Angulo de torsion en barras circulares

RESISTENCIA DE MATERIALES UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES

RESISTENCIA DE MATERIALES

“ANGULO DE TORSIÓN EN

BARRAS CIRCULARES”

ING. PEDRO DE LA CRUZ LARA

INSTRUCTOR

EDEN CANO RODRIGUEZ

EDEN CANO RODRIGUEZ 5TO CUATRIMESTRE DOMINGOS


Introducción Este trabajo está elaborado con el fin de explicar sobre los elementos sujetos a torsión, como pueden ser barras o vigas o algún cuerpo al someterse a este hecho; este trabajo está dedicado de igual forma al estudio de las tensiones y deformaciones tangenciales en la sección transversal de un elemento (miembro) debido a la acción de un momento de torsión (momento en torno al eje longitudinal del elemento). Este estudio estará restringido a secciones circulares macizas y huecas.

Hipótesis Básicas para Miembros Circulares

Considerar miembros de sección transversal circular maciza o tubular.

Una sección circular plana, perpendicular al eje del miembro, permanece plana después de aplicada la torsión. En otras palabras, no tiene lugar el alabeo o distorsión de planas normales al eje del miembro.

En un miembro de sección circular sometido a torsión, las deformaciones unitarias de corte varían linealmente desde el eje central, alcanzando su máximo valor en la periferia de la sección (Fig. 1).

Se considera un material homogéneo y linealmente elástico.

Deformación de un miembro circular sometido a torsión.Considerar la rotación relativa de dos secciones circulares maciza adyacentes de radio c de un elemento de longitud L, tal como lo muestra la Fig. 1.

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Torsión y momento de torsión.

En un caso más general, puede suceder que el plano del momento, determinado por el momento resultante de todos los momentos de las fuerzas de la izquierda con respecto al centro de gravedad de la sección, no sea normal a esta. Será posible entonces, descomponer ese momento, uno contenido en un plano normal a la sección que nos dará un momento flector (flexión normal y oblicua) y otro en el plano de la sección que nos dará un momento torsor (o de torsión). En la Fig. 65 se muestra el caso en el que el M f da una flexión normal:

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Aquí veremos solamente la torsión simple en la que:

Es un caso que muy difícilmente se produce en la práctica igual que el de corte simple visto en el tema XV. Normalmente la torsión viene acompañada de flexión y corte. En cuanto a las tensiones provocadas por la torsión deben, eventualmente, sumarse vectorialmente a las provocadas por el esfuerzo de corte constituyendo las tensiones tangenciales.

Angulo de torsión y ángulo de hélice. Supongamos entonces, el cuerpo cilíndrico de la Fig. 67 de diámetro D, empotrado en uno de sus extremos y sometido en el otro a la acción de un momento torsor M t

Por reacción en el empotramiento se desarrollará un momento torsor reactivo (−M t) y si hiciéramos el diagrama de momentos torsores tendríamos el de la figura 68.

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Por efecto del momento torsor, el radio GA de la superficie cilíndrica extrema gira hasta ocupar la posición GA´. El ángulo de giro y t es el ángulo de torsión.

Una generatriz como la AB por efecto del mismo momento de torsión pasaría a ocupar la posición A’B formando una hélice sobre la superficie cilíndrica. Si se desarrollara en un plano esta superficie tendríamos que la hélice se convierte en

una recta con un ángulo de inclinación ɣ llamado ángulo de la hélice. (Fig. 69 a).

Si ahora considero un disco del cuerpo cilíndrico de espesor dx, se podría comprobar que, siempre que las deformaciones (el ángulo de torsión ɣ) sean pequeñas, además de cumplirse la hipótesis de Navierre se verifica que las secciones permanecen circulares y sus diámetros y las distancias entre ellas no cambian.

ds=D2. d ɣ y ds=ɣ dx Igualando ɣ=12 D.

dydx

Esto nos dice que dydx es una constante y representa el ángulo de torsión por

unidad por longitud de la pieza. Este ángulo se puede simbolizar con ø es el

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ángulo especifico de torsión y la ecuación anterior la podemos escribir como

ɣ=12D .ø.

El momento torsor producirá en el cuerpo tensiones de torsión. Considerando la superficie donde está aplicado el M t analicemos dos anillos de la misma, uno exterior y otro interior. Por efecto del Momento el punto A pasará a A’ y el punto interior a a a’ (Fig. 70a). Aquí también se cumple la ley de Hooke por lo que las tensiones de torsión serán proporcionales a esos desplazamientos y por consiguiente resultará el diagrama de la Fig. 70b.

Si ahora consideramos un elemento de la superficie exterior de espesor dr y determinando por dos generatrices próximas separadas por un valor Δs y por dos círculos exteriores separados de un valor dx, teniendo en cuenta la Fig. 67 y Fig. 69 b y Fig. 71 y la fórmula (41) vista en el tema XV – punto 2, al tratar el módulo de la elasticidad transversal, tenemos:

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Igualando con la ecuación ɣ=12D.ø غ max=

12 . D. G. ø de la figura 70b resultara

que غ maxغ =D /2

r2غ=

rD

غ max teniendo en cuenta la figura 72 y aplicando

la condición mecánica de equilibrio deberá verificarse que

dM t=2πr .dr غ .r

M t=∫0

D /2

2π . r2 . غ . dr

Y reemplazando غpor la formula غ maxغ =D /2

r2غ=

rD

غ max resulta

M t=2max /Dغ . dr∫0

D /2

2π . r2 . غ . dr al valor Ip=∫0

D /2

2π . r3=πD 4 /32

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Torsión en barras de sección circular.

Teoría de Coulomb

Las secciones transversales circulares de la viga permanecen planas durante la torsión, girando como n todo rígido alrededor del eje normal X de la sección. Los radios giran permaneciendo rectos, y las fibras longitudinales se convierten en hélices.

y=tan y=CCÁC

=P .døxdx

=p . ø siendo;

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Ø el ángulo de torsión

ϴ el ángulo de torsión por unidad de longitud, definido por ø=dødx

De acuerdo con Hook, t=G.y=G.p.ø, es decir, las tensiones tangenciales son proporcionales al radio.

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Torsión en piezas de sección prismática.

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