Integral indefinida 1

8/14/2019 Integral indefinida 1

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COLEGIODEBACHILLERES

CLCULO DIFERENCIALE INTEGRAL II

FASCCULO 2. LA INTEGRAL INDEFINIDAUNA VISIN ESTTICA

Autores: Luisa Guerrero ChvezMauro Enrique Vzquez Muoz


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COLEGIO DE

BACHILLERES

Colaboradores:

Asesora Pedaggica:

Revisin de Contenido:

Diseo Editorial:Leonel Bello CuevasJavier Daro Cruz Ortiz


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INTRODUCCIN 5PROPSITO 7

CAPTULO 1. INTEGRAL INDEFINIDA 9

1.1 ANTIDERIVADA O FUNCIN PRIMITIVA 12

1.2 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA 15

1.3 CONSTANTE DE INTEGRACIN 19

1.4 DETERMINACIN DE LA CONSTANTE 23

1.5 COMPARACIN ENTRE INTEGRAL 28INDEFINIDA Y DEFINIDA

1.6 ALGUNOS CASOS BSICOS DE 30

INTEGRALES INDEFINIDAS

RECAPITULACIN 36

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIN 37

AUTOEVALUACIN 38

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIN 39

BIBLIOGRAFA CONSULTADA 40

N D I C E


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4


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5

La integral definida b

adxxf )( expresada como la suma xxf )( permite calcular el rea

bajo una curva con base en el Teorema Fundamental del Clculo, el cual faculta laevaluacin de una integral definida rpidamente. Tambin ayudar a entender la

diferencia y similitudes entre la integral indefinida y la integral definida.

En algunos ejemplos se encontrar que el intervalo de integracin es variable, por lotanto, lo que se resolver sern integrales indefinidas con base en lo aprendido enClculo Diferencial e Integral I, ya que debers obtener una funcin antiderivada oprimitiva F(x) tal que su derivada sea la funcin original, esto es:

)()(

xfdx

xdF=

I N T R O D U C C I N


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6


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7

El clculo diferencial y el clculo integral son procesos inversos cuyo anlisis de relacinse alcanza con el contenido del presente fascculo, el cual pretende que al concluir suestudio:

QU APRENDERS?

CMO LO APRENDERS?

PARA QUE TE VA A SERVIR?

P R O P S I T O

El Teorema Fundamental del Clculoy a resolver integrales indefinidas ydefinidas.

Mediante la relacin existente entreambas integrales y el procedimientode evaluacin y solucin de dichasintegrales

Para evaluar una integral definida(rea bajo una curva) de funcioneselementales y para determinar elvalor de la constante de integracinque se indica explcitamente en cadaintegral indefinida.


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CAPTULO 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA

Durante un recorrido en autobs, un estudiante observ que el velocmetro marcaba 15km/h y que este trayecto se hizo en una hora; al llegar a una parte de subidas y curvas lavelocidad era de 40 km/h, y al salir de stas la velocidad era de 60 km/h. Al circular en laautopista, la velocidad era de 90 km/h. Con estos datos el observador hizo la siguientegrfica.

Figura 1.

Esta grfica representa los cambios de velocidad en un intervalo de tiempo, pero no dicecuntos kilmetros son, ya que son resultados acumulados de razones de cambio, masal tomar la suma de los productos de las razones de cambio multiplicados por el intervaloel resultado obtenido ser la suma total de los procesos de cambio. Por consiguiente,para obtener la distancia total se tiene:

15 km/h(1h) + 40 km/h(1h) + 60 km/h(1h) + 90 km/h(1h);

entonces la distancia resulta:

15 km + 40 km + 60 km + 90 km = 205 km.

1 2 3 4 t h

80

60

40

20

v(km/h)


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10

La figura 2 representa la distancia total recorrida en 4 h.

Figura 2.

De acuerdo con las grficas se puede establecer que obtener la distancia que recorre elautobs implica sumar o integrar esa razn de cambio simblicamente, por lo tanto,

= svdt funcin desplazamiento

funcin velocidad

o inversamente, Si es la distancia o desplazamiento lo que se tiene y deseas obtener la

velocidad, debes derivar la funcin desplazamiento vdt

ds= .

Lo anterior es una explicacin que te ayudar a entender el porqu de ciertas funciones

continuas; por ejemplo:

(1) (x) = x2, cuya grfica es:

(2) (x) = x2 + 2, cuya grfica es

t h

s km

1 2 3 4

205

115

55

15

205


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(3) (x) = x2 2, cuya grfica es

Al derivar obtienes otra funcin: 1(x) = 2x , 2(x) = 2x y 3(x) = 2x , que al integrarlasse regresa a las funciones (1, (2) y (3).


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1.1 ANTIDERIVADA O FUNCIN PRIMITIVA

A lo largo de tu formacin acadmica has observado que en Matemticas existen

operaciones y funciones inversas, algunos ejemplos se especifican en la siguiente tabla:Operacin o funcin Smbolo Operacin o funcin SmboloSumaMultiplicacinFuncin exponencial

+x

y = ax

RestaDivisinFuncin logartmica

-+

y = logax

Respecto a la derivada y la antiderivacin, stas se manejarn como procesos inversos.

En relacin con la derivada y antiderivada se tiene una funcin continua F(x) y por

tcnicas ya conocidas se determina la derivada, o seadx

xdF )(; por consiguiente, al

derivar la funcin primitiva obtenemos otra funcin (x), mas si a sta se le aplica elproceso inverso, la antiderivacin guardara una funcin primitiva u original, es decir, laque le dio origen.

En los conceptos estudiados en Clculo Diferencial hay uno que plantea el siguienteproblema: dada una funcin, encontrar su derivada, que en Clculo Integralestudiaremos como el problema inverso: dada la derivada de una funcin, hallar lafuncin original o primitiva. Supongamos que deseamos encontrar una funcin F(x) quetiene como derivada a:

xdx

xdF3

)(= 2

Con base en la derivada se dira que:

3)( xxF = porque 23

3)(

xdx

dx

dx

xdF==

o podemos decir que:

4)( 3 += xxF porque 23)(

xdx

xdF=


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13

Sus grficas seran:

Figura 3.

De acuerdo con lo anterior, si llamamos a la funcin F(x) antiderivada o primitiva de ,decimos que x3 es antiderivada o primitiva de 3x2.

La derivacin y la antiderivacin, que se consideran procesos inversos, podemosesquematizarlas como sigue:

Integracin Derivacin

De acuerdo con el esquema, F(x) es una antiderivada o primitiva de (x) en un lugar dela antiderivada o primitiva de (x). Por qu?

Una antiderivada o primitiva de (x) = 2x es F(x) = x2, puesto que xdx

xdF2

)(=

Incluso podemos decir que F1(x) = x2 1 y F2(x) = x

2 + 10 son antiderivadas o primitivas

de (x) = 2x, puesto que )()()( 21 xfDX

XdFdx

xdF ==

(x) es unafuncin que dauna razn decambio.

Integrando larazn de cambiose obtienen susefectos

acumulados,F(x).

Derivando losefectos cumuladosse obtiene larazn

De cambiooriginal, (x).

0x

y

3x

0x

yx


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Si F(x) es un antiderivada (primitiva) de una funcin (x), entonces G(x) = F(x) + Ctambin lo es. Aqu C representa una constante (valor independiente de x) y G(x) es otrafuncin cualquiera.

Por qu G(x) tambin es una antiderivada o primitiva? Si suponemos que G(x) es unaantiderivada o primitiva entonces concluimos que:

)()(

xfdx

xdG=

Hemos dicho que G(x) = F(x) + C, mas si derivamos se tendr:

)(0)()()()(

xfdx

xdF

dx

dC

dx

xdF

dx

CxdF

dx

xdG=+=+=

+=

Por lo tanto, )(

)(xfdx

xdG

= . Por consiguiente, G(x) es una antiderivada o funcin primitivade (x).

De esto concluimos que la antiderivada (o primitiva) de (x) debe tener la formaG(x) = F(x) + C, es decir, dos antiderivadas de la misma funcin pueden diferir cuandoms en una constante.

En adelante se har referencia a F(x) + C como la antiderivada de (x). Adems,F(x) + C representa un conjunto de funciones del cual cada miembro tiene por derivadaa (x), y C tendr valores diferentes.


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1.2 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA

Si F(x) y G(x) son antiderivadas o primitivas de (x) que difieren cuando ms en una

constante, podemos decir que al derivar la funcin primitiva obtendremos la funcinoriginal, esto es:

F(x) = (x),

O bien

)()('

xfdx

xdF=

Lo anterior puede expresarse como:

dF(x) = (x)dx

o

dF(x) = F(x)dx.

La operacin para encontrar todas las soluciones de la ecuacin anterior se llama

antiderivacin o integracin, y se representa por , que es una sigma maysculaestilizada.

As, podemos representar la solucin como

dxxf )( = F(x) + C,

donde dxxf )( se lee como la integral o antiderivada de (x) respecto ax.

De acuerdo con la simbologa:

(x) es el integrando es el signo de integral

(x)dx es el elemento de integracin C es la constante de integracin

Recuerda que F1(x) = x2 1 y F2(x) = x2 + 10 son dos antiderivadas o primitivas de lafuncin (x), pero son las nicas? Para responder, de la funcin (x) = x obtengamossus antiderivadas o primitivas.


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antiderivada de x es2

2xporque la derivada de

2

2xes x

antiderivada de x es 12

2

+

x

porque la derivada de 12

2

+

x

es x


2

xporque la derivada de 7

2

2

xes x


2+


2

2+

xes x


2+


2

2+

xes x

Hay otras antiderivadas o primitivas de la funcin (x) = x ? Podras demostrar quehay otras expresiones antiderivadas de x ? Haz el ejercicio anterior con base en laderivacin como comprobacin. Nos referimos a:

Una antiderivada de x es 82

2+

x, porque [ ] x

x

dx

dx

dx

d0

28

2

22=+=+

Para los ejemplos anteriores se debe entender que aunque la funcin (x) = x tiene unnmero infinito de antiderivadas o primarias, hay una parte de todas ellas quepermanece:

22x

As podemos escribir todas las antiderivadas o primitivas de x con base en la siguientenotacin.

Antiderivada dex es Cx

+2

2,

donde C es un nmero que llamaremos constante de integracin.

La ecuacin anterior se expresa en forma simblica como:

+= Cx

xdx2

2es la antiderivada o integral indefinida.


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Es decir, para indicar una antiderivada o primitiva o integral indefinida de una funcingeneral (x) es comn encontrarla con la siguiente simbologa:

+= CxFdxxf )()( , llamada integral indefinida de la funcin (x).

Pero, por qu una funcin puede tener un nmero infinito de antiderivadas? Se darndos respuestas: una analtica y otra geomtrica.La primera es simple, pues la hemos estado usando: por ejemplo, recuerda quehabamos mencionado a:

72

2

xy 11

2

2

x

Como algunas de las antiderivadas de la funcin (x) = x. Esto se comprueba derivandoambas frmulas, como ya se haba indicado.

De stos dos ejemplos se deduce que podemos aadir una constante arbitraria deintegracin porque la derivada de la constante es cero. Cualquiera que sea el valor de laconstante, no tiene efecto al calcular la derivada.

La respuesta geomtrica est en razn de la interpretacin de la derivada como unapendiente. La figura 4 muestra tres diferentes curvas, cada una de las cuales tiene lamisma derivada, mostrada en la figura 5. As, la antiderivada de x representa una familia

de funciones, todas de la forma Cx

+2

2.

Figura 4.

f(x)

x

-2 -1 1 20

-2

1

2

-1

12

)(2=

xxf

2)(

2xxf =

12)(

2

+=

x

xf


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Figura 5.

f(x)

x-2 -1 1 20

-2

12

-1

f(x)


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1.3 CONSTANTE DE INTEGRACIN

En la figura 4 se observa que Cde la antiderivada puede tomar diferentes valores, que

dependen de la funcin original Recuerda que en Clculo Diferencial se daban, porejemplo, las siguientes funciones:

(x) = x + 4

(x) = x 10

(x) = x + 1,

que al derivarlas obtenas:

(x) = x

(x) = x

(x) = x

Qu pasaba con los valores 4, 10 y 1? Estos valores, que si bien valen cero en lafuncin derivada, son de gran importancia en Clculo Integral, si queremos obtener lasfunciones originales a partir de las funciones derivadas.

Para entender lo anterior, adems del trmino constante de integracin, pasaremos a lasfunciones planteadas en el Cuestionamiento gua, esto es:

(x) = x2 (1)

(x) = x2 + 2 (2)

(x) = x2 2 (3)

Analizando veremos que:

En la funcin (1) la constante no existe, por lo tanto, es cero.En la funcin (2) la constante vale 2.En la funcin (3) la constante vale 2.

Para un mejor anlisis recurramos al aspecto grfico, esto es, hacer la grfica de cadafuncin (figura 6), Tabularemos la primera funcin y t hars las restantes.

(x) = y = x2

y = x2

o (x) = x2


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Tabulacin Grfica

x y = x 2

3 9

2 41 10 01 12 43 9

Figura 6.

Obsrvese la posicin sobre los ejesxy yde cada una de las grficas, qu diferenciasy similitudes hay? Para una mejor comprensin de lo que es Clculo Diferencial eIntegral hagamos lo siguiente:

Al derivar la funcin (1) tendremos xdx

dx2

2= (1)

Al derivar la funcin (2) tendremos ( ) xdx

xd 222 =+ (2)

Al derivar la funcin (3) tendremos( )

xdx

xd2

22=

(3)

Estas derivadas tienen la misma expresin matemtica, aun cuando prevengan dediferente funcin; mas si recurrimos al proceso inverso, es decir, integramos la funcinderivada, entonces:

Se integra la funcin (1)

+= Cxxdx 22 , porque xdxdx

22

= .

f(x)

x

-3 -2 -1 1 2 3

2

1

4

6

8

-2-3

0


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21



22

= .



22

= .

Como la integracin es un proceso inverso de la derivacin se infiere que al integrar lasfunciones (1), (2) y (3) tendramos las funciones (1), (2) y (3); sin embargo, en losresultados de la integracin no se cumple, por qu?, Qu hace falta para obtener lasfunciones (1), (2) y (3)? Se debe agregar a la integral indefinida una constante, Cque alcalcularse podremos determinar las funciones (1), (2) y (3), respectivamente. Por lotanto, lo correcto es escribir la integracin de la siguiente forma:

+= Cxxdx 22 , donde c = 0



Se advierte que el valor de Ces fcil inferirlo porque ya conocamos las funciones (1), (2)y (3); sin embargo, no ocurre as en todos los casos, pues las ms veces debemosindicar la constante, C, cuando efectuamos una integral indefinida. En otros casos senos dan algunas condiciones iniciales de la funcin para determinar el valor de C.

Antes de determinar el valor de la constante es importante ver en forma grfica larelacin entre la integracin y diferenciacin. Para esto vemos el siguiente ejemplo.

De la funcin (1), (x) = x2 sabemos que su grfica es una parbola cuyo vrtice es elorigen y concavidad hacia arriba; al obtener la derivada resulta otra funcin que es deprimer grado (una recta). Este proceso se estudi en Clculo Diferencial (Figura 7), pero

en Clculo Integral se tiene el proceso inverso, porque a la funcin derivada hay queaplicarle el proceso de integracin (Figura 7b).


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22

Figura 7a.

Figura 7b.

x

-3 -2 -1 1 2 3

f(x)

4

8

0-2 1 2 3 4

x0

8

f(x)

Derivacin

x2 2x

x

-3 -2 -1 1 2 3

f(x)

4

8

0-2 1 2 3 4

x0

8

f(x)

Integracin

2x

Puedes inferir qu grfica obtendrs?


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1.4 DETERMINACIN DE LA CONSTANTE

Se ha visto que evaluar una integral indefinida implica que hay una constante de

integracin C, la cual, al evaluarla, obtendremos la funcin original. Si retomamos lasfunciones (x) =x2, (x) =x2 + 2 y (x) =x2 2, de manera general podemos indicar que

y= (x) =x2 + C

representa una familia de parbolas y cada valor de Ccorresponde a una de ellas; porejemplo:

y=x2 + 2

y=x2 2

y=x2 3

y=x2 + C y=x2 C

y=x2 + 1/4

y=x2 + 10

y=x2 1/16

Se observa que C toma diferentes valores, incluso cero, y toma la forma y = x2. Acontinuacin se indican ciertas condiciones iniciales para determinar el valor de laconstante, C.

Si queremos que una de las parbolas descritas por la ecuacin y=x2 + Cpase por el

punto P(2,1), al sustituir tendremos:

y=x2 + C si P(2,1) que es condicin de la funcin1 = 22 + C1 = 4 + CC= 1 4C= 3.

Entonces se estar hablando de la parbola y = x2 3. Veamos otro ejemplo:

Si y=x2 + Cy uno de sus puntos es P(1,3) tendremos:

y=x2 + C

3 = 1

2

+ C3 = 1 + CC= 2,

Y la parbola ser y = x2 2


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Adicionalmente calcula la constante de y = x2 + Csi queremos que los siguientes puntospertenezcan a las parbolas. Comprueba lo anterior trazando las parbolas.

P(3,1) P(4,3)

P(3,2) P(3,4)P(2,5) P(3,2)

Cuando se conoce esta constante de integracin podemos llegar a la funcin primitivaque dio origen a la derivada.

Veamos cmo determinar la constante de integracin a partir de otro enfoque. Para ellorecuerda lo estudiado en el Fascculo 1, de Clculo Diferencial e Integral II, donde seindica que debes:

=x

adxxfxA )()( si 0)( xf en [ ]xa,

o bien,

)()( xAdxxfx

a= si 0)( xf en [ ]xa,

es decir, en estas circunstancias la integral definida representa geomtricamente el reabajo la curva (x) cuandoxvara en [a,x].

En este fascculo se lleg a la expresin de integral indefinida como:

= )()( xFdxxf .

De estas dos expresiones se deduce que las integrales de la misma funcin difierennicamente en una constante, ya queA(x) y F(x) son dos integrales de (x):

A(x) = F(x) + C;

Por lo tanto, el siguiente paso es determinar el valor de C, consideremos el reasombreada bajo (x) entre las lneas verticales sobre (a,0) y (x,0) de la figura 8.

Figura 8.

f(x)

xa x0


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25

Aqu A(a) = 0 es el rea del segmento con extremos en (a,0) y (a,(a)). UsandoA(x) = F(x) + Cy cuando x = a:A(a) = F(a) + C;

peroA(a) = 00 = F(a) + C

C= F(a)

De la ecuacin anterior recuerda que:

A(x) es el rea bajo la curva (x) en el intervalo [a,x]

F(x) es la integral indefinida dxxf )(

F(a) es F(x) evaluada en a.

Encontremos ahora el rea bajo la curva y=x2 desde 0 hastax(figura 9).

Figura 9.

Como sabemos =+= )(33

2 xFCx

dxx

A(x) = F(x) F(0);

Pero Cx

xF +=3

)(3

y CF += 3

0)0(

3

;

x

f x

1 2 x0


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Por lo tanto, al sustituir enA(x),

+

+= CC

xxA

3

0

3)(

33

3

)(3x

xA = .

Observa que la constante, C, se elimina al encontrarse la expresin F(x) F(a); as,podemos omitir sencillamente C, como en el siguiente ejemplo:

Puedes encontrar el rea bajo la curva y = 2x2, entre los puntos (2,0) y (3,0) de la figura10?

Figura 10.

Solucin

A(x) = F(3) F(2),

Donde F(x) = dxx22 = 32 3x

As, F(3) =( )

183

32 3= y F(2) =

( )3

16

3

22 3=

Al sustituir en la primera expresin, el rea es:

A(x) =3

38

3

1618 = .

x

f(x)

1 2 3 40


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27

Se concluye que si se pide el rea limitada por la curva (x) cuyo intervalo es [a,b](figura 11), podemos encontrarla con:

=b

adxxfA )(

o bien

A = F(b) F(a), siempre que F(x) = (x) F(x) = dxxfxF )()( .

La ltima expresin deA indica que el rea tambin puede encontrarse en trminos de laintegral indefinida.

Figura 11.

De acuerdo con lo anterior tenemos la relacin

)()()( aFbFdxxfba

= , si = dxxfxF )()( .

En consecuencia, la integral definida puede expresarse en trminos de una integralindefinida evaluada en los lmites. Este resultado suele llamarse Teorema Fundamentalde Clculo.

f(x)

xa b0


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1.5 COMPARACIN ENTRE INTEGRAL INDEFINIDA YDEFINIDA

Es importante establecer la relacin entre integrales indefinidas y definidas, ya que sonmuy diferentes aun cuando existe una relacin estrecha entre ellas.

La integral definida b

adxxf )( se define en trminos del lmite de una suma:

[(x)x] o bien [(x)x].

La integral definida es un nmero (frecuentemente en dimensiones como cm2 o m2) quese aproxima por trminos de sumas cuyo nmero de rectngulo se hace infinito y elancho de la base de los mismos se aproxima a cero.

La integral indefinida dxxf )( es una funcin cuya derivada es (x).

Como ejemplo de distincin entre la integral definida e indefinida tenemos:

2

0

2

3

2

223

0

3

0

2==

xxdx

3

0 2

9xdx

cuya grfica se muestra en la figura 12.

Figura 12.

f x)

f x) = x

9/2

0 4x


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29

En cuanto a la integral indefinida

Cx

xdx2

2

,

La grfica correspondiente es la figura 13, que es una familia especfica de funcionesdonde la diferencia entre cada una es la constante.

Figura 13.

ACTIVIDAD DE REGULACIN

Verifica y evala lo siguiente:

1. dxx3 4. 3

1

3dqq

2. 2

1

3dxx 5. G\

3. 6.

x

y


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1.6 ALGUNOS CASOS BSICOS DE INTEGRALESINDEFINIDAS

De la siguiente serie de funciones obtener su antiderivada o primitiva para observar ydeducir su comportamiento.

1. Antiderivada de 1=x 4. Antiderivada de4

43

xx =

2. Antiderivada de2

2xx= 5. Antiderivada de

5

54

xx =

3. Antiderivada de3

32

xx =

Puedes dar el patrn de stas frmulas? Hay una frmula para una antiderivada decualquier funcin de la forma x

n, que siempre es una constante multiplicada por x

n+1.

Entonces, cuando derivamos sta funcin llegamos a otra funcin cuyo exponente esuno menos que el de la funcin original. Por lo tanto, si antiderivamos una funcin,llegamos a una nueva funcin cuyo exponente es ms uno que la funcin original. Estonos lleva a las siguientes frmulas:

Funcin Derivada Funcin Antiderivada

1 0 1 x + C

Cx

+

2

2

Cx

+

3

3

Cx

+

4

4

Cx

+

5

5

Cx

+

6

6

. . . .

. . . .

. . . .

Cn

xn+

+

+

1

1

x 1 x

x2

2x x2

x

3x x

x4

4x3 x

4

x5

5x4 x

5

xn nxn1 xn


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31

Por lo tanto, antiderivada de Cn

xx

nn +

+=

+

1

1. Por ejemplo, si n = 3, antiderivada de

413

1 433

xxx =

+

+= .

Que est de acuerdo con el resultado de la tabla.

Si n = 7, entonces de acuerdo con la frmula antiderivada de

817

8177

xxx =

+=

+

Para comprobar la frmula general de antiderivada o funcin primitiva basta con derivarla siguiente funcin:

1

1

+

=+

n

xy

n

de la cual resulta

( ) nn

xn

xny

11'

11=

++=

+

que es la funcin con la cual empezamos y muestra que la frmula general es correcta.

La integral de las funciones (x) = 1 y (x) = x permite ver el comportamiento de laintegral definida con el de la integral definida o antiderivada.

Figura 14.

El rea bajo una curva en un intervalo cerrado se calcula por medio de la integraldefinida.

=b

axf )( rea

Respecto a la figura 14 tenemos (x) = 1 y el rea de un rectngulo es bh (base poraltura), por lo tanto:

f(x)

1 2 3 xn

A1 A2 A3 An

2

1

x0


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32

=b

abhdxxf )(

==1

0 1)1)(1(dx , que es el rea del rectngulo A1

==2

02)1)(2(dx , que es el rea del rectngulo A2

==nx

nn xxdx0

)1)(( , que es el rea del rectngulo n simo

De esta integral definida resulta el rea del n simo rectngulo. Para la misma funcin laintegral indefinida es:

+= Cxdx

En el caso de la integral indefinida para la misma funcin el resultado no es un nmero,es una familia de funciones de la forma x + C.

Figura 15.

El rea est definida por:

=b

adxxf )( rea

En este caso (x) = x, y el rea2

bh(rea de un tringulo).

f x

f x = x

1 20 xnx


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33

Por lo tanto,

=b

a

bhdxxf

2)(

==1

0 2

1

2

)1)(1(xdx

==2

0 2

4

2

)2)(2(xdx

( ) ==

nxnnn xxx

xdx0

2

22

))((.

De la integral definida resulta un valor numrico, que en este caso representa el rea deltringulo n-simo. Para la integral indefinida de la funcin (x) = x se tiene:

+= Cx

xdx2

2

Que representa una familia de funciones Cx

+2

2donde C es el valor que caracteriza a

una de esas funciones.

En los siguiente ejercicios encontramos la integral indefinida.

1. (x) = x4

4. (x) = x

2. (x) = 1 5. (x) = x3

3. (x) = cos x 6. (x) = sen x

Como la integral indefinida es equivalente de antiderivada podemos indicar como:

1. Antiderivada de x4

4. Antiderivada de x

2. Antiderivada de 1 5. Antiderivada de x3

3. Antiderivada de cos x 6. Antiderivada de sen x


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Si lo anterior lo indicamos con una simbologa ms adecuada, de hecho lo que nos pidees:

1. dxx4 4. xdx

2. dx 5. dxx3

3. dxxcos 6. dxsenxPara resolver las integrales recuerda que debemos encontrar una funcin F(x) tal que:

)()(

xfdx

xdF= .

A fin de resolver la integral 1 podemos hacer uso de la tabla de antiderivadas, por lotanto:

Cxx

dxx +=+

=+

514

5144

Con objeto de comprobar que es correcto hacemos:

[ ] 4455

05

5

5

5x

xC

dx

dx

dx

dC

x

dx

d=+=+

=

+ .

Entonces:

Cx

dxx +=5

54 .

La integral indefinida de la funcin 3 es:

+= Csenxdxxcos ,

Porque

[ ] [ ] [ ] xxCdx

dsenx

dx

dCsenx

dx

dcos0cos =+=+=+


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1. Resuelve los ejercicios 2, 4, 5 y 6

La dificultad para encontrar la integral indefinida de una funcin se resuelveparticularmente para cada funcin, ya que no hay un mtodo general para resolverla. Noobstante, en ciertos casos es sencillo encontrarla, mediante las derivadas de lasfunciones.

En las siguientes propiedades de la integral indefinida se indican dos frmulas quepertenecen a la tabla de integrales inmediatas que estudiars ms adelante. Es fcilcomprobar que las igualdades indicadas son vlidas mediante la derivacin, es decir, sepuede verificar que la derivada del segundo miembro es igual al integrando.

Las propiedades generales de las integrales indefinidas pueden tambin deducirse delas propiedades homlogas de las derivadas.

1. La integral de una suma es igual a la suma de las integrales.

[ ] = dxxgdxxfdxxgxf )()()()( .

2. La integral de una constante por una funcin es la constante por la integral de lafuncin.

dxxfkdxxkf )()( .

3. La integral de una potencia es igual a la potencia ms uno entre la potencia msuno.

Cn

xdxx

nn

1

1, si n 1.

ACTIVIDAD DE REGULACIN


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Concepto de Integral Indefinida

Constante de Inte racin

Determinacin de laConstante de integracin

Comparacin entre IntegralIndefinida y Definida

Algunos casos bsicos

de integrales indefinidas

Antiderivada

oFuncin primitiva

RECAPITULACIN


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Responde los siguientes ejercicios.

1. Sea la funcin y= (x) =x3

(a) Grafica la funcin (x)(b) Obtn la derivada de (x)(c) Grafica la funcin derivada (x)(d) Integra la funcin derivada(e) Grafica el resultado del inciso anterior para cuando C= 1,C= 0 y C= 2(f) A qu conclusin llegas de acuerdo con tus respuestas?

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIN


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1.a) Es una funcin polinomial de grado 3 cuyo punto de inflexin es el

origen.

b) (x) = 3x2

c) Es una parbola con vrtice en el origen y concavidad hacia arriba.d) Familia de curvas polinomiales de grado 3.e) La integracin es el proceso inverso de la derivacin, ya que esto se

observa grficamente; adems, se puede tener un nmero infinito deantiderivadas.

AUTOEVALUACIN


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Para complementar lo aprendido en este fascculo te recomendamos visitar el MuseoUniversum de Ciudad Universitaria, donde encontrars aplicaciones y conceptos delClculo Diferencial e Integral. Haz una lista de aplicaciones de las integrales indefinidascon base en diferentes libros de clculo.

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIN


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BOSCH, Guerra, et. al. Clculo Diferencial e Integral. Publicaciones Cultural, Mxico,1987.

DEL GRANDE, Duff. Introduccin al Clculo Elemental. Harla, Mxico, 1972.

FRANK, Ayres, Jr. Clculo Diferencial e Integral. (Serie Schaum). Mc. Graw-Hill, Mxico.

KLEPPNER, David Ramsey. Curso rpido de Clculo Diferencial e Integral. Limusa,Mxico, 1975.

BIBLIOGRAFA CONSULTADA

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Integral indefinida 1