Парадокс Спящей Красавицы

Горбатов В.В.ВШЭ, 01.10.2012

Предыстория• 1997 Ариэль Рубинштейн и Мишель Пиччионе

– «Об интерпретации проблем принятия решений с несовершенной памятью» [On the Interpretation of Decision Problems with Imperfect Recall]

• 2000 Адам Элга – «Вопрос “где Я?” и проблема Спящей Красавицы» [Self-

locating belief and the Sleeping Beauty problem]– Ссылается на Р. Столнейкера и А. Зубоффа– Связь с мысленными экспериментами типа “Brain in a Vat”

80-х годов (Патнэм, Деннет, Перри и др.)– Связь с двумерной семантикой 90-х (Каплан, Столнейкер,

Льюис, Чалмерс, Джексон)– Понятие «центрированного мира»

Байесовская вероятность

• Байес определял вероятность как степень уверенности в истинности суждения

• Для определения степени уверенности в истинности суждения при получении новой информации используется теорема Байеса:

Парадокс Монти Холла

• Перед вами три одинаковых двери. За одной из них скрывается автомобиль. Если угадаете нужную дверь, он ваш. За двумя другими дверями спрятано по козлу.

• Затем ведущий открывает одну из оставшихся дверей – причем заведомо ту, за которой скрывается козел. После этого он предлагает вам изменить свое решение и выбрать другую дверь. Что вы предпочтете?

«Парадокс» Монти Холла• Вероятности выигрыша для

дверей №2 и №3 описываются следующими формулами:

• P(2)= ½ · ⅔ = ⅓• P(3)= ½ · ⅔ = ⅓

• Где ½ - условная вероятность выигрыша для данной двери при условии, что игрок изначально выбрал дверь без автомобиля

• Ведущий, открывая проигрышную дверь (пусть дверь №2), сообщает нам новое знание и меняет условные вероятности с ½ и ½ на 0 и 1:

• P(2)= 0 · ⅔ = 0• P(3)= 1 · ⅔ = ⅔

Проблема Рассеянного Водителя

старт • Водитель не помнит, на каком перекрестке он находится – Х или Y• Если он свернёт на первом перекрёстке, он

попадёт в криминальный район • Если пропустит второй перекрёсток, через 20

километров будет мотель, где можно переночевать

• Какая стратегия в этом случае будет для него более рациональной?• На стадии планирования стратегия

«поворачивать направо» должна быть сразу отброшена: стратегия «пропустить оба перекрестка» выглядит выгоднее

• Но оказавшись на перекрестке, он осознает, что средний выигрыш первой стратегии ½·4 + ½·0 = 2 , а это лучше, нем ночь в мотеле (1)

Х

Y

А (0)

В (4)

С (1)

Представьте, что вы – Спящая Красавица (СК)

• Исследователи погружают вас в сон• В течение двух дней, пока длится эксперимент со

сном, вас будят один или два раза• Количество пробуждений зависит от подбрасывания

монеты (орел – один раз, решка – два)• После каждого пробуждения вам вкалывают

медикамент, заставляющий вас забыть, что вы просыпались

• Когда вы (впервые, с вашей точки зрения) проснетесь, как вы оцените вероятность выпадения орла?

Позиция «двоечников»

• Конечно, ½ ! Вы знаете, что изначально монета правильная, следовательно, вероятность выпадения орла была ½

• После пробуждения вы не получили никакой новой информации

• Следовательно, вероятность осталась ½

Позиция «троечников»

• Конечно, ⅓! • Представим, что

эксперимент провели множество раз

• Тогда в долгосрочной перспективе пробуждений с выпавшим орлом будет ⅓

• Следовательно, даже в однократном эксперименте эта вероятность равна ⅓

Когда бросают монету?• Вариант 1: В воскресенье, а затем будят один

или два раза (в понедельник и вторник)• Вариант 2: Будят в понедельник, бросают

монету, и в зависимости от результата усыпляют до вторника или нет

• СК эпистемически эти процедуры неразличимы, можно рассматривать любую из них (Элга рассматривает сначала первую, затем вторую)

Адам Элга• Если после пробуждения вы узнали, что

монета выпала решкой, то для вас это означает, Т1 или T2 , а поскольку они субъективно неразличимы, вы припишете им равную вероятность: P(T1| T1 или T2) = P(T2 | T1 или T2 )

• Значит, даже до пробуждения P(T1) = P(T2)• Если после пробуждения вы узнали, что

это ПН, то для вас это означает, что H1 или T1 , и тогда Р(H1 | H1 или T1) = P(T1 | H1 или T1)

• Значит, даже до пробуждения P(Н1) = P(T1)

• Таким образом, P(H1) = P(T1) = P(T2)

Откуда взялась 1/6?

• Элга: пробудившись в ПН, СК не узнала ничего нового (она изначально знала, что проснется)

• Различие в том, что в ВС она не рассматривала свое нахождение во времени как фактор, релевантный вопросу о вероятности Р(Н), а в ПН рассматривает– «Не удивительно, что оценка агентом релевантности своего

нахождения во времени относительно пропозиции р может меняться со временем. Удивительно, такая перемена мнения может случиться с абсолютно рациональным агентом в течение периода, когда он не получил никакой новой информации и не испытал когнитивных катаклизмов»

Принцип рефлексии

• Бас ван Фрассен:– Любой агент, который уверен,

что завтра будет приписывать вероятность х пропозиции R (хотя он не получит никакой новой информации и не испытает никаких когнитивных катаклизмов в течение указанного времени), должен уже сегодня приписывать вероятность х пропозиции R

Ответ Льюиса

• Элга: приписываемая вероятность изменилась, следовательно, принцип рефлексии нарушен

• Льюис: принцип рефлексии не может быть нарушен, следовательно, вероятность не изменилась

• Здесь смешиваются две разные вероятности: P(Т1) ≠ P+(T1) , а это можно сделать, лишь зная наперед будущее

Что узнаёт спящая красавица?

• Рут Вайнтрауб, «Простое решение»

• СК изначально знала, что ее разбудят в ПН

• Проснувшись, она узнала, что ее разбудили сейчас (т.е. что ПН сейчас)

• Является ли это новым знанием?

Двумерный подход

• Надо различать эпистемическую и онтологическую возможность– первая предполагает рассмотрение обычных

возможных миров, вторая – центрированных : <мир, субъект, момент времени>

• Например, знание de se (о себе, от первого лица)– Хофштадтер: пример с видеокамерой

2D-матрица для «Я здесь сейчас»

Миры оценки w1 w2 w3

Миры референции

<w1, a, t1> 1 0 0

<w2, b, t2> 0 1 0

<w3, c, t3> 0 0 1

Роберт Столнейкер• Четкой границы между

онтологической и эпистемической возможностью нет, они могут «меняться местами»

• Не метафизика, а прагматика

• Что именно говорит человек, заявляющий, что длина стержня, хранящегося в бюро мер и весов Севре, равна 1 метру?

Заключение• Проблема вызревала в недрах аналитической философии

сознания, языка и действия – там была подготовлена теоретическая почва

• Однако современные дискуссии ведутся философами и экономистами так, как будто они на разных планетах

• В целом, теоретико-игровой подход, основанный на понятии «стратегии» выглядит предпочтительнее, чем теоретико-вероятностная метафизика, основанная на байесианстве

• Тем не менее, теоретико-игровые дискуссии отнюдь не свободны от философских вопросов, и оптимальным решением было бы сочетать их с концептуальным аппаратом, выработанным философами – «центрированные миры», двумерная семантика и т.д.