METODOS NUMERICOS

Monografía sobre el Método numérico iterativo del Punto Fijo para encontrar raíces de ecuaciones No lineales.

Integrantes : Osinaga Flores Mimí Yandira (200756656) Ribera Ruth Geraldine (200665820) Pedraza Ferrufino Erick (200770421) García Villarroel Erik Andrés (200763598)

Materia : Métodos Numéricos (MAT-205)

Docente : Ing. Gianela Peredo Luis

Grupo : SB

SEMESTRE : 2/2008

SANTA CRUZ - BOLIVIA

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AGRADECIMIENTOS

Agradecemos: Primeramente a Dios, por darnos salud, inteligencia y la oportunidad de

estar en este mundo e iluminarnos en los momentos en los cuales necesitábamos ayuda.

Al Ing. Luis Gianela Peredo, por habernos instruido y brindado la enseñanza tan

fundamental para nuestro proceso de formación como buenos profesionales.

A nuestras familias, por darnos el apoyo moral y económico para lograr nuestras metas y

objetivos.

26

DEDICATORIA

La presente monografía va dedicada a todos los estudiantes de Ingeniería de la

Universidad Autónoma “Gabriel René Moreno” para que sea útil como referencia a estudiantes

posteriores y pueda constituirse como un documento de mucha ayuda para ellos.

26

MÉTODO DEL

PUNTO FIJO

26

Tabla de contenido1. INTRODUCCION 6

2. GENERALIDADES 6

2.1. METODOS NUMERICOS PARA EL CALCULO DE RAICES NO LINEALES 6

2.1.1. METODOS CERRADOS 7

2.1.2. METODOS ABIERDOS 7

2.1.3. TEOREMA DEL BOLZANO 8

3. DESARROLLO DEL TEMA 9

3.1. CONCEPTO DE ITERACION 9

3.2. EL PUNTO FIJO 9

3.3. CONDICION DE LIPSCHITZ 10

3.4. PUNTOS FIJOS Y RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES 10

3.5. METODO DEL PUNTO FIJO 11

3.6. CRITERIOS DE CONVERGENCIA15

3.6.1. DESTANCIAS ENTRE LOS X I 15

3.6.2. CRITERIO |g' (x )|<1 16

3.6.3. INTERPRETACION GEOMETRICA 18

3.7. DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL METODO DEL PUNTO FIJO 21

3.8. CODIGO EN VBA PARA EL METODO DEL PUNTO FIJO 23

4. CONCLUSIONES 25

5. BIBLIOGRAFIA 25

6. ANEXOS 26

26

1. INTRODUCCION

La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más

antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido.

Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también

podemos determinar máximos y mínimos, resolver sistemas de ecuaciones lineales y

diferenciales, etc.

En este trabajo se explica primero los conceptos básicos sobre el tema de raíces

de ecuaciones no lineales, se indica también cuales son los métodos mas usuales y por

ultimo se interna en la explicación del método del punto fijo, indicando el concepto de un

punto fijo, el procedimiento de la iteración, y los criterios de convergencia para las

funciones. Por ultimo se desarrolla un programa informático para la resolución de

ecuaciones no lineales con el método del punto fijo, indicando el algoritmo del método.

2. GENERALIDADES

2.1.METODOS NUMERICOS PARA EL CALCULO DE RAICES DE ECUACIONES NO

LINEALES

El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x

para los que se cumple:

f ( x )=0

La determinación de las soluciones de la ecuación  𝒇( x )=0 puede llegar a ser un problema muy difícil. Si f(x) es una función polinómica de

grado 1 ó 2, conocemos expresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces.

Para polinomios de grado 3 ó 4 es necesario emplear métodos complejos y laboriosos. Sin

embargo, si f(x) es de grado mayor de cuatro o bien no es polinómica, no hay ninguna

fórmula conocida que permita determinar los ceros de la ecuación (excepto en casos muy

particulares).

La mayoría de los métodos utilizados para el cálculo de las raíces de una ecuación

son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas. Estos métodos

trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximación al valor de la raíz,

determinamos una aproximación mejor aplicando una determinada regla de cálculo y así

sucesivamente hasta que se determine el valor de la raíz con el grado de aproximación

deseado.

26

Los métodos numéricos utilizados para el calculo de raíces se pueden clasificar en

dos tipos principales que son:

- Métodos cerrados

- Métodos abiertos

2.1.1. METODOS CERRADOS

Son aquellos métodos que trabajan dentro de un intervalo cerrado donde se

encuentra la raíz de la función f(x). Estos métodos tienen la característica de que

siempre convergen a la solución, aunque en ocasiones la convergencia es demasiado

lenta.

Los métodos cerrados mas usuales son:

a) Método de la bisección o bipartición

b) Método de la posición falsa

c) Método de la posición falsa mejorada

2.1.2. METODOS ABIERTOS

Estos métodos no necesitan un intervalo cerrado donde se encuentre la raíz, solo

de un punto inicial o de partida para realizar las iteraciones sucesivas. Tienen la

desventaja de que en ocasiones divergen de la solución pero su convergencia es

mucho mas rápida que los métodos cerrados.

Los métodos mas usuales de este tipo son:

a) Método del punto fijo

b) Método de la secante

c) Método de Newton Raphson

En este documento se estudia a profundidad el método numérico iterativo abierto

del punto fijo, analizando varios ejemplos y el desarrollo de una aplicación informática.

26

Fig. 1 Métodos iterativos para el calculo de raíces.

2.1.3. TEOREMA DE BOLZANO

El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en

los extremos del intervalo [a,b] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al

menos, una raíz en dicho intervalo.

Es decir si f(a) * f(b) < 0 entonces existe al menos un numero c dentro del

intervalo [a,b], tal que f(c) = 0.

Fig 2. Raíces de las ecuaciones no lineales

RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES

f(x) = 0

METODOS GRAFICOS

METODOS CERRADOS

BISECCION

FALSA POSICION

FALSA POSICION MEJORADA

METODOS ABIERTOS

PUNTO FIJO

SECANTE

NEWTON RAPHSON

26

3. DESARROLLO DEL TEMA

3.1.CONCEPTO DE ITERACIÓN

Iterar es repetir un proceso hasta que se obtiene un resultado con la exactitud buscada

o requerida. Partiendo de punto inicial aplicando la formula o función g(x) calcularemos los

términos sucesivos.

{pk } :

p0p1=g( p0 )p2=g( p1 ). .. ..pk=g( pk−1 )pk+1=g( pk ). .. ..

3.2.EL PUNTO FIJO

Un punto fijo de una función g(x) es un numero real P tal que P = g(P). En esta

sección vamos a considerar por una parte, el problema de la existencia y unicidad de

puntos fijos y la forma de aproximarlos y por otra parte, la relación entre los problemas de

punto fijo y el problema de aproximar raíces, ya que, aunque los problemas que nos

planteamos en este trabajo son los de encontrar raíces, cierta selecciones de puntos fijos

permiten obtener técnicas muy eficaces de cálculo de raíces.

Ejemplos:

  1) La función g(x)=x3 tiene tres puntos fijos en el intervalo [-2,2].

Figura 3. g(x) = x3 tiene tres punto fijos

26

2) La función g(x)=(1+sen x)1/2  tiene un único punto fijo en el intervalo [0,2]. 

Figura 4.  La función g  tiene un único punto fijo.

3.3.CONDICION DE LIPSCHITZ

Sea g(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], tal que g(a)>a y g(b) < b entonces existe al menos un punto s tal que s = g(s).

Figura 5: existencia de un punto fijo

3.4.PUNTOS FIJOS Y RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES

Los problemas de búsqueda de raíces y de punto fijo son clases equivalentes en el

siguiente sentido:

26

Dado un problema de búsqueda de una raíz f(p) = 0, podemos definir una función

g con un punto fijo p de varias maneras, una de ellas puede ser: g(x) = x + f(x),Entonces para x = p, se tiene: g(p) = p + f(p), o g(p) = p, dado que f(p)=0,

por ser raíz. En otras palabras, el valor p que es una raíz para f(x), constituye un Punto

Fijo para g(p).En el Punto Fijo la expresión g(x) = x se representa como: la intersección ente la

curva g(x) y la recta y = x

Figura 6: un punto fijo es la intersección entre las dos graficas.

3.5.METODO DEL PUNTO FIJO

Sea el inicio la ecuación general f(x) = 0, de la cual se desea encontrar una raíz

real P.

El primer paso consiste en transformar algebraicamente la ecuación f(x) = 0 a la

forma equivalente x = g(x).Por ejemplo para la ecuación:

f ( x )=2x2−x−5=0

Cuyas raíces son 1.850781059 y -1.350781059, algunas posibilidades de x = g(x) son:

a) x=2 x2−5 despejando el segundo termino.

b) x=√ x+52 despejando x del primer termino

26

c) x= 52x−1

factorizando x y despejando

Una vez que se ha determinado una forma equivalente, el siguiente paso es tantear

una raíz; esto puede hacerse por observación directa de la ecuación (por ejemplo en la

función inicial f(x) vemos que x = 2 es un valor cercano a la raíz). Se denoto el valor

tanteado o valor de inicio como x0 . Una vez que se tiene x0 se evalua g(x) en x0, denotándose el resultado de esta evaluación como x1 ; esto es:

g (x0 )=x1El valor de x1 comparado con x0 presenta los dos siguiente casos:

Caso 1. Que x1=x0

Esto indica que e ha elegido como valor inicial una raíz y el problema queda

concluido. Para aclararlo, recuerde que si p es una raíz de la ecuación f(x), se cumple que f(p) = 0. Y como la ecuación g(x) = x solo es un arreglo de la ecuación f(x) = 0,

también se cumple que g(p) = p.

Caso 2. Que x1≠ x0

Es el caso mas frecuente e indica que x1 y x0 son distintos de p. Esto es fácil de

explicar, ya que si x’ no es raíz de la función f(x), se tiene que f (x ')≠0, por otro lado,

evaluando g(x) en x’ se tiene g(x ')≠ x ' .

En estas circunstancias se proceda a una segunda evaluación de g(x), ahora en

x1, denotándose el resultado como x2.

g (x1 )=x2Este proceso se repite y se obtiene el siguiente esquema iterativo:

Valor inicial x0 f (x0)

Primera iteración

Segunda iteración

Tercera iteración

.

.

.

i - esima iteración

x1=g(x0)

x2=g (x1 )

x3=g (x2 ).

.

.

f (x0)

f (x1 )

f (x2 ).

.

.

26

i+1 – esima iteración

.

.

.

x i=g (x i−1)

x i+1=g (xi)

.

.

.

f (x i )

f (x i+1)

.

.

.

Entonces, se logra el Punto Fijo de g(x), o la raíz de f(x), mediante un algoritmo

iterativo que consiste en partir de un valor x0 a partir del cual se obtiene g(x0), luego x1 = g(x0), y en general, x i+1=g (xi) como se ilustra en la Figura 7, donde x2 es

aproximadamente igual a p.

Figura 7: método iterativo del punto fijo

Aunque hay excepciones, generalmente se encuentra que los valores x0, x1, x2, …

se van acercando a la raíz p de manera que xi esta mas cerca de p que xi-1, o bien se van

alejando de p de modo que cualquiera esta mas lejos que el valor anterior.

Por ejemplo para la ecuación:

f ( x )=2x2−x−5=0

Cuyas raíces son 1.850781059 y -1.350781059, empleando un valor inicial 2 y las

ecuaciones x = g(x):g1(x)=2x2−5 ; x0 = 2

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i xi g(xi)0 2 3

1 3 13

2 13 333

3 333 221773

g2(x)=√ x+52 x0 = 2

i xi g(xi)0 2.00000 1.87083

1 1.87083 1.85349

2 1.85349 1.85155

3 1.85155 1.85083

Puede apreciarse que la sucesión diverge con g1(x) y converge con g2(x). Finalmente, para determinar si la sucesión x0, x1, x2, … esta convergiendo o

divergiendo de una raíz p, cuyo valor se desconoce, puede calculare en el proceso iterativo

la sucesión f(x0), f(x1), f(x2), … Si dicha sucesión tiende a cero, el proceso iterativo

converge a la raíz p y dicho proceso se continua hasta que |f (xi )|<ε1, donde ε 1 es un

valor pequeño e indicativo de la exactitud o cercanía de xi con p. Se toma a x i como la raíz

y el problema de encontrar una raíz real queda concluido.

Si por el contrario f(x0), f(x1), f(x2), … no tiende a cero, la sucesión x0, x1, x2, … diverge

de la raíz p y el proceso deberá detenerse y ensayarse uno nuevo con una g(x) diferente.EJEMPLO

Encuentre una aproximación a una raíz de la ecuacion:

cos x−3x=0

SOLUCION

Dos posibilidades para g(x) = x son

a) x=cos x−2x b) x=cos x /3

Graficando por separado las funciones cos x y 3 x, se obtiene la figura 8 graficada

con el programa Derive 6

26

Figura 8: grafica de 3x y de cos x .

Donde un valor cercano a la raíz p puede ser x0=( π2) /4. Tomando x en radianes

por tratarse de una función trigonométrica. Iterando con el método del punto fijo para el

inciso a) se tiene:

i x i g(x i) |f (x i)|0 π /8 0.21578 0.356261 0.21578 0.57084 0.712562 0.57084 -0.14172 1.425163 -0.14172 1.28344 2.850574 1.28344 -1.56713 5.70102Se detiene el proceso en la cuarta iteración, por que f(x0), f(x1), f(x2), … no

tiende a cero. Se emplea el valor absoluto de f(x) para manejar la idea de distancia.

Se inicua un nuevo proceso con x0=( π2) /4 y la forma de g(x) del inciso b)

i x i g(x i) |f (x i)|0 π /8 0.30796 0.254221 0.30796 0.31765 0.029072 0.31765 0.31666 0.002983 0.31666 0.31676 0.000314 0.31676 0.31675 0.00003Y la aproximación de la raíz es:

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p≅ x4=0.31675

3.6.CRITERIOS DE CONVERGENCIA

3.6.1. DISTANCIAS ENTRE LOS XI

En esta sección veremos otros criterios mas de convergencia para el proceso iterativo

del punto fijo.

Uno de estos criterios esta basado en que :

g (p )=p

Por lo cual puede suponerse que si la sucesión x0, x1, x2, … converge a p, los valores

consecutivos de x i y x i+1 iran acercándose entre si conforme el proceso iterativo avanza.

Un modo practico de saber si los valores consecutivos se acercan es ir calculando la

distancia entre ellos

d i=|xi+1−x i|Si la sucesión d1 , d2 , d3 ,… tiende a cero, puede pensarse que el proceso iterativo eta

convergiendo a una raíz p y debe continuarse hasta que d i<ε1, y tomar a x i+1 como la raíz

buscada. Si d1 , d2 , d3 ,… no converge para un numero “grande” de iteraciones, entonces x0, x1, x2, … diverge de p, y se detiene el proceso para iniciar uno nuevo, modificando la

función g(x), el valor inicial o ambos.

Este criterio de convergencia se utiliza ampliamente en el análisis numérico y resulta

mas sencillo de calcular que el que emplea la sucesión f(x0), f(x1), f(x2), … pero también

es menos seguro.

3.6.2. EL CRITERIO |g' (x )|<1

Es importante analizar por que algunas formas equivalente x=g(x ) de f ( x )=0

conducen a una raíz en el método del punto fijo y otras no, aun empleando el mismo valor

inicial en ambos casos.

Se inicia el análisis aplicando el teorema del punto medio a la función g(x ) en el

intervalo comprendido entre x i−1 y x i.

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g (x i )−g (x i−1 )=g' ( εi )(x i−x i−1)donde

ε i∈(x i−x i−1).

Como

g (x i )=x i+1 y g (x i−1 )=x i

Sustituyendo se obtiene

x i+1−x i=g' (ε i) (x i−x i−1)

Tomando valor absoluto en ambos miembros

|x i+1−xi|=|g' ( εi )||x i−x i−1|

Para i=1 ,2 ,3 ,… la ecuación anterior queda asi:

|x2−x1|=|g ' ( ε1 )||x1−x0|ε1∈(x1 , x2)

|x3−x2|=|g ' ( ε2 )||x2−x1|ε2∈(x2 , x3)

|x4−x3|=|g' (ε3 )||x3−x2|ε 3∈(x3 , x4)

Y así sucesivamente.

Supóngase ahora que en la región que comprende a x0, x1, x2, … y en p misma, la función g’(x) esta acotada; esto es

|g' (x )|≤M ,Para algún numero M , Entonces

|x2−x1|≤M|x1−x0||x3−x2|≤M|x2−x1||x4−x3|≤M|x3−x2|

Si se sustituye la primera desigualdad en la segunda, se tiene

|x3−x2|≤M|x2−x1|≤MM|x1−x0|o bien

|x3−x2|≤M 2|x1−x0|

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Si se sustituye este resultado en la tercera desigualdad anterior se tiene

|x4−x3|≤M|x3−x2|≤M M 2|x1−x0|o

|x4−x3|≤M 3|x1−x0|Procediendo de igual manera se llega a

|x i+1−xi|≤M i|x1−x0|El proceso iterativo del punto fijo puede converger por razones muy diversas, pero es

evidente que si M<1, dicho proceso convergirá, ya que M i tendera a cero al tender i a un

numero grande.

En conclusión, el proceso iterativo del punto fijo puede converger si M es grande y

converger si M<1 en un entorno de x que incluya x0, x1, x2, … Entonces M<1 e una

condición suficiente, pero no necesaria para la convergencia.

Un método practico de emplear este resultado es obtener distintas formas de x=g ( x )

de f ( x )=0, y calcular |g' (x )|; las que satisfagan el criterio |g' (x0)|<1 prometerán

convergencia al aplicar el procero iterativo del punto fijo.

EJEMPLO

Calcule una raíz real de la ecuación

f ( x )=x3+2 x2+10 x−20=0

Empleando como valor inicial x0=1

SOLUCION

Dos formas equivalentes x=g ( x ) para f ( x )=0 son:

a) x= 20

x2+2 x+10 y b) x=x3+2x2+11 x−20

De donde

g' (x )= −20(2x+2)(x2+2 x+10)2

y g' (x )=3x2+4 x+11

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Sustituyendo x0=1

|g' (1)|=|−80169 |=0,47 y |g' (1)|=8

De donde la forma del inciso (a) promete convergencia y la forma (b) no.

Aplicando el proceso iterativo del punto fijo y el criterio de ε<10−3a|x i+1−x i| en caso

de convergencia, se tiene:

i x i |x i+1−xi| |g' (x i)|0 1.00000 0.47337

1 1.53846 0.53846 0.42572

2 1.29502 0.24344 0.45100

3 1.40183 0.10681 0.44047

4 1.35421 0.04762 0.44529

5 1.37530 0.02101 0.44317

6 1.36593 0.00937 0.44412

7 1.37009 0.00416 0.44370

8 1.36824 0.00185 0.44389

9 1.36906 0.00082 0.44386

Obsérvese que |g' (x i)| se mantiene menor de uno. Una ves que |x i+1−xi|<10−3 , se

detiene el proceso y se toma como raíz a x9.

p≅ 1.36906

3.7. INTERPRETACION GEOMETRICA DE |g' (x )|<1

Al graficar las funciones y=x y otra función y=g (x), la raíz buscada p es la abscisa

del punto de intersección entre dichas funciones.

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Figura 9: interpretación geométrica de |g' (x )|<1

El proceso iterativo del punto fijo queda representado en la figura 9, la cual muestra un

caso de convergencia, ya que |g' (x )|<1 en x0, x1, x2, …p Para ver esto se trazan las tangentes a g(x ) en (x0 , x1 ) , (x1 , x2 ) ,… y se observa que

todas tienen un ángulo de inclinación menor que la función y = x cuya pendiente es 1.

A continuación se presentan geométricamente los casos posibles de convergencia y

divergencia

a. Convergencia nonotonica. Ocurre cuando g '(x ) se encuentra entre 0 y 1.

Incluso si x0 esta lejos de la raíz p, que se encuentra en la intersección de las

26

graficas de g(x ) y de y = x , los valores sucesivos de x i se acercaran a la raíz

por un solo lado.

b. Convergencia oscilatoria. Muestra la situación en que g ´ (x ) esta entre -1 y 0.

Un si x0 esta alejada de la raíz p, los valores sucesivos de x i se aproximan por el

dado derecho e izquierdo de la raíz. De ahí el nombre de convergencia oscilatoria.

c. Divergencia nonotonica. En esta figura se ve la divergencia cuando g' (x) es

mayor que 1. Los valores sucesivos de x i se alejan de la raíz por un solo lado.

26

d. Divergencia oscilatoria. Este caso se presenta cuando g' (x ) es menor que -1. Lo

valores sucesivos de x i se alejan de la raíz oscilando alrededor de ella. Esto se

conoce como divergencia oscilatoria.

3.8. DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL METODO DEL PUNTO FIJO

A continuación se presenta el diagrama de flujo parara el método del punto fijo que se

puede aplicar a cualquier lenguaje de programación.

26

Diagrama del método del punto fijo.

26

3.9. CODIGO EN VBA PARA EL PUNTO FIJO

Este es el código usado en Visual Basic para Excel para el programa diseñado para el

proceso del punto fijo.( Ver anexo 1)

Private Sub CommandButton1_Click()

Dim n As Integer

Dim h As Double

Dim Formula As String

Dim graf As Chart

Dim chartsTemp As ChartObjects

Dim OK As Boolean

Dim Fun As New clsMathParser

n = Cells(6, 5)

a = Cells(6, 3)

b = Cells(6, 4)

h = (b - a) / n

Formula = Cells(2, 3)

OK = Fun.StoreExpression(Formula)

If Not OK Then GoTo Error_Handler

For i = 0 To n

Cells(6 + i, 1) = a + i * h

Cells(6 + i, 2) = Fun.Eval1(a + i * h)

Next i

Set chartsTemp = ActiveSheet.ChartObjects

If chartsTemp.Count > 0 Then

chartsTemp(chartsTemp.Count).Delete

End If

datos = Range(Cells(6, 1), Cells(6 + n, 2)).Address

Set graf = Charts.Add

With graf

.Name = "Grafico"

.ChartType = xlXYScatterSmoothNoMarkers

.SetSourceData Source:=Sheets("Punto_Fijo").Range(datos),

PlotBy:=xlColumns

.Location Where:=xlLocationAsObject, Name:="Punto_Fijo"

End With

'---------------------------------------------------------------

26

If err Then GoTo Error_Handler

Error_Handler: Cells(1, 1) = Fun.ErrorDescription

'---------------------------------------------------------------

End Sub

Private Sub CommandButton2_Click()

Dim x As Double

Dim gx As Double

Dim fx As Double

Dim OK As Boolean

Dim Fun As New clsMathParser

Dim err As Double

Dim e As Double

contador = 0

fx = 1

Formula = Cells(3, 3)

OK = Fun.StoreExpression(Formula) 'lectura de la formula

x = Cells(3, 6)

err = 1

Do While (err > 0.0000001)

e1 = x

contador = contador + 1

Cells(8 + contador, 4) = x

gx = Fun.Eval1(x)

Cells(8 + contador, 5) = gx

x = gx

If (contador > 0) Then

err = Abs(((e1 - x) / e1) * 100)

End If

Cells(8 + contador, 6) = err

e = Cells(10 + contador, 5)

Cells(8 + contador, 3) = contador

Loop

MsgBox "Raiz Encontrada en x=" & x, vbInformation, "AngelDX™ -

Metodos Mumericos"

' contador = 0

' Formula2 = Cells(2, 3)

26

' OK = Fun.StoreExpression(Formula2) 'lectura de la formula

'Do While (contador <= 17)

' gx = Cells(9 + contador, 5)

' fx = Fun.Eval1(gx)

' Cells(9 + contador, 6) = fx

' contador = contador + 1

'Loop

End Sub

4. CONCLUSIONES

En conclusión podemos decir que el método del punto fijo es muy bueno y eficaz

siempre y cuando se utilice la ecuación equivalente g(x) adecuada.

Se debe resaltar que es muy necesario comprender los criterios de convergencia

del método puesto que son muy importantes a la hora de realizar el procedimiento iterativo

para calcular las raíces. Una buena interpretación grafica nos da valores posible para

nuestro x0 inicial que es muy importante para la búsqueda de raíces.

5. BIBLIOGRAFIA

Sitios de internet

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/HERRAmInternet/ecuaexecl/node0.html

(Recuperado el 02 de diciembre del 2008)

http://www.uv.es/diaz/mn/fmn.html (Recuperado el 27 de noviembre del 2008)

http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/analisis-numerico/ (recuperado el 27 de

noviembre del 2008)

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/node6.html

(Recuperado el 28 de noviembre del 2008)

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/index.htm (Recuperado el 02 de

diciembre del 2008)

26

http://www.euiti.upm.es/index/departamentos/matematicas/webpersonal/webolga/

Matematicas_Especialidad/Ecuaciones_no_lineales/Tema_2/Punto_fijo.htm

(Recuperado el 02 de diciembre del 2008)

6. ANEXOS

Aspecto del libro de Excel con VBA para el método del punto fijo