ความนาจะเปน และ

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม

ความนาจะเปน การนบ การเรยงสบเปลยน และการจดหม การหาความนาจะเปน ตวแปรสม การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม

การแจกแจงความนาจะเปนแบบทวนาม การแจกแจงความนาจะเปนแบบปวสซอง การแจกแจงแบบปกต

ความนาจะเปน ( Probability )

การทดลอง ( Experiment ) คอ กระบวนการซงจะน าไปสผลลพธใดผลลพธหนงจากจ านวนผลลพธทงหมดทเกดขนได

ผลลพธ ( Outcome ) คอ ผลทเกดขนจากการทดลอง

ปรภมตวอยาง ( Sample Space ) คอ เซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลอง และจะใชตวอกษร S แทนสเปซตวอยาง

จดตวอยาง ( Sample ) คอ สมาชกแตละตวในปรภมตวอยาง

เหตการณ ( Event ) คอ เซตยอยของปรภมตวอยาง นยมใชภาษาองกฤษตวใหญแทนเหตการณ เชน A ถาเซตยอยดงกลาวมสมาชก 1 ตว เรยกวาเหตการณอยางงาย ถาเซตยอยมสมาชกมากกวา 1 ตว เรยกวาเหตการณประกอบ

ตวอยาง

บรษทแหงหนงจ าหนายปลกเครองใชไฟฟา

ตองการทดสอบวาเครองซกผารนลาสดทสงมาจาก

บรษทผผลตนนวามสภาพเปนอยางไร จงเลอกเครอง

ซกผา 3 เครองมาทดสอบซงผลการทดสอบจะถก

ระบดวย “ด” (ด) หรอ “เสย”(ส)

ผลลพธจากการทดลอง คอ

ดดด ดดส ดสส สสส สสด สดด ดสด สดส

ปรภมตวอยาง คอ

S = { ดดด, ดดส,ดสส, สสส, สสด, สดด, ดสด, สดส }

จดตวอยาง คอ

ดดด, ดดส,ดสส, สสส, สสด, สดด, ดสด, สดส

เหตการณทมเครองซกผาดอยางนอย 1 เครอง

A = { ดดด, ดดส,ดสส, สสด, สดด, ดสด, สดส }

การนบ ( Counting )

ถาเหตการณเหตการณหนงประกอบดวย k ขน

ตอน โดยขนตอนท i สามารถท าได nI วธ โดยท

i = 1, 2 ,3 ,…, k เหตการณดงกลาวสามารถเกดขน

ไดเทากบ วธ kn...nnn

321

ตวอยาง

จากตวอยางการตรวจสอบสภาพเครองซกผา 3

เครอง ผลลพธทจะเกดขนมทงหมดเทาไร

จ านวนผลลพธของการตรวจสอบสภาพเครองซก

ผาเทากบ

8222

การเรยงสบเปลยน ( Permutation )

กรณท 1 มของ n สงทแตกตางกน แลวน าของ r สงจาก n สงนน มาวางเรยงกน เหตการณดงกลาวนประกอบดวย r ขนตอน ดงน

ขนตอนท 1 เลอกของมาวางเรยงได n วธ ขนตอนท 2 เลอกของมาวางเรยงได n-1 วธ ขนตอนท 3 เลอกของมาวางเรยงได n-2 วธ : ขนตอนท r เลอกของมาวางเรยงได n-(r-1) วธ

ดงนนจากหลกการนบจะไดวาการจดเรยงสงของจะท าไดทงหมด

= วธ

=

= nPr

หมายเหต n! =

)r(n...)n(n 11

121 ...nn

)!rn(

!n

ตวอยาง มหนงสอ 5 เลม แตกตางกนทงหมด ถาน ามาจดบนชนท ละ 3 เลม จะสามารถจดหนงสอไดทงหมดกวธ n = 5, r = 3

nPr = 5P3 = 5!/2! = 60

ดงนน สามารถจดหนงสอวางบนชน ไดทงหมดเทากบ 60 วธ

กรณท 2 มของ n สง และมสงทเหมอนกนอยเปนกลม

สามารถแบงออกไดเปน k กลม โดยกลมท I มสงของท

เหมอนกนอย nI สง ; I = 1, 2, 3,…,k จ านวนวธในการจด ล าดบสงของทงหมด คอ

โดย n = n1+n2+…+nk

!n!...n!n

!n

k21

ตวอยาง มคนงานอย 12 คน และตองการแบงคนงานออกเปน 3 กลม เพอท างาน 3 ชน โดยใหคนงานท างานชนทหนง 3 คน ชนทสอง 4 คน และชนทสาม 5 คน จะสามารถจดคนท างานไดกวธ

นนคอ n = 12, k = 3,

n1 = 3, n2 = 4, n3 = 5

ดงนน จะจดคนท างานได = 27,720 วธ

2772054312

!!!

!

กรณท 3 ถามของ n สงทแตกตางกน น ามาจดล าดบ

เปนแนววงกลม เมอจดต าแหนงใดต าแหนงหนงเปนหลก

แลว น าทเหลอ คอ n-1 สง มาจดล าดบได (n–1)! วธ แตถาถอวาการจดล าดบตามเขมนาฬกาไมมความแตก

ตางจากการจดเรยงแบบทวนเขมนาฬกา จะจดล าดบได

21)!n(

ตวอยาง ในการประชมคณะกรรมการครงหนงซงประกอบดวย ผชาย 5 คน และผหญง 5 คน โดยจะจดโตะประชมเปนรป วงกลม จะสามารถจดผเขารวมประชมนงไดกวธ นนคอ n = 10

(n-1)! = (10-1)! = 362,880

ดงนน สามารถจดคนนงได 362,880 วธ

การจดกลม ( Combination )

ถามของทงหมด n สงทแตกตางกน แลวตองการจดกลมของ r สงจากทงหมด n สง จะสามารถท าได ดงน

)!rn(!r

!nCr

n

ตวอยาง

ในการเลอกกรรมการสมาคม 5 คน จากผสมครทงหมด

9 คน จะท าไดกวธ

n = 9, r = 5

ดงนน สามารถเลอกคณะกรรมการได 126 วธ

126595

95

9

)!(!

!CC

r

n

ความนาจะเปนทจะเกดเหตการณ A คอ

จ านวนของการเกดเหตการณ A จ านวนเหตการณทเปนไปไดทงหมด

การหาคาความนาจะเปน

ตวอยาง

ในการโยนเหรยญเทยงตรง 1 อน 1 ครง

แซมเปลสเปซของการทดลอง คอ S = { H , T }

ดงนน ความนาจะเปนทจะเกดหนาหว คอ 1/2

ตวอยาง

กลองใบหนงบรรจลกบอลสแดง 8 ลก สขาว 3 ลก ส

น าเงน 9 ลกหยบลกบอลอยางสมมา 3 ลก ความนาจะ

เปนทหยบไดลกบอลสแดงทงหมด คอ

0490

114056

3

203

8

.C

C

ถาให S เปนแซมเปลสเปซ และ A เปนเหตการณ ใดๆจากการทดลองสม แลว

102

11

)A(P.

)S(P.

กฎเบองตนของความนาจะเปน

ตวแปรสม ( Random Variable )

ตวแปรสม คอ ตวแปร ซงคาของตวแปรดงกลาวนจะถก ก าหนดโดยผลลพธจากการทดลองเชงสม ตวแปรสมแบงออกเปน 2 ประเภท ดงน ตวแปรสมแบบไมตอเนอง ( Discrete random variable )

ตวแปรสมแบบตอเนอง ( Continuous random variable )

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมแบบไมตอเนอง ( Discrete Probability Distribution )

ฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมแบบไมตอเนอง

ถา X เปนตวแปรสมไมตอเนอง โดยท X มคาเปนท

เปนไปได คอ x1, x2, x3,…,xn ฟงกชนความนาจะเปนท

X จะมคาใดๆ แทนดวย P(X) = P(X=x) = f(X)

โดยฟงกชนความนาจะเปนของ X มคณสมบตดงตอไปน

1. ความนาจะเปนของตวแปรสม X ตองมคาอยในชวง ศนยถงหนง

2. ผลรวมของการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม X มคาเทากบ 1

การแจกแจงความนาจะเปนแบบทวนาม ( Binomial Distribution )

การทดลองทประกอบไปดวยการทดลองยอยทเปนอสระกน n

ครง โดยทผลลพธของการทดลองยอยแตละครงม 2 อยาง คอ

ส าเรจ และไมส าเรจ ซงถาก าหนดใหความนาจะเปนทจะได

ผลลพธ คอ ความส าเรจ มคาเทากบ p เพราะฉะนน ความนาจะ

เปนทจะไดผลลพธ คอ ความไมส าเรจ จะมคาเทากบ 1-p = q

ถาก าหนดให X เปนตวแปรสม แทนจ านวนครงทเกดความ

ส าเรจ ดงนนคาทเปนไดของ X คอ X = 0, 1, 2, 3,…,n

ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนของ X คอ โดยท X จะมคาเฉลย และความแปรปรวน

n,...,,X:)p(px

n)x(f

xnx 101

)!xn(!x

!n

x

n

np)X(EX

npq)X(VX

2

ตวอยาง

รานขายหลอดไฟแหงหนงทราบวาในกลองใบหนงม

หลอดไฟจ านวน 8 หลอด ถาความนาจะเปนทจะพบหลอด

ไฟเสยเทากบ 0.35 จงหาความนาจะเปน

1. หลอดไฟเสย 3 หลอด

27906503503

83 383

.).().()X(P

2. หลอดไฟเสยไมเกน 1 หลอด

169013700320

6503501

8650350

0

8

101

181080

...

....

)X(P)X(P)x(P

3. จงหาคาเฉลย และความแปรปรวน ของจ านวนหลอดไฟเสย

8216503508

823508

2...npq

..np

X

X

การแจกแจงความนาจะเปนแบบปวสซอง ( Poisson Distribution )

การแจกแจงความนาจะเปนแบบปวสซองเปนการศกษาความ

นาจะเปนของตวแปรสมทถกก าหนดจากเหตการณทเกดขนในชวง

เวลาหนงหรอขอบเขตหนงทสนใจ ซง l เปนจ านวนครงของ

ความส าเรจทเกดขนโดยเฉลย ( l > 0 ) ถาก าหนดให X เปนตวแปรสมแทนจ านวนครงทใหผลส าเรจใน

ชวงเวลาหนงหรอขอบเขตหนง คาทเปนไปไดของ X มคาดงตอไป

น X = 0, 1, 2, 3,…,n

ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนของ X คอ

X จะมคาเฉลย

และความแปรปรวน

,...,,x:!x

e)x(f

x

210l

l

l )X(EX

l )X(VX

2

ตวอยาง

ในหนาหนงสอพมพหนงหนา โดยเฉลยมค าทพมพผด 5

ค า ถา นาย ก. อานหนงสอพมพฉบบน

จงหาความนาจะเปน

1. มค าทพมพผด 3 ค า

1404.0

!3

5e)3X(P

35

2. มค าทพมพผดไมเกน 1 ค า

3. จงหาคาเฉลยและความแปรปรวนของค าทพมพผด

0404.00337.00067.0!1

5e

!0

5e

)1X(P)0X(P)1X(P1505

5

52X

X

l

l

การแจกแจงความนาจะเปนตอเนอง ( Continuous Probability Distribution )

ฟงกชนความหนาแนนของตวแปรสมแบบตอเนอง

ถา X เปนตวแปรสมตอเนอง โดยทฟงกชน

ความหนาแนนของ X จะมคาใดๆ แทนดวย f(X)

และ ความนาจะเปนของเหตการณ A คอ

A

dx)x(f)A(P

โดยฟงกชนความหนาแนนของ X มคณสมบตดงตอไปน

1. ความนาจะเปนของตวแปรสม X ตองมคาอยในชวง ศนยถงหนง

2. พนทใตเสนโคงการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม X มคาเทากบ 1

การแจกแจงปกต ( Normal Distribution )

ถาตวแปรสม X มการแจกแจงปกต

ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของ X คอ

โดยท

x:e)x(f)x(2

22

1

2

1

....e

....

718282

141593

การแปลงจากตวแปรสม X ทมการแจกแจงแบบปกตท

มคาเฉลย และความแปรปรวน 2 ไปเปนตวแปรสม

Z ทมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานทมคาเฉลยเปน 0 และความแปรปรวนเทากบ 1 โดยท

X

Z

ตวอยาง ตาราง Z

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.0 0.5000 0.5010 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736

การค านวณหาคาความนาจะเปนของตวแปรสมทมการ แจกแจงแบบปกต 1. แปลงตวแปรสม X ใหเปนตวแปรสม Z โดยท 2. เปดตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน 3. 4.

X

Z

)a(P)aZ(P 1

)a(P)b(P)bZa(P

ตวอยาง

90660321 .).Z(P

093409066013211321 ..).Z(P).Z(P

813200934090660

321321321321

...

).Z(P).Z(P).Z.(P

ตวอยาง

ถาหลอดไฟยหอหนงมอายเฉลยการใชงาน 1000 ชวโมง

มคาเบยงเบนมาตรฐานของอายการใชงาน 100 ชวโมง

จงหาความนาจะเปนท

1. หลอดไฟจะมอายการใชงานมากกวา 1250 ชวโมง

00620993801

52152

10010001250

1250

..

).Z(P).Z(P

xP)x(P

2. หลอดไฟฟามอายการใชงานนอยกวา 1200 ชวโมง

9772002

10010001200

1200

.).Z(P

xP)x(P

3.หลอดไฟฟาจะมอายการใชงานระหวาง 900 ชวโมง ถง 1100 ชวโมง

662601587081130

0101

0101

10010001100

1001000900

1100900

...

).Z(P).Z(P

).Z.(P

x)x(P

THE END