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diagrama de bode
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Este tipo de gráficas es mejor hacerlas en forma logarítmica en lugar de lineales, para cubrir un mayor rango de representación. En tal caso, se denominan “diagramas de Bode”, en honor a quién les dio popularidad a través de sus trabajos.
Hendrik W. Bode
Los “diagramas de Bodediagramas de Bode” consideran trabajar con escalas escalas logarítmicas en las frecuenciaslogarítmicas en las frecuencias. Por otra parte, las magnitudes se grafican en “decibelesdecibeles” mientras que las fases en forma lineallas fases en forma lineal.
HdBH 10log20][
Diagramas de BodeDiagramas de Bode
Una ventaja adicional de las ganancias logarítmicas es que, cuando una ganancia resulta de la multiplicación de varias ganancias, la gráfica puede obtenerse a partir de la suma de las gráficas de cada una de las ganancias individuales.
20 )(1
1
H
Por lo tanto:
202
0
)(1log10)(1
1log20log20][
HdBH
A partir de esta última expresión, puede hacerse el siguiente análisis:
Para el caso de un circuito de primer orden, la ganancia viene dada por:
• Para bajas frecuencias, es decir, para Para bajas frecuencias, es decir, para <<<<00, la ganancia logarítmica resultante , la ganancia logarítmica resultante será:será:
02
0 log20)(log10log20][ HdBH
En un diagrama de Bode de magnitud, la frecuencia para la cual la magnitud cae –3dB respecto de la que corresponde a =0, se conoce como “frecuencia de quiebre” o “frecuencia de corte” del circuito.
dBHdBH 01log10log20][
• Para =0 se tiene: dBHdBH 01,32log10log20][
• Para >>0 resulta:
El intervalo entre dos frecuencias cuya razón es 10 se llama “década”. Así, dadas 1 y 2, siendo y 2 =101, el intervalo entre ellas es una década.
Se vio anteriormente que para Se vio anteriormente que para >>>>00, se , se cumple que:cumple que:
Por lo tanto, la diferencia entre las ganancias de frecuencias separadas por una década, cuando se cumple la condición anterior será:
Como conclusión, puede decirse que:
log20log20log20][ 00 dBH
dBdBH 20101log20log20)log20(log20][
2
121
• La pendiente de la recta asintótica para un circuito de primer orden, cuando >>0, es de –20dB/década–20dB/década.
• La asíntota interseca la línea de 0dB en =0 (frecuencia de cortefrecuencia de corte).
Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.En Matlab, se usa el comando “tftf” para crear funciones de transferencia.
Ejemplo:
ssG
51
1)(
>> num=[1]; , den=[5 1];>> G=tf(num,den)Transfer function: 1-------5 s + 1
Las raíces del denominador se conocen como “polos”de la función de transferencia, mientras que las del numerador como “ceros”. Se determinan como:
>> pole(G)ans = -0.2000
>> zero(G)ans = Empty matrix: 0-by-1
Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.Para obtener el diagrama de Bode, puede hacerse:
>> bode(G)
obteniendo:
Los diagramas de bode son una representación de la magnitud y fase de una función en estado senoidal permanente al variar la frecuencia de cero a infinito. Sea la ecuación característica
0)()(1 SHsGPor ser estado senoidal permanente, se cambia s por .
)()()( jHjGjP
Como la variable s es compleja se tiene magnitud y fase.
)()()()( jHjGjHjG
j
Estos valores cambian mientras se varía la frecuencia . Para graficar la magnitud de , se hace uso de la norma de magnitud:
)(log20 jGMag
Por razones de sencillez se trabaja mejor con el polinomio en lazo abierto.
)( jG
Y el valor del ángulo de fase se obtiene dependiendo del elemento a analizar
La principal ventaja al usar Bode es que se puede analizar cada elemento de una función de transferencia por separado y el efecto total del sistema, se obtiene simplemente sumando las magnitudes y ángulos de fase de todos ellos.
La ventaja anterior resalta más cuando es necesario agregar otros elementos al sistema. En estos casos para obtener la nueva gráfica de Bode no es necesario recalcular todo el sistema, simplemente se suman a los elementos ya analizados.
Elementos básicos de una función de transferencia
1. Elementos de valor constante (Ganancia)2. Elementos integrales y derivativos3. Elementos de primer orden4. Elementos cuadráticos
1)( j
dbj
log201
log20
dBj log20log20
1. Elementos de valor constante (Ganancia)KdB log20 Magnitud en decibelios
0 Ángulo de fase
2. Elementos derivativos e integralesDerivadores
90
Integradores
90
Re
Re
Im
Impara todo rango de
para todo rango de
Si existen más de un derivador o integrador:
dbnj n
log20)(
1log20
dBnj n log20)(log20 Derivadores
n90Integradores
n 90 para todo rango de
para todo rango de
-20
0
20
40
60
Mag
nitu
de (
dB)
100
101
90
135
180
225
270
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
100
101
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
3. Elementos de primer orden
dBj 221log201log20
Cero de primer orden
1tan
10-2
10-1
100
101
102
0
45
90
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0
10
20
30
40
Mag
nitu
de (
dB)
System: sysFrequency (rad/sec): 1
Magnitude (dB): 3.01
jjG 1)( 1
1 cortedefrecuenciac
De la figura:
c
dBj
221log201
1log20
Polo de primer orden
1tan
10-2
10-1
100
101
102
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (
dB)
System: sysFrequency (rad/sec): 1
Magnitude (dB): -3.01
c
jjG
11
)( 1
1 cortedefrecuenciac
De la figura:
3. Elementos de segundo orden
2
2
2
22
21log2021log20
nnn
jj
Cuando no se puedan descomponer en dos elementos de primer orden, se normalizan de la siguiente forma:
2
21
1
2
tan
n
n
12
21)(
nn
jjjG
Ceros de segundo orden
nc
2
2
2
2
221log20
21
1log20
n
nn
jj
2
21
1
2
tan
n
n
Polos de segundo orden
nc
-20
0
20
40
60
80
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
102
0
45
90
135
180
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Ceros de segundo orden
3 nc
6/1
7.0
5.0
3
99
)(2 ss
sG
993
)(2 ss
sG
992.4
)(2 ss
sG
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Polos de segundo orden
3
3 nc
6/1
7.0
5.0
9
9)(
2
sssG
93
9)(
2
sssG
92.4
9)(
2
sssG
Ejemplo: Obtener el diagrama de Bode del sistema
)136)(5(
)3(1222
ssss
s
Normalizando:
)1136
13)(1
51
(
)131
(6536
22
ss
ss
s
Se tienen 5 elementos, Una constante, un cero en -3, un doble integrador, un polo en -5 y polos cuadráticos. Se buscan la gráfica de Bode de cada uno y después se suman.
65/36
13
1 s
2
1
s
151 s
1136
13
2
ss
Elementos ind.
Aportaciones individuales en magnitud. y ángulo
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
102
-180
-90
0
90
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-200
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
102
103
-360
-315
-270
-225
-180
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Diagrama de Bode (Resultante)
• Los filtros pasivos son circuitos selectores de frecuencias construidos sólo con elementos pasivos (resistencias, condensadores e inductancias).
• Este hecho hace que sean incapaces de amplificar señales, por lo que atenuan prácticamente las señales en todo su rango de operación (salvo excepciones en torno a la frecuencia de resonancia).
• Por su parte, los filtros activos son dispositivos que no sólo son capaces de seleccionar frecuencias sino también de amplificarlas. Para que esto sea posible, hay que agregar elementos activos como los transistores o los amplificadores operacionales (que se estudiarán más adelante).
IntroducciónIntroducciónFiltros pasivosFiltros pasivos
Circuitos FiltroCircuitos Filtro
H(j)
H(j)
H(j)
H(j)
Filtro pasabajas Filtro pasaaltas
Filtro pasabandas Filtro rechazabandas
c c
2 21 1
1 1
1 1
Un “circuito filtro” incorpora una magnitud de frecuencia selectiva, para dejar pasar señales que contengan las frecuencias deseadas y eliminar o rechazar las indeseadas.
Por lo visto hasta ahora, puede notarse lo siguiente:
• El filtro pasabajos idealfiltro pasabajos ideal dejará pasar todas las frecuencias hasta cc (frecuencia de corte), y rechazará perfectamente las que estén por encima de dicha frecuencia.
• Los circuitos de primer orden RL y RC vistos tienen carac-terísticas pasabajos o pasaaltos (según su configuración), con frecuencia de corte cc = 1/ = 1/..
• Un filtro resonante RLC tendrá características pasabandas o rechazabandas, según su configuración circuital.
Circuitos FiltroCircuitos Filtro
Un circuito rechazabanda puede conformarse como se muestra a continuación:
Vent
R1
C
L
R2 Vsal
Puede notarse que la impedancia que presentará el circuito será mínima para la frecuencia de resonancia y la banda de frecuencias cercana a la misma.
Circuitos FiltroCircuitos Filtro
