06 metodo de punto fijo

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE

ECUACIONES DE UNA VARIABLE.

MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO

FIJO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de iteración de punto fijo.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 109

1.11.- MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO (MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

SUCESIVA).

En esta sección consideramos los métodos para determinar la solución de una ecuación que

se expresa, para alguna función g, en la forma

)(xgx (1.32)

Esta transformación se realiza mediante operaciones algebraicas o simplemente sumando x

a cada lado de la ecuación original. Por ejemplo, 0132 xx se reordena para obtener

a) 13 xx b) 3

12

xx c)

3

1

xx d) 3

1

xx

mediante las operaciones algebraicas siguientes:

a) 0132 xx

132 xx

13 xx

b) 0132 xx

xx 312

3

12

xx

c) 0132 xx

01)3( xx

1)3( xx

3

1

xx

d) 0132 xx

01)3( xx

1)3( xx

xx

13

31

xx

La utilidad de la ecuación 1.32 es que proporciona una fórmula para predecir un nuevo

valor de x en función del valor anterior de x. De esta manera, dado un valor inicial para la

raíz 1ix , la ecuación 1.32 se utiliza para obtener una nueva aproximación ix , expresada por

la fórmula iterativa

)( 1 ii xgx (1.33)

A una solución de esta ecuación se le llama un punto fijo de la función g.



Si para cualquier g dada se puede encontrar un punto fijo, entonces cada problema

de búsqueda de las raíces de 0)( xf tiene soluciones que corresponden precisamente a

los puntos fijos de )(xgx con )()( xfxxg . La primera tarea entonces es decir

cuándo una función tendrá un punto fijo y cómo se pueden determinar los puntos fijos. (En

análisis numérico, “determinar” generalmente significa aproximar con suficiente grado de

precisión).

El siguiente teorema da las condiciones suficientes para la existencia y unicidad de

un punto fijo.

Si ],[ baCg y ],[)( baxg para toda ],[ bax , entonces g tiene un punto fijo en

],[ ba . Si además, )(xg existe en ),( ba y 1)( kxg para toda ),( bax , entonces g

tiene un punto fijo único en ],[ ba .

La condición ],[)( baxg para toda ],[ bax implica que la curva )(xgy y la recta

xy deben intersectarse. El punto de intersección de ambas curvas es el punto fijo de la

función )(xg y la solución de la ecuación 0)( xf .

La iteración de punto fijo converge si, en la región de interés

1)( xg (1.34)

En otras palabras, la convergencia ocurre si la magnitud de la pendiente de )(xg es menor

que la pendiente de la recta xxf )( .

Si 1)( xg , entonces los errores disminuyen con cada iteración. Si 1)( xg , los

errores crecen. Si la derivada es positiva, los errores serán positivos y, por lo tanto, la

solución iterativa será monótona. Si la derivada es negativa, entonces los errores oscilarán.

Requisitos para la aplicación del método iterativo de punto fijo.

Para la aplicación del método iterativo de punto fijo, debe disponerse de:

a) La ecuación a resolver, la cual conduce a la función 0)( xf .

b) Una función )(xgx obtenida a partir de 0)( xf mediante operaciones algebraicas.

c) Una estimación inicial 0x del valor de la raíz.

d) Un mecanismo de paro, que puede ser el número de iteraciones o la cota de error.



Algoritmo del método de punto fijo.

Para encontrar una solución de )(xgx dada una aproximación inicial 0x :

ENTRADA: Aproximación inicial 0x ; Tolerancia TOL; máximo número de iteraciones N.

SALIDA: Solución aproximada ix o mensaje de fracaso.

Paso 1. Tomar 1i

Paso 2. Mientras que Ni , seguir Pasos 3 – 5.

Paso 3. Tomar )( 1 ii xgx . (Calcular ix )

Paso 4. Si TOLx

xx

i

ii 1001 entonces

SALIDA ( ix ); (Procedimiento completado satisfactoriamente).

PARAR

Paso 5. Tomar 1 ii .

Paso 6. SALIDA (“El método fracasó después de N iteraciones”). (Procedimiento

completado sin éxito).

PARAR.

Ejemplo 1.18.

La ecuación 0132 xx se reordena para obtener

a) 13 xx b) 3

12

xx c)

3

1

xx d) 3

1

xx

En las figuras siguientes se muestran las gráficas de cada una de estas funciones:



13)(1 xxg

3

1)(

2

2

xxg

3

1)(3

xxg

31

)(4 x

xg

Figura 1.41. Cuatro funciones obtenidas de 0132 xx para la aplicación del método de iteración de

punto fijo.

Hay dos puntos fijos. Uno se encuentra en el intervalo ]0,1[ y otro en ]4,3[ .

Intervalo ]0,1[ .

Las funciones )(1 xg y )(4 xg no garantizan encontrar el punto fijo, pues las derivadas

21

)13(2

3)(1

xxg se hace infinita en ]0,1[

31 x y

24

1)(

xxg se hace infinita en

]0,1[0 x . Las funciones )(2 xg y )(3 xg garantizan encontrar el punto fijo, pues las



derivadas 13

2

3

2)(2

xxg para toda ]0,1[x y 1

9

1

)3(

1)(

23

xxg para

toda ]0,1[x . Para determinar la solución se recomienda utilizar la función )(3 xg .

Intervalo ]4,3[ .

La convergencia a un punto fijo está garantizada sólo por las funciones )(1 xg y )(4 xg :

1)10(2

3

)13(2

3)(

21

211

xxg para toda ]4,3[x

19

11)(

24

x

xg para toda ]4,3[x .

Para aproximar el punto fijo de una función g, escogemos una aproximación inicial 0x y

generamos la sucesión

0}{ nnx tomando )( 1 ii xgx para cada 1i . Esta técnica se llama

técnica iterativa de punto fijo, iteración funcional ó sustitución sucesiva.

Para la aplicación del método de iteración de punto fijo, debe disponerse de:

a) La ecuación a resolver, la cual conduce a una gama de funciones )( 1 ii xgx .

b) Un intervalo ],[ ba en el cual ],[)( baxg y 1)( xg ),( bax .

c) Una estimación inicial 0x del punto fijo.

d) Un mecanismo de paro, que puede ser el número de iteraciones o la cota de error.

Ejemplo 1.19.

Determine la raíz de 02 xex usando el método iterativo de punto fijo con tres

iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en la última iteración.

Solución.

a) Ecuación a resolver: 02 xex , la cual conduce a las funciones:

xx eexg 21

)(1

xxg ln2)(2 xexxg x 2

3 )(

b) Se realiza una tabla de valores con el objeto de determinar un intervalo donde se

encuentra el punto fijo. Recuérdese que la función debe estar contenida en el intervalo, esto

es, ],[)( baxg para todo ],[ bax .



x x

exg 21

)(1

xxg ln2)(2 xexxg x 2

3 )(

0 1.00000000000 No existe –1.00000000000

1 0.60653065971 0.00000000000 1.63212055883

2 0.36787944117 –1.38629436112 5.86466471676

3 0.22313016015 –2.19722457734 11.95021293163

4 0.13533528324 –2.77258872224 19.98168436111

5 0.08208499862 –3.21887582487 29.99326205300

La única función que parece tener un punto fijo es x

exg 21

)(1

en el intervalo ]1,0[ .

1)( 21

21

121

x

exg . El punto fijo está garantizado. Obsérvese que 0)(1 xg , por lo

tanto, la convergencia a la solución será oscilante.

121

ix

i ex

c) Se tomará como aproximación inicial 5.00 x .

d) Se ejecutarán 3 iteraciones.

Primera iteración ( 1i ). 5.00 x

021

1

xex

)5.0(

121

ex

77788007830.01 x

Gráficamente.

Figura 1.42. Primera iteración del método de

iteración de punto fijo para xexxf 2)( con

5.00 x .

Segunda iteración ( 2i ).



121

2

xex

)77788007830.0(

221

ex

76774629652.02 x

Gráficamente.

Figura 1.43. Segunda iteración del método de


5.00 x .

Tercera iteración.

221

3

xex

)76774629652.0(

321

ex

97126737886.03 x

Figura 1.44. Tercera iteración del método de


5.00 x .

Error relativo porcentual de aproximación.



100actualón Aproximaci

anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci

a

1008690.71267378

5270.677462968690.71267378

a

%94.4a

Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente

tabla:

i 1ix ix a , %

1 0.5 0.77880078307 35.80

2 0.77880078307 0.67746296527 14.96

3 0.67746296527 0.71267378869 4.94

La solución de la ecuación 02 xex es 97126737886.03 x , obtenida aplicando el

método de iteración de punto fijo con una estimación inicial 5.00 x y tres iteraciones. El

error relativo porcentual de aproximación es 4.94%.

Optimizando el uso de la calculadora.

Una vez que se identifica la función que tiene el punto fijo, los resultados de las iteraciones

se pueden obtener de manera inmediata con el uso de la calculadora fx-570 ES PLUS. En el

caso particular del ejemplo 1.19, procederíamos a ingresar la función x

exg 21

)(1

,

utilizando la siguiente secuencia de teclas:

SHIFT , ln , (–) ,

, 1 , , 2 , , ALPHA , )

El display de la calculadora muestra

xe 2

1

R Math

Para obtener la primera aproximación presionamos la tecla CALC. Observaremos en el

display:

?x R Math

0



Ingresamos la estimación inicial 0.5 y presionamos la tecla =. El display reporta el

resultado de la primera estimación:

xe 2

1

R Math

0.7788007831

Para las estimaciones siguientes, presionamos las teclas = Ans =, y obtendremos de esta

manera la estimación correspondiente a la segunda y tercera iteración.

xe 2

1

R Math

0.6774629653

xe 2

1

R Math

0.7126737887

Ejemplo 1.20.

a) Demuestre que cada una de las funciones siguientes tiene un punto fijo en x precisamente

cuando 0)( xf , donde 1)( 3 xxxf .

i) 31

)1()(1 xxg ii) 21

11

)(2

xxg iii)

13

12)(

2

3

3

x

xxg

b) Efectúe 4 iteraciones, si esto es posible, en cada una de las funciones g definidas en a).

Tome 10 x y )( 1 ii xgx para 4,3,2,1i .

c) ¿Cuál función cree usted da la mejor aproximación a la solución?

Solución.

Algebraicamente.

a) El uso del manejo algebraico permite demostrar la situación planteada.

i) 31

)1( xx

13 xx

013 xx

ii) 21

11

xx



112 x

x

x

xx

12

xx 13

013 xx

iii) 13

122

3

x

xx

123 33 xxx

0123 33 xxx

013 xx

Observación: Esta última función ha sido obtenida aplicando la fórmula del método de

Newton - Raphson.

Numéricamente.

Se realiza una tabla de valores con el objeto de determinar un intervalo donde se encuentra

el punto fijo.

x 31

)1()(1 xxg 21

11

)(2

xxg

13

12)(

2

3

3

x

xxg

0 1.00000000000 No existe -1.00000000000

1 1.25992104989 1.41421356237 1.50000000000

2 1.44224957031 1.22474487139 1.54545454545

3 1.58740105197 1.15470053838 2.11538461538

4 1.70997594668 1.11803398875 2.74468085106

5 1.81712059283 1.09544511501 3.39189189189

Todas las funciones tienen un punto fijo en el intervalo ]2,1[ , pues en todas ]2,1[)( xg

Gráficamente tenemos que en el intervalo ]2,1[ , las tres funciones están contenidas en

dicho intervalo.



Figura 1.45. Tres funciones obtenidas de 013 xx para la aplicación del método de iteración de punto

fijo.

b) Al realizar cuatro iteraciones del método de punto fijo, obtenemos los siguientes

resultados para las tres funciones:

i 1ix 31

)1( 1 ii xx

(%)a

1 1 1.25992104989 -

2 1.25992104989 1.31229383668 20.62994740159

3 1.31229383668 1.32235381914 3.99093444809

4 1.32235381914 1.32426874455 0.76076329269

i 1ix 21

11

1

i

ix

x

(%)a

1 1 1.41421356237 -

2 1.41421356237 1.30656296488 29.28932188135

3 1.30656296488 1.32867108975 8.23922002924

4 1.32867108975 1.32386997635 1.66392759212

i 1ix 13

122

1

3

1

i

ii

x

xx

(%)a

1 1 1.5 -

2 1.5 1.34782608696 33.33333333333

3 1.34782608696 1.32520039895 11.29032258065

4 1.32520039895 1.32471817400 1.70734086886

c) La función que da la mejor aproximación a la solución es 31

)1()(1 xxg . Converge más

rápidamente.



Número de iteraciones.

En el caso del método de iteración de punto fijo, es posible determinar el número de

iteraciones requeridas para un error absoluto preestablecido.

Si el error absoluto sugerido es s , entonces al aplicar el método de punto fijo n veces:

s

n xbaxk },{max 00 1n

},{max 00 xbaxk sn

},{maxlnln

00 xbaxkn s

k

xbaxn

s

ln

},{maxln

00

(1.35)

En el ejemplo 1.19, si previamente se hubiese establecido un error sugerido de 310s ,

entonces

5.0ln

5.0

10ln

3

n

5.0ln

002.0lnn

97.8n

Se requerirían al menos 9 iteraciones.

Resumen del método de punto fijo.

a) La sustitución sucesiva es una clase amplia de esquemas iterativos para encontrar una

raíz de una función. El método de Newton y el de la secante, descritos en secciones

anteriores, son casos especiales de la sustitución sucesiva.

b) Se ha analizado un criterio para la convergencia de este método.



Resumen de los esquemas para encontrar raíces.

Nombre

Necesidad de

especificar un

intervalo que

contenga a la

raíz.

Necesidad de la

continuidad de

Tipos de

ecuaciones

Otras características

especiales.

Bisección Si No Cualquiera Robusto.

Falsa posición Si Si Cualquiera Convergencia lenta en

un intervalo grande.

Falsa posición

modificada Si Si Cualquiera

Más rápido que el

método de la falsa

posición.

Método de

Newton No Si Cualquiera

Rápido, se necesita

calcular

Método de

Secante No Si Cualquiera

Rápido, no se

requiere calcular

Sustitución

sucesiva No Si Cualquiera Puede no converger.

Ejercicios propuestos.

73. [CC] Con el método de iteración simple de punto fijo localice la raíz de

xxxf )(sen )( . Use un valor inicial de 5.00 x y haga iteraciones hasta que

%01.0a .

74. [CC] Utilice el método iterativo de punto fijo para determinar la raíz de

5.27.19.0)( 2 xxxf usando 50 x . Efectúe el cálculo hasta que a sea menor que

%01.0s . Compare su resultado y el número de iteraciones requeridas con la respuesta

obtenida en el ejercicio 41.

75. [SN] La ecuación 0322 xx se puede reformular mediante el método de punto

fijo como sigue

a) 2

32

xx b) 32 xx

c) x

xx

32 d) )32(2.0 2 xxxx

f

f

f



Las soluciones de la ecuación son 3x y 1x . Determine en forma gráfica cuáles de las

fórmulas anteriores convergen cuando se utilizan con el método de punto fijo para

encontrar la raíz 1x . Verifique los resultados del enfoque gráfico utilizando el criterio

dado por la ecuación (1.34). Repita el mismo análisis para 3x .

76. [BF] a) Demuestre que cada una de las funciones siguientes tiene un punto fijo en x

precisamente cuando 0)( xf , donde 32)( 24 xxxxf

i) 4

1

)23()( 2

1 xxxg ii) 2

1

2

3)(

4

2

xxxg

iii) 2

1

2

3)(

23

x

xxg iv)

144

323)(

3

24

4

xx

xxxg

b) Efectúe 4 iteraciones, si esto es posible, en cada una de las funciones g definidas en a).

Tome 10 x y )(1 nn xgx para 3,2,1,0n .

c) ¿Cuál función cree usted da la mejor aproximación a la solución?

77. [BF] Resolver 013 xx para la raíz en ]2,1[ , usando iteración de punto fijo.

Obtenga una aproximación a la raíz exacta a 10–2

.

78. [BF] Use el método de iteración de punto fijo para determinar una solución exacta a

210 para 0sen 2 xx en ]2,1[ . Use 10 x .

79. [BF] Demostrar que xxg 2)( tiene un punto fijo único en ]1,[ 31 . Use la iteración de

punto fijo para encontrar una aproximación al punto fijo, con una precisión de 10–4

. Estime

el número de iteraciones requeridas para alcanzar 10–4

de precisión, y compare esta

estimación teórica con el número realmente necesario.

80. [BF] Demostrar que xxg sen5.0)( tiene un único punto fijo en ]2,0[ . Use la

iteración de punto fijo para encontrar una aproximación al punto fijo, con una precisión de

10–2

. Estime el número de iteraciones requeridas para alcanzar 10–2

de precisión, y compare

esta estimación teórica con el número realmente necesario.



81. [BF] Use el procedimiento de iteración de punto fijo para encontrar una aproximación a

3 que sea exacta a 10–4

. Compare su resultado y el número de iteraciones requeridas con

la respuesta obtenida en los ejercicios 22, 45 y 61.

82. [BF] Use el procedimiento de iteración de punto fijo para encontrar una aproximación a

3 25 que sea exacta a 10–4

. Compare su resultado y el número de iteraciones requeridas

con la respuesta obtenida en el ejercicio 23.

83. [BF] Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine un intervalo ],[ ba en el

cual la iteración de punto fijo converja. Estime el número de iteraciones necesarias para

obtener aproximaciones exactas a 10–5

, y efectúe los cálculos.

a) 3

2 2xex

x b) xex

31 c) xx 5

d) xx 6 e) 2

7475.1

x

xx f) 2

52

xx

84. [BF] Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine una función g y un

intervalo ],[ ba en el cual la iteración de punto fijo convergerá a una solución positiva de

la ecuación.

a) 03 2 xex b) 0cos xx

Encuentre las soluciones con 10–5

de precisión.

85. [BF] Encuentre los ceros de xxxf cos10)( 2 usando el método de iteración de

punto fijo para una función de iteración apropiada g . Encuentre los ceros exactos a 10–4

y

compare el número de iteraciones requeridas con el número requerido en el ejercicio 26.

86. [BF] Use el método de iteración de punto fijo para determinar una solución exacta a

410 de xx tan , 54 x . Compare su resultado y el número de iteraciones requeridas

con la respuesta obtenida en el ejercicio 18.

87. [BF] Demuestre que la sucesión definida por

1

1

2

2

1

n

nnx

xx , para 1n .

Converge a 2 para cualquier 00 x .



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

1.11.- MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO.

73. )(sen )( xxg , 1310.768606239 x

74. 7.19.0

5.2)(

xxg , 2550.9712069813 x ;

17

25

9

1)(

xxg , 6522.8601323910 x

76. a) La demostración se realiza mediante el manejo algebraico de las funciones dadas; b)

i) 9511.107820524 x , ii) 9150.987506424 x , iii) 4711.123638884 x , iv)

9701.124123024 x ; c) (iv) da la mejor respuesta puesto que 34 xx es la más pequeña.

77. x

xg1

1)( , 5.10 x , 1901.323129593 x

78. xxg sen 2)(1 , 02 x (Solución trivial), )(sen)( 2111

2 xxg

,

7350.000672704 x .

79. ]1,[5980.793700522)( 31

31 3

1

g , ]1,[0.52)1( 311 g . Usando 10 x da

2450.6412052512 x . Puesto que 551.02ln2)( xxg en 1,31 , con 551.0k ,

10 x , se requieren 15 iteraciones.

80. ]2,0[0sen 5.0)0( g , ]2,0[2sen 5.0)2( g . Usando

10 x da 2123.138431138 x . Puesto que 5707.1cos5.0)( xxg en 2,0 , con

5707.1k , 10 x , se requieren 14 iteraciones.

81.

xxxg

3

2

1)( , 20 x , 0011.732050813 x

82. x

xg5

)( , 5.20 x , 8162.9239897714 x

83. a) ]1,0[ ; b) ]1,0[ ; c) ]1,0[ ; d) ]1,0[ ; f) ]3,2[ .

84. a) xexg

31)( , ]1,0[ , 5.00 x , 7400.9100019614 x ; b) xxg cos)( , ]1,0[ ,

5.00 x , 1780.7390818128 x .

85. )10/(cos)( 21 xxg , 00 x , 0951.379372469 x

86. xxx

xg 1

tan

1)( , 40 x , 7914.493409454 x

87. Hágase nn xx 1 y opérese algebraicamente. La solución de la ecuación resultante

conduce a 2nx . En general

1

12

1

n

nnx

Kxx conduce a Kxn .

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06 metodo de punto fijo