Determinación de la ganancia máxima de una producción mensual

Serkovich Pascual, Yuri LisethDocente Asesor: Juan Carlos Durand

Universidad Privada del Norte (UPN-LIMA), Escuela de Ingeniería Civil

ResumenEl Siguiente trabajo trata acerca de un Empresa

llamada Compañía Minera Luren S.A qué se

dedica a la fabricación de Ladrillos silico

Calcáreos de diferentes tipos de las cuales son

usados bastante en Tabiquerías y Muros. A la vez

la empresa ha encontrado una problemática

principal que hay en el proceso de producción de

dos Tipos de ladrillo que son el TIPO P-10 y el de

TIPO P-12, por cual desea saber su nivel de

producción mensual de cada uno de ellos para así

obtener una Ganancia máxima mensual.

Para resolver esta problemática planteada por la

empresa, se ha visto conveniente tomar en cuenta

dos temas importantes de la matemática que son:

DERIVARAS PARCIALES y OPTIMIZACION DE

VARIAS VARIABLES, mediante las cuales se ha

modelado el problema y según los cálculos

matemáticos correspondientes se ha resuelto la

interrogante que tenía la Compañía,

encontrándose así el nivel de producción que le

va generar una ganancia máxima mensual.

Por último se ha visto necesario tener en cuenta

ciertas recomendaciones que le ayudara a la

empresa a mejorar su producción y a la vez que

se mantenga con una ganancia máxima.

I.- IntroducciónEn este trabajo se ha tomado en cuenta

como ejemplo a la Compañía Minera

Luren S.A, quienes se dedican a la

fabricación y comercialización de

ladrillos silicos calcáreos entre otros

productos de concreto.

Para empezar indicaremos la

problemática de la empresa, la cual se

tomara para el planteamiento y solución

de la misma, luego se mencionaran sus

objetivos generales y específicos.

En la segunda parte detallaremos su

historia, función, misión, visión, donde es

usado dicho producto y detalles del

Ladrillo Silico calcáreo, así como sus

características.

Por ultimo usaremos Las Derivadas

Parciales y la Optimización de Varias

variables para hallar la Ganancia Máxima

Mensual en base al nivel de producción.

Página 1

II.- Definición

1.- Problemática.-

La dificultad que se presenta en la

COMPAÑÍA MINERA LUREN para

hallar el nivel de producción que hay en

la fabricación de dos tipos de ladrillos

silico calcáreos y así ver la ganancia

máxima que se obtiene en base a dicha

producción o saber qué cantidades de

cada uno hay que vender mensualmente

para maximizar los beneficios y

determinar de ese modo cuál de los dos

productos les conviene fabricar mas

según dichos costos, es por ello que en

este caso veremos cómo usando algunos

principios matemáticos como Derivadas

parciales y Optimización de varias

variables, daremos solución a todas las

interrogantes de la empresa.

Entre las interrogantes que plantearemos

en esta ocasión serán los siguientes:

¿Cuál es el nivel producción de cada tipo

de ladrillo?

¿Cuál sería la ganancia máxima que se

obtendría en base a dicha producción?

¿Según los costos del producto, que

cantidades hay que vender para

maximizar el beneficio?

Para lo cual se ha propuesto que mediante

Derivadas parciales y Optimización de

varias variables vamos a hallar el Nivel

de producción de cada tipo de ladrillo, la

ganancia máxima y según los costos

determinar qué cantidades hay que

vender para maximizar el beneficio. De

esa manera la empresa podrá manejar un

equilibrio en la producción de sus

productos.

2.- Objetivos.-

2.1 Objetivo General

Determinar la ganancia máxima

que se obtiene entre dos tipos de

ladrillos silicos calcáreos tales

como el P-10 y P-12 realizados

mensualmente para hallar el nivel

de producción, y saber qué

cantidades de cada uno hay que

vender para maximizar el

beneficio

2.2 Objetivo Especifico

Hallar el nivel de producción que

proporciona una ganancia

Hallar el número de unidades que

hay que vender de cada producto

Página 2

3.- Justificación.-

Estamos realizando este trabajo con la

finalidad de poder darle solución al tema

productivo que hay en la empresa, y

definir la ganancia máxima que puede

obtener según un nivel de producción

mensual de cada Tipo de ladrillo

mencionado mediante cálculos, aplicando

los temas matemáticos.

El presente informe técnico, corresponde

al estudio de productividad mensual y

ganancias obtenidas.

Es objeto del presente informe mostrar

los trabajos realizados, así como los

resultados y conclusiones obtenidas, en el

estudio de producción con fines de hallar

el nivel de producción mensual y

determinar la ganancia máxima o poder

maximizar el beneficio.

4.- Fundamento Teórico.-

4.1 Definiciones básicas

Derivadas Parciales:

Las derivadas parciales es derivar una

función de una, dos o más con respecto a

una de ellas, manteniendo a las otras

como constantes. 

Ejemplo: Si existe F(x,y), entonces la

derivada parcial sería la derivada parcial

respecto de “X” y también la derivada

parcial respecto de “Y”. Si existieran más

variables, se sigue derivando de la misma

manera dependiendo el número de

variables que existan dentro del

planteamiento de una función.

Notación.-

Optimización de Variables:

La Optimización consiste en maximizar o

minimizar una función de dos o más

variables real eligiendo sistemáticamente

valores de entrada (tomados de un

conjunto permitido) y computando

el valor de la función. De forma general,

la optimización incluye el descubrimiento

de los "mejores valores" de alguna

función objetivo dado

un dominio definido, incluyendo una

variedad de diferentes tipos de funciones

objetivo y diferentes tipos de dominios.

Se debe tener presente también que la

variable que se desea minimizar o

Página 3

maximizar debe ser expresada como

función de otra de las variables

relacionadas en el problema y en otros

casos se pueden generar restricciones

para generar igualdad entre las variables

y así permita obtener dicha función.

Para poder maximizar o minimizar una

función se realiza las segundas derivadas

de la función y se evalúa los puntos

críticos, para luego ser traslada a la

matriz Hessiana:

Una vez trasladada a la Matriz Hessiana

se considera las siguientes restricciones

para determinar un máximo o mínimo

valor de la función.

4.2 Marco teórico

4.2.1. Historia

La Compañía Minera Luren S.A. se

constituyó en Octubre del año 1956 y fue

promovida y formada por el Ing.

Alejandro Garland Melián, en calidad de

Gerente General y posteriormente

Presidente del Directorio, con la

significativa colaboración como

inversionistas, de importantes empresas

constructoras y de destacados

profesionales.

Durante más de 50 años, se ha llevado

una política de innovación constante, la

cual ha permitido ser pioneros en todos

los productos de cartera actual y de los

productos y procesos constructivos que se

ha desarrollado a lo largo de su vida

empresarial.

En los inicios solo se dedicaron al rubro

de Materiales de Construcción,

produciendo su propia cal viva, insumo

principal en la fabricación de las unidades

sílico calcáreo, para lo cual se tuvo que

construir los primeros y pequeños hornos

de calcinación en base a la quema de

petróleo, así como las instalaciones de

molienda. Posteriormente, se aumentó

significativamente las instalaciones y

capacidades productivas, lo que les

permitió convertirse en uno de los

principales proveedores de cal del país.

Página 4

Hace más de 30 años, a solicitud del

Alcalde de Lima Arq. Eduardo Orrego se

aceptó el reto de producir ADOQUINES

para pavimentos denominados de

Concreto - Piedra, con la calidad que

fijaban las Normas Internacionales.

En el afán de encontrar nuevas técnicas

constructivas de la albañilería estructural

que aporten mejores soluciones a la

problemática habitacional que enfrenta el

país, hace más de 25 años se desarrolló

un sistema constructivo, económico y

seguro empleando BLOQUES

APILABLES denominados MECANO

para muros portantes de toda edificación.

Este sistema que implica un muro con

esqueleto de concreto armado

revolucionó la construcción de la

albañilería por su eficiente utilización,

sencillez y la gran rapidez que se obtiene

en el proceso, con una significativa

reducción de los costos. Posteriormente,

este sistema siguió evolucionando,

convirtiéndose en la Línea de Placas

Sílico Calcáreas P-7, P-10, P-12 y P-14,

para Muros Estructurales y Divisorios, la

cual goza actualmente de una aceptación

importante en el mercado de la

construcción.

Misión

Contribuir al desarrollo socioeconómico

del país a través del suministro de

productos que atiendan las necesidades

del sector construcción, minero e

industrial, cumpliendo permanentemente

con los ofrecimientos realizados

relacionados con calidad, cantidad,

oportunidad y servicio. Así mismo,

contribuir con el cuidado del medio

ambiente, evitando el uso indebido de las

tierras agrícolas para la fabricación de

unidades de albañilería de arcilla.

Visión

Ser reconocidos como líderes en calidad,

innovación y servicio de los productos

comercializados.

Uso

Las Placas P-7, P-10, P-12 y P-14 son

unidades sílico calcáreas especialmente

diseñadas para el uso en la construcción

de Muros de Tabiquería, es decir, muros

que solo servirán para dividir ambientes.

La principal ventaja de los muros

construidos con estos productos es la

factibilidad de poder ser empastados

directamente sin la necesidad de un

tarrajeo previo. De esta ventaja se

desprenden la mayoría de sus beneficios,

tales como: Menor costo directo, mayor

área Útil, mayor rapidez, eliminación de

Página 5

tarrajeos interiores y tarrajeos rayados,

menor peso, menor cantidad de

actividades, menor cantidad de personal,

obra más limpia y seca, menor

eliminación de material y menor acarreo

en obra, asegurando menores costos

indirectos. En otras palabras, se optimiza

todos los aspectos que tienen que ver con

la construcción de sus muros divisorios.

4.2.2. Descripción del Producto

Las Placas P-7, P-10, P-12 y P-14 son

unidades sílico calcáreas. El material

sílico calcáreo es una mezcla de cal,

agregados áridos y agua. El proceso se

inicial al mezclar la cal con la arena

extraída de nuestra cantera principal

ubicada en el cerro “Lomo de Corvina”

conjuntamente con el agua en el

Mezclador Principal. Esta mezcla reposa

durante un período de 3 horas en los silos

reactores para que la cal que es mezclada

en su estado “viva”, se hidrate al contacto

con el agua.

Posteriormente la mezcla es transportada

mediante fajas a un segundo proceso de

mezclado, donde se le agrega un árido

más grueso y el agua final del mezclado,

la que finalmente es llevada hacia las

diversas prensas, de fabricación y

tecnología 100% alemana.

En la prensa la mezcla es moldeada a

presión, lográndose las diversas unidades

sílico calcáreas que se ofrece, las mismas

que son manipuladas y colocadas en

carros plataforma para que puedan ser

trasladadas hasta el final del proceso.

Las unidades en “verde” son

inmediatamente trasladadas dentro de las

autoclaves, en las que permanecen

durante un período mínimo de 8 horas a

una presión de 16 atmósferas.

Transcurrido este proceso de

autoclaveado, el ladrillo está listo para ser

usado, no sin antes pasar por el proceso

de emparihuelado y enzunchado.

Figura 1

Figura 2

Características

Página 6

Las Placas P-7, P-10, P-12 y P-14 son

especialmente diseñadas para la

construcción de Muros de Tabiquería, es

decir, muros que sirven para dividir

ambientes. La principal ventaja de los

muros construidos con estos productos es

la factibilidad de poder ser empastados

directamente sin la necesidad de un

tarrajeo previo. De esta ventaja se

desprenden la mayoría de sus beneficios,

tales como: Menor costo directo, mayor

área Utilidad, mayor rapidez, menor peso,

menor cantidad de actividades, menor

cantidad de personal, obra más limpia y

seca, menor eliminación de material y

menor acarreo en obra. En otras palabras,

se optimiza todos los aspectos que tienen

que ver con la construcción de dichos

muros divisorios.

III.- Resultados

Para llevar a cabo la solución de la

Problemática, se consideró cierta

información:

Producción del mes de Mayo

3,000 Unds. De Tipo P-10

1,000 Unds. De Tipo P-12

Precio Unitario de Cada tipo de ladrillo

LADRILLO TIPO P-10 S/. 8

LADRILLO TIPO P-12 S/. 10

Producción para el mes de junio

X = Unds. Producidas de P-10

Y = Unds. Producidas de P-12

Tabla 1 Especificaciones Técnicas de Cada tipo

de Ladrillo

Planteamiento del Problema

1.- La Compañía Minera Luren S.A

determina que la ganancia o el beneficio

mensual que obtiene al producir X Unds.

De Ladrillo silico calcáreo P-10 y Y

Unds. De Ladrillo silico calcáreo P-12

esta denotado por “G”. Siendo esta la

Ganancia máxima que obtendrá según su

nivel de producción mensual.

a) Hallar el nivel de producción

mensual que proporciona una

ganancia

b) Determinar cuál sería la Ganancia

máxima mensual

Solución del problema

Página 7

1. Siendo la función de la Ganancia la

siguiente:

G(x,y) = 8x + 10y – (0.001) (x2+xy+y2)

– 10,000

a) Hallando el Nivel de Producción Mensual

# Primero sacaremos la derivada parcial

de la función G con respecto a “X” y “Y”

Gx(x, y) = 8 – (0.001) (2x+y)

Gy(x, y) = 10 – (0.001) (x+2y)

# Luego igualaremos a “0” y

resolveremos para hallar el punto crítico

que se analizara en la Matriz Hessiana.

*.8.–.(0.001).(2x+y).=.0

* 10 – (0.001) (x+2y) = 0

2X.+.Y.=.8,000

X + 2Y = 10,000

- Igualando 1 y 2 tenemos el siguiente

punto crítico que será evaluado:

X= 2,000 y Y=4,000

Donde X=2,000 unds. Del Ladrillo Tipo

P-10

Donde Y=4,000 unds. Del Ladrillo Tipo

P-12

- Luego

hallaremos

las

segundas

derivadas

parciales de la función G para

considerarlo en la Matriz Hessiana.

Siendo:

Gx(x, y) = 8 – (0.001) (2x+y)

Gy(x, y) = 10 – (0.001) (x+2y)

Obteniendo:

Gxx (x, y) = - 0,002

Gyy (x, y) = - 0,002

Gxy (x, y) = - 0,001

Entonces el nivel de producción mensual

del Ladrillo Tipo P-10 es de 2,000 Unds.

Y del Ladrillo Tipo P-12 es de 4,000

Unds.

b) Hallando el Beneficio Máximo Mensual

# Reemplazando en la Matriz Hessiana para ver si hay un máximo o un mínimo valor y Para ello se considerara lo siguiente:

Tabla 2 Matriz Hessiana

Reemplazando datos:

Página 8

Tabla 3 Restricciones para hallar el máximo

valor de Ladrillo

Según los resultados obtenidos en la

matriz Hessiana, podemos ver que la

Determinante H > 0 y que la Gxx < 0, por

lo tanto se concluye que hay un Máximo

Valor

De Acuerdo al Planeamiento inicial

obtenemos lo siguiente:

a) Se Concluye que el Nivel de

Producción mensual que proporciona

una Ganancia es cuando se produce

X=2,000 Unds del Ladrillo Tipo P-10

Y=4,000 Unds del Ladrillo Tipo P-12

Tabla 4 Nivel de Producción de cada Tipo de

ladrillo mensualmente

b) Según el Nivel de Producción mensual

de cada Tipo de ladrillo, se deduce que

la Ganancia máxima mensual es la

Siguiente:

G(x,y) = 8x + 10y – (0.001)(x2+xy+y2) – 10,000

Reemplazando:

GANANCIA MAXIMA ES S/. 18,000.00

IV.- ConclusionesEn primer lugar este trabajo nos ha

llevado a conocer más a fondo acerca de

los beneficios que se obtiene cuando se

trabaja algunas funciones matemáticas,

sobre todo ver que mediante ellos se

puede resolver diferentes tipos de

problemas matemáticos y en cualquier

ámbito empresarial etc.

En este trabajo se presentó la

Problemática principal que tenía La

Compañía Minera Luren s.a acerca de las

cantidades a producir mensualmente de

dos tipos de ladrillo que rotan más para

Página 9

-0.002 -0.001

H = = (0.000004) - (0.000001)

-0.001 -0.002 = 0,000003 > 0

El Gxx = -0.002 < 0

poder obtener una ganancia máxima, por

ello podemos concluir que en el momento

del análisis con respecto a su producción

ellos no habían considerado cierta

información necesaria para saber cuánto

deberían producir mensualmente de cada

uno.

El objetivo principal ha sido analizar el

proceso de producción y mediante los

cálculos matemáticos aplicados resolver

todas las interrogantes que la empresa

tenía acerca de su nivel de producción y

el beneficio máximo que obtendría en

base a ello.

Como conclusión final podemos resaltar

que la Aplicación de ciertos temas

matemáticos en este caso LAS

DERIVADAS PARCIALES Y

OPTIMIZACION DE VARIAS

VARIABLES son una gran herramienta

de trabajo que nos sirvió de ayuda para

poder definir, resolver y solucionar todas

las interrogantes que tenía la empresa

con respecto a cómo obtener una

ganancia máxima en base a una adecuada

producción del producto.

V. - Referencias

THOMAS, George B. (2006). Calculo

de una Variable: Valores

extremos y puntos de silla,

Máximos y Mínimos. México:

Pearson Educación.

RON, Larson y BRUCE, Edwards

(2010). Calculo 2 de Varias

variables: Optimización de dos

variables. China: Interamericano

Editores S.A.

Sanchez, Guillermo (2008) Funciones de

Varias variables. Departamento

de Economía. Recuperado de

http://diarium.usal.es /guillermo

Canek. Cálculo diferencial,

Optimización. Recuperado de

http://canek.uam.mx/?secc=2

Página 10

ANEXO IPlanta de la Compañía Minera Luren S.A

ANEXO IITipos de Ladrillo Silico Calcáreo

Página 11

ANEXO IIIModelo del ladrillo Silico Calcáreo

ANEXO IVModelo del Ladrillo Placa P-10

Página 12

Página 13