ทฤษฎเีบื้องต้นของความน่าจะเป็น

สมบัตขิองความน่าจะเป็น

∪ ∩P(E E ) = P(E ) + P(E ) - P(E E )1 2 1 2 1 2

∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(A B) P(A B) P(B C) P(A B C)

สมบัติบางประการของความน่าจะเป็น

สามารถหาความน่าจะเป็นโดยใชส้มบัติบางประการของความน่าจะเป็นได้

ผลการเรยีนรู้ทีค่าดหวังรายคาบ

หยิบไพ่ 1 ใบจากสำารบัจงหาความน่าจะเป็นที่ได้ไพ่รูป A หรือ โพแดง

วิธีทำา

ดอกจิก , Aข้าวหลามตดั , A โพแดง , Aโพดำา } ดังน้ัน n(E1) = 4 ความน่าจะเป็นที่ได้ไพ่รูป A คือ 1

4P(E ) =

52

E2 แทนไพ่โพแดง

ความน่าจะเป็นทีไ่ด้ไพ่รูปโพแดง คือ

แทนไพ่รูป A ที ่เป็นไพ่โพแดง ม ี1 ใบ ดังน้ัน

1 2E E∩ ( )1 2n E E =1∩

ความน่าจะเป็นที่ได้ไพ่รูป A ที่เป็นไพ่โพแดง คือ ( )1 2

1P E E =

52∩

2

13P(E ) =

52

ไพ่หน่ึงสำารับมี 52 ใบ ดังน้ัน n(S) = 52

มี 13 ใบ ดังน้ัน n(E )=132

ต่อหน้าถัดไป

1n(E )

n(S)

∩1 2n(E E )

n(S)

1 2 1 2 1 2P(E E ) = P(E ) + P(E ) - P(E E )∪ ∩ จาก

4 13 1

52 52 52= + −

16 4

52 13= =

2

13P(E ) =

52

1

4P(E ) =

52( )1 2

1P E E =

52∩จากทีห่า

ใช้สมบัติของความน่าจะเป็นในการหา

( )1 2P E E∪

ตวัอย่าง จากการสำารวจใบลงทะเบยีนของนักเรียนช้ัน ม.6 ของโรงเรยีนแหง่หนึง่ จำานวน 100 คน พบว่า มีนกัเรยีน 60 คน เลือกเรียนคณติศาสตร ์25 คน เลือกเรยีนภาษาอังกฤษ 15 คน เลือกเรยีนภาษาเยอรมนั 15 คน เลือกเรยีนทั้งคณติศาสตร ์และภาษาองักฤษ 7 คนเลือกเรยีนทั้งคณติศาสตร ์ และภาษาเยอรมนั 8 คนเลือกเรยีนทั้งภาษาองักฤษ และภาษาเยอรมนั 3 คนเลือกเรยีนทั้ง 3 วิชา

ถ้าสุ่มใบลงทะเบียนขึน้มา 1 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่จะไดใ้บลงทะเบยีนของนักเรียนทีเ่ลือกเรยีนคณติศาสตร์หรอืภาษาองักฤษ หรอืภาษาเยอรมนั

จากโจทย์กำาหนดให้ E1 แทน นักเรียนเลือกเรียนวิชาคณิตศาสตร์E2 แทน นักเรียนเลือกเรียนวิชาภาษาอังกฤษE3 แทน นักเรียนเลือกเรียนวิชาภาษาเยอรมัน

จะได้

n )=60(E1 n(E )=252 n(E )=153n(E E )2 = 151∩ ∩n(E E )= 71 3 ∩n(E )= 82 E3

1n(E )= 32 3E E∩ ∩ต่อหน้าถัดไป

จากโจทย์ จะได้ n(S) = 100 , n(E1) = 60 , n(E2) = 25 , n(E3) = 15 ,

1 2 1 3 2 3 1 2 3n(E E ) = 15 , n(E E ) = 7 , n(E E ) = 8 , n( E E E ) = 3∩ ∩ ∩ ∩ ∩

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 P( E E E ) = P(E ) + P(E ) + P(E ) - P(E E ) - P(E E ) - P(E E ) + P( E E E )∴ ∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

n(S)

)n(E12n(E )

n(S)3n(E )

n(S)

∩1 2n(E E )

n(S)

3E∩2n(E )

n(S)∩1 3n(E E )

n(S)

∩ ∩1 2 3n(E E E )

n(S)

60

100=

25

100+ 15

100+ 15

100− 7

100− 8

100− 3

100+

60 25 15 15 7 8 3

100

+ + − − − += 73

100=

แบบฝึกทักษะที่ 4

ทฤษฎเีบื้องต้นของความน่าจะเป็น

1. หยิบไพ ่1 ใบจากสำารบัจงหาความน่าจะเป็นที่ได้ไพ่รปู A หรอื โพแดง

1 2 1 2 1 2P(E E ) = P(E ) + P(E ) - P(E E )∪ ∩

4 13 1

52 52 52= + −

16

52=

ไพ่ A ม ี4 ใบ

ไพ่โพแดง ม ี13 ใบ

ไพ่รูป A ทีเปน็โพแดง ม ี

1 ใบ

ไพ่หนึง่สำารบัม ี52 ใบ ดงันั้น n(S) = 52

4

13=

ตวัอย่าง จากการสำารวจใบลงทะเบยีนของนักเรียนช้ัน ม.6 ของโรงเรยีนแหง่หนึง่ จำานวน 100 คน พบว่า มีนกัเรยีน 60 คน เลือกเรียนคณติศาสตร ์25 คน เลือกเรยีนภาษาอังกฤษ 15 คน เลือกเรยีนภาษาเยอรมนั 15 คน เลือกเรยีนทั้งคณติศาสตร ์และภาษาองักฤษ 7 คนเลือกเรยีนทั้งคณติศาสตร ์ และภาษาเยอรมนั 8 คนเลือกเรยีนทั้งภาษาองักฤษ และภาษาเยอรมนั 3 คนเลือกเรยีนทั้ง 3 วิชา

ถ้าสุ่มใบลงทะเบียนขึน้มา 1 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่จะไดใ้บลงทะเบยีนของนักเรียนทีเ่ลือกเรยีนคณติศาสตร์หรอืภาษาองักฤษ หรอืภาษาเยอรมนั

จากโจทย์กำาหนดให้ E1 แทน นักเรียนเลือกเรียนวิชาคณิตศาสตร์E2 แทน นักเรียนเลือกเรียนวิชาภาษาอังกฤษE3 แทน นักเรียนเลือกเรียนวิชาภาษาเยอรมัน

จะได้

n )=60(E1 n(E )=252 n(E )=153n(E E )2 = 151∩ ∩n(E E )= 71 3 ∩n(E )= 82 E3

1n(E )= 32 3E E∩ ∩ต่อหน้าถัดไป

จากโจทย์ จะได้ n(S) = 100 , n(E1) = 60 , n(E2) = 25 , n(E3) = 15 ,

1 2 1 3 2 3 1 2 3n(E E ) = 15 , n(E E ) = 7 , n(E E ) = 8 , n( E E E ) = 3∩ ∩ ∩ ∩ ∩

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 P( E E E ) = P(E ) + P(E ) + P(E ) - P(E E ) - P(E E ) - P(E E ) + P( E E E )∴ ∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

n(S)

)n(E12n(E )

n(S)3n(E )

n(S)

∩1 2n(E E )

n(S)

3E∩2n(E )

n(S)∩1 3n(E E )

n(S)

∩ ∩1 2 3n(E E E )

n(S)

60

100=

25

100+ 15

100+ 15

100− 7

100− 8

100− 3

100+

60 25 15 15 7 8 3

100

+ + − − − += 73

100=

3.1 P(A B)∪

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)∪ ∩

=

20 15 6 29

60 60

+ −= =

3. กำาหนดให ้ P(A) = P(B) = และ P(A B) = แล้ว

1

3

1

4∩

10

1

จากสูตร

1

3

1

4

1

10

+ −

′B

จากสูตร

( )′ ′ ′∪ ∩P A B =P(A)+P(B)-P(A B)

10 3

30

−=7

30=

P(A B )′∩

′∩ ∩P(A B) =P(A)-P(A B)มาช่วยในการคำานวณจะสะดวก ดังน้ัน

= −

P(A B )=?′∩3.2 กำาหนดให้

1 1 1P(A)= P(B)= P(A B)=3 4 10

∩

ถา้คำานวณจากสูตรดังกล่าวทำาได้ลำาบาก จึงต้องใชค้วามรู้เรื่อง เซตท่ีวา่′∩ ∩A B =A-B=A-(A B)

1

10

1

3

A B

P(A B )=?′ ′∩

P(A B) = 1 - P(A B)′∪ ∪29

160

= −

31

60=

3.3 กำาหนดให้

1 1 1P(A)= P(B)= P(A B)=3 4 10

∩

ใช้ความรูเ้รื่อง เซตที่ว่า ′ ′ ′∩ ∪A B =(A B)

จากสมบัติความน่าจะเป็นท่ีวา่

′P(A)=1-P(A)จาก

∪ 293.1 P(A B)=

60ดงันั้น

กำาหนดให ้ P(A) = P(B) = และ P(A B) = แล้ว1

3

1

21

5∩

4.1 P(A B )′ ′∪

P(A B) = 1 - P(A B)′∩ ∩

11

5= −

4

5=

′ ′ ′∪ ∩(A B)=(A B)

4.2 P(A B )′ ′∩

P(A B) = 1 - P(A B)′∪ ∪

191

30= −

11

30=

′ ′ ′∩ ∪A B =(A B)

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)∪ ∩

1 1 1 19

3 2 5 30= + − =จากโจทย ์

∩1 1 1P(A)= ,P(B)= ,P(A B)=

3 2 5

4.3 P(A B)′ ∩

P(B - A) = P(A B) - P(A)∪

19 1

30 3= −

9 3

30 10= =

′ ′A∩B =B∩A =B - Aเนื่องจาก

∪B-A=(B A)-Aดงันั้น

U

B A∪B A∪(B A)-A

4.4 P(A B )′∩

P(A - B) = P(A B) - P(B)∪

19 1

30 2= −

4 2

30 15= =

4.5 P(A B)′ ∪

P(A B) = P(A ) + P(B) - P(A B)′ ′ ′∪ ∩

2 1 3

3 2 10= + −

26 13

30 15= =

′ 1P(A)=1-

3

4.6 P(A B )′∪

P(A B ) = P(A) + P(B ) - P(A B )′ ′ ′∪ ∩

1 1 2

3 2 15= + −

21

30=

′ 1P(B)=1-

2

5. ให้ A และ B เป็นเหตุการณท์ี่ไม่เกิดรว่มกัน และม ี P(A) = P(B) = จงหา

2

3

1

4

1. P(A B)∩

2. P(A B )′∩

0=

2= P(A) =

3

′∩A B = A -B

3. P(A B)′ ∩

4. P(A B )′ ′∪

1= P(B) =

4

P(A B) = 1 - P(A B)′∩ ∩

1 0 1= − =

′ ∩A B =B - A

6. กำาหนดให ้ A , B และ C ไม่เกิดรว่มกันทัง้หมด โดยที ่P(A) = P(B) = และ P(C) = จงหา

1

2

1

6

1

3

1. P(A B)∪

P(A B) = P(A) + P(B)∪1 1

2 3= +

3 2 5

6 6

+= =

2. P(A B C)∪ ∪

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C)∪ ∪1 1 1

2 3 6= + +

1=

และ B เป็นเหตุการณท์ี่ไม่เกิดรว่มกัน และมคีา่ P(A) = P(A B) = แลว้2

3

1

2∩1. P(B)

2. P(A B)∩

2 1

3 2= −

4 3 1

6 6

−= =

P(B) = P(A B) - P(A)∩

P(A B) = 0∩

8. โยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง กำาหนดเหตุการณ์ดังน้ี A เป็นเหตุการณท์ี่ลูกเต๋าขึ้นแต้มรวมเป็น 7 และ B เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 4 อย่างน้อย 1 ลูก

n(s) = 36

n(A) = 6

n(B) = 11

A = { ( 1 , 6 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6 , 1 ) }

B = { ( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , ( 4 , 6 ) ,( 1 , 4 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) , ( 5 , 4 ) , ( 6 , 4 ) }

1. P(A)6 1

36 6= = 2. P(B)

3. P(A B)∩

4. P(A B)∪

n(A)=

n(S)

n(B)=

n(S)11

36=A∩B = { (3,4) , (4,3) }

ดังนั้น n(A∩B) = 2

n(A B)=

n(S)

∩ 2 1

36 18= =

= P(A) + P(B) - P(A B)∩

6 11 2

36 36 36= + − 15

36=