Upload
-
View
5.206
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
บทเรียนออนไลน์ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี จ.จันทบุรี
Citation preview
Home
ยนดตอนรบเขาสบทเรยนออนไลน
เรอง ความนาจะเปน
ระดบชนมธยมศกษาปท 4 - 6
Home
หนาหลก
Home
ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปน ในการคาดการณไดอยางสมเหตสมผล
ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปน ชวยในการตดสนใจและแกปญหา
มาตรฐานการเรยนร ตวชวด
Home
สาระท 5 : การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน
มาตรฐาน ค 5.2
มาตรฐาน ค 5.3
มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสารการสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร การเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และมความคดรเรมสรางสรรค
มาตรฐาน ค 6.1
มาตรฐานการเรยนร / ตวชวด
Home
สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร
ตวชวด
1. อธบายการทดลองสมเหตการณความนาจะเปนของเหตการณสถานการณ
ทก าหนดให (มาตรฐาน ค 5.2 ตวชวดขอท 2) 2. ใชความรเกยวกบความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหา
(มาตรฐาน ค 5.3 ตวชวดขอท 2) 3. ใชวธการทหลากหลายในการแกปญหา (มาตรฐาน ค 6.1 ตวชวดขอท 1) 4. ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม (มาตรฐาน ค 6.1 ตวชวดขอท 3)
มาตรฐานการเรยนร / ตวชวด
Home
ดานความร (K)
ดานทกษะกระบวนการ (P)
ดานคณลกษณะทพงประสงค (A)
Home
จดประสงคการเรยนร
ดานความร (K)
1. นกเรยนสามารถเขยนผลทสามารถเกดขนไดจากเหตการณทก าหนดให โดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไม
ไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถบอกความนาจะเปนของเหตการณทก าหนดให ไดถกตอง 3. สามารถใชความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณ ประกอบการตดสนใจ และสามารถน าไปแกปญหาได
Home
ดานทกษะกระบวนการ (P)
1. นกเรยนมความสามารถในการสอสาร 2. นกเรยนมความสามารถในการคด 3. นกเรยนมความสามารถในการแกปญหา 4. นกเรยนมความสามารถในการใชทกษะชวต 5. นกเรยนมความสามารถในการใชเทคโนโลย
Home
ดานคณลกษณะทพงประสงค (A)
Home
สาระการเรยนร
กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แฟกทอเรยล วธเรยงสบเปลยน วธจดหม ทฤษฏบททวนาม ความนาจะเปน
Home
กอนทผเรยนจะเขาไปศกษาเนอหาจากสาระการเรยนรในบทเรยนออนไลนน ผเรยนจะตองท าแบบทดสอบกอนเรยน จากนนผเรยนจะไดศกษาเกยวกบเรองความนาจะเปนซงมเรองยอยดงตอไปน กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ วธเรยงสบเปลยน วธจดหม ทฤษฎบททวนาม และความนาจะเปน จากนนเพอเปนการตรวจสอบดวาผเรยนมความรความเขาใจในเรองทไดศกษาไปแลวนมากนอยเพยงใด ผเรยนจะตองท าแบบทดสอบหลงเรยนวาจากการทไดศกษาเนอหานน มความรมากขนเพยงใดทงนทงนนผเรยนจะตองซอสตยตอตนเองดวย
Home
ขอตกลงเบองตนในการเรยน
แบบทดสอบกอนเรยน
Home
ขอตกลงเบองตนในการท าแบบทดสอบ
1. แบบทดสอบนมทงหมด 10 ขอ ควรท าใหครบทกขอ 2. กอนท าแบบทดสอบผเรยนจะตองเตรยมกระดาษและดนสอ หรอปากกา
เพอใชส าหรบจดคะแนนทผเรยนไดในการท า แบบทดสอบแตละขอ 3. เมอผเรยนเลอกค าตอบ - ถาถกจะได 1 คะแนน - ถาผดจะได 0 คะแนน 4. ในการท าแบบทดสอบกอนเรยนจะไมมการแสดงเฉลยค าตอบ แตจะมเฉลยค าตอบแสดงในการท าแบบทดสอบหลงเรยน
Home
1. วธสรางจ านวนสามหลก ทมากกวา 300 จากเลขโดด 0,1,2,3,4 และ 5 โดยเลขโดดในแตละหลกไมซ ากน มทงหมดกวธ
ก. 60 วธ ข. 70 วธ
ง. 90 วธ ค. 80 วธ
Home
2. จ านวนวธทจะจดชาย 6 คน และหญง 3 คน ยนเรยงแถวหนากระดานโดยทไมมหญง 2 คนใดยนตดกน เทากบขอใดตอไปน
ก. ข.
ง. ค.
Home
6,6 7,3P P
6,5 7,2P P 7,6 7,3P P
6,3 7,3P P
3. จะสรางจ านวนทมสหลก จากเลขโดด 2 , 4 , 6 , 8 , 9 ไดทงหมดกจ านวน โดยทแตละจ านวนนน ตองไมมเลขโดดในหลกใดซ ากนเลย
ก. 60 วธ ข. 80 วธ
ง. 120 วธ ค. 100 วธ
Home
4. มหลอดไฟสขาว 4 หลอด สแดง 5 หลอด และสน าเงน 6 หลอด ตองการน าหลอดไฟทงหมดไปประดบตามรวในแนวเสนตรง ขอใดคอการหาจ านวนวธทแตกตางกนในการประดบหลอดไฟ เมอหลอดไฟสเดยวกนไมแตกตางกน
ก. ข.
ง. ค.
Home
15!
4!5!6!
11!
4!5!6!
15!
3!4!5!
14!
4!5!6!
5. ถาตองการจดใหเดกชาย 4 คน และเดกหญง 3 คน นงเปนวงกลม โดยไมใหเดกหญงนงตดกน จะจดไดทงหมดกวธ
ก. 100 วธ ข. 110 วธ
ง. 144 วธ ค. 112 วธ
Home
6. ตองการเลอกกรรมการชดหนงประกอบดวยนกเรยนชาย 2 คน นกเรยนหญง 2 คน และคร 1 คน จากนกเรยนชาย 20 คน นกเรยนหญง 25 คน คร 7 คน ขอใดคอการหาจ านวนวธทงหมดในการเลอกกรรมการ
ก. ข.
ง. ค.
Home
20,2 25,2 7,1C C C 20,2 25,2 7,2C C C
30,2 25,2 7,1C C C 20,3 25,2 7,1C C C
7. กลองใบหนงมบตร 5 ใบ ซงมหมายเลข 1,2,3,4 และ 5 ถาหยบบตรจากกลองน 3 ใบพรอมกน จงหาความนาจะเปน ทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10
ข.
ง. ค. 1
5
ก. 1
2
1
3
1
6
Home
8. ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปน ทรางวลเลขทาย 2 ตว จะออกหมายเลขทมหลกหนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวาหลกหนวยเปน 1 เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ o-net ป 2549)
ก. 0.04 ข. 0.05
ง. 0.25 ค. 0.20
Home
9. ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว ของสลากกนแบงรฐบาล จะออกทงเลขทงสองหลกเปนเลขเดยวกนเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ o-net ป 2550)
ก. ข.
ง. ค. 1
10
2
10
2
9
1
9
Home
10. ในการโยนลกเตา 2 ลกหนงครง ความนาจะเปน ทจะไดแตมรวมเปน 7 โดยทมลกเตาลกหนงขนแตมไมนอยกวา 4 เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ PAT 1 ครงท 3/2552)
ก. ข.
ง. ค.
Home
Home
0 – 3 คะแนน ตองปรบปรงนะ 4 – 6 คะแนน กพอใชไดนะ 7 – 8 คะแนน ดมากคะ 9 – 10 คะแนน สดยอดไปเลย
Home
ถกตองคะ….
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย
ขอ ก
Home
ถกตองคะ….
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย
Home
ถกตองคะ….
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย
Home
ถกตองคะ….
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย
Home
ผดคะ !!!!! คณตองพยายามมากกวานนะคะ
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย
Home
ผดคะ !!!!! คณตองพยายามมากกวานนะคะ
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย
Home
ผดคะ !!!!! คณตองพยายามมากกวานนะคะ
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย
Home
ผดคะ !!!!! คณตองพยายามมากกวานนะคะ
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย
Home
Home
กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แฟกทอเรยล วธเรยงสบเปลยน วธจดหม ทฤษฏบททวนาม ความนาจะเปน
Home
Home
กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ
หลกการนบ
หลกการบวก หลกการคณ
การเขยนแจกแจงวธทงหมด
Home
การเขยนแจกแจงวธทงหมด
ในการหาจ านวนวธการท างานตางๆนน วธซงเปนพนฐานทสดนน คอการเขยนแจกแจงจ านวนวธออกมาโดยตรงซงวธทสะดวกทสด ในการเขยนแจกแจงกรณเรามกจะใช แผนภาพตนไม (Tree Diagram)
Home
จากกรงเทพฯ ไปเชยงใหม มวธการเดนทางได 3 วธ คอ ทางรถยนต ทางรถไฟและทางเครองบน และจากเชยงใหม ไปแมฮองสอนมวธการเดนทางได 2 วธ คอ ทางรถยนต และทางเครองบนอยากทราบวาในการเดนทางจากกรงเทพฯ ไปแมฮองสอนโดยหยดแวะทเชยงใหมมวธการเดนทาง ไดทงหมดกวธ
ตวอยางท 1
Home
วธท า ในการหาจ านวนวธการเดนทางทงหมดสามารถแสดงได ดวยแผนภาพตนไม ดงน
จากกรงเทพฯ ไปเชยงใหม จากเชยงใหมไปแมฮองสอน
รถยนต วธท 1 รถยนต
เครองบน
รถไฟ
เครองบน
รถยนต
เครองบน
รถยนต
เครองบน วธท 2
วธท 3
วธท 4
วธท 5
วธท 6
Home
จากแผนภาพตนไม จะไดวาวธการเดนทางจากกรงเทพฯ ไปแมฮองสอน โดยหยดแวะทเชยงใหม มทงหมด 6 วธ คอ….
Home
วธท วธการเดนทาง
กรงเทพฯ ไปเชยงใหม เชยงใหมไปแมฮองสอน
1 รถยนต รถยนต 2 รถยนต เครองบน 3 รถไฟ รถยนต 4 รถไฟ เครองบน 5 เครองบน รถยนต 6 เครองบน เครองบน
Home
จากตวอยาง จะเหนวาการใชแผนภาพตนไมชวยในการหาค าตอบ ท าไดโดยงายเมอจ านวนวธทน ามาเขยนแผนภาพตนไมมจ านวนไมมากนก แตส าหรบปญหาทมจ านวนวธทเกยวของเปนจ านวนมาก การเขยนแผนภาพตนไมอาจท าไดไมสะดวก
ดงนน เพอใหการหาค าตอบท าไดงายและสะดวกรวดเรว จะใชวธการค านวณโดยอาศยหลกการทเกยวกบการนบ
Home
หลกการนบ
หลกการบวก
หลกการคณ
Home
หลกการนบ
ถางานอยางหนงมวธการท างาน k แบบ คอ แบบท 1 ถงแบบท k โดยท แบบท 1 มวธการท างานทสนสด n1 วธ แบบท 2 มวธการท างานทสนสด n2 วธ แบบท k มวธการท างานทสนสด nk วธ และวธการท างานทแตกตางกนทงหมด เทากบ n1 + n2 + … + nk วธ
หลกการบวก
Home
นกเรยน 3 คน ตองการเขาและออกหองหองหนงซงมประต 3 บาน โดยนกเรยนคนท 1 เขาและออกโดยใชประตบานเดยวกน นกเรยนคนท 2 เขาและออกโดยไมใชประตบานเดม และนกเรยนคนท 3 เขาและออกโดยใชประตบานใดกได โดยถอวาแตละคนเขาออกประต ไมเกยวของกนจงหาจ านวนวธทนกเรยนทงสามคนนเขาและออกหองน
ตวอยางท 2
Home
คนท 1
ประตท 1 ประตท 1
ประตท 3 ประตท 3
ประตท 2 ประตท 2
เขา ออก
คนท 2
ประตท 1 ประตท 2
ประตท 3
ประตท 2
ประตท 3
ประตท 1
ประตท 3
ประตท 1
ประตท 2
3 วธ
6 วธ
Home
คนท 3
ประตท 1 ประตท 2
ประตท 3
ประตท 2
ประตท 3
ประตท 1
9 วธ ประตท 2
ประตท 3
ประตท 1
ประตท 2
ประตท 3
ประตท 1
เขา ออก
Home
นกเรยนคนท 1 มวธเขาและออกได 3 วธ นกเรยนคนท 2 มวธเขาและออกได 6 วธ นกเรยนคนท 3 มวธเขาและออกได 9 วธ ดงนน วธทนกเรยนทงสามคนเขาและออกหองนมทงหมด 3 + 6 + 9 = 18
วธท า
Home
หลกการนบ
ในการท างานอยางหนงทจะท าใหงานส าเรจมขนตอนการท างาน k ขนตอน คอ ขนตอนท 1 ถงขนตอนท k ตามล าดบ โดยท การท างานขนตอนท 1 มวธท า n1 วธ การท างานขนตอนท 2 มวธท า n2 วธ การท างานขนตอนท k มวธท า nk วธ และวธการท างานแตละวธแตกตางกน จ านวนวธท างานนเทากบ n1 x n2 x . . . x nk วธ
หลกการคณ
Home
บรษทผลตเสอผาส าเรจรปแหงหนงผลตเสอ 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ ถาจะจดแตงตวใหกบหน เพอน าไปโชวหนาราน จะสามารถแตงเปนชดตางๆ ไดกชด
ตวอยางท 3
Home
ในการแตงตวใหกบหน ม 3 ขนตอน คอ ขนตอนท 1 เลอกเสอได 6 วธ ขนตอนท 2 เลอกกางเกงได 5 วธ ขนตอนท 3 เลอกเนคไทได 4 วธ ดงนน วธแตงตวใหกบหนท าไดทงหมด 6 x 5 x 4 = 120 วธ นนคอ จะแตงตวใหกบหนเปนชดตางๆกนได 120 ชด
Home
วธท า
สมาคมแหงหนงมสมาชก 50 คน ถาตองการเลอกคณะกรรมการชดหนง ซงประกอบดวยนายกสมาคม อปนายกสมาคม เลขานการ และเหรญญก ต าแหนงละ 1 คน โดยทกรรมการคนเดยวกนจะท าหนาท 2 ต าแหนงไมได จะมวธเลอกคณะกรรมการไดกวธ
ตวอยางท 4
Home
ในการเลอกกรรมการ จะเลอกต าแหนงใดกอนกได ซงแบงไดเปน 4 ขนตอน ดงน ขนท 1 เลอกนายกสมาคมได 50 วธ ขนท 2 เลอกอปนายกสมาคมได 49 วธ (เลอกไปแลว 1 คน เหลอ 49 คน) ขนท 3 เลอกเลขานการได 48 วธ (เลอกไปแลว 2 คน เหลอ 48 คน) ขนท 4 เลอกเหรญญกได 47 วธ (เลอกไปแลว 3 คน เหลอ 47 คน) ดงนน เลอกคณะกรรมการไดทงหมด วธ
วธท า
50 49 48 47 5,527,200
Home
ตองการสรางจ านวนทมสามหลกจากเลขโดด 2,4,6,7,8 โดยแตละหลกใชเลขโดดไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกจ านวน
ตวอยางท 5
Home
การสรางจ านวนทมสามหลก ท าไดโดยเลอกเลขโดดจากทก าหนดใหวางในหลกหนวย หลกสบ หลกรอย โดยจะวางหลกใดกอนกได หลกรอย หลกสบ หลกหนวย
วธท า
Home
5 วธ 4 วธ 3 วธ
การสรางจะแบงได 3 ขนตอน ขนตอนท 1 เลอกตวเลขโดด 1 ตว วางทหลกหนวย เลอกได 5 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวเลขโดด 1 ตวจากทเหลอ วางทหลกสบ เลอกได 4 วธ ขนตอนท 3 เลอกตวเลขโดด 1 ตวจากทเหลอ วางทหลกรอย เลอกได 3 วธ ดงนน จ านวนสามหลกทตองการมทงหมด จ านวน
5 4 3 60
Home
หลกการบวกและหลกการคณแตกตางกนอยางไร ?
ขอสงเกต งานทส าเรจแลว จะใชหลกการบวก งานทยงไมส าเรจ จะใชหลกการคณ
Home
Home
ถา n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล หมายถง ผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง และเขยนแทนดวย
นนคอ หรอ สญลกษณ “ ” อานวา “ แฟกทอเรยลเอน ” หรอ “ เอนแฟกทอเรยล ”
บทนยามท 1
แฟกทอเรยล (Factorial)
n! 1 2 3 ... n 1 n
n! n n 1 ... 3 2 1
n!
n!
n
n
Home
ตวอยาง
1! 1
2! 2 1 2
3! 3 2 1 6
4! 4 3 2 1 24
5! 5 4 3 2 1 120
Home
สมมตให จะได
n! n n 1 ... 3 2 1
n n 1 !
n 1
1! 1 1 1 !
1! 1 0!
1 1 0!
0! 1
นยาม 2 ก าหนด 0! 1
Home
ตวอยางท 6 จงหาคาของ วธท า
4!6! 4 3 2 1 6!
8! 8 7 6!
3
7
4!6!
8!
Home
Home
วธเรยงสบเปลยน (Permutation) เปนการจดเรยงสงของ โดยค านงถงต าแหนงของสงของแตละสงเปนส าคญ
วธเรยงสบเปลยน
Home
มเลขโดด 1,2 และ 3 ถาตองการน ามาจดเรยงเปนจ านวนสองหลก โดยทแตละหลกมเลขโดดไมซ ากน จะไดจ านวนทแตกตางกนทงหมด 6 จ านวน คอ 12 , 21 , 13 , 31 , 23 และ 32 ในกรณน เปนวธเรยงสบเปลยนของเลขโดด 1 , 2 และ 3 โดยจดทละ 2 ตว การหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนดงกลาว สามารถใชหลกการคณ มาค านวณไดดงน
เชน
Home
หลกสบ หลกหนวย ขนท 1 หลกสบ เลอกได 3 วธ จากเลขโดด 1 , 2 , 3 ขนท 2 หลกหนวย เลอกได 2 วธจากเลขโดดทเหลอ 2 ตว ดงนน จ านวนวธเรยงสบเปลยนของเลขโดดดงกลาว คอ วธ
วธท า
3 2 6
Home
1 2 3 3 2 3 3
ในหวขอ นตองการค านวณหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ โดยอาศยหลกการคณและแทนจ านวนทไดอยในรปแฟกทอเรยล โดยทวไป วธเรยงสบเปลยนจะแบงได 2 แบบ คอ วธเรยงสบเปลยนเชงเสน วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม
ในหวขอ นตองการค านวณหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ โดยอาศยหลกการคณและแทนจ านวนทไดอยในรปแฟกทอเรยล โดยทวไป วธเรยงสบเปลยนจะแบงได 2 แบบ คอ วธเรยงสบเปลยนเชงเสน วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม
Home
วธเรยงสบเปลยน
การเรยงสบเปลยนเชงเสน การเรยงสบเปลยนเชงวงกลม
Home
วธเรยงสบเปลยนเชงเสน เปนการจดเรยงสงของในแนวเสนตรงซงแบงออกเปน 2 แบบ คอ
วธเรยงสบเปลยนเชงเสน(Linear Permutation)
1.วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด
2. วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมด
Home
1.วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด
ถามสงของ สง ซงแตกตางกนทงหมดและตองการ น ามาจดเรยงในแนวเสนตรงจ านวน สง ( ) ต าแหนงทจะจดเรยงม ต าแหนง ต าแหนงท 1 ต าแหนงท 2 ต าแหนงท r
1 r n
r
n
Home
r
ต าแหนงท 1 มวธน าสงของวางได n วธ ต าแหนงท 2 แตละวธทวางสงของในต าแหนงท 1 มวธ น าสงของวางในต าแหนงท 2 ได n - 1 วธ ต าแหนงท r แตละวธทวางสงของในต าแหนงท 1 ถงต าแหนงท r - 1 มวธน าสงของวางใน ต าแหนงท r ได n - ( r -1) = n – r + 1 วธ
Home
จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงทแตกตางกน ทงหมด โดยจดเรยงคราวละสง เทากบ วธ
n!
Home
ทฤษฏท 1
ทฤษฏท 2
จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สง ซงแตกตางกนทงหมด โดยจดเรยงคราวละ r สง เทากบ วธ เมอ
จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สง ซงแตกตางกนทงหมด โดยจดเรยงคราวละ r สง เทากบ วธ เมอ
1 r n
n,r
n!P
n r !
n,rP
มหนงสอทแตกตางกน 6 เลม ตองการน าหนงสอมา 4 เลม เพอจดเรยงเปนแถวบนชนจะจดไดกวธ วธท า จากสตร ดงนน จดเรยงหนงสอ 4 เลม ได 360 วธ
ตวอยางท 7
n,r
6,4
n!P
n r !
n 6
r 4
6!P
6 4 !
6!
2!
6 5 4 3
360
ในทน
Home
ถาตองการสลบตวอกษรในค าวา “hyperbola”จะสลบไดกวธ เมอตองการให h และ y อยตดกน วธท า ตองการให h และ y อยตดกน กพจารณาวา hy เปนอกษร 1 ตว และ yh กเปนอกษร 1 ตว ในกรณทพจารณาวา hy เปนอกษร 1 ตว จะไดวามอกษรทน ามาสลบ 8 ตว คอ hy,p,e,r,b,o,l,a ซงสลบได วธ ในกรณทพจารณาวา yh เปนอกษร 1 ตว จะไดวามอกษรทน ามาสลบ 8 ตว คอ yh,p,e,r,b,o,l,a ซงสลบได วธ ดงนน จ านวนวธทสลบตวอกษรโดยท h และ y อยตดกน วธ
ตวอยางท 8
8,8P 8!
8! 8! 80,640
8,8P 8!
Home
มหนงสอคณตศาสตรตางกน 6 เลม และหนงสอเคม ตางกน 4 เลม จะมกวธทจะจดหนงสอเหลานบนชน โดยท 1) หนงสอวชาเดยวกนอยตดกน 2) หนงสอวชาเดยวกนอยรมทงสองดาน
ตวอยางท 9
Home
วธท า 1) กรณหนงสอวชาเดยวกนอยตดกน จดหนงสอวชาเดยวกนมดตดกนโดยคดเปนสงของ 1 สง ดงนน จะมหนงสออย 2 มด จดเรยงได 2! วธ แตละวธใน 2! วธน มดทเปนหนงสอคณตศาสตร 6 เลมนน จดเรยงได 6! วธ มดทเปนหนงสอเคม 4 เลม จดเรยงได 4! วธ จะไดวา จ านวนวธจดเรยงใหหนงสอวชาเดยวกนอยตดกน 2!6!4! = 34560 วธ
Home
คณตศาสตร เคม 2! 6! 4!
วธท า 2) กรณหนงสอวชาเดยวกนอยรมทงสองดาน แบงเปน 2 กรณ กรณท 1 รมทงสองดานเปนหนงสอคณตศาสตร จดหนงสอคณตศาสตรอยรมทงสองดานกอนได วธ จากนนจดหนงสอทเหลอทงหมดไวระหวางหนงสอคณตศาสตร 2 เลม ได 8! วธ ดงนน จ านวนวธจดหนงสอโดยใหรมทงสองดานเปนหนงสอคณตศาสตร เทากบ วธ
6,2P
6,2
6!P 8! 8! 1,209,600
4!
Home
กรณท 2 รมทงสองดานเปนหนงสอเคม จดหนงสอเคมอยรมทงสองดานกอนได วธ จากนนจดหนงสอทเหลอทงหมดไวระหวางหนงสอเคม 2 เลม ได 8! วธ ดงนน จ านวนวธจดหนงสอโดยใหรมทงสองดานเปนหนงสอเคม เทากบ วธ จากทง 2 กรณ ดงนน จ านวนวธการจดหนงสอวชาเดยวกนอยรมทงสองดาน เทากบ 1,209,600 + 483,840 = 1,693,440 วธ
4,2P
4,2
4!P 8! 8! 483,840
2!
Home
2.วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมด
Home
ถามสงของอย n สง ในจ านวนนม n1 สงทเหมอนกนเปนกลมทหนง ม n2 สงทเหมอนกนเปนกลมทสอง ม nk สงทเหมอนกนเปนกลมท k โดยท n1 +n2 + … + nk = n จ านวนวธเรยงสบเปลยนกลมของสงของ n สง เทากบ วธ
1 2 k
n!
n ! n ! n !
ทฤษฏท 3
จงหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนตวอกษรจากค าวา “MATHEMATICS ” ทแตกตางกนโดยไมค านงถงความหมาย จ านวนตวอกษรมทงหมด 11 ตว มตวอกษร M อย 2 ตว มตวอกษร A อย 2 ตว มตวอกษร T อย 2 ตว และมตวอกษร H,E,I,C และ S อยางละ 1 ตว จ านวนวธเรยงสบเปลยนตวอกษรดงกลาวเทากบ = 4,989,600 วธ
ตวอยางท 10
11!
2!2!2!1!1!1!1!1!
Home
ทฤษฏท 3
M A T H E M A T I C S
มหนงสออย 10 เลม เปนหนงสอคณตศาสตร (เหมอนกนทกเลม) จ านวน 6 เลม และเปนหนงสอภาษาองกฤษ (เหมอนกนทกเลม) จ านวน 4 เลม จงหาจ านวนวธจดหนงสอทง 10 เลม วางบนชนหนงสอ โดยใหหนงสอทอยหวแถวและทายแถวเหมอนกน วธท า กรณท 1 ใหหนงสอคณตศาสตร อยหวแถวและทายแถวจดได 1 วธ สวนตรงกลางเปนการจดเรยงหนงสอทเหลอจ านวน 8 เลม ซงประกอบดวยหนงสอคณตศาสตร 4 เลม และหนงสอภาษาองกฤษ 4 เลม จะจดได วธ ดงนน จ านวนวธจดเรยงทงหมดเทากบ วธ
ตวอยางท 11
8!
4!4!8!
1 704!4!
Home
กรณท 2 ใหหนงสอภาษาองกฤษ อยหวแถวและทายแถวจดได 1 วธ สวนตรงกลางเปนการจดเรยงหนงสอทเหลอจ านวน 8 เลม ซงประกอบดวยหนงสอคณตศาสตร 6 เลม และหนงสอภาษาองกฤษ 2 เลม จะจดได วธ ดงนน จ านวนวธจดเรยงทงหมดเทากบ วธ จากทงสองกรณสรปไดวา จ านวนวธจดเรยงหนงสอดงกลาว โดยใหหนงสอทเหมอนกนอยหวแถวและทายแถวเทากบ 70 + 28 = 98 วธ
8!
6!2!8!
1 286!2!
Home
วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม
พจารณาการจดเรยงตวอกษร 3 ตว คอ A , B และ C เปนแถวตรงจะมวธจดเรยงได 3! = 6 วธ คอ ABC BCA CAB ACB BAC CBA วธการจดเรยงตวอกษร ABC , BCA ,CAB , ACB , BAC และ CBA เปนการจดเรยงแถวตรงทแตกตางกน แตถาน าแตละวธมาจดเปนวงกลมจะได
Home
A→B→C B→C→A C→A→B A→C→B B→A→C C→B→A Home
A
A
A B
C
B
B
C C
A
C
B C
B
B
A
A C
A→B→C B→C→A C→A→B จะเหนวา วธการจดเรยงตวอกษร ABC BCA และ CAB ถอวาเปนการจดเรยงเปนวงกลมเพยง 1 วธ ดงตอไปน
A
A
A B
C
B
B
C C
A B
C
Home
A→C→B B→A→C C→B→A ในท านองเดยวกน จะเหนวาวธการจดเรยงตวอกษร ACB BAC และ CBA ถอวาเปนการจดเรยงเปนวงกลมเพยง 1 วธ ดงตอไปน
A C
B
A
C
B C
B
B
A
A C
Home
ดงนน การจดเรยงตวอกษร 3 ตว เปนวงกลม จะจดได 2 วธ คอ
Home
A B
C
A C
B
แนวคดในการหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม ( Circular Permutation ) ของสงของทแตกตางกน n สง อาจจะเรมโดยใหสงของสงหนงอยคงท ณ ต าแหนงใดต าแหนงหนง แลวจดเรยงสบเปลยนสงของทเหลออย n – 1 สง จะได จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมทงหมด เทากบ n 1 n 2 n 3 3 2 1 n 1 !
จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทแตกตางกน n สง เทากบ (n-1)! วธ
Home
ทฤษฏท 4
ตวอยางท 12
จดนกเรยน 10 คน ใหนงรอบโตะกลมซงม 10 ทนงไดทงหมดกวธ วธท า จ านวนวธทจะจดนกเรยน 10 คน นงรอบโตะกลมซงม 10 ทนง (10 – 1)! = 9! = 362,880 วธ
Home
ทฤษฏท 4
มนกเรยนชาย 6 คน และนกเรยนหญง 6 คน ตองการจดนกเรยนทงหมดใหนงรอบโตะกลม ซงม 12 ทนง โดยทนกเรยนชายกบนกเรยนหญงตองนงสลบกนจะมวธจดทงหมดกวธ วธท า จดใหนกเรยนชาย 6 คน นงรอบโตะกลมกอน โดยทนกเรยนชาย 2 คนใดๆ ตองไมนงเกาอตดกน จะได (6-1)! = 5! วธ
ตวอยางท 13
ช
ช
ช ช
ช ช
Home
ในแตละวธจดนกเรยนหญงใหนงเกาอทวางซงมทนง 6 ท จะจดได 6! วธ ดงนน จ านวนวธจดใหนกเรยนชายและหญงนงสลบกน เทากบ 5!6! = 86,400 วธ
หมายเหต ในตวอยางน อาจจดใหนกเรยนหญง 6 คน นงโตะกลมกอนกไดซงจะไดค าตอบเทากน
Home
มชาย 5 คน และหญง 4 คนตองการจดคนทง 9 คนยนเปนวงกลม โดยไมมหญง 2 คนใดเลยยนตดกนจะมวธการจดทงหมดกวธ วธท า วธการจดคนทง 9 คน ยนเปนวงกลม โดยไมมหญงสองคนใดเลยยนตดกนกคอการจดใหชายยนเปนวงกลมกอน หลงจากนนใหหญงยนแทรกระหวางชาย ดงรป
ตวอยางท 14
ช
ช
ช
ช ช
Home
Home
เนองจากการจดชายยนเปนวงกลมกอนจดได 4! วธ และต าแหนงทจะใหหญงไปยนแทรกมทงหมด 5 ต าแหนง แตมหญงเพยง 4 คน ฉะนน ตองมชายสองคนยนตดกนซงเปนไปได 5 วธ และแตละวธสามารถจดผหญงเขาไปยนได 4! วธ ท าใหจดหญงยนแทรกระหวางชายได 5 × 4! หรอ 5! วธ ดงนน วธจดคนทง 9 คน ยนเปนวงกลม โดยทไมมหญงสองคนใดเลยยนตดกน เทากบ 4!5! = 2,880 วธ
วธเรยงสบเปลยนสงของทแตกตางกนเปนวงกลมในลกษณะ 3 มต
ถามสงของ n สงตางกน น ามาเรยงสบเปลยนเปนวงกลมทงหมด ทมลกษณะ 3 มต (กลาวคอ มองไดทงสองดาน เชน การรอยลกปด พวงกญแจ การรอยพวงมาลยดอกไม) จะไดวาจ านวนวธการเรยงสบเปลยนเทากบ วธ n 1 !
2
Home
มดอกไม 7 ดอก ดอกละส จะมวธน าดอกไมทง 7 ดอก มารอยเปนพวงมาลยวงกลมไดกวธ วธท า วธน าดอกไมทง 7 ดอกมารอยเปนพวงมาลยวงกลม ดงนน มวธน าดอกไมทง 7 ดอกมารอยเปนพวงมาลยวงกลม ไดเทากบ 360 วธ
(7 1)!360
2
Home
ตวอยางท 15
วธ
Home
วธจดหม (Combination) เปนการเลอกสงของออกเปนหมหรอชด โดยไมค านงล าดบของสงของเหลานวาจะไดสงของใดออกมากอนหรอหลง
Home
จ านวนวธจดหมของสงของทแตกตางกน n สง โดยเลอกคราวละ r สง เทากบ วธ
ทฤษฏท 5
0 r n
n,r
n n!C
r n r !r!
จงหาวาจ านวนวธเลอกนกเรยน 3 คน จากนกเรยนกลมหนงซงม 10 คน มทงหมดกวธในการเลอก วธท า จ านวนวธเลอกนกเรยน 3 คน จากนกเรยน 10 คน ม วธ เนองจาก ดงนน จ านวนวธเลอกนกเรยน 3 คน จากนกเรยน 10 คน ม 120 วธ
ตวอยางท 16
n
r
10 10!
3 7!3!
10 9 8
3 2 1
120
Home
กลองใบหนงมลากหมายเลข 1 ถง 10 สมหยบฉลากมา 4 ใบ พรอมกน ความนาจะเปนทจะหยบไดฉลากแตมนอยกวา 4 สองใบและมากกวา 6 หนงใบ มคาเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบแขงขน สมาคมคณตศาสตรแหงประเทศไทย ป 2542) ก. ข. ค. ง.
ตวอยางท 17
4
35
6
35
1
21
2
21
มฉลากหมายเลข 1 ถง 10 ในกลอง สมหยบมา 4 ใบ จ านวนวธทจะเกดขนได วธ เหตการณทตองการคอ ใน 4 ใบดงกลาวมแตมนอยกวา 4 สองใบ และมากกวา 6 หนงใบท าไดดงน ดงนน จ านวนวธทจะเกดเหตการณดงกลาวเทากบ วธ ความนาจะเปนทจะเกดเหตการณดงกลาว คอ ตอบ ตวเลอก ข.
วธท า
10,4C 210
2 3 4 7 6 5 1 10 9 8
นอยกวา 4 มากกวา 6 หยบมา 2 ใบ ได วธ
3,2C 3
หยบมา 1 ใบ ได 3 วธ
หยบมา 1 ใบ ได 4 วธ
3 3 4 36
36 6
210 35
Home
Home
ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem) ถา x , y เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวกแลว จ านวน ทเปนสมประสทธของแตละพจน ในการกระจาย เรยกวา สมประสทธทวนาม (Binomial coefficient)
n n n 1 n r r n
n n n nx y x x y x y y
0 1 r n
n n n n n, , , , , ,
0 1 2 r n
n
x y
Home
ทฤษฏท 6
การหาพจนทวไป ให หมายถงพจนท r ของการกระจาย จะไดวาพจนท r ของการกระจาย คอ หรอเพอสะดวกในการจ า เราอาจใชสตรการหาพจนท r+1 แทน นนคอ หมายเหต ผลบวกการกระจายตองม n + 1 พจน
rT n
x y
n r 1 r 1
r
nT x y
r 1
n r r
r 1
nT x y
r
จงกระจาย โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า
ตวอยางท 18
4
22x 3y
4 24 3 24 4 42 2 22x 3y 2x 2x 3y 2x 3y0 1 2
3 44 42 22x 3y 3y3 4
24 3 22 22x 4 2x 3y 6 2x 3y
3 42 24 2x 3y 3y
4 3 2 2 4 6 816x 96x y 216x y 216xy 81y
Home
จงกระจาย โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า
ตวอยางท 19
52x y
5 5 4 3 25 5 52x y 2x 2x y 2x y
0 1 2
5 5 52 3 4 52x y 2x y y
3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 532x 80x y 80x y 40x y 10xy y
Home
ตวอยางท 4.13 จงหาสมประสทธของพจนกลางจากการกระจาย วธท า พจนกลางของการกระจาย คอ พจนท 4 เนองจากมการกระจาย 7 พจน จาก สมประสทธของพจนกลาง คอ
62
31
y
n r r
r 1
36 3
2
3 1
32
6
6
6
nx y
r
6 1y
3 3
6! 1y
3! 6 3 ! 27
6.5.4.3! 1y
3.2.1 3! 27
120y
27
20y
27
62
31
y
2720
Home
ตวอยางท 20
Home
ความนาจะเปน และ
กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน
การทดลองสม ปรภมตวอยาง เหตการณ ความนาจะเปน กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน
Home
ในการทอดลกเตาลกหนง ผลลพธทนาสนใจคอแตมบนหนาทหงายขน ดงนน ผลลพธทเปนไปได คอ ไดแตม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรอ 6 แตไมสามารถบอกไดวาเมอทอดลกเตาลกหนงแลวจะไดแตมใด ในการโยนเหรยญหนงอนบนพนราบ ผลลพธทเปนไปได คอ ดานทหงายขนเปนดานหวหรอกอย แตไมสามารถบอกลวงหนาไดวาในการโยนครงนจะไดผลลพธเปนอะไร การกระท าดงกลาว เรยกวา การทดลองสม (Random Experiment)
Home
การทดลองสม (Random Experiment)
การทดลองสม หมายถง การทดลองหรอการกระท าใดๆ ซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกไดอยางถกตองแนนอน วาในแตละครงททดลองผลทเกดขนจะเปนอะไรในบรรดาผลลพธ ทอาจเปนไปไดเหลาน
Home
การโยนเหรยญ 2 เหรยญ พรอมกน จะเปนการทดลองสม เพราะวาผลลพธทเปนไปไดเขยนแทนไดดวย คอนดบ (หว,หว) , (กอย,หว) , (หว,กอย) และ (กอย,กอย) หรอ ก าหนดให H แทน การออกหว T แทน การออกกอย จะไดคอนดบ (H,H),(H,T),(T,H) และ(T,T)
ตวอยางท 21
Home
ปรภมตวอยาง หรอ แซมเปลสเปซ (Sample space) หมายถง เซตของผลลพธทงหมดทเปนไปไดจากการทดลองสม แตละสมาชกของปรภมตวอยางหรอผลการทดลอง เรยกวา จดตวอยาง (Sample point หรอ Outcome)
Home
ปรภมตวอยาง (Sample space)
ตวอยางท 22
ในการโยนเหรยญ 1 อน ผลทเกดขนเปนหวหรอกอย ปรภมตวอยางของการโยนเหรยญ 1 เหรยญ คอ S = { หว , กอย } หรอให H แทน การออกหว T แทน การออกกอย จะไดวา S = { H , T } จดตวอยางคอ H และ T
Home
ในการทดลองสมครงหนง อาจจะมปรภมตวอยางไดมากกวาหนงแบบกได ทงนขนอยกบผลลพธทสนใจ ดงตวอยางตอไปน
Home
การโยนเหรยญ 2 เหรยญพรอมกน ถาผลลพธทสนใจ คอ การขนหนาของเหรยญทปรากฏ และให S1 แทนปรภมตวอยางของการทดลองน จะได แตถาสนใจผลลพธทเปนจ านวนเหรยญทขนหวและให S2 แทนปรภมตวอยางของการทดลองน จะได S2 = { 0 , 1 ,2 }
1S H,H , H,T , T,H , T,T
ตวอยางท 23
Home ภาพประกอบ
H
T
H
T H
T
(H,H)
(H,T) (T,H)
(T,T)
S1
H
T
H
T H
T
(H,H)
(H,T) (T,H)
(T,T)
S2
2
1 1
0
กลบ
ตวอยางท 24
จงเขยนปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก พรอมกน 1 ครง โดยท 1) สนใจผลลพธทเปนแตมของลกเตาทงสองลก 2) สนใจผลลพธทเปนผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองลก
Home
วธท า 1) ให S1 แทนปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก โดยสนใจผลลพธทเปนแตมของลกเตาทงสองลก จะได S1 = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
Home
2) ให S2 แทนปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก โดยสนใจผลลพธทเปนผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองลก จะได S2 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
S1 = { (1,1) , (1,2) ,(1,3 ), (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
2 3 4 5 7 6
9
12
8
10 11
Home
เหตการณ (Event) คอ สบเซตของปรภมตวอยาง
Home
เหตการณ (Event)
ถาปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก คอ S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6), (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6), (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
เชน
Home
ให E1 แทนเซตของเหตการณทแตมของลกเตาทงสองเปนจ านวนค จะได E1 = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)} ให E2 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 5 จะได E2 = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} ให E3 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 20 จะได E3 =
Home
ให E1 แทนเซตของเหตการณทแตมของลกเตาทงสองเปนจ านวนค จะได E1 = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}
S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6), (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6), (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
ให E2 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 5 จะได E2 = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}
S1 = { (1,1) , (1,2) ,(1,3 ), (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
5
Home
ให E3 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 20 จะได E3 =
Home
ตวอยางท 25
การโยนเหรยญหนงเหรยญกบการทอดลกเตาหนงลกพรอมกน จงหา 1) เหตการณทเหรยญออกกอยและลกเตาขนแตมเปนเลขค 2) เหตการณทลกเตาขนแตมเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว 3) เหตการณทเหรยญออกหว และลกเตาขนแตมเปนจ านวนค
Home
1) ให E1 แทนเหตการณทเหรยญออกกอยและลกเตาขนแตมเปนจ านวนค E1 = {(T,1), (T,3), (T,5)} 2) ให E2 แทนเหตการณทลกเตาขนแตมเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว E2 = {(H,3), (H,6), (T,3), (T,6)} 3) ให E3 แทนเหตการณทเหรยญออกหว และลกเตาขนแตมเปนจ านวนค E3 = {(H,2), (H,4), (H,6)}
วธท า
Home
อธบาย
อธบาย
อธบาย
T
6 5
2
4 3
1
1
H
6 5
2
4
3
(H,1)
(H,2)
(H,3)
(H,4)
(H,5)
(H,6) (T,1)
(T,2) (T,3)
(T,4) (T,5)
(T,6) กลบ
วธคดขอ 1
H
1
6 5
2
4
3
T
6 5
2
4 3
1
(H,1)
(H,2)
(H,3)
(H,4)
(H,5)
(H,6)
(T,1)
(T,2)
(T,3)
(T,4)
(T,5)
(T,6) กลบ
วธคดขอ 2
H
1
6 5
2
4
3
T
6 5
2
4 3
1
(H,1)
(H,2)
(H,3)
(H,4)
(H,5)
(H,6)
(T,1)
(T,2)
(T,3)
(T,4)
(T,5)
(T,6) กลบ
วธคดขอ 3
ตวอยางท 26
กลองใบหนงมลกบอลสขาว 3 ลก สแดง 2 ลก หยบลกบอลจากกลองพรอมกน 2 ลก จงหา 1)ปรภมตวอยางเมอสนใจสของลกบอลและเหตการณทจะไดลกบอลสขาว 2) ปรภมตวอยาง เมอสนใจลกบอลทจะหยบและเหตการณทจะได ลกบอลสขาว 1 ลก และสแดง 1 ลก
Home
1) จงหาปรภมตวอยาง เมอสนใจสของลกบอล และเหตการณทจะไดลกบอลสขาว วธท า ให S1 แทนปรภมตวอยาง เมอสนใจสของลกบอล และ E1 แทนเหตการณทจะไดลกบอลสขาว จะได S1 = {ขาวกบขาว , ขาวกบแดง , แดงกบแดง} และ E1 = {ขาวกบขาว , ขาวกบแดง}
วธท า
Home
2) จงหาปรภมตวอยาง เมอสนใจลกบอลทจะหยบและเหตการณทจะไดลกบอลสขาว 1 ลก และสแดง 1 ลก วธท า ให S2 แทนปรภมตวอยาง เมอสนใจลกบอลทหยบ E2 แทนเหตการณทจะไดลกบอลสขาว 1 ลก และสแดง 1 ลก เนองจากการทดลองสมนสนใจลกบอลแตละลกทหยบ ดงนน ให W1 , W2 , W3 เปนลกบอลสขาว 3 ลก และ R1 , R2 เปนลกบอลสแดง 2 ลก จะได S2 = {W1W2 , W1W3 , W1R1 , W1R2 , W2W3 , W2R1 , W2R2 , W3R1 ,W3R2 , R1R2} E2 ={W1R1 , W1R2 , W2R1 , W2R2 , W3R1 , W3R2}
Home
W1
W2
W3
R1
R2
W2
W1
W3
R1
R2
W3
W1
W2
R1
R2
W1W2
W1W3
W1R1
W1R2
W2W1
W2W3
W2R1
W2R2
W3W1
W3W2
W3R1
W3R2
R1 R2 R1R2 Home
ปรภมตวอยางและเหตการณตางกเปนเซตในทนเอกภพสมพทธ คอ ปรภมตวอยางและเหตการณเปนสบเซต การพจารณายเนยนของเหตการณ อนเตอรเซกชนของเหตการณ และคอมพลเมนตของเหตการณ สามารถท าเชนเดยวกบเรองเซต ให S เปนปรภมตวอยาง และให A และ B เปนเหตการณสองเหตการณ เปนเหตการณซงประกอบดวยสมาชกของเหตการณ A หรอ ของเหตการณ B หรอของทงสองเหตการณนนคอ
A B
A B x|x A x B
Home
เปนเหตการณซงประกอบดวยสมาชกทอยท งในเหตการณ A และเหตการณ B นนคอ ถา แลว จะเรยกเหตการณ A และ B วา เหตการณทไมเกดรวมกน ( Mutually exclusive events) เปนเหตการณทประกอบดวยสมาชกทอยในปรภมตวอยาง S แตไมอยในเหตการณ A นนคอ
A B
A B x|x A x B
A B
A
A x | x S x A
Home
ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน ถาผลลพธทสนใจคอผลรวมของแตมบนลกเตาทงสองและให A แทนเหตการณทผลรวมของแตมเปนจ านวนค B แทนเหตการณทผลรวมของแตมเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว C แทนเหตการณทผลรวมของแตมเทากบ 6 D แทนเหตการณทผลรวมของแตมเปนจ านวนทหารดวย 4 ลงตว
ตวอยางท 27
Home
จงหา 1) 2) 3) 4) 5) ปรภมตวอยาง
A B B C C D
B C D
S 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
A 3,5,7,9,11
B 3,6,9,12
C 6
D 4,8,12
Home
A แทนเหตการณทผลรวมของแตม เปนจ านวนค B แทนเหตการณทผลรวมของแตม เปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว C แทนเหตการณทผลรวมของแตมเทากบ 6 D แทนเหตการณทผลรวมของแตม เปนจ านวนทหารดวย 4 ลงตว
1) A B 3,5,6,7,9,11,12
2) B C 3,6,9,12
3) C D
4) B C 6
5) D 2,3,5,6,7,9,10,11
Home
S 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
A 3,5,7,9,11
B 3,6,9,12
C 6
D 4,8,12
พจารณาการทดลองสมตอไปน หยบลกบอล 1 ลก จากกลองทมลกบอลสแดง 2 ลก และลกบอลสขาว 5 ลก ปรภมตวอยางประกอบดวยสมาชก 7 ตว และเหตการณทจะหยบลกบอลสแดงประกอบดวยสมาชก 2 ตว โอกาสทจะหยบลกบอลลกใดลกหนงมเทากน ในการค านวณหาโอกาส การเกดเหตการณดงกลาวจะเกดขนมากนอยเพยงใด หาไดจากอตราสวนระหวางจ านวนสมาชกของเหตการณตอจ านวนสมาชกของปรภมตวอยาง อตราสวนทไดจะเรยกวา ความนาจะเปน (Probability) ของเหตการณ
Home
ความนาจะเปน (Probability)
ถา S แทนปรภมตวอยางของการทดลองสมอยางหนง ซงแตละจดตวอยางของการทดลองมโอกาสเกดขนเทาๆกน และ E แทนเหตการณความนาจะเปนของเหตการณ E เขยนแทนดวย P(E) ซง เมอ n(E) แทนจ านวนสมาชกในเหตการณ E n(S) แทนจ านวนสมาชกในปรภมตวอยาง S
บทนยามท 4
Home
n EP E
n S
1. ความนาจะเปนของเหตการณ E ใด ๆ จะมคาตงแต 0 ถง 1 เสมอ นนคอ P(E) = 0 หมายความวา เหตการณ E ไมมโอกาสเกดขนเลย P(E) = 1 หมายความวา เหตการณ E จะเกดขนอยางแนนอน 2. ความนาจะเปนของปรภมตวอยาง S มคาเทากบ 1 นนคอ P(S) = 1 3. ความนาจะเปนของเหตการณทเปนเซตวางมคาเทากบ 0 นนคอ
0 P E 1
P 0
สมบตของความนาจะเปน
Home
ในการทอดลกเตาหนงลก 2 ครง จงหาความนาจะเปนทผลรวมของแตมจากการทอดลกเตา 2 ครง เทากบ 6 วธท า ให S แทนปรภมตวอยาง และ E แทนเหตการณทจะไดผลรวมของแตม จากการทอดลกเตา 2 ครง เทากบ 6
ตวอยางท 28
Home
S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6), (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } และ E = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} ดงนน
5P(E)
36
Home
6
กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน
ให S เปนปรภมตวอยาง ซงเปนเซตจ ากด และ A, B เปนเหตการณใดๆ กฎขอท 1 กฎขอท 2 ถา แลว กฎขอท 3 กฎขอท 4
P A B P A P B P A B
A B P A B P A P B
P A 1 P A
P A B P A P A B
Home
ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน จงหา 1) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน
หรอผลรวมของแตมมากกวา 10 2) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน
หรอผลรวมของแตมเทากบ 7 3) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนา ไมเหมอนกน 4) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน แตผลรวมของแตมไมมากกวา 10
ตวอยางท 29
Home
ให S แทนปรภมตวอยาง A แทนเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน B แทนเหตการณทผลรวมของแตมเทากบ 7 C แทนเหตการณทผลรวมของแตมมากกวา 10 S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }
วธท า
Home
A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) } C = {(5,6), (6,5), (6,6) } ดงนน
6 1P A
36 6
6 1
P B36 6
3 1
P C36 12
Home
1. ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน หรอผลรวมของแตมมากกวา 10 คอ เนองจาก จงไดวา ดงนน
P A C P A P C P A C
1
A C { 6,6 } P A C36
1 1 1 2
P A C6 12 36 9
Home
วธท า
2. ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกนหรอผลรวมของแตมเทากบ 7 คอ เนองจาก จงไดวา ดงนน
P A B
A B
1 1 1
P A B P A P B6 6 3
Home
วธท า
3) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลก จะขนหนาไมเหมอนกน คอ และ ดงนน ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลก จะขนหนาไมเหมอนกนเทากบ 5
6
A 1 5
P A 1 P A 16 6
Home
วธท า
ขาวสารบรรจถงแลวกองหนงประกอบดวย ขาวหอมมะล 4 ถง ขาวเสาไห 3 ถง ขาวขาวตาแหง 2 ถง และขาวบสมาต 1 ถง ความนาจะเปนทจะไดขาวครบทกชนดเทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ PAT 1 ครงท 1/2552) ก. ข. ค. ง.
ตวอยางท 30
Home
3
35
4
35
1
4
2
5
ขาวม 4 ชนด สมหยบ 4 ถง ใหไดครบทกชนด
4 3 2 1
1 1 1 1
4 3 2 1
24
Home
วธท า
วธ
10
4
10!
10 4 !4!
10 9 8 7 6!210
6! 4 3 2 1
จะตองหยบขาวชนดละ 1 ถงได
จ านวนวธสมหยบขาวชนดใดกได 4 ถง
วธ
ดงนน ความนาจะเปนทจะสมหยบขาว 4 ถงไดขาวครบทกชนด 24 4
210 35
แบบทดสอบหลงเรยน
Home
ก. 60 วธ ข. 70 วธ
ง. 90 วธ ค. 80 วธ
Home
1. วธสรางจ านวนสามหลก ทมากกวา 300 จากเลขโดด 0,1,2,3,4 และ 5 โดยเลขโดดในแตละหลกไมซ ากน มทงหมดกวธ
ก. ข.
ง. ค.
Home
6,5 7,2P P 7,6 7,3P P
6,3 7,3P P6,6 7,3P P
2. จ านวนวธทจะจดชาย 6 คน และหญง 3 คน ยนเรยงแถวหนากระดาน โดยทไมมหญง 2 คนใดยนตดกนเทากบขอใดตอไปน
ก. 60 วธ ข. 80 วธ
ง. 120 วธ ค. 100 วธ
Home
3. จะสรางจ านวนทมสหลก จากเลขโดด 2 , 4 , 6 , 8 และ 9 ไดทงหมดกจ านวน โดยทแตละจ านวนนนตองไมมเลขโดด ในหลกใดซ ากนเลย
ข.
ง. ค.
ก.
Home
15!
3!4!5!
15!
4!5!6!
14!
4!5!6!
11!
4!5!6!
4. มหลอดไฟสขาว 4 หลอด สแดง 5 หลอด และสน าเงน 6 หลอด ตองการน าหลอดไฟทงหมดไปประดบตามรวในแนวเสนตรง ขอใดคอการหาจ านวนวธทแตกตางกนในการประดบหลอดไฟ เมอหลอดไฟสเดยวกนไมแตกตางกน
ก. 100 วธ ข. 110 วธ
ง. 144 วธ ค. 112 วธ
Home
5. ถาตองการจดใหเดกชาย 4 คน และเดกหญง 3 คน นงเปนวงกลม โดยไมใหเดกหญงนงตดกน จะจดไดทงหมดกวธ
ก. ข.
ง. ค.
Home
20,2 25,2 7,1C C C 20,2 25,2 7,2C C C
20,3 25,2 7,1C C C 30,2 25,2 7,1C C C
6. ตองการเลอกกรรมการชดหนงประกอบดวยนกเรยนชาย 2 คน นกเรยนหญง 2 คน และคร 1 คน จากนกเรยนชาย 20 คน นกเรยนหญง 25 คน คร 7 คน ขอใดคอการหาจ านวนวธทงหมด ในการเลอกกรรมการ
ก. ข.
ง. ค. 1
5
1
2
1
3
1
6
Home
7. กลองใบหนงมบตร 5 ใบ ซงมหมายเลข 1,2,3,4 และ 5 ถาหยบบตรจากกลองน 3 ใบพรอมกน จงหาความนาจะเปน ทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10
ก. 0.04 ข. 0.05
ง. 0.25 ค. 0.20
Home
8. ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปน ทรางวลเลขทาย 2 ตว จะออกหมายเลขทมหลกหนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวาหลกหนวยเปน 1 เทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ o-net ป 2549 )
ก. ข.
ง. ค. 110
2
10
2
9
1
9
Home
9. ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว ของสลากกนแบงรฐบาล จะออกทงเลขทงสองหลกเปนเลขเดยวกนเทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ o-net ป 2550 )
ก. ข.
ง. ค. 16
1
12
1
4
1
3
Home
10. ในการโยนลกเตา 2 ลกหนงครง ความนาจะเปนทจะไดแตมรวมเปน 7 โดยทมลกเตาลกหนงขนแตมไมนอยกวา 4 เทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ PAT 1 ครงท 3/2552 )
0 – 3 คะแนน ตองปรบปรงนะ 4 – 6 คะแนน กพอใชไดนะ 7 – 8 คะแนน ดมากคะ 9 – 10 คะแนน สดยอดไปเลย
Home
เกณฑของคะแนน
เฉลย
ขอท 1
ขอท 3
ขอท 6
ขอท 10
ขอท 5
ขอท 7
ขอท 9
ขอท 8
ขอท 4
ขอท 2
Home
1. วธท า หลกรอย หลกสบ หลกหนวย ขนท 1 สรางเลขหลกรอยได 3 วธ (เลอกจาก 3,4,5) ขนท 2 สรางเลขหลกสบได 5 วธ (เลอกจากตวทเหลอ) ขนท 3 สรางเลขหลกหนวยได 4 วธ (เลอกจากตวทเหลอ) ดงนน จะไดทงหมด 3 x 5 x 4 = 60 วธ ตอบ ก.
Home
3 , 4 , 5
3
0,1,2,3,4,5
0
0,1,2,3,4,5
2. วธท า ขนท 1 จดชายได เทากบ วธ ขนท 2 จดหญงลงทวางได วธ ดงนน จะจดไดทงหมด วธ ตอบ ค.
6,6P
7,3P
Home
ช2 ช3 ช1 ช6 ช5 ช4
6,6 7,3P P
3. วธท า
หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย
ขนท 1 สรางเลขหลกพนได 5 วธ ขนท 2 สรางเลขหลกรอยได 4 วธ ขนท 3 สรางเลขหลกสบได 3 วธ ขนท 4 สรางเลขหลกรอยได 2 วธ จะได วธ ดงนน จะมจ านวนดงกลาว 120 จ านวน ตอบ ง.
Home
2,4,6,8,9
2
2,4,6,8,9
4
2,4,6,8,9
6
2,4,6,8,9
5 4 3 2 1 20
4. วธท า จ านวนหลอดไฟทงหมดม 15 หลอด หลอดไฟสขาว ม 4 หลอด หลอดไฟสแดง ม 5 หลอด หลอดไฟสน าเงนม 6 หลอด จ านวนวธประดบหลอดไฟตามรว เทากบ วธ ตอบ ข.
15!
4!5!6!
Home
5. วธท า ช แทน เดกชาย ขนท 1 จดเฉพาะเดกชายได (4 - 1)! = 6 วธ ขนท 2 จดเดกหญงลงทวาง วธ ดงนน จะจดไดทงหมด 6 x 24 = 144 วธ ตอบ ง.
ช1
ช2
ช3
ช4
4 3
4P 24
4 3
,
!
!
Home
6. วธท า ขนท 1 เลอกนกเรยนชายได ขนท 2 เลอกนกเรยนหญงได ขนท 3 เลอกครได ดงนน จะเลอกกรรมการไดทงหมด เทากบ วธ ตอบ ก.
20,2C
25,2C
7,1C
Home
20,2 25,2 7,1C C C
7. วธท า ให S แทนปรภมตวอยาง ให E แทนเหตการณทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10 ตอบ ค.
5,3
5!n S C 10
5 3 !3!
E 2,4,5 , 3,4,5
n E 2
n E 2P E
n S 10
1
5
Home
8. วธท า ขนท 1 หา n(S) แซมเปลสเปซ S คอ เซตของผลทเปนไปไดจากการออกเลขทายสองตว คอ {00,01,02, …,99} ดงนน n(S) = 100 ขนท 2 หา n(E) เหตการณ E ทไดเลขทมหลกหนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวา หลกหนวยอย 1 คอ {21,43,65,87} ดงนน n(E) = 4 ขนท 3 หา P(E) แทนคาในสตรได ตอบ ก
n E 4P E 0.04
n S 100
Home
9.วธท า ขนท 1 หา n(S) แซมเปลสเปซของการออกรางวลเลขทายสองหลก คอ {00,01,02, … ,99} ซงมทงสน 100 กรณ ดงนน n(S) = 100 ขนท 2 หา n(E) เหตการณทเลขทงสองหลกนนจะเปนเลขเดยวกน คอ {00,11,22, … ,99} ซงมทงสน 10 กรณ ดงนน n(E) = 10 ขนท 3 หา P(E) แทนคาในสตรได ตอบ ค.
Home
n E 10 1P E
n S 100 10
10. วธท า ให n(S) แทนจ านวนวธทงหมดทเปนไปไดจากการโยนลกเตา 2 ลก หนงครง วธ ให A แทนเหตการณทโยนลกเตา 2 ลกไดแตมรวมกนเปน 7 แตม โดยทมลกเตาลกหนงขนแตมไมนอยกวา 4 สมาชกในเหตการณ A ไดแก จะได n(A) = 6 ดงนน ตอบ ค.
1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1
n A 6 1
P A n
( )( )
S 36 6
Home
n S 6 6 36
ถกตองคะเกงจงเลย
ท าขอตอไปไดเลย
ดเฉลย
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9
Home
ถกตองคะเกงจงเลย
ท าขอตอไปไดเลย
ดเฉลย
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9
Home
ถกตองคะเกงจงเลย
ท าขอตอไปไดเลย
ดเฉลย
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9
Home
ถกตองคะเกงจงเลย
ท าขอตอไปไดเลย
ดเฉลย
10 3 2 1 4 5 6 7 8 9
Home
ท าขอตอไปไดเลย 10 3 2 1 4 5 6 7 8 9
ดเฉลย
Home
ผดคะ คณตองพยายามมากกวานนะคะ
ท าขอตอไปไดเลย 10 3 2 1 4 5 6 7 8 9
ดเฉลย
Home
ผดคะ คณตองพยายามมากกวานนะคะ
ท าขอตอไปไดเลย 10 3 2 1 4 5 6 7 8 9
ดเฉลย
Home
ผดคะ คณตองพยายามมากกวานนะคะ
ผดคะ คณตองพยายามมากกวานนะคะ
ท าขอตอไปไดเลย 10 3 2 1 4 5 6 7 8 9
ดเฉลย
Home
- สสวท,2551. หนงสอเรยนรายวชาเพมเตมคณตศาสตรเลม ๔ ชนมธยมศกษาตอนปลาย พทธศกราช 2551 . พมพครงท 1 . กรงเทพมหานคร : โรงพมพ สกสค ลาดพราว - ผศ.ศภกจ เฉลมวสตมกล.2553. ขอสอบ PAT .กรงเทพมหานคร :
บรษท วพรนท (1991) จ ากด - ณฐ อดมพาณชย.2553. o-net . พมพครงท1 .กรงเทพมหานคร :
บรษท จดทอง จ ากด
บรรณานกรม
Home
ผจดท า นางสาวชลธชา นาร รหสนกศกษา 5315202009 เลขท 09 ป 4 หม 2 คณะครศาสตร เอกคณตศาสตร มหาวทยาลยราชภฏร าไพพรรณ
Home