Apostila Diagrama de Bode

J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode

1

9 – Diagramas de Bode

9.1 – Introdução aos diagramas de Bode 3

9.2 – A Função de Transferência 4

9.3 – Pólos e zeros da Função de Transferência 8

Equação característica 8

Pólos da Função de Transferência 8

Zeros da Função de Transferência 8

Exemplo 9.1 8

Exemplo 9.2 9

Exemplo 9.3 9

9.4 – Os factores básicos em ‘s’ para a construção de um diagrama de Bode 10

9.5 – Os factores básicos em “jω” para a construção de um diagrama de Bode 12

9.6 – Desmembramento de funções G(s) em factores básicos 14

Exemplo 9.4 14

Exemplo 9.5 15

9.7 – Diagramas de Bode dos factores básicos 16

O ganho de Bode (KB) 17

Factor integral (jω)-1 19


2

Outros factores integrativos (jω)-2, (jω)-3, …, (jω)-n 21

Factores derivativos jω, (jω)2, (jω)3, …, (jω)n 23

Factor pólo primeira ordem (1 + jωT)-1 24

Factores pólos múltiplos (1 + jωT)-2, (1 + jωT)-3, ..., (1 + jωT)-n 28

Factores zeros simples e múltiplos (1 + jωT)1, (1 + jωT)2, ..., ..., (1 + jωT)n 32

Factores pólos quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-1, -2, …, -n 34

Factores zeros quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]1, 2, …, n 39

9.8 – Factores básicos com sinais negativos 39

Exemplo 9.6 39

Exemplo 9.7 41

Exemplo 9.8 42

Exemplo 9.9 43

Exemplo 9.10 44

Exemplo 9.11 45

Exemplo 9.12 46

Exemplo 9.13 47

9.9 – Exemplos adicionais de construção diagramas de Bode (módulo e fase) 48

Exemplo 9.14 48

Exemplo 9.15 49

Exemplo 9.16 49

Exemplo 9.17 50

Exemplo 9.18 51

Exemplo 9.19 50

Exemplo 9.20 51

Exemplo 9.21 53


3

Diagramas de Bode 9.1 – Introdução aos diagramas de Bode Neste capítulo estudaremos os diagramas de Bode (“Bode plots”) que levam este nome devido à Hendrik Wade Bode (1905-1982), um engenheiro americano que actuava principalmente nas áreas de electrónica, telecomunicações e sistemas.

Fig. 9.1 – Hendrik Wade Bode (1905-1982), americano.

Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma das formas de caracterizar sinais no domínio da frequência.


4

9.2 – A Função de Transferência Os sinais são representados no domínio da frequência por funções de s:

X(s), Y(s), etc. como já vimos no capítulo 6 (Transformadas de Laplace, L { x(t) } = X(s) e L { y(t) } = Y(s) ) ou por funções de jω

X(j ω), Y(jω), etc. como já vimos no capítulo 8 (Transformadas de Fourier, F { x(t) } = X(jω) e F { y(t) } = Y(jω) ). Na verdade as Transformadas de Laplace e as Transformadas de Fourier são representações que estão muito relacionadas uma com a outra. Em muitos casos, se substituirmos ‘s’ por ‘jω’, isto é, fazendo-se ‘s’ ser um número complexo com parte real nula e parte imaginária ‘ω’,

s = 0 + jω = jω

obtemos a Transformadas de Fourier a partir da Transformada de Laplace,

X(s) = X(0+jω) = X(jω), Y(s) = Y(0+jω) = Y(jω), etc. Se x(t) é a entrada de um sistema e y(t) é a saída deste mesmo sistema, em certas apli-

cações podem ser mais interessante representar no diagrama de blocos estes sinais

X(s), X(jω), Y(s) e Y(jω) no domínio da frequência, em vez de no domínio do tempo conforme é ilustrado na figura 9.2.

Fig. 9.2 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada e saída representados no

domínio da frequência.

onde G(s) e G(jω) são a reposta impulsional do sistema conforme visto nas secções 5.10 (no capítulo 5, Transformada de Laplace) e 8.5 (no capítulo 8, Transformada de Fourier) respectivamente.


5

Note que lá a reposta impulsional do sistema era, de forma geral, H(s) e H(jω) enquanto que aqui, de forma geral, será utilizado a notação G(s) e G(jω). No capítulo 4, sobre Sistemas e no capítulo 8 sobre Transformadas de Fourier nós vi-

mos alguns resultados clássicos sobre SLIT (sistemas lineares e invariantes no tem-

po). Por exemplo, no caso particular da entrada x(t) = impulso unitário,

x(t) = uo(t) então a saída y(t) = g(t) = a “resposta impulsional do sistema”. Sabendo-se a resposta impulsional g(t) de um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) podemos saber a saída y(t) para qualquer entrada x(t)

.d)(g)t(x)t(g)t(x

d)(x)t(g)t(x)t(g)t(y

τ⋅τ⋅τ−=∗=

τ⋅τ⋅τ−=∗=

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

Ou seja, a saída y(t) é a convolução entre a resposta impulsional g(t) e a entrada x(t). Isso que implica que

).j(G)j(X

)j(X)j(G)j(Y

ω⋅ω=ω⋅ω=ω

onde

X(jω) = F { x(t) } X(jω) = Transformada de Fourier de x(t),

Y(jω) = F { y(t) } Y(jω) = Transformada de Fourier de y(t), e

G(jω) = F { h(t) } G(jω) = Transformada de Fourier de g(t) e que está ilustrado na figura 9.3 abaixo.

Fig. 9.3 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada x(t) e de saída y(t) e resposta

impulsional h(t), todos representados no domínio da frequência, em ‘jω’:

X(j ω), Y(jω) e G(jω).


6

Este resultado se deve ao facto que:

a transformada da convolução é o produto das transformadas. a propriedade da Convolução para as Transformadas de Fourier, que foi vista na secção 8.4 (no capítulo 8, Propriedades da Transformada de Fourier). Por esta razão pode-se expressar G(jω) como a razão entre o sinal de saída tomado no domínio da frequência [ Y(jω) ] e o sinal de entrada, também tomado no domínio da frequência [ X(jω) ], quando as condições iniciais do sistema são nulas

)j(X

)j(Y)j(G

ωω=ω eq. (9.1)

que é chamada de ‘função de transferência’ do sistema. Mas esta afirmação acima valida para as “Transformadas de Fourier”, também vale para as “Transformadas de Laplace”, conforme visto no capítulo 5. Logo:

).s(G)s(X

)s(X)s(G)s(Y

⋅=⋅=

onde X(s) = L { x(t) } X(s) = Transformada de Laplace de x(t),

Y(s) = L { y(t) } Y(s) = Transformada de Laplace de y(t), e

G(s) = L { h(t) } G(s) = Transformada de Laplace de h(t) e que está ilustrado na figura 9.4 abaixo.

Fig. 9.4 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada x(t) e de saída y(t) e resposta

impulsional h(t), todos representados no domínio da frequência, em ‘s’: X(s), Y(s) e G(s).


7

Mais uma vez este resultado se deve ao facto que:

a transformada da convolução é o produto das transformadas, a propriedade da Convolução, mas agora para Transformada de Laplace, vista na secção 5.4 (no capítulo 5, Propriedades da Transformada de Laplace). Por esta razão pode-se expressar G(s) como a razão entre o sinal de saída tomado no domínio da frequência [ Y(s) ] e o sinal de entrada também tomado no domínio da frequência [ X(s) ], quando as condições iniciais do sistema são nulas

)s(X

)s(Y)s(G = eq. (9.2)

que também é chamada de ‘função de transferência’ do sistema. Portanto a função de transferência de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) representada no domínio da frequência: G(s) ou G(jω), conforme definidas nas equações eq. (9.1) e eq. (9.2), muito comummente são fracções racionais, ou seja, fracções cujo numerador e o denominador são polinómios, seja em ‘s’:

)s(p

)s(q)s(G = eq. (9.3)

ou em ‘jω’

)j(p

)j(q)j(G

ωω=ω

eq. (9.4)

onde q(s) e p(s) são polinómios em ‘s’ do tipo

an sn + an-1 s

n-1 + ... + a1 s + ao e p(jω) e q(jω) são polinómios em ‘s = jω’ do tipo

an (jω)n + an-1 (jω)n-1 + ... + a1 (jω) + ao


8

9.3 – Pólos e zeros da Função de Transferência Considere agora a função de transferência G(s) de um sistema, conforme foi definida na eq. (9.2), depois de reduzida para forma de fração racional da eq. (9.3)

)s(p

)s(q)s(G =

e suponha que todos as eventuais raízes comuns de q(s) e p(s) tenham sido canceladas e portanto esta expressão acima está na forma irreductível.

Equação Característica:

O polinómio p(s) é chamado de polinómio característico de G(s), ou o polinómio ca-racterístico do sistema. A equação

p(s) = 0 é chamada de a “equação característica” do sistema.

Pólos da função de transferência:

As raízes do polinómio característico são chamadas de pólos de G(s) ou pólos do sis-tema. Ou seja, os pólos são as soluções da equação característica.

Zeros da função de transferência:

As raízes do numerados de G(s) (q(s)) são chamadas de zeros de G(s) ou zeros do sis-tema. Ou seja, os zeros são as soluções da equação q(s) = 0.

De maneira semelhante se define os pólos e zeros de uma resposta impulsional G(s). Exemplo 9.1: Considere a função de transferência G(s) dada por

2)+2s+(s2)+(ss

)30s(2)s(G

2

+⋅=

É fácil de se verificar que G(s) tem um zero em

s = –30 e quatro pólos, respectivamente em:


9

s = 0, s = –2, e s = –1 ± j sendo que: 2 são reais e 2 são complexos. Como s = 0 é um pólo de G(s), costuma-se dizer que este sistema tem um “pólo na origem”. A equação característica deste sistema é:

s4s6s4s2)+s2+(s2)+(ss)s(p 2342 +++== � Exemplo 9.2: Considere agora a função de transferência G1(s) dada por

)10+s10+(s10)+(s

s10)s(G

422

5

1 =

Nitidamente G1(s) tem um “zero na origem”, ou seja, em

s = 0 e três pólos, respectivamente em

10s −= e 350j50s ⋅±−= A equação característica deste sistema é:

53234221 10s1011s110s)10+s10+(s10)+(s)s(p +×++==

� Exemplo 9.3: Considere agora a função G(s) dada por

,c)-(s)b+(sa)+(s

s10)s(G

22

2

=

G(s) tem um “zero duplo na origem” (i.e., em s = 0) e quatro pólos, respectivamente em

s = –a (duplo), s = –b2 e s = c. �


10

9.4 – Os factores básicos em ‘s’ para a construção de um diagrama de Bode Vamos apresentar aqui os factores básicos para a construção de um diagrama de Bode de G(s).

Estes factores básicos são funções racionais em ‘s’. Qualquer G(s) da forma da eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores básicos e com isso a construção de um esboço do diagrama de Bode se torna mais simples. Na próxima secção apresentaremos de forma semelhante os factores básicos em ‘jω’ para a construção de um diagrama de Bode. FACTORES BÁSICOS EM ‘S’:

O ganho de Bode (KB)

G(s) = KB

Factores integrativos [pólos na origem]: (1/s)n , n = 1, 2, ...

s

1)s(G = , 2s

1)s(G = , 3s

1)s(G = , L

Factores derivativos [zeros na origem]: sn , n = 1, 2, ...

G(s) = s , G(s) = s2 , G(s) = s3, L

Factores de 1ª ordem do tipo “pólos reais”: 1/(Ts + 1)n , n = 1, 2, ...

( )1Ts

1)s(G

+= , ( )21Ts

1)s(G

+= , ( )31Ts

1)s(G

+= , L

Factores de 1ª ordem do tipo “zeros reais”: (Ts+ 1)n , n = 1, 2, ...

( )1Ts)s(G += , ( )21Ts)s(G += , ( )31Ts)s(G += , L


11

Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “pólos complexos”: 1/[1+2ζ(s/ωn)+( s/ωn)

2]n , n = 1, 2, ...

ω+

ωζ+

=

2n

2

n

ss

21

1)s(G

,

2

2n

2

n

ss

21

1)s(G

ω+

ωζ+

= ,

3

2

221

1)(

+

+

=

nn

ss

sG

ωωζ , L

Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “zeros complexos”: [1+2ζ(s/ωn)+( s/ωn)

2]n , n = 1, 2, ...

2n

2

n

ss

21)s(G

ω+

ωζ+= ,

2

2n

2

n

ss

21)s(G

ω+

ωζ+= ,

3

2n

2

n

ss

21)s(G

ω+

ωζ+= , L


12

9.5 – Os factores básicos em ‘jωωωω’ para a construção de um diagrama de Bode Vamos apresentar aqui os factores básicos para a construção de um diagrama de Bode de G(jω).

Estes factores básicos são na verdade derivados dos já vistos acima para G(s). Eles são as mesmas funções racionais em ‘s’ da secção anterior, depois de substituir-se s por jω.

s = 0 + jω = jω Qualquer G(jω) da forma da eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores básicos e com isso a construção de um esboço do diagrama de Bode se torna mais simples. FACTORES BÁSICOS EM ‘S’:

O ganho de Bode (KB)

G(jω) = KB

Factores integrativos [pólos na origem]: (1/jω)n , n = 1, 2, ...

ω=ω

j

1)j(G , ( )2j

1)j(G

ω=ω , ( )3j

1)j(G

ω=ω , L

Factores derivativos [zeros na origem]: (jω)n , n = 1, 2, ...

G(jω) = jω , G(jω) = (jω)2 , G(jω) = (jω)3, L

Factores de 1ª ordem do tipo “pólos reais”: 1/(1+ jωT)n , n = 1, 2, ...

( )1Tj

1)j(G

+ω=ω , ( )21Tj

1)j(G

+ω=ω , ( )31Tj

1)j(G

+ω=ω , L

Factores de 1ª ordem do tipo “zeros reais”: (1+ jωT)n , n = 1, 2, ...

( )1Tj)j(G +ω=ω , ( )21Tj)j(G +ω=ω , ( )31Tj)j(G +ω=ω , L


13

Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “pólos complexos”: 1/[1+2ζ(jω/ωn)+( jω/ωn)

2]n , n = 1, 2, ...

ωω+

ωωζ+

=ω2

nn

jj21

1)j(G

,

22

nn

jj21

1)j(G

ωω

+

ωω

ζ+

=ω ,

32

nn

jj21

1)j(G

ωω

+

ωω

ζ+

=ω , L

Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “zeros complexos”: [1+2ζ (jω/ωn)+( jω/ωn)

2]n , n = 1, 2, ...

2

nn

jj21)j(G

ωω+

ωωζ+=ω ,

22

nn

jj21)j(G

ωω+

ωωζ+=ω ,

32

nn

jj21)j(G

ωω+

ωωζ+=ω , L


14

9.6 – Desmembramento de funções G(s) em factores básicos Qualquer função transferência G(s) pode facilmente ser reescrita somente com os factores básicos definidos acima nas duas secções anteriores. Vamos ilustrar isso com um exemplo: Exemplo 9.4: Considere agora a função G(s) vista no exemplo 9.1 que é dada por

)2s2s()2s(s

)30s(2)s(G

2 ++++=

Agora, substituindo-se (s + 30) no numerador por

+⋅=+ 130

s03)30s(

obtemos a expressão abaixo que já tem um fator básico no numerador:

)2s2s()2s(s

130

s302

)s(G2 +++

+⋅=

Semelhantemente, para o denominador, uma vez que um dos 3 factores já é um factor básico (integrativo, pólo na origem), substituindo-se os outros dois:

+⋅=+ 12

s2)2s(

e

++⋅=++ 1s

2

s2)2s2s(

22

obtemos a expressão abaixo que já tem três fatores básico no denominador:

++⋅

+⋅⋅⋅

+⋅=

1s2

s1

2

ss22

130

s302

)s(G2


15

Finalmente, juntando as constantes (do numerador e do denominador), obtém-se:

1522

302KB =

×⋅×

=

e podemos escrever a expressão abaixo:

++⋅

+⋅

+⋅=

1s2

s1

2

ss

130

s15

)s(G2

que está inteiramente escrita em termos de factores básicos na forma:

( )

( )

+

ωζ+

ω⋅+⋅

+⋅=

1s2s

1Tss

1s'TK)s(G

n2n

2

B

onde:

KB = 15 T = 1/2 T’ = 1/30

2n =ω 707,02

2

2

1 ===ζ

�

Exemplo 9.5: Para escrever a função de transferência G(s) do exemplo anterior na forma de factores básicos em jω e então obtermos G(jω) basta substituir no resultado obtido para G(s),

s = 0 + jω, ou seja,

s = jω pois esta é a única diferença entre as duas formas G(s) e G(jω). Fazendo isso, obtém-se:


16

( )

ω+

ω−⋅

ω⋅+⋅ω

ω⋅+⋅=

=

+ω+ω⋅

+ω⋅ω

+ω⋅=ω

j2

12

j1j

30j115

1j2

j1

2

jj

130

j15

)j(G

2

2

�

9.7 – Diagramas de Bode dos factores básicos Os diagramas de Bode são construídos para funções de transferência G(jω) e são dois:

diagramas de Bode de módulo

e

diagramas de Bode de fase. Os diagramas de Bode de módulo são gráficos de

| G(jω) | em dB (| G(jω) |dB) ×

ω (com escala logarítmica) enquanto que os diagramas de Bode de fase são gráficos de

∠ G(jω) em graus ×

ω (com escala logarítmica) Sabendo-se os diagramas de Bode dos factores básicos é possível utiliza-los na cons-trução dos diagramas de Bode de qualquer outra função de transferência G(jω) que desmembrarmos em termos dos factores básicos.


17

Uma vez familiarizados com os gráficos dos diagramas de Bode dos factores básicos que apresentamos aqui nesta secção, a construção dos diagramas de Bode das demais funções de transferência fica facilitada, como veremos nos exemplos da próxima sec-ção. Portanto, agora vamos mostrar os diagramas de Bode (módulo e fase) para cada um dos factores básicos vistos na secção anterior.

O ganho de Bode (KB) Como G(jω) = KB é uma constante (não varia com ω), temos que |KB| em dB é dado por:

B10dBB Klog20K ⋅=

enquanto que ∠ KB é 0 ou – 180º, ∀ω, isto é:

∠ KB = 0º se KB é uma constante positiva,

ou

∠ KB = – 180º se KB é uma constante negativa. Logo, como já dito acima na definição de diagramas de Bode da fase, o normal é representar a fase de KB (i.e., o ângulo ∠ KB) em graus (em vez de radianos).

<−

>=∠=ω

0Kse,º180

0Kse,º0K)j(G

B

B

B

É claro que o ângulo de fase para KB negativo, – 180º é o mesmo que +180º que é na verdade é π. No entanto, para efeito de diagrama de Bode tem-se a tendência de adoptar ∠ KB = – 180º nestas situações. Isso se deve ao facto de que, como G(jω) tem um número de pólos superior (ou no máximo igual) ao número de zeros, então o ∠ G(jω) irá sempre tender para a parte negativa (para a parte de baixo, abaixo de 0º). O diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = ∠ KB está esboçado na figura 9.5.


18

0dB

0º

-90º

0.1 1 10

0.1 101

90º

1K B >

1K B =

10 << BK

-180º

0K B >

0K B <

mó

dulo

[dB

]ω

[rad/s]

ω [rad/s]

fase [

gra

us º

]

Fig. 9.5 – Diagrama de Bode (módulo e fase). O ganho de Bode G(jω) = KB. Note que no diagrama de Bode de módulo acima foi levado em consideração que: Se KB>1, então

0)j(GdB

>ω

Se KB=1, então

0)j(GdB

=ω

Se 0<KB<1, então

0)j(GdB

<ω

O efeito que uma variação do ganho KB em um diagramas de Bode com vários facto-res básicos é que ele faz deslocar a curva de módulo para cima (se KB > 0) ou para baixo (se KB < 0) e não afecta a curva do ângulo de fase.


19

Isto é, aumentando-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bode de módulo “subir” enquanto que diminuindo-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bode de módulo “descer”.

Por outro lado o diagrama de Bode de fase fica inalterado às variações de KB se KB > 0 , ou fica deslocado para baixo de 180º, no caso de KB < 0.

Factor Integral (jω)-1

Para G(jω) = (jω)-1, temos que | G(jω)| em dB é dado por:

[ ]dBlog20

j

1log20)j(G

10

10dB

ω⋅−=

ω⋅=ω

que é na verdade a equação de uma recta com declive – 20 dB/década pois ω está representado na escala logarítmica. Para se ver isto, primeiramente note que |G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1, eq. (9.5) um detalhe que facilita para fazermos o seu esboço. Na verdade temos que, olhando-se para algumas décadas consecutivas, temos que, no diagrama de Bode de módulo de G(jω) (|G(jω)|dB):

M ⇒ M

para ω = 0,01 ⇒ G(jω) = 40 dB

para ω = 0,1 ⇒ G(jω) = 20 dB

para ω = 1 ⇒ G(jω) = 0 dB

para ω = 10 ⇒ G(jω) = – 20 dB

para ω = 102 ⇒ G(jω) = – 40 dB

M ⇒ M o que permite se ver claramente que trata-se de uma recta com declive – 20 dB/década (como pode ser visto na figura 9.6).


20

0dB

0º

20dB

-90º

0.1 1 10

0.1 101

declive: -20dB/década

(ou -6dB/oitava)

-20dB

mó

du

lo [

dB

]

ω [rad/s]

ω [rad/s]

fase

[g

rau

s º

]

Fig. 9.6 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factor integral G(jω) = 1/ jω. Também é costume se olhar para algumas oitavas consecutivas (em vez de décadas) do diagrama de Bode de módulo de G(jω) (| G(jω)|dB). Isto é: uma oitava corresponde à: o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita ou para esquerda / aumentando-se / ou diminuindo-se).

M ⇒ M

para ω = 0,5 ⇒ G(jω) = 6 dB

para ω = 1 ⇒ G(jω) = 0 dB

para ω = 2 ⇒ G(jω) = – 6 dB

para ω = 4 ⇒ G(jω) = – 12 dB

M ⇒ M que é uma forma alternativa de olhar para esta recta pois o declive de – 20 dB/década é equivalente a – 6 dB/oitava.


21

Uma oitava corresponde à: o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita ou para esquerda; aumentando-se / ou diminuindo-se). Assim como o termo “harmónico”, que aparecia nas séries de Fourier (capítulo 5), vem da música, também este termo “oitava” vem da música. Corresponde à oitava nota, ou seja, a mesma nota mas no harmónico seguinte / ou no anterior, pois as notas são apenas sete e depois se repetem, com o dobro / ou com a metade da frequència. É como o oitavo dia, que é o mesmo dia da semana, mas na semana seguinte / ou na anterior.

Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que:

∠ G(jω) = ∠ (1/ jω) =

= – ∠ jω =

= – 90º , ∀ω. Observe que, como ω está representado numa escala logarítmica, então ω é sempre positivo (ω > 0) e portanto ∠ jω = 90º, e logo – ∠ jω = – 90º. Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a – 90º: Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = 1/ jω está esboçado na figura 9.6. O efeito do factor básico G(jω) = 1/jω em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º.

Outros factores integrativos (jω)-2, (jω)-3, …, (jω)-n Para G(jω) = (jω)-n, temos uma situação bastante semelhante aos factores (jω)-1 que vimos acima. O módulo |G(jω)| em dB é dado por:

( )

[ ]dBlogn20

j

1logn20

j

1log20)j(G

10

10

n10dB

ω⋅⋅−=

ω⋅⋅=

ω⋅=ω


22

que é na verdade a equação de uma recta com declive – 20n dB/década pois ω está representado na escala logarítmica (como pode ser visto na figura 9.7). Equivalentemente esta recta tem o declive de – 6n dB/oitava. Note também que, assim como antes [na eq. (9.5)], |G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1, eq. (9.6) um detalhe que facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode.

Fig. 9.7 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores integrativos G(jω) = (1/ jω)n.

Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que: ∠ G(jω) = ∠ (1/ jω)n =

= – n (∠ jω) =

= – 90º × n, ∀ω.


23

Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a

– 90º × n: Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = (1/ jω)n está esboçado na figura 9.7. O efeito do factor básico G(jω) = (1/ jω)n em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º × n.

Factores derivativos jω, (jω)2, (jω)3, …, (jω)n Para G(jω) = (jω)n, temos uma situação um pouco semelhante aos factores (jω)-n que vimos acima. O módulo |G(jω)| em dB é dado por:

( )

[ ]dBlogn20

jlogn20

jlog20)j(G

10

10

n10dB

ω⋅⋅=

ω⋅⋅=

ω⋅=ω

que é a equação de uma recta com declive +20n dB/década pois ω está representado na escala logarítmica (como pode ser visto na figura 9.8).

Equivalentemente esta recta tem o declive de +6n dB/oitava. Note também que aqui novamente, assim como antes [na eq. (9.5) e (9.6)], |G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1, eq. (9.7) que nos facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que: ∠ G(jω) = ∠ (1/ jω)n =

= – n (∠ jω) =

= – 90º × n, ∀ω.


24

Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a +90º × n:

Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = (jω)n está esboçado na figura 9.8. O efeito do factor básico G(jω) = (jω)n em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para cima de 90º × n.

Fig. 9.8 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores derivativos G(jω) = (jω)n.

Factor pólo primeira ordem (1 + jωT)-1 Para G(jω) = 1/ (1 + jωT), temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por:

( )

( )210

10dB

T1log20

Tj1

1log20)j(G

⋅ω+⋅⋅−=

ω+⋅=ω


25

que vamos dividir em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas e altas. No intervalo, ω << 1/T (frequências baixas), observamos que:

( ) ( ) ( ) dB01log20T1log20)j(G1T11T 102

10dB

2 =⋅⋅−≅⋅ω+⋅⋅−=ω⇒≅⋅ω+⇒<<⋅ω

enquanto que no intervalo, ω >> 1/T (frequências altas), observamos que:

( ) ( ) ( ) ( )Tlog20T1log20)j(GTT11>>T 102

10dB

22 ⋅ω⋅−≅⋅ω+⋅⋅−=ω⇒⋅ω≅⋅ω+⇒⋅ω

e portanto:

( )

>>ω⋅ω⋅−

<<ω=ω

T1

,Tlog20

T1

,0

)j(G

10

dB

Logo, temos 2 aproximações para a curva G(jω)|dB = 1/ (1 + jωT)|dB, ambas rectas, às quais chamamos de

“rectas assímptotas” para frequências altas e baixas, que podem ser vistas na figura 9.9. A expressão de G(jω)|dB para ω >> 1/T (frequências altas) é de facto uma recta com declive de – 20 dB/década, (ou – 6 dB/oitava), pois ω está representado na escala logarítmica.

Note que:

a recta assímptota para frequências altas intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T, eq. (9.8) em vez de em ω = 1, como era o caso das rectas das eq. (9.5), eq. (9.6) e eq. (9.7). Este é um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.

Na verdade, este ponto: 0 dB para ω = 1/T

é onde as duas rectas assímptotas se interceptam (como pode ser visto na figura 9.9).


26

Por esta razão a frequência T

1c =ω é chamada de frequência de “canto” (“ corner”

frequency), às vezes também chamada de frequência de “corte” (em processamento de sinais quando envolvem filtros).

T

1

T

10T10

1

Fig. 9.9 – Diagrama de Bode de módulo. Factor pólo primeira ordem G(jω) = 1/ (1 + jωT).

A curva real de G(jω)|dB só coincide com as assímptotas quando ω << ωc ou quando ω >> ωc, que na prática corresponde a

( )T10

1

⋅<ω (para frequências baixas) e

T

10<ω (para frequências altas)

Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências baixas) ou uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências altas). Na verdade mostra-se facilmente que tanto para ω = 1/10T (uma década abaixo de ωc), como também para ω = 10T (uma década acima de ωc), a curva de módulo G(jω)|dB apresenta erro desprezível, praticamente nulo: G(jω)|dB = – 0,04 db ≅ 0 dB para ω = 1/(10T) ou para ω = 10T. Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da curva real de G(jω)|dB.


27

O erro máximo é de 3 dB e ocorre exactamente na frequência de canto ωc = 1/T, o ponto onde as duas assímptotas se encontram, pois para este valor de ω,

( ) T

1para,

2

1log20

j1

1log20)j(G c1010dB

=ω=ω−=⋅⋅−=+

⋅=ω dBdBdBdB

3333

(como pode ser visto na figura 9.9). Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que: ∠ G(jω) = ∠ 1/ (1 + jωT) =

= – ∠ (1 + jωT)

= – arctg (ωT) eq. (9.9) Aqui também pode-se pensar nos intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas e altas. Nas frequências baixas, ω << 1/T, observamos que:

( ) º01)j(G1T11T ≅∠=ω∠⇒≅⋅ω+⇒<<⋅ω

enquanto que nas frequências altas, ω >> 1/T, observamos que:

( ) ( ) ( ) º90Tj)j(GTjTj11>>T −≅ω⋅∠−=ω∠⇒ω⋅≅ω⋅+⇒⋅ω resultados que também poderiam ser facilmente obtidos usando a eq. (9.9) com ωT ≅ 0 e ωT ≅ ∞, respectivamente, pois arctg (0) = 0º e – arctg(∞) = – 90º. e portanto:

>>ω−

<ω<ω−

<<ω

=ω∠

T

1,º90

T100100

T,)T(arctg

T

1,0

)j(G

Note que para ωc = 1/T, G(jωc) = – arctg (ωcT)= – arctg (1)= – 45º, logo, na frequên-cia de “canto” ou de “corte” ωc = 1/T temos:


28

a curva do ∠ G(jω) passa por – 45º em ω = 1/T, eq. (9.10)

isto é, na metade do intervalo entre 0º e – 90º; um detalhe a ter em atenção ao fazer-mos o esboço do diagrama de Bode de fase. Ou seja diagrama de Bode de fase ∠ G(jω) tende assimptoticamente para 0º (à esquerda) e para – 90º (à direita). Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a – 90º enquanto a frequência ω varia

cc 10até

10de ω⋅

ω.

isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para fre-quências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para frequências altas). O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-1 está esboçado na figura 9.10.

T

1

T

10T10

1

fase [

gra

us º

]

Fig. 9.10 – Diagrama de Bode de fase. Factor pólo primeira ordem

G(jω) = 1/ (1 + jωT).

Factores pólos múltiplos (1 + jωT)-2, (1 + jωT)-3, ..., (1 + jωT)-n Para G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por:


29

( )

( ) [ ]dBT1logn20

Tj1

1log20)j(G

210

n10dB

⋅ω+⋅⋅⋅−=

ω+⋅=ω

e dividindo em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas e altas, observamos que:

( )

>>ω⋅ω⋅⋅−

<<ω=ω

T

1,Tlogn20

T

1,0

)j(G

10

dB

que pode ser vista na figura 9.11. Portanto, temos novamente 2 aproximações para a curva G(jω)|dB = 1/ (1 + jωT)n| dB, por duas “rectas assímptotas” em frequências baixas e altas (esta última com declive de – 20 dB/década ou – 6 dB/oitava). Note que, aqui também tem-se a frequência de “canto” ou de “corte” (“ corner” fre-quency), ωc = 1/T, e assim como na secção anterior, eq. (9.8), aqui também:

a recta assímptota para frequências altas intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T, eq. (9.11)

um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.

T

1T

10T10

1

Fig. 9.11 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos múltiplos G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, n = 2, 3, …


30

Novamente, a curva real de G(jω)|dB só coincide com as assímptotas quando ω << ωc ou quando ω >> ωc, que na prática corresponde a

( )T10

1

⋅<ω (para frequências baixas) e

T

10<ω (para frequências altas)

Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências baixas) ou uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências altas).

Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da curva real de G(jω)|dB. O erro máximo agora é de 3×n dB e ocorre exactamente na frequência de canto ωc = 1/T, o ponto onde as duas assímptotas se encontram, pois para este valor de ω,

( ) T

1para,

2

1logn20

j1

1log20)j(G c10n10dB

=ω=ω⋅−=⋅⋅⋅−=+

⋅=ω dBn3

(como pode ser visto na figura 9.11). Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que: ∠ G(jω) = ∠ 1/ (1 + jωT)n =

= – ∠ (1 + jωT)n

= – n × arctg (ωT) eq. (9.12) Nas frequências baixas, ω << 1/T, observamos que:

º0)j(G ≅ω∠

enquanto que nas frequências altas, ω >> 1/T, observamos que:

nº90)j(G ×−≅ω∠ resultados que também poderiam ser facilmente obtidos usando a eq. (9.12) com ωT ≅ 0 e ωT ≅ ∞, respectivamente, pois arctg (0) = 0º e – arctg (∞) × n = – 90º × n, e portanto:


31

>>ω×−

<ω<ω×−

<<ω

=ω∠

T

1,nº90

T100100

T,)T(arctgn

T

1,0

)j(G

Note que para ωc = 1/T, G(jωc) = – arctg (ωcT)= – arctg (1)= – 45º × n, logo, na fre-quência de “canto” ou de “corte” ωc = 1/T temos:

a curva do ∠ G(jω) passa por – 45º × n em ω = ωc = 1/T, eq. (9.13)

isto é, na metade do intervalo entre 0º e – 90º × n; um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase. Ou seja, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω) tende assimptoticamente para 0º (à esquerda) e para –90º × n (à direita). Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a –90º × n enquanto a frequência ω varia

cc 10até

10de ω⋅

ω.

isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para fre-quências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para frequências altas). O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-n está esboçado na figura 9.12.

T

1

T

10T10

1

Fig. 9.12 – Diagrama de Bode de fase. Factores pólos múltiplos

G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, n = 2, 3, …


32

Factores zeros simples e múltiplos (1 + jωT)1, (1 + jωT)2, ..., (1 + jωT)n Para G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1,2, …, n a situação é análoga aos casos de pólos sim-ples e múltiplos nas duas secções anteriores. Temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por:

( )

( )210

10dB

T1logn20

Tj1log20)j(G n

⋅ω+⋅⋅⋅=

ω+⋅=ω

e dividindo em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas e altas, observamos que:

( )

>>ω⋅ω⋅⋅+

<<ω=ω

T

1,Tlogn20

T

1,0

)j(G

10

dB

que pode ser vista na figura 9.13.

T

1T

10T10

1

Fig. 9.13 – Diagrama de Bode de módulo. Factores zeros simples e múltiplos G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, …


33

Note que, aqui também tem-se a frequência de “canto” ou de “corte” (“ corner” fre-quency), ωc = 1/T, e assim como nas secções anteriores, eq. (9.8) e eq. (9.11), aqui também:

a recta assímptota para frequências altas intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T, eq. (9.14)

um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.

Novamente, para a curva real de G(jω)|dB, as assímptotas são válidas para uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequên-cias baixas) ou uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências altas).

Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da curva real de G(jω)|dB apresentando um erro máximo de 3×n dB que ocorre exacta-mente na frequência de canto ωc = 1/T, o ponto onde as duas assímptotas se encon-tram. Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que: ∠ G(jω) = ∠ (1 + jωT)n =

= n × arctg (ωT) e portanto:

>>ω×

<ω<ω×

<<ω

=ω∠

T

1,nº90

T100100

T,)T(arctgn

T

1,0

)j(G

Note que para ωc = 1/T, a frequência de “canto” ou de “corte”, temos que:

a curva do ∠ G(jω) passa por 45º × n em ω = ωc = 1/T, eq. (9.15)

isto é, na metade do intervalo entre 0º e 90º × n; um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase. Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a 90º × n enquanto a frequência ω varia

cc 10até

10de ω⋅

ω.


34

isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para fre-quências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para frequências altas). O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-n está esboçado na figura 9.14.

T

1

T

10T10

1fase [

gra

us º

]

Fig. 9.14 – Diagrama de Bode de fase. Factores zeros simples e múltiplos

G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, …

Factores pólos quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1, 2, …, 10 ≤ζ≤ .

Note que a função de transferência G(jω)

ωω−

ωω⋅ζ+

=

ωω

+ωω⋅ζ+=ω

−

2

nn

12

nn j21

1jj21)j(G

tem um par de pólos que serão:

a) pólos complexos se 10 <ζ≤

b) pólos duplos se 1=ζ

c) pólos reais e distintos se 1>ζ

Os factores quadráticos que tratamos nesta secção fazem parte dos casos (a) e (b) acima, isto é 10 ≤ζ≤ , pois o caso (c), pólos reais e distintos (1>ζ ), já estão co-bertos nos factores básicos anteriores.


35

Na verdade, mesmo no caso (b), quando temos a situação limite de 1=ζ , então

2

n

2

nn

j1

1

j21

1)j(G

ωω+

=

ωω−

ωω⋅+

=ω

que corresponde a pólos duplos e iguais a n/j ωω , um caso que também já está abran-gido nos factores básicos anteriores.

Portanto as técnicas que serão apresentadas nesta secção para 10 ≤ζ≤ vão coincidir com outras já apresentadas anteriormente no caso particular de 1=ζ .

Para G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1,2, …, n temos que o módulo |G(jω)|

em dB é dado por:

2

n

2

n10

2

nn10dB

j21logn20

jj21log20)j(G

n

ωωζ+

ωω−⋅⋅⋅−=

ωω+

ωω⋅ζ+⋅−=ω

e dividindo em 2 intervalos: ω << ωn e ω >> ωn , ou seja, para frequências baixas e altas, observamos que:

( )

ω>>ω⋅ω⋅⋅−

ω⋅<ω<ω⋅

ωωζ+

ωω−⋅⋅⋅−

ω<<ω

=ω

n10

nn

2

n

2

n10

n

dB

,Tlogn40

101,0j

21logn20

,0

)j(G

Note que, assim como nas secções anteriores tinha ωc em eq. (9.8), eq. (9.11) e eq. (9.14), aqui também tem-se uma frequência ωn que é chamada de

ωn = frequência natural do sistema,

que separa as frequências “altas” e “baixas” e a recta assímptota para frequências altas intercepta 0 dB em ω = ωn, eq. (9.16) um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.


36

10nω

Fig. 9.15 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos

G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, ζ = 1, n = 1.

Nas proximidades da frequência natura ωn as assímptotas apenas aproximam da curva real de G(jω)|dB apresentando um erro máximo de 6×n dB que ocorre exactamente na frequência de canto ωn , o ponto onde as duas assímptotas se encontram.

A curva G(jω)|dB para o caso particular que falamos acima,

1=ζ , está representado na figura 9.15.

A medida que o valor de ζ diminui, 1<ζ as curvas de dB

)j(G ω vão ficando mais altas

e vão criando picos (a partir de 707,02/2 =<ζ ) que vão se tornando cada vez mais altos a medida que 0→ζ .

Estas curvas de dB

)j(G ω estão ilustradas na figura 9.16 para o caso geral de 10 ≤ζ≤ .

Estes picos ocorrem nas frequências ωr chamadas

ωr = frequência de ressonância

que assume valores

22

0para,21 2nr ≤ζ≤ζ−⋅ω=ω

Note que para ζ = 0, ωr = ωn. A medida que ζ aumenta a frequência de ressonância ωr diminui ligeiramente até que, quando


37

707,02

2 ==ζ

então a frequência de ressonância ωr = ωn/2.

8dB

14 dB

10ωn

5dBωn

-40 dB

ζ=0.1

ζ=0.2

ζ=0.3

ζ=1 ζ=0.8

ζ=0.707

ζ=0.5

10nω

ζ=0.60dB

mód

ulo

[dB

]

ω [rad/s]

Fig. 9.16 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)

2]-n, n = 1, 2, … Por outro lado, estes picos atingem valores Mr

Mr = pico de ressonância que tem os valores

2

20para,

12

1M

2r ≤ζ≤ζ−⋅ζ

=

Note que para 1707,0 ≤ζ≤ não há pico de ressonância. Em particular, se ζ = 0,707, então

Mr = 1 = 0 dB

(também não há pico de ressonância).


38

A medida que ζ diminui, o pico de ressonância Mr aumenta. Por exemplo,

,dB25,1155,1M5,0quando r ≅=⇒=ζ

,dB6,6133,2M25,0quando r ≅=⇒=ζ

,dB14025,5M1,0quando r ≅=⇒=ζ

.dB2001,10M05,0quando r ≅=⇒=ζ

A figura 9.16 ilustra estes picos de ressonância. Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que:

ωω−

ωω⋅ζ

⋅−=

ωω+

ωω⋅ζ−∠=ω∠

−

2

n

n

n2

nn1

2

arctgnjj

21)j(G

0º

10ωn

-90º

ωn

-180º

10nω

ζ=0.1

ζ=1ω

[rad/s]

ζ=0.5

Fig. 9.17 – Diagrama de Bode de fase. Factores pólos quadráticos

simples e múltiplos G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, … Portanto:

∞→ω⋅−

ω=ω⋅−

→ω

=ω∠

,nº180

,nº90

0,º0

)j(G n

conforme esboçado a figura 9.17.


39

Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a 180º × n enquanto a frequência ω varia

nn 10até

10de ω⋅ω

.

isto é, desde uma década antes da frequência de natural ωn (assímptota para frequên-cias baixas) até uma década depois da frequência de natural ωn (assímptota para fre-quências altas). O diagrama de Bode de fase de G(jω) se torna mais íngreme (com declive mais acentuado) a medida que ζ → 0 e isto está ilustrado na figura 9.17.

Factores zeros quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]n, n = 1, 2, …

Os factores zeros quadráticos que têm a função de transferência G(jω)

n2

nn

jj21)j(G

ωω+

ωω⋅ζ+=ω

são em tudo análogo aos factores pólos quadráticos que vimos acima. Ou seja, curva de módulo e fase para os factores zeros quadráticos podem ser obtidas invertendo-se o sinal das curvas de módulo e fase dos factores pólos quadráticos As principais diferenças são que os picos de ressonância são para baixo em vez de para cima e as curvas de fase vão de 0º a 180º em vez de 0º a – 180º. 9.8 – Factores básicos com sinais negativos No caso de factores básicos com sinais negativos do tipo

( )1Ts

1)s(G

−= , ( )21Ts

1)s(G

−= , ( )31Ts

1)s(G

−= , L

ou

( )1Ts)s(G −= , ( )21Ts)s(G −= , ( )31Ts)s(G −= , L

é fácil mostrar que o diagrama de Bode de módulo é idêntico ao factor básico corres-pondente com sinal “+” , entretanto para a construção do diagrama de Bode de fase é necessário um cuidado maior na análise.


40

Nos próximos exemplos ilustramos como fazer nestas situações. Exemplo 9.6:

+

+=

++

=ω1

100

s

)1s(100

1

)100s(

)1s()j(G

Note que neste caso KB = 1/100= –40 dB e G(jω) tem mais dois factores básicos: 1

1s100

1e)1s(

−

+⋅+

Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω+∠=ω

Fig. 9.18 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.6.

�


41

Exemplo 9.7:

+

−=

+−

=ω1

100

s

)1s(100

1

)100s(

)1s()j(G

Note que neste caso KB = 1/100= –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores básicos:

1

1s100

1e)1s(

−

+⋅−

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo anterior (Exemplo 9.6). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1(º180)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω−∠+=ω+∠−ω+−∠=ω


�


42

Exemplo 9.8:

−

+=

−+

=ω1

100

s

)1s(100

1

)100s(

)1s()j(G

Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores básicos:

1

1s100

1e)1s(

−

−⋅+

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 2 exemplos anteriores (Exemplos 9.6 e 9.7). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1(º180)j1()100/j1()j1()j(G ω−∠−+ω+∠=ω+−∠−ω+∠=ω

ω0db

-40dB

0.1 1 10 100 1000

ω

-180º

-90º

0.1 1 10 100 10000º


�


43

Exemplo 9.9:

−

−=

−−

=ω1

100

s

)1s(100

1

)100s(

)1s()j(G

Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais os 2 factores básicos:

1

1s100

1e)1s(

−

−⋅−

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 3 exemplos anteriores (Exemplos 9.6, 9.7 e 9.8). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1(

)100/j1(º180)j1(º180)100/j1()j1()j(G

ω−∠−ω−∠=

ω−∠−−ω−∠+=ω+−∠−ω+−∠=ω


�


44

Exemplo 9.10:

( )

++=

++=ω

1100

s1s

1

)100s()1s(

100)j(G

Note que neste caso KB = 1 = 0 dB e G(jω) tem ainda mais dois factores básicos:

11 1s

100

1e)1s(

−−

+⋅+

Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω+∠−=ω


�


45

Exemplo 9.11:

( )

−+=

−+=ω

1100

s1s

1

)100s()1s(

100)j(G

Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores básicos:

11 1s

100

1e)1s(

−−

−⋅+

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao exemplo anterior (Exemplo 9.10). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1(º180)j1()100/j1()j1()j(G ω−∠−+ω+∠−=ω+−∠−ω+∠−=ω


�


46

Exemplo 9.12:

( )

+−=

+−=ω

1100

s1s

1

)100s()1s(

100)j(G


11 1s

100

1e)1s(

−−

+⋅−

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos dois exemplos anteriores (Exemplos 9.10 e 9.11). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1(º180)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω−∠−=ω+∠−ω+−∠−=ω


�


47

Exemplo 9.13:

( )

−−=

−−=ω

1100

s1s

1

)100s()1s(

100)j(G


11 1s

100

1e)1s(

−−

−⋅−

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos três exemplos anteriores (Exemplos 9.10, 9.11 e 9.12). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1(

)100/j1(º180)j1(º180)100/j1()j1()j(G

ω−∠−ω−∠−=

ω−∠−−ω−∠−=ω+−∠−ω+−∠−=ω


�


48

9.9 – Exemplos adicionais de construção de diagramas de Bode (módu-lo e fase)

Nesta secção apresentamos vários exemplos de diagramas de Bode (módulo e fase) que foram esboçados usando quase sempre o auxílio dos factores básicos apresenta-dos aqui. Exemplo 9.14:

+⋅+

+⋅

+⋅=

++++

=ω1s

400

5

400

s1s

100

1s

1s4

11,0

)400s5s()100s(s

)4s(1000)j(G

22


�


49

Exemplo 9.15:

+⋅−

+⋅

+⋅=

+−++=ω

1s400

5

400

s1s

100

1s

1s4

11,0

)400s5s()100s(s

)4s(1000)j(G

22

O diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo anterior (Exemplo 9.14). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.27.

ω0º

10010

-270º

-90º

-180º

0.1 10001

90º

180º

ωn = 20 = 0,125

Fig. 9.27 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.15.

�

Exemplo 9.16:

+⋅+

−⋅

+⋅=

++−+=ω

1s400

5

400

s1s

100

1s

1s4

11,0

)400s5s()100s(s

)4s(1000)j(G

22

O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos 2 exemplos anteriores (Exemplos 9.14 e 9.15). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.28.


50


�

Exemplo 9.17:

+⋅+

+⋅

−⋅=

+++−=ω

1s400

5

400

s1s

100

1s

1s4

11,0

)400s5s()100s(s

)4s(1000)j(G

22

O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos três exemplos anteriores (Exemplos 9.14, 9.15 e 9.16). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.29.


�


51

Exemplo 9.18:

+⋅+

−⋅

−⋅=

++−−=ω

1s400

5

400

s1s

100

1s

1s4

11,0

)400s5s()100s(s

)4s(1000)j(G

22

O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos quatro exemplos anteriores (Exemplos 9.14, 9.15, 9.16 e 9.17). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.30.


�

Exemplo 9.19:

( )

+⋅+

+⋅

+⋅=+++

+=ω1s

10

1

10

s1s

10

1s

1s10

)10s10s()10s(s

)1,0s(10)j(G

24

2422

6

Note que

dB01KB == 100n =ω 5,0=ζ

dB897,0155,11

1M

2r ==ζ−

=

)zero(10T1 = )pólo(10

1T2 =

71,7021 2nr =ζ−⋅ω=ω


52

ω0

0.1

20dB

40dB

60dB

80dB

-60dB

-20dB

-40dB

-80dB

-100dB

0.01 10000

-20dB/dec

ω0º

101

-270º

-90º

-180º

0.01 1000.1

1 10

100

1000

1000 10000

0dB/dec

-60dB/dec

-20dB/dec

Mr = 1.155 = 0,9 dB

ωr = 70,7

ωn = 100

= 0,5KB = 0 dB


� Exemplo 9.20:

( )( ) ( )1ss1s1,0s

1s101,0

)1ss()10s(s

)1,0s(10)j(G

22 +++⋅+⋅=

++++=ω

Note que

dB201,0KB −== 1n =ω 5,0=ζ

707,021 2nr =ζ−⋅ω=ω dB897,0155,1

1

1M

2r ==ζ−

=

)zero(10T1 = )pólo(10

1T2 =


53

ω00.1

20dB

40dB

60dB

80dB

-60dB

-20dB

-40dB

-80dB

-100dB

0.01

10000

-20dB/dec

ω0º101

-270º

-90º

-180º

0.01 1000.1

1

10 100 1000

1000 10000

Mr = 1.155 = 0,9 dB

ωr = 0,707

ωn = 1

= 0,5KB = -20 dB

-60dB/dec

0dB/dec-40dB

/dec

Fig. 9.32 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.20. �

Exemplo 9.21:

( )

++

+

+⋅=+++

+=ω

12

s

2

s1

20

ss

1s2

)2ss()20s(s2

1s80

)j(G22

Note que

dB01KB == 414,12n ==ω 354,0=ζ


54

224,121 2nr =ζ−⋅ω=ω dB58,0069,1

1

1M

2r ==ζ−

=

2T1 = (zero da F.T.) 20

1T2 = (pólo da F.T.)

-82º

ω

0 dB

10

20dB

1

40dB

60dB

80dB

-60dB

-20dB

-40dB

-80dB

-100dB

0.01 1000.1 0.5 202

-20dB/dec

9.8dB10.7dB

-29.5dB

-40dB/dec

-60dB/dec

ω0º

10

1

-270º

-90º

-180º

0.01

100

0.1 0.5

20

2

-74º

-111º

-250º-258º

Mr = 1.07 = 0,58 dB

ωr = 1,224

ωn = 1,41

= 0,354KB = 0 dB


�

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Apostila Diagrama de Bode