Fakulteta za strojništvo
VPLIV GEOMETRIJE KANALOV NA
IZBOLJŠANJE PRENOSA TOPLOTE
Diplomsko delo
Študent: Dejan PLOJ
Študijski program: Univerzitetni študijski program Strojništvo
Smer: Energetika in procesno strojništvo
Mentor: red. prof. dr. Leopold ŠKERGET
Somentor: doc. dr. Jure RAVNIK
Maribor, januar 2012
- III -
I Z J A V A
Podpisani Dejan PLOJ izjavljam, da:
je bilo predloženo diplomsko delo opravljeno samostojno pod mentorstvom red. prof.
dr. Leopolda ŠKERGETA in somentorstvom doc. dr. Jureta RAVNIKA ;
predloženo diplomsko delo v celoti ali v delih ni bilo predloženo za pridobitev
kakršnekoli izobrazbe na drugi fakulteti ali univerzi;
soglašam z javno dostopnostjo diplomskega dela v Knjižnici tehniških fakultet
Univerze v Mariboru.
Maribor, 11.1.2012 Podpis: ___________________________
- IV -
ZAHVALA
Zahvaljujem se mentorju red. prof. dr. Leopoldu
ŠKERGETU in somentorju doc. dr. Juretu RAVNIKU
za pomoč in vodenje pri opravljanju diplomskega dela.
Posebna zahvala velja staršem, ki so mi omogočili
študij in me motivirali.
- V -
VPLIV GEOMETRIJE KANALOV NA IZBOLJŠANJE PRENOSA
TOPLOTE
Ključne besede: laminarni notranji tok, mejna plast, toplotni prenosnik, računalniška
dinamika tekočin, Ansys
UDK: 532.5(043.2)
POVZETEK
V diplomskem delu je obravnavan laminarni tok hladilne tekočine skozi kanale toplotnega
prenosnika. S pomočjo računalniške dinamike tekočin sta izvedeni analiza in medsebojna
primerjava tokovnih in toplotnih razmer različnih geometrij kanalov. Izvedena je tudi
optimizacija, tako da je z obliko doseženo mešanje tekočine oziroma tanjšanje mejne plasti in
s tem izboljšanje prenosa toplote. Problem je najprej obravnavan časovno neodvisno v dveh
dimenzijah, nato časovno odvisno in na koncu še prostorsko. Na podlagi rezultatov
numeričnih simulacij je bilo podanih nekaj predlogov za izdelavo in laboratorijsko
preskušanje določenih izvedb toplotnih prenosnikov. Podane so tudi smernice za nadaljnje
numerične analize.
- VI -
INFLUENCE OF CHANNEL GEOMETRY ON THE ENHACEMENT OF
HEAT TRANSFER
Key words: laminar internal flow, boundary layer, heat exchanger, computational fluid
dynamics, Ansys
UDK: 532.5(043.2)
ABSTRACT
In this diploma work laminar flow of coolant through ducts of a heat exchanger is treated.
Analysis and comparison of flow and heat conditions between different duct geometries are
made using computational fluid dynamics. For the improvement of heat transfer an
optimisation of duct geometries is given so that fluid mixing or thinning of boundary layer is
achieved. At first the problem is considered as time independent two-dimensional, then as
time dependent and at last as three-dimensional. Based on the results of numerical
simulations a few suggestions for the development and testing of certain designs of heat
exchangers have been provided. Guidelines for further numerical analysis are given.
- VII -
KAZALO
1 UVOD ............................................................................................................................ - 1 -
1.1 OPIS SPLOŠNEGA PODROČJA DIPLOMSKEGA DELA ..................................................... - 1 -
1.2 OPREDELITEV PROBLEMA ......................................................................................... - 1 -
1.3 STRUKTURA DIPLOMSKEGA DELA ............................................................................. - 3 -
2 OPIS PROBLEMA ...................................................................................................... - 4 -
2.1 PREGLED STANJA OBRAVNAVANE PROBLEMATIKE .................................................... - 4 -
2.2 POSTOPEK IZDELAVE TOPLOTNIH PRENOSNIKOV ....................................................... - 4 -
3 PRENOSNI POJAVI IN RAČUNALNIŠKA DINAMIKA TEKOČIN .................. - 5 -
3.1 ZAKON OHRANITVE MASE ......................................................................................... - 6 -
3.2 ZAKON OHRANITVE GIBALNE KOLIČINE .................................................................... - 8 -
3.3 ZAKON OHRANITVE ENERGIJE ................................................................................... - 9 -
3.4 NAVIER-STOKESOVE ENAČBE ................................................................................. - 12 -
3.5 RAČUNALNIŠKA DINAMIKA TEKOČIN ...................................................................... - 14 -
4 NUMERIČNI PRERAČUN ENOSTAVNEGA TOPLOTNEGA PRENOSNIKA- 15 -
4.1 OPIS PROBLEMA IN GEOMETRIJA ............................................................................. - 15 -
4.2 RAČUNSKA MREŽA .................................................................................................. - 16 -
4.3 ROBNI POGOJI ......................................................................................................... - 17 -
4.4 ANALIZA REZULTATOV ........................................................................................... - 17 -
5 RAVNINSKI ČASOVNO NEODVISNI NUMERIČNI PRERAČUNI ................ - 21 -
5.1 OPIS PROBLEMA IN GEOMETRIJE KANALOV ............................................................. - 21 -
5.2 RAČUNSKE MREŽE .................................................................................................. - 21 -
5.3 ROBNI POGOJI ......................................................................................................... - 22 -
5.4 ANALIZA REZULTATOV ........................................................................................... - 25 -
6 RAVNINSKI ČASOVNO ODVISNI NUMERIČNI PRERAČUNI ...................... - 36 -
6.1 OPIS PROBLEMA IN GEOMETRIJE PRIMEROV ............................................................ - 36 -
6.2 RAČUNSKE MREŽE .................................................................................................. - 37 -
6.3 ROBNI POGOJI ......................................................................................................... - 38 -
- VIII -
6.4 ANALIZA REZULTATOV ........................................................................................... - 39 -
7 PROSTORSKI NUMERIČNI PRERAČUNI .......................................................... - 46 -
7.1 OPIS PROBLEMA IN GEOMETRIJE KANALOV ............................................................. - 46 -
7.2 RAČUNSKE MREŽE .................................................................................................. - 46 -
7.3 ROBNI POGOJI ......................................................................................................... - 48 -
7.4 ANALIZA REZULTATOV ........................................................................................... - 49 -
8 ZAKLJUČEK ............................................................................................................. - 60 -
8.1 DISKUSIJA ............................................................................................................... - 60 -
8.2 SKLEP ..................................................................................................................... - 61 -
9 SEZNAM UPORABLJENIH VIROV ...................................................................... - 62 -
- IX -
UPORABLJENI SIMBOLI
A – površina
kA – kontrolna površina
a – toplotna difuzivnost
b – širina plošče
pc – specifična toplota
hD – hidravlični premer
d – širina kanala
nd – premer notranjega kroga
zd – premer zunanjega kroga
E – notranja energija
e – specifična notranja energija
mf
– gostota masne sile
H – razdalja med ploščama
I – viri toplote
l – dolžina kanala
m – masa
m – masni pretok
N – število časovnih korakov
Kn – število kanalov
o – omočeni obseg
p – statični tlak
ip – relativni tlak na izstopu
Q – toplotni tok (toplotna moč)
q – gostota toplotnega toka
r
– vektor lege
IT – povprečna temperatura na izstopu
OT – temperatura okolice
ST – temperatura na steni
- X -
VT – povprečna temperatura na vstopu
T – povprečna temperatura
t – čas
u – specifična notranja kalorična energija
V – volumski pretok
kV – kontrolni volumen
mV – volumen masnega sistema
v – hitrost
v – povprečna hitrost
W – delo na enoto časa (moč)
tW – tehniško delo na enoto časa
W – delo viskoznih sil na enoto časa
– toplotna prestopnost
– povprečna toplotna prestopnost
– izviri
A – površinski izviri
V – volumski izviri
– dinamična viskoznost
– toplotna prevodnost
– Rayleighova trosilna funkcija
– gostota
ij – napetostni tenzor
ij – tenzor viskoznih napetosti
UPORABLJENE KRATICE
RDT – računalniška dinamika tekočin
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 1 -
1 UVOD
1.1 Opis splošnega področja diplomskega dela
Glavna dejavnost podjetja, v katerem sem opravljal obvezno študijsko praktično
usposabljanje, je proizvodnja elektroliznega aluminija in izdelava polizdelkov iz le-tega. Med
drugim izdelujejo tudi toplotne prenosnike s tehnologijo toplega valjanja. Ker se podjetje
usmerja tudi na področje izkoriščanja obnovljivih virov energije in ker je aluminij zelo dober
prevodnik toplote, se je porodila zamisel izdelovanja toplotnih kolektorjev za ogrevanje vode
in toplotnih prenosnikov za hlajenje fotovoltaičnih modulov. Za to je potreben toplotni
prenosnik s čim večjim izkoristkom toplotne moči pri danih tehnoloških omejitvah izdelave
kanalskih sistemov.
Ker je proces od zasnove do izdelave toplotnega prenosnika relativno dolg, smo skušali
najprej s pomočjo računalniške dinamike tekočin (RDT) priti do spoznanj o toku v kanalskem
sistemu prenosnika. Namen diplomskega dela je bil nato na podlagi teh spoznanj podati nekaj
predlogov za izdelavo in preskušanje različnih toplotnih prenosnikov z modificiranimi
kanalskimi sistemi.
Izračun Reynoldsovega števila pokaže, da smo se ukvarjali z laminarnim tokom
hladilne tekočine v kanalu, katerega problem je postopna razširitev toplotne mejne plasti po
celotnem prerezu kanala in dolgo toplotno vstopno območje pri viskoznih tekočinah. Ker smo
želeli čim bolj enakomerno temperaturo po preseku kanala in s tem boljši prenos toplote, se je
morala mejna plast vzdolž toka neprestano trgati oziroma zmanjševati. To smo skušali doseči
z obliko kanalskega sistema.
1.2 Opredelitev problema
V diplomski nalogi smo s pomočjo računalniške dinamike tekočin, ki uporablja numerične
metode za reševanje problemov, najprej modelirali enostavni enostransko napihnjen toplotni
prenosnik s kanalom v obliki črke U. S tem smo skušali potrditi ugotovitve, do katerih smo v
podjetju prišli med preskušanjem takšnega toplotnega prenosnika v laboratoriju. Za tem smo
modelirali tok hladilne tekočine v različnih dvostransko napihnjenih kanalih. Cilj
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 2 -
diplomskega dela je bil analizirati tok v le-teh ter s pridobljenimi spoznanji optimizirati
obliko kanalskega sistema toplotnega prenosnika, tako da:
je bila ohranjena čim večja površina prenosa toplote,
je bilo doseženo čim boljše mešanje hladilne tekočine v kanalih oziroma tanjšanje
debeline toplotne mejne plasti in s tem intenzivnejši prenos toplote,
ni bil presežen predvideni maksimalni tlačni padec med vstopom in izstopom hladilne
tekočine iz toplotnega prenosnika pri izbranem pretoku.
Ker bo končni prenosnik nekaj-krat večji od sprva modeliranega enostavnega toplotnega
prenosnika in ker je geometrija toplotnih prenosnikov, izdelanih po postopku toplega valjanja,
takšna, da imamo dolge kanale z majhnim hidravličnim premerom, bi za izdelavo numerične
mreže celotnega prenosnika potrebovali ogromno število elementov, kar pomeni veliko
računskega časa. Zato smo modelirali le posamezne kanale, najprej v ravnini, nato pa v treh
dimenzijah in analizirali tok ter prenos toplote skozi različne geometrijske oblike. Problem
smo najprej obravnavali kot časovno neodvisen, nato pa še preverili ali je časovno odvisen.
Pri optimizaciji kanalskih sistemov smo morali upoštevati tehnološke omejitve proizvodnje
toplotnih prenosnikov, ki nam podajajo minimalni radij zaokrožitve kanalov ter minimalno
razdaljo med kanali.
Za analiziranje tokovnih in toplotnih karakteristik toplotnega prenosnika so bile
izvedene numerične analize po metodi končnih volumnov. Modeliranje in preračun sta bila
izvedena v programskem paketu Ansys 13.0. Za zagotovitev natančnih rezultatov je bila v
diplomski nalogi izvedena verifikacija numeričnih modelov s pomočjo preverjanja
konvergence rezultatov glede na gostoto računske mreže.
V diplomskem delu so zaradi želje podjetja, kjer sem opravljal strokovno prakso,
nekateri podatki in rezultati zapisani v brezdimenzijski obliki. Prikazani so torej kvocienti
dejanskih vrednosti in konstantnega števila, ki pa ni navedeno. Tudi pri večini robnih pogojev
številčne vrednosti niso podane.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 3 -
1.3 Struktura diplomskega dela
Drugo poglavje zajema pregled stanja obravnavane problematike in kratek opis postopka
izdelave toplotnih prenosnikov.
V tretjem poglavju so opisane osnove prenosnih pojavov. Zapisane so tudi enačbe, ki
smo se jih posluževali za rešitev zastavljenih problemov, ter podane so osnove računalniške
dinamike tekočin in kratek opis metod, ki jih le-ta uporablja.
V četrtem poglavju je predstavljen numerični preračun enostavnega enostransko
napihnjenega toplotnega prenosnika s kanalom v obliki črke U. Predstavljeni so opis
problema, geometrija, numerična mreža, robni pogoji in analiza rezultatov. Po enakem
vrstnem redu so v naslednjih treh poglavjih predstavljene tudi ostale numerične analize.
Peto poglavje zajema ravninske časovno neodvisne numerične preračune različnih
geometrij kanalov. Med analizo rezultatov so opisane modifikacije geometrij in primerjava
dobljenih rezultatov.
V šestem poglavju so opisani časovno odvisni numerični preračuni. Najprej smo zaradi
kontrole robnih pogojev in numerične mreže problem poenostavili, da je preverjena pravilnost
rezultatov v skladu s splošno znanimi rešitvami drugih avtorjev, nato je časovno odvisno
simuliranih nekaj primerov iz petega poglavja.
V sedmem poglavju so predstavljeni tridimenzionalni numerični preračuni, kjer so
ponovno modelirani nekateri primeri geometrij iz petega poglavja. Opisana je analiza in
primerjava rezultatov.
Osmo poglavje v diskusiji in sklepu povzema pomen posameznih rezultatov ter jih
povezuje z zastavljenim problemom. Predstavljeni so tudi napotki za nadaljnje raziskave.
V devetem poglavju je naveden seznam uporabljenih virov.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 4 -
2 OPIS PROBLEMA
2.1 Pregled stanja obravnavane problematike
Tok tekočine, ki je v celoti ograjen s trdnimi stenami, je v strokovni literaturi imenovan
notranji tok. Ker je zaradi pogoste praktične uporabe izredno zanimiv in pomemben, je v
strokovni literaturi teoretično dodobra obdelan [2, 3, 4, 6]. Kljub temu pa obstajajo za
laminarne notranje tokove, s katerimi smo se ukvarjali v diplomskem delu, analitične in
empirične rešitve le v primerih relativno enostavnih geometrij. Tok v geometrijah kanalov, ki
smo jih obravnavali v diplomskem delu, zaradi zapletenosti matematičnih modelov ni rešljiv
v sklenjeni obliki, zato ga je potrebno obravnavati z numeričnimi metodami.
Toda numeričnih rešitev drugih avtorjev za tok predvidenega hladilnega medija skozi
prav takšne geometrije, kot smo jih obravnavali mi, nismo našli.
2.2 Postopek izdelave toplotnih prenosnikov
Podjetje izdeluje toplotne prenosnike po sistemu imenovanem Roll-Bond. Izdelani so iz dveh
plasti aluminijaste pločevine, med katerima so, z določenimi omejitvami, oblikovani poljubni
kanalski sistemi. Proizvodni proces izdelave takšnih prenosnikov je razdeljen na več faz. Dva
aluminijasta trakova se enakomerno odvijata iz kolutov in vodita drug nad drugim skozi
naprave za platirno valjanje na temperaturi tople predelave. Medtem se z grafitno pasto na
enega izmed aluminijastih trakov natisne oblika kanalskega sistema. Grafit lokalno prepreči
spojitev aluminijastih plošč, kar je potrebno za poznejše napihovanje. Nato surovo razrezane
zvaljane aluminijaste plošče potujejo na rekristalizacijsko žarjenje v komorno peč, za tem pa
na napihovanje vtisnjenih kanalov v hidravlične preoblikovalnike.
Podjetje izdeluje dve skupini toplotnih prenosnikov, enostransko napihnjene in
obojestransko napihnjene. Razlika je v prerezu profila kanalov, pri čemer so obojestransko
napihnjeni simetrično oblikovani, enostransko napihnjeni pa so na eni strani ravni ter na drugi
izbočeni oziroma so oblikovani le na nasprotni strani.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 5 -
3 PRENOSNI POJAVI IN RAČUNALNIŠKA DINAMIKA
TEKOČIN
Z zakoni ohranitve mase, gibalne in vrtilne količine, energije ter z drugim zakonom
termodinamike opišemo prenosne pojave v tekočinah in trdninah. Ti zakoni so neodvisni od
vrste in stanja snovi. Pri uporabi zakonov ohranitve ločimo dva termodinamična sistema:
zaprtega in odprtega. Pri zaprtem obravnavamo masni sistem s konstantno maso snovi, katere
stanje je določeno s končnim številom veličin stanja. Vse, kar je izven sistema, je okolica.
Sistem je ločen od okolice s poljubno zaključeno površino oziroma mejo sistema. Ograja
sistema se v splošnem lahko spreminja s časom, vendar mora ves čas ograjevati isto količino
snovi. V odprtih inženirskih in okoljskih sistemih nas le izjemoma zanima določena
konstantna masa sistema. Bolj nas zanima območje, skozi katerega teče tekočina. Pri analizi
odprtega sistema zato opazujemo določen volumen, ki se ujema z opazovanim inženirskim
oziroma okoljskim sistemom. Tak volumen imenujemo kontrolni volumen kV , ki je ograjen s
kontrolno površino kA .
V splošnem ločimo dva temeljna fizikalno-matematična modela ohranitvenih zakonov
prenosnih pojavov:
a) integralske enačbe ohranitvenih zakonov za kontrolni volumen,
b) diferencialne enačbe ohranitvenih zakonov,
in tri splošne pristope k reševanju pripadajočih fizikalno-matematičnih modelov:
a) analitične metode,
b) laboratorijski eksperiment s podobnostno in dimenzijsko analizo,
c) aproksimativno numerične metode računalniške dinamike tekočin.
Analiza prenosnih pojavov z integralskimi enačbami za kontrolni volumen temelji na
Reynoldsovem prenosnem teoremu [7]. Pristop je dovolj preprost, univerzalen in poceni,
inženirski praksi pa daje zadovoljive celostne odgovore. Diferencialni način je splošna analiza
prenosnih pojavov, pri čemer nas zanimajo podrobna porazdelitev funkcij polja, na primer
hitrosti, temperature, tlaka, koncentracije itd. Zaradi zapletenosti enačb dinamike prenosnih
pojavov je ta način omejen na reševanje preprostih problemov, vsaj pri analitičnem reševanju
enačb, tako da smo v splošnem vezani na numerično reševanje oziroma numerični
eksperiment. Laboratorijski eksperiment s podobnostno analizo oziroma z dimenzijsko
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 6 -
analizo je prav tako splošni način analize prenosnih razmer, vendar ga omejuje visoka
cena [8].
3.1 Zakon ohranitve mase
Zakon ohranitve mase je izpeljan na podlagi ugotovitve, da je masa masnega sistema
konstantna veličina
mV
konstdVt,rtm
in 0
m
m
VV
dVDt
D
Dt
Dm, (3.1)
kjer je r
položajni vektor, mV volumen masnega sistema, gostota tekočine in Dt/Dm
Stokesov snovski odvod za funkcijo mase tm , ki je definiran kot
mvt
m
Dt
Dm
, (3.2)
kjer je v
hitrost. Če v Reynoldsovi prenosni enačbi
kk
m
Ar
VV
AdvfdVftDt
DF (3.3)
upoštevamo enakosti mF in 1f , pri čemer je t,rFF
poljubna zvezna funkcija
kraja in časa, ki predstavlja določeno fizikalno veličino tokovnega polja, in m/Ff
intenzivna spremenljivka, izpeljemo
0
kk Ar
VAdvdV
t
, (3.4)
ki predstavlja integralsko obliko zakona ohranitve mase. Zapišemo ga lahko tudi v obliki za
mirujoči kontrolni volumen
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 7 -
0
kk AVAdvdV
t
. (3.5)
Povzamemo lahko, da je časovni prirastek mase v kontrolnem volumnu enak neto dotoku
mase prek kontrolne površine.
Ker v primeru stacionarnega toka velja 0 t/ , se enačba (3.5) poenostavi v obliko
0kA
Adv
, (3.6)
oziroma v obliki enodimenzijske aproksimacije iztoka in dotoka
i
iD
i
iI vAvA . (3.7)
Diferencialno obliko zakona ohranitve mase imenujemo kontinuitetna enačba. Izhajamo iz
integralske enačbe za mirujoči kontrolni volumen (3.5), pri kateri površinski integral
prevedemo v volumski integral z Gaussovim stavkom
0
dVv
tkV
. (3.8)
Ker je kontrolni volumen poljuben, mora biti integrand enačbe (3.8) enak nič
0
v
t
(3.9)
oziroma v obliki kartezijevih pravokotnih koordinat
0
z
v
y
v
x
v
t
zyx . (3.10)
Iz zakona ohranitve (3.9) izhaja, da sta polji gostote t,r
in hitrosti t,rv
medsebojno
odvisni. Da bi bil v vsaki točki tokovnega polja izpolnjen pogoj zveznosti, morata funkciji
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 8 -
t,r
in t,rv
zadoščati kontinuitetni enačbi. Za stacionarni tok stisljive tekočine
( 0 t/ ) se enačba (3.9) poenostavi v
0 v
. (3.11)
Najpreprostejšo obliko kontinuitetne enačbe dobimo za tok nestisljive tekočine
( konst 0 )
0 v
, (3.12)
ki velja za stacionarne in nestacionarne tokove.
3.2 Zakon ohranitve gibalne količine
Osnova izpeljave diferencialne oblike zakona ohranitve gibalne količine za infinitezimalni
tekočinski sistem je snovska oblika diferencialne enačbe ohranitve
j
jx
fv
t
f
Dt
Df
, (3.13)
ki jo lahko zapišemo za gibalno količino vf
AVDt
vD
, (3.14)
kjer so volumske sile, npr. gravitacija
gfmV
, (3.15)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 9 -
pri čemer je mf
gostota masne sile, medtem ko so površinske sile podane z napetostnim
tenzorjem
ji
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
A . (3.16)
S pomočjo volumskih (3.15) in površinskih (3.16) sil zapišemo enačbo (3.14) v vektorski
obliki
pfvvt
v
Dt
vDm , (3.17)
kjer je tenzor viskoznih napetosti.
3.3 Zakon ohranitve energije
Zakon ohranitve energije masnega sistema izpeljemo iz prvega glavnega zakona
termodinamike. Dobimo zakon ohranitve energije za mirujoči kontrolni volumen
kkm
m
AVVV
AdvedVt
eWQdVe
Dt
D
Dt
DE , (3.18)
kjer je E notranja energija, e specifična notranja energija, Q toplotni tok in W delo na enoto
časa (moč).
Moč viskoznih sil W je odvisna od delovanja viskoznih napetosti (normalnih in
strižnih) na kontrolni površini in je enaka produktu posameznih viskoznih napetosti, podanih
s tenzorjem viskoznih napetosti in pripadajočih komponent hitrosti
AdvWd , (3.19)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 10 -
oziroma v integralski obliki na celotno kontrolno površino
kA
AdvW . (3.20)
Energijski stavek za kontrolni volumen V lahko definiramo kot
Adve
pdV
t
eWWQ
kk AVt
, (3.21)
oziroma v obliki
kk AVt Advgz
vhdVgz
vu
tWWQ
22
22
, (3.22)
kjer smo upoštevali izraz za notranjo energijo gzv
ue 2
2
in definicijo za entalpijo
/puh , pri čemer je tW tehniško delo na enoto časa in u specifična notranja kalorična
energija.
Pri izpeljavi diferencialne oblike energijske enačbe izhajamo iz integralske enačbe
zakona ohranitve energije za kontrolni volumen (3.21), ki jo zapišemo za elementarni
kartezijev kontrolni volumen dzdydxdV
dzdydxvz
vy
vx
et
WQ zyx
, (3.23)
pri čemer smo upoštevali, da infinitezimalno tehnično delo ne obstaja 0tW in /pe .
Z upoštevanjem kontinuitetne enačbe (3.10) dobimo
dzdydxvppvDt
DeWQ
. (3.24)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 11 -
Izpeljemo lahko izraz za neto tok viskoznega dela W
dzdydxvW
, (3.25)
oziroma v primernejši obliki
j
iijijij
x
vvv
, (3.26)
kjer zadnji člen imenujemo viskozna disipativna ali tudi Rayleighova trosilna funkcija
j
iij
x
v
. (3.27)
Iz gibalne enačbe (3.17) izhaja odvisnost
pf
Dt
vDvv mij
. (3.28)
Ob nadaljnji izpeljavi sledi zapis enačbe ohranitve toplotne energije, izražene s temperaturo
kot odvisno spremenljivko, ki se najpogosteje uporablja pri reševanju problemov prenosa
toplote v toku tekočine
ITTv
t
Tc
Dt
DTc pp
, (3.29)
kjer so I viri toplote in toplotna prevodnost.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 12 -
3.4 Navier-Stokesove enačbe
Iz splošne gibalne enačbe (3.17) in konstitutivnega modela oziroma zakona tečenja
ijkkijijijijij pp 3
22 (3.30)
izpeljemo Navier-Stokesovo enačbo gibanja newtonske viskozne in stisljive tekočine v
komponentni obliki
z
v
x
v
zx
v
y
v
yv
x
v
xx
pf
Dt
Dv xzyxxmx
x
3
22 ,
x
v
y
v
xy
v
z
v
zv
y
v
yy
pf
Dt
Dv yxzyy
my
y
3
22 ,
y
v
z
v
yz
v
x
v
xv
z
v
zz
pf
Dt
Dv zyxzzmz
z
3
22 .
(3.31)
Enačba (3.31) tvori skupaj s kontinuitetno enačbo
0
v
t
, (3.32)
energijsko enačbo
ITDt
DTc p
(3.33)
in enačbami stanja
T,p , T,pcc pp , T,p , T,p (3.34)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 13 -
sklenjen nelinearen sistem enačb z neznankami ,c,,,T,p,v,v,v pzyx .
V primeru toka tekočine s konstantnimi snovskimi lastnostmi 000 a,, , kot smo jih
predpostavili v primerih diplomskega dela in z zanemarljivo viskozno disipacijo, je naslednji
zaključeni sistem enačb z neznankami T,p,v,v,v zyx na primer podan v kartezijevem
tenzorskem zapisu
0
i
i
x
v,
jj
i
i
mi
j
ijii
xx
v
x
pf
x
vv
t
v
Dt
Dv
2
0
0
1, (3.35)
00
2
0
pjj c
I
xx
Ta
Dt
DT
,
ki za znane začetne in robne pogoje v celoti definira gibanje viskozne tekočine [7]. V
primerih diplomskega dela smo zanemarili tudi vzgon, tako da je člen mif v gibalni enačbi
enak nič in smo reševali sistem enačb
0
i
i
x
v,
jj
i
ij
ijii
xx
v
x
p
x
vv
t
v
Dt
Dv
2
0
0
1, (3.36)
00
2
0
pjj c
I
xx
Ta
Dt
DT
.
Navier-Stokesove enačbe načeloma v celoti opisujejo tako laminarne kot turbulentne
tokove. Z neposrednim simuliranjem turbulence razumemo numerično reševanje Navier-
Stokesovih enačb. Ker pa je turbulenca vedno prostorski in nestacionarni pojav, je tak način
reševanja turbulentnega toka praktično neprimeren, zato se za popis le-tega v splošnem
uporabljajo turbulentni modeli. Ker pa smo v diplomskem delu obravnavali le laminarne
tokove, turbulentni modeli niso bili potrebni.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 14 -
3.5 Računalniška dinamika tekočin
Računalniška dinamika tekočin je računalniško orodje za simulacijo obnašanja sistemov, ki
vključujejo tok tekočin, prenos toplote in druge povezane fizikalne procese. Deluje na podlagi
reševanja enačb ohranitvenih zakonov (v posebni obliki) in enačb stanja v interesnem
območju oziroma kontrolnem volumnu s predpisanimi robnimi pogoji na mejah tega območja.
Nabor teh enačb imenujemo Navier-Stokesove enačbe in jih razumemo kot celotni nelinearni
sistem parcialnih diferencialnih enačb osnovnih zakonov ohranitve mase, gibalne količine in
energije. Te enačbe nimajo splošne analitične rešitve, ampak se lahko diskretizirajo in
rešujejo z numeričnimi metodami. Diskretizacija pomeni opis območja reševanja z elementi
in mrežnimi točkami, ki kot skupek tvorijo računsko mrežo [1].
Obstaja več različnih metod za reševanje zgoraj omenjenih enačb, ki jih RDT-orodja
uporabljajo. Najbolj pogosta in v programu Ansys CFX uporabljena je metoda končnih
volumnov. Ta program smo uporabili za reševanje problemov diplomskega dela.
Pri metodi končnih volumnov je interesno področje razdeljeno na majhna podobmočja,
imenovana kontrolni volumni. Enačbe so diskretizirane in se rešujejo iterativno za vsak
kontrolni volumen posebej. Kot rezultat dobimo približno vrednost vseh spremenljivk v
določenih točkah čez interesno področje in s tem celotno tokovno sliko. Metoda končnih
volumnov je podrobneje opisana v številni literaturi, med drugim tudi v [9].
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 15 -
4 NUMERIČNI PRERAČUN ENOSTAVNEGA
TOPLOTNEGA PRENOSNIKA
4.1 Opis problema in geometrija
Problematiko laminarnega toka tekočine v toplotnih prenosnikih smo opazili že pri prvem
laboratorijskem preskušanju enostavnega enostransko napihnjenega toplotnega prenosnika s
potekom kanala v obliki črke U (slika 4.1). Z rumeno barvo je na sliki označena tekočina,
okrog nje je aluminij.
Slika 4.1: Geometrija enostavnega toplotnega prenosnika
Z zgornje strani je bil prenosnik obsevan z reflektorji, ki so bili med seboj oddaljeni
tako, da je bil le-ta čim enakomerneje ogrevan. Vanj je bila skozi levi kanal na sliki 4.1
dovedena voda, ki smo ji pred vstopom izmerili temperaturo in tlak, na desni, izstopni strani,
pa pretok.
Po določenem času, ko so se temperaturne razmere po zgornji površini prenosnika
ustalile, smo na več točkah vzdolž kanala izmerili temperaturo. Ugotovili smo, da je bila le-ta
na zgornji površini vzdolž kanala na določeni dolžini za zavojem nižja. Ker se je temperatura
vzdolž kanala zaradi segrevanja vode v prenosniku sicer zviševala, smo sklepali, da se v
zavoju hladna sredica premeša s toplo tekočino ob steni kanala, kar vpliva na znižanje
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 16 -
temperature na površini toplotnega prenosnika. Ugotovitev smo želeli potrditi z numeričnimi
metodami računalniške dinamike tekočin.
4.2 Računska mreža
Programski paket Ansys uporablja aproksimativno metodo končnih volumnov, ki najprej
zajema diskretizacijo prostorskega področja z uporabo mreže. Mreža se uporablja za
izgradnjo končnih volumnov, v katerih poteka numerično reševanje sistema ohranitvenih
enačb (gibalne, kontinuitetne in energijske) [1].
Na sliki 4.2 je prikazana najgostejša generirana računska mreža, ki ima približno 2,6
milijonov elementov. V območju mejne plasti ob steni je mreža zgoščena s prizmatičnimi
elementi. Predhodno smo preračun izvedli na dveh redkejših mrežah ter opazili podobne
rezultate pri prikazani najgostejši mreži in mreži s približno polovičnim številom elementov.
Mreža z 0,5 milijoni elementov je bila preredka.
Slika 4.2: Računska mreža enostavnega toplotnega prenosnika
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 17 -
4.3 Robni pogoji
Za numerično reševanje transportnih enačb (gibalne, kontinuitetne in energijske) je potrebno
vnaprej določiti vrednosti določenih parametrov (hitrosti, tlaka, temperature…) na robnih
površinah računskega področja. Zraven teh vrednosti je za ustrezen potek izračuna potrebno
določiti tudi vrsto drugih parametrov, na primer turbulentni model, model prenosa toplote,
kriterij konvergence itd.
Ker smo s pomočjo RDT želeli potrditi dobljene rezultate laboratorijskega poskusa, smo
robne pogoje predpisali glede na izmerjene vstopne meritve pri preskušanju toplotnega
prenosnika. Problem smo poenostavili tako, da smo namesto sevanja reflektorjev na zgornjo
površino predpisali le povprečno gostoto toplotnega toka zgq . Zanemarili smo tudi sevanje
toplotnega prenosnika v okolico. Na vseh površinah v stiku z okolico smo predpisali le
toplotno prestopnost in podali temperaturo okolice OT . Na izstopnem kanalu smo podali
relativni tlak ip , na vstopnem pa povprečno normalno hitrost v in temperaturo vstopne
tekočine VT . Le-ta je bila najprej voda, nato pa smo vnesli še podatke za zmes hladilne
tekočine Tyfocor L-a in vode ter primerjali dobljene rezultate. V obeh primerih smo
predpisali enako povprečno vstopno hitrost. Reynoldsovo število, pri katerem smo za
karakteristično dimenzijo uporabili hidravlični premer kanala, je bilo v prvem primeru
1167Re , v primeru zmesi hladilne tekočine in vode pa zaradi večje viskoznosti 190Re .
Vzgon smo zanemarili in problem obravnavali kot časovno neodvisen.
4.4 Analiza rezultatov
Slika 4.3 prikazuje temperaturne konture po greti površini za primer, kjer je vstopna tekočina
voda. Pogled je s spodnje strani, da se vidi potek kanala. Skozi zgornji kanal na sliki je torej
vstop hladne vode. Opazimo lahko, da temperatura narašča vzdolž kanala vse do zavoja, kjer
ponovno pade. Na določeni dolžini za zavojem je temperatura nižja od temperature pred
zavojem. Podobne rezultate smo dobili tudi pri laboratorijskih meritvah.
Računalniška dinamika tekočin nam omogoča podrobnejši vpogled v fizikalne razmere
znotraj sistema, kar pri preprostih laboratorijskih poskusih ni zmeraj mogoče. Na sliki 4.4, ki
prikazuje hitrostne tokovnice vode v zavoju, vidimo, da le-te ne potujejo gladko skozi zavoj,
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 18 -
ampak se prepletajo. Če pogledamo hitrostni potek na sliki 4.5, opazimo, da se popolnoma
razvit hitrostni profil v zavoju pretrga, nato pa se komaj na približno polovici dolžine
povratnega kanala spet formira (na sliki je prikazana le tretjina kanala).
Slika 4.3: Temperaturne konture po greti površini s pogledom od spodaj
Slika 4.4: Hitrostne tokovnice v zavoju
Slika 4.5: Hitrostni potek vode 1 mm pod greto površino
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 19 -
Poglejmo še temperaturni potek, prikazan na sliki 4.6. Sedaj imamo pred vstopom v
zavoj še ne popolnoma razvit temperaturni profil, ki se v zavoju pretrga. Toplejša plast ob
robu kanala in hladnejša sredica se v zavoju premešata, za tem pa se mejna plast postopoma
ponovno debeli. Ker je Prandtlovo število 16,Pr , izračunano po enačbi
/cPr p , (4.1)
kjer so dinamična viskoznost, pc specifična toplota in toplotna prevodnost tekočine,
odčitane pri temperaturi 25T °C, je območje razvijanja toplotne mejne plasti toliko daljše
od razvijanja hitrostne mejne plasti, da mejna plast do konca kanala še ne zavzame celotnega
prereza kanala.
Slika 4.6: Temperaturni potek vode 1 mm pod greto površino
Zadnje tri slike torej potrjujejo predvidevanja, da je v zavoju prišlo do trganja mejne
plasti in s tem do mešanja tekočine. Posledica je bila nižja temperatura vode v mejni plasti ob
steni kanala, s tem pa večja temperaturna razlika med steno in mejno plastjo tekočine. Zaradi
tega se je v zavoju povečal toplotni tok med aluminijem in tekočino v kanalu, kar prikazuje
slika 4.7. Pozitivna vrednost gostote toplotnega toka pomeni tok v področje hladilne tekočine.
Na površini aluminija je temperatura na tem mestu posledično padla. Za primerjavo so na
spodnji polovici slike ponovno prikazane temperaturne konture po greti površini, tokrat v
pogledu od zgoraj. Vstop hladne vode je na sliki 4.7 skozi spodnji kanal.
Podobne rezultate smo dobili tudi v primeru, ko smo v modelu zamenjali vodo z zmesjo
hladilne tekočine in vode. Popolnoma razvit hitrostni profil se je zaradi nižjega
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 20 -
Reynoldsovega števila formiral veliko hitreje, kar prikazuje slika 4.8. Ker pa je pri
temperaturi 25T °C Prandtlovo število zmesi 550,Pr , se popolnoma razvit temperaturni
profil ponovno ni formiral.
Slika 4.7: Primerjava gostote toplotnega toka na strani vode (zgoraj) in temperaturnih kontur
po greti površini (spodaj) s pogledom od zgoraj
Slika 4.8: Primerjava hitrostnega poteka med vodo (zgoraj) ter zmesjo hladilne tekočine in
vode (spodaj) s pogledom od spodaj
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 21 -
5 RAVNINSKI ČASOVNO NEODVISNI NUMERIČNI
PRERAČUNI
5.1 Opis problema in geometrije kanalov
Kot je že zapisano v uvodu, smo zaradi velikosti toplotnega prenosnika obravnavali le
posamezne kanale. Geometrijo simetrično dvostransko napihnjenih kanalov toplotnega
prenosnika smo zaradi hitrejšega preračunavanja nadalje poenostavili tako, da smo kanale
navidezno vzdolžno prerezali in obravnavali dvodimenzionalni tok. Predvidevali smo, da bo
optimizacija pri teh poenostavitvah prinesla pozitivne rezultate tudi v realnih primerih.
Zavedamo se seveda možnosti odstopanja rezultatov.
Začeli smo s preprostim ravnim kanalom, nato pa na podlagi spoznanj o toku
nadaljevali s spremenjenimi geometrijami kanalov. Pri vseh kanalih smo ohranili enak premer
oziroma enako širino kanalov d in enako končno dolžino l . Geometrije kanalov so razvidne
iz hitrostnih in temperaturnih potekov v analizi rezultatov tega poglavja.
Kljub temu da je bil v tem koraku problem obravnavan dvodimenzionalno, smo zaradi
numerične metode, ki jo uporablja programski paket Ansys, morali pripraviti
tridimenzionalne modele kanalov. To smo storili s programskim paketom Catia, nato pa
modele uvozili v program Ansys DesignModeler, kjer smo jih po potrebi dodatno obdelali.
Modelirali smo samo tekočinski del, saj smo se v teh primerih osredotočili le na tokovne in
toplotne razmere hladilne tekočine v različnih kanalih.
5.2 Računske mreže
V sklopu programskega paketa Ansys 13.0 je program Ansys Meshing, s katerim je kreiranje
računske mreže zelo avtomatizirano. Ker smo problem obravnavali dvodimenzionalno, so
imele mreže pri vseh kanalih v tem poglavju v tretji dimenziji samo en kontrolni volumen, kot
je prikazano na sliki 5.1. Zgostili smo jih na podlagi predhodno pridobljenih izkušenj.
Dodatna zgostitev je bila potrebna ob stenah kanalov, kjer se pričenja tvoriti mejna plast.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 22 -
Slika 5.1: Računska mreža ravnega kanala
5.3 Robni pogoji
Da bi numerični preračuni potekali čim hitreje, smo v tem poglavju obravnavali vse primere
kot časovno neodvisne. Za hladilno tekočino smo uporabili homogeno zmes vode in Tyfocor
L-a ter v nastavitve vstavili potrebne podatke o lastnosti zmesi. Predpostavili smo, da ima
tekočina nespremenljive snovne lastnosti in da so kanalski sistemi popolnoma odzračeni, tako
da imamo znotraj kanalov samo enofazno področje. Vzgon smo zanemarili. Na robovih
oziroma stenah kanalov smo v vseh primerih predpisali enako temperaturo 25ST °C, da smo
v dobljenih rezultatih lahko primerjali toplotne moči posameznih kanalov. Temperatura
vstopne tekočine je bila 20VT °C. Na steni smo predpisali hitrost tekočine 0v . Na
izstopni strani smo predpisali relativni tlak 0ip Pa. Na zgornji in spodnji površini kanalov
(iz slike 5.1) smo predpisali simetrijo, kar pomeni, da smo obravnavali tok med dvema
neskončnima vzporednima ploščama, poznan kot ravninski Poiseuillev tok [7].
Ker smo želeli kljub poenostavitvi toka v kanalu doseči primerljive rezultate z realnim
tridimenzionalnim tokom, smo morali po teoriji podobnosti [7] zraven geometrijske
podobnosti enačiti tudi Prandtlovo in Reynoldsovo število notranjega toka v ceveh ter
ravninskega toka. Reynoldsovo število za notranji tok v kanalih nekrožnega prereza smo
izračunali po enačbi
hD Dv
Re 3 , (5.1)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 23 -
kjer je gostota tekočine, Dv3 povprečna hitrost v tridimenzionalnem kanalu, dinamična
viskoznost in hD hidravlični premer, ki je definiran kot
o
ADh
4, (5.2)
kjer je A površina prereza in o omočeni obseg kanala. Hidravlični premer pri toku med
dvema neskončnima vzporednima ploščama pa je enak dvakratni razdalji med ploščama,
HHb
Hblim
o
AD
bh
2
22
44, (5.3)
kjer je b širina plošče v smeri, ki je v tem primeru neskončna, in H razdalja med ploščama,
ki je v našem primeru premer realnega kanala oziroma širina dvodimenzionalnega kanala
( dH ). Reynoldsovo število pri ravninskih primerih smo torej izračunali po enačbi
dvRe D 22 , (5.4)
kjer je Dv2 povprečna hitrost tekočine v dvodimenzionalnem kanalu oziroma ravninskem
primeru.
Da bi izračunali povprečno hitrost v realnih kanalih, smo morali najprej predpostaviti
delovni pretok hladilne tekočine skozi toplotni prenosnik in ga deliti s številom pretočnih
kanalov, ki se lahko izdelajo na določeno širino prenosnika. Tako smo zaradi zasnove
toplotnega prenosnika (slika 5.2) ocenili pretok tekočine skozi en kanal. Ker je premer
vstopnega kanala toliko večji od pretočnih kanalov, smo v tem koraku zanemarili različne
hitrosti v pretočnih kanalih, ki se pojavijo zaradi tlačnega padca vzdolž dovodnega kanala.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 24 -
Slika 5.2: Prikaz zasnove toplotnega prenosnika
Ker smo med optimizacijo toplotnega prenosnika spreminjali geometrijo pretočnih
kanalov, se je na določeno širino toplotnega prenosnika (ki bo pri vseh primerih enaka) zaradi
geometrije in tehnoloških omejitev proizvodnje spreminjalo število kanalov. Posledično se je
od primera do primera spreminjala povprečna hitrost v posameznih kanalih, ki smo jo
izračunali po enačbi
1Vn
V
K
in
A
Vv D
13
, (5.5)
kjer je V volumski pretok skozi celotni toplotni prenosnik (v vseh primerih smo predpostavili
enakega), Kn število kanalov na širino toplotnega prenosnika, 1V volumski pretok skozi en
pretočni kanal in A površina prereza posameznega kanala.
Povprečno vstopno hitrost pri dvodimenzionalnih primerih smo torej izračunali tako, da
smo izenačili enačbi (5.1) in (5.4) ter izrazili hitrost
d
Dvv hD
D
2
3
2 . (5.6)
Tako smo predpisali vse potrebne robne pogoje za numerični preračun.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 25 -
5.4 Analiza rezultatov
Za medsebojno primerjavo različnih geometrij kanalov je bilo najprej potrebno določiti nekaj
kriterijev, na podlagi katerih smo ocenjevali učinkovitost posamezne geometrije. Da bi
izboljšali prenos toplote, smo želeli z obliko kanalov doseči čim boljše mešanje hladilne
tekočine oziroma tanjšanje mejne plasti. Ker zaradi laminarnega toka mešanje ni bilo izrazito,
smo morali poiskati pokazatelje, na podlagi katerih smo sklepali o intenziteti mešanja. V
primeru ravnega kanala je imel temperaturni profil na izstopu značilno obliko za laminarni
tok, prikazano na sliki 5.3.
Slika 5.3: Temperaturni profil na izstopu ravnega kanala
Maksimalna temperatura, enaka predpisani temperaturi stene ST , je bila torej ob obeh
robovih, minimalna temperatura pa v sredini kanala. Z mešanjem smo želeli doseči čim višjo
minimalno temperaturo oziroma čim manjšo razliko med maksimalno in minimalno
temperaturo, s tem pa tudi višjo izstopno povprečno temperaturo, vendar je med primerjavo
različnih geometrij kanalov z omenjenimi kriteriji potrebno pozornost posvetiti tudi različni
vstopni hitrosti ter različni dolžini kanalov zaradi same geometrije (kanal z zavoji je na primer
daljši od ravnega). Za medsebojno primerjavo smo izračunali tudi toplotno moč in povprečno
toplotno prestopnost posameznega kanala, pri čemer smo zanemarili vpliv vstopnega
območja, v katerem je izračunana gostota toplotnega toka nepravilna. Če bi želeli napako
odpraviti, bi morali simulirati celotne toplotne prenosnike, katerih zasnova je prikazana na
sliki 5.2. Ker pa je vstopno območje zelo kratko in v vseh primerih približno enake dolžine,
pri relativni primerjavi kanalov napaka ni velika.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 26 -
Toplotno moč Q posameznega kanala smo izračunali po enačbi
SS AqdAqQ , (5.7)
kjer je q povprečna gostota toplotnega toka med steno in hladilno tekočino (izračuna jo
programski paket Ansys) in SA površina stene, na kateri smo predpisali temperaturo stene
ST . Ker pa je povprečna gostota toplotnega toka enaka
)TT(q S , (5.8)
smo lahko izračunali tudi povprečno toplotno prestopnost med steno in hladilno tekočino,
tako da smo v enačbi (5.8) izrazili
)TT(
q
S , (5.9)
kjer je T povprečna temperatura med vstopom in izstopom hladilne tekočine iz kanala,
izračunana po enačbi
2
IV TTT
, (5.10)
kjer je VT temperatura na vstopu in IT povprečna temperatura na izstopu.
Rezultati so prikazani v preglednici 5.1. Zraven vstopnih hitrosti ter tlačnih padcev med
vstopom in izstopom hladilne tekočine iz kanalov so prikazani prej omenjeni kriteriji, na
podlagi katerih smo primerjali različne geometrije kanalov med seboj. Hitrosti in tlačni padci
so zapisani v brezdimenzijski obliki.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 27 -
Preglednica 5.1: Primerjava rezultatov ravninskih primerov
Kanal:
Vstopna
hitrost
[brez
enote]
Tlačni
padec
[brez
enote]
Najnižja
temperatura
na izstopu
[°C]
Tmax-
Tmin na
izstopu
[°C]
Povprečna
temperatura
na izstopu
[°C]
Povprečna
toplotna
prestopnost
[W/(m2K)]
Toplotna
moč
[W]
Ravni 1,49 624 20,91 4,09 21,81 234 0,79
Z zavoji 2,71 2551 20,74 4,26 21,60 246 1,29
S
podaljšanimi
zavoji
3,14 3404 20,65 4,35 21,61 248 1,45
Z otočki 2,29 1021 21,13 3,87 21,82 318 1,22
Z otočki na
minimalni
razdalji
2,29 1125 22,00 3,00 22,39 363 1,59
Z ovirami 1 1,49 1279 21,18 3,82 22,06 257 0,89
Z ovirami 2 1,49 2093 21,60 3,40 22,33 292 1,01
Z ovirami 3 1,49 1365 21,21 3,79 22,08 264 0,90
Cik-cak 90° 2,21 1282 20,57 4,43 21,61 243 1,03
Cik-cak 120° 1,81 876 20,67 4,33 21,65 236 0,91
Cik-cak 120°
z ovirami 1 1,81 1432 20,90 4,10 21,85 252 0,97
Cik-cak 120°
z ovirami 2 1,81 1419 20,96 4,04 21,91 259 1,00
V nadaljevanju so predstavljeni rezultati numeričnih analiz dvodimenzionalnih kanalov,
in sicer je na vseh slikah zgoraj prikazan hitrostni, spodaj pa temperaturni potek.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 28 -
Ravni kanal
Slika 5.4: Ravni kanal
V primeru ravnega kanala smo ugotovili, da je zaradi nizkega Reynoldsovega števila hitrostno
vstopno območje zelo kratko, torej se popolnoma razvit hitrostni profil formira zelo hitro po
vstopu tekočine v kanal. To pomeni, da bo pri takšnih hitrostih in z uporabljeno hladilno
tekočino, izjemno težko doseči trganje mejne plasti. Razvit temperaturni profil se zaradi
Prandtlovega števila 550,Pr formira počasneje, vendar še pred drugo polovico dolžine
kanala. Iz preglednice 5.1 razberemo, da ima ravni kanal po pričakovanju najnižjo povprečno
toplotno prestopnost in najmanjšo toplotno moč. Vendar pa moramo vedeti, da je število
kanalov na končno širino toplotnega prenosnika v tem primeru največje, s tem pa tudi
površina prenosa toplote, ki ima velik vpliv na toplotno moč celotnega prenosnika. Zatorej
toplotni prenosnik z ravnimi kanali ni nujno najslabši.
Kanal z zavoji
Slika 5.5: Kanal z zavoji
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 29 -
V tem primeru smo simulirali preproste kanale z zavoji in preverili, ali s takšno geometrijo
dosežemo boljše mešanje tekočine. Vstopna hitrost tekočine je bila zaradi manjšega števila
kanalov na končno širino toplotnega prenosnika skoraj dvakrat večja kot pri ravnih kanalih,
tlačni padec pa je narasel kar za štirikrat. Ker potekajo tokovnice pri tej hitrosti gladko skozi
zavoje in se vrtinčenje ne pojavi, tudi trganja mejne plasti ni zaznati. Toplotna prestopnost in
moč sta narasli, najnižja in povprečna temperatura pa sta v primerjavi z ravnim kanalom nižji
zaradi večje vstopne hitrosti.
Kanal s podaljšanimi zavoji
Slika 5.6: Kanal s podaljšanimi zavoji
Preverili smo, ali je z izrazitejšimi zavoji mogoče doseči vrtinčenje hladilne tekočine, a žal ga
tudi v tem primeru ni bilo. V primerjavi s prejšnjim primerom smo morali povečati vstopno
hitrost, zaradi česar je narasel tlačni padec, veliko boljšega mešanja pa nismo dosegli, saj je
povprečna toplotna prestopnost le malo narasla.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 30 -
Kanal z otočki
Slika 5.7: Kanal z otočki
Kanal z otočki na minimalni razdalji
Slika 5.8: Kanal z otočki na minimalni razdalji
Modelirali smo tudi kanale, pri katerih smo ovire oziroma razširitve poimenovali »otočki« in
so v nadaljevanju tako tudi naslovljeni. V prvem primeru smo postavili le štiri tako
imenovane otočke na dolžino l , saj nismo želeli preveč povečati tlačnega padca, v
naslednjem primeru pa smo jih postavili čim bližje skupaj, tako da lahko pri celotnem
prenosniku sosednja pretočna kanala z otočki še zmeraj primaknemo na minimalno dopustno
razdaljo. V preglednici 5.1 opazimo, da tlačni padec v primerjavi z ravnim kanalom kljub
večji vstopni hitrosti ni preveč narasel. Tudi povečanje števila otočkov ni veliko vplivalo na
tlačni padec. Vzrok za to najdemo ob pogledu na tokovnice, ki gladko obtekajo valj (oziroma
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 31 -
krogec na slikah 5.7 in 5.8) sredi otočka. Za valjem pri tej hitrosti torej ne pride do vrtinčenja,
ki bi intenzivneje premešal tekočino.
Pa vendar v preglednici 5.1 opazimo, da je povprečna toplotna prestopnost v teh dveh
primerih najvišja. Tudi toplotna moč in najnižja temperatura na izstopu sta v obeh primerih
zelo visoki, v drugem primeru celo najvišji. Razlog za to razberemo iz toplotnega poteka na
sliki 5.7 in 5.8, kjer hladna sredica obteka valj sredi otočka, na katerem smo enako kot na
robovih predpisali temperaturo CTS 25 . Ker je toplotna mejna plast na strani valja, kamor
priteka hladilna tekočina, veliko tanjša kot drugje, je toplotni tok na tem mestu največji.
Zatorej se hladna sredica tekočine ogreje in s tem narasteta najnižja in povprečna temperatura
na izstopu, z njima pa tudi toplotna moč.
Kanal z ovirami 1 (prvi primer)
Slika 5.9: Kanal z ovirami 1
V tem primeru smo na obeh robovih vzdolž kanala v enakomerni medsebojni razdalji
postavili vbokline oziroma ovire, s katerimi smo želeli povečati mešanje tekočine oziroma
stanjšati mejno plast. Prednost takšne geometrije namreč je, da ohranimo enako število
pretočnih kanalov na končno širino toplotnega prenosnika kot pri ravnih kanalih. V primerjavi
z ravnim kanalom opazimo, da je tlačni padec približno dvakrat večji, toplotna prestopnost in
moč pa sta za okrog 10 odstotkov boljša. Ocenjujemo, da tlačni padec ne bo previsok, zato je
takšna pridobitev kar precejšna.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 32 -
Kanal z ovirami 2 (drugi primer)
Slika 5.10: Kanal z ovirami 2
Vbokline oziroma ovire smo nato še povečali in primerjali rezultate. Za vboklinami, kjer na
hitrostnem poteku opazimo najmanjšo hitrost, smo opazili manjše vrtince, ki pa zaradi
intenzitete žal še zmeraj ne povzročajo trganja mejne plasti. Rezultati toplotne prestopnosti,
moči in temperatur v preglednici 5.1 so seveda boljši kot v prejšnjem primeru, vendar se je
tlačni padec precej povečal.
Kanal z ovirami 3 (tretji primer)
Slika 5.11: Kanal z ovirami 3
Da bi ponovno zmanjšali tlačni padec smo enake vbokline kot zgoraj razmaknili na dvojno
razdaljo. Tako smo dobili podobne rezultate kot v prvem primeru.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 33 -
Kanal cik-cak pod kotom 90°
Slika 5.12: Kanal cik-cak pod kotom 90°
Ker so morali biti kanali z zavoji med seboj precej oddaljeni, smo konstruirali geometrijo,
kjer se zavoji skladajo in lahko kanale primaknemo bliže skupaj. Iz preglednice 5.1
razberemo, da smo morali kljub temu precej povečati hitrost in torej zmanjšati število kanalov
v primerjavi z ravnimi, zato smo v naslednjem primeru povečali kot med zavoji.
Kanal cik-cak pod kotom 120°
Slika 5.13: Kanal cik-cak pod kotom 120°
S povečanjem kota se je seveda toplotna moč posameznega kanala zmanjšala, vendar se je
povečalo število kanalov in s tem skupna toplotna moč prenosnika. Ker je tlačni padec le
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 34 -
malo večji kot pri ravnem kanalu, smo pred zavoje dodali še vbokline, s katerimi smo želeli
izboljšati mešanje.
Kanal cik-cak pod kotom 120° in ovirami na zunanji strani pred zavoji
Slika 5.14: Kanal cik-cak pod kotom 120° in ovirami 1
Kanal cik-cak pod kotom 120° in ovirami na notranji strani pred zavoji
Slika 5.15: Kanal cik-cak pod kotom 120° in ovirami 2
Vbokline oziroma ovire smo najprej postavili na zunanji strani pred zavoji, nato pa še na
notranji. Med primerjavo rezultatov v preglednici 5.1 ugotovimo, da je v zadnjem primeru
tlačni padec manjši kot v prejšnjem, minimalna in povprečna temperatura na izstopu pa sta
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 35 -
višji. To pomeni, da je mešanje intenzivnejše. Za potrditev sta višji tudi toplotna prestopnost
in moč. Razlika je res le nekaj odstotkov, a imajo ti v praksi velik pomen.
Z ravninskimi numeričnimi simulacijami smo torej teoretično dobili toplotni prenosnik
z največjo skupno toplotno močjo SQ , tako da smo množili toplotno moč posameznega
kanala Q s številom kanalov Kn , ki se lahko izdelajo na določeno širino toplotnega
prenosnika,
KS nQQ . (5.11)
Vendar pa se moramo zavedati, da smo s takšno poenostavitvijo zanemarili medsebojni vpliv
kanalov, pri čemer imamo v mislih lokalno ohlajanje toplotnega prenosnika na določenih
mestih (na primer okrog otočka, kot bomo videli v poglavju prostorskih preračunov) in s tem
zmanjšanje toplotne moči sosednjega kanala. Zato smo na koncu za laboratorijsko
preskušanje predlagali več primerov toplotnih prenosnikov. Seveda smo pred tem rezultate iz
tega poglavja primerjali s časovno odvisnimi in prostorskimi numeričnimi preračuni.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 36 -
6 RAVNINSKI ČASOVNO ODVISNI NUMERIČNI
PRERAČUNI
6.1 Opis problema in geometrije primerov
Numerične simulacije fizikalnih procesov so lahko časovno odvisne ali neodvisne. Pri
časovno odvisnih simulacijah spremljamo obnašanje fizikalnega procesa v odvisnosti od časa.
Pri časovno neodvisnih pa predpostavimo, da se fizikalni proces pomika v smeri ravnovesja,
torej bo po določenem času stacionaren [1].
V prejšnjih dveh poglavjih smo predpostavili, da se pri toku hladilne tekočine skozi
kanal vzpostavi ravnovesje, ki ni odvisno od časa. Ker pa smo želeli doseči trganje mejne
plasti, smo v tem poglavju preverili, ali moramo problem obravnavati kot časovno odvisen.
Najprej smo modelirali enostaven prosti tok hladilne tekočine čez valj enakega premera,
kot je v primeru kanala z otočki iz prejšnjega poglavja premer notranjega kroga nd , slika
6.1 (a). Nato smo valj postavili v kanal enake širine, kot je zunanji premer kroga otočka zd
(b). Šele nato smo simulirali kanal z enim otočkom (c) in enako širino kanala d kot v
prejšnjem poglavju. Za verifikacijo smo računsko mrežo v zadnjem primeru (d) še dodatno
zgostili, pri čemer smo skrajšali dolžino kanala za otočkom.
(a) (b)
(c) (d)
Slika 6.1: Geometrije časovno odvisnih primerov: (a) primer 1, (b) primer 2, (c) primer 3, (d)
primer 4
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 37 -
6.2 Računske mreže
Ker smo v tem poglavju problem ponovno obravnavali dvodimenzionalno, so mreže pri vseh
primerih v tretji dimenziji (os-z na sliki 6.2) imele samo en kontrolni volumen.
V primeru 1 smo okrog valja mrežo zgostili z elementi enake karakteristične dimenzije,
kot je bila glavnina elementov v primerih pretočnih kanalov iz prejšnjega poglavja. V
območju za valjem, kjer smo pričakovali vrtinčenje tekočine, smo karakteristično dimenzijo
povečali za faktor dve, nato pa proti ostalim robovom mrežo še razredčili. Prikazana je na
sliki 6.2.
Slika 6.2: Računska mreža primera 1
V primeru 2 in 3 ((b) in (c) na sliki 7.1) smo generirali mrežo z elementi enake
karakteristične dimenzije kot v primerih prejšnjega poglavja, torej z najmanjšimi elementi iz
slike 6.2. Dodatna zgostitev je bila seveda potrebna ob stenah kanalov ter okrog valja, kjer se
tvori mejna plast.
Za zagotovitev natančnih rezultatov smo mrežo v primeru 4 še zgostili in primerjali
rezultate. Primerjava mreže med primerom 3 (s približno 60.000 elementi) in 4 (s približno
286.000 elementi) v povečavi okrog otočka je prikazana na sliki 6.3.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 38 -
Slika 6.3: Primerjava računske mreže med primerom 3 (zgoraj) in 4 (spodaj)
6.3 Robni pogoji
Kot že rečeno, smo v tem poglavju vse primere obravnavali kot časovno odvisne. Zato smo
morali najprej določiti časovni korak, po katerem se je tokovno polje preračunavalo. Določili
smo ga na podlagi Courantovega števila, ki je v primeru enodimenzionalne mreže definiran
kot
x
tvC
, (6.1)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 39 -
kjer je v hitrost tekočine, t časovni korak, x karakteristična dimenzija mreže in C
Courantovo število, ki mora biti za natančen popis časovno odvisnega tokovnega polja manjše
kot ena. V naših primerih smo časovni korak določili s poenostavitvijo, in sicer
v
x
v
xCt
1, (6.2)
kjer smo za x uporabili karakteristično dimenzijo glavnine elementov mreže in za v
povprečno hitrost tekočine na vstopu v kanal.
Določiti smo morali tudi število časovnih korakov N . To smo izračunali na podlagi
želenega končnega realnega časa simulacije Kt
KttN . (6.3)
Če smo na primer želeli simulirati 10 s realnega toka tekočine čez valj, pri čemer smo določili
časovni korak 010,t s, je bilo potrebno preračunati 1000 časovnih korakov.
Za hladilno tekočino smo ponovno v vseh primerih uporabili homogeno zmes vode in
Tyfocor L-a ter v nastavitve vstavili potrebne podatke o lastnosti zmesi. Predpostavili smo
nespremenljive snovne lastnosti in zanemarili vzgon. Ker nas je v teh primerih zanimalo le
tokovno polje, smo zaradi hitrejšega preračunavanja tekočino obravnavali izotermno. Na
desnem oziroma izstopnem robu smo v vseh primerih predpisali relativni tlak 0ip Pa, na
steni okrog valja pa hitrost 0v . Ostali robni pogoji so zaradi številnih različnih primerov
zapisani med analizo rezultatov.
6.4 Analiza rezultatov
Primer 1
Najprej smo modelirali prosti tok hladilne tekočine čez valj pri Reynoldsovem številu
100Re , izračunanem po enačbi
ndv
Re , (6.4)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 40 -
pri čemer smo za karakteristično dimenzijo uporabili premer valja nd . Iz enačbe (6.4) smo
torej izrazili in izračunali povprečno normalno hitrost 338,v (podano v brezdimenzijski
obliki) in jo predpisali na levem vstopnem robu na sliki 6.1 (a). Na zgornjem in spodnjem
robu smo v tem primeru predpisali prosti zdrs tekočine oziroma nespremenjeno hitrost.
Predpisali smo časovni korak 010,t s in število korakov 800N .
Slika 6.4: Prosti tok čez valj pri 100Re po času 8t s; od zgoraj navzdol: hitrost v
horizontalni smeri, hitrost v vertikalni smeri, vrtinčnost
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 41 -
Na sliki 6.4 so prikazani rezultati prostega toka čez valj po času 8t s. Prva slika od
zgoraj prikazuje hitrostne konture v horizontalni, druga v vertikalni smeri, tretja pa konture
vrtinčnosti. Slike prikazujejo le trenutno stanje tokovnega polja po času osmih sekund. Če
spremljamo tokovno polje skozi določeno časovno obdobje, na primer zadnjih petih sekund
(ko je že razvito), opazimo, da se le-to s časom spreminja, torej je nestacionarno. Z zgornje in
s spodnje strani valja se v enakomernem zaporedju izmenično odcepljajo vrtinci in tvorijo
tako imenovano von Karmanovo vrtinčno sled (von Kármán vortex street) [3]. Glede na
izsledke drugih avtorjev so bili takšni rezultati pričakovani [6].
Primer 2
Želeli smo preveriti, ali ostane tok nestacionaren, če valj postavimo v kanal širine zd . Na
zgornjem in spodnjem robu kanala smo predpisali hitrost 0v . Vsi ostali robni pogoji so
ostali enaki kot v prejšnjem primeru, le število časovnih korakov smo zmanjšali na 600N .
Slika 6.5: Tok čez valj v kanalu širine zd pri 100Re po času 6t s; od zgoraj navzdol:
hitrost v horizontalni smeri, hitrost v vertikalni smeri, vrtinčnost
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 42 -
Na sliki 6.5 opazimo, da se za valjem še zmeraj izmenično odcepljajo vrtinci, torej je
tok tudi v tem primeru nestacionaren. Tok se sicer za valjem umirja hitreje, saj bližnji steni
dušita oziroma zavirata vrtinčenje. Hitrost se v horizontalni smeri med valjem in steno kanala
poveča, pred valjem in za njim pa zmanjša.
Primer 3
V tem primeru smo širino kanala zmanjšali na enako širino kanala d kot v prejšnjem
poglavju. Tako smo simulirali kanal z le enim otočkom. Vsi robni pogoji so ostali enaki kot v
primeru 2, le število časovnih korakov smo povečali na 2000N .
Slika 6.6: Tok čez valj v kanalu širine d pri 100Re po času 20t s; od zgoraj navzdol:
hitrost v horizontalni smeri, hitrost v vertikalni smeri, vrtinčnost
Kljub temu da je bila povprečna vstopna hitrost v tem primeru približno 3,5-krat večja
od hitrosti v primeru kanala z otočki iz prejšnjega poglavja, na sliki 6.6 vidimo, da je za tako
imenovanim otočkom hitrost v vertikalni smeri nemudoma enaka nič. Četudi spremljamo
tokovno polje skozi daljše časovno obdobje, se le-to ne spreminja kot pri prejšnjih dveh
primerih, torej je tok stacionaren. Z zožitvijo kanala za valjem smo torej popolnoma zadušili
izmenično odcepljanje vrtincev.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 43 -
Primer 4
Da bi potrdili rezultate iz prejšnjega primera, smo z gostejšo računsko mrežo in krajšim
časovnim korakom, ki je bil v tem primeru 0010,t s, preračun izvedli še enkrat. Število
časovnih korakov smo povečali na 10000N . Ostali robni pogoji so ostali enaki kot v
primeru 3.
Slika 6.7: Tok čez valj v kanalu širine d z gostejšo mrežo pri 100Re po času 10t s; od
zgoraj navzdol: hitrost v horizontalni smeri, hitrost v vertikalni smeri, vrtinčnost
Če primerjamo sliki 6.6 in 6.7, med hitrostnimi konturami in konturami vrtinčnosti ne
opazimo razlike. Potrdili smo torej rezultate iz prejšnjega primera. S tem pa smo tudi
dokazali, da je imela mreža v prejšnjem primeru, kakor tudi v vseh primerih prejšnjega
poglavja, zadostno število elementov.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 44 -
V naslednjih primerih smo preverili, ali je tok v pretočnih kanalih iz prejšnjega poglavja
nestacionaren. Časovno odvisno smo simulirali le tiste primere, pri katerih se nam je
nestacionarnost zdela najverjetnejša.
Primer 5
Najprej smo z enako povprečno vstopno hitrostjo ( 338,v v brezdimenzijski obliki) kot v
primerih od 1 do 4 iz tega poglavja preverili kanal z otočki na minimalni razdalji. Želeli smo
preveriti, ali morda pride do nestacionarnosti toka zaradi bližine otočkov. Predpisali smo
časovni korak 0010,t s in število korakov 5000N .
Slika 6.8: Kanal z otočki na minimalni razdalji pri 100Re po času 5t s; hitrost v
horizontalni smeri (zgoraj), hitrost v vertikalni smeri (spodaj)
Ker se tudi v tem primeru tokovno polje v odvisnosti od časa ni spreminjalo, pomeni, da
je bilo stacionarno. Če primerjamo hitrosti v horizontalni smeri na sliki 6.7 in 6.8, sicer
vidimo, da se zaradi bližine otočkov hitrostni profil med njimi še ni popolnoma razvil, vendar
to ni vplivalo na stacionarnost.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 45 -
Primer 6
Ker je hitrost v kanalih s podaljšanimi zavoji iz prejšnjega poglavja največja, smo časovno
odvisno preverili tudi ta primer. Predpisali smo enako povprečno vstopno hitrost v , časovni
korak 0050,t s in število časovnih korakov 2000N .
Slika 6.9: Kanal s podaljšanimi zavoji pri 100Re po času 10t s; hitrost v horizontalni
smeri (zgoraj), hitrost v vertikalni smeri (spodaj)
S slike 6.9 vidimo, da tudi v tem primeru hitrost ni bila dovolj visoka, da bi se pojavila
nestacionarnost.
Na koncu smo na enak način kot v prejšnjih primerih časovno odvisno simulirali še
kanal z ovirami 2, kjer so vbokline najizrazitejše ter relativno blizu, ter kanal cik-cak pod
kotom 120° in ovirami na notranji strani pred zavoji. Tudi v teh primerih je bil tok
stacionaren. S tem smo torej potrdili rezultate iz prejšnjega poglavja.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 46 -
7 PROSTORSKI NUMERIČNI PRERAČUNI
7.1 Opis problema in geometrije kanalov
Ker lahko iz rezultatov ravninskih preračunov tlačne padce med seboj le relativno
primerjamo, smo v tem poglavju modelirali nekatere dvostransko napihnjene pretočne kanale
v treh dimenzijah, da smo dobili dejanske vrednosti tlačnih padcev med vstopom in izstopom
iz kanala. Seveda so rezultati služili tudi primerjavi in oceni rezultatov ravninskih primerov.
Najprej smo modelirali ravni kanal enake dolžine kot v poglavju ravninskih preračunov.
Nato smo modelirali kanal z enim otočkom, da smo podrobneje spoznali tokovne in toplotne
razmere v okolici otočka in da smo izvedli verifikacijo numerične mreže. Za tem smo
modelirali kanal z otočki, na koncu pa še kanal z zavoji. V vseh primerih smo modelirali obe
področji, hladilno tekočino in aluminij. Geometrije so razvidne iz računskih mrež ter analiz
rezultatov. Vzdolžni prerezi kanalov so geometrijsko enaki primerom iz ravninskih
numeričnih preračunov.
7.2 Računske mreže
Računska mreža ravnega kanala je bila zelo preprosta. Prikazana je na sliki 7.1.
Slika 7.1: Računska mreža ravnega kanala
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 47 -
Verifikacijo numerične mreže pri kanalu z enim otočkom smo naredili tako, da smo jo
postopoma gostili in primerjali dobljene rezultate. Na sliki 7.2 so od najredkejše do
najgostejše prikazane štiri mreže v prerezu okolice otočka z različnim številom elementov.
Ugotovili smo, da je bilo odstopanje rezultatov med najredkejšo in drugo mrežo največje, med
drugo in tretjo je bilo odstopanje manjše, med tretjo in najgostejšo pa minimalno.
Slika 7.2: Računske mreže kanala z enim otočkom; od najredkejše (levo zgoraj) do
najgostejše (desno spodaj)
Računska mreža kanala z otoki je bila generirana z elementi enake karakteristične
dimenzije kot tretja mreža iz prejšnjega primera, saj se je ta izkazala za dovolj natančno.
Slika 7.3: Računska mreža kanala z otoki
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 48 -
Na koncu smo zamrežili še kanal z zavoji, ki je prikazan na sliki 7.4. Mreža je
vsebovala približno 3,5 milijonov elementov.
Slika 7.4: Računska mreža kanala z zavoji
7.3 Robni pogoji
Robne pogoje smo predpisali v skladu z ravninskimi numeričnimi preračuni in predvidenimi
preskušanji toplotnega prenosnika v laboratoriju. Ker smo modelirali le posamezne pretočne
kanale in ne celotnih prenosnikov, ki bodo preskušeni, smo morali robne pogoje smiselno
prilagoditi.
Ponovno smo namesto sevanja reflektorjev na zgornje površine v vseh primerih
predpisali enako povprečno gostoto toplotnega toka zgq in zanemarili sevanje toplotnih
prenosnikov v okolico. Na zgornje in spodnje površine aluminija, ki so v stiku z okolico, smo
predpisali toplotno prestopnost ter podali temperaturo okolice OT , na robovih pa predpisali
adiabatno steno, ki ne dovoljuje prenosa toplote skozi steno, torej 0sq . Na izstopu kanalov
smo podali relativni tlak ip , na vstopih pa temperaturo vstopne tekočine 20VT °C in
povprečno normalno hitrost Dv3 , ki smo jo za vsak primer posebej izračunali že v poglavju
ravninskih numeričnih preračunov. Na stiku aluminija in tekočine smo predpisali hitrost
tekočine 0v . Za hladilno tekočino smo ponovno vnesli podatke za zmes nespremenljivih
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 49 -
snovnih lastnosti Tyfocor L-a in vode ter predpostavili, da so kanalski sistemi popolnoma
odzračeni. Vzgon smo zanemarili in problem obravnavali kot časovno neodvisen.
7.4 Analiza rezultatov
Najprej smo primerjali dobljene rezultate prostorskih numeričnih preračunov, ki so prikazani
v spodnji preglednici, z rezultati ravninskih preračunov, podanih v preglednici 5.1.
Preglednica 7.1: Primerjava rezultatov prostorskih primerov
Kanal:
Vstopna
hitrost
[brez
enote]
Tlačni
padec
[brez
enote]
Najnižja
temperatura
na izstopu
[°C]
Tmax-
Tmin na
izstopu
[°C]
Povprečna
temperatura
na izstopu
[°C]
Povprečna
toplotna
prestopnost
[W/(m2K)]
Ravni 6,34 31.483 20,86 4,72 22,64 497
Z zavoji 11,5 113.115 21,67 2,27 22,06 836
Z otočki 9,75 49.105 21,13 3,98 22,27 661
Toplotno moč posameznega kanala, ki smo jo v tem primeru označili z odvQ , smo
ponovno izračunali po enačbi (5.7), kjer je bila sedaj A površina stika hladilne tekočine in
aluminija. Toplotno moč smo v tem primeru preverili še z enačbo
)TT(cmQ VIpodv , (7.1)
kjer je m masni pretok hladilne tekočine skozi kanal, pc specifična toplota hladilne tekočine,
IT povprečna temperatura na izstopu in VT povprečna temperatura na vstopu v kanal.
Dobljeni rezultati so bili skladni, vendar z izračunanimi toplotnimi močmi ni bilo mogoče
oceniti, kateri kanal bo v celotnem toplotnem prenosniku imel večjo moč, saj zaradi zakona
ohranitve energije, ki je izpeljan iz prvega glavnega zakona termodinamike za zaprti sistem,
velja
odvdov QQ , (7.2)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 50 -
kjer je dovQ dovedena toplotna energija. Le-ta je v našem primeru enaka
)qqq(AQQQQ kskzzgAlkskzIdov , (7.3)
pri čemer je IQ toplotna moč izvira, kzQ dovedena toplotna energija zaradi konvekcije
oziroma prestopa toplote iz okolice na zgornjo in ksQ na spodnjo površino. Le-te so enake
produktu površine aluminija AlA , ki je zgoraj in spodaj enaka, ter vsoti povprečnih gostot
posameznega toplotnega toka, pri čemer smo zgq predpisali v robnih pogojih, kzq in ksq pa
izračuna programski paket Ansys. V enačbi (7.3) vidimo, da je toplotna moč posameznega
prostorskega primera torej odvisna od površine aluminija (saj je zgq v vseh primerih enaka)
in povprečne gostote toplotnih tokov zaradi prestopa toplote z okolico. V modeliranih
primerih je bila temperatura okolice višja od povprečne temperature površine aluminija, zato
je okolica dodatno grela toplotni prenosnik. To pomeni, da je že ravni kanal zagotovil dovolj
veliko toplotno moč za izkoriščenje dovedene energije izvira toplote, ki smo ga predpisali na
zgornjo površino. Preračun dovedene in odvedene toplote je v prostorskih primerih torej služil
le za analitično potrditev energijske bilance. Pri laboratorijskem preskušanju bo zatorej
potrebno zagotoviti večji toplotni tok na zgornjo površino, da bodo razlike med prenosniki
zaznavne.
Povprečno toplotno prestopnost v prostorskih primerih smo izračunali po enačbi (5.9),
kjer smo za ST v tem primeru vzeli povprečno temperaturo na stiku hladilne tekočine in
aluminija STT , ki jo izračuna programski paket Ansys, torej
STS TT . (7.4)
Kot pričakovano, direktna primerjava vrednosti toplotnih prestopnosti med prostorskimi in
ravninskimi primeri ni možna. Precejšne razlike se pojavijo zaradi poenostavitve geometrije
in predpisa robnih pogojev, vendar smo pričakovali, da bo relativno povečanje toplotne
prestopnosti primerljivo. Če primerjamo povečanje le-te med ravnim kanalom in kanalom z
otočki, opazimo, da se je v obeh primerih prestopnost povečala za približno 35 odstotkov. Ob
primerjavi povečanja prestopnosti med ravnim kanalom in kanalom z zavoji pa opazimo, da
se je le-ta v ravninskem primeru povečala le za 5 odstotkov, v prostorskem pa za kar 68
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 51 -
odstotkov. Razlika je torej precejšna. Sklepamo, da se je takšno odstopanje pojavilo zaradi
geometrije preseka kanala v prostorskem primeru (viden je na sliki 7.1), ki je precej vplivala
na povečanje prenosa toplote. Ker pa je se je toplotna prestopnost v prostorskem primeru
povišala, to pomeni, da bo tudi toplotna moč posameznega kanala z zavoji večja v primerjavi
z ravnim kanalom.
Iz rezultatov prostorskih numeričnih preračunov smo dobili tudi dejanske vrednosti
tlačnih padcev med vstopom in izstopom tekočine iz kanala, s tem pa izhodiščne podatke za
medsebojno primerjavo relativnih tlačnih padcev ravninskih primerov. Seveda pa se moramo
zavedati, da bo tlačni padec skozi celotni toplotni prenosnik (slika 5.2) zaradi dovodnega in
odvodnega kanala še nekoliko večji.
Kot razberemo iz preglednice 7.1, je v prostorskem primeru ravnega kanala tlačni padec
znašal 31483p v brezdimenzijski obliki, v primeru kanala z otočki pa 49105p . To
pomeni, da se je v primerjavi z ravnim kanalom povečal za 1,56-krat. Če primerjamo dobljene
vrednosti z ravninskim primerom iz preglednice 5.1, kjer je tlačni padec kanala z otočki v
primerjavi z ravnim narasel za 1,64-krat, pomeni, da je prišlo le do 5-odstotnega odstopanja.
Tlačni padec v prostorskem primeru kanala z zavoji je v brezdimenzijski obliki znašal
113115p , kar pomeni, da je bil 3,59-krat večji od tlačnega padca skozi ravni kanal. Če
ponovno naredimo enako primerjavo v ravninskem primeru, vidimo, da je bil tlačni padec z
zavoji od ravnega kanala večji za kar 4,09-krat. Odstopanje med ravninskim in prostorskim
tlačnim padcem je bilo v tem primeru torej približno 14-odstotno. Ker pa v diplomskem delu
nismo modelirali celotnega toplotnega prenosnika in smo morali oceniti tudi tlačni padec
skozi dovodni in odvodni kanal ter ga prišteti k vrednostim tlačnega padca skozi pretočne
kanale, je bilo takšno odstopanje sprejemljivo. Bilo je torej dovolj natančno, da smo v
primerih ostalih geometrij pretočnih kanalov tlačne padce ocenili glede na rezultate
ravninskih numeričnih preračunov.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 52 -
Ravni kanal
Če primerjamo hitrostni potek na sliki 7.5 z rezultatom istega poteka v ravninskem primeru,
torej s sliko 5.4, opazimo, da se popolnoma razvit hitrostni profil tvori v enaki razdalji od
vstopa tekočine. To pomeni, da smo pri ravninskih primerih robne pogoje predpisali pravilno.
Če bi na primer v obeh primerih predpisali enako povprečno vstopno hitrost v , bi bilo
hitrostno vstopno območje v ravninskem primeru daljše.
Slika 7.5: Ravni kanal; od zgoraj navzdol: hitrostni in temperaturni potek hladilne tekočine po
vzdolžnem preseku kanala, temperaturne konture na zgornji površini aluminija
Ob primerjavi temperaturnih potekov hladilne tekočine med ravninskim in prostorskim
primerom opazimo, da se temperaturni profil v tridimenzionalnem primeru razvije nekoliko
hitreje. Do tega pride zaradi ogrevanja tekočine po celotni površini stika z aluminijem v
prostorskem primeru, medtem ko je v ravninskem primeru toplotni tok le na robovih. Seveda
pa temperatura na stiku v tem primeru ni več konstantna, temveč narašča vzdolž kanala enako
kot temperatura na površini aluminija.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 53 -
Kanal z enim otočkom
Zanimalo nas je, ali se zaradi profila kanala v primeru prostorskega modela pojavi izrazitejše
mešanje za otočkom kot v ravninskem primeru. Zato smo najprej primerjali hitrostne
tokovnice ter vektorje hitrosti (s kanalom z otočki iz poglavja 5) in ugotovili, da so si v obeh
primerih zelo podobni. Na sliki 7.6 so prikazane tokovnice prostorskega primera, ki gladko
obtekajo sredino otočka. Tudi vektorji hitrosti, prikazani na sliki 7.7, ne kažejo večjega
vrtinčenja.
Slika 7.6: Hitrostne tokovnice v otočku
Slika 7.7: Vektorji hitrosti po preseku otočka
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 54 -
Kljub temu pa z otočkom dosežemo ogrevanje hladne sredice in s tem znižanje razlike
med maksimalno temperaturo na steni in minimalno temperaturo. Ogrevanje dosežemo ne le
zaradi povečanja površine prenosa toplote med hladilno tekočino in aluminijem na mestu
otočka, temveč tudi zaradi navedenega razloga v analizi rezultatov ravninskega primera (str.
31).
Ker pa v prostorskem primeru nismo predpisali konstantne temperature na steni oziroma
na stiku hladilne tekočine in aluminija, toplotni tok pa je na mestu dotekanja hladne sredice na
otoček še zmeraj največji (slika 7.8), se aluminij na tem mestu intenzivneje ohlaja. To vidimo
iz temperaturnih kontur na sliki 7.9, pri čemer je na obeh slikah vstop hladne tekočine v kanal
iz leve strani. Na prikazani skali gostote toplotnega toka na sliki 7.8 pozitivna vrednost
pomeni toplotni tok v območje hladilne tekočine.
Slika 7.8: Gostota toplotnega toka na stiku hladilne tekočine in aluminija
Slika 7.9: Temperaturne konture na zgornji površini kanala z enim otočkom
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 55 -
Kanal z otočki
Kot že rečeno, smo v tem primeru otočke postavili na enako razdaljo kot v primeru kanala z
otočki iz poglavja ravninskih preračunov. Če primerjamo hitrostni potek med ravninskim
(slika 5.7) in prostorskim (slika 7.10) primerom, opazimo, da je bila dolžina vstopnega
hitrostnega območja ponovno enaka ter da je bil hitrostni potek v otočku in okolici zelo
podoben.
Slika 7.10: Kanal z otočki; od zgoraj navzdol: hitrostni in temperaturni potek hladilne
tekočine po vzdolžnem preseku kanala, temperaturne konture na zgornji površini aluminija
Vendar pa iz natančnejše primerjave razvitega hitrostnega profila na izstopu, ki je
prikazan na sliki 7.12, opazimo, da je hitrost ob steni kanala v prostorskem primeru naraščala
počasneje kot v ravninskem (lokacija profila je prikazana na sliki 7.11). Posledica tega je bila
večja maksimalna hitrost na sredini kanala. Takšen profil se je zaradi geometrije preseka
obojestransko napihnjenega kanala pojavil v vseh tridimenzionalnih primerih.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 56 -
Slika 7.11: Rdeča črta prikazuje lokacijo prikazanega hitrostnega profila na sliki 7.12
(a) (b)
Slika 7.12: Razvit hitrostni profil na izstopu; (a) ravninski primer, (b) prostorski primer;
modra črta prikazuje povprečno hitrost
Če pogledamo še temperaturne konture na zgornji površini aluminija (slika 7.10
spodaj), vidimo, da je bila temperatura posameznega otočka tudi v tem primeru nižja kot
temperatura kanala pred njim. Toplotni profil se je torej v posamezni ravnini že toliko razvil,
da je hladna sredica ohlajala vsak naslednji otoček.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 57 -
Kanal z zavoji
Ker je pri tem primeru razlika v toplotni prestopnosti med preglednicama 5.1 in 7.1 kar
precejšna, smo s podrobnejšo analizo in primerjavo rezultatov skušali najti vzrok za
odstopanje. Najprej smo primerjali hitrostni potek, ki je prikazan na sliki 7.13, v okolici
izstopa in zadnjih dveh zavojev.
(a) (b)
Slika 7.13: Hitrostni potek v povečavi okrog izstopa; (a) ravninski primer, (b) prostorski
primer
Ugotovili smo, da se zaradi nastalega hitrostnega profila, ki je prikazan na sliki 7.12,
hitrostna poteka ne ujemata povsem. V prostorskem primeru smo zato pogledali še morebitno
gibanje tekočine v smeri prečnega prereza kanala.
Slika 7.14: Hitrost v vertikalni smeri; konture hitrosti
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 58 -
Na sliki 7.14 je jasno vidno, da se zaradi geometrije preseka kanalov pojavi gibanje tekočine v
vertikalni smeri. Zato smo pogledali še vektorje hitrosti po prerezu skozi sredino zavoja.
Slika 7.15: Vektorji hitrosti po prerezu skozi sredino zadnjega zavoja
Ugotovili smo, da se je v zavojih pojavilo krožno gibanje hladilne tekočine v prečni smeri
prereza. Pojavila sta se dva večja vrtinca, na zgornji in spodnji polovici, ki sta ustvarila
mešanje tekočine. To mešanje sicer ni bilo izrazito, saj so bile hitrosti v prečni smeri relativno
majhne, vendar pa je zaradi laminarnega toka takšno gibanje precej vplivalo na prenos
toplote. To potrdi tudi podatek v preglednici 7.1, in sicer razlika med maksimalno in
minimalno temperaturo na izstopu. Vidimo, da je bila le-ta v primerjavi z ostalimi primeri
zelo nizka, kar pomeni, da je bilo mešanje učinkovitejše. To pa je izboljšalo prenos toplote
oziroma povečalo toplotno prestopnost.
Če primerjamo še najnižjo temperaturo na izstopu v preglednici 7.1 z ostalima
primeroma, opazimo, da je bila le-ta v primeru kanala z zavoji najvišja. To potrdi zgornje
ugotovitve. Povprečna temperatura na izstopu pa je bila zaradi večje vstopne hitrosti oziroma
večjega pretoka nižja. Geometrija preseka kanala je v primeru kanala z zavoji torej imela
veliko večji vpliv na tokovne in toplotne razmere kot v primeru ravnega kanala in kanala z
otočki.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 59 -
Ob pogledu na temperaturne konture po zgornji površini aluminija na sliki 7.16 vidimo,
da je temperatura vzdolž kanala relativno enakomerno naraščala. Zaradi najvišje toplotne
prestopnosti pa je seveda v primerjavi z ostalima primeroma v povprečju najnižja.
Slika 7.16: Kanal z zavoji; temperaturni potek hladilne tekočine po vzdolžnem preseku kanala
(zgoraj), temperaturne konture na zgornji površini aluminija (spodaj)
Na razhajanje toplotne prestopnosti med ravninskim in prostorskim primerom kanala z
zavoji je vplivalo več dejavnikov. Počasen laminarni tok, oblika prereza kanala, majhen
hidravlični premer v primerjavi z dolžino pretočnih kanalov in zatorej ozki dvodimenzionalni
kanali so privedli do slabe podobnosti med ravninskim in prostorskim primerom. Na
odstopanje je precej vplivala tudi majhna temperaturna razlika med steno in povprečno
temperaturo tekočine, ki, kot vidimo v enačbi (5.9), pomembno vpliva na toplotno
prestopnost. Povprečna gostota toplotnega toka je bila med ravninskim in prostorskim
primerom dokaj podobna, medtem ko je bila razlika med povprečno temperaturo stene in
povprečno temperaturo tekočine v prostorskem primeru zaradi boljšega mešanja precej nižja.
Zato je bila torej povprečna toplotna prestopnost višja kot v ravninskem primeru.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 60 -
8 ZAKLJUČEK
8.1 Diskusija
V današnjem času opažamo splošno težnjo ne samo podjetij, pač pa tudi samostojnih
gospodinjstev k varčevanju z energijo. Eden od mnogih načinov za to je uporaba sončnih
kolektorjev za ogrevanje vode in fotovoltaičnih modulov za pridobivanje električne energije.
Zato je na trgu že veliko proizvodov, ki težijo k čim večjim izkoristkom brezplačne in
neizčrpne energije sonca. V zadnjem času se pojavljajo tudi kombinirani fotovoltaični sistemi,
ki zraven pretvarjanja sončne svetlobe v električno energijo zbirajo tudi preostalo toplotno
energijo in uporabnike oskrbujejo z obema hkrati. V obeh primerih je torej potreben toplotni
prenosnik, katerega namen je čim učinkovitejši prenos toplotne energije iz enega medija na
drug medij. Za doseganje tega pa mora biti kanalski sistem zasnovan tako, da v primeru
laminarnega toka medija poleg čim večje površine prenosa toplote dosega tudi mešanje
tekočine oziroma tanjšanje toplotne mejne plasti, saj le-ta deluje kot izolator in ima precejšen
vpliv na izkoristek razpoložljive toplotne energije.
S pomočjo RDT smo prišli do ugotovitev, da trganja mejne plasti v kanalih pri izbranem
pretoku oziroma hitrostih in omejitvah izdelave kanalskih sistemov žal ni mogoče doseči. Pa
vendar smo z optimiziranjem geometrije kanalov uspeli ustvariti tanjšanje mejne plasti
oziroma mešanje tekočine do takšne mere, da rezultati kažejo na izboljšanje izkoristka
toplotnega prenosnika v primerjavi s preprostimi ravnimi pretočnimi kanali. Ker bo
proizvodna cena toplotnih prenosnikov z modificiranimi kanalskimi sistemi ostala enaka, je
bil čas, posvečen optimiziranju, smiseln, četudi bo pridobitev na toplotni moči le
nekajodstotna. Seveda bo za potrditev numeričnih rezultatov potrebno laboratorijsko
preskušanje toplotnih prenosnikov.
V diplomskem delu smo zastavljeni problem najprej poenostavili, nato pa ga primerjali
z rezultati kompleksnejših numeričnih analiz. Potrdili smo, da lahko zaradi nizkih hitrosti
hladilne tekočine in same geometrije kanalov problem obravnavamo časovno neodvisno. Ob
primerjavi ravninskih in prostorskih preračunov pa smo ugotovili, da je v dveh primerih
dvodimenzionalna poenostavitev podala zelo podobne rezultate, v primeru kanala z zavoji pa
je tretja dimenzija, torej profil preseka kanala, precej vplivala na tokovne in toplotne razmere.
Ker pa so rezultati kazali na izboljšanje prenosa toplote, smo lahko kljub odstopanju z
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 61 -
ravninskimi primeri podali nekaj predlogov za laboratorijsko preskušanje toplotnih
prenosnikov.
V nadaljevanju raziskave obravnavanega problema bi bilo smiselno modelirati celoten
toplotni prenosnik in s tem pridobiti teoretične podatke o tlačnem padcu in skupni toplotni
moči. Rezultate bi lahko nato neposredno primerjali z laboratorijskimi meritvami in ugotovili,
ali je potrebno v numerične preračune vključiti dodatne parametre, kot sta na primer vzgon in
spremenljive lastnosti tekočine.
Zanimivo bi bilo tudi povečevati pretok hladilne tekočine skozi posamezne modelirane
kanale in ugotoviti, pri kateri hitrosti se pojavi trganje mejne plasti oziroma nestacionarnost.
Pri tem pretoku bi odčitali tlačni padec in izračunali potrebno moč za črpanje medija skozi
posamezni toplotni prenosnik. Nato bi primerjali povečanje toplotne moči prenosnika in
potrebe po večji moči črpalke ter ugotovili, ali je povečanje pretoka do nestacionarnosti
smiselno.
8.2 Sklep
Izbira numeričnih metod za obravnavo problema se je izkazala kot smotrna in učinkovita, saj
nam je v relativno kratkem času podala podrobnejši vpogled v toplotne in tokovne
karakteristike različnih geometrij kanalov, do katerih samo z laboratorijskimi meritvami ne bi
prišli. Računalniška dinamika tekočin nam je tudi omogočila, da smo na dokaj preprost in
poceni način preizkusili in primerjali več različnih idej za geometrije kanalov. Diplomsko
delo pa je tudi osnova za nadaljnje zahtevnejše numerične analize toplotnih prenosnikov.
Na podlagi rezultatov numeričnih simulacij smo na koncu podali nekaj predlogov za
laboratorijsko preskušanje in primerjanje toplotnih prenosnikov, ki so v preračunih kazali
največji izkoristek toplotne moči in niso presegli predvidenih maksimalnih tlačnih padcev pri
izbranem pretoku. S tem smo dosegli namen in cilj diplomskega dela.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo
- 62 -
9 SEZNAM UPORABLJENIH VIROV
[1] ANSYS, Inc. CFX-13
[2] Alujevič Andro, Škerget Leopold. Prenos toplote : univerzitetni učbenik. Maribor :
Tehniška fakulteta, 1990
[3] Fox R. W., McDonald A. T., Pritchard P. J. (ur.). Introduction to fluid mechanics,
6. izdaja. United States of America : John Wiley & Sons, inc., 2004
[4] Greitzer E. M., Tan C. S., Graf M. B. (ur.). Internal Flow: Concepts and Applications.
Cambridge : Cambridge University Press, 2004.
[5] Kraut Bojan. Krautov strojniški priročnik, 14. slovenska izdaja / izdajo pripravila Jože
Puhar, Jože Stropnik. Ljubljana : Littera picta, 2003.
[6] Ravnik Jure. Metoda robnih elementov za hitrostno vrtinčno formulacijo simulacije
velikih vrtincev. Maribor : Fakulteta za strojništvo Maribor, 2006.
[7] Škerget Leopold. Mehanika tekočin : univerzitetni učbenik. Maribor : Fakulteta za
strojništvo, 1994.
[8] Škerget Leopold. Prenosni pojavi : prenos gibalne količine, toplote in snovi. Knjiga v
pripravi.
[9] Versteeg H.K., Malalasekera W. An introduction to computational fluid dynamics : The
finite volume method. Essex : Longman, cop. 1995.