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MATEMÁTICA II. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 1: LA INTEGRAL
INDEFINIDA.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1
PRESENTACIÓN.
La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática II (Cálculo integral) para
estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería
Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de
Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las
respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido
programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y
exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática II en los núcleos de
Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía
especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y
responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma
integrada de información existente en la literatura.
Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con
fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es
libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física, así como las sugerencias que
tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través
de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,
correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó
personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,
Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se
desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y
Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.
En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela
(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de
Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual
comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el
Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.
Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,
Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción
y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte
del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento
químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta
finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de
Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo
de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas
tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),
Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos
Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es
autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,
Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,
Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería
Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 3
2.1.- ANTIDERIVADAS (O PRIMITIVAS).
Definición 2.1.
Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo I si )()( xfxF
para todo valor de x en I.
En otras palabras, dada la derivada de una función, hallar tal función.
Esta operación de determinar la función original a partir de su derivada es la operación
inversa de la derivación y la llamaremos cálculo de antiderivadas.
Es importante hacer notar que si )(xF es una antiderivada de )(xf , también lo es
automáticamente CxF )( (donde C es cualquier constante). Ya que si
)()]([ xfxFxd
d
Entonces también es cierto que
)(])([ xfCxFxd
d
Teorema 2.1.
Si F y G tienen idéntica derivada sobre un intervalo abierto, entonces CxGxF )()(
sobre ese intervalo. Es decir, cualesquiera dos antiderivadas de una función difieren a lo
sumo en una constante.
La operación de antiderivación es una operación lineal, esto es:
])([ daAntideriva])([ daAntideriva])()([ daAntideriva xgxfxgxf
En los ejercicios siguientes, encuentre una antiderivada )(xF para cada función dada.
Verifique el resultado calculando la derivada de la respuesta.
1. 3612)( 23 xxxf 2. 2)( xxf
3. 4
5)(
xxf 4.
4
1321)(
32
xxxxf
5. 76
6)(
3
3
x
xxf 6. 532)( 2 xxxf , 3)1( F
7. 2
1
)(
xxf , Si 2)0( F 8. 3
1
2
1
)( xxxf , 4)1( F
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9. 3
4
4
3)( xxf , 2)1( F 10. xxxf sen 4cos5)(
11. x
xxf
2cos
sen )( 12.
x
xxf
2sen
cos)(
13. xxxxf 2sec2cotcsc4)( 14. xxxxf tansec5csc3)( 2
15. xxxf 22 tan3cot2)( 16. x
xxxf
cos
cos4tan3)(
2
17. Demuestre que las funciones: x
xF
1
1)(1 y
x
xxF
1)(2 son ambas primitivas de
2)1(
1)(
xxf
El proceso de cálculo de primitivas se suele denominar integración y se denota por el
símbolo llamado signo integral. El símbolo xdxf )( se llama la integral indefinida
de )(xf . Más en detalle, si )()( xfxF para todo x, entonces CxFxdxf )()(
donde )(xf se llama integrando y C constante de integración.
La diferencial xd en la integral indefinida identifica la variable de integración.
La naturaleza inversa de las operaciones de integración y derivación puede simbolizarse
así:
)(])([ xfxdxfxd
d Cxfxdxf )()(
2.2.- REGLAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN.
1.- Cxxd
2.- xdxfaxdxfa )()( , a es una constante.
3.- xdxgxdxfxdxgxf )()()()([
4.- Cn
xxdx
nn
1
1
, 1n
5.- Cxx
xd ln
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Integrales de funciones algebraicas.
Se usarán con frecuencia las reglas básicas de integración sin citarlas explícitamente, e
incluso muchas veces se utilizarán varias de ellas en un cierto paso del cálculo con objeto
de abreviar la resolución de un problema.
Calcular integrales se convertirá de ahora en adelante en un proceso determinístico, en base
a las reglas elementales dadas. Se pueden hacer operaciones matemáticas (factorización,
desarrollo de productos notables, simplificación, etc) en el integrando para convertirlo en
una forma matemáticamente equivalente que permita resolver la integral aplicando las
reglas básicas.
Es importante resaltar que varias operaciones matemáticas pueden ser realizadas sobre el
integrando de manera simultánea.
Calcular las siguientes integrales:
1. xdx3 2 2. xdx
xx
4 3.
xd
x
x
1
12
4. xdxx )( 32 5.
xd
xx1
5223
6. xdx
xn
n
21 , 1n
7. xdxxx )7( 5 823 2 8.
xd
xxx 3
412
9. xdxxx
3 2
23
42
10.
xdx
xxx 4
1
7442
11.
udu
uu 32
12.
xda
xaax
13. x
td
t
txxt2
14.
xd
xx
x 13 2
15.
xdx
xx2
32 23
16.
xdx
x
3
2)52( 17. xdx 32 )1( 18. xdxx 33 )1(
19. xdx
xx
)2()1(
Integrales de funciones trigonométricas.
Cxxdx cossen Cxxdx sen cos
Cxxdx )(seclntan Cxxdx )(csclncot
Capítulo 2. La integral indefinida.
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Cxxxdx )tan(seclnsec Cxxxdx )cot(csclncsc
Cxxdxx sectansec Cxxdxx csccotcsc
Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc2
Calcular las siguientes integrales:
20. udusec 21. vdvcot 22. xdxxx )tan(secsec
23. xdx
x2cos
sen 24. x
xd
sen1
25. x
xd
cos1
26. x
xdx
cos1
sen
27.
xd
x
x2
2
sen
tan1
28.
xd
x
kx2
2
sen
sen
29.
xdx
xk2
2
cos
1cos 30.
xdxx 52sen])2(cos1[
2.3.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLES.
Integrales de funciones algebraicas.
Hasta ahora se han ilustrado situaciones en las cuales al operar matemáticamente el
integrando se ha logrado reducirlo a expresiones que son integrables en forma inmediata
con el uso de las reglas básicas de integración. En lo sucesivo se mostrará un procedimiento
conocido como integración por cambio de variables, en las cuales es necesario definir una
nueva variable y escribir el integrando en función de dicha nueva variable. De esta manera
la integral se reduce mediante operaciones matemáticas y se lleva a las formas básicas de
integración ya discutidas.
Calcular las siguientes integrales:
1. xdxx 32 )3( 2. xdxx 102 )2( 3. xdxx 21
4. xdxxx )21()( 32 5.
xd
xx 2
111 6.
32 )21( x
xdx
7. xdx3 31 8. 5 3)( xba
xd 9.
222 xba
xdx
10.
xdxa
xb544
33
)1( 11. xdxx 2349 12. xdxx 53 54
Capítulo 2. La integral indefinida.
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13.
xdx
x4
3
11
14. 3)1( xx
xd 15. 5)3( xx
xd
16. xdx
x
1 17.
xx
xd
1 18.
xd
x
x 2
3
)1(
19.
xdx
x31 20.
xd
x
x
3 2
5)2( 3
1
21. 53 4
3
)1( x
xdx
22. xdx
x
3
2
31 23.
2
31
1x
xd
x 24. xd
xx
11
12
25. 23
11
x
xd
x 26.
td
t
bab
t
a25
27. xdxxx 1
28.
xd
x
x
xx
2
2 11 3
5
29.
xd
xx
x
x23
3 12 30.
d
8
2
2
3
11
31. 266 x
xd 32.
22
)1(
2 xx
xdx 33.
xd
xx
x
32
)32(
12
34.
14
)2(2 xx
xdx 35.
xx
xdx
3
)32(
2 36.
xx
xdx
6
)3(2
37. xdxxxx )510( 324 38.
224
2
)123(
)13(
xx
xdxx
39.
2
1
)310(
)4(
25
3
tt
tdtt 40. ydyy 42
41.
xd
x
xx
1
)12( 5
12
42. xdxx 14)1( 43. xdxx 8
21 )3( 44. 7)1(
2
x
xdx
45. 2
3
)( bxa
xdx 46. xdxx 2
5
)3( 47. 4
2
)81(
4
x
xdx
48.
xd
x
x4
2
)1(
3 49. xdxx 12 50. 1
2
x
xdx
51. 12
3
x
xdx 52. xdxx 322 53.
xdxx 2
3
)31(2
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54. xdxx 13 55.
xdx
x
13
7
56. 15
13
x
xdx
57. xdxx 2038 )1(5 58. xdxx 32 31
)12( 59. 3
1
)61( 2
3
x
xdx
60. tdtt 32 3
1
)21( 61. xdxx 323 62. xdxx 32 23
63.
xdx
x
2
3
)4( 2
3
64.
xdx
x2
3
21 65.
xd
xa
xxa
23
)(
)2(22
322
66.
xd
xx
2
3
2
113 67. xdxx 23 )1(3 68.
3 2)9(
)3(
x
xdx
69. xdxx 1)2( 70. xdxx 12 71. xdxx )12(1)12(
72. 322 )1(1 xx
xdx 73.
xd
x
xx10
523
3
)54( 74. xdx 32
75. xdx12 76. 42 x
xdx
Integrales de funciones trigonométricas.
Calcular las siguientes integrales:
1. )2(sec x
xd 2. xdx )42(sen 3. xdx)23(sec
4. )(sen2 bxa
xd 5. xdxxx )]7(sec5cotcsc7[ 2
6. xdxx )(sen6 32 7. xdxx 67 )103(sen 8. xdxxx 332 csccot
9. xdx
xsen 10.
x
xdx2csc 11.
x
xdxx cos1sen
12. 2
1
cossen
x
xdxx 13. xd
xx
x
sec
sen 14. xd
x
xx2
4
sencot
15.
d
2sen
2
16.
xdx
x
)(csc
)(sec1
31
312
17. 2)cossen( xx
xd
18.
xdx
xx
3sen
3cot3tan 19. xd
x
x 3csc
3sec5
20. xdxxcossen2
Capítulo 2. La integral indefinida.
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21.
)(sen
)(cos1
212
21
x
x 22. xdxx 5)sen 2(cos 23.
xd
x
x
1sen2
cos
24. xdxx cos)(sen 3
2
25. 3 2 )(sen
)(cos
x
xdx 26. xdxx )cos()(sen
213
212
27. xdx
x3cos3
sen2
28. 3 4 )3(cos
)3(sen
x
xdx 29.
xd
x
b
x
b
xsen 66cos
52
30. xdxx 2sectan 31. x
xdx
2costan 32. x
xdx2cos
tan
33. 1tancos2 xx
xd 34.
xd
x
x2cos
1tan 35.
xd
x
x
csc
cos1
36. x
xdx
csc
)(cossen 37.
3)cos(
)sen1(
xx
xdx 38.
32 )sen2sen41(
cos)sen1(
xx
xdxx
39. xdxx )(sen)(cot2
1
2
1 40. xdx
x
2csc
sen5 2
41. 523 )sec1(cos
sen
xx
xdx
42. dtansec3 43.
)1(cos
)1(sen33
32
x
xdxx 44. )3(sen
)3(cot2 x
xdx
45.
xdx
x2sen1
2sen 46.
x
xdx
2cos1
2sen 47.
5 2sen23
)2(sen
x
xdx
48. xdxx )tan3cot2( 22 49. d2
)2cot2(csc 50.
x
xdx
1tan 2
2
51. td
t
tt
5sen 3
cossen 52.
xdx
x
)cos1(
sen 3
53. x
xdx
tan1
sec4
54. xdx2cos 55. xdxxx )(cos)48( 22
56. 1cotcot1
csc2
xx
xdx 57.
1sen)tansen (sec
sen
2
3
xxxx
xdx
58. xx
xd
3cos3sen 59.
xd
xx
2
2cos
1
2sen
2 60.
xd
x
x
2sen
)2(tan 3
61. xdx3cos1
2.4.- INTEGRALES DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS.
a) Integrales que contienen seno y coseno.
i.- Si la potencia del seno es impar y positiva:
Capítulo 2. La integral indefinida.
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a) Reservar un factor seno.
xdxxxxdxx nknk
Reservado
212 )sen (cossencossen
ParImpar
b) Expresar el seno de potencia par resultante como una potencia de seno cuadrado.
xdxxxxdxx nknk
)sen (cos)sen(cossen 212
Impar
c) Convertir el seno cuadrado en coseno cuadrado.
xdxxxxdxxxxdxx nknknk )sen (cos)cos1()sen (cos)(sencossen 2
cosenoen Convertir
212
Impar
d) Aplicar el cambio de variable xz cos , con lo cual xdxzd sen ; después desarrollar
e integrar.
ii.- Si la potencia del coseno es impar y positiva:
a) Reservar un factor coseno.
xdxxxxdxx kmkm
Reservado
212 )(coscossencossen
ParImpar
b) Expresar el coseno de potencia par resultante como una potencia de coseno cuadrado.
xdxxxxdxx kmkm
)(cos)(cossencossen 212
Impar
c) Convertir el coseno cuadrado en seno cuadrado.
xdxxxxdxxxxdxx kmkmkm
)(cos)sen1(sen)(cos)(cossencossen 2
senoen Convertir
212
Impar
d) Aplicar el cambio de variable xz sen , con lo cual xdxzd cos ; después desarrollar e
integrar.
iii.- Si las potencias de ambos, seno y coseno, son impares, positivas y diferentes, aplicar i
ó ii al de la menor potencia. Si se aplica el procedimiento al de la mayor potencia, también
se obtiene el resultado de la integral, pero con mayor cantidad de operaciones.
Capítulo 2. La integral indefinida.
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iv.- Si las potencias de ambos, seno y coseno, son pares, positivas y diferentes, usar
repetidamente las identidades )2cos1(sen2
12 )2cos1(cos2
12
v.- Si las potencias de ambos, seno y coseno, son positivas e iguales, usar la identidad
xxx 2sencossen 2
1
Si las potencias de ambos, seno y coseno son impares e iguales, también funciona
indistintamente i ó ii con igual cantidad de operaciones.
Si las potencias de ambos, seno y coseno son pares e iguales, también funciona iv, pero con
mayor cantidad de operaciones.
vi.- Si no ocurre ninguna de las cinco situaciones precedentes, intentar reescribir el
integrando en términos de secantes y tangentes ó cosecantes y cotangentes.
Calcular las siguientes integrales:
1. xdxx 23 cossen 2. d)3(cos)3(sen 43 3. xdxx )(cos)(sen 215
213
4. xdx5sen 5. xdxx )2(cos)2(sen 25 6. xdxx 35 cossen
7. xdxx 75 cossen 8. xdxx 35 cossen 9. xdx3cos
10. xdxx 32 cossen 11. d)4(sen)4(cos 43 12. x
xdx2
3
sen
cos
13. xdxx 43 csccos 14. x
xdx3
5
sen
cos 15. xdxx 22sen
16. xdx4sen 17. xdx3sen 4 18. xdx4cos
19. xdxx 22 cossen 20. xdxx 42 cossen 21. xdxx 24 cossen
22. xdxx 2cos2sen 24 23. xdx
x4
4
sec
sen 24. xdx)3(sen6
25. xdx)3(cos6 26. d2)cos2(sen 27. x
xdx2
4
cos
sen
28. xdx
x4
2
sen
cos 29. x
xdx6
2
sen
cos 30. x
xd6cos
31. x
xd5sen
32. Hallar: d22 cossen . (Usando cossen22sen )
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33. Hallar:
cos1
d. [Usando
2
cos1)(cos
212
]
b) Integrales que contienen secante y tangente.
i.- Si existen factores secante y la potencia de la tangente es impar y positiva:
a) Reservar un factor secante por tangente.
xdxxxxxdxx kmkm
Reservado
2112 )tan(sectansectansec
impar
b) Expresar la tangente de potencia par resultante como una potencia de tangente cuadrado.
xdxxxxxdxx kmkm
)tan(sec)(tansectansec 2112
impar
c) Convertir la tangente cuadrado a secante cuadrado.
xdxxxxxdxxxxxdxx kmkmkm )tan(sec)1(secsec)tan(sec)(tansectansec 21
secanteen Convertir
2112
impar
Si además, la potencia de la secante es par, positiva y de potencia menor a la potencia de la
tangente, aplicar ii, la cual conduce a menor cantidad de operaciones.
d) Aplicar el cambio de variable xz sec , con lo cual xdxxzd tansec . A
continuación, desarrollar e integrar.
ii.- Si la potencia de la secante es par y positiva:
a) Reservar un factor secante cuadrado.
xdxxxxdxx nknk
Reservado
2222 )(sectansectansec
par
b) Expresar la secante de potencia par resultante como una potencia de secante cuadrado.
xdxxxxdxx nknk
)(sectan)(sectansec 2122
par
c) Convertir la secante cuadrado en tangente cuadrado.
xdxxxxdxxxxdxx nknknk )(sectan)tan1()(sectan)(sectansec 21221
een tangentConvertir
22
par
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d) Aplicar el cambio de variable xz tan , con lo cual xdxzd 2sec . A continuación,
desarrollar e integrar.
Si existen factores tangente y la potencia de la tangente es impar, positiva y de potencia
menor a la potencia de la secante, aplicar i, la cual conduce a menor cantidad de
operaciones.
iii.- Si no hay factores secante y la potencia de la tangente es par y positiva:
a) Reservar un factor tangente cuadrado.
xdxxxdx nn
Reservado
22 )(tantantan
b) Convertir el factor x2tan reservado en secantes.
xdxxxdx nn
)1(sectantan 22
c) Distribuir y separar en dos integrales.
xdxxdxxxdx nnn 222 tan)(sectantan
De las dos integrales resultantes, la primera se resuelve aplicando el cambio de variable
xz tan , con lo cual xdxzd 2sec , mientras que para la segunda, se debe repetir el
proceso si fuese necesario.
iv.- Si no hay factores tangente y la potencia de la secante es impar y positiva, aplicar
integración por partes.
xdxxxd kk )(secsecsec 21212 . xu k 12sec , xdxvd 2sec
La integral por partes resultante es cíclica.
v.- Si no ocurre ninguna de las cuatro situaciones precedentes, intentar reescribir el
integrando en términos de senos y cosenos ó cosecantes y cotangentes.
Calcular las siguientes integrales:
34. xdxx )3(tan)3(sec 22 35. xdx)2(sec4 36. xdxx 34 tansec
37. xdxx 46 sectan 38. xdx)4(sec6 39. xdxx )2(tan)2(sec 26
40. xdxx )3(tan)3(sec 26 41. xdxx 3tansec 42. xdxx 35 sectan
43. xdx)4(tan2 44. xdx4tan 45. xdx6tan
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 14
46. xdx5sec 47. xdx)3(sec5 48. xdx3tan
49. xdxx )](tan)([tan 314
313
c) Integrales que contienen cosecante y cotangente.
i.- Si existen factores cosecante y la potencia de la cotangente es impar y positiva:
a) Reservar un factor cosecante por cotangente.
xdxxxxxdx kmkm
Reservado
2112 )cot(csccotcsccotcsc
impar
b) Expresar la cotangente de potencia par resultante como una potencia de cotangente
cuadrado.
xdxxxxxdxx kmkm
)cot(csc)(cotcsccotcsc 2112
impar
c) Convertir la cotangente cuadrado a cosecante cuadrado.
xdxxxxxdxxxxxdxx kmkmkm )cot(csc)1(csccsc)cot(csc)(cotcsccotcsc 21
secante coenConvertir
2112
impar
Si además, la potencia de la cosecante es par, positiva y de potencia menor a la potencia de
la cotangente, aplicar ii, la cual conduce a menor cantidad de operaciones.
d) Aplicar el cambio de variable xz csc , con lo cual xdxxzd cotcsc . A
continuación, desarrollar e integrar.
ii.- Si la potencia de la cosecante es par y positiva:
a) Reservar un factor cosecante cuadrado.
xdxxxxdxx nknk
Reservado
2222 )(csccotcsccotcsc
par
b) Expresar la cosecante de potencia par resultante como una potencia de cosecante
cuadrado.
xdxxxxdxx nknk
)(csccot)(csccotcsc 2122
par
c) Convertir la cosecante cuadrado en cotangente cuadrado.
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 15
xdxxxxdxxxxdxx knknk )(csccot)cot1()(csccot)(csccotcsc 21221
cotangenteenConvertir
22
par
d) Aplicar el cambio de variable xz cot , con lo cual xdxzd 2csc . A continuación,
desarrollar e integrar.
Si existen factores cotangente y la potencia de la cotangente es impar, positiva y de
potencia menor a la potencia de la cosecante, aplicar i, la cual conduce a menor cantidad de
operaciones.
iii.- Si no hay factores cosecante y la potencia de la cotangente es par y positiva:
a) Reservar un factor cotangente cuadrado.
xdxxxdx nn
Reservado
22 )(cotcotcot
b) Convertir el factor x2cot reservado en cosecantes.
xdxxxdx nn
)1(csccotcot 22
c) Distribuir y separar en dos integrales.
xdxxdxxxdx nnn 222 cot)(csccotcot
De las dos integrales resultantes, la primera se resuelve aplicando el cambio de variable
xz cot , con lo cual xdxzd 2csc , mientras que para la segunda, se debe repetir el
proceso si fuese necesario.
iv.- Si no hay factores cotangente y la potencia de la cosecante es impar y positiva, aplicar
integración por partes.
xdxxxd kk )(csccsccsc 21212 . xu k 12csc , xdxvd 2csc
La integral por partes resultante es cíclica.
v.- Si no ocurre ninguna de las cuatro situaciones precedentes, intentar reescribir el
integrando en términos de senos y cosenos ó secantes y tangentes.
Capítulo 2. La integral indefinida.
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i.- Si la potencia de la cosecante es par y positiva, reservar un factor cosecante cuadrado y
pasar las demás a cotangentes. Aplicar el cambio de variable xz cot , con lo cual
xdxzd 2csc . A continuación, desarrollar e integrar.
xdxxxxdxxxxdxx nknknk )(csccot)(csc)(csccotcsccotcsc 2
scotangenteen Convertir
122222
par
xdxxx nk
)(csccot)cot1( 212 xz cot , xdxzd 2csc
ii.- Si existen factores cosecante y la potencia de la cotangente es impar y positiva, reservar
un factor cosecante por cotangente y pasar los demás a cosecantes. Aplicar el cambio de
variable xz csc , con lo cual xdxxzd cotcsc . A continuación, desarrollar e integrar.
xdxxxxxdxxxxxdxx kmkmkm )cot(csc)(cotcsc)cot(csccotcsccotcsc
cosecantesen Convertir
212112
impar
xdxxxx km
)cot(csc)1(csccsc 21 xz csc , xdxxzd cotcsc
iii.- Si no hay factores cosecante y la potencia de la cotangente es par y positiva, convertir
un factor x2cot en cosecantes. Después desarrollar y repetir el proceso si fuese necesario.
xdxxdxxxdxxxdxxxdx nnnnn
22222
cosecantesen Convertir
22 cot)(csccot)1(csccot)(cotcotcot
iv.- Si no hay factores cotangente y la potencia de la cosecante es impar y positiva, aplicar
integración por partes.
xdxxxd kk )(csccsccsc 21212 xu k 12csc , xdxvd 2csc
v.- Si no ocurre ninguna de las cuatro situaciones precedentes, intentar reescribir el
integrando en términos de senos y cosenos.
Calcular las siguientes integrales:
50. d23 csccot 51. xdxx )2(csc)2(cot 24 52. xdx4csc
53. d44 csccot 54. xdxxcotcsc3 55. d33 csccot
56. xdxx 2)cottan( 57. d2)cot2(tan 58. xdx4cot
59. xdx3cot
Capítulo 2. La integral indefinida.
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d) Integrales de productos de funciones trigonométricas.
Para resolver integrales de la forma xdxbxa )(sen)(sen , xdxbxa )(cos)(sen y
xdxbxa )(cos)(cos , utilizar las siguientes identidades:
)](cos)([cossen sen 21
)](sen )(sen [cossen 2
1
)](cos)([coscoscos 21
cos)(cos
sen )(sen
Calcular las siguientes integrales:
60. tdtwtw )(sen )(sen 61. xdxx )7(sen)5(sen
62. xdxx )15(sen )10(sen 63. xdxxx 3sen 2sen sen
64. xdxx )3(cos)2(sen 65. xdxx )5(cos)3(sen
66. xdxx
3
2cos
3sen 67. xdbxabxa )(cos)(cos
68. xdxx )15(cos)10(cos 69. xdxx )(cos)(cos 31
21
70. xdxx 3coscos 2
2.5.- INTEGRALES CUYO INTEGRANDO ES LA DIFERENCIAL DE UNA
FUNCIÓN TRASCENDENTE.
Integrales de funciones trigonométricas inversas.
Calcular las siguientes integrales.
1.
xdx
x2
1
1
cos
2.
xdx
x2
1
44
sen
3.
xdx
x2
1
41
2sen4
4.
xdx
x2
1
41
2tan
Integrales de funciones logarítmicas.
Calcular las siguientes integrales:
5. x
xdxln 6. xd
x
x 5)(ln 7.
xd
x
x 2)ln2(
8.
xd
x
xx ln 9.
xd
x
xln1 10.
xx
xdx
ln1
ln
11. )(ln 2 xx
xd 12.
xd
x
x
1
)1(ln1 13.
21
1
1sen
senln
xx
xdx
Capítulo 2. La integral indefinida.
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14.
xd
x
x
1
1ln 15.
xd
x
xx2
2
1
1ln 16. xd
xx
x
ln
)(lnln
17.
xd
x
xx2
2
1
)1(ln 18.
xd
xx
xx
)1(
ln)1(ln 19. xd
x
xx2
2
cot
cosln
20. 3 22 )ln1( xx
xd 21.
xd
x
x
)2sen(ln1
2cot2
22.
xd
x
xx2
23
1
)1(ln
23. xxxx
xd
4lnln 232 24. x
xdx)ln(sen
25. x
xdx)(lncos
26. xdx
xlntan
27. xdx
x)(lntan
1
28. xdxx tan)(cosln
29. xdxx )2sen(ln2cot
30. xdxx
x
cossen
)(tanln
Integrales de funciones exponenciales.
0;ln
1 aCa
axda xx Cexde xx
Cea
xde xaxa 1
Calcular las siguientes integrales:
31. xde x 32.
xde x6 33. xdee xx 23
34. xe
xd 35. xdea xx 36.
xdee
xx
)( 22
37.
xd
ee
x
x 13 38.
xde
ex
x 1 39.
xd
e
ex
x21
40.
x
xx
e
xdee )1( 2
41. xdeex xe )2( 2 42.
xd
ee
x
x
31
43.
xd
e
ae
xa
xa
22
44.
xd
ee
x
x
2
2 1 45.
xdee xx 4)(
46.
xde
ex
x4
4 2 47. xdxx ]1)32[( 2 48. xdx10
49. xdx310 50.
xdba
baxx
xx
51.
xdba
baxx
xx 2)(
52. xdex x2
53. xdex x2
54. xde xx ln2
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 19
55. xdex x32 56. xdxx254 57. xdxa x )2(cos)2(sen
58. xdex xtan2sec 59. xd
e
ex
x
2)1( 60. 23
3
)21( x
x
e
xde
61. 2xx ee
xd 62.
ydee
eyy
y
12 24
2
63.
1
1
x
xdax
64.
1
51
x
xdx
65.
x
xdex
52
52
66. xdxa xx )ln1(ln
67. xdx xx )133( 2
10)12( 68. xdxe xx )2(342
69. xdxe xx )12(33 2
70. xdex xx )2( 2
)1( 71. xe
xdxtan
2sec 72. x
xdxe x
2
sec
cos
sen
73. xdeeee xxxx 2424 )](cot[ 74.
xdex
ex
x
)1(ln
ln
75. xdebe xx 322 )3(
76. xdee ax
ax
31
)1( 77. xdee ax
ax 3
1 78. xdebae xx
79. xdee xx4 810 80.
xd
x
ex
1 81.
xd
x
ex
3 2
13
82.
xdx
e x
2
3tan
91
1
83. 1
2
x
x
e
xde 84. xdxln2
85. xdee xx 22 )(csc
86.
xde
eex
xx
2
22 )(tan)(sec
87.
xd
e
ex
x
1
)1(ln3
Integrales de funciones hiperbólicas.
Cxaa
xdxa )(cosh1
)(senh Cxaa
xdxa )(senh1
)(cosh
Cxaa
xdxa )]([coshln1
)(tanh Cxaa
xdxa )](senh[ln1
)(coth
Cxaa
xdxa
)](senh[tan1
)(sech 1 Cxa
xa
axdxa
1)(cosh
1)(coshln
2
1)(csch
Cxaa
xdxaxa )(sech1
)(tanh)(sech
Cxaa
xdxaxa )(csch1
)(coth)(csch
Cxaa
xdxa )(tanh1
)(sech2 Cxaa
xdxa )(coth1
)(csch2
Calcular las siguientes integrales:
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 20
88. xx
xd
coshsenh 89.
x
xdx4cosh
senh 90. xdx3senh
91. xdxxsechtanh3 92.
2
1
1
)tanh(
x
xdxx 93. x
xdx2tanh1
tanh
94. xdxx )(coshln.tanh 95. xdxe x senh 96. xdxe x cosh
97. xdxx 23 coshsenh 98. xx
xdx
coshsenh
cosh 99. xdx2senh
100. xdx2tanh 101. 2
3
)cosh1(
senh
x
xdx 102.
x
xdx)(senh
103.
xd
e
ex
x
1
12
2
104.
xd
ee
eexx
xx
2
2
2.6.- INTEGRALES QUE CONDUCEN A FUNCIONES TRASCENDENTES.
Integrales que conducen a funciones logarítmicas.
Cxx
xd ln Cu
u
ud ln
Calcular las siguientes integrales:
1. 21 x
xdx 2.
xdx
x21
2 3. 52x
xdx
4. 4
3
74
5
x
xdx 5.
xd
xx
x
32
12
6.
32
2
234
)(
xx
xdxx
7.
xd
x
x
1
13
8.
xd
x
xx
2
)132( 2
9.
xd
x
xx
5
2 2
10.
xd
x
xx
3
223
11.
xd
x
x
52
13 12.
xd
x
x
22
35
13. 2)31(
3
x
xdx 14.
xd
x
xx3
3
)13( 15. xx
xd
)1(
16. xx
xdx
1 17. xx
xd
ln 18. 1x
x
e
xde
19. x
x
e
xde
4 20. x
x
e
xde
4 21.
xde
ex
x
43
22. xd
e
ex
x
2
2
2 23. xb
xb
ea
xde 24.
x
x
e
xde
1
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 21
25. xe
xd
1 26. 1xe
xd 27.
xd
e
ex
x
1
12
2
28.
xd
ee
eexx
xx
2
2
29. )3( xx ee
xd 30.
xx
xx
ee
xdee )(
31. 3
2
x
x
e
xde 32.
xde
ex
x
1
3
33. xd
e
ex
x
23
9
34. )ln1( xx
xd 35. xx
xd
ln 36.
xd
xx
x
)ln1(
)(ln2 2
37. )](ln[lnln xxx
xd 38.
xd
xx
x
ln
1ln 39. xx
xdx
4ln
2ln
40. )1(ln1 22 xxx
xd 41.
2)1(ln
)2(ln
xx
xdx 42.
x
x
ex
xdxe
tan
)sec( 2
43. xx
xdx
cossen
sec
44. x
xdx
tan2
sec2
45.
xdx
x
1sec
sec2
2
46.
xdx
x
xxsen
5cos
3cos2cos2
Integrales que conducen a funciones trigonométricas inversas.
Ca
u
ua
ud
1
22sen C
a
u
aauu
ud
1
22sec
1
Ca
u
aud
au
1
22tan
11
Calcular las siguientes integrales:
47. 221 xa
xd 48.
249 x
xd 49.
252 x
xd
50. 2
1
)57( 2x
xd 51.
4916 x
xdx 52.
xd
x
x432
53. 2)2(4 x
xd 54.
6
2
1 x
xdx 55.
6
2
99 x
xdx
56. 2
1
])(ln1[ 2xx
xd 57.
xx
xd2ln1
58. x
x
e
xde
21
59. x
xdx2sen9
cos 60.
22 xx
xd 61.
22 xx
xd
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 22
62. 2412 xx
xd 63.
2820 xx
xd 64.
562 xx
xd
65. xx
xd
32 66.
xd
xx
x22
1 67.
224
)2(
xx
xdx
68.
54
)3(2 xx
xdx 69.
xd
xx
x
8412
322
70.
242
)1(
xx
xdx
71.
34
)3(2 xx
xdx 72.
223
)23(
xx
xdx 73.
xxx
xdx2lnln41
ln
74.
xdxxx
x
sen sen 42sen
cos 75.
xd
ee
eexx
xx
8412
452
2
76. 14 2xx
xd 77.
94 2xx
xd 78.
12 2xx
xd
79. 443 2xx
xd 80.
142 xx
xdx 81.
64coscos
sen
2 xx
xdx
82. 2
1
)(cos
tan
412 x
xdx 83.
5sen
cot2 x
xdx 84.
1xx
xd
85. 252 xe
xd 86.
1xe
xd 87.
xxx
xd
2)1( 2
88. 21
4
x
xd 89.
22 )( nxm
xd 90.
34x
xdx
91. 44 bx
xdxa 92.
256
2
x
xdx 93.
xdx
x
18
3
94. x
xdx2sen1
cos 95.
412cos
sen
x
xdx 96. 1cos
sen 2 x
xdx
97. )3(ctg25
)3(csc2
2
x
xdx 98. x
xdxx2sec5
tansec 99.
x
xdxx2sec49
tgsec
100. x
xdxx4sen1
cossen 101.
)2(sen1
)4(sen24 x
xdx 102. ])(ln1[ 2xx
xd
103. xxx
xd2ln
104. x
x
e
xde21
105. x
x
a
xda21
106. )1( xx
xd 107.
19 2
2
x
xdx 108.
xdx
x
1
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 23
109.
1
)343(2
23
x
xdxxx 110.
xd
x
x
1
12
111.
xd
xx
x
)1(
)1(2
2
112.
xdx
xxe x
1
1)1(ln2
2tan 1
113. 522 xx
xd 114.
1022 xx
xd
115. 244 2 xx
xd 116.
30102 yy
yd 117.
32
)12(2 xx
xdx
118. 136
22 xx
xdx 119. 1182 2 xx
xdx 120.
xdxx
x
522
2
121.
xd
xx
xxx
84
1842
23
122. 32 xx
x
ee
xde 123.
xdee
exx
x
842
2
124. xd
xx
x
6
Integrales que conducen a funciones hiperbólicas inversas.
Ca
u
au
ud
1
22senh C
a
u
au
ud
1
22cosh
Ca
u
auau
ud
1
22sech
1 C
a
u
aauu
ud
1
22csch
1
auC
a
u
a
auCa
u
audua si ,coth
1
si ,tanh1
1
1
1
22
auC
a
u
a
auCa
u
audau si ,coth
1
si ,tanh1
1
1
1
22
Calcular las siguientes integrales:
125. 92x
xd 126.
241 x
xd 127.
x
xdx
2sen1
cos
128. x
x
e
xde
21 129.
1362 xx
xd 130.
2
1
)(cos
tan
412 x
xdx
131. 24 xx
xd 132.
56
3
24 xx
xdx 133.
14x
xdx
134. 142 xx
xd 135.
54)42( 2 xxx
xd 136.
294 x
xd
137. 169 2x
xd 138. 6
2
5 x
xdx 139.
242 xx
xd
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 24
140. xx ee
xd 141.
xd
ee
eexx
xx
2
2
2.7.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES.
Ecuación diferencial. Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más
variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es
una ecuación diferencial.
Tipos de ecuaciones diferenciales.
Ecuación diferencial ordinaria: Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o
más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se
dice que es una ecuación diferencial ordinaria.
Ecuación diferencial parcial: Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o
más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación
diferencial parcial.
Orden de una ecuación diferencial. El orden de la más alta derivada en una ecuación
diferencial se llama orden de la ecuación.
Grado de una ecuación diferencial. El grado de una ecuación diferencial es la potencia
más alta a la que está elevada la derivada de mayor orden (siempre que la ecuación esté
escrita en forma polinómica en cuanto a las derivadas y a la variable dependiente).
Solución de una ecuación diferencial. Se dice que una función f cualquiera, definida en
algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en
dicha ecuación la reduce a una identidad.
Solución trivial. A una solución de una ecuación diferencial que es idéntica a cero en un
intervalo I, se le denomina a menudo solución trivial.
Solución general. Una solución que contiene una o más constantes arbitrarias, se denomina
solución general de una ecuación diferencial dada.
Solución particular. Una solución particular de una ecuación diferencial es toda solución
obtenida asignando valores específicos a las constantes que intervienen en la solución
general (El valor de la constante se obtiene a través de condiciones iniciales).
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 25
Solución singular. Solución que no es posible obtener a partir de la solución general
asignando valores a las constantes arbitrarias.
Solución explícita. Una solución explícita de una ecuación diferencial es una función de la
forma )(xfy ó )(yfx .
Solución implícita. Se dice que una relación CyxF ),( (C es una constante arbitraria)
define implícitamente una ecuación diferencial en un intervalo I, si define una o más
soluciones explícitas en I.
Variables separables. Se dice que una ecuación diferencial de la forma )(
)(
yh
xg
xd
yd es
separable o que tiene variables separables.
Separación de variables. Se dice que una ecuación diferencial de la forma ),( yxFxd
yd
es separable o que tiene variables separables si la función ),( yxF se puede escribir como
el producto de una función de “x” y una función de “y”. Es decir: )()( yhxgxd
yd . Si la
ecuación de primer orden ),( yxFxd
yd puede escribirse con variables separadas en la
forma diferencial xdxgydyh )()( siendo h y g continuas, entonces la solución general
es Cxdxgydyh )()( siendo C una constante arbitraria.
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1. xdxydy 2)2()3( 2. 04 xdxydy
3. 0)1(2 ydxyxdx 4. 04 2 xdxydx
5. 0)1()1( 32223 xdyxydxy 6. ydy
xxd
3
7. xxxd
yd
2
1 8. 02 2 yx
xd
yd
Capítulo 2. La integral indefinida.
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9. y
x
xd
yd
3
)2( 2
10. y
yx
xd
yd213
11. 12
1
xxd
yd 12. )4(25 xy
xd
ydx
13. 2
3
)1( 22 yxd
ydyx 14.
2
2 3
y
xxy
15. 423 )1(2 yyyx 16.
2
54
32
x
yy
17. 3
3
2
2
2
2
yy
xy 18.
yy
xyxxy
34
]4812[
19. x
y
xd
yd2
2
sen
cos 20. 0)1(csc)13(sec 22 xdyydxy
21. tdxttxd 22 sec)1( 22. xy 2cot
23. 02sec2tan 22 xyy 24. )(2cos)(2cos2csc yxyxyy
25.
2sen
2sen
yxyxy
26. 643 2 tttd
vd
27. 3)12( t
td
Sd
28. 21 )2( tt
td
yd; 0t
Problemas de valor inicial.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
29. )41(3 2xxd
yd , si 0)(
21 y 30. 2
1
)2(
xxd
yd, con 1)2( y
31. 2
1
)9( 2
x
x
xd
yd, con 2)4( y 32.
32 )1(4 x
x
xd
yd
, dado:
1
0
x
y
33. 01322 xdyydyx , 0)1( f 34. yxyx
xyyxy
x
y
428
33
4
3
, 2)1( f
35. 222
122
3
xyyx
xdyd
x
y, 2)1( f
36. 221
2 22
5
yxyx
xd
yd
x
y, 1)2( f
Capítulo 2. La integral indefinida.
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37. Demuestre que la solución particular de la ecuación diferencial ykxd
yd ; 0)0( yy
está dada por: 2
02
1 )( yxky .
38. Demuestre que la solución particular de la ecuación diferencial 2Pktd
Pd , con
0)0( PP donde k es una constante positiva, está dada por: tPk
PtP
0
0
1)(
.
39. Demostrar que la solución particular de la ecuación diferencial 2vk
td
vd ; con
40)0( v , donde k es una constante positiva es: tk
v401
40
.
Ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Fórmulas importantes:
xd
yd
xd
d
xd
yd2
2
Cxd
yd
xd
ydd
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
40. 22
2
xxd
yd 41. 15 2
2
2
xxd
yd 42. 32
2
2
xxd
yd
43. 32
2
13 xxd
yd 44. )3(sen9
2
2
xxd
yd 45. xx
xd
yd3cos3sen
2
2
Problemas de valor inicial.
46. 122
2
xxd
yd, dado:
1
1
21
y
x
y
47. 32
2
13 xxd
yd, dado:
2
3
5
y
x
y
48. 0342
2
xxd
yd, dado:
3
1
1
y
x
y
49. 34)( xxf , 2)1( f , 3)1( f
50. xxf 2cos)( 2 si 2)( f , 1)( 2 f
Hallar las funciones )(xfy , que satisfacen las condiciones dadas:
51. 2)( xf ; 5)2( f ; 10)2( f 52. 23)( xxf ; 6)0( f ; 3)0( f
Capítulo 2. La integral indefinida.
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53. 2
3
)(
xxf ; 2)4( f ; 0)0( f 54. 2
3
)(
xxf ; 2)1( f ; 4)9( f
55. 14)( xxf ; 2)2( f ; 3)1( f
RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
2.1.- ANTIDERIVADAS.
1. Cxxx 323 34 2. Cx 1
3. Cx
33
5
4. Cxxx
x 41
22
32ln
5. Cxxx 79 3 4
813 2 6.
6612
233
32 5 xxx
7. )1(2 2
1
x 8. 1231
43
32 3
4
2
3
xx
9. )479( 3
7
281 x 10. Cxx cos4sen 5
11. Cx sec 12. Cx csc
13. Cxx tan2csc4 14. Cxx sec5cot3
15. Cxxx tan3cot2 16. Cxx sen 4sec3
17. Se demuestra.
2.2.- REGLAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN.
Integrales de funciones algebraicas.
1. Cx 35
53 2. Cx 4
9
94
3. Cxx 2
21 4. Cxx 2
211
5. Cxxx 12 5 6. Cxn
xn
nn
1
1
21
7. Cxxx 513
35
1353
37
53 8. Cxxxx 342 1
32 2
123
9. Cxxx 35
21
591 82 10. Cxxxx 4
321
23
25
328
38
52 8
11. Cuu 65
25
56
52 12. Cxax 2
3
322
21
13. Cx
txtxtx
2
342
21 2
323
14. Cxx
21
23
22
15. Cxx
32
33 16. Cxxx 32
67
35
275
7120
512
17. Cxxxx 35
537
71
18. Cxxxx 3
133
1037
34
133
109
79
43
19. Cxxx ln232
21
Integrales de funciones trigonométricas.
20. Cuu )tan(secln 21. Cv )(cscln
22. Cxx sectan 23. Cxsec 24. Cxx sectan 25. Cxx csccot
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26. Cx )cos1(ln 27. Cxx tancot 28. Cxkx cot 29. Cxxk tan 30. Cx cos
41
2.3.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLES.
Integrales de funciones algebraicas.
1. Cx 42
81 )3( 2. Cx 112
22
1 )2(
3. Cx 23
)1( 2
31 4. Cxx 22
21 )(
5. Cxx 2
211 6. Cx 22
81 )21(
7. Cx 34
)31(41 8. Cxbab 5
2
)(25
9. Cxbab
21
2 )( 2221 10. Cxaa
b
4444
3
)1(16
11. Cx 23
)49( 3
181 12. Cx 2
3
)53( 5
452
13. Cx 23
)1( 3
92 14. C
x
2)1(
1
15. Cx 4
21 )3( 2
1
16. Cx 2
3
2
1
)1(34
17. Cx 21
21
)1(4 18. Cx 25
21
)1(54
19. Cx 23
21
)31(94 20. Cx 6
21 )2( 3
1
21. Cx 4
163 )1( 3
4
22. Cx 34
31
)1(49
23. Cx 41
41 )1( 24. Cx 2
3
)1( 1
32
25. Cx 23
)1(2 1
31 26. Cb
t
a
a
ba
62
6
)(
27. Cx 23
23
)1(94 28. Cxx 3
8
)( 1
83
29. Cxx 23
)( 2
32 30. C 92
181 )1(
31. Cx 21
)66( 2
61 32. Cxx 2
1
)22( 2
33. Cxx 31
)32( 2
23 34. Cxx 2
1
)14( 2
35. Cxx 21
)3(2 2 36. Cxx 21
)6( 2
37. Cxx 23
)( 24
35 38. Cxx 124
41 )123(
39. Ctt 21
)310( 25
52 40. Cy 2
3
)1( 2
31
41. Cx 52
)1(25 42. Cxx 15
15116
161 )1()1(
43. Cxx 9
21
162110
21
901 )3()3( 44. Cxx 6
315
52 )1()1(
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 30
45. Cbxabxaa
b
a
21
221
2 )()( 22
46. Cxx 2
729
)3()3( 76
92
47. Cxxx ])81()81()81[( 3
3121
1281
48. Cxxx 3
3221 )1()1()1(
49. Cxxx 23
25
27
)1()1()1( 32
54
72 50. Cxxx 2
123
25
)1(2)1()1( 34
52
51. Cxx 21
23
)1()1( 22
31 52. Cxxx 2
325
27
)32()32()32( 43
103
281
53. Cxxx
21
21
23
)31()31()31( 272
274
812
54. Cxxxx 23
25
27
29
)1()1()1()1( 32
56
76
92
55. Cxxx 21
23
23
23
25
23
)1()1()1( 34
98
154
56. Cxxx 21
25
23
25
25
25
)1()1()1( 54
158
254
57. Cxxx 213
635223
335233
695 )1()1()1(
58. Cxx 34
37
)12()12( 2
3232
563 59. Cxx 3
235
)61()61( 2
4812
1201
60. Ctt 37
34
)21()21( 2
5632
323 61. Cxx 2
325
)3()3( 22
51
62. Cxx 23
25
)32()32( 2
412
201 63. Cxx
21
21
)4(4)4( 22
64. Cxx 23
21
)21()21( 2
1212
41 65. C
xa
axa
21
23
)()(
22
422
31
66. Cxx 25
27
)1()1( 1
21
581
21
78
67. Cxxx 3
437
310
)3(3)3()3( 712
103
68. Cxx 31
34
)9(36)9(43 69. Cxx 2
325
)1(2)1(52
70. Cxx 25
23
)1()1( 52
32 71. Cxx 2
325
)2()2(31
51
72. Cx 21
21
])1(1[2 2 73. Cx 6
721 )54(
74. Cxx 23
21
25
21
])3(2[])3(2[ 98
154
75. Cxxxx 23
21
21
25
21
21
27
21
21
29
21
21
])1(2[])1(2[])1(2[])1(2[ 38
588
748
98
76. Cxxx 23
21
25
21
27
21
])4(2[])4(2[])4(2[ 332
524
74
Integrales de funciones trigonométricas.
1. Cx )2(sen2
1
2. Cx )42(cos2
1
3. Cxx )]23(tan)23([secln2
1
4. Cbxaa )(cot1
5. Cxx )7(tancsc7 7
5 6. Cx )(cos2 3
7. Cx )103(cos 7
701
8. Cx 3
31 csc
9. Cx )(cos2 21
10. Cx )(cot2 21
11. Cx 23
)cos1(34
12. Cx 2
12sen
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 31
13. Cx )2(cos21
14. Cxxxx )(2sen sen 4cot2 2
1
15. C )(cos 2
21 16. Cxx )(sec3)(cos3 3
131
17. Cxx )2(sec)2(tan 21
21
18. Cxxx 3csc)3tan3(secln 31
31
19. Cx3sec4
121
20. Cx3
31 sen
21. Cxx )(csc2)(cot2 2
121
22. Cx 6
61 )sen 2(
23. Cx 21
)1sen2( 24. Cx 3
5
)(sen5
3
25. Cx 31
)sen(3 26. Cx 35
)]([sen 21
53
27. Cx 2
31 tan
28. Cx
31
)]3([cos
29. Cx
b
b
2
3
sen 669
5
30. Cx 23
)(tan32
31. Cx 23
)(tan32
32. Cx 2
21 tan
33. Cx 21
)1(tan2 34. Cx 23
)1(tan32
35. Cx 2
3
)cos1(32
36. Cx )(coscos
37. Cxx 2
21 )cos(
38. Cxx 22
81 )sen2sen41(
39. Cx 21
)(sen 214
40. Cx 512
)sen (65
41. Cx 42
81 )sec1(
42. C3
31 sec
43. Cx )1(sec 32
6
1
44. Cx )3(cot 2
61
45. Cx 21
)sen1(2 2
46. Cx 21
)cos1(2 2
47. Cx 54
)sen23( 2
85
48. Cxxx tan3cot2
49. C 2csc2cot
50. Cxx
1cot
1
51. Ctt 21
23
)5sen 3()5sen 3( 910
272
52. Cxx )2(coscos 4
1
53. Cxxx 21
23
25
)tan1(4)tan1()tan1( 34
52
54. Cxx ])2(sen2[4
1
55. Cxxxx )22(sen )(2 22
56. Cxx ])1(cot)1[(cot 23
23
31
57. Cx
x
21
)1(sen
1cos2
2
. Observación: Ni esta función, ni el integrando existen en el campo de
los números reales. 1sen, 2 xx , luego 01sen 2 x . Si 01sen 2 x , la raíz
cuadrada no es un número real, mientras que si 01sen 2 x , hay una indeterminación en
ambas funciones. No obstante, el ejercicio cumple una función útil en la aplicación de las
técnicas de integración, y se resuelve aplicando las herramientas de esta sección.
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 32
58. Cxx )]6(cot)6([cscln31
59. Cxxxx 2tan)4cot4(cscln22cot221
60. Cxxxx )(tanln4tan6tantan 2
233
61
61. C)(sen 2 23
32 x
2.4.- INTEGRALES DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS.
a) Integrales que contienen seno y coseno.
1. Cxx 5
513
31 coscos 2. C )3(cos)3(cos 7
2115
151
3. Cxx )(cos)(cos218
41
216
31 4. Cxxx 5
513
32 coscoscos
5. Cxxx 2cos2cos2cos 7
1415
513
61
6. Cxx 8
816
61 sensen
7. Cxxx 12
12110
518
81 coscoscos 8. Cxxx 3
163
1034
)(cos)(cos)(cos163
53
43
9. Cxx 3
31 sensen 10. Cxx 5
5
13
3
1 sensen
11. C ])4(sen[)4(sen 2
71
515
41 12. Cxx )sen(csc
13. Cxx csccsc3
31
14. Cxxx )sen (ln2cscsen 2
212
21
15. Cxx 2
812
41 2sen
16. Cxxx 4sen 2sen
321
41
83
17. Cxxx 12sen 6sen
961
121
83 18. Cxxx 4sen2sen
32
1
4
1
8
3
19. Cxx 4sen 321
81 20. Cxxx )2sen4sen ( 3
31
41
161
21. Cxxx 2sen4sen 3
48
1
64
1
16
1
22.- Cxxx 4sen8sen 3
961
1281
161
23.- Cxxx 8sen4sen
5121
641
643
24. Cxxxx ])6(sen)12(sen)6(sen[ 3
18
1
8
1
3
2
2
5
8
1
25. Cxxxx 6sen21sen 6sen 3
1441
641
121
165
26. C 2
4
3
2
5 sen2)2(sen 27. Cxxx )2(sentan 41
23
28. Cx 3
31 cot 29. Cxx 5
513
31 cotcot
30. Cxxx 5
513
32 tantantan 31. C
x
x
x
x
x
2tanln
8
3
sen 8
cos3
sen 4
cos24
32. C 4sen 321
81 33. C)(tan4 2
1
b) Integrales que contienen secante y tangente.
34. Cx )3(tan3
91 35. C ]1)2(tan[)2(tan 2
31
21
36. Cxx 4
416
61 tantan 37. Cxx )tan(tan 7
12
917
38. Cxxx ])4(tan)4(tan[)4(tan 212
314
101
21
39. Cxxx ])2(tan)2(tan[)2(tan 612
514
1413
40. Cxxx ])3(tan)3(tan[)3(tan 312
524
713
31
41. Cxx )1sec(sec 2
31 42. Cxxx )secsec(sec
3
12
5
24
7
13
43. Cxx )4(tan41 44. Cxxx tantan3
31
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 33
45. Cxxxx tantantan 3
315
51
46. Cxxxxxx )tan(seclntansectansec 83
833
41
47. Cxxxxxx )]3(tan)3([secln)3(tan)3(sec)3(tan)3(sec 81
813
121
48. Cxx )(coslntan2
21
49. Cxxxxx )][cos(ln3)tan(3)(tan)(tan 31
31
313
312
23
c) Integrales que contienen cosecante y cotangente.
50. C 4
41 cot 51. Cx )2(cot5
101
52. Cxx )cot1(cot 2
31 53. C ]ctg[cot 5
12
715
54. Cx 3
3
1 csc 55. C ]csc[csc 2
51
313
56. Cxx cottan 57. C cot4tan
58. Cxxx cotcot3
31 59. Cxx )sen (lncot 2
21
d) Integrales de productos de funciones trigonométricas.
60. Cw
twt
4
)(2sen
2
cos 61. Cxx )12(sen)2(sen 24
141
62. Cxx 5sen 25sen 101
501 63. Cxxx 2cos4cos6cos
81
161
241
64. Cxx )(cos)5(cos2
1
10
1 65. Cxx 2cos8cos41
161
66. Cxx
cos3
cos21
23 67. C
bx
a
xa
2
2cos
4
)(2sen
68. Cxx )25(sen)5(sen50
1
10
1 69. Cxx )(sen 3)(sen 61
65
53
70. xxx 7sen 5sen sen 181
201
21
2.5.- INTEGRALES CUYO INTEGRANDO ES LA DIFERENCIAL DE UNA
FUNCIÓN TRASCENDENTE.
Integrales de funciones trigonométricas inversas.
1. Cx 21
21 )(cos
2. Cx 2
3
)sen( 1
31
3. Cx 23
)2sen4( 1
31
4. Cx 2
3
)2(tan 1
31
Integrales de funciones logarítmicas.
5. Cx2
2
1 ln 6. Cx6
61 ln
7. Cx 3
31 )ln2( 8. Cxx 2
21 ln2 2
1
9. Cx 23
)ln1(32 10. Cxx 2
123
)ln1(2)ln1(32
11. Cx 1)(ln 12. Cx 23
)]1(ln1[32
13. Cx12
21 senln 14. Cx )1(ln2
15. Cx )1(ln 22
81 16. Cx )(lnln2
21
17. Cx )1(ln 22
41 18. Cxx 2
21 ]ln)1([ln
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 34
19. Cx )(cosln 22
41 20. Cx 3
1
)ln21(23
21. Cx 21
)2senln21(21
22. Cxx 2
5
)]1([ln 2
52
23. Cx 21
)4lnln2( 24. Cx )(lncos 25. Cx )(lnsen 26. Cx )](lnln[sec 27. Cx )]ln(ln[sec2
21
28. Cx )(cosln2
21
29. Cx ) 2sen (ln2
41
30. Cx )(tanln2
21
Integrales de funciones exponenciales.
31. Ce x 32. Ce x 6
61
33. Ce x 5
51 34. Ce
x
21
2
35. Ceaa
xx 1ln
1 36. Cee
xx
)(2 22
37. Cee xx 3
31 38. Cex x
39. Cee xx 40. Cexe xx
41. Cexee
x xe
2
21
1
21
42. Ceeee xxxx )(3)( 33
31
43. Ceaxae xaxa
a 22
21 24 44. Ceee xxx 2
214
41 2
45. Cxeeee xxxx 6)(2)( 2244
41 46. Ce x 54
201 )2(
47. Cxxxx 2
3ln21
6ln22
2ln21 362 48. Cx 10
10ln1
49. Cx 3
10ln3
1 10 50. Ca
a
b
b xx
lnln
51. Cxab
x
ab
ba
x
ba
)(ln
)(2
)(ln
)( 52. Ce x
2
2
1
53. Ce x 2
21 54. Cex
2
21
55. Cex 3
31 56. Cx
25
4ln101 4
57. )2(sen
ln21 x
aa 58. Ce x tan
59. Cex 1)1( 60. Ce x 13
61 )21(
61. Cex 1)1( 62. Ce y 12
21 )1(
63. Ca x
a 21
)1(
ln1 64. Cx 2
1
)1(
5ln2 5
65. Ce x 21
)52(
52 66. Ca xx
aln
ln1
67. Cxx )133(
10ln31
2
10
68. Ce xx 34
21
2
69. Ce xx 33
31
2
70. Ce xx )2(
21
2
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 35
71. Ce x tan 72. Ce x sec
73. Cee xx )](sen[ln 4
416
61 74. Cx )1(ln2 2
1
75. Ceb x 42
241 )3( 76. Cea a
x
34
)1(43
77. Cea ax
34
)1(43 78. Ceba x
b 23
)(32
79. Cee xx 23
25
)1()1( 2
312
51 80. Cxex 2
121
22
81. Cxex 313
1
33 82. x
e3tan
32
1
21
83. Cee xx 21
23
)1(2)1(32 84. C
x
12ln
12ln
85. Cee xx )](cot)([cscln 22
21
86. Ce x )(sec 2
21
87. Cex )1(ln4
41
Integrales de funciones hiperbólicas.
88. Cxx senhcosh 89. Cx 3
31 )(cosh
90. Cxx coshcosh3
31 91. Cxx 3
31 sechsech
92. Cxx 21
212
21 )(tanh)1(ln 93. Cx2
21 cosh
94. Cx )(coshln2
21 95. Cxe x 2
12
41
96. Cex x 2
41
21 97. Cxx 5
513
31 coshcosh
98. Cxxx 2
21
21
41 cosh2senh 99. Cxx 2
141 2senh
100 Cxx tanh 101. Cx
21
)cosh1(2
102. Cx )(cosh2 21
103. Cx )(coshln
104. Cx )]([coshln221
2.6.- INTEGRALES QUE CONDUCEN A FUNCIONES TRASCENDENTES.
Integrales que conducen a funciones logarítmicas.
1. Cx )1(ln 2
2
1
2. Cx )1(ln 2
3. Cx )5(ln 2
21
4. Cx )74(ln 4
285
5. Cxx )32(ln 2
21
6. Cxx )234(ln 32
61
7. Cxxxx )1(ln23)1()1( 2
233
31
8. Cxxx )2(ln1572
9. Cxxx )5(ln4519)5( 2
10. Cxxxx )3(ln237)3()3( 2
233
31
11. Cxx )52(ln413
23 12. Cxx )1(ln2
5
13. Cxx )31(ln)31( 3
11
31
14. Cxxxx ])13(4)13(6)13(ln33[ 21
811
15. Cx )1(ln2 21
16. Cx )1(ln 23
32
Capítulo 2. La integral indefinida.
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17. Cx )(lnln 18. Ce x )1(ln 19. Ce x )4(ln 20. Cex )4(ln 21. Cex )43(ln4
1
22. Ce x )2(ln 2
21
23. Cea xb
b )(ln1
24. Ce x )1(ln
25. Cex )1(ln 26. Cex x )1(ln
27. Cee xx )(ln 28. Ceexx
)(ln2 2
121
29. Ce x )3(ln 30. Cee xx )(ln 31. Cee xx )3(ln3 32. Ceee xxx )1(ln2)1( 2
21
33. Ceee xxx )2(ln)2( 3
343
3423
61
34. Cx )ln1(ln
35. Cx )(lnln2 36. Cxxx )1(lnln3ln2)ln1( 2
21
37. Cx )](ln[lnln 38. Cxx )(lnlnln
39. Cxx )4(lnln2lnln 40. Cxx )]1([lnln 2
41. Cxx 1)1(ln)1(lnln 42. Cex x )(tanln
43. Cx )1(tanln 44. Cx )tan2(ln
45. Cx )(tanln 46. Cxxx )5(cosln38cos12)5(cos 2
21
Integrales que conducen a funciones trigonométricas inversas.
47. Cxaa )(sen 11 48. Cx )(sen 321
21
49. Cx )(sen 251
5
1 50. Cx )(sen 751
5
1
51. Cx )(sen 2
431
61 52. Cx )(sen 2
231
32
1
53. Cx )1(sen 211 54. Cx )(sen 31
31
55. Cx )(sen 31
91 56. Cx )(lnsen 1
57. Cx )(lnsen 1 58. Cex )(sen 1
59. Cx )sen(sen 311 60. Cx )1(sen 1
61. Cx )(sen 31
321 62. Cx )(sen 2
1411
63. Cx )(sen 32
611 64. Cx )(sen 2
3211
65. Cx )1(sen 321 66. Cxx )1(sen 2])1(1[ 12
1
67. Cx
x
5
1sen])1(5[ 12 2
1
68. Cx
x
3
2sen])2(9[ 12 2
1
69. Cxx )32(sen3])([ 12
23
41 2
1
70. Cxx
2
1
])2(6[6
2sen 21
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 37
71. Cxx 21
])2(1[)2(sen 21 72. Cx
x
21
])1(4[22
1sen 21
73. Cx
x
5
2lnsen2])2(ln5[ 12 2
1
74. Cx
2
2sen sen 2 1
75. Cee xx 21
])([2)32(sen 2
23
411
25
76. Cx )2(sec 1 77. Cx )(sec 321
31
78. Cx )2(sec 1 79. Cx1
31 sec
80. Cx )(sec 21
21 81. Cx )cos(sec 8
11
81
82. Cx )cos2(sec2 1 83. Cx )sen(sec5
11
5
1
84. Cx )(sec2 21
1 85. Cex )(sec 5
11
86. CeCexx
)(sen2)(sec2 21
21
11 87. Cx )1(sec 1
88. Cx1tan4 89. Cm
nx
m
1tan1
90. Cx )(tan 2
3
31
6
3 91. C
b
x
b
a
2
21
2tan
2
92. Cx )(tan 3
511
151 93. Cx )(tan 41
41
94. Cx )sen (tan 1 95. Cx )cos2(tan2 -1
96. Cx )(costan 1 97. Cx ])3(cot[tan 511
151
98. Cx
5
sectan 1
5
1 99. Cx )sec(tan 321
61
100. Cx )sen(tan 21
21 101. Cx ])2(sen[tan 21
102. Cx )(lntan 1 103. Cx )(lntan 1
104. Cex )(tan 1 105. Cax
a )(tan 1
ln1
106. Cx )(tan2 21
1 107. Cxx )3(tan 1
271
91
108. Cxx )(tan22 21
21
1 109. Cxxxx 122
23 tan4)1(ln34
110. Cxx 12
21 tan)1(ln 111. Cxx 1tan2ln
112. Cxxe x 122
41tan tan)1(ln
1
113. Cx )(tan 21
211
21
114. Cx )(tan 31
311
31 115. Cx )12(tan 1
21
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 38
116. Cy ])5([tan5
11
5
1 117. Cx
x
2
1tan]2)1[(ln 1
2
12
118. Cx
x
2
3tan3]4)3[(ln 12
119. Cx
x
23
1
32
232
41
2tan])2[(ln
120. Cxxx )(tan]4)1[(ln 21
211
232 121. Cxx )1(tan 2
11
212
21
122. Cex ])12([tan11
11
11
2 123. Cee xx )1(tan]4)2[(ln 2112
21
124. Cx
xxx
23
12tan)6ln(2
21
21
21
1
23
11
Integrales que conducen a funciones hiperbólicas inversas.
125. Cx )(senh 31-1 126. Cx )2(senh-1
21
127. Cx )sen (senh-1 128. Cex )(senh 1
129. Cx )(senh 23
211 130. Cx )cos2(csch2 1
131. Cx )(csch 211
21 132. Cx )(cosh 2
32
211
23
133. Cx )(cosh 21
21 134. C
x
3
2cosh 1
135. Cx )2(csch 1 136. Cx )(tanh 2
31
61
137. Cx )(tanh431
121 138. C
x
5tanh
53
1 31
139. Cx
6
2tanh 1
6
1 140. Cex )(tanh 1
141. Ceex xx )12(tanh3)1(ln 1
21
21
2.7.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES.
Ecuaciones diferenciales de primer orden.
1. Cxxxyy )126(2)6(3 23 2. Cxy 22 4
3. Cxxxy )1(ln2
2
12
2
1 4. Cxy 24
5. Cyx 22
4113
31 )1()1( 6. Cyx
21
21
7. Cxxy 2
211 8. Cxy 21
9. Cxxxyy )126(2)6(3 23 10. Cxy 2
232 2
1
)1(
11. Cxy 21
)12( 12. Cxxy 43
311
13. Cxy 12 21
)1( 14. Cyx 32 23
)3(
Capítulo 2. La integral indefinida.
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15. Cyx 32
312
21 )1( 16. C
yxx
64
152 2
17. Cxxy 34
34
)2(2)2( 43
43 18. Cyyxx 2
213
32
61
101 2
325
)12()12(
19. Cxy cottan 20. Cyxx )1(cos)26(sen 2
61
21. Cttxx 4222sen 2 22. Cxy )2sen(ln21
23. Cxyy 2tan2tan21
21 24. C2cot2cos 2
1 yx
25. C)(sen 2)(tanln21
41 xy 26. Ctttv 62 23
27. CttttCtS 2344
81 342)12(
28. Cttty 13
3
4 4
Problemas de valor inicial.
29. 143 3 xxy 30. 5)2(2 2
1
xy
31. 3)9( 2
12 xy 32.
24
12
41 2
1
)1(
xy
33. 3]1)1(2[ 21
3 xy
34. 21
23
21
23
)4(10)4()3(10)3(32
32 xxyy
35.
102923
315
526
61 42)1()1( xxxyy
36. 280597
728
815
51 )1()1()2( xxy
Ecuaciones diferenciales de segundo orden.
40. 21
23
6
1 CxCxxy 41. 21
2
2
14
12
5 CxCxxy
42. 21151 2
5
)32( CxCxy 43. 21281 3
7
)13( CxCxy
44. 21)3(sen CxCxy 45. 2191
91 3cos3sen CxCxxy
Problemas de valor inicial.
46. 21
151 2
5
)12( xxy 47. 739
281 3
7
)13( xxy
48. 672
233
32 4 xxxy 49.
6472
233
32 8)( xxxxf
50. 3233
3212
1612
41 4cos2)()( xxxxf
51. 42 xxy 52. 364
4
1 xxy
53. xxy 34 2
1
54. 2844 2
1
xxy
55. 6
412
2
13
3
2 4 xxxy
Capítulo 2. La integral indefinida.
Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 40
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LANG, S, A Second Course in Calculus, 2 ed., Adisson – Wesley Publishing Company,
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LARSON, R y HOSTETLER, R, Cálculo y Geometría Analítica, 2 ed., Editorial
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THOMAS, G, Cálculo Infinitesimal y Geometría Analítica., Aguilar S. A de Ediciones.
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ZILL, D, y WRIHGT, W. Cálculo de una variable. Cuarta edición. Mc Graw – Hill /
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