 61. xdxx 323 62. xdxx 32 23

63.

xdx

x

2

3

)4( 2

3

64.

xdx

x2

3

21 65.

xd

xa

xxa

23

)(

)2(22

322

66.

xd

xx

2

3

2

113 67. xdxx 23 )1(3 68.

3 2)9(

)3(

x

xdx

69. xdxx 1)2( 70. xdxx 12 71. xdxx )12(1)12(

72. 322 )1(1 xx

xdx 73.

xd

x

xx10

523

3

)54( 74. xdx 32

75. xdx12 76. 42 x

xdx



1. )2(sec x

xd 2. xdx )42(sen 3. xdx)23(sec

4. )(sen2 bxa

xd 5. xdxxx )]7(sec5cotcsc7[ 2

6. xdxx )(sen6 32 7. xdxx 67 )103(sen 8. xdxxx 332 csccot

9. xdx

xsen 10.

x

xdx2csc 11.

x

xdxx cos1sen

12. 2

1

cossen

x

xdxx 13. xd

xx

x

sec

sen 14. xd

x

xx2

4

sencot

15.

d

2sen

2

16.

xdx

x

)(csc

)(sec1

31

312

17. 2)cossen( xx

xd

18.

xdx

xx

3sen

3cot3tan 19. xd

x

x 3csc

3sec5

20. xdxxcossen2



21.

)(sen

)(cos1

212

21

x

x 22. xdxx 5)sen 2(cos 23.

xd

x

x

1sen2

cos

24. xdxx cos)(sen 3

2

25. 3 2 )(sen

)(cos

x

xdx 26. xdxx )cos()(sen

213

212

27. xdx

x3cos3

sen2

28. 3 4 )3(cos

)3(sen

x

xdx 29.

xd

x

b

x

b

xsen 66cos

52

30. xdxx 2sectan 31. x

xdx

2costan 32. x

xdx2cos

tan

33. 1tancos2 xx

xd 34.

xd

x

x2cos

1tan 35.

xd

x

x

csc

cos1

36. x

xdx

csc

)(cossen 37.

3)cos(

)sen1(

xx

xdx 38.

32 )sen2sen41(

cos)sen1(

xx

xdxx

39. xdxx )(sen)(cot2

1

2

1 40. xdx

x

2csc

sen5 2

41. 523 )sec1(cos

sen

xx

xdx

42. dtansec3 43.

)1(cos

)1(sen33

32

x

xdxx 44. )3(sen

)3(cot2 x

xdx

45.

xdx

x2sen1

2sen 46.

x

xdx

2cos1

2sen 47.

5 2sen23

)2(sen

x

xdx

48. xdxx )tan3cot2( 22 49. d2

)2cot2(csc 50.

x

xdx

1tan 2

2

51. td

t

tt

5sen 3

cossen 52.

xdx

x

)cos1(

sen 3

53. x

xdx

tan1

sec4

54. xdx2cos 55. xdxxx )(cos)48( 22

56. 1cotcot1

csc2

xx

xdx 57.

1sen)tansen (sec

sen

2

3

xxxx

xdx

58. xx

xd

3cos3sen 59.

xd

xx

2

2cos

1

2sen

2 60.

xd

x

x

2sen

)2(tan 3

61. xdx3cos1

2.4.- INTEGRALES DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS.

a) Integrales que contienen seno y coseno.

i.- Si la potencia del seno es impar y positiva:



a) Reservar un factor seno.

xdxxxxdxx nknk

Reservado

212 )sen (cossencossen

ParImpar

b) Expresar el seno de potencia par resultante como una potencia de seno cuadrado.

xdxxxxdxx nknk

)sen (cos)sen(cossen 212

Impar

c) Convertir el seno cuadrado en coseno cuadrado.

xdxxxxdxxxxdxx nknknk )sen (cos)cos1()sen (cos)(sencossen 2

cosenoen Convertir

212

Impar

d) Aplicar el cambio de variable xz cos , con lo cual xdxzd sen ; después desarrollar

e integrar.

ii.- Si la potencia del coseno es impar y positiva:

a) Reservar un factor coseno.

xdxxxxdxx kmkm

Reservado

212 )(coscossencossen

ParImpar

b) Expresar el coseno de potencia par resultante como una potencia de coseno cuadrado.

xdxxxxdxx kmkm

)(cos)(cossencossen 212

Impar

c) Convertir el coseno cuadrado en seno cuadrado.

xdxxxxdxxxxdxx kmkmkm

)(cos)sen1(sen)(cos)(cossencossen 2

senoen Convertir

212

Impar

d) Aplicar el cambio de variable xz sen , con lo cual xdxzd cos ; después desarrollar e

integrar.

iii.- Si las potencias de ambos, seno y coseno, son impares, positivas y diferentes, aplicar i

ó ii al de la menor potencia. Si se aplica el procedimiento al de la mayor potencia, también

se obtiene el resultado de la integral, pero con mayor cantidad de operaciones.



iv.- Si las potencias de ambos, seno y coseno, son pares, positivas y diferentes, usar

repetidamente las identidades )2cos1(sen2

12 )2cos1(cos2

12

v.- Si las potencias de ambos, seno y coseno, son positivas e iguales, usar la identidad

xxx 2sencossen 2

1

Si las potencias de ambos, seno y coseno son impares e iguales, también funciona

indistintamente i ó ii con igual cantidad de operaciones.

Si las potencias de ambos, seno y coseno son pares e iguales, también funciona iv, pero con

mayor cantidad de operaciones.

vi.- Si no ocurre ninguna de las cinco situaciones precedentes, intentar reescribir el

integrando en términos de secantes y tangentes ó cosecantes y cotangentes.


1. xdxx 23 cossen 2. d)3(cos)3(sen 43 3. xdxx )(cos)(sen 215

213

4. xdx5sen 5. xdxx )2(cos)2(sen 25 6. xdxx 35 cossen

7. xdxx 75 cossen 8. xdxx 35 cossen 9. xdx3cos

10. xdxx 32 cossen 11. d)4(sen)4(cos 43 12. x

xdx2

3

sen

cos

13. xdxx 43 csccos 14. x

xdx3

5

sen

cos 15. xdxx 22sen

16. xdx4sen 17. xdx3sen 4 18. xdx4cos

19. xdxx 22 cossen 20. xdxx 42 cossen 21. xdxx 24 cossen

22. xdxx 2cos2sen 24 23. xdx

x4

4

sec

sen 24. xdx)3(sen6

25. xdx)3(cos6 26. d2)cos2(sen 27. x

xdx2

4

cos

sen

28. xdx

x4

2

sen

cos 29. x

xdx6

2

sen

cos 30. x

xd6cos

31. x

xd5sen

32. Hallar: d22 cossen . (Usando cossen22sen )



33. Hallar:

cos1

d. [Usando

2

cos1)(cos

212

]

b) Integrales que contienen secante y tangente.

i.- Si existen factores secante y la potencia de la tangente es impar y positiva:

a) Reservar un factor secante por tangente.

xdxxxxxdxx kmkm

Reservado

2112 )tan(sectansectansec

impar

b) Expresar la tangente de potencia par resultante como una potencia de tangente cuadrado.

xdxxxxxdxx kmkm

)tan(sec)(tansectansec 2112

impar

c) Convertir la tangente cuadrado a secante cuadrado.

xdxxxxxdxxxxxdxx kmkmkm )tan(sec)1(secsec)tan(sec)(tansectansec 21

secanteen Convertir

2112

impar

Si además, la potencia de la secante es par, positiva y de potencia menor a la potencia de la

tangente, aplicar ii, la cual conduce a menor cantidad de operaciones.

d) Aplicar el cambio de variable xz sec , con lo cual xdxxzd tansec . A

continuación, desarrollar e integrar.

ii.- Si la potencia de la secante es par y positiva:

a) Reservar un factor secante cuadrado.

xdxxxxdxx nknk

Reservado

2222 )(sectansectansec

par

b) Expresar la secante de potencia par resultante como una potencia de secante cuadrado.

xdxxxxdxx nknk

)(sectan)(sectansec 2122

par

c) Convertir la secante cuadrado en tangente cuadrado.

xdxxxxdxxxxdxx nknknk )(sectan)tan1()(sectan)(sectansec 21221

een tangentConvertir

22

par



d) Aplicar el cambio de variable xz tan , con lo cual xdxzd 2sec . A continuación,

desarrollar e integrar.

Si existen factores tangente y la potencia de la tangente es impar, positiva y de potencia

menor a la potencia de la secante, aplicar i, la cual conduce a menor cantidad de

operaciones.

iii.- Si no hay factores secante y la potencia de la tangente es par y positiva:

a) Reservar un factor tangente cuadrado.

xdxxxdx nn

Reservado

22 )(tantantan

b) Convertir el factor x2tan reservado en secantes.

xdxxxdx nn

)1(sectantan 22

c) Distribuir y separar en dos integrales.

xdxxdxxxdx nnn 222 tan)(sectantan

De las dos integrales resultantes, la primera se resuelve aplicando el cambio de variable

xz tan , con lo cual xdxzd 2sec , mientras que para la segunda, se debe repetir el

proceso si fuese necesario.

iv.- Si no hay factores tangente y la potencia de la secante es impar y positiva, aplicar

integración por partes.

xdxxxd kk )(secsecsec 21212 . xu k 12sec , xdxvd 2sec

La integral por partes resultante es cíclica.

v.- Si no ocurre ninguna de las cuatro situaciones precedentes, intentar reescribir el

integrando en términos de senos y cosenos ó cosecantes y cotangentes.


34. xdxx )3(tan)3(sec 22 35. xdx)2(sec4 36. xdxx 34 tansec

37. xdxx 46 sectan 38. xdx)4(sec6 39. xdxx )2(tan)2(sec 26

40. xdxx )3(tan)3(sec 26 41. xdxx 3tansec 42. xdxx 35 sectan

43. xdx)4(tan2 44. xdx4tan 45. xdx6tan



46. xdx5sec 47. xdx)3(sec5 48. xdx3tan

49. xdxx )](tan)([tan 314

313

c) Integrales que contienen cosecante y cotangente.

i.- Si existen factores cosecante y la potencia de la cotangente es impar y positiva:

a) Reservar un factor cosecante por cotangente.

xdxxxxxdx kmkm

Reservado

2112 )cot(csccotcsccotcsc

impar

b) Expresar la cotangente de potencia par resultante como una potencia de cotangente

cuadrado.

xdxxxxxdxx kmkm

)cot(csc)(cotcsccotcsc 2112

impar

c) Convertir la cotangente cuadrado a cosecante cuadrado.

xdxxxxxdxxxxxdxx kmkmkm )cot(csc)1(csccsc)cot(csc)(cotcsccotcsc 21

secante coenConvertir

2112

impar

Si además, la potencia de la cosecante es par, positiva y de potencia menor a la potencia de

la cotangente, aplicar ii, la cual conduce a menor cantidad de operaciones.

d) Aplicar el cambio de variable xz csc , con lo cual xdxxzd cotcsc . A

continuación, desarrollar e integrar.

ii.- Si la potencia de la cosecante es par y positiva:

a) Reservar un factor cosecante cuadrado.

xdxxxxdxx nknk

Reservado

2222 )(csccotcsccotcsc

par

b) Expresar la cosecante de potencia par resultante como una potencia de cosecante

cuadrado.

xdxxxxdxx nknk

)(csccot)(csccotcsc 2122

par

c) Convertir la cosecante cuadrado en cotangente cuadrado.



xdxxxxdxxxxdxx knknk )(csccot)cot1()(csccot)(csccotcsc 21221

cotangenteenConvertir

22

par

d) Aplicar el cambio de variable xz cot , con lo cual xdxzd 2csc . A continuación,

desarrollar e integrar.

Si existen factores cotangente y la potencia de la cotangente es impar, positiva y de

potencia menor a la potencia de la cosecante, aplicar i, la cual conduce a menor cantidad de

operaciones.

iii.- Si no hay factores cosecante y la potencia de la cotangente es par y positiva:

a) Reservar un factor cotangente cuadrado.

xdxxxdx nn

Reservado

22 )(cotcotcot

b) Convertir el factor x2cot reservado en cosecantes.

xdxxxdx nn

)1(csccotcot 22

c) Distribuir y separar en dos integrales.

xdxxdxxxdx nnn 222 cot)(csccotcot

De las dos integrales resultantes, la primera se resuelve aplicando el cambio de variable

xz cot , con lo cual xdxzd 2csc , mientras que para la segunda, se debe repetir el

proceso si fuese necesario.

iv.- Si no hay factores cotangente y la potencia de la cosecante es impar y positiva, aplicar


xdxxxd kk )(csccsccsc 21212 . xu k 12csc , xdxvd 2csc

La integral por partes resultante es cíclica.


integrando en términos de senos y cosenos ó secantes y tangentes.



i.- Si la potencia de la cosecante es par y positiva, reservar un factor cosecante cuadrado y

pasar las demás a cotangentes. Aplicar el cambio de variable xz cot , con lo cual

xdxzd 2csc . A continuación, desarrollar e integrar.

xdxxxxdxxxxdxx nknknk )(csccot)(csc)(csccotcsccotcsc 2

scotangenteen Convertir

122222

par

xdxxx nk

)(csccot)cot1( 212 xz cot , xdxzd 2csc

ii.- Si existen factores cosecante y la potencia de la cotangente es impar y positiva, reservar

un factor cosecante por cotangente y pasar los demás a cosecantes. Aplicar el cambio de

variable xz csc , con lo cual xdxxzd cotcsc . A continuación, desarrollar e integrar.

xdxxxxxdxxxxxdxx kmkmkm )cot(csc)(cotcsc)cot(csccotcsccotcsc

cosecantesen Convertir

212112

impar

xdxxxx km

)cot(csc)1(csccsc 21 xz csc , xdxxzd cotcsc

iii.- Si no hay factores cosecante y la potencia de la cotangente es par y positiva, convertir

un factor x2cot en cosecantes. Después desarrollar y repetir el proceso si fuese necesario.

xdxxdxxxdxxxdxxxdx nnnnn

22222

cosecantesen Convertir

22 cot)(csccot)1(csccot)(cotcotcot

iv.- Si no hay factores cotangente y la potencia de la cosecante es impar y positiva, aplicar


xdxxxd kk )(csccsccsc 21212 xu k 12csc , xdxvd 2csc


integrando en términos de senos y cosenos.


50. d23 csccot 51. xdxx )2(csc)2(cot 24 52. xdx4csc

53. d44 csccot 54. xdxxcotcsc3 55. d33 csccot

56. xdxx 2)cottan( 57. d2)cot2(tan 58. xdx4cot

59. xdx3cot



d) Integrales de productos de funciones trigonométricas.

Para resolver integrales de la forma xdxbxa )(sen)(sen , xdxbxa )(cos)(sen y

xdxbxa )(cos)(cos , utilizar las siguientes identidades:

)](cos)([cossen sen 21

)](sen )(sen [cossen 2

1

)](cos)([coscoscos 21

cos)(cos

sen )(sen


60. tdtwtw )(sen )(sen 61. xdxx )7(sen)5(sen

62. xdxx )15(sen )10(sen 63. xdxxx 3sen 2sen sen

64. xdxx )3(cos)2(sen 65. xdxx )5(cos)3(sen

66. xdxx

3

2cos

3sen 67. xdbxabxa )(cos)(cos

68. xdxx )15(cos)10(cos 69. xdxx )(cos)(cos 31

21

70. xdxx 3coscos 2

2.5.- INTEGRALES CUYO INTEGRANDO ES LA DIFERENCIAL DE UNA

FUNCIÓN TRASCENDENTE.

Integrales de funciones trigonométricas inversas.

Calcular las siguientes integrales.

1.

xdx

x2

1

1

cos

2.

xdx

x2

1

44

sen

3.

xdx

x2

1

41

2sen4

4.

xdx

x2

1

41

2tan

Integrales de funciones logarítmicas.


5. x

xdxln 6. xd

x

x 5)(ln 7.

xd

x

x 2)ln2(

8.

xd

x

xx ln 9.

xd

x

xln1 10.

xx

xdx

ln1

ln

11. )(ln 2 xx

xd 12.

xd

x

x

1

)1(ln1 13.

21

1

1sen

senln

xx

xdx



14.

xd

x

x

1

1ln 15.

xd

x

xx2

2

1

1ln 16. xd

xx

x

ln

)(lnln

17.

xd

x

xx2

2

1

)1(ln 18.

xd

xx

xx

)1(

ln)1(ln 19. xd

x

xx2

2

cot

cosln

20. 3 22 )ln1( xx

xd 21.

xd

x

x

)2sen(ln1

2cot2

22.

xd

x

xx2

23

1

)1(ln

23. xxxx

xd

4lnln 232 24. x

xdx)ln(sen

25. x

xdx)(lncos

26. xdx

xlntan

27. xdx

x)(lntan

1

28. xdxx tan)(cosln

29. xdxx )2sen(ln2cot

30. xdxx

x

cossen

)(tanln

Integrales de funciones exponenciales.

0;ln

1 aCa

axda xx Cexde xx

Cea

xde xaxa 1


31. xde x 32.

xde x6 33. xdee xx 23

34. xe

xd 35. xdea xx 36.

xdee

xx

)( 22

37.

xd

ee

x

x 13 38.

xde

ex

x 1 39.

xd

e

ex

x21

40.

x

xx

e

xdee )1( 2

41. xdeex xe )2( 2 42.

xd

ee

x

x

31

43.

xd

e

ae

xa

xa

22

44.

xd

ee

x

x

2

2 1 45.

xdee xx 4)(

46.

xde

ex

x4

4 2 47. xdxx ]1)32[( 2 48. xdx10

49. xdx310 50.

xdba

baxx

xx

51.

xdba

baxx

xx 2)(

52. xdex x2

53. xdex x2

54. xde xx ln2



55. xdex x32 56. xdxx254 57. xdxa x )2(cos)2(sen

58. xdex xtan2sec 59. xd

e

ex

x

2)1( 60. 23

3

)21( x

x

e

xde

61. 2xx ee

xd 62.

ydee

eyy

y

12 24

2

63.

1

1

x

xdax

64.

1

51

x

xdx

65.

x

xdex

52

52

66. xdxa xx )ln1(ln

67. xdx xx )133( 2

10)12( 68. xdxe xx )2(342

69. xdxe xx )12(33 2

70. xdex xx )2( 2

)1( 71. xe

xdxtan

2sec 72. x

xdxe x

2

sec

cos

sen

73. xdeeee xxxx 2424 )](cot[ 74.

xdex

ex

x

)1(ln

ln

75. xdebe xx 322 )3(

76. xdee ax

ax

31

)1( 77. xdee ax

ax 3

1 78. xdebae xx

79. xdee xx4 810 80.

xd

x

ex

1 81.

xd

x

ex

3 2

13

82.

xdx

e x

2

3tan

91

1

83. 1

2

x

x

e

xde 84. xdxln2

85. xdee xx 22 )(csc

86.

xde

eex

xx

2

22 )(tan)(sec

87.

xd

e

ex

x

1

)1(ln3

Integrales de funciones hiperbólicas.

Cxaa

xdxa )(cosh1

)(senh Cxaa

xdxa )(senh1

)(cosh

Cxaa

xdxa )]([coshln1

)(tanh Cxaa

xdxa )](senh[ln1

)(coth

Cxaa

xdxa

)](senh[tan1

)(sech 1 Cxa

xa

axdxa

1)(cosh

1)(coshln

2

1)(csch

Cxaa

xdxaxa )(sech1

)(tanh)(sech

Cxaa

xdxaxa )(csch1

)(coth)(csch

Cxaa

xdxa )(tanh1

)(sech2 Cxaa

xdxa )(coth1

)(csch2




88. xx

xd

coshsenh 89.

x

xdx4cosh

senh 90. xdx3senh

91. xdxxsechtanh3 92.

2

1

1

)tanh(

x

xdxx 93. x

xdx2tanh1

tanh

94. xdxx )(coshln.tanh 95. xdxe x senh 96. xdxe x cosh

97. xdxx 23 coshsenh 98. xx

xdx

coshsenh

cosh 99. xdx2senh

100. xdx2tanh 101. 2

3

)cosh1(

senh

x

xdx 102.

x

xdx)(senh

103.

xd

e

ex

x

1

12

2

104.

xd

ee

eexx

xx

2

2

2.6.- INTEGRALES QUE CONDUCEN A FUNCIONES TRASCENDENTES.

Integrales que conducen a funciones logarítmicas.

Cxx

xd ln Cu

u

ud ln


1. 21 x

xdx 2.

xdx

x21

2 3. 52x

xdx

4. 4

3

74

5

x

xdx 5.

xd

xx

x

32

12

6.

32

2

234

)(

xx

xdxx

7.

xd

x

x

1

13

8.

xd

x

xx

2

)132( 2

9.

xd

x

xx

5

2 2

10.

xd

x

xx

3

223

11.

xd

x

x

52

13 12.

xd

x

x

22

35

13. 2)31(

3

x

xdx 14.

xd

x

xx3

3

)13( 15. xx

xd

)1(

16. xx

xdx

1 17. xx

xd

ln 18. 1x

x

e

xde

19. x

x

e

xde

4 20. x

x

e

xde

4 21.

xde

ex

x

43

22. xd

e

ex

x

2

2

2 23. xb

xb

ea

xde 24.

x

x

e

xde

1



25. xe

xd

1 26. 1xe

xd 27.

xd

e

ex

x

1

12

2

28.

xd

ee

eexx

xx

2

2

29. )3( xx ee

xd 30.

xx

xx

ee

xdee )(

31. 3

2

x

x

e

xde 32.

xde

ex

x

1

3

33. xd

e

ex

x

23

9

34. )ln1( xx

xd 35. xx

xd

ln 36.

xd

xx

x

)ln1(

)(ln2 2

37. )](ln[lnln xxx

xd 38.

xd

xx

x

ln

1ln 39. xx

xdx

4ln

2ln

40. )1(ln1 22 xxx

xd 41.

2)1(ln

)2(ln

xx

xdx 42.

x

x

ex

xdxe

tan

)sec( 2

43. xx

xdx

cossen

sec

44. x

xdx

tan2

sec2

45.

xdx

x

1sec

sec2

2

46.

xdx

x

xxsen

5cos

3cos2cos2

Integrales que conducen a funciones trigonométricas inversas.

Ca

u

ua

ud

1

22sen C

a

u

aauu

ud

1

22sec

1

Ca

u

aud

au

1

22tan

11


47. 221 xa

xd 48.

249 x

xd 49.

252 x

xd

50. 2

1

)57( 2x

xd 51.

4916 x

xdx 52.

xd

x

x432

53. 2)2(4 x

xd 54.

6

2

1 x

xdx 55.

6

2

99 x

xdx

56. 2

1

])(ln1[ 2xx

xd 57.

xx

xd2ln1

58. x

x

e

xde

21

59. x

xdx2sen9

cos 60.

22 xx

xd 61.

22 xx

xd



62. 2412 xx

xd 63.

2820 xx

xd 64.

562 xx

xd

65. xx

xd

32 66.

xd

xx

x22

1 67.

224

)2(

xx

xdx

68.

54

)3(2 xx

xdx 69.

xd

xx

x

8412

322

70.

242

)1(

xx

xdx

71.

34

)3(2 xx

xdx 72.

223

)23(

xx

xdx 73.

xxx

xdx2lnln41

ln

74.

xdxxx

x

sen sen 42sen

cos 75.

xd

ee

eexx

xx

8412

452

2

76. 14 2xx

xd 77.

94 2xx

xd 78.

12 2xx

xd

79. 443 2xx

xd 80.

142 xx

xdx 81.

64coscos

sen

2 xx

xdx

82. 2

1

)(cos

tan

412 x

xdx 83.

5sen

cot2 x

xdx 84.

1xx

xd

85. 252 xe

xd 86.

1xe

xd 87.

xxx

xd

2)1( 2

88. 21

4

x

xd 89.

22 )( nxm

xd 90.

34x

xdx

91. 44 bx

xdxa 92.

256

2

x

xdx 93.

xdx

x

18

3

94. x

xdx2sen1

cos 95.

412cos

sen

x

xdx 96. 1cos

sen 2 x

xdx

97. )3(ctg25

)3(csc2

2

x

xdx 98. x

xdxx2sec5

tansec 99.

x

xdxx2sec49

tgsec

100. x

xdxx4sen1

cossen 101.

)2(sen1

)4(sen24 x

xdx 102. ])(ln1[ 2xx

xd

103. xxx

xd2ln

104. x

x

e

xde21

105. x

x

a

xda21

106. )1( xx

xd 107.

19 2

2

x

xdx 108.

xdx

x

1



109.

1

)343(2

23

x

xdxxx 110.

xd

x

x

1

12

111.

xd

xx

x

)1(

)1(2

2

112.

xdx

xxe x

1

1)1(ln2

2tan 1

113. 522 xx

xd 114.

1022 xx

xd

115. 244 2 xx

xd 116.

30102 yy

yd 117.

32

)12(2 xx

xdx

118. 136

22 xx

xdx 119. 1182 2 xx

xdx 120.

xdxx

x

522

2

121.

xd

xx

xxx

84

1842

23

122. 32 xx

x

ee

xde 123.

xdee

exx

x

842

2

124. xd

xx

x

6

Integrales que conducen a funciones hiperbólicas inversas.

Ca

u

au

ud

1

22senh C

a

u

au

ud

1

22cosh

Ca

u

auau

ud

1

22sech

1 C

a

u

aauu

ud

1

22csch

1

auC

a

u

a

auCa

u

audua si ,coth

1

si ,tanh1

1

1

1

22

auC

a

u

a

auCa

u

audau si ,coth

1

si ,tanh1

1

1

1

22


125. 92x

xd 126.

241 x

xd 127.

x

xdx

2sen1

cos

128. x

x

e

xde

21 129.

1362 xx

xd 130.

2

1

)(cos

tan

412 x

xdx

131. 24 xx

xd 132.

56

3

24 xx

xdx 133.

14x

xdx

134. 142 xx

xd 135.

54)42( 2 xxx

xd 136.

294 x

xd

137. 169 2x

xd 138. 6

2

5 x

xdx 139.

242 xx

xd



140. xx ee

xd 141.

xd

ee

eexx

xx

2

2

2.7.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES.

Ecuación diferencial. Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más

variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es

una ecuación diferencial.

Tipos de ecuaciones diferenciales.

Ecuación diferencial ordinaria: Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o

más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se

dice que es una ecuación diferencial ordinaria.

Ecuación diferencial parcial: Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o

más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación

diferencial parcial.

Orden de una ecuación diferencial. El orden de la más alta derivada en una ecuación

diferencial se llama orden de la ecuación.

Grado de una ecuación diferencial. El grado de una ecuación diferencial es la potencia

más alta a la que está elevada la derivada de mayor orden (siempre que la ecuación esté

escrita en forma polinómica en cuanto a las derivadas y a la variable dependiente).

Solución de una ecuación diferencial. Se dice que una función f cualquiera, definida en

algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en

dicha ecuación la reduce a una identidad.

Solución trivial. A una solución de una ecuación diferencial que es idéntica a cero en un

intervalo I, se le denomina a menudo solución trivial.

Solución general. Una solución que contiene una o más constantes arbitrarias, se denomina

solución general de una ecuación diferencial dada.

Solución particular. Una solución particular de una ecuación diferencial es toda solución

obtenida asignando valores específicos a las constantes que intervienen en la solución

general (El valor de la constante se obtiene a través de condiciones iniciales).



Solución singular. Solución que no es posible obtener a partir de la solución general

asignando valores a las constantes arbitrarias.

Solución explícita. Una solución explícita de una ecuación diferencial es una función de la

forma )(xfy ó )(yfx .

Solución implícita. Se dice que una relación CyxF ),( (C es una constante arbitraria)

define implícitamente una ecuación diferencial en un intervalo I, si define una o más

soluciones explícitas en I.

Variables separables. Se dice que una ecuación diferencial de la forma )(

)(

yh

xg

xd

yd es

separable o que tiene variables separables.

Separación de variables. Se dice que una ecuación diferencial de la forma ),( yxFxd

yd

es separable o que tiene variables separables si la función ),( yxF se puede escribir como

el producto de una función de “x” y una función de “y”. Es decir: )()( yhxgxd

yd . Si la

ecuación de primer orden ),( yxFxd

yd puede escribirse con variables separadas en la

forma diferencial xdxgydyh )()( siendo h y g continuas, entonces la solución general

es Cxdxgydyh )()( siendo C una constante arbitraria.

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. xdxydy 2)2()3( 2. 04 xdxydy

3. 0)1(2 ydxyxdx 4. 04 2 xdxydx

5. 0)1()1( 32223 xdyxydxy 6. ydy

xxd

3

7. xxxd

yd

2

1 8. 02 2 yx

xd

yd



9. y

x

xd

yd

3

)2( 2

10. y

yx

xd

yd213

11. 12

1

xxd

yd 12. )4(25 xy

xd

ydx

13. 2

3

)1( 22 yxd

ydyx 14.

2

2 3

y

xxy

15. 423 )1(2 yyyx 16.

2

54

32

x

yy

17. 3

3

2

2

2

2

yy

xy 18.

yy

xyxxy

34

]4812[

19. x

y

xd

yd2

2

sen

cos 20. 0)1(csc)13(sec 22 xdyydxy

21. tdxttxd 22 sec)1( 22. xy 2cot

23. 02sec2tan 22 xyy 24. )(2cos)(2cos2csc yxyxyy

25.

2sen

2sen

yxyxy

26. 643 2 tttd

vd

27. 3)12( t

td

Sd

28. 21 )2( tt

td

yd; 0t

Problemas de valor inicial.


29. )41(3 2xxd

yd , si 0)(

21 y 30. 2

1

)2(

xxd

yd, con 1)2( y

31. 2

1

)9( 2

x

x

xd

yd, con 2)4( y 32.

32 )1(4 x

x

xd

yd

, dado:

1

0

x

y

33. 01322 xdyydyx , 0)1( f 34. yxyx

xyyxy

x

y

428

33

4

3

, 2)1( f

35. 222

122

3

xyyx

xdyd

x

y, 2)1( f

36. 221

2 22

5

yxyx

xd

yd

x

y, 1)2( f



37. Demuestre que la solución particular de la ecuación diferencial ykxd

yd ; 0)0( yy

está dada por: 2

02

1 )( yxky .

38. Demuestre que la solución particular de la ecuación diferencial 2Pktd

Pd , con

0)0( PP donde k es una constante positiva, está dada por: tPk

PtP

0

0

1)(

.

39. Demostrar que la solución particular de la ecuación diferencial 2vk

td

vd ; con

40)0( v , donde k es una constante positiva es: tk

v401

40

.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Fórmulas importantes:

xd

yd

xd

d

xd

yd2

2

Cxd

yd

xd

ydd


40. 22

2

xxd

yd 41. 15 2

2

2

xxd

yd 42. 32

2

2

xxd

yd

43. 32

2

13 xxd

yd 44. )3(sen9

2

2

xxd

yd 45. xx

xd

yd3cos3sen

2

2


46. 122

2

xxd

yd, dado:

1

1

21

y

x

y

47. 32

2

13 xxd

yd, dado:

2

3

5

y

x

y

48. 0342

2

xxd

yd, dado:

3

1

1

y

x

y

49. 34)( xxf , 2)1( f , 3)1( f

50. xxf 2cos)( 2 si 2)( f , 1)( 2 f

Hallar las funciones )(xfy , que satisfacen las condiciones dadas:

51. 2)( xf ; 5)2( f ; 10)2( f 52. 23)( xxf ; 6)0( f ; 3)0( f



53. 2

3

)(

xxf ; 2)4( f ; 0)0( f 54. 2

3

)(

xxf ; 2)1( f ; 4)9( f

55. 14)( xxf ; 2)2( f ; 3)1( f

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

2.1.- ANTIDERIVADAS.

1. Cxxx 323 34 2. Cx 1

3. Cx

33

5

4. Cxxx

x 41

22

32ln

5. Cxxx 79 3 4

813 2 6.

6612

233

32 5 xxx

7. )1(2 2

1

x 8. 1231

43

32 3

4

2

3

xx

9. )479( 3

7

281 x 10. Cxx cos4sen 5

11. Cx sec 12. Cx csc

13. Cxx tan2csc4 14. Cxx sec5cot3

15. Cxxx tan3cot2 16. Cxx sen 4sec3

17. Se demuestra.

2.2.- REGLAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN.


1. Cx 35

53 2. Cx 4

9

94

3. Cxx 2

21 4. Cxx 2

211

5. Cxxx 12 5 6. Cxn

xn

nn

1

1

21

7. Cxxx 513

35

1353

37

53 8. Cxxxx 342 1

32 2

123

9. Cxxx 35

21

591 82 10. Cxxxx 4

321

23

25

328

38

52 8

11. Cuu 65

25

56

52 12. Cxax 2

3

322

21

13. Cx

txtxtx

2

342

21 2

323

14. Cxx

21

23

22

15. Cxx

32

33 16. Cxxx 32

67

35

275

7120

512

17. Cxxxx 35

537

71

18. Cxxxx 3

133

1037

34

133

109

79

43

19. Cxxx ln232

21


20. Cuu )tan(secln 21. Cv )(cscln

22. Cxx sectan 23. Cxsec 24. Cxx sectan 25. Cxx csccot



26. Cx )cos1(ln 27. Cxx tancot 28. Cxkx cot 29. Cxxk tan 30. Cx cos

41

2.3.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLES.


1. Cx 42

81 )3( 2. Cx 112

22

1 )2(

3. Cx 23

)1( 2

31 4. Cxx 22

21 )(

5. Cxx 2

211 6. Cx 22

81 )21(

7. Cx 34

)31(41 8. Cxbab 5

2

)(25

9. Cxbab

21

2 )( 2221 10. Cxaa

b

4444

3

)1(16

11. Cx 23

)49( 3

181 12. Cx 2

3

)53( 5

452

13. Cx 23

)1( 3

92 14. C

x

2)1(

1

15. Cx 4

21 )3( 2

1

16. Cx 2

3

2

1

)1(34

17. Cx 21

21

)1(4 18. Cx 25

21

)1(54

19. Cx 23

21

)31(94 20. Cx 6

21 )2( 3

1

21. Cx 4

163 )1( 3

4

22. Cx 34

31

)1(49

23. Cx 41

41 )1( 24. Cx 2

3

)1( 1

32

25. Cx 23

)1(2 1

31 26. Cb

t

a

a

ba

62

6

)(

27. Cx 23

23

)1(94 28. Cxx 3

8

)( 1

83

29. Cxx 23

)( 2

32 30. C 92

181 )1(

31. Cx 21

)66( 2

61 32. Cxx 2

1

)22( 2

33. Cxx 31

)32( 2

23 34. Cxx 2

1

)14( 2

35. Cxx 21

)3(2 2 36. Cxx 21

)6( 2

37. Cxx 23

)( 24

35 38. Cxx 124

41 )123(

39. Ctt 21

)310( 25

52 40. Cy 2

3

)1( 2

31

41. Cx 52

)1(25 42. Cxx 15

15116

161 )1()1(

43. Cxx 9

21

162110

21

901 )3()3( 44. Cxx 6

315

52 )1()1(



45. Cbxabxaa

b

a

21

221

2 )()( 22

46. Cxx 2

729

)3()3( 76

92

47. Cxxx ])81()81()81[( 3

3121

1281

48. Cxxx 3

3221 )1()1()1(

49. Cxxx 23

25

27

)1()1()1( 32

54

72 50. Cxxx 2

123

25

)1(2)1()1( 34

52

51. Cxx 21

23

)1()1( 22

31 52. Cxxx 2

325

27

)32()32()32( 43

103

281

53. Cxxx

21

21

23

)31()31()31( 272

274

812

54. Cxxxx 23

25

27

29

)1()1()1()1( 32

56

76

92

55. Cxxx 21

23

23

23

25

23

)1()1()1( 34

98

154

56. Cxxx 21

25

23

25

25

25

)1()1()1( 54

158

254

57. Cxxx 213

635223

335233

695 )1()1()1(

58. Cxx 34

37

)12()12( 2

3232

563 59. Cxx 3

235

)61()61( 2

4812

1201

60. Ctt 37

34

)21()21( 2

5632

323 61. Cxx 2

325

)3()3( 22

51

62. Cxx 23

25

)32()32( 2

412

201 63. Cxx

21

21

)4(4)4( 22

64. Cxx 23

21

)21()21( 2

1212

41 65. C

xa

axa

21

23

)()(

22

422

31

66. Cxx 25

27

)1()1( 1

21

581

21

78

67. Cxxx 3

437

310

)3(3)3()3( 712

103

68. Cxx 31

34

)9(36)9(43 69. Cxx 2

325

)1(2)1(52

70. Cxx 25

23

)1()1( 52

32 71. Cxx 2

325

)2()2(31

51

72. Cx 21

21

])1(1[2 2 73. Cx 6

721 )54(

74. Cxx 23

21

25

21

])3(2[])3(2[ 98

154

75. Cxxxx 23

21

21

25

21

21

27

21

21

29

21

21

])1(2[])1(2[])1(2[])1(2[ 38

588

748

98

76. Cxxx 23

21

25

21

27

21

])4(2[])4(2[])4(2[ 332

524

74


1. Cx )2(sen2

1

2. Cx )42(cos2

1

3. Cxx )]23(tan)23([secln2

1

4. Cbxaa )(cot1

5. Cxx )7(tancsc7 7

5 6. Cx )(cos2 3

7. Cx )103(cos 7

701

8. Cx 3

31 csc

9. Cx )(cos2 21

10. Cx )(cot2 21

11. Cx 23

)cos1(34

12. Cx 2

12sen



13. Cx )2(cos21

14. Cxxxx )(2sen sen 4cot2 2

1

15. C )(cos 2

21 16. Cxx )(sec3)(cos3 3

131

17. Cxx )2(sec)2(tan 21

21

18. Cxxx 3csc)3tan3(secln 31

31

19. Cx3sec4

121

20. Cx3

31 sen

21. Cxx )(csc2)(cot2 2

121

22. Cx 6

61 )sen 2(

23. Cx 21

)1sen2( 24. Cx 3

5

)(sen5

3

25. Cx 31

)sen(3 26. Cx 35

)]([sen 21

53

27. Cx 2

31 tan

28. Cx

31

)]3([cos

29. Cx

b

b

2

3

sen 669

5

30. Cx 23

)(tan32

31. Cx 23

)(tan32

32. Cx 2

21 tan

33. Cx 21

)1(tan2 34. Cx 23

)1(tan32

35. Cx 2

3

)cos1(32

36. Cx )(coscos

37. Cxx 2

21 )cos(

38. Cxx 22

81 )sen2sen41(

39. Cx 21

)(sen 214

40. Cx 512

)sen (65

41. Cx 42

81 )sec1(

42. C3

31 sec

43. Cx )1(sec 32

6

1

44. Cx )3(cot 2

61

45. Cx 21

)sen1(2 2

46. Cx 21

)cos1(2 2

47. Cx 54

)sen23( 2

85

48. Cxxx tan3cot2

49. C 2csc2cot

50. Cxx

1cot

1

51. Ctt 21

23

)5sen 3()5sen 3( 910

272

52. Cxx )2(coscos 4

1

53. Cxxx 21

23

25

)tan1(4)tan1()tan1( 34

52

54. Cxx ])2(sen2[4

1

55. Cxxxx )22(sen )(2 22

56. Cxx ])1(cot)1[(cot 23

23

31

57. Cx

x

21

)1(sen

1cos2

2

. Observación: Ni esta función, ni el integrando existen en el campo de

los números reales. 1sen, 2 xx , luego 01sen 2 x . Si 01sen 2 x , la raíz

cuadrada no es un número real, mientras que si 01sen 2 x , hay una indeterminación en

ambas funciones. No obstante, el ejercicio cumple una función útil en la aplicación de las

técnicas de integración, y se resuelve aplicando las herramientas de esta sección.



58. Cxx )]6(cot)6([cscln31

59. Cxxxx 2tan)4cot4(cscln22cot221

60. Cxxxx )(tanln4tan6tantan 2

233

61

61. C)(sen 2 23

32 x

2.4.- INTEGRALES DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS.

a) Integrales que contienen seno y coseno.

1. Cxx 5

513

31 coscos 2. C )3(cos)3(cos 7

2115

151

3. Cxx )(cos)(cos218

41

216

31 4. Cxxx 5

513

32 coscoscos

5. Cxxx 2cos2cos2cos 7

1415

513

61

6. Cxx 8

816

61 sensen

7. Cxxx 12

12110

518

81 coscoscos 8. Cxxx 3

163

1034

)(cos)(cos)(cos163

53

43

9. Cxx 3

31 sensen 10. Cxx 5

5

13

3

1 sensen

11. C ])4(sen[)4(sen 2

71

515

41 12. Cxx )sen(csc

13. Cxx csccsc3

31

14. Cxxx )sen (ln2cscsen 2

212

21

15. Cxx 2

812

41 2sen

16. Cxxx 4sen 2sen

321

41

83

17. Cxxx 12sen 6sen

961

121

83 18. Cxxx 4sen2sen

32

1

4

1

8

3

19. Cxx 4sen 321

81 20. Cxxx )2sen4sen ( 3

31

41

161

21. Cxxx 2sen4sen 3

48

1

64

1

16

1

22.- Cxxx 4sen8sen 3

961

1281

161

23.- Cxxx 8sen4sen

5121

641

643

24. Cxxxx ])6(sen)12(sen)6(sen[ 3

18

1

8

1

3

2

2

5

8

1

25. Cxxxx 6sen21sen 6sen 3

1441

641

121

165

26. C 2

4

3

2

5 sen2)2(sen 27. Cxxx )2(sentan 41

23

28. Cx 3

31 cot 29. Cxx 5

513

31 cotcot

30. Cxxx 5

513

32 tantantan 31. C

x

x

x

x

x

2tanln

8

3

sen 8

cos3

sen 4

cos24

32. C 4sen 321

81 33. C)(tan4 2

1

b) Integrales que contienen secante y tangente.

34. Cx )3(tan3

91 35. C ]1)2(tan[)2(tan 2

31

21

36. Cxx 4

416

61 tantan 37. Cxx )tan(tan 7

12

917

38. Cxxx ])4(tan)4(tan[)4(tan 212

314

101

21

39. Cxxx ])2(tan)2(tan[)2(tan 612

514

1413

40. Cxxx ])3(tan)3(tan[)3(tan 312

524

713

31

41. Cxx )1sec(sec 2

31 42. Cxxx )secsec(sec

3

12

5

24

7

13

43. Cxx )4(tan41 44. Cxxx tantan3

31



45. Cxxxx tantantan 3

315

51

46. Cxxxxxx )tan(seclntansectansec 83

833

41

47. Cxxxxxx )]3(tan)3([secln)3(tan)3(sec)3(tan)3(sec 81

813

121

48. Cxx )(coslntan2

21

49. Cxxxxx )][cos(ln3)tan(3)(tan)(tan 31

31

313

312

23

c) Integrales que contienen cosecante y cotangente.

50. C 4

41 cot 51. Cx )2(cot5

101

52. Cxx )cot1(cot 2

31 53. C ]ctg[cot 5

12

715

54. Cx 3

3

1 csc 55. C ]csc[csc 2

51

313

56. Cxx cottan 57. C cot4tan

58. Cxxx cotcot3

31 59. Cxx )sen (lncot 2

21

d) Integrales de productos de funciones trigonométricas.

60. Cw

twt

4

)(2sen

2

cos 61. Cxx )12(sen)2(sen 24

141

62. Cxx 5sen 25sen 101

501 63. Cxxx 2cos4cos6cos

81

161

241

64. Cxx )(cos)5(cos2

1

10

1 65. Cxx 2cos8cos41

161

66. Cxx

cos3

cos21

23 67. C

bx

a

xa

2

2cos

4

)(2sen

68. Cxx )25(sen)5(sen50

1

10

1 69. Cxx )(sen 3)(sen 61

65

53

70. xxx 7sen 5sen sen 181

201

21

2.5.- INTEGRALES CUYO INTEGRANDO ES LA DIFERENCIAL DE UNA

FUNCIÓN TRASCENDENTE.

Integrales de funciones trigonométricas inversas.

1. Cx 21

21 )(cos

2. Cx 2

3

)sen( 1

31

3. Cx 23

)2sen4( 1

31

4. Cx 2

3

)2(tan 1

31

Integrales de funciones logarítmicas.

5. Cx2

2

1 ln 6. Cx6

61 ln

7. Cx 3

31 )ln2( 8. Cxx 2

21 ln2 2

1

9. Cx 23

)ln1(32 10. Cxx 2

123

)ln1(2)ln1(32

11. Cx 1)(ln 12. Cx 23

)]1(ln1[32

13. Cx12

21 senln 14. Cx )1(ln2

15. Cx )1(ln 22

81 16. Cx )(lnln2

21

17. Cx )1(ln 22

41 18. Cxx 2

21 ]ln)1([ln



19. Cx )(cosln 22

41 20. Cx 3

1

)ln21(23

21. Cx 21

)2senln21(21

22. Cxx 2

5

)]1([ln 2

52

23. Cx 21

)4lnln2( 24. Cx )(lncos 25. Cx )(lnsen 26. Cx )](lnln[sec 27. Cx )]ln(ln[sec2

21

28. Cx )(cosln2

21

29. Cx ) 2sen (ln2

41

30. Cx )(tanln2

21

Integrales de funciones exponenciales.

31. Ce x 32. Ce x 6

61

33. Ce x 5

51 34. Ce

x

21

2

35. Ceaa

xx 1ln

1 36. Cee

xx

)(2 22

37. Cee xx 3

31 38. Cex x

39. Cee xx 40. Cexe xx

41. Cexee

x xe

2

21

1

21

42. Ceeee xxxx )(3)( 33

31

43. Ceaxae xaxa

a 22

21 24 44. Ceee xxx 2

214

41 2

45. Cxeeee xxxx 6)(2)( 2244

41 46. Ce x 54

201 )2(

47. Cxxxx 2

3ln21

6ln22

2ln21 362 48. Cx 10

10ln1

49. Cx 3

10ln3

1 10 50. Ca

a

b

b xx

lnln

51. Cxab

x

ab

ba

x

ba

)(ln

)(2

)(ln

)( 52. Ce x

2

2

1

53. Ce x 2

21 54. Cex

2

21

55. Cex 3

31 56. Cx

25

4ln101 4

57. )2(sen

ln21 x

aa 58. Ce x tan

59. Cex 1)1( 60. Ce x 13

61 )21(

61. Cex 1)1( 62. Ce y 12

21 )1(

63. Ca x

a 21

)1(

ln1 64. Cx 2

1

)1(

5ln2 5

65. Ce x 21

)52(

52 66. Ca xx

aln

ln1

67. Cxx )133(

10ln31

2

10

68. Ce xx 34

21

2

69. Ce xx 33

31

2

70. Ce xx )2(

21

2



71. Ce x tan 72. Ce x sec

73. Cee xx )](sen[ln 4

416

61 74. Cx )1(ln2 2

1

75. Ceb x 42

241 )3( 76. Cea a

x

34

)1(43

77. Cea ax

34

)1(43 78. Ceba x

b 23

)(32

79. Cee xx 23

25

)1()1( 2

312

51 80. Cxex 2

121

22

81. Cxex 313

1

33 82. x

e3tan

32

1

21

83. Cee xx 21

23

)1(2)1(32 84. C

x

12ln

12ln

85. Cee xx )](cot)([cscln 22

21

86. Ce x )(sec 2

21

87. Cex )1(ln4

41

Integrales de funciones hiperbólicas.

88. Cxx senhcosh 89. Cx 3

31 )(cosh

90. Cxx coshcosh3

31 91. Cxx 3

31 sechsech

92. Cxx 21

212

21 )(tanh)1(ln 93. Cx2

21 cosh

94. Cx )(coshln2

21 95. Cxe x 2

12

41

96. Cex x 2

41

21 97. Cxx 5

513

31 coshcosh

98. Cxxx 2

21

21

41 cosh2senh 99. Cxx 2

141 2senh

100 Cxx tanh 101. Cx

21

)cosh1(2

102. Cx )(cosh2 21

103. Cx )(coshln

104. Cx )]([coshln221

2.6.- INTEGRALES QUE CONDUCEN A FUNCIONES TRASCENDENTES.

Integrales que conducen a funciones logarítmicas.

1. Cx )1(ln 2

2

1

2. Cx )1(ln 2

3. Cx )5(ln 2

21

4. Cx )74(ln 4

285

5. Cxx )32(ln 2

21

6. Cxx )234(ln 32

61

7. Cxxxx )1(ln23)1()1( 2

233

31

8. Cxxx )2(ln1572

9. Cxxx )5(ln4519)5( 2

10. Cxxxx )3(ln237)3()3( 2

233

31

11. Cxx )52(ln413

23 12. Cxx )1(ln2

5

13. Cxx )31(ln)31( 3

11

31

14. Cxxxx ])13(4)13(6)13(ln33[ 21

811

15. Cx )1(ln2 21

16. Cx )1(ln 23

32



17. Cx )(lnln 18. Ce x )1(ln 19. Ce x )4(ln 20. Cex )4(ln 21. Cex )43(ln4

1

22. Ce x )2(ln 2

21

23. Cea xb

b )(ln1

24. Ce x )1(ln

25. Cex )1(ln 26. Cex x )1(ln

27. Cee xx )(ln 28. Ceexx

)(ln2 2

121

29. Ce x )3(ln 30. Cee xx )(ln 31. Cee xx )3(ln3 32. Ceee xxx )1(ln2)1( 2

21

33. Ceee xxx )2(ln)2( 3

343

3423

61

34. Cx )ln1(ln

35. Cx )(lnln2 36. Cxxx )1(lnln3ln2)ln1( 2

21

37. Cx )](ln[lnln 38. Cxx )(lnlnln

39. Cxx )4(lnln2lnln 40. Cxx )]1([lnln 2

41. Cxx 1)1(ln)1(lnln 42. Cex x )(tanln

43. Cx )1(tanln 44. Cx )tan2(ln

45. Cx )(tanln 46. Cxxx )5(cosln38cos12)5(cos 2

21

Integrales que conducen a funciones trigonométricas inversas.

47. Cxaa )(sen 11 48. Cx )(sen 321

21

49. Cx )(sen 251

5

1 50. Cx )(sen 751

5

1

51. Cx )(sen 2

431

61 52. Cx )(sen 2

231

32

1

53. Cx )1(sen 211 54. Cx )(sen 31

31

55. Cx )(sen 31

91 56. Cx )(lnsen 1

57. Cx )(lnsen 1 58. Cex )(sen 1

59. Cx )sen(sen 311 60. Cx )1(sen 1

61. Cx )(sen 31

321 62. Cx )(sen 2

1411

63. Cx )(sen 32

611 64. Cx )(sen 2

3211

65. Cx )1(sen 321 66. Cxx )1(sen 2])1(1[ 12

1

67. Cx

x

5

1sen])1(5[ 12 2

1

68. Cx

x

3

2sen])2(9[ 12 2

1

69. Cxx )32(sen3])([ 12

23

41 2

1

70. Cxx

2

1

])2(6[6

2sen 21



71. Cxx 21

])2(1[)2(sen 21 72. Cx

x

21

])1(4[22

1sen 21

73. Cx

x

5

2lnsen2])2(ln5[ 12 2

1

74. Cx

2

2sen sen 2 1

75. Cee xx 21

])([2)32(sen 2

23

411

25

76. Cx )2(sec 1 77. Cx )(sec 321

31

78. Cx )2(sec 1 79. Cx1

31 sec

80. Cx )(sec 21

21 81. Cx )cos(sec 8

11

81

82. Cx )cos2(sec2 1 83. Cx )sen(sec5

11

5

1

84. Cx )(sec2 21

1 85. Cex )(sec 5

11

86. CeCexx

)(sen2)(sec2 21

21

11 87. Cx )1(sec 1

88. Cx1tan4 89. Cm

nx

m

1tan1

90. Cx )(tan 2

3

31

6

3 91. C

b

x

b

a

2

21

2tan

2

92. Cx )(tan 3

511

151 93. Cx )(tan 41

41

94. Cx )sen (tan 1 95. Cx )cos2(tan2 -1

96. Cx )(costan 1 97. Cx ])3(cot[tan 511

151

98. Cx

5

sectan 1

5

1 99. Cx )sec(tan 321

61

100. Cx )sen(tan 21

21 101. Cx ])2(sen[tan 21

102. Cx )(lntan 1 103. Cx )(lntan 1

104. Cex )(tan 1 105. Cax

a )(tan 1

ln1

106. Cx )(tan2 21

1 107. Cxx )3(tan 1

271

91

108. Cxx )(tan22 21

21

1 109. Cxxxx 122

23 tan4)1(ln34

110. Cxx 12

21 tan)1(ln 111. Cxx 1tan2ln

112. Cxxe x 122

41tan tan)1(ln

1

113. Cx )(tan 21

211

21

114. Cx )(tan 31

311

31 115. Cx )12(tan 1

21



116. Cy ])5([tan5

11

5

1 117. Cx

x

2

1tan]2)1[(ln 1

2

12

118. Cx

x

2

3tan3]4)3[(ln 12

119. Cx

x

23

1

32

232

41

2tan])2[(ln

120. Cxxx )(tan]4)1[(ln 21

211

232 121. Cxx )1(tan 2

11

212

21

122. Cex ])12([tan11

11

11

2 123. Cee xx )1(tan]4)2[(ln 2112

21

124. Cx

xxx

23

12tan)6ln(2

21

21

21

1

23

11

Integrales que conducen a funciones hiperbólicas inversas.

125. Cx )(senh 31-1 126. Cx )2(senh-1

21

127. Cx )sen (senh-1 128. Cex )(senh 1

129. Cx )(senh 23

211 130. Cx )cos2(csch2 1

131. Cx )(csch 211

21 132. Cx )(cosh 2

32

211

23

133. Cx )(cosh 21

21 134. C

x

3

2cosh 1

135. Cx )2(csch 1 136. Cx )(tanh 2

31

61

137. Cx )(tanh431

121 138. C

x

5tanh

53

1 31

139. Cx

6

2tanh 1

6

1 140. Cex )(tanh 1

141. Ceex xx )12(tanh3)1(ln 1

21

21

2.7.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES.

Ecuaciones diferenciales de primer orden.

1. Cxxxyy )126(2)6(3 23 2. Cxy 22 4

3. Cxxxy )1(ln2

2

12

2

1 4. Cxy 24

5. Cyx 22

4113

31 )1()1( 6. Cyx

21

21

7. Cxxy 2

211 8. Cxy 21

9. Cxxxyy )126(2)6(3 23 10. Cxy 2

232 2

1

)1(

11. Cxy 21

)12( 12. Cxxy 43

311

13. Cxy 12 21

)1( 14. Cyx 32 23

)3(



15. Cyx 32

312

21 )1( 16. C

yxx

64

152 2

17. Cxxy 34

34

)2(2)2( 43

43 18. Cyyxx 2

213

32

61

101 2

325

)12()12(

19. Cxy cottan 20. Cyxx )1(cos)26(sen 2

61

21. Cttxx 4222sen 2 22. Cxy )2sen(ln21

23. Cxyy 2tan2tan21

21 24. C2cot2cos 2

1 yx

25. C)(sen 2)(tanln21

41 xy 26. Ctttv 62 23

27. CttttCtS 2344

81 342)12(

28. Cttty 13

3

4 4


29. 143 3 xxy 30. 5)2(2 2

1

xy

31. 3)9( 2

12 xy 32.

24

12

41 2

1

)1(

xy

33. 3]1)1(2[ 21

3 xy

34. 21

23

21

23

)4(10)4()3(10)3(32

32 xxyy

35.

102923

315

526

61 42)1()1( xxxyy

36. 280597

728

815

51 )1()1()2( xxy

Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

40. 21

23

6

1 CxCxxy 41. 21

2

2

14

12

5 CxCxxy

42. 21151 2

5

)32( CxCxy 43. 21281 3

7

)13( CxCxy

44. 21)3(sen CxCxy 45. 2191

91 3cos3sen CxCxxy


46. 21

151 2

5

)12( xxy 47. 739

281 3

7

)13( xxy

48. 672

233

32 4 xxxy 49.

6472

233

32 8)( xxxxf

50. 3233

3212

1612

41 4cos2)()( xxxxf

51. 42 xxy 52. 364

4

1 xxy

53. xxy 34 2

1

54. 2844 2

1

xxy

55. 6

412

2

13

3

2 4 xxxy



BIBLIOGRAFÍA.

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Education

Tema 2. La integral indefinida