ความรเดมทผเรยนตองทราบ

1. ขอความคาดการณ เปนกระบวนการทใชการสงเกตหรอการทดลองหลายๆครง แลว

รวบรวมขอมลเพอหาแบบรปทจะน าไปสขอสรป ซงเชอวามความเปนไปไดมากทสด แตยงไมไดพสจน

วาเปนจรง

2. อตราสวนและรอยละ ( Ratio and Percent )

อตราสวน คอ การเปรยบเทยบจ านวนสงของชนดเดยวกนตงแตสองจ านวนขนไป เชน

การแขงขนฟตบอลระหวางทมไทยกบทมเวยดนาม คาดวาไทยจะชนะ 5 ตอ 2

รอยละ คอ เศษสวน หรออตราสวนทมสวนเปน 100 อาจแทนดวยค าวา “ เปอรเซนต (%) ”

เชน

พรงนจะมฝนตก ของพนท

คาดวานกทองเทยวแถบอนดามนลดลง

ความนาจะเปน ( Probability )

ในชวตประจ าวนเรามกจะไดยนค าพดทเกยวกบการคาดคะเน การท านาย โอกาส หรอความ

เปนไปไดทจะเกดเหตการณทกลาวถง แตไมสามารถบอกไดแนชดวาเหตการณเหลานนจะเกดขน

หรอไม จนกวาจะถงเวลาทก าหนด

จ านวนจ านวนหนงทบงบอกถงโอกาสมากนอยทจะเกดแตละเหตกาณนน ในทางคณตศาสตร

เรยกจ านวนนนวา ความนาจะเปนของเหตการณ

การหาความนาจะเปนของเหตการณ ไดมการศกษาอยางจรงจงเมอ ค.ศ.1654 หลงจาก

เชอวาลเอ เดอ เมเร ( Chevalier de Mere ) นกการพนนชาวฝรงเศสแพการพนน เมอเขาไดทา

พนนกบนกการพนนอนๆวา “เมอทอดลกเตาสองลกพรอมกน 24 ครง จะมอยางนอยหนงครงทขน

แตม 6 ทงสองลก” เดอเมเร สงสยวาท าไมจงเปนเชนนน เขาจงน าปญหานไปถาม เบลล ปาสกาล

( Blaise Pascal ) นกคณตศาสตรผเปนเพอนของเขา และปาสกาลกไดน าปญหาเดยวกนนไป

ปรกษา ปแยร เดอ แฟรมา (Pierre de Fermat) เพอนนกคณตศาสตรของเขา ทงสองจงได

ท าการศกษาคนควาเกยวกบความนาจะเปนของเหตการณอยางจรงจง จนไดค าตอบวา ถาโยนลกเตา

ทเทยงตรงสองลกพรอมกน 24 ครง ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาจะหงายขนแตม 6 ทง

สองลกอยางนอยหนงครง เทากบ 0.4914 หรอประมาณ คาความนาจะเปนขางตนเปน

หลกฐานยนยนวาเพราะเหตใด เดอเมเร จงแพพนนมากกวาจะชนะพนน

การหาความนาจะเปนของเหตการณในทางคณตศาสตร

1. การทดลองสม ( Random Experiment ) คอ การทดลองทเราไมสามารถบอก

ลวงหนาไดวาผลลพธทเกดขนจากแตละการกระท าจะเปนอะไร แตสามารถบอกไดวามผลลพธอะไรบาง

ทจะเกดขนได เชน

โยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 1 ครง หนาทหงายขนอาจออกหวหรออกกอย

ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง หนาทหงายขนอาจเปนแตม 1, 2, 3, 4, 5 หรอ 6

การกระท าบางอยางทเราทราบผลลพธไดแนนอนไมถอวาเปนการทดลองสม เชน น า 2 บวก

กบ 3 ผลลพธเปน 5

2. แซมเปลสเปซ ( Sample Space ) คอ กลมของผลทเกดขนทงหมดจากการ

ทดลองสม นยมใชสญลกษณ S แทน แซมเปลสเปซ เชน

โยนเหรยญ 1 อน 1 ครง ถา H แทนการออกหว และ T แทนการออกกอย ผล

ในแซมเปลสเปซ คอ H , T

โยนเหรยญ 2 อน 1 ครง ผลในแซมเปลสเปซ คอ ( H , H ) , ( H , T ) ,

( T , H ) , ( T , T ) , ( H , H ) หมายถง เหรยญอนแรกออกหว และเหรยญอนทสองออกหว

( H , T ) หมายถง เหรยญอนแรกออกหว และเหรยญอนทสองออกกอย

ขอสงเกต

1. โยนเหรยญ 2 อน 1 ครง กบ โยนเหรยญ 1 อน 2 ครง ผลในแซมเปลสเปซได

เหมอนกน

2. ( H , T ) กบ ( T , H ) ไมเหมอนกน เพราะถออนดบของการเกด

3. ( H , T ) หมายถง เหรยญอนแรกหรอโยนครงแรกออกหว และเหรยญอนทสอง

หรอโยนครงทสองออกกอย

4. ( T , H ) หมายถง เหรยญอนแรกหรอโยนครงแรกออกกอย และเหรยญอนทสอง

หรอโยนครงทสองออกหว

โยนลกเตา 1 ลก 1 ครง ผลของแซมเปลสเปซ คอ 1, 2, 3, 4, 5 , 6 จากการ

ทดลองสมและแซมเปลสเปซทกลาวมา เพอความสะดวก ถาใหกลมของผลการทดลองสม ถกลอม

รอบดวยวงเลบ * + เราสามารถเขยนแซมเปลสเปซ (S) ได ดงน

แซมเปลสเปซของการโยนเหรยญ 1 อน 1 ครง คอ * +

แซมเปลสเปซของการโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง คอ *( ) ( )

( ) ( )+

แซมเปลสเปซของการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง คอ * +

3. เหตการณ ( Events ) คอ สงทสนใจจะพจารณาจากการทดลองสม เปนกลมยอย

ของแซมเปลสเปซ นยมใชอกษรภาษาองกฤษตวใหญแทนเหตการณ เชน

เหตการณของการโยนเหรยญ 1 อน 1 ครง แลวเหรยญออกหว ผลคอ

ถาให แทน เหตการณทเหรยญออกหว แลว * +

เหตการณของการโยนลกเตา 2 ลก 1 ครง แลวไดผลบวกของแตมเปน 11 ผล

คอ ( ) ( ) ถาให แทน เหตการณทผลบวกของแตมเปน 11 แลว

*( ) ( )+

4. จ านวนผลทเกดขนในแซมเปลสเปซและเหตการณ

โยนเหรยญ 1 อน 2 ครง เขยนแซมเปลสเปซ ได คอ

*( ) ( ) ( ) ( )+ ผลทเกดขนเทากบ 4 ค

อนดบ ถาให ( ) แทน จ านวนสมาชกในแซมเปลสเปซแลว แลว ( )

แทน เหตการณทเหรยญออกหวอยางนอย 1 อน

*( ) ( ) ( ) + ผลทไดม 3 คอนดบ

ถาให ( ) แทน จ านวนสมาชกในเหตการณ แลว ( )

5. ความนาจะเปนของเหตการณ

ให แทน เหตการณใดๆทเปนสวนหนงของแซมเปลสเปซ

( ) แทน ความนาจะเปนของเหตการณ

( ) ( )

( )

6. สมบตความนาจะเปนของเหตการณใดๆ

ถา เปนแซมเปลสเปซ และ เปนเหตการณใดๆในแซมเปลสเปซ

1. ความนาจะเปนของเหตการณใดๆมคาตงแต 0 ถง 1 หรอ ( )

2. ความนาจะเปนของแซมเปลสเปซเทากบ 1 หรอ ( )

3. ถา ( ) แทน ความนาจะเปนทจะเกดเหตการณ

แลว ( ) แทน ความนาจะเปนทไมเกดเหตการณ

แลว ( ) ( )

หรอ ( ) ( )

ตวอยาง 1 โยนเหรยญบาทเทยงตรง 2 อน 1 ครง จงหาความนาจะเปนท

1. เหรยญออกหวทงค

2. เหรยญออกกอยอยางนอย 1 เหรยญ

3. เหรยญออกหนาตรงกน

วธท า เขยนแซมเปลสเปซได คอ

*( ) ( ) ( ) ( )+ ( )

1. ให แทน เหตการณทเหรยญออกหวทงค

*( )+ ( )

ดงนน ( )

ตอบ

2. ให แทน เหตการณทเหรยญออกกอยอยางนอย 1 เหรยญ

*( ) ( ) ( )+ ( )

ดงนน ( )

ตอบ

3. ให แทน เหตการณทเหรยญออกหนาตรงกน

*( ) ( )+ ( )

ดงนน ( )

ตอบ

ตวอยาง 2 โยนลกเตา 2 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนท

1. ผลรวมของแตมเปน 10

2. ผลตางของแตมเปน 2

3. ลกเตาออกแตมตรงกน

4. ผลรวมของแตมเปน 13

วธท า เขยนแซมเปลสเปซไดคอ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1. ให แทน เหตการณทผลรวมของแตมเปน 10

*( ) ( ) ( )+ ( )

ดงนน ( )

ตอบ

2. ให แทน เหตการณทผลตางของแตมเปน 2

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )+

( )

( )

ตอบ

3. ให แทน เหตการณทลกเตาออกแตมตรงกน

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

( )

( )

ตอบ

A

B

C

4. ให แทน เหตการณทผลรวมของแตมเปน 13

ไมมผลทเกดขนใน ( เพราะวาผลรวมของแตมตองไมเกน 12 )

( )

( )

ตอบ

ตวอยาง 3 ถงใบหนงมลกบอลขนาดเทากน 12 ลก เปนลกบอลสขาว 3 ลก สแดง 4 ลก และ

สด า 5 ลก ถาสมหยบลกบอลในถงขนมา 1 ลก จงหาความนาจะเปนทจะได

1. ลกบอลสขาว

2. ลกบอลสแดง

3. ลกบอลสด าหรอสแดง

4. ลกบอลสขาวและสด า

วธท า ให แทนลกบอลสขาว แดง และด า ตามล าดบ

* +

( )

1. ให แทน เหตการณทหยบไดลกบอลสขาว

* +

( )

( )

ตอบ

2. ให แทน เหตการณทหยบไดลกบอลสแดง

* +

( )

( )

ตอบ

3. ให แทน เหตการณทหยบไดลกบอลสด าหรอสแดง

* +

( )

( )

ตอบ

4. ให แทน เหตการณทหยบไดลกบอลสขาวและสด า

ไมเกดเหตการณ ( เพราะวาหยบลกบอล 1 ลก จะไดทงสขาวและสด าไมได )

( )

( )

ตอบ

ตวอยาง 4 มอกษรอย 3 ตว คอ เมอน ามาเรยงกน ความนาจะเปนทจะไดค าทม

ความหมายเปนเทาใด

วธท า เขยนแซมเปลเปซ * +

( )

ให แทน เหตการณทเรยงไดค าทมความหมาย

* +

( )

( )

ตอบ

ตวอยางท 5 ดงไพ 1 ใบ ออกจากไพ 1 ส ารบ ซงม 52 ใบ จงหาความนาจะเปนทจะได

1. ไพโพแดง 2. Jack

วธท า ไพส ารบหนงม 52 ใบ แบงออกเปน 4 ชด คอ โพแดง โพดด า ดอกจก และ

ขาวหลามตด มชดละ 13 ใบ แตละชดมไพ 13 ชนด คอ แตม 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10, J, Q, K และ A มชนดละ 4 ใบ

1. จ านวนสมาชกในแซมเปลสเปซเทากบ 52

จ านวนสมาชกในเหตการณเทากบจ านวนไพโพแดงซงเทากบ 13

ดงนน ( ) ( )

จากสตร ( ) ( )

( )

ความนาจะเปนทจะดงไดไพโพแดง

ตอบ

2. จ านวนสมาชกในเหตการณเทากบจ านวนไพ Jack เทากบ 4

ความนาจะเปนทจะดงไดไพ Jack

ตอบ

ตวอยาง 6 ครอบครวหนงมบตร 3 คน อายตางกน จงหาความนาจะเปนทครอบครวน

1. มบตรหวปเปนหญง

2. มบตรคนสดทองเปนหญง

3. มบตรเปนชายทงสามคน

4. มบตรคนหวปเปนหญงและคนสดทองเปนชาย

วธท า อนดบของบตรเขยนแทนดวยแผนภาพตนไมได ดงน

คนหวป คนกลาง คนสดทอง ผล

ช (ช, ช, ช)

ช

ญ (ช, ช, ญ)

ช

ช (ช, ญ, ช)

ญ

ญ (ช, ญ, ญ)

ช (ญ, ช, ช)

ช

ญ (ญ, ช, ญ)

ญ

ช (ญ, ญ, ช)

ญ

ญ (ญ, ญ, ญ)

เขยนแซมเปลสเปซได คอ

{(ช ช ช) (ช ช ญ) (ช ญ ช) (ช ญ ญ) (ญ ช ช) (ญ ช ญ)

(ญ ญ ช) (ญ ญ ญ)}

( )

1. ให แทน เหตการณทบตรคนหวปเปนหญง

{(ญ ช ช) (ญ ช ญ) (ญ ญ ช) (ญ ญ ญ)}

( )

( )

ตอบ

2. ให แทน เหตการณทบตรคนสดทองเปนหญง

{(ช ช ญ) (ช ญ ญ) (ญ ช ญ) (ญ ญ ญ)}

( )

( )

ตอบ

3. ให แทน เหตการณทบตรทงสามคนเปนชาย

*(ช ช ช)+

( )

( )

ตอบ

4. ให แทน เหตการณทบตรคนหวปเปนหญง และบตรคนสดทองเปนชาย

*(ญ ช ช) (ญ ญ ช)+

( )

( )

ตอบ

ตวอยาง 7 สมตวอกษรจากค าวา SONGWIT ขนมา 1 ตว จงหาความนาจะเปนทจะได

1. สระ 2. พยญชนะ 3. S

วธท า แซมเปลสเปซ คอ * +

( )

1. ให แทน เหตการณทไดสระ

* +

( )

( )

ตอบ

2. ให แทน เหตการณทไดพยญชนะ

* +

( )

( )

ตอบ

3. ให แทน เหตการณทได

* +

( )

( )

ตอบ

ตวอยาง 8 จากการสอบถามนกเรยนมธยมศกษาตอนตนเปนรายคนจ านวน 50 คน วาชอบเรยน

วชาคณตศาสตรหรอไม

แสดงดงตาราง

ชน

ค าตอบ

ม.1 ม.2 ม.3 รวม

ชอบ 8 10 12 30

ไมชอบ 2 8 3 13

ไมแสดงความคดเหน 2 4 1 7

รวม 12 22 16 50

จงหาความนาจะเปนทสมนกเรยนขนมา 1 คน แลวจะได

1. นกเรยนชอบเรยนคณตศาสตร

2. นกเรยนไมชอบเรยนคณตศาสตร

3. เปนนกเรยนชน ม.3

4. เปนนกเรยนชน ม.3 ทไมแสดงความคดเหน

5. เปนนกเรยนชน ม.1 หรอ ม.2 ทไมชอบเรยนคณตศาสตร

วธท า จากโจทยจะได ( )

1. มนกเรยนทชอบเรยนคณตศาสตร 30 คน

ดงนน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทชอบเรยนคณตศาสตร

เทากบ

ตอบ

2. มนกเรยนทไมชอบเรยนคณตศาสตร 13 คน

ดงนน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทไมชอบเรยนคณตศาสตร

เทากบ

ตอบ

3. มนกเรยนชน ม.3 จ านวน 16 คน

ดงนน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนชน ม.3

เทากบ

ตอบ

4. มนกเรยนชน ม.3 ทไมแสดงความคดเหน 1 คน

ดงนน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนชน ม.3 ทไมแสดงความคดเหน

เทากบ

ตอบ

5. มนกเรยนชน ม.1 หรอ ม.2 ทไมชอบเรยนคณตศาสตร 2 + 8 10 คน

ดงนน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนชน ม.1 หรอ ม.2 ทไมชอบเรยน

คณตศาสตร

เทากบ

ตอบ

ตวอยาง 9 ก าหนดให แทน กลมของจ านวนตงแต 1 ถง 9 และ แทนกลมของจ านวนค

ถาสมจ านวนขนมา 1 จ านวนจงหาความนาจะเปนทจะได

1. จ านวนค

2. จ านวนค

3. จ านวนคหรอจ านวนค

วธท า ให * +

( )

* +

( )

1. ความนาจะเปนทจะไดจ านวนค ( )

( ) ( )

( )

ตอบ

2. ความนาจะเปนทจะไดจ านวนค ( )

( ) ( )

( )

ตอบ

3. ความนาจะเปนทจะไดจ านวนค หรอจ านวนค คอ ( ) นนเอง

ดงนน ( ) ( )

( )

ตอบ

ตวอยาง 10 โยนลกเตา 2 ลก จงหาความนาจะเปนทจะไดแตมรวมบนหนาลกเตานอยกวา 10

วธท า จากตวอยางทแลวมาจะได ( )

ให เปนเหตการณทไดผลรวมของแตมบนหนาลกเตาตงแต 10 ขนไป

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

( )

( )

( ) ( )

ดงนน ความนาจะเปนทจะไดแตมรวมบนหนาลกเตานอยกวา 10 เทากบ

ตอบ

7. ความนาจะเปนเกยวกบการตดสนใจ

ในชวตจรงมเหตการณบางเหตการณแมวาจะทราบวามโอกาสเกดขนมากนอยเพยงใด กอาจ

ไมเพยงพอทจะชวยในการตดสนใจได จ าเปนตองหาองคประกอบอนมาชวยในการตดสนใจ เชน

ผลตอบแทนของการเกดเหตการณซงหมายถง ผลตอบแทนทไดหรอผลตอบแทนทเสย

คาคาดหมาย ผลรวมของผลคณระหวางความนาจะเปนของเหตการณกบผลตอบแทนของ

เหตการณ

ตวอยาง 11 ในการเลนการพนนโยนเหรยญสองเหรยญ พรอมกน 1 ครง มกตกาวาถาเหรยญ

ทโยนออกหวทงค อสนจะจายเงนใหวสนต 8 บาท แตถาเหรยญออกเปนอยางอน

วสนตตองจายเงนใหอสน 2 บาท ในการเลนการพนนครงน ใครมโอกาสไดเงน

มากกวากน

แนวคด การโยนเหรยญ 2 เหรยญ พรอมกน 1 ครง

ผลลพธทงหมดทอาจเกดขน ม 4 แบบ คอ และ

ความนาจะเปนของเหตการณทเหรยญออกหวทงค

ความนาจะเปนของเหตการณทเหรยญไมออกหวทงค

ให ผลตอบแทนของเหตการณทวสนตไดเงน 8 บาท แทนดวย

ให ผลตอบแทนของเหตการณทวสนตเสยเงน 2 บาท แทนดวย

คาคาดหมาย ( ผลตอบแทนทได ความนาจะเปนของเหตการณทเหรยญออกหวทงค )

( ผลตอบแทนทเสย ความนาจะเปนของเหตการณทเหรยญไมออกหวทงค )

(

) (

)

.

/

บาท

นนคอคาคาดหมายทวสนตจะไดเงน เทากบ บาท แสดงวาวสนตจะไดเงนมากกวา อสน

สงเกต

ถาคาคาดหมายทค านวณไดเปนจ านวนลบ แสดงวา อสนจะไดเงนมากกวาวสนต

8. ความนาจะเปนของเหตการณ หรอเหตการณ

ขอตกลงเบองตน

ในเรองทจะกลาวตอไปน ผเรยนจะตองศกษาเรอง เซต ใหเขาใจเสยกอนเกยวกบการใช

สญลกษณ ในทนจะใชสญลกษณ

⋃ แทน เหตการณ หรอเหตการณ

⋂ แทน เหตการณ และเหตการณ

( ⋃ ) แทน ความนาจะเปนทจะเกดเหตการณ หรอเหตการณ

( ⋂ ) แทน ความนาจะเปนทจะเกดเหตการณ และเหตการณ

ตวอยาง 12 ก าหนดให * +

* +

* +

จงหา ( ⋃ )

วธท า จากก าหนดใหจะไดวา ( )

( )

( )

( )

( )

⋃ * +

( ⋃ )

( ⋃ ) ( ⋃ )

( )

ตอบ

แต ⋂ * +

( ⋂ )

( ⋂ )

( ) ( ) ( ⋂ )

ดงนนสรปไดวา ( ⋃ ) ( ) ( ) ( ⋂ )

จากการหาความนาจะเปนของ ⋃ แยกออกเปน 2 กรณ ดงน

กรณท 1 และ มสวนทเกดรวมกน ดงแผนภาพ

( ⋃ ) ( ) ( ) ( ⋂ )

กรณท 2 และ ไมมสวนทเกดรวมกน ดงแผนภาพ

( ⋃ ) ( ) ( )

ตวอยาง 13 นกเรยนหองหนงม 50 คน จากการสอบถามปรากฏวามนกเรยนเปนโรคตา 20 คน

เปนโรคฟน 25 คน และเปนโรคตาและโรคฟน 10 คน ถาสมนกเรยนในหองนขนมา

1 คน จงหาความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทเปนโรคตาหรอโรคฟน

วธท า จากโจทยจะได ( )

ให ( ) จ านวนนกเรยนทเปนโรคตา

( ) จ านวนนกเรยนทเปนโรคฟน

( ) จ านวนนกเรยนทเปนโรคตาและโรคฟน

จากสตร ( ⋃ ) ( ) ( ) ( ⋂ )

ความนาจะเปนทจะสมไดนกเรยนคนหนงทเปนโรคตาหรอฟน ตอบ

𝐸 𝐸

ตวอยาง 14 ก าหนดให * + เปนกลมของจ านวนคทอยใน

เปนกลมของจ านวนเฉพาะใน จงหา ( ⋃ ) และ ( ⋂ )

วธท า เขยนเซต ใหมจะได * +

( )

* +

( )

⋃ * +

( ⋃ )

( ⋃ )

⋂ * +

( ⋂ )

( ⋂ )

ตอบ

หมายเหต นอกจากวธนแลวยงใชสตรได คอ

( ⋃ ) ( ) ( ) ( ⋂ )

และ ( ⋂ ) ( ) ( ) ( ⋃ )

ตอบ

แฟกทอเรยล (Factorial)

ก าหนดจ านวนเตมบวก หรอ เรยกสญลกษณ วา

ซง ( )( )( )

เชน

( )

สงทตองจ า

ตวอยาง 15 จงหาคาของ

1.

2.

( )

( )

วธท า 1.

( )( )

ตอบ

2. ( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )

ตอบ

วธเรยงสบเปลยน (Permutation)

เปนการจดสงของโดยถอล าดบเปนส าคญ หรอเรยกวา การจดล าดบกได เชน จดอกษร

จดอกษร 3 ตว คราวละ 2 ตว จดไดคอ

จดอกษร 3 ตว คราวละ 3 ตว จดไดคอ

เขยน tree diagram ไดดงน

ถาให n แทนจ านวนวธเรยงสบเปลยนสงของ สง ทแตกตางกนคราวละ สง แลว

n

( )

ตวอยาง 16 1. จงหาคาของ 5

2. จงหาคาของ

วธท า 1. 5

( )

ตอบ

2.

( )

( )

( )

ตอบ

ตวอยาง 17 จดตวเลข คราวละ 3 ตว ไดกจ านวน

วธท า เปรยบเสมอนจดของ 6 สงทตางกนคราวละ 3 สง

จดได 6 จ านวน

( )

จดตวเลข 6 ตว ตางกนคราวละ 3 ตว จะไดเทากบ 120 จ านวน ตอบ

ตวอยาง 18 ในการเลอกประธานและรองประธานนกเรยนจากผสมคร 12 คน จะมวธเลอกไดกวธ

วธท า เลอกได 12

( )

วธ ตอบ

การจดของ สงทตางกนเปนวงกลม จดได ( ) วธ เชน จดคน 6 คน นง

รบประทานอาหารรอบโตะกลม

จดได ( )

วธ

การจดหม (Combination)

เปนการจดสงของโดยไมถอล าดบเปนส าคญ บางครงเรยกวา “การเลอก” เชน เรยงสบเปลยน

อกษร 3 ตว คราวละ

2 ตว เชน จด จดได

ซงการจดหมถอวา และ และ และ เหมอนกนไปแตละค

ดงนนจ านวนวธการจดหมจงนอยกวาวธเรยงสบเปลยน

ถาให n แทนจ านวนวธการจดหมสงของ สง ทแตกตางกนคราวละ สง แลว

n

( )

ตวอยาง 19 จงหาคาของ 8 และ

8

วธท า 8

( )

ตอบ

8

( )

ตอบ

จะเหนวา 8

8

หรอ 8

8

นนคอ n

n

เชน 100

100

10

10

ตวอยาง 20 เลอกผแทน 3 คน จากผสมคร 7 คน ไดกวธ

วธท า เลอกได 7 วธ

( )

วธ ตอบ

ตวอยาง 21 หยบลกบอล 2 ลก จากถงซงมลกบอลสตางกน 10 ลก จะเลอกหยบไดกวธ

วธท า เลอกได 10

วธ

( )

วธ ตอบ

ขอควรจ า n

n

n

ไพ (Poker ) 1 ส ารบ ม 52 ใบ แบงออกเปน

ก. 2 ส คอ สด า และสแดง สละ 26 ใบ

ข. 4 ชด คอ โพด า (spade) 13 ใบ

โพแดง (heart) 13 ใบ

ขาวหลามตด (diamond) 13 ใบ

ดอกจก (club) 13 ใบ

โพด า (สด า)

โพแดง (แดง)

ขาวหลามตด (สแดง)

ดอกจก (สด า)

ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

ถาน าสมประสทธของทกพจนมาเขยน จะได

รปสามเหลยมขางบนเรยกวา รปสามเหลยม ปาสกาล (Pascal’s triangle)

สตรการกระจาย ( )

( ) n

n

n

ตวอยาง 22 จงกระจาย ( )

วธท า ( ) 6

6

6

6

6

ตอบ

หมายเหต 6

6

6

ขอสงเกต ในขณะทเลขชก าลงของ ลดลงทละ 1 เลขชก าลงของ 2 เพมขนทละ 1 และจ านวน

พจนทกระจายไดจะมากกวาเลขชก าลงอย 1 เสมอ

ตวอยาง 23 จงกระจาย ( )

วธท า ( ) , ( )-

7 ( )

7 ( )

7 ( )

7 ( )

7 ( )

7 ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ตอบ

พจนทวไปของการกระจาย ( )

ให เปนพจนท ของการกระจาย ( )

n

ตวอยาง 24 จงหาพจนท 9 ของการกระจาย ( )

วธท า

12

ตอบ

ตวอยาง 25 จงหาพจนท 4 ของการกระจาย ( )

วธท า

11 ( ) ( )

( )( )

( )

ตอบ