1.1. Angulo

EJE TEMATICO 1

TRIGONOMETRIA

Es la rama de las matematicas encargada de estudiar las relaciones entre los lados y los angulos de lostriangulos, su propiedades y aplicaciones en diferentes contextos geometricos.

UN POCO DE HISTORIA:

Los babilonios y los egipcios (hace mas de 3000 anos) fueron los primeros en utilizar los angulos de untriangulo y las razones trigonometricas para efectuar medidas en agricultura y para la construccion depiramides. Tambien se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio dela astronomıa mediante la prediccion de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar laexactitud en la navegacion y en el calculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometrıa paso despues a Grecia, en donde se destaca el matematico y astronomoGriego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometrıa. Lastablas de“cuerdas”que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonometricas de laactualidad. Desde Grecia, la trigonometrıa paso a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomıa.Y desde Arabia se difundio por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomıa para convertirse enuna rama independiente que hace parte de la Matematica.

A principios del siglo XVII, el matematico John Napier invento los logaritmos y gracias a esto los calculostrigonometricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton invento el calculo diferencial e integral. Uno de los fundamentosdel trabajo de Newton fue la representacion de muchas funciones matematicas utilizando series infinitas depotencias de la variable x. Newton encontro la serie para el sen(x) y series similares para el cos(x) y latan(x). Con la invencion del calculo las funciones trigonometricas fueron incorporadas al analisis, dondetodavıa hoy desempenan un importante papel tanto en las matematicas puras como en las aplicadas.

Por ultimo, en el siglo XVIII, el matematico Leonhard Euler demostro que las propiedades de la trigonome-trıa eran producto de la aritmetica de los numeros complejos y ademas definio las funciones trigonometricasutilizando expresiones con exponenciales de numeros complejos.

*Tomado de: http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Loponte/ProyFinalLoponte/proyectofinal/historia.htm

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1.1. Angulo

No existe una definicion formal de angulo, pero si podemos dar una nocion de como se puede representar.La region comprendida entre dos semirectas que tienen un mismo punto de origen llamado vertice.

Utilizando un plano de coordenadas rectangulares podemos representar cualquier angulo tomando comosemirecta o lado inicial el semieje positivo X y como lado final cualquier otra semirecta que parta desdeel origen. Ası podremos obtener dos mediciones, una positiva (si se mide desde el lado inicial en el sentidocontrario a las manecillas del reloj) y otra negativa (si se mide desde el lado inicial en el sentido de lasmanecillas del reloj).

1.1.1. Medicon de angulos

Comunmente se utilizan dos unidades de medicion angular, el grado sexagesimal y el radian.

Grado sexagesimal: Consideremos el ∠BOA como angulo central de un cırculo y con sentido positivo.

Se dice que la medida del ∠BOA es un grado (1o) si el arco entre el lado incial y final mide1

360de la

circunferencia.

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Radian: Siendo C una circunferencia de radio 1 y con centro en el origen de coordenadas, diremos que lamedida del angulo ∠POQ en radianes es la longitud del arco PQ que es igual al radio.

Como el perımetro de un cırculo de radio 1 es igual a 2π, se tiene que un rayo engendra un angulo cuyamedida es 2π radianes cuando el rayo se hace rotar “una vuelta completa”, en sentido positivo. De igual

manera, dado que un angulo cuya medida es 1o, contiene un arco cuya medida es1

360de la circunferencia,

se tiene que un rayo engendra un angulo cuya medida es 360o, cuando el rayo se hace rotar “una vueltacompleta”en sentido positivo. Ası tendremos el siguiente cırculo de equivalencias entre grados y radianes.

En particular se tiene que:

a) La medida R en radianes de un angulo que mide G grados esta dada por:

R =π

180oG

b) La medida G en grados sexagesimales de un angulo que mide R radianes esta dada por:

G =180o

πR

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1.1.2. Clasificacion de angulos

Segun su amplitud:

*Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Angulo

Segun su posicion:

*Tomado de: http://wikieducator.org/Matematicas GECeneval286/Contenido/Geometria Euclidiana/Angulos

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Segun la suma de sus medidas:


Formados por rectas paralelas y una secante:


1.2. Razones trigonometricas

Se definen como las razones o cocientes entre las longitudes de los lados de un triangulo rectangulo. Paradistinguir cada una de estas razones se toma como referencia uno de los angulos agudos y se les asigna unnombre especial, ası:

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Ejemplo 1.1 Hallar las razones trigonometricas para el angulo α del siguiente triangulo.

Calculamos el valor de la hipotenusa usando el teorema de Pitagoras (c2 = a2 + b2). Enconces:

c =√

a2 + b2 =√

32 + 42 =√9 + 16 = 5

luego hipotenusa = 5, cateto adyacente = 4 y cateto opuesto = 3.

Aplicamos la definicion de cada razon trigonometrica y obtenemos:

sen(α) =3

5csc(α) =

5

3

cos(α) =4

5sec(α) =

5

4

tan(α) =3

4cot(α) =

4

3

Notese que csc(α) =1

sen(α), sec(α) =

1

cos(α), cot(α) =

1

tan(α).

Esto quiere decir que cosecante es la inversa del seno; secante es la inversa del coseno, y cotangente es lainversa de la tangente.

Valores de las razones trigonometricas para angulos notables

En el trabajo cotidiano con las matematicas, la mayorıa de las veces hay que utilizar valores exactos de lasrazones trigonometricas, a continuacion se presenta de manera breve y practica una tabla con estos valores.

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1.3. Funciones trigonometricas

Una funcion trigonometrica generaliza la definicion de razon trigonometrica a todos los numeros reales, esdecir, en el plano coordenado dado un angulo θ (en radianes) sobre el eje X se asigna un unico valor realsobre el eje Y .

fT : R −→ R

θ 7−→ fT (θ)

La anterior relacion genera una curva sobre el plano, donde fT es una razon trigonometrica, por endetendremos seis funciones trigonometricas basicas. El estudio de estas curvas es importante debido a suaplicabilidad en areas de la ciencia como por ejemplo la fısica, la astronomıa, la cartografıa, las telecomu-nicaciones, y la representacion de fenomenos periodicos o repetitivos.

1.3.1. Funcion seno

Esta curva tiene perıodo Pf = 2π, pues se repite cada 2π radianes. Notese tambien que el intervalo deamplitud de la funcion es [−1, 1] ya que la mınima y maxima altura que puede tomar la curva es −1 y 1respectivamente.

1.3.2. Funcion coseno

Al igual que la funcion seno, el perıodo de la funcion coseno es Pf = 2π y el intervalo de amplitud de lafuncion es [−1, 1].

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1.3.3. Funcion tangente

El perıodo de la funcion tangente es Pf = π y el intervalo de amplitud de la funcion es (−∞,∞). Ademasposee infinitas asıntotas (rectas paralelas al eje Y que pasan por los puntos donde la funcion no esta

definida) en los puntos x = (2k + 1)π

2, k ∈ Z.

1.3.4. Funcion cotangente

El perıodo de la funcion cotangente es Pf = π y el intervalo de amplitud de la funcion es (−∞,∞).Ademas posee infinitas asıntotas en los puntos x = kπ, k ∈ Z.

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1.3.5. Funcion secante

El perıodo de la funcion secante es Pf = 2π y su recorrido en Y es R − (−1, 1). Ademas posee infinitas

asıntotas en los puntos x = (2k + 1)π

2, k ∈ Z.

1.3.6. Funcion cosecante

El perıodo de la funcion cosecante es Pf = 2π y su recorrido en Y es R− (−1, 1). Ademas posee infinitasasıntotas en los puntos x = kπ, k ∈ Z.

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1.4. Funciones trigonometricas generales

Sean fT una funcion trigonometrica y A,B,C,D ∈ R, (B= 0). Entonces y =AfT (Bx+C)+D es una funciontrigonometrica general, donde:

A determina la amplitud de la funcion.

Pf

Bdetermina el perıodo total de la funcion.

C

Bdetermina el desfase de la funcion (desplazamiento horizontal).

D determina el desplazamiento vertical.

Ejemplo 1.2 Graficar la funcion y = −3 sen(2x− π) + 3.

Tenemos que La funcion basica fT es sen(x) y su perıodo Pf es 2π. ahora:

A= −3, la amplitud de la funcion es 3 pero el signo negativo refleja la funcion sobre el eje X.

Pf

B=

2π

2= π es el perıodo de la nueva funcion.

C

B=

π

2, la funcion se desplaza

π

2unidades hacia la derecha.

D= 3, la funcion se desplaza 3 unidades hacia arriba.

Luego transformamos la funcion sen(x) segun cada coeficiente ası:

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1.5. Identidades trigonometricas

Una identidad trigonometrica es una igualdad algebraica entre razones trigonometricas para un mismoangulo, donde dicha igualdad debe ser verdadera para que se llame identidad.

1.5.1. Identidades recıprocas

En la seccion 1.2 se definieron las razones trigonometricas y notamos que las razones sen(x), cos(x), tan(x)tienen sus respectivas razones inversas, ası:

sen(x) =1

csc(x)o csc(x) =

1

sen(x).

cos(x) =1

sec(x)o sec(x) =

1

cos(x).

tan(x) =1

cot(x)o cot(x) =

1

tan(x).

Ademas, tan(x) =opuesto

adyascente=

opuesto

hipotenusaadyascente

hipotenusa

=sen(x)

cos(x)=⇒ tan(x) =

sen(x)

cos(x).

1.5.2. Identidades pitagoricas

llamadas ası debido a que se construyen a partir del teorema de Pitagoras (hipotenusa)2 = (c. opuesto)2+(c. adyascente)2 =⇒ (co)2 + (ca)2 = h2.

Dividiendo (co)2 + (ca)2 = h2 por h2 obtenemos(co)2

h2+

(ca)2

h2=

h2

h2=⇒ sen2(x) + cos2(x) = 1 .

Ahora dividiendo (co)2+(ca)2 = h2 por (ca)2 obtenemos(co)2

(ca)2+(ca)2

(ca)2=

h2

(ca)2=⇒ tan2(x) + 1 = sec2(x) .

Por ultimo, (co)2+(ca)2 = h2 entre (co)2 obtenemos(co)2

(co)2+

(ca)2

(co)2=

h2

(co)2=⇒ 1 + cot2(x) = csc2(x) .

1.5.3. Identidades del angulo suma

sen(x± y) = sen(x)cos(y)± sen(y) cos(x)

cos(x± y) = cos(x)cos(y)∓ sen(x) sen(y)

1.5.4. Identidades del angulo doble

Basandonos en las identidades del angulo suma tenemos:

i) sen(2x) = sen(x+x) = sen(x)cos(x)±sen(x) cos(x) = 2 sen(x) cos(x) =⇒ sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)

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ii) cos(2x) = cos(x+x) = cos(x)cos(x)−sen(x) sen(x) = cos2(x)−sen2(x) =⇒ cos(2x) = cos2(x)− sen2(x)

Retomemos ii) y obtendremos dos importantes identidades usadas en calculo integral.

iii) cos(2x) = cos2(x)− sen2(x) = [1− sen2(x)]− sen2(x) = 1− 2 sen2(x) =⇒ sen2(x) =1

2− cos(2x)

2

iv) cos(2x) = cos2(x)− sen2(x) = cos2(x)− [1− cos2(x)] = −1+2 cos2(x) =⇒ cos2(x) =1

2+

cos(2x)

2

Ejemplo 1.3 Comprobar que la siguiente que la expresion sen4(x)− cos4(x) = 2 sen2(x)− 1 es una iden-tidad.

Partamos de sen4(x)− cos4(x) para llegar a la expresion 2 sen2(x)− 1, entonces:

sen4(x)− cos4(x) = (sen2(x)− cos2(x))(sen2(x) + cos2(x)) 7→ aplicando diferencia de cuadrados

⇒ (sen2(x)− cos2(x))(sen2(x) + cos2(x)) = (sen2(x)− cos2(x))(1) 7→ aplicando identidad pitagorica

⇒ (sen2(x)− cos2(x)) = (sen2(x)− [1− sen2(x)]) = 2 sen2(x)− 1︸︷︷︸ 7→ aplicando identidad pitagorica ysumando terminos semejantes

Ejemplo 1.4 Comprobar que la siguiente que la expresion 3 sen(x)−4 sen3(x) = sen(3x) es una identidad.

Partamos de sen(3x) para llegar a la expresion 3 sen(x)− 4 sen3(x), entonces:

sen(3x) = sen(2x+ x) = sen(2x)cos(x) + sen(x)cos(2x) 7→ aplicando identidad del angulo doble

= [2 sen(x)cos(x)] cos(x) + sen(x)[cos2(x)− sen2(x)] 7→ aplicando identidad del angulo doble

= 2 sen(x) cos2(x) + sen(x) cos2(x)− sen3(x) = 3 sen(x) cos2(x)− sen3(x) 7→ realizando operaciones

= 3 sen(x)[1− sen2(x)]− sen3(x) = 3 sen(x)− 3 sen3(x)− sen3(x) = 3 sen(x)− 4 sen3(x)︸︷︷︸ 7→ sumando.

1.6. Ecuaciones trigonometricas

Una ecuacion trigonometrica es una igualdad entre funciones trigonometricas que solo se satisface para undeterminado valor o valores de un mismo angulo.

Para solucionarlas desarrollamos la expresiones, hasta obtener una sola expresion trigonometrica igualadaa un numero mediante el algebra, los despejes, la factorizacion y las identidades basicas.

Ejemplo 1.5 Hallar todos los angulos que satisfacen la ecuacion sen(x+

π

4

)=

√3

2.

Aplicando la funcion inversa del sen(x) que es arc sen(x) tenemos que:

x+π

4= arc sen

(√3

2

)7→

sabemos que seno es una fucnion perıodica, ası que existen infinitos angulos

para los cuales seno toma el valor de

√3

2

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arc sen

(√3

2

)=

{60o + 360ok120o + 360ok

; k ∈ Z 7→ tenemos ahora dos casos:

caso 1: x+π

4= 60o + 360ok =⇒ x = 60o + 360ok − π

4= 60o + 360ok − 45o = 15o + 360ok︸︷︷︸.

caso 2: x+π

4= 120o + 360ok =⇒ x = 120o + 360ok − π

4= 120o + 360ok − 45o = 75o + 360ok︸︷︷︸.

Ejemplo 1.6 Hallar todos los angulos que satisfacen la ecuacion cos(2x) = 1 + 2 sen(x).

Usamos identidad del angulo doble y pitagorica para que la ecuacion este en terminos del angulo x y lamisma funcion trigonometrica.

⇒ cos2(x)−sen2(x) = 1+2 sen(x) =⇒ [1−sen2(x)]−sen2(x) = 1+2 sen(x) =⇒ 2 sen2(x)+2 sen(x) = 0

⇒ 2 sen(x)[sen(x) + 1] = 0.

caso 1: 2 sen(x) = 0 =⇒ x = 0o + 360ok︸︷︷︸.caso 2: sen(x) + 1 = 0 =⇒ sen(x) = −1 =⇒ x = 270o + 360ok︸︷︷︸.

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