ความน่าจะเป็น (Probability) · PDF fileในทำงคณิตศำสตร์ อำจหำจ ำนวนจ

ความนาจะเปน (Probability) อ.ภานวฒน เกยรตนฤมล

1 จดทต ำสดของ 'ชวต' ททกคนมโอกำส 'ประสบ' ..เปนไดทง 'จดจบ' และ 'บทเรยน' ทด

ความนาจะเปน

(Probability) 1. ความนาจะเปน

ในชวตประจ ำวนเรำมกไดยนประโยคเหลำน (หรอเปลำ?)

ประโยคดงกลำวขำงตน เปนค ำพดเก ยวกบกำรคำดคะเน กำรท ำนำย โอกำส หรอควำมเปนไปไดท

จะเกดเหตกำรณทกลำวถงเหลำนน ซงไมสำมำรถบอกไดแนชดวำเหตกำรณเหลำนนจะเกดขนหรอไม จนกวำจะถงเวลำทก ำหนด

ในทำงคณตศำสตร อำจหำจ ำนวนจ ำนวนหนงทบงบอกถงโอกำสมำกนอยทจะเกดแตละเหตกำรณเหลำนน และเรยกจ ำนวนนนวำ ความนาจะเปนของเหตการณ



กำรทรำบควำมนำจะเปนของเหตกำรณใดเหตกำรณหนงทำใหทรำบวำเหตกำรณนนมโอกำสเกด

ขนมำหรอนอยเพยงใด ท ำใหสำมำรถตดสนใจด ำเนนกจกรรมทเก ยวของกบเหตกำรณนนไดอยำงม

ประสทธภำพ

2. การทดลองสมและเหตการณ

ตวอยาง จงพจำรณำวำกำรกระท ำ ตอไปนเปนกำรทดลองสมหรอไมเพรำะเหตใด 1) กำรออกรำงวลหวยบนดนของรฐบำล ตอบ……………………………………………………………………………………………… 2) กำรเสยงเซยมซ ตอบ……………………………………………………………………………………………… 3) กำรเดนทำงไปโรงเรยน ตอบ………………………………………………………………………………………………



4) กำรแขงขนฟตบอลกฬำสของโรงเรยน ตอบ……………………………………………………………………………………………… 5) กำรส ำรวจเพศของบตรในครอบครวหนง ตอบ………………………………………………………………………………………………

6) กำรถอนเงนจำกธนำคำร

ตอบ………………………………………………………………………………………………

7) กำรชตลกบำสเกตบอล 1 ลกหนงครง ตอบ……………………………………………………………………………………………… 8) กำรจบสลำกใบด ำใบแดงในกำรเกณฑทหำร ตอบ……………………………………………………………………………………………… 9) กำรสงชนสวนของสนคำไปชงรำงวล ตอบ……………………………………………………………………………………………… 10) กำรผสมสน ำเงนและสเหลองในสดสวนทเทำกน ตอบ………………………………………………………………………………………………

3. ผลลพธจากการทดลองสม กำรหำผลลพธทงหมดทอำจจะเกดขนจำกกำรทดลองสมโดยใช

1. แผนภาพตนไม 2. ตาราง

ตวอยาง ใหนกเรยนพจำรณำกำรทดลองสมตอไปน 1. โยนเหรยญบำท 1 เหรยญ 2 ครง เมอก ำหนดให H แทนผลลพธทออกหว และ T แทนผลลพธท

ออกกอย กำรหำผลลพธทงหมดทอำจจะเกดขนจำกกำรโยนเหรยญบำท 1 เหรยญ 2 ครง อำจใชแผนภาพตนไมดงน



หรออำจใชตารางกจะไดดงน

จะได ผลลพธทงหมดทอำจเกดขนจำกกำรทดลองสมขำงตนม 4 แบบ คอ ………………………………....

2. สมหยบลกปงปอง 2 ลกพรอมกนจำกกลองใบหนง ทมลกปงปองสมวง 1 ลก สสม 1 ลก และ สเขยว 1 ลก

กำรหำผลลพธทงหมดทอำจจะเกดขนจำกกำรสมหยบลกปงปอง 2 ลก อำจใชแผนภาพดงน

หรออำจใชตารางกจะไดดงน

จะได ผลลพธทงหมดทอำจจะเกดขนจำกกำรทดลองสมขำงตนม 3 แบบ คอ

…………………………………………………………………………………………………...



แบบฝกหดท 1

จงพจำรณำวำกำรกระท ำตอไปนเปนกำรทดลองสมหรอไม ถำเปนผลทงหมดทอำจจะเกดขนมอะไรบำง

1. ครมกลองทบแสงใบหนง บรรจลกแกวทมขนำดและน ำหนกเทำกนคละกนอย เปนลกแกวสเขยว 10 ลก สขำว 20 ลก และสสม 15 ลก เมอใหนกเรยนสมหยบลกแกวจำกกลองขนมำ 1 ลก ตอบ…………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………….. 2. กำรโยนเหรยญบำท 1 เหรยญสองครง ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. 3. กำรโยนเหรยญ 1 เหรยญ และทอดลกเตำ 1 ลกพรอมกน ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..



4. กำรหยบลกบอล 2 ลกพรอมกนจำกกลองทบแสงทมลกบอล 4 ลก เปนสดำ 2 ลกและสขำว 2 ลก โดยลกบอลทกลกมขนำดและนำหนกเทำกน ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………….. 5. กลองใบหนงมลกแกวสแดง 3 ลก และสขำว 2 ลก สมหยบลกแกวออกจำกกลองสองลกโดยหยบทละลกและไมใสกลบคน โดยลกแกวทกลกมขนำดและนำหนกเทำกน ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..

เคลด (ไม) ลบของการเรยนวชาคณตศาสตร “ตาด หฟง มอเขยน สมองคด ปากถาม”



4. เหตการณ (Event) จำกกำรทดลองสมใด ๆ ถำเรำสนใจผลของกำรทดลองทเกดขนเพยงลกษณะใดลกษณะหนง เชน

กำรโยนเหรยญ 1 เหรยญหนงครงแลวสนใจผลทเหรยญออกหว กำรโยนลกเตำ 1 ลกหนงครงแลวสนใจผลทแตมของลกเตำเปนจำนวนค กำรหยบลกแกวในกลองทบแสง 1 ลกหนงครงแลวสนใจผลทไดลกแกวสเขยว กำรโยนเหรยญ 2 เหรยญพรอมกนหนงครงแลวสนใจผลทออกกอยทงสองเหรยญ เปนตน

เรำเรยกสงทเรำสนใจนวำ “เหตการณ”

ในกำรทดลองสมใด ๆ เรยกผลทเรำสนใจจำกกำรทดลองสมวำ “เหตการณ”

ตวอยาง 1. จงหำผลทงหมดทอำจจะเกดขนจำกกำรทอดลกเตำ 1 ลกสองครง และหำเหตกำรณทเปนไปไดตำมเงอนไขตอไปน

1) ผลบวกของแตมลกเตำเทำกบ 7 2) ผลคณของแตมลกเตำนอยกวำ 4 3) ผลบวกของแตมลกเตำมำกกวำ 9

วธท า ใชตำรำงแสดงผลทงหมดทอำจจะเกดขนจำกกำรทดลองไดดงน

1) เหตกำรณทผลบวกของแตมลกเตำเทำกบ 7 คอ ……………………………………………………………………………………………………………….. 2) เหตกำรณทผลคณของแตมลกเตำนอยกวำ 4 คอ ……………………………………………………………………………………………………………….. 3) เหตกำรณทผลบวกของแตมลกเตำมำกกวำ 9 คอ ………………………………………………………………………………………………………………..



2. นกฟตบอล 3 คน แขงขนเตะลกโทษ โดยก ำหนดใหเตะคนละ 1 ครง ถำผลของ กำรเตะ คอ เขำกบไมเขำ จงหำเหตกำรณทนกฟตบอลเตะเขำประตเพยงสองคน วธท า ให ข แทน ผลกำรเตะเขำ และ ม แทน ผลกำรเตะไมเขำ ดงนน เหตกำรณทนกฟตบอลเตะเขำประตเพยง 2 คน มดงน ……………………………………………………………………………………………………………… 3. สมหยบสลำก 1 ใบ จำกกลองทบใบหนงซงใสสลำกหมำยเลข 1 – 25 หมำยเลขละ 1 ใบ จงหำเหตกำรณทจะหยบไดสลำกตรงกบเงอนไขทก ำหนดใหในแตละขอตอไปน

1) จำนวนเฉพำะ ………………………………………………………………………………………………………………..

2) จำนวนคและมคำมำกกวำ 10 ………………………………………………………………………………………………………………..

3) จำนวนท 2 และ 7 หำรลงตว ………………………………………………………………………………………………………………..

4) จำนวนท 3 หรอ 5 หำรลงตว ………………………………………………………………………………………………………………..




1. จำกกำรหมนวงลอทแบงเปนสำมสวนเทำๆกน โดยแตละสวนเขยนหมำยเลข 1 ,2 และ 3 ก ำกบไว

และโยนเหรยญ 1 เหรยญพรอมกน จงหำเหตกำรณทมเงอนไขตอไปน

1) ไดหมำยเลขบนวงลอเปนจ ำนวนค

2) ไดเหรยญออกหว

3) ไดหมำยเลขบนวงลอเปนจ ำนวนคและเหรยญออกหว

วธท า ให H แทนผลลพธทออกหว

ให T แทนผลลพธทออกกอย

โยนเหรยญ หมำยเลขบนวงลอ

H

T

1

2

3

1) ไดหมำยเลขบนวงลอเปนจ ำนวนค

ตอบ..............................................................................................................................................

2) ไดเหรยญออกหว

ตอบ..............................................................................................................................................

3) ไดหมำยเลขบนวงลอเปนจ ำนวนคและเหรยญออกหว

ตอบ..............................................................................................................................................

2. จำกกำรโยนรปเรขำคณตสำมมตทรงสหนำซงมหมำยเลข 1 ,2,3 และ 4 ก ำกบไวหนำละหนงหมำยเลข

สองลกพรอมกน จงหำเหตกำรณทมเงอนไขตอไปน

1) ไดหมำยเลขบนรปเรขำคณตสำมมตเหมอนกน

2) ไดหมำยเลขบนรปเรขำคณตสำมมตตำงกน

3) ไดผลรวมหมำยเลขบนรปเรขำคณตสำมมตเปนจ ำนวนค



วธท า

ทรงสหนำลกท 1 ทรงสหนำลกท 2

1

2

3

4

1

2

3

4

1) ไดหมำยเลขบนรปเรขำคณตสำมมตเหมอนกน

ตอบ..............................................................................................................................................

2) ไดหมำยเลขบนรปเรขำคณตสำมมตตำงกน

ตอบ..............................................................................................................................................

3) ไดผลรวมหมำยเลขบนรปเรขำคณตสำมมตเปนจ ำนวนค

ตอบ..............................................................................................................................................

3. จำกกำรสมหยบลกปงปอง 2 ลก จำกกลองทมลกปงปองสแดง 1 ลก สเหลอง 3 ลก โดยหยบทละ

ลกและไมใสคน จงหำเหตกำรณทมเงอนไขตอไปน

1) หยบไดลกปงปองสเหลองอยำงนอย 1 ลก

2) หยบไดลกปงปองเหมอนกนทงสองลก

3) หยบไดลกปงปองตำงกนทงสองลก

วธท า

1) หยบไดลกปงปองสเหลองอยำงนอย 1 ลก

ตอบ..............................................................................................................................................

2) หยบไดลกปงปองเหมอนกนทงสองลก

ตอบ..............................................................................................................................................

ลกท 1 ลกท 2

แดง

เหลอง

แดง

เหลอง



3) หยบไดลกปงปองตำงกนทงสองลก

ตอบ..............................................................................................................................................

4. ไพส ำรบหนงม 52 ใบ แบงออกเปนสองส คอสด ำและสแดง สละ 26 ใบ ในจ ำนวน 52 ใบแบง

ออกเปน 4 ชด คอ โพด ำ โพแดง ขำวหลำม และดอกจก ชดละ 13 ใบ ในแตละชดม 13 ชนด คอ

A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q และK ดงไพ 1 ใบออกจำกส ำรบ จงเขยนเหตกำรณทจะไดไพ

1) โพด ำ

ตอบ..............................................................................................................................................

2) หมำยเลข 4

ตอบ..............................................................................................................................................

3) คง ( K )

ตอบ..............................................................................................................................................

4) ควนโพแดง

ตอบ..............................................................................................................................................

5) เอขำวหลำมตด

ตอบ..............................................................................................................................................

6) คงหรอเจดอกจก

ตอบ..............................................................................................................................................

5.เลอกอกษร 2 ตวจำกบตรอกษร 5 ตว คอ a,b,c,d,e ใหนกเรยนเขยน

1) ผลทงหมดทอำจจะเกดขน

ตอบ............................................................................................. .................................................

2) เหตกำรณทไมม a รวมอยดวย

ตอบ..............................................................................................................................................

3) เหตกำรณทม a หรอ b

ตอบ..............................................................................................................................................

4) เหตกำรณทไมม e รวมอยดวย

ตอบ..............................................................................................................................................



5) เหตกำรณทได e พรอมกนทงสองใบ

ตอบ..............................................................................................................................................

6. โยนเหรยญบำท 1 เหรยญ 3 ครง ใหนกเรยนเขยนแผนภำพตนไมเพอหำ

1) ผลลพธทงหมดทอำจจะเกดขน

ตอบ..............................................................................................................................................

2) เหตกำรณทเหรยญไมออกหวเลย

ตอบ..............................................................................................................................................

3) เหตกำรณทเหรยญออกกอยอยำงนอย 1 ครง

ตอบ..............................................................................................................................................

4) เหตกำรณทเหรยญออกหวอยำงมำก 2 ครง

ตอบ..............................................................................................................................................

7. โยนลกเตำ 1 ลกกบเหรยญ 1 เหรยญพรอมกน 1 ครง ใหนกเรยนเขยน

1) ผลลพธทงหมดทอำจเกดขน

ตอบ..............................................................................................................................................

2) เหตกำรณทเหรยญออกหวและลกเตำหงำยแตมนอยกวำ 4

ตอบ..............................................................................................................................................

3) เหตกำรณทลกเตำหงำยแตมมำกกวำ 3

ตอบ..............................................................................................................................................

4) เหตกำรณทลกเตำหงำยแตมเปนจ ำนวนเฉพำะ

ตอบ..............................................................................................................................................

5) เหตกำรณทลกเตำหงำยแตมมำกกวำ 6

ตอบ..............................................................................................................................................

8. ครอบครวหนงตองกำรมบตร 3 คน ใหนกเรยนเขยน

1) ผลทงหมดทอำจเกดขน

ตอบ..............................................................................................................................................

2) เหตกำรณทมบตรชำยอยำงนอย 1 คน

ตอบ..............................................................................................................................................



3) เหตกำรณทมบตรหญง 2 คน

ตอบ..............................................................................................................................................

4) เหตกำรณทมบตรชำยไมเกน 2 คน และบตรหญงอยำงนอย 1 คน

ตอบ..............................................................................................................................................

5. ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event)

กำรหำควำมนำจะเปนของเหตกำรณสำมำรถหำไดหลำยวธ แตในทนจะเสนอไว 2 วธ คอ กำรหำควำมนำจะเปนของเหตกำรณโดยกำรทดลอง และกำรหำควำมนำจะเปนโดยใชทฤษฎ

1. การหาความนาจะเปนของเหตการณโดยการทดลอง

กำรหำควำมนำจะเปนของเหตกำรณโดยกำรทดลองสำมำรถหำไดจำกกำรปฏบตจรง หลำย ๆ ครง

แลวน ำ ผลทเกดขนมำพจำรณำเปรยบเทยบกบจ ำนวนครงของกำรปฏบตทงหมด

2. การหาความนาจะเปนของเหตการณโดยการใชทฤษฎ

ในกรณทผลแตละตวของเหตกำรณจำกกำรทดลองสมมโอกำสเกดขนเทำ ๆ กน เชน กำรโยนเหรยญหรอกำรโยนลกเตำทมควำมเทยง กำรจบสลำกหรอกำรสมหยบวตถสงของทไมสำมำรถสงเกตเหนควำมแตกตำงระหวำงกนได เปนตน เรำสำมำรถค ำนวณหำควำมนำจะเปนของเหตกำรณทสนใจไดจำกกำรเปรยบเทยบจำนวนผลทเปนไปไดของเหตกำรณ กบจ ำนวนผลทงหมดทอำจจะเกดขนจำกกำรทดลองสม กำรทดลองสมใด ๆ ทผลแตละตวมโอกำสเกดขนเทำ ๆ กน สำมำรถหำควำมนำจะเปนของเหตกำรณท

สนใจไดจำกสตรตอไปน



ตวอยาง ธนวำสมหยบไพใบหนงจำกส ำรบ ซงม 52 ใบ จงหำจ ำนวนผลทงหมดทอำจจะเกดขนจำกกำรทดลองสมน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2) จงหำควำมนำจะเปนของเหตกำรณทหยบไดไพตำงๆ ตอไปน

2.1) ไพสด ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2.2) ไพขำวหลำมตด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2.3) ไพทไมใชขำวหลำมตด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………




1.ในกำรโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง จงหำควำมนำจะเปน

S คอ...................................................................................................................

n(S) = ……………..

1.1) เหรยญอนแรกขนหว 1.2) เหรยญอนหลงขนกอย

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ...................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก................................................................

...................................................................... ......................................................................

1.3) ไมเกดกอยทงสองเหรยญ 1.4) เหรยญขนหว 2 เหรยญ หรอ กอย 2

เหรยญ

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... .........................................................................

2.ในกำรโยนเหรยญ 1 อน 3 ครง จงหำควำมนำจะเปนท

S คอ................................................................................................................... ................................

n(S) = ……………..

2.1) ขนกอยอยำงนอย 2 ครง 2.2) เหรยญขนกอยอยำงนอย 1 ครง

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ...................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก................................................................

...................................................................... ......................................................................

2.3) ขนหวอยำงนอย 1 ครง 2.4) เหรยญขนกอย 2 ครง หว 1 ครง

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................



2.5) เหรยญออกกอย 1 ครง 2.6) เหรยญออกหวและออกกอยเทำกน

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... ..........................................................................

3.จอยชวนเพอน 3 คน ไปหวหน แตยงไมไดรบค ำตอบทแนนอนวำจะไปหรอไมไป จงหำควำมนำจะ

เปนทจอย จะมเพอนไปเทยวทะเลอยำงนอยหนงคน

..........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................

............................................................................................................................... ...........................................

4. ถำสมครอบครวทมบตรสองคนมำครอบครวหนง จงหำควำมนำจะเปนท

S คอ................................................................................................................... ..............................................

n(S) = ……………..

5.1) มบตรชำยอยำงนอย 1 คน 5.2) มบตรชำย 1 คน บตรหญง 1 คน

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.................................................................

...................................................................... .........................................................................

5.3) คนแรกเปนชำย คนทสองเปนหญง 5.4) มบตรชำยมำกกวำบตรหญง

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... ...........................................................................



คณสมบตส าคญ!!!!ของความนาจะเปน


1. ทอดลกเตำ 1 ลก 1 ครง จงหำควำมนำจะเปนตอไปน

S คอ................................................................................................................... ................................

n(S) = ……………..

1.1) ลกเตำขนแตมค 1.2) ลกเตำขนแตมเปนจ ำนวนเฉพำะ

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก...................................................................

...................................................................... ..........................................................................

1.3) ลกเตำขนแตมคและแตมค 1.4) ขนแตมมำกกวำ 2

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก....................................................................

...................................................................... ..........................................................................

1.5) ลกเตำขน 2 และ 3 หำรลงตว 1.6) ขนแตม 7

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก....................................................................

...................................................................... ..........................................................................



2.ทอดลกเตำ 2 ลก 1 ครง จงหำควำมนำจะเปนตอไปน

S คอ................................................................................................... ..............................................................

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

n(S) = ……………..

2.1) ไดแตมเหมอนกน 2.2) ผลรวมของแตมเปน 5

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... ...........................................................................

2.3) ผลรวมของแตมเปน 10 2.4) ผลรวมของแตมเปน 2

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... ...........................................................................

2.5) ผลรวมของแตมนอยกวำ 9 2.6) ไดเลขคทง 2 ค

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... .........................................................................

3.ทอดลกเตำ 3 ลก 1 ครง จงหำควำมนำจะเปนตอไปน

S คอ

................................................................................................................... .......................................................

………………………………………………………………………………………………………………

………………..………………………………………………………………………………………………

n(S) = ……………..



3.1) ไดแตมรวมของลกเตำมำกกวำ 3 3.2) แตมของลกเตำมำกกวำ 36

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... ...........................................................................

3.3) แตมของลกเตำนอยกวำ 36 3.4) แตมของลกเตำนอยกวำ 18

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... ...........................................................................


1.ถงใบหนงมลกแกวขนำดเทำกนสขำว 4 ลก สแดง 1 ลก สฟำ 3 ลก และสเหลอง 2 ลก จงหำควำม

นำจะเปนตอไปน

S คอ................................................................................................................... .............................................

n(S) = ……………..

1.1) ไดลกแกวสแดง 1.2) ไดลกแกวสเหลอง

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... ........................................................................

1.3) ไดลกแกวสขำว 1.4) ไดลกแกวสเหลองหรอสฟำ

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก....................................................................

...................................................................... ........................................................................



2.มลกบอล 15 ลก เขยนหมำยเลข 1 ถง 15 ลกละ 1 จ ำนวน ถำสมหยบครงละ 1 ลก จงหำควำมนำจะ

เปนตอไปน

S คอ................................................................................................... ..............................................................

n(S) = ……………..

2.1) ไดจ ำนวนทม 2 หลก 2.2) ไดจ ำนวนมำกกวำ 2 แตนอยกวำ 8

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... .........................................................................

2.3) จ ำนวนทมำกกวำ 5 แตนอยกวำ 10 2.4) ไดลกบอลทมตวเลขเปนจ ำนวนเฉพำะ

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก...................................................................

...................................................................... ........................................................................

3. มบตรหมำยเลข 0 ถงหมำยเลข 100 หมำยเลขละ 1 บตร สมหยบมำ 1 บตร จงหำควำมนำจะเปนท

พบบตรหมำยเลขค และ 15 หำรลงตวเปนเทำไหร

วธท า S คอ....................................................................................................... ...............................................

n(S) =…………

E คอ………………………………………………………………………………………………………….

n(E) = ……………....

จำก……………………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

4. มสลำก 20 ใบ เขยนเบอร 1 ถง 20 สลำกทงหมดอยไหนกลอง สมหยบมำ 1 ใบ จงหำควำมนำจะ

เปนทจะไดเบอรทหำรดวย 2 หรอ 7 หำรลงตว

วธท า S คอ....................................................................................................... ..............................................

n(S) =…………



E คอ………………………………………………………………………………………………………….

n(E) = ……………....

จำก……………………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

5. มสลำก 20 ใบ เขยนเบอร 1 ถง 20 สลำกทงหมดอยไหนกลอง สมหยบมำ 1 ใบ จงหำควำมนำจะ

เปนทจะไดเบอรทหำรดวย 2 และ 7 หำรลงตว

วธท า S คอ....................................................................................................... ...............................................

n(S) =…………

E คอ…………………………………………………………………………………………………………

n(E) = ……………....

จำก……………………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

6.กลองใบหนงมบตรอย 1,000 ใบ ใบละ 1 หมำยเลข ตงแต 000 ถง 999 สมหยบมำ 1 ใบ จงหำควำม

นำจะเปนทจะไดบตรทมหมำยเลขเรยงกน

วธท า S คอ.....................................................................................................................................................

n(S) =…………

E คอ………………………………………………………………………………………………………….

n(E) = ……………....

จำก……………………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

7.ในกำรสอบคณตศำสตรแบบเลอกตอบ 20 ขอ ขอละ 1 คะแนน ผทสอบผำนตองไดคะแนนตงแต 60%

ขนไป จงหำควำมนำจะเปนนกเรยนคนหนงจะสอบไมผำน ถำท ำขอสอบโดยกำรสม

วธท า S คอ....................................................................................................... ..............................................

n(S) =…………

E คอ……………………………………………………………………………………..............................

n(E) = ……………....

จำก……………………………………………………………………………………………………………




1.หยบไพ 1 ใบ จำกไพส ำรบหนง จงหำควำมนำจะเปนตอไปน

S คอ

................................................................................................................... .......................................................

………………………………………………………………………………………………………………

n(S) = ……………..

1.1) หยบไดไพโพแดง 1.2) หยบได A

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... ...........................................................................

1.3) หยบไดไพสด ำ 1.4) หยบไดไพ K ขำวหลำมตด

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.....................................................................

...................................................................... ..........................................................................

1.5) หยบไดไพแตม K หรอไพดอกจก 1.6) หยบไดไพแตม 5 หรอ 6

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก...................................................................

...................................................................... .......................................................................

1.7) หยบไดไพ 2 ดอกจกและ Q โพด ำ 1.8) หยบไดไพ J หรอ Q ดอกจก

วธท า E คอ................................................... วธท า E คอ.......................................................

n(E) = …………. n(E) = ………….

จำก................................................................ จำก.................................................................

...................................................................... .........................................................................



2. สมหยบตวอกษร 1 ตว จำกค ำวำ ‘‘ EIGHT ’’ จงหำควำมนำจะเปนทสมเลอกไดพยญชนะ

วธท า S คอ....................................................................................................... ...............................................

n(S) =……………….

E คอ………………………………………………………………………………………………………….

n(E) = ……………....

จำก……………………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

3.เน แนนและว สำมพนองยนเขำแถวถำยรป จงหำควำมนำจะเปนทเนจะยนตดกบแนน

วธท า S คอ....................................................................................................... ..............................................

n(S) =………………….

E คอ………………………………………………………………………………………………………….

n(E) = ……………....

จำก……………………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

4.ถำน ำนำย A , B และ C มำเขำแถวเปนเสนตรง จงหำควำมนำจะเปนทนำย B จะยนอยหวแถวเสมอ

วธท า S คอ

....................................................................................................... ...................................................................

n(S) =………………….

E คอ………………………………………………………………………………………………………….

n(E) = ……………....

จำก……………………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………



5.กลองใบหนงมลกบอลขนำดเดยวกน 5 ลก เปนสด ำ 3 ลก สเขยว 2 ลก หยบลกบอลออกจำกกลองน

อยำงสม 2 ลก โดยหยบลกแรกแลวไมใสคน จงหำควำมนำจะเปนทจะไดลกบอลสเดยวกน

วธท า S คอ....................................................................................................... ..............................................

n(S) =………………..

E คอ…………………………………………………………………………………………………………

n(E) = ……………....

จำก……………………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

6.ถงใบหนงมลกแกวสขำว แดงและสม อยำงละหนงลก สมหยบลกแกวมำ 2 ลก โดยหยบทละลกแลว

ใสคน จงหำควำมนำจะเปนไดลกแกวสแดงอยำงนอยหนงลก

วธท า S คอ....................................................................................................... ...............................................

n(S) =…………………

E คอ……………………………………………………………………………………..............................

n(E) = ……………....

จำก……………………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………

……………….………………………………………………………………………………………………



ตารางการสงงานเรองความนาจะเปน

วน/เดอน/ป งำน ลำยเซนผปกครอง ลำยเซนคร แบบฝกหดท 1 แบบฝกหดท 2 แบบฝกหดท 3 แบบฝกหดท 4 แบบฝกหดท 5 แบบฝกหดท 6

ประโยชนของการตรงตอเวลา

1.ท ำใหเรำมนสยขยนขนแขงเอำกำรเอำงำนอยำงจรงจง

2.ฝกใหเรำเปนคนกระตอรอรนมชวตชวำ

3.ท ำใหเรำมควำมซอตรงตอตวเองรกษำเกยรตยศของตนเอง

4.ท ำใหเรำท ำงำนไดสะดวกรวดเรวเรยบรอยและมผลด

5.หนำทกำรงำนประสบควำมส ำเรจชวตกำวหนำ

6.สำมำรถก ำหนดกจกรรมตำงๆ ทเรำจะกระท ำไดในแตละวนท ำใหชวตมระเบยบและมวนยกบตนเอง

7.เปนทเชอถอและไวใจของคนอน

Documents

ความน่าจะเป็น (Probability) · PDF fileในทำงคณิตศำสตร์ อำจหำจ ำนวนจ