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Teoremas Del Punto Fijo

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  • Teoremas del punto jo

    Mara Guadalupe Garca

    17 de abril de 2013

    1

  • NDICE

    ndice

    1. Introduccin 3

    2. Preliminares 4

    2.1. Nociones Topolgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2.2. Espacios vectoriales topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.3. Espacios localmente convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    3. Teorema del punto jo de Schauder 12

    3.1. Teorema del punto jo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.2. Teorema del punto jo de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3.3. Aplicacin: Teorema de Lomonosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4. Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski 20

    4.1. Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    4.2. Aplicacin: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto . . . . . . . . 23

    Trabajo Final de Anlisis Funcional Hoja 2 de 27

  • 1. Introduccin

    Consideremos una aplicacin T de un conjuntoM en si mismo. Nos preguntamos si existe algnpunto en M que es aplicado en si mismo, es decir si la ecuacin T (x) = x tiene solucin. Si estoocurre al punto x se lo llama punto jo de T . Los teoremas del punto jo garantizan la existenciadel mismo bajo ciertas condiciones sobre T y M .Como consecuencia de teoremas del punto jo pueden ser obtenidos algunos de los resulta-

    dos sobre existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales, soluciones de sistemas con innitas

    ecuaciones e incgnitas, medidas invariantes, existencia de subespacios invariantes, entre otros.

    En el presente trabajo vamos a estudiar dos teoremas del punto jo, los cuales se pueden con-

    siderar como una extensin del Teorema del punto jo de Brouwer y forman parte del Anlisis

    Funcional no Lineal.

    Comenzaremos introduciendo algunas nociones necesarias para poder demostrar los teoremas.

    En la tercer seccin enunciaremos y demostraremos el Teorema del punto jo de Schauder

    (1930), el cual extiende el dominio de validez del Teorema de Brouwer a espacios normados de

    dimensin innita pidiendo alguna condicin adicional a la aplicacin. Luego, como una aplicacin

    veremos el Teorema de Lomonosov (1973) sobre la existencia de espacios invariantes no triviales

    para operadores acotados sobre espacios de Banach.

    En la cuarta seccin probaremos el Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski (1967) sobre

    puntos jos simultaneos de semigrupos de aplicaciones anes sobre espacios localmente convexos.

    Para ello utilizaremos el Teorema del punto jo de Marcov-Kakutani (1936) sobre puntos jos

    comunes de familias de aplicaciones anes. Por ltimo, demostraremos la existencia de la medida

    de Haar sobre grupos topolgicos compactos aplicando el Teorema de Ryll-Nardzewski.

    Departamento de Matemtica - UNLP Hoja 3 de 27

  • 2 PRELIMINARES

    2. Preliminares

    En esta seccin se encuentran deniciones y resultados de topologa y anlisis funcional necesarios

    para demostrar los teoremas y desarrollar los ejemplos en el presente trabajo.

    2.1. Nociones Topolgicas

    Denicin 2.1.1. Sea X un conjunto. Una topologa sobre X es una coleccin P(X) que vericalas siguientes propiedades:

    1. ,X ,

    2. Si {U} entonces

    U ,

    3. Si {Uk}nk=1 entoncesnk=1

    Uk .

    Es decir, es una topologa si contiene a y a X, es cerrada por uniones arbitrarias y por intersec-ciones nitas. Al par (X, ) se lo llama espacio topolgico y a los elementos de conjuntos abiertosde X. Adems, diremos que un conjunto A X es un entorno de x X si existe U tal quex U A. A lo largo de este trabajo usaremos la siglas ET para referirnos a espacios topolgicos.Denicin 2.1.2. Una subbase S para una topologa sobre X es una coleccin de subconjuntos deX cuya unin es igual a X. La topologa generada por la subbase S se dene como la coleccin detodas las uniones de intersecciones nitas de elementos de S.Denicin 2.1.3. Un espacio topolgico (X, ) se denomina espacio de Hausdor si para cada parx1, x2 de puntos dintintos de X, existen entornos disjuntos U1 y U2 de x1 y x2, respectivamente.

    Denicin 2.1.4. Sea (X, ) un ET. Se dice que X es separable si tiene un subconjunto densonumerable.

    Denicin 2.1.5. Un espacio topolgico (X, ) se dice localmente compacto en x si existe algnsubespacio compacto C de X que contenga un entorno de x. Si X es localmente compacto en cadauno de sus puntos, X se dice localmente compacto.

    Lema 2.1.6. Si Y es un subespacio compacto de un espacio de Hausdor X y x0 un punto que nopertenece a Y entonces existen conjuntos abiertos disjuntos U y V tales que x0 U e Y V.Demostracin. Sea x0 un punto de X\Y . Por ser X un espacio de Hausdor, para cada y Y existenentornos disjuntos Uy y Vy de x0 e y, respectivamente. La coleccin {Vy}yY es un cubrimientode Y por conjuntos abiertos de X. Por la compacidad de Y podemos tomar una cantidad nita

    de conjuntos Vy1 , ..., Vyn que cubren Y . Denimos V =

    ni=1

    Vyi y U =

    ni=1

    Uyi . Luego, U y V son

    conjuntos abiertos disjuntos que contienen a x0 e Y , respectivamenete.

    Teorema 2.1.7. Sea X un espacio de Hausdor. Entonces X es localmente compacto si, y slo sidados x X y un entorno U de x existe un entorno V de x tal que V es compacto y V U .

    Trabajo Final de Anlisis Funcional Hoja 4 de 27

  • 2.1 Nociones Topolgicas

    Demostracin.

    ) Si denimos C = V , entonces C es un conjunto compacto y contiene al entorno V de x.) Sean X un espacio localmente compacto, x X y U un entorno de x. Tomamos la compactica-cin por un punto Y de X y denimos C = Y\U . Entonces C es cerrado en el espacio de HausdorY y por lo tanto C es un subespacio compacto de Y. Por el Lema 2.1.6 podemos tomar conjuntosabiertos disjuntos V y W tales que x V y C W . Entonces V es compacto en Y y ademsV C = , por lo tanto V U . Teorema 2.1.8. (Teorema de Baire). Sea (X, ) un espacio topolgico. Si X es localmente compactoHausdor entonces para toda familia numerable {Fn}nN de conjuntos cerrados de X se tiene que

    F n = para todo n N implica que(nN

    Fn

    )= .

    Esta condicin se puede enunciar de las siguientes dos maneras:

    1. Si

    (nN

    Fn

    )6= entonces F n 6= para algn n N.

    2. Dada la sucesin {Gn}nN de conjuntos abiertos densos, se tiene quenN

    Gn tambin es densa.

    Demostracin. Probaremos el enunciado 2. Observar que, dados Fn como en el enunciado 1, siconsideramos Gn = X\Fn para cada n N, tenemos que

    Gn = X\F n ynN

    Gn = X\nN

    Fn = X\(nN

    Fn

    ).

    Sean x X y U un entorno de x. Dado que G1 es denso en X, UG1 6= . Sea y UG1. ComoU G1 es abierto y X es localmente compacto, por el Teorema 2.1.7 existe un entorno V1 de y talque V1 es compacto y V1 V1 U G1. Ahora, dado que G2 es denso en X, V1 G2 6= entoncesexiste un entorno V2 de algn punto de V1G2 tal que V2 es compacto y V2 V2 V1G2. Luego,V2 G1 G2.Procediendo de esta manera, construimos una sucesin de conjuntos abiertos {Vn}nN tal que:

    1. Vn es compacto para todo n N,2. Vn+1 Vn+1 Vn Vn V1 U ,

    3. Vn kN

    Gk.

    Ahora, dado que V1 es compacto y la coleccin{Vn}nN tiene la propiedadde la interseccin nita,existe z

    nN

    Vn. Entonces, z U nN

    Gn. Como U era un entorno arbitrario de x, tenemos que

    x nN

    Gn.

    Departamento de Matemtica - UNLP Hoja 5 de 27

  • 2 PRELIMINARES

    2.2. Espacios vectoriales topolgicos

    Denicin 2.2.1. Un espacio vectorial topolgico es un espacio topolgico (X, ) en el cual X esun F-espacio vectorial, la topologa es de Hausdor y tal que con respecto a dicha topologaa)la aplicacin de X X X dada por (x, y) 7 x+ y es continua;b)la aplicacin de F X X dada por (, x) 7 x es continua.Usaremos las letras EV T para referirnos a espacio vectorial topolgico.

    Denicin 2.2.2. Sea X es un espacio vectorial sobre F y A X. Se dice que1. A es balanceado si A A para todo F con || 1;2. A es absorbente si para cada x X existe > 0 tal que tx A para 0 < t < .Denicin 2.2.3. Sea X un espacio vectorial sobre F y A X. Entonces A es convexo si, y slosi la linea recta [a, b] = {(1 t)a+ tb : 0 t 1} A, donde a, b A.Denicin 2.2.4. Sean X un EVT y A X. El conjunto A es acotado si para cada entorno U decero existe s > 0 tal que A t U para todo t > s.Proposicin 2.2.5. Sea X un EVT y V un entorno de cero. Entonces,

    1. V contiene un entorno balanceado de cero;

    2. Sea {rn}n F una sucesin estrictamente creciente. Si rn n entonces X =n=1

    rnV.

    Demostracin.

    1. Sea V cualquier entorno de cero. Por la continuidad de la aplicacin de F X X dada por(, x) 7 x en el origen, existen > 0 y un entorno W de cero tal que W V para todo F con || < . Si consideramos U =

    || nm.

    Trabajo Final de Anlisis Funcional Hoja 6 de 27

  • 2.3 Espacios localmente convexos

    2.3. Espacios localmente convexos

    Denicin 2.3.1. Sea X es un EV sobre F. Una seminorma es una funcin p : X [0,) talque:

    1. p (x+ y) p (x) + p (y),2. p (x) = || p (x).Puede pasar que p (x) = 0 aunque x 6= 0.Sean X un espacio vectorial y P una familia de seminormas sobre X. Si es la topologa sobre Xque tiene como subbase los conjuntos {x : p (x x0) < } donde p P, x0 X y > 0 entonces unsubconjunto U de X es abierto si, y slo si para todo x0 U existen p1, ..., pn P y 1, ..., n > 0tal que

    ni=1

    {x X : pi (x x0) < i} U . Con esta topologa X es un EV T .

    Denicin 2.3.2. Un espacio localmente convexo es un espacio vectorial topolgico X cuya topologa

    est denida por una familia de seminormas P tales quepP{x : p (x) = 0} = {0}.

    Abreviaremos espacio localmente convexo con las letras ELC.

    Observacin 2.3.3. La condicin

    pP{x : p (x) = 0} = {0} hace que la topologa denida por la

    familia de seminorma P sea de Hausdor. En efecto, si x, y X son puntos distintos, existe p Ptal que p (x y) 6= 0. Entonces p (x y) > , para algn > 0. Si U = {z : p (x z) < 2} yV =

    {z : p (y z) < 2

    }entonces U y V son entornos disjuntos de x e y, respectivamente. 4

    Denicin 2.3.4. Sea K un subconjunto de un espacio vectorial X.

    1. Un subconjunto A es extremal en K si para cada x, y K se cumple que

    [x, y] A 6= x, y Adonde [x, y] = {(1 t)x+ t y : t (0, 1)} es el segmento abierto que une x con y.2. z K es un punto extremal si el conjunto {z} es extremal en K, es decir si para cada par depuntos x, y K se tiene que

    z [x, y] x = y = z.Denotaremos por Ext(K) al conjuntos de los puntos extremales de K.

    Denicin 2.3.5. Sea X un F-espacio vectorial. El espacio dual algebraico de X es el conjuntoX

    = { : X F : es lineal}.Si (X, ) es un espacio vectorial topolgico, se denomina dual topolgico de X al conjunto

    X = (X, ) =

    { X : es -continua

    }.

    El espacio X tiene estructura de espacio vectorial, denimos el elemento ( + ) X como(+ )(x) = (x) + (x) para x X, con F y , X .Si X es un C-espacio vectorial entonces denotaremos por XR y (X, )

    R a sus duales pensndolos

    como R-espacios vectoriales.

    Departamento de Matemtica - UNLP Hoja 7 de 27

  • 2 PRELIMINARES

    Denicin 2.3.6. Sea X es un ELC y X su dual topolgico.A la topologa sobre X inducida por la familia de seminormas

    {p : X} , donde p(x) = |(x)| , x Xse la denomina topologa dbil de X y se la denota por wk (X,X ).

    A la topologa sobre X inducida por la familia de seminormas

    {px : x X} , donde px() = |(x)| , Xse la denomina topologa dbil * de X y se la denota por wk (X ,X).

    Observacin 2.3.7. Un subconjunto U es dbilmente abierto en X si, y slo si para todo x0 Uexisten 1, ..., n X y > 0 tales que

    ni=1

    {x X : |i(x x0)| < } U.

    Una red {xi}iI X converge dbil a x0 si, y slo si (xi) converge a (x0) para toda X .De forma similar, un subconjunto U es abierto en X con la topologa dbil * si para toda 0 Uexisten x1, ..., xn X y > 0 tales que

    ni=1

    { X : |( 0)(xi)| < } U.

    y una red {i}iI X converge dbil * a si, y slo si i(x) converge a (x) para todo x X.4Lema 2.3.8. Si S1 K es un conjunto extremal de K y S2 S1 es un conjunto extremal de S1entonces S2 es un conjunto extremal de K.

    Demostracin. Sean x, y K y t (0, 1) tales que (1 t)x + ty S2. Dado que S2 S1 y S1 esun conjunto extremal de K, x, y S1. Ahora, como S2 es un conjunto extremal de S1, concluimosque x, y S2. Lema 2.3.9. Sean X un espacio vectorial, A X y f X tal que s = sup {f(x) : x A}

  • 2.3 Espacios localmente convexos

    Proposicin 2.3.11. En un espacio normado la cpsula convexa de todo conjunto nito es com-

    pacta.

    Demostracin. Sea (X, ) un espacio normado y {x1, ..., xn} X. Por la denicin de cpsulaconvexa,

    co({x1, ..., xn}) ={

    ni=1

    ixi :

    ni=1

    i = 1 coni [0, 1] para i = 1, ..., n}y puede expresarse como la imagen del conjunto compacto{

    (1, ..., n) Rn :ni=1

    i = 1 coni [0, 1] para i = 1, ..., n}

    mediante la aplicacin continua dada por (1, ..., n) 7ni=1

    ixi. Luego, co({x1, ..., xn}) es compac-ta.

    Vamos a utilizar el corolario del siguiente Teorema de Hahn-Banach para demostrar el Teorema

    de Krein-Milman. Se puede encuentra una demostracin de los mismos en [9].

    Teorema 2.3.12. (Teorema de separacin de Hahn-Banach). Sea (X, ) un EV T . Si U y V sonsubconjuntos convexos, disjuntos y no vacos de X tales que U es abierto, entonces existen (X, )y t R tales

    Re((x)) < t < Re((y)) para todo parx U, y V.Corolario 2.3.13. Sea (X, ) un ELC. Si K y F son dos subconjuntos convexos, disjuntos y novacos de X tales que K es compacto y F es cerrado entonces existen (X, )R, > 0 y t Rtales que

    (x) t < t (y) para todo parx K, y F.Teorema 2.3.14. (Teorema de Krein-Milman). Si X un ELC y K un subconjunto compacto,convexo y no vaco de X entonces Ext(K) 6= y K = co(Ext(K)).Demostracin. Veamos que Ext(K) 6= . Sea C la coleccin de todos los subconjuntos extremales,compactos y no vacos de K ordenada parcialmente por la inclusin al revs, es decir si A,B C,A B si, y slo si B A. La coleccin C es no vaca ya que K C.Sea A una subcoleccin de C totalmente ordenada y consideremos S =

    AA

    A. Dado que Aest totalmente ordenada, tiene la propiedad de la interseccin nita, y como los elementos de Ason cerrados y K es compacto, S 6= . Adems, S es compacto por ser un subconjunto cerradode K, y es un conjunto extremal de K, pues si x, y K y t (0, 1) con (1 t)x + t y S,entonces (1 t)x + t y A para todo A A. Como los elementos de A son conjuntos extremalesde K, tenemos que x, y A, para todo A A. Luego, x, y S, y por lo tanto A tiene una cotasuperior. Entonces, por el Lema de Zorn, C tiene un elemento maximal, es decir existe M C talque B M (M B) para todo B C.Veamos que M tiene un nico punto.Si aplicamos el Lema 2.3.9 a cada f X el conjunto Mf es compacto y extremal de M . Entonces,por el Lema 2.3.8,Mf es extremal de K para toda f X , luego por la maximalidad deM tenemos

    Departamento de Matemtica - UNLP Hoja 9 de 27

  • 2 PRELIMINARES

    que Mf = M, f X . Por lo tanto, cada f X es constante sobre M . Luego, como X separapuntos tenemos que M contiene un solo elemento, que es un punto extremal de K.

    Ahora veamos que K = co(Ext(K)). Sea H = co(Ext(K)).

    ) Como K es compacto y convexo, H K, y por lo tanto H tambin es compacto.) Supongamos que existe x0 K\H. Dado que {x0} es cerrado y H es compacto, por el Corolario2.3.13, existen f : X R lineal y continua, t R y > 0 tales que para todo x H

    f(x) t < t f(x0).Entonces, f(H) < t f(x0). Por el Lema 2.3.9, Kf = {x K : f(x) = supxKf(x)} K esextremal de K. Por lo visto en la primera parte de la demostracin, Kf tiene un punto extremal,al cual llamamos e. Por el Lema 2.3.8, e es extremal de K. En particular, Kf Ext(K) 6= , peropor la desigualdad vista antes,

    f(e) = supxKf(x) f(x0) t > f(Ext(K)).As obtenemos una contradiccin. Por lo tanto, K co(Ext(K)). Lema 2.3.15. Sea X un espacio localmente convexo. Si K1, ...,Kn son subconjuntos compactos yconvexos de X enntonces co(K1 ... Kn) = co(K1 ... Kn).Demostracin. Veamos que co(K1 ... Kn) es cerrado. Dado que X es un espacio de Hausdor,basta ver que co(K1 ... Kn) es compacto.Sea

    K =

    {ni=1

    ixi : i [0, 1],ni=1

    i = 1 y xi Ki, i = 1, ..., n}.

    Si [0, 1] y x, y K, entonces

    x+ (1 )y = ni=1

    ixi + (1 )ni=1

    iyi

    =

    ni=1

    (ixi + (1 )iyi)

    con i, i [0, 1] tales queni=1

    i = 1,ni=1

    i = 1 y xi, yi Ki para i = 1, ..., n. Si denimos

    ri = i + (1 )i para cada i = 1, ..., n entoncesni=1

    ri = 1,

    x+ (1 )y =ni=1

    ixi + (1 )iyiri

    ri,

    y por la convexidad de cada Ki,ixi+(1)iyi

    ri Ki. Entonces x+ (1 )y K, y por lo tanto

    K es convexo. Luego, K = co(K1 ... Kn).

    Trabajo Final de Anlisis Funcional Hoja 10 de 27

  • 2.3 Espacios localmente convexos

    Ahora, sea {ei}ni=1 la base cannica de Rn y consideremos el conjunto

    C =

    {ni=1

    iei : i [0, 1] yni=1

    i = 1

    }.

    Sea f : C K1 ...Kn K la aplicacin dada por

    f((1, ..., n, x1, ..., xn)) =ni=1

    ixi.

    Dado que f es continua, el conjunto C K1 ... Kn es compacto, por ser producto nito deconjuntos compactos, y f(C K1 ...Kn) = K, tenemos que K es compacto. Teorema 2.3.16. Sean X es un espacio localmente convexo y K un subconjunto compacto y convexode X. Si F K tal que K = co(F ) entonces Ext(K) F .Demostracin. Sin prdida de generalidad podemos suponer que F es cerrado. Sea x0 Ext(K)\F .Dado que F es cerrado y no contiene a x0, existe una seminorma continua p sobre X tal queF {x X : p (x x0) < 1} = . Sea U0 =

    {x X : p (x) < 13

    }, entonces (x0+U0) (F +U0) = ,por lo tanto x0 / (F + U0).Como F es compacto podemos tomar y1, ..., yn F tales que F

    ni=1

    (yk + U0). Consideremos

    Kk = co(F (yk + U0)). Entonces Kk yk + U0 y Kk K. Como K1, ...,Kn son conjuntoscompactos y convexos, por el Lema 2.3.15 co(K1 ... Kn) = co(K1 ... Kn). Por lo tanto,K = co(F ) = co(K1 ... Kn).Como x0 K, tenemos que x0 =

    nk=1

    kxk con xk Kk, k 0 ynk=1

    k = 1. Pero x0 es punto

    extremal de K, entonces x0 = xk para algn k. Esto implica que x0 Kk yk + U0 F + U0,llegamos a una contradiccin.

    Departamento de Matemtica - UNLP Hoja 11 de 27

  • 3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER

    3. Teorema del punto jo de Schauder

    En la presente seccin vamos a trabajar sobre subconjuntos convexos de espacios de Banach y

    las funciones no sern asumidas lineales anes.

    3.1. Teorema del punto jo de Brouwer

    Teorema 3.1.1. (Teorema del punto jo de Brouwer) . Si 1 d 0, sea n0 N talque n n0, kn2 < d2 + 142. Luego, por la desigualdad anterior, si n,m n0 entonceskn km2

    2 < 12(

    2d2 +1

    22) d2 = 1

    42.

    Por lo tanto, {kn}n es de Cauchy. Entonces, dado que H es completo y K es cerrado, existe k0 Ktal que kn k0

    n 0. Adems, kn n k0, entonces por unicidad del lmite, k0 = d.

    Trabajo Final de Anlisis Funcional Hoja 12 de 27

  • 3.1 Teorema del punto jo de Brouwer

    Para ver la unicidad, supongamos que existe k0 K tal que k0 =k0 = d. Por convexidad,

    k0+k02 K. Entonces

    d k0 + k02

    12 (k0+ k0) = d,y por la regla del paralelogramo,

    d2 =

    k0 + k022

    = d2 k0 k02

    2

    .

    Luego,

    k0k02 2 = 0, por lo tanto k0 = k0. Corolario 3.1.4. (Corolario del Teorema de Brouwer). Si K es un subconjunto convexo, compactoy no vaco de un espacio normado de dimensin nita X y f : K K es una funcin continua,entonces existe un punto x en K tal que f(x) = x.

    Demostracin. Dado que X es un espacio normado de dimensin nita, es isomorfo a Cd o Rd, ypor lo tanto es homeomorfo a R2d o Rd. Entonces, basta considerar X = Rd, con 1 d 0 tal queK B {x Rd : x r}.Sea : B K la funcin dada por (x) = yK , donde yK es el nico punto de K que satisface quex yK = dist(x,K). La aplicacion est bien denida por la Proposicin 3.1.3 y cumple que(x) = x para todo x K.Veamos que es continua. Sea {xn}n una sucesin en B y x B tal que xn n x, entoncesdado > 0 existe n0 N tal que d(xn, x) < 2 , n n0. Si jamos n n0, por la denicin de ,tenemos que

    d(xn, (xn)) d(xn, (x)) y d(x, (x)) d(x, (xn)).Entonces,

    d(xn, (xn)) d(xn, (x)) d(xn, x) + d(x, (x)) 2

    + d(x, (x)).

    Por lo tanto,

    d(x, (x)) d(x, (xn)) d(x, xn) + d(xn, (xn)) 0 para todox K, entonces A est bien denida sobre K. Adems, A es continua, pues para cada a A,ma : K [0, ] lo es. En efecto, sean > 0, x1 B(a, ) y x2 K\B(a, ) tales que d(x1x2) < .Si tomamos 0 < entonces

    |ma(x1)ma(x2)| = | x1 a| |x2 a x1 a| x2 x1 < .Por otra parte,

    A(x) x = {ma(x)(a x) : a A} {ma(x) : a A} ,y si ma(x) > 0 entonces x a < . Por lo tanto,

    A(x) x {ma(x) a x : a A} {ma(x) : a A} < .

    Teorema 3.2.6. (Teorema del punto jo de Schauder). Sea E un subconjunto convexo, cerrado yacotado de un espacio normado X. Si f : E X es una aplicacin compacta tal que f(E) E,entonces existe x E tal que f(x) = x.

    Departamento de Matemtica - UNLP Hoja 15 de 27

  • 3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER

    Demostracin. Si denimos K = f(E), entonces por hiptesis K E. Para cada n N, seanAn un subconjunto nito de K tal que K

    {B(a; 1/n) : a A} y n = An la aplicacindenida en el Lema anterior. Luego, por la denicin de n y la convexidad de E tenemos quen(K) co(K) E, entonces fn n f aplica E en si mismo. Adems, por el Lema 3.2.5,

    fn(x) f(x) < 1/n

    para todo x E.Sea Xn el espacio lineal generado por el conjunto An y denimos En = E Xn. Entonces, Xn esun espacio normado de dimensin nita, En es un subconjunto convexo por denicin y compacto deXn ya que En es cerrado relativo de Xn, siendo este ltimo un espacio de Hausdor, y fn : En Enes continua por ser composicin de funciones continuas. Por el Corolario 3.1.4 , existe un punto

    xn En tal que fn(xn) = xn.Dado que {f(xn)}nN es una sucesin en el conjunto campacto K, existe una subsucesin{

    f(xnj )}jN y un punto x0 K tal que f(xnj ) j x0. Dado que fnj (xnj ) = xnj , tenemosque xnj x0 fnj (xnj ) f(xnj )+ f(xnj ) x0 1nj + f(xnj ) x0 .Luego, xnj

    jx0 y, dado que f es una funcin continua, f(x0) = limnf(xnj ) = x0.

    Otra forma de demostrar el Teorema del punto jo de Schauder es probar que el conjunto

    compacto y convexo E es homeomorfo a un subconjunto compacto y convexo H del cubo de HilbertH0 =

    {{xn}n=1 `2 : |xn| 12n1} y que si : H H es una aplicacin continua entonces existex H tal que (x) = x. Luego, utilizar el hecho que la propiedad del punto jo se preserva porhomeomorsmos Se puede encontrar la demostracin detallada en [8].

    3.3. Aplicacin: Teorema de Lomonosov

    Lomonosov demostr en 1973 que un operador T sobre un espacio de Banach, el cual no es ml-

    tiplo de la identidad y conmuta con un operador compacto no nulo, tiene un subespacio invariante

    no trivial. Cuando este resultado apareci causo gran inters tanto por la conclusin como por la

    simplicidad de su prueba utilizando el Teorema del punto jo de Schauder. En particular, cualquier

    operador compacto en un espacio de Banach tiene un subespacio invariante no trivial.

    Denicin 3.3.1. Si X e Y son espacios de Banach y A : X Y es una transformacin lineal, en-tonces A es compacto si A(B(X)) es compacto en Y, siendo B(X) la bola unitaria en X. Denotamoscon B0(X,Y) al conjunto de todos los operadores compactos de X en Y; B0(X) = B0(X,X).

    Denicin 3.3.2. Sean X es un espacio de Banach y T B(X). Un subespacio invariante de Tes un subespacio lineal cerrado M de X tal que T (x) M para todo x M. El subespacio Mes no trivial si es distinto de (0) X. Denotamos Lat(T ) a la coleccin de todos los subespaciosinvariantes de T . Si A B(X) entonces Lat(A) = {Lat(T ) : T A}.Teorema 3.3.3. (Teorema de Mazur). Si X es un espacio de Banach y K es un subconjuntocompacto de X entonces co(K) es compacto.

    Trabajo Final de Anlisis Funcional Hoja 16 de 27

  • 3.3 Aplicacin: Teorema de Lomonosov

    Demostracin. Dado que co(K) es completo, basta ver que es totalmente acotado.

    Como K es compacto, dado > 0 podemos tomar una cantidad nita x1, x2, ..., xn de elementos

    de K tales que K nj=1

    B(xj ,

    4). Sea C = co {x1, x2, ..., xn}. Por la Proposicin 2.3.11, C es

    compacto entonces nuevamente existen y1, y2, .., ym C tales que C mi=1

    B(yi,

    4). Si w co(K),

    existe z co(K) tal que w z < 4 , adems z =l

    r=1

    rzr, con zr K,r 0 yl

    r=1

    r = 1. Ahora,

    para cada zr existe xj(r) tal quexj(r) zr < 4 . Entonces,z

    lr=1

    rxj(r)

    =

    lr=1

    r(zr xj(r))

    lr=1

    rzr xj(r) < 4 .Dado que

    lr=1

    rxj(r) C, existe yi C tal que

    lr=1

    rxj(r) yi < 4 .Por la desigualdad triangular, co(K)

    mi=1

    B(yi, ). Por lo tanto, co(K) est totalmente acotado.

    Lema 3.3.4. (Lema de Lomonosov). Si A es una sublgebra de B(X) tal que el operador identidadI A, Lat(A) = {(0),X} y K es un operador compacto no nulo sobre X entonces existe A A talque ker(AK I) 6= (0).

    Demostracin. Sea K un operador compacto no nulo y supongamos, sin perdida de generalidad, queK = 1 (en caso contrario podemos tomar el operador KK). Tomemos x0 X tal que K(x0) > 1y sea S = {x X : x x0 1} la bola unitaria centrada en x0. Entonces, 0 / S, pues si 0 Sentonces x0 1, por lo tanto 1 < K(x0) K x0 1 lo cual es una contradiccin. Adems,si x S entonces K(x0)K(x) K x0 x 1, pero K(x0) > 1, por lo tanto K(S) estacotado lejos de cero, luego 0 / K(S). Dado que K es un operador compacto, K(S) es compacto.Como A es un lgebra, para todo elemento no nulo x X, {T (x) : T A} es un subespacio invariantepara A y contiene un elemento no nulo, pues dado que I A, x = I(x) {T (x) : T A}, por lo tanto{T (x) : T A} Lat(A). Luego, por hiptesis, {T (x) : T A} = X. Entonces, para cada elementono nulo x X, en particular para todo y K(S), existe T A tal que T (y) x0 < 1, es decirK(S)

    TA{y : T (y) x0 < 1}, siendo {y : T (y) x0 < 1} conjuntos abierto. Entonces, por

    la compacidad de K(S) podemos tomar una cantidad nita de operadores T1, T2, ..., Tn A tal queK(S)

    nj=1

    {y : Tj(y) x0 < 1}. Ahora, para cada y K(S) y 1 j n, sea

    aj(y) = max {0, 1 Tj(y) x0} .

    Dado que Tj es continua, aj es continua en la bola cerrado B1(x0) y se anula en el borde, comoadems se anula en (B1(x0))

    c, por el Lema del Pegamiento, aj resulta continua. Por la eleccin del

    Departamento de Matemtica - UNLP Hoja 17 de 27

  • 3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER

    subcubrimiento, para cada y K(S) existe al menos una funcin aj > 0, por lo tantonj=1

    aj(y) > 0

    y la aplicacin bj : K(S) R dada por

    bj(y) =aj(y)nj=1

    aj(y)

    est bien denida y adems es continua pues aj lo es. Denimos : S X por

    (x) =nj=1

    bj(K(x))TjK(x).

    Dado que bj ,K y Tj son continuas, tambin lo es.Veamos que (S) S.Si x S entonces K(x) K(S). Si bj(K(x)) > 0 entonces aj(K(x)) > 0 y por lo tanto tenemos queTj(K(x)) x0 < 1. Luego, TjK(x) S, si bj(K(x)) > 0. Adems,

    nj=1

    bj(K(x)) = 1 para todo

    x S, entonces (x) es una combinacin convexa de elementos de S, luego por ser S un conjuntoconvexo, (S) S.El operador TjK B0 para todo j. En efecto, si B es un conjunto acotado de X, dado que

    K es compacto, K(B) es compacto y como Tj es continuo, Tj(K(B)) tambin lo es. Ahora, dado

    que Tj(K(B) es cerrado y est contenido en Tj(K(B)), tambin es compacto y como la unin de

    conjuntos precompactos es un conjunto precompacto,

    nj=1

    TjK(S) tiene clausura compacta. Por el

    Teorema de Mazur 3.3.3, co(

    nj=1

    TjK(S)) es compacto. Pero este conjunto convexo contiene a (S),

    ya que es combinacin lineal de elementos de TjK(S), entonces, (S) es compacto, ya que es unconjunto cerrado contenido en un conjunto compacto. Luego, es una aplicacin compacta sobreS. Por el Teorema del punto jo de Schauder 3.2.6, existe x1 S tal que (x1) = x1. Ahora, seanj = bj(K(x1)) y A =

    nj=1

    jTj . Entonces, A A y adems

    A(K(x1)) =nj=1

    jTj(K(x1)) = (x1) = x1.

    Como x1 6= 0 pues 0 / S, y x1 ker(AK I), tenemos que ker(AK I) 6= 0. Denicin 3.3.5. Sea T B(X). Un subespacio hiperinvariante para T es un subespacioM de Xtal que AMM para todo operador A en el conmutante T de T , es decir AMM si AT = TA.Observacin 3.3.6. Todo subespacio hiperinvariante para T es invariante. 4Teorema 3.3.7. (Teorema de Lomonosov). Sea T B(X). Si T no es un mltiplo de la identidad yTK = KT para algn operador compacto no nulo K, entonces T tiene un subespacio hiperinvarianteno trivial.

    Trabajo Final de Anlisis Funcional Hoja 18 de 27

  • 3.3 Aplicacin: Teorema de Lomonosov

    Demostracin. Sea A = T. Supongamos que T no admite un subespacio hiperinvariante no trivial,es decir Lat(A) = {(0),X}. Dado que A es un lgebra que contiene al operador identidad I, por elLema de Lomonosov 3.3.4 existe un operador A A tal que N = ker(AK I) 6= (0).Adems, N Lat(AK) y AK|N es el operador identidad, en efecto si x N ,

    AK(x) = AK(x) x+ x = (AK I)(x) + x = x.Como ya vimos en la demostracin del Lema anterior AK B0, entonces AK|N B0. Esto implicaque BN (0, 1) = AK(BN (0, 1)) es compacto, donde BN (0, 1) es la bola unitaria de N . Por lo tanto,N debe tener dimensin nita. Adems, dado que A y K conmutan con T , para cada x N ,AK(T (x)) = T (AK(x)) = T (x) entonces T (x) N , es decir N es invariante para T . Ahora, comoN tiene dimensin nita, T|N tiene un autovalor entoncesM = ker(TI) 6= (0), pero siM = Xentonces T = I lo cual contradice que T no es mltiplo de la identidad. Adems, si S A, paratodo x M,

    (T I)(S(x)) = TS(x) S(x) = S(T (x)) S(x) = S((T I)(x)) = S(0) = 0.

    Entonces S(x) M, por lo tanto S(M) M. Luego,M es un subespacio no trivial hiperinavariantepara T .

    Departamento de Matemtica - UNLP Hoja 19 de 27

  • 4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI

    4. Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski

    4.1. Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski

    El resultado de este Teorema fu anunciado por el matemtico Ryll-Nardzewski en 1962, quin

    lo demostr con argumentos probabilsticos en 1967 ([7]). La demostracin que seguiremos es una

    prueba geomtrica dada por Namioka y Asplud en 1967 ([5]).

    Denicin 4.1.1. Sea K un conjunto convexo y V un espacio vectorial. Una aplicacin T : K Vse dice afn si T (

    nj=1

    jxj) =nj=1

    jT (xj), donde xj K, j 0 ynj=1

    j = 1.

    El siguiente Teorema del punto jo para una familia de aplicaciones anes lo utilizaremos para

    demostrar el Teorema de Ryll-Nardzewski.

    Teorema 4.1.2. (Teorema del punto jo de Markov-Kakutani). Si K es un subconjunto convexo,compacto y no vaco de un espacio localmente convexo X y F es una familia abeliana de aplicacionescontinuas y anes T : K K, entonces existe x0 K tal que T (x0) = x0 para toda T F .Demostracin. Si T F y n 1 denimos la aplicacin T (n) : K K como

    T (n) =1

    n

    n1k=0

    T k.

    Si S, T F y n,m 1 entonces S(n)T (m) = T (m)S(n). En efecto, dado que F es abeliana,ST = TS. Supongamos que S(n1)T = TS(n1) para n N jo, entonces

    S(n)T = SS(n1)T = STS(n1) = TSS(n1) = TS(n).

    Ahora, si S(n)T (m1) = T (m1)S(n) para m N jo, entoncesS(n)T (m) = S(n)T (m1)T = T (m1)S(n)T = T (m1)TS(n) = T (m)S(n).

    Sea K = {T (n)(K) : T F , n 1}. Por la continuidad de T y la compacidad de K, cada con-junto en K es compacto. Adems, por ser T una aplicacin afn y K un conjunto convexo, cadaconjunto T (n)(K) es convexo. Si T1, T2, ..., Tr F y n1, n2, ...., nr 1, entonces por la conmutativi-dad de la familia F , T (n1)1 ...T (nr)r (K)

    rj=1

    T(nj)j (K), es decir K tiene la propiedad de la interseccin

    nita. Por la compacidad de K, existe x0 {B : B K}.Si T F entonces x0 T (n)(K) para n 1. Por lo tanto, existe un punto x K tal que

    x0 = T(n)(x) =

    1

    n

    [x+ T (x) + ....+ T (n1)(x)

    ].

    Entonces,

    T (x0) x0 = 1n

    [T (x) + ...+ T (n)(x)

    ] 1n

    [x+ T (x) + ...+ Tn1(x)

    ]=

    1

    n

    [T (n)(x) x

    ] 1n

    [K K] .

    Trabajo Final de Anlisis Funcional Hoja 20 de 27

  • 4.1 Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski

    Ahora, dado que K es compacto y K K es la imagen del conjunto compacto K K por laaplicacin continua (x, y) = x y, tenemos que K K tambin es compacto. Por la Proposicin2.2.6, K K est acotado. Entonces dado un entorno abierto U de cero en X, existe un enteron 1 tal que 1n [K K] U . Lo cual implica que T (x0) x0 U , para cualquier entorno abiertode cero. entonces T (x0) x0 = 0. Luego, como T era un elemento arbitratio de F , concluimos quex0 es punto jo para toda aplicacin en F . Denicin 4.1.3. Sean p una seminorma sobre X y A X. Denimos el p dimetro de A comoel escalar dado por p diam(A) sup {p (x y) : x, y A} .Lema 4.1.4. Si X es un ELC, K es un subconjunto convexo, separable, dbilmente compacto y novaco de X y p es una seminorma continua sobre X, entonces para todo > 0 existe un subconjuntocerrado y convexo C de K tal quea)C 6= K;b)p diam(K\C) .Demostracin. Sea S = {x X : p(x) 4} y sea D = Ext(K) K. Dado que K es separable,existe un subconjunto A K denso numerable entonces K

    aA

    (S + a). Adems, como S esdbilmente cerrado, cada conjunto a+ S tambin lo es. Dado que D es un subconjunto del espaciode Hausdor X y es dbilmente cerrado en K compacto, D es de Hausdor y dbilmente compacto.Entonces, dado que (an +S)D es cerrado relativo de D y D =

    n=1

    ((an +S)D), por el Teorema

    de Baire (2.1.8), existe a A tal que ((a+ S) D) 6= . Entonces existe un conjunto dbilmenteabierto W de X tal que W D (a+ S) D y W D 6= .Sean K1 = co(D\W ) y K2 = co(D W ). Dado que K1 y K2 son conjuntos compactos y convexosy K1 K2 contiene los puntos extremales de K, por el Teorema de Krein-Milman 2.3.14 y el Lema2.3.15 tenemos que K = co(K1 K2).Adems, K1 6= K, pues si K1 = K tenemos que K = co(D\W ). Entonces, por el Teorema 2.3.16,Ext(K) D\W , por lo tanto D D\W , con lo cual D W = . Esto contradice lo visto antes.Ahora, dado que (a+S)D es un conjunto cerrado y convexo que contiene a DW , tenemos queK2 a+ S. Entonces, por denicin de S, p diam(K2) sup {p (x y) : x, y K2} 2 .Sea r (0, 1] y denimos fr : K1K2[r, 1] K por fr(x1, x2, t) = tx1+(1t)x2. Entonces, fres continua y dado que (K1K2[r, 1]) es dbilmente compacto y convexo, Cr fr(K1K2[r, 1])tambin lo es. Adems, Cr 6= K para todo r (0, 1], en efecto si Cr = K y z Ext(K) entoncesexisten x1 K1, x2 K2, t [r, 1] tales que z = tx1 + (1 t)x2. Como t 6= 0, z = x1, por lo tantoExt(K) K luego K1 = K, tenemos una contradiccin.Si y K\Cr, por denicin de Cr y dado que K = co(K1 K2), existen x1 K1, x2 K2 talesque y = tx1 + (1 t)x2 con t [0, r). Entonces,

    p (y x2) = p (t(x1 x2)) = t p (x1 x2) r d,donde d = p diam(K). Luego, si y = t x1 + (1 t) x2 K\Cr entonces

    p (y y) p (y x2) + p (x2 x2) + p (x2 y) 2rd+ p diam(K2) 2rd+ 2.

    Tomando r = 4d y C = Cr queda demostrado el Lema.

    Departamento de Matemtica - UNLP Hoja 21 de 27

  • 4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI

    Denicin 4.1.5. Sea X un espacio localmente compacto y Q un subconjunto no vaco de X. Si Ses una familia de aplicaciones no necesariamnete lineales de Q en Q, entonces se dice que S es unafamilia no contrctil de aplicaciones si dados dos puntos distintos x, y Q se tiene que

    0 / {T (x) T (y) : T S}.

    Lema 4.1.6. Sean X un ELC, Q X y S una familia de aplicaciones de Q en Q. Entonces, S esuna familia no contrctil si y slo si para todo par de puntos distintos x, y Q existe una seminormacontinua p tal que

    inf {p (T (x) T (y)) : T S} > 0.

    Demostracin.

    ) Sean x, y Q puntos distintos y F una familia de seminormas que induce la topologa sobreX. Si S es una familia no contrctil entonces existen una seminorma p F y > 0 tales que{z X : p (z) < } {T (x) T (y) : T S} = . Por lo tanto, p (T (x) T (y)) para toda apli-cacin T S. Luego, inf {p (T (x) T (y)) : T S} > 0. Adems, dado que 0 {x X : p (x) < 1},la seminorma p es continua.

    ) Si x e y son puntos distintos de Q y p es una seminorma continua tal que

    inf {p (T (x) T (y)) : T S} > 0

    entonces existe > 0 tal que p (T (x) T (y)) para toda T S. Por lo tanto, el conjuntoU = {z X : p (z) < } es un entorno de cero tal que U {T (x) T (y) : T S} = . Luego,0 / {T (x) T (y) : T S}.

    Teorema 4.1.7. (Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski). Si X es un espacio localmente con-vexo, Q es un subconjunto convexo, dbilmente compacto de X y S es un semigrupo no contrctilde aplicaciones anes y dbilmente continuas de Q en Q, entonces existe un punto x0 Q tal queT (x0) = x0 para toda T en S.

    Demostracin. Por la compacidad de Q basta ver que todo subconjunto nito de S tiene un puntojo comn en Q.

    Sea {T1, T2, ..., Tn} S. Denimos T0 = (T1 + ... + Tn)/n, entonces T0 : Q Q y es unaaplicacin dbilmente continua y afn. Luego, por el Teorema de Markov-Kakutani (4.1.2) existe

    x0 Q tal que T0(x0) = x0.Veamos que Tk(x0) = x0 para 1 k n.Si Tk(x0) 6= x0 para algn k, podemos reordenar los Tk de manera que estos aparezcan primerosen la suma, es decir existe m N tal que Tk(x0) 6= x0 para todo k m y Tk(x0) = x0 para todok > m. Entonces

    x0 = T0(x0) =1

    n(T1(x0) + ...+ Tn(x0)) =

    1

    n(T1(x0) + ...+ Tm(x0)) +

    (nmn

    )x0.

    Trabajo Final de Anlisis Funcional Hoja 22 de 27

  • 4.2 Aplicacin: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto

    Si T0 = (T1 + ...+ Tm)/m tenemos que

    T0(x0) =1

    m(T1(x0) + ...+ Tm(x0))

    =n

    m

    1

    n(T1(x0) + ...+ Tm(x0))

    =n

    m

    [x0

    (nmn

    )x0

    ]= x0.

    Por lo tanto, podemos suponer que Tk(x0) 6= x0 para 1 k n pero T0(x0) = x0. Ahora, dado queS es una familia no contrctil, por el Lema 4.1.6 existen una seminorma continua p sobre X y > 0tales que para todo T S y 1 k n,

    p (T (Tk(x0)) T (x0)) > . ()Si S1 es el semigrupo generado por {T1, ..., Tn} entonces S1 S y S1 = {Tl1 ...Tlm : m 1, 1 lj n}.Por lo tanto, S1 es un subsemigrupo numerable de S. Si K = co {T (x0) : T S1}, entonces K esun subconjunto dbilmente compacto, convexo y separable de Q. Luego, por el Lema 4.1.4 existeun subconjunto convexo y cerrado C de K tal que C 6= K y p diam(K\C) . Dado que C 6= Kexiste S S1 tal que S(x0) K\C, entonces como T0(x0) = x0 tenemos que

    S(x0) = ST0(x0) =1

    n[ST1(x0) + ...+ STn(x0)] K\C.

    Luego, por la convexidad de C debe existir algn 1 i n tal que STi(x0) K\C. Entonces,p (STi(x0) S(x0)) p diam(K\C) .Esto contradice la desigualdad (*). Por lo tanto, Tk(x0) = x0 para 1 k n.Ahora, sea F la coleccin de todos los subconjuntos nitos no vacos de S. Si F F, denimos

    QF = {x Q : T (x) = x,T F}. Por lo visto antes, QF 6= para todo F F. Adems, dadoque todo T S es dbilmente continuo y afn, QF es convexo y dblimente compacto. La coleccin{QF : F F} de subconjuntos de Q tiene la propiedad de la interseccin nita, en efecto tomemosuna coleccin nita {QF1 , ..., QFr} y consideremos el conjunto F = {T : T Fi para todo i = 1, ...r}.Dado que cada Fi es nito, F tambin lo es y entonces QF 6= . Por lo tanto, existe x Q talque T (x) = x para todo T F , lo cual implica que

    ri=1

    QFi 6= . Luego, por la compacidad de Q,FF

    QF 6= , es decir existe x0 tal que T (x0) = x0 para toda aplicacin T S.

    4.2. Aplicacin: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto

    La medida de Haar fu introducida por Haar en 1932, quin prueba la existencia de una medida

    invariante a izquierda sobre grupos topolgicos localmente compactos y separables. El Teorema

    de Haar fu generalizado por Weil a grupos topolgicos localmente compactos y von Neumann

    demuestra que dicha medida est unvocamente determinada salvo factores constantes.

    En esta seccin demostraremos la existencia y unicidad de la medida de Haar sobre grupos

    topolgicos compactos aplicando el Teorema de Ryll-Narzewski. La operacin sobre todos los grupos

    y semigrupos ser denotada por multiplicacin.

    Departamento de Matemtica - UNLP Hoja 23 de 27

  • 4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI

    Denicin 4.2.1. Sean G un conjunto con una operacin binaria : G G G y una familiade subconjuntos de G. Decimos que G es un grupo topolgico si

    1. (G, ) es un grupo,2. (G, ) es un espacio topolgico,

    3. las aplicaciones : G G G y : G G dadas por (x, y) = x y, (x) = x1 soncontinuas.

    Teorema 4.2.2. Si G es un grupo topolgico compacto, entonces existe una nica medida positivaregular de Borel m sobre G tal que

    1. m(G) = 1,

    2. Si U es un subconjunto abierto no vaco de G entonces m(U) > 0,

    3. Si A es un subconjunto de Borel de G y x G, entonces m(A) = m(Ax) = m(xA) = m(A1)donde Ax = {ax : a A} , xA = {xa : a A} , A1 = {a1 : a A} .La medida m se llama madida de Haar para G.

    Si G es un grupo topolgico compacto, M(G) denota el espacio de todas las medidas regularesBorel sobre G. Entonces, una medida de Haar para un grupo G es un punto del conjunto

    Q := { M(G) : (G) = 1}

    el cual es jo bajo la familia de aplicaciones F = {Rx : x G}{Lx : x G} donde Rx, Lx : Q Qestn dadas por Rx() = (x ) y Lx() = (x).Para poder aplicar el Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski queremos ver a Q como unsubconjunto de un espacio vectorial topolgico adecuado. Utilizando el Teorema de representacin

    de Riesz ([2]) podemos identicar el conjunto Q con un subconjunto Q de C(G) y trasladar losresultados obtenidos para Q a Q.

    Teorema 4.2.3. (Teorema de representacin de Riesz). Si G es un espacio localmente compacto y M(G), denimos F : C0(G) F como

    F(f) =

    Gfd.

    Entonces, F C0(G) y la aplicacin : M(G) C0(G) tal que 7 F es un isomorsmoisomtrico.

    Dado que G es compacto, C0(G) = C(G). Sea Q := (Q) C0(X), es decir

    Q = (Q) = {F C(G) : F > 0 y F (1) = 1} = U1(0) i11 (1) f0

    i1f (R+0 ),

    donde U1(0) es la bola unitaria de C(G)e if : C(G)

    C es el funcional dado por if (F ) = F (f),para f C(G). Como if es -continua para toda f C(G) y U1(0) es -compacta por el Teorema

    Trabajo Final de Anlisis Funcional Hoja 24 de 27

  • 4.2 Aplicacin: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto

    de Alaoglu, el conjunto Q es -compacto. Adems, Q es convexo. Luego, Q es un subconjuntoconvexo y compacto del espacio localmente convexo (C(G), ).La medida Q es un punto jo de la familia F , es decir una medida de Haar, si y slosi F () es un punto jo de F =

    {Rx : x G

    }{Lx : x G

    }donde Rx = Rx

    1|Qy

    Lx = Lx1|

    Q. Es decir, RxF(f) = F(f(x )) y LxF(f) = F(f(x)) para f C(G).Para poder aplicar el Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski necesitamos un conjunto de

    funciones de Q en Q que contenga al conjunto F y sea un semigrupo con respecto a la composicin.El conjunto F no es un semigrupo pero si lo es el conjunto generado por este,

    S =F

    ={RxLy : x, y G

    }pues Rx y Ly conmutan y RxRy = Ryx, LsLt = Lst . Adems, todas las funciones de S mapean Q

    en Q.Para comprobar que S satisface las hiptesis del Teorema es necesario el siguiente Lema.Lema 4.2.4. Sea G un grupo topolgico compacto y F Q C(G). Entonces la aplicacin : GG (C(G), ) dada por (x, y) = (RxLy)(F ) es continua.Demostracin. Queremos ver que la aplicacin (x, y) 7 F (f(x y)) es continua para toda f C(G),donde f(x y) es una aplicacin de G en F tal que z 7 f(xzy). Dado que F es continua sobre C(G),basta ver que (x, y) 7 f(x y) es continua para cada f C(G).Sean f C(G) ja, x, y G y > 0, queremos ver que existen entornos Ux y Uy de x e y,respectivamente, tales que para todo x Ux e y Uy, se tiene que |f(xzy) f(xzy)| < paraz G. Para esto veamos que dado > 0 existe un entorno V de e (e es la identidad G) tal quepara todo w G, |f(w) f(w)| < , si w V wV .Sea > 0, dado que f es continua, para todo w G existe un entorno Uw de w tal que si

    w Uw entonces |f(w) f(w)| < 2 . Por la continuidad de la aplicacin : G G G dadapor (u, v) = uwv en (e, e), existe un entorno Ww de e tal que WwwWw Uw. Por la continuidadde la aplicacin (u, v) 7 uv, existe un entorno Vw de la identidad tal que V 2w Ww y Vw Ww.Como el conjunto G es compacto y {VwwVw}wG es un cubrimiento por abiertos de G, podemostomar una cantidad nita w1, ..., wn G tal que G =

    ni=1

    VwiwiVwi . Consideremos V =ni=1

    Vwi , el

    cual es un entorno de la identidad. Sean w G y w V wV , y tomemos r {1, 2, ..., n} tal quew VwrwrVwr . Entonces, w Uwr y w V VwrwrVwrV WwrwrWwr , por lo tanto

    |f(w) f(w)| |f(w) f(wr)|+ |f(wr) f(w)| < .

    Ahora, sean > 0 y x, y G. Por lo visto en el prrafo anterior, si w = xzy, podemos tomarun entorno V de e tal que, para todo z G, |f(w) f(xzy)| < si w V wV . Si consideramosUx = V x y Uy = yV , entonces para todo x Ux, y Uy, z G se tiene que f |(xzy) f(xzy)| < .

    Ahora, veamos que el conjunto S satisface las hiptesis del Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski 4.1.7.

    Los elementos de S son aplicaciones anes ya que son composicin de las aplicaciones anes Rxy Ly.

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  • 4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI

    Toda aplicacin S S es continua. En efecto, consideremos Q como un subconjunto de (C(G), ),con la topologa relativa. Sea {Fk}k una red en Q tal que Fk 0, entonces ik(Fk) = Fk(f) 0para toda f C(G), por lo tanto Fk(f(x)) = RxFk(f) 0 para toda f C(G). Lo cual implicaque RxFk 0. Luego, Rx es continua. Analogamente se demuestra que Ly es continua para todoy G. Entonces, todo elemento de S es una aplicacin continua por ser composicin de funcionescontinuas.

    La familia S es no contrctil, es decir 0 / {S(I) S(J) : S S} para todo I, J Q conI 6= J . Como Rx y Ly son inyectivas, toda aplicacin S S tambin lo es, por lo tanto si I 6= J ,0 / {S(I) S(J) : S S}. Por denicin de S, tenemos que

    {S(I) S(J) : S S} ={RxLy(I) RxLy(J) : x, y G

    },

    entonces es la imagen de GG por la aplicacin (x, y) = RxLy(I)RxLy(J) C(G). Por el Lema4.2.4, la aplicacion es continua. Luego, {S(I) S(J) : S S} es cerrado por ser la imagen delconjunto compacto GG por una aplicacin continua en el espacio de Hausdor C(G). Luego, porel Teorema de Ryll-Nardzewski 4.1.7 la familia S tiene un punto jo F Q. Entonces, si F = (),la medida Q es una medida de Haar.Por ltimo veamos la unicidad.

    Supongamos que existe otra medida de Haar sobre G. Entonces, para toda f C(G),

    F(f) =

    fd =1

    f(x)d(x)d(y)

    =2

    f(yx)d(x)d(y) =3

    f(yx)d(y)d(x)

    =4

    f(y)d(y)d(x) =5

    fd = F(f).

    Las igualdades 1 y 5 son vlidas pues (G) = (G) = 1, las igualdades 2 y 4 por la invarianzade estas medidas y la igualdad 3 por el Teorema de Fubini (las medidas son nitas y f es continuasobre G).

    Trabajo Final de Anlisis Funcional Hoja 26 de 27

  • BIBLIOGRAFA

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