Conocimientos previos para la resolución de problemas mediante el método de iteración de punto fijo:

∆Polinomio

∆Despeje de Variables

∆Derivadas

∆Iteración

Terminología:

∆Exactitud

∆Precisión

∆Cifras significativas

∆Cifras Confiables

∆Cifras Necesarias

Método de iteración de punto fijo

Teorema de punto fijo.

Un punto fijo de una función, g es un número p tal que g(p)=p. El

problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el

de encontrar los puntos fijos de una función h(x) son equivalentes

en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las

soluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g

con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x)=x-g(x). En

forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en, p entonces la

función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en p.

Algoritmo para iteración de punto fijo

Se ubica la raíz de f(x) analizando la gráfica.

Se obtiene un despeje x = g(x) de la función.

Obtenemos de x = g(x) su derivada g! (x)

Resolviendo la desigualdad -1 ≤ g! (x)≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales está el punto fijo llamado R.

Con R buscamos la raíz en g(x), es decir g(R) = R haciendo iteración de las operaciones

El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial X0

y Xi+1=g(Xi) genera una sucesión de aproximaciones la cual

converge a la solución de la ecuación f(x)=0. A la función g se

le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que

dicha sucesión <Xn> converge siempre y cuando |g’(x) <1|.

Diagrama de flujo

Ventajas y desventajas del método de iteración de punto fijo

Ventajas

La ventaja de este método consiste en su gran sencillez y

flexibilidad para elegir la forma de g(x).

Sin embargo, es muy importante la formación de la función

g(x) en la ecuación x = g(x); de las múltiples opciones que

pueden existir, ya que no siempre converge con cualquier

forma elegida de g(x).

Desventajas.

Una desventaja potencial del método de punto fijo es

que la elección de la función iteradora g(x) no siempre es

fácil.

Se debe tener una tolerancia para poder emplear el

método.

Ejemplo asociado a la realidad respecto a la iteración de punto fijo mediante los métodos numéricos

Simulación de un golpe sobre un cráneo humano

Ejemplo asociado a la realidad respecto a la iteración de punto fijo mediante los métodos numéricos

Simulación aerodinámica de vehículos

Recomendaciones

Una práctica, altamente recomendada, es la creación de tablas para mejorar el entendimiento del método.

Creación de diagramas de flujo para mejorar el aprendizaje del método.

Disponer de un área para las fórmulas y dejar suficiente espacio para poner notas explicatorias sobre los cálculos en las fórmulas.

Esta práctica de planear primero en cuanto a las tablas y utilizar el diagrama para hacer pasó a paso las iteraciones sin riesgo a equivocarse.