7/26/2019 Problemas Acoplados
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Programa de Pos-Graduacao em InformaticaDoutorado em Informatica
Problemas Acoplados
Aluno: Rodrigo Lopes Rangel Madureira
Rodrigo Lopes Rangel Madureira (UFRJ) Problemas Acoplados 19 de abril de 2016 1 / 31
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Sumario
1 Introducao
2 Sistema Aproximado
3 Problema Acoplado
4 Bibliografia
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Introducao
O que e um sistema acoplado?
Ocorre quando duas ou mais equacoes de um sistema precisam serresolvidos simultaneamente.
Por exemplo, pelo sistema:
Adn+1 +Bgn+1 =Cdn Ddn1 Egn Fgn1Adn+1 + Bgn+1 = Cdn + Ddn1 Egn + Fgn1
Supondo que os valores dedn, dn1, gn e gn1 sejam conhecidos, nas
duas equacoes a incognita dn+1 depende do valor da incognita gn+1 evice-versa.
Assim, nao e possvel resolver cada equacao separadamente.
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Introducao
Introducao
Num exemplo simples, vamos considerar o seguinte problematermolinear:
uttuxx+ x =g1(x, t), emQ= [1, 1] R+
t xx+ uxt =g2(x, t), emQ= [1, 1] R+ (1)Tal sistema descreve vibracoes de uma barra muito fina, formada pormaterial condutor de calor sujeita a efeitos termicos, onde:
u(x, t): deslocamento
(x, t): temperatura
, : constantes materiais
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Introducao
Introducao
Condicoes iniciais:
u(x, 0) =u0(x), ut(x, 0) =u1(x),
(x, 0) =0(x). (2)
Condicoes de fronteira:
u(1, t) =u(1, t) =0,
(1, t) =(1, t) =0. (3)
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I d
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Introducao
IntroducaoMultiplicando (1) por D(1, 1), integrando e depois fazendointegracao por partes, obtemos:
11
utt dx +1
1
uxx dx + 1
1
x dx=1
1
g1(x, t) dx
11
t dx +1
1
xx dx + 1
1
uxt dx=1
1
g2(x, t) dx
Em notacao de produto interno:
(utt, ) + (ux, x) + (x, ) = (g1(t), )
(t, ) + (x, x) + (uxt, ) = (g2(t), ) (4)
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I t d
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Introducao
IntroducaoMultiplicando (1) por D(1, 1), integrando e depois fazendointegracao por partes, obtemos:
11
utt dx +1
1
uxx dx + 1
1
x dx=1
1
g1(x, t) dx
11
t dx +1
1
xx dx + 1
1
uxt dx=1
1
g2(x, t) dx
Em notacao de produto interno:
(utt, ) + (ux, x) + (x, ) = (g1(t), )
(t, ) + (x, x) + (uxt, ) = (g2(t), ) (4)
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Sistema Aproximado
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Sistema Aproximado
Sistema Aproximado
Seja T > 0 e denote por Vm o subespaco gerado por w1, w2,...,wm onde(wi
)iN
Vm
H
1
0(
1, 1). Para cada m
N, considere as seguintes solucoesaproximadasvm, m, m representadas por:
um(x, t) =
mi=1
i(t)wi(x);
m(x, t) =mi=1
i(t)wi(x); (5)
Fazendo=wj em (4), construo as seguintes matrizes e vetores usandoelementos finitos no espaco:
Mij = (wi, wj) ; Nij =
wi
x ,
wj
x
; Lij =
wi
x , wj
;
G1j = (g1(t), wj) ; G2j = (g2(t), wj) ; (6)
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Sistema Aproximado
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Sistema Aproximado
Sistema Aproximado
Seja T > 0 e denote por Vm o subespaco gerado por w1, w2,...,wm onde(w
i)iN
Vm H1
0(1, 1). Para cada m N, considere as seguintes solucoes
aproximadasvm, m, m representadas por:
um(x, t) =
mi=1
i(t)wi(x);
m(x, t) =mi=1
i(t)wi(x); (5)
Fazendo=wj em (4), construo as seguintes matrizes e vetores usandoelementos finitos no espaco:
Mij = (wi, wj) ; Nij =
wi
x ,
wj
x
; Lij =
wi
x , wj
;
G1j = (g1(t), wj) ; G2j = (g2(t), wj) ; (6)
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Sistema Aproximado
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Sistema Aproximado
Sistema Aproximado
Substituindo as solucoes aproximadas em (4), obtemos:
mi=1
i(t)Mij+ i(t)Nij+ i(t)Lij
=G1j, para j=1, 2, ...
m
i=1
i(t)Mij+ i(t)Nij+
i(t)Lij =G2j, para j=1, 2, ...Sabendo que as matrizes Me N sao simetricas e L nao e simetrica, fazendo atransposta de todos os membros das equacoes do sistema anterior, temos:
mj=1
Mij i (t) + Niji(t) + LTiji(t) =G1i, para i=1, 2, ...mi=1
Mij
i(t) + Niji(t) + LTij
i(t)
=G2i, para i=1, 2, ...
(7)
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Sistema Aproximado
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p
Sistema Aproximado
Substituindo as solucoes aproximadas em (4), obtemos:
mi=1
i(t)Mij+ i(t)Nij+ i(t)Lij
=G1j, para j=1, 2, ...
m
i=1
i(t)Mij+ i(t)Nij+
i(t)Lij =G2j, para j=1, 2, ...Sabendo que as matrizes Me N sao simetricas e L nao e simetrica, fazendo atransposta de todos os membros das equacoes do sistema anterior, temos:
mj=1
Mij i (t) + Niji(t) + LTiji(t) =G1i, para i=1, 2, ...mi=1
Mij
i(t) + Niji(t) + LTij
i(t)
=G2i, para i=1, 2, ...
(7)
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Sistema Aproximado
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p
Sistema Aproximado
Assim, obtemos o seguinte sistema de equacoes diferenciais ordinarias:
M(t) + N(t) + LT(t) =G1(t)
M(t) + N(t) + LT(t) =G2(t)(8)
Esse sistema pode ser resolvido usando metodo de Newmark,diferencas centrais e eliminacao gaussiana. Veremos mais adiante.
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Problema Acoplado
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Sistema AcopladoPara esse procedimento, queremos erro na ordem O(t2) para o deslocamento, atemperatura e o potencial. Com efeito, usando a notacao n =(n t) e a
expansao de Taylor, obtemos:
1 =0
(0)t +
(0)
2 t2;
1 =0 t
(0);(9)
De (5), temos quando x=xj para j=1, 2, ..., me t=0:
um(xj, 0) =
mi=1
i(0)wi(xj)
=j(0) (10)
pois,
wi(xj) =
1, se i=j0, se i =j
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Problema Acoplado
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Sistema AcopladoPara esse procedimento, queremos erro na ordem O(t2) para o deslocamento, atemperatura e o potencial. Com efeito, usando a notacao n =(n t) e a
expansao de Taylor, obtemos:
1 =0
(0)t +
(0)
2 t2;
1 =0 t
(0);(9)
De (5), temos quando x=xj para j=1, 2, ..., me t=0:
um(xj, 0) =
mi=1
i(0)wi(xj)
=j(0) (10)
pois,
wi(xj) =
1, se i=j0, se i =j
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Problema Acoplado
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Problema equivalenteAnalogamente,
m(xj, 0) =j(0); (11)
Usando as solucoes aproximadas de (5) nas condicoes iniciais de (2), obtemos:
umt (xj, 0) =
mi=1
i(0)wi(xj) =
j(0) =u1m(xj)m
u1(xj) = ut(xj, 0)
Assim, temos que:
j(0) = u
t(xj, 0) =u1(xj);
j (0) = 2u
mt2 (x
j, 0)m
2u
t2(xj, 0);
j(0) = m
t (xj, 0)
m
t(xj, 0); para j=1, 2, ..., m.
(12)
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Problema Acoplado
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Problema equivalenteAnalogamente,
m(xj, 0) =j(0); (11)
Usando as solucoes aproximadas de (5) nas condicoes iniciais de (2), obtemos:
umt (xj, 0) =
mi=1
i(0)wi(xj) =
j(0) =u1m(xj)m
u1(xj) = ut(xj, 0)
Assim, temos que:
j(0) = u
t(xj, 0) =u1(xj);
j (0) = 2u
mt2 (x
j, 0)m
2u
t2(xj, 0);
j(0) = m
t (xj, 0)
m
t(xj, 0); para j=1, 2, ..., m.
(12)
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Problema Acoplado
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Problema equivalenteAnalogamente,
m(xj, 0) =j(0); (11)
Usando as solucoes aproximadas de (5) nas condicoes iniciais de (2), obtemos:
um
t (xj, 0) =
mi=1
i(0)wi(xj) =
j(0) =u1m(xj)m
u1(xj) = u
t(xj, 0)
Assim, temos que:
j(0) = u
t(xj, 0) =u1(xj);
j (0) = 2u
mt2 (x
j, 0)m
2u
t2(xj, 0);
j(0) = m
t (xj, 0)
m
t(xj, 0); para j=1, 2, ..., m.
(12)
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Problema Acoplado
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Problema equivalente
Para calcular os valores de (12)2,3, podemos tomar x=xj e t=0 nasequacoes do problema (1). Isto e:
j(0) =2u
t2(xj, 0) =
2ux2
(xj, 0) x
(xj, 0) + g1(xj, 0)
j (0) =2
x
2(xj, 0)
u1
x
(xj, 0) + g2(xj, 0)
(13)
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Problema Acoplado
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Metodo iterativo
Para 1/4, considere a seguinte aproximacao (aproximacao de
Newmark):
n =n+1 + (1 2)n +n1
n =n+1 + (1 2)n +n1
Gn1 =Gn+11 + (1 2)G
n1 +G
n11
Gn2 =Gn+12 + (1 2)Gn2 +Gn12
(14)
e para a primeira e segunda derivadas, tomamos o operador diferencialna seguinte forma:
un =un+1 un1
2t , 2un =
un+1 2un +un1
t2 ,
n =n+1 n1
2t
(15)
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Problema Acoplado
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Metodo iterativo
Para 1/4, considere a seguinte aproximacao (aproximacao de
Newmark):
n =n+1 + (1 2)n +n1
n =n+1 + (1 2)n +n1
Gn1 =Gn+11 + (1 2)G
n1 +G
n11
Gn2 =Gn+12 + (1 2)Gn2 +Gn12
(14)
e para a primeira e segunda derivadas, tomamos o operador diferencialna seguinte forma:
un =un+1 un1
2t , 2un =
un+1 2un +un1
t2 ,
n =n+1 n1
2t
(15)
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Problema Acoplado
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Metodo iterativo
Usando Newmark e diferencas centradas, temos:
M
n+1 2n + n1
t2
+ N
n+1 + (1 2)n + n1
(16)
+LTn+1 + (1 2)n + n1=Gn1
M
n+1 n1
2t + N
n+1 + (1 2)n + n1
(17)
+LTn+1 n1
2t
=Gn2
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Problema Acoplado
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Metodo iterativo
Usando Newmark e diferencas centradas, temos:
M
n+1 2n + n1
t2
+ N
n+1 + (1 2)n + n1
(16)
+LTn+1 + (1 2)n + n1=Gn1
M
n+1 n1
2t
+ N
n+1 + (1 2)n + n1
(17)
+LTn+1 n1
2t
=Gn2
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Problema Acoplado
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Sistema aproximado
Organizando e multiplicando (16) por 2(t)2, temos:
R1n+1 + Rn+14
n+1 = R2n R3
n1 R5n R6
n1 + 2t2Gn1(18)
onde as matrizes sao dadas por:
R1 =2
M + t2N
;
R2 = 4M + 2t2N(1 2);
R3 =R1;R4 =2t2LT;
R5 =2t2(1 2)LT;
R6 =R4
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Problema Acoplado
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Sistema aproximado
Organizando e multiplicando (16) por 2(t)2, temos:
R1n+1 + Rn+14
n+1 = R2n R3
n1 R5n R6
n1 + 2t2Gn1(18)
onde as matrizes sao dadas por:
R1 =2
M + t2N
;
R2 = 4M + 2t2N(1 2);
R3=
R1;
R4 =2t2LT;
R5 =2t2(1 2)LT;
R6 =R4
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Problema Acoplado
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Sistema aproximado
Organizando e multiplicando (17) por 2t, temos:
R10n+1 + Rn+17
n+1 = R8n R9
n1 R11n1 + 2tGn2 (19)
onde as matrizes sao dadas por:
R7 =M + 2tN;R8 =2tN(1 2);R9 = M + 2tN;R10 =LT;R11 = L
T;
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Problema Acoplado
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Sistema aproximado
Organizando e multiplicando (17) por 2t, temos:
R10n+1 + Rn+17
n+1 = R8n R9
n1 R11n1 + 2tGn2 (19)
onde as matrizes sao dadas por:
R7 =M + 2tN;R8 =2tN(1 2);R9 = M + 2tN;R10 =LT;R11 = L
T;
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Problema Acoplado
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Sistema Aproximado
Juntando as equacoes (18) e (19), obtemos o seguinte sistema linear de blocos dematrizes:
R1 R4R10 R7
R
n+1
n+1
n+1=
R2 R50 R4
S1
n
n
n R3 R6
R11 R9
S2
n1n1
n1
+2t tGn1
Gn2
Gn
(20)
Ou equivalentemente,
Rn+1 = S1n S2
n1 + 2tGn
onde n = [n n]T e cada componente vetorial e dado por:n = [n1
n2 . ..
nm]
T, n = [n1 n2 . ..
nm]
T
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Problema Acoplado
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Sistema Aproximado
Juntando as equacoes (18) e (19), obtemos o seguinte sistema linear de blocos dematrizes:
R1 R4R10 R7
R
n+1
n+1
n+1=
R2 R50 R4
S1
n
n
n R3 R6
R11 R9
S2
n1n1
n1
+2t tGn1
Gn2
Gn
(20)
Ou equivalentemente,
Rn+1 = S1n S2
n1 + 2tGn
onde n = [n n]T e cada componente vetorial e dado por:n = [n1
n2 . ..
nm]
T, n = [n1 n2 . ..
nm]
T
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Problema Acoplado
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ResultadosUsando as funcoes:
g1(
x, t) = (
x
2 3
+2xcos
(
(x
2 1
)))e
t
;
g2(x, t) = ((4x22 1)sen((x2 1)) 2cos((x2 1)) 2x)et;
A solucao analtica do problema e dada por:
u(x, t) = (x + 1)(x 1)et
;
(x, t) =sen((x + 1)(x 1))et;
Dados usados:
= =0.01;
=0.25;
T =1
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Problema Acoplado
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ResultadosUsando as funcoes:
g1(
x, t) = (
x
2 3
+2xcos
(
(x
2 1
)))e
t
;
g2(x, t) = ((4x22 1)sen((x2 1)) 2cos((x2 1)) 2x)et;
A solucao analtica do problema e dada por:
u(x, t) = (x + 1)(x 1)et
;
(x, t) =sen((x + 1)(x 1))et;
Dados usados:
= =0.01;
=0.25;
T =1
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Problema Acoplado
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ResultadosUsando as funcoes:
g1(
x, t) = (
x
2 3
+2xcos
(
(x
2 1
)))e
t
;
g2(x, t) = ((4x22 1)sen((x2 1)) 2cos((x2 1)) 2x)et;
A solucao analtica do problema e dada por:
u(x, t) = (x + 1)(x 1)et
;
(x, t) =sen((x + 1)(x 1))et;
Dados usados:
= =0.01;
=0.25;
T =1
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Problema Acoplado
R l d
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Resultados
Figura : u(x, t), LMB - nelx =4, nelt =10, = = 0.01, =0.25
Erro absoluto maximo: LMB (0.0197722).Rodrigo Lopes Rangel Madureira (UFRJ) Problemas Acoplados 19 de abril de 2016 19 / 31
Problema Acoplado
R l d
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Resultados
Figura : (x, t), RHO - nelx =4, nelt =10, = =0.01, = 0.25
Erro absoluto maximo: RHO (0.0304947).Rodrigo Lopes Rangel Madureira (UFRJ) Problemas Acoplados 19 de abril de 2016 20 / 31
Problema Acoplado
R l d
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34/44
Resultados
Figura : No do meio no espaco - LMB, RHO - nelx =4, nelt =10
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Problema Acoplado
R lt d
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Resultados
Figura : u(x, t), LMB - nelx =40, nelt =40, = = 0.01, = 0.25
Erro absoluto maximo: LMB(
0.0002607).Rodrigo Lopes Rangel Madureira (UFRJ) Problemas Acoplados 19 de abril de 2016 22 / 31
Problema Acoplado
R lt d
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36/44
Resultados
Figura : (x, t), RHO - nelx =40, nelt =40, = = 0.01, = 0.25
Erro absoluto maximo: RHO(
0.0003607).Rodrigo Lopes Rangel Madureira (UFRJ) Problemas Acoplados 19 de abril de 2016 23 / 31
Problema Acoplado
Res ltados
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Resultados
Figura : No do meio no espaco - LMB, RHO - nelx =40, nelt =40
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Problema Acoplado
Sistema Aproximado
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Sistema Aproximado
Exerccio:
Desacoplar o sistema.
Dica: Na segunda equacao, usar a seguinte aproximacao paraprimeira derivada de(t):
n(t) 3n 4n1 + n2
2t (21)
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Problema Acoplado
Desafio Problema com tres equacoes
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Desafio - Problema com tres equacoes
2u
t2
2u
x2 +1
x +2
P
x =f1(x, t), emQc
t + d
P
t k
2
x2 +1
2u
xt =f2(x, t), emQ (22)
dP
t +
t h
2P
x2 +2
2u
xt =f3(x, t), em
Q
com as seguintes condicoes de fronteira:
u= = P =0, em (23)e condicoes iniciais:
u(x, 0) =u0(x),u
t(x, 0) =u1(x), (x, 0) =0(x)
P(x, 0) =P0(x), x em K(0)< x < K(0) (24)
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Problema Acoplado
Problema com tres equacoes
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Problema com tres equacoesOndeQ e o domnio nao-cilndrico, contido no R2, definido por:Q= {(x, t) R2; x=K(t)y, y ] 1, 1[, t ]0, T[} (25)
com fronteira lateral
= 0 0.(iii) Existe uma constante positiva K1, tal que 1 [K(t)y]2 > K1,
0 t T, 1 y 1.(iv) , , 1, 2, ke hsao estritamente positivas.(v) Assuma que as constantes positivas c, d e satisfazem: c d2 > 0.Entao, essa condicao implica que c2 + 2dP+P2 >0.
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Problema Acoplado
Problema com tres equacoes
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Problema com tres equacoesCom:v(y, t) =u(K(t)y
x, t), (y, t) =(K(t)y
x, t),(y, t) =P(K(t)y
x, t), obtemos:
2v
t2
y
a1(y, t)
v
y
+ 2b2(y, t)
2v
yt+ a3(y, t)
v
y
+( )b1(t)2v
y2 +1a2(t)
y +2a2(t)
y =g1(y, t) em Q
c
t + cb2(y, t)
y + d
t + db2(y, t)
y +1a2(t)
2v
yt
+1
y
b3(y, t)
v
y
kb1(t)
2
y2 =g2(y, t) em Q
d
t + db2(y, t)
y +
t +b2(y, t)
y +2a2(t)
2v
yt
+2
y
b3(y, t)
v
y
hb1(t)
2
y2 =g3(y, t) em Q
(27)
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Problema Acoplado
Problema com tres equacoes
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Problema com tres equacoes
Condicoes de contorno:
v===0, em (28)
Condicoes iniciais:
v(y, 0) =v0(y),v
t(y, 0) =v1(y), (y, 0) =0(y),
(y, 0) =0(y), 1 < y < 1 (29)
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Problema Acoplado
Problema com tres equacoes
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Problema com tres equacoes
Sistema de equacoes diferenciais ordinarias obtido:
M(t) + 2UT(t)(t) +
S(t) + VT(t)
+ ( )b1(t)N
(t)+1a2(t)L
T(t) + 2a2(t)LT(t) =G1(t)
cM(t) + cUT(t) + kb1(t)Nij(t) + dM(t) + dUT(t)(t)+1a2(t)L
T(t) 1W(t)(t) =G2(t)
dM(t) + dUT(t) + hb1(t)Nij (t) +M(t) +U
T(t)(t)
+2a2(t)LT(t) 2W(t)(t) =G3(t)
(30)
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Bibliografia
Referencias I
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Referencias I
S. -I. CHOU, C. -C. WANG. Estimates of error in finite elementapproximate solutions to problems in linear thermoelasticity. Springer,1984.
LIMACO, J.; RINCON, M. A.; SANTOS, B.S.. Numerical Method,
Existence and Uniqueness for Thermoelasticity System with MovingBoundary. CAM, 2005.
RINCON, M. A.; LIU, I-SHIH.. Introducao ao Metodo dos ElementosFinitos. UFRJ, IM, 2011.
FALCAO, D.L., MELCIDES, P.. Equacoes Diferenciais Parciais e aTermoelasticidade Linear. UFSC, 2009.
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