Problemas Acoplados

7/26/2019 Problemas Acoplados

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Universidade Federal do Rio de Janeiro

Programa de Pos-Graduacao em InformaticaDoutorado em Informatica

Problemas Acoplados

Aluno: Rodrigo Lopes Rangel Madureira

Rodrigo Lopes Rangel Madureira (UFRJ) Problemas Acoplados 19 de abril de 2016 1 / 31
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Sumario

1 Introducao

2 Sistema Aproximado

3 Problema Acoplado

4 Bibliografia

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Introducao

O que e um sistema acoplado?

Ocorre quando duas ou mais equacoes de um sistema precisam serresolvidos simultaneamente.

Por exemplo, pelo sistema:

Adn+1 +Bgn+1 =Cdn Ddn1 Egn Fgn1Adn+1 + Bgn+1 = Cdn + Ddn1 Egn + Fgn1

Supondo que os valores dedn, dn1, gn e gn1 sejam conhecidos, nas

duas equacoes a incognita dn+1 depende do valor da incognita gn+1 evice-versa.

Assim, nao e possvel resolver cada equacao separadamente.



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Introducao

Introducao

Num exemplo simples, vamos considerar o seguinte problematermolinear:

uttuxx+ x =g1(x, t), emQ= [1, 1] R+

t xx+ uxt =g2(x, t), emQ= [1, 1] R+ (1)Tal sistema descreve vibracoes de uma barra muito fina, formada pormaterial condutor de calor sujeita a efeitos termicos, onde:

u(x, t): deslocamento

(x, t): temperatura

, : constantes materiais

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Introducao

Introducao

Condicoes iniciais:

u(x, 0) =u0(x), ut(x, 0) =u1(x),

(x, 0) =0(x). (2)

Condicoes de fronteira:

u(1, t) =u(1, t) =0,

(1, t) =(1, t) =0. (3)


I d
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Introducao

IntroducaoMultiplicando (1) por D(1, 1), integrando e depois fazendointegracao por partes, obtemos:

11

utt dx +1

1

uxx dx + 1

1

x dx=1

1

g1(x, t) dx

11

t dx +1

1

xx dx + 1

1

uxt dx=1

1

g2(x, t) dx

Em notacao de produto interno:

(utt, ) + (ux, x) + (x, ) = (g1(t), )

(t, ) + (x, x) + (uxt, ) = (g2(t), ) (4)


I t d
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Introducao

IntroducaoMultiplicando (1) por D(1, 1), integrando e depois fazendointegracao por partes, obtemos:

11

utt dx +1

1

uxx dx + 1

1

x dx=1

1

g1(x, t) dx

11

t dx +1

1

xx dx + 1

1

uxt dx=1

1

g2(x, t) dx

Em notacao de produto interno:

(utt, ) + (ux, x) + (x, ) = (g1(t), )

(t, ) + (x, x) + (uxt, ) = (g2(t), ) (4)


Sistema Aproximado
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Sistema Aproximado

Sistema Aproximado

Seja T > 0 e denote por Vm o subespaco gerado por w1, w2,...,wm onde(wi

)iN

Vm

H

1

0(

1, 1). Para cada m

N, considere as seguintes solucoesaproximadasvm, m, m representadas por:

um(x, t) =

mi=1

i(t)wi(x);

m(x, t) =mi=1

i(t)wi(x); (5)

Fazendo=wj em (4), construo as seguintes matrizes e vetores usandoelementos finitos no espaco:

Mij = (wi, wj) ; Nij =

wi

x ,

wj

x

; Lij =

wi

x , wj

;

G1j = (g1(t), wj) ; G2j = (g2(t), wj) ; (6)


Sistema Aproximado
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Sistema Aproximado

Sistema Aproximado

Seja T > 0 e denote por Vm o subespaco gerado por w1, w2,...,wm onde(w

i)iN

Vm H1

0(1, 1). Para cada m N, considere as seguintes solucoes

aproximadasvm, m, m representadas por:

um(x, t) =

mi=1

i(t)wi(x);

m(x, t) =mi=1

i(t)wi(x); (5)

Fazendo=wj em (4), construo as seguintes matrizes e vetores usandoelementos finitos no espaco:

Mij = (wi, wj) ; Nij =

wi

x ,

wj

x

; Lij =

wi

x , wj

;

G1j = (g1(t), wj) ; G2j = (g2(t), wj) ; (6)


Sistema Aproximado
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Sistema Aproximado

Sistema Aproximado

Substituindo as solucoes aproximadas em (4), obtemos:

mi=1

i(t)Mij+ i(t)Nij+ i(t)Lij

=G1j, para j=1, 2, ...

m

i=1

i(t)Mij+ i(t)Nij+

i(t)Lij =G2j, para j=1, 2, ...Sabendo que as matrizes Me N sao simetricas e L nao e simetrica, fazendo atransposta de todos os membros das equacoes do sistema anterior, temos:

mj=1

Mij i (t) + Niji(t) + LTiji(t) =G1i, para i=1, 2, ...mi=1

Mij

i(t) + Niji(t) + LTij

i(t)

=G2i, para i=1, 2, ...

(7)


Sistema Aproximado
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p

Sistema Aproximado

Substituindo as solucoes aproximadas em (4), obtemos:

mi=1

i(t)Mij+ i(t)Nij+ i(t)Lij

=G1j, para j=1, 2, ...

m

i=1

i(t)Mij+ i(t)Nij+

i(t)Lij =G2j, para j=1, 2, ...Sabendo que as matrizes Me N sao simetricas e L nao e simetrica, fazendo atransposta de todos os membros das equacoes do sistema anterior, temos:

mj=1

Mij i (t) + Niji(t) + LTiji(t) =G1i, para i=1, 2, ...mi=1

Mij

i(t) + Niji(t) + LTij

i(t)

=G2i, para i=1, 2, ...

(7)


Sistema Aproximado
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p

Sistema Aproximado

Assim, obtemos o seguinte sistema de equacoes diferenciais ordinarias:

M(t) + N(t) + LT(t) =G1(t)

M(t) + N(t) + LT(t) =G2(t)(8)

Esse sistema pode ser resolvido usando metodo de Newmark,diferencas centrais e eliminacao gaussiana. Veremos mais adiante.


Problema Acoplado
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Sistema AcopladoPara esse procedimento, queremos erro na ordem O(t2) para o deslocamento, atemperatura e o potencial. Com efeito, usando a notacao n =(n t) e a

expansao de Taylor, obtemos:

1 =0

(0)t +

(0)

2 t2;

1 =0 t

(0);(9)

De (5), temos quando x=xj para j=1, 2, ..., me t=0:

um(xj, 0) =

mi=1

i(0)wi(xj)

=j(0) (10)

pois,

wi(xj) =

1, se i=j0, se i =j


Problema Acoplado
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Sistema AcopladoPara esse procedimento, queremos erro na ordem O(t2) para o deslocamento, atemperatura e o potencial. Com efeito, usando a notacao n =(n t) e a

expansao de Taylor, obtemos:

1 =0

(0)t +

(0)

2 t2;

1 =0 t

(0);(9)

De (5), temos quando x=xj para j=1, 2, ..., me t=0:

um(xj, 0) =

mi=1

i(0)wi(xj)

=j(0) (10)

pois,

wi(xj) =

1, se i=j0, se i =j


Problema Acoplado
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Problema equivalenteAnalogamente,

m(xj, 0) =j(0); (11)

Usando as solucoes aproximadas de (5) nas condicoes iniciais de (2), obtemos:

umt (xj, 0) =

mi=1

i(0)wi(xj) =

j(0) =u1m(xj)m

u1(xj) = ut(xj, 0)

Assim, temos que:

j(0) = u

t(xj, 0) =u1(xj);

j (0) = 2u

mt2 (x

j, 0)m

2u

t2(xj, 0);

j(0) = m

t (xj, 0)

m

t(xj, 0); para j=1, 2, ..., m.

(12)


Problema Acoplado
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m(xj, 0) =j(0); (11)


umt (xj, 0) =

mi=1

i(0)wi(xj) =

j(0) =u1m(xj)m

u1(xj) = ut(xj, 0)

Assim, temos que:

j(0) = u

t(xj, 0) =u1(xj);

j (0) = 2u

mt2 (x

j, 0)m

2u

t2(xj, 0);

j(0) = m

t (xj, 0)

m

t(xj, 0); para j=1, 2, ..., m.

(12)


Problema Acoplado
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m(xj, 0) =j(0); (11)


um

t (xj, 0) =

mi=1

i(0)wi(xj) =

j(0) =u1m(xj)m

u1(xj) = u

t(xj, 0)

Assim, temos que:

j(0) = u

t(xj, 0) =u1(xj);

j (0) = 2u

mt2 (x

j, 0)m

2u

t2(xj, 0);

j(0) = m

t (xj, 0)

m

t(xj, 0); para j=1, 2, ..., m.

(12)


Problema Acoplado
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Problema equivalente

Para calcular os valores de (12)2,3, podemos tomar x=xj e t=0 nasequacoes do problema (1). Isto e:

j(0) =2u

t2(xj, 0) =

2ux2

(xj, 0) x

(xj, 0) + g1(xj, 0)

j (0) =2

x

2(xj, 0)

u1

x

(xj, 0) + g2(xj, 0)

(13)


Problema Acoplado
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Metodo iterativo

Para 1/4, considere a seguinte aproximacao (aproximacao de

Newmark):

n =n+1 + (1 2)n +n1

n =n+1 + (1 2)n +n1

Gn1 =Gn+11 + (1 2)G

n1 +G

n11

Gn2 =Gn+12 + (1 2)Gn2 +Gn12

(14)

e para a primeira e segunda derivadas, tomamos o operador diferencialna seguinte forma:

un =un+1 un1

2t , 2un =

un+1 2un +un1

t2 ,

n =n+1 n1

2t

(15)


Problema Acoplado
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Metodo iterativo

Para 1/4, considere a seguinte aproximacao (aproximacao de

Newmark):

n =n+1 + (1 2)n +n1

n =n+1 + (1 2)n +n1

Gn1 =Gn+11 + (1 2)G

n1 +G

n11

Gn2 =Gn+12 + (1 2)Gn2 +Gn12

(14)

e para a primeira e segunda derivadas, tomamos o operador diferencialna seguinte forma:

un =un+1 un1

2t , 2un =

un+1 2un +un1

t2 ,

n =n+1 n1

2t

(15)


Problema Acoplado


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Metodo iterativo

Usando Newmark e diferencas centradas, temos:

M

n+1 2n + n1

t2

+ N

n+1 + (1 2)n + n1

(16)

+LTn+1 + (1 2)n + n1=Gn1

M

n+1 n1

2t + N

n+1 + (1 2)n + n1

(17)

+LTn+1 n1

2t

=Gn2


Problema Acoplado
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Metodo iterativo

Usando Newmark e diferencas centradas, temos:

M

n+1 2n + n1

t2

+ N

n+1 + (1 2)n + n1

(16)

+LTn+1 + (1 2)n + n1=Gn1

M

n+1 n1

2t

+ N

n+1 + (1 2)n + n1

(17)

+LTn+1 n1

2t

=Gn2


Problema Acoplado
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Sistema aproximado

Organizando e multiplicando (16) por 2(t)2, temos:

R1n+1 + Rn+14

n+1 = R2n R3

n1 R5n R6

n1 + 2t2Gn1(18)

onde as matrizes sao dadas por:

R1 =2

M + t2N

;

R2 = 4M + 2t2N(1 2);

R3 =R1;R4 =2t2LT;

R5 =2t2(1 2)LT;

R6 =R4


Problema Acoplado
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Sistema aproximado

Organizando e multiplicando (16) por 2(t)2, temos:

R1n+1 + Rn+14

n+1 = R2n R3

n1 R5n R6

n1 + 2t2Gn1(18)


R1 =2

M + t2N

;

R2 = 4M + 2t2N(1 2);

R3=

R1;

R4 =2t2LT;

R5 =2t2(1 2)LT;

R6 =R4


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Sistema aproximado

Organizando e multiplicando (17) por 2t, temos:

R10n+1 + Rn+17

n+1 = R8n R9

n1 R11n1 + 2tGn2 (19)


R7 =M + 2tN;R8 =2tN(1 2);R9 = M + 2tN;R10 =LT;R11 = L

T;


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Sistema aproximado

Organizando e multiplicando (17) por 2t, temos:

R10n+1 + Rn+17

n+1 = R8n R9

n1 R11n1 + 2tGn2 (19)


R7 =M + 2tN;R8 =2tN(1 2);R9 = M + 2tN;R10 =LT;R11 = L

T;


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Sistema Aproximado

Juntando as equacoes (18) e (19), obtemos o seguinte sistema linear de blocos dematrizes:

R1 R4R10 R7

R

n+1

n+1

n+1=

R2 R50 R4

S1

n

n

n R3 R6

R11 R9

S2

n1n1

n1

+2t tGn1

Gn2

Gn

(20)

Ou equivalentemente,

Rn+1 = S1n S2

n1 + 2tGn

onde n = [n n]T e cada componente vetorial e dado por:n = [n1

n2 . ..

nm]

T, n = [n1 n2 . ..

nm]

T


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Sistema Aproximado

Juntando as equacoes (18) e (19), obtemos o seguinte sistema linear de blocos dematrizes:

R1 R4R10 R7

R

n+1

n+1

n+1=

R2 R50 R4

S1

n

n

n R3 R6

R11 R9

S2

n1n1

n1

+2t tGn1

Gn2

Gn

(20)

Ou equivalentemente,

Rn+1 = S1n S2

n1 + 2tGn

onde n = [n n]T e cada componente vetorial e dado por:n = [n1

n2 . ..

nm]

T, n = [n1 n2 . ..

nm]

T


Problema Acoplado
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ResultadosUsando as funcoes:

g1(

x, t) = (

x

2 3

+2xcos

(

(x

2 1

)))e

t

;

g2(x, t) = ((4x22 1)sen((x2 1)) 2cos((x2 1)) 2x)et;

A solucao analtica do problema e dada por:

u(x, t) = (x + 1)(x 1)et

;

(x, t) =sen((x + 1)(x 1))et;

Dados usados:

= =0.01;

=0.25;

T =1


Problema Acoplado
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g1(

x, t) = (

x

2 3

+2xcos

(

(x

2 1

)))e

t

;



u(x, t) = (x + 1)(x 1)et

;

(x, t) =sen((x + 1)(x 1))et;

Dados usados:

= =0.01;

=0.25;

T =1


Problema Acoplado
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g1(

x, t) = (

x

2 3

+2xcos

(

(x

2 1

)))e

t

;



u(x, t) = (x + 1)(x 1)et

;

(x, t) =sen((x + 1)(x 1))et;

Dados usados:

= =0.01;

=0.25;

T =1


Problema Acoplado

R l d
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Resultados

Figura : u(x, t), LMB - nelx =4, nelt =10, = = 0.01, =0.25

Erro absoluto maximo: LMB (0.0197722).Rodrigo Lopes Rangel Madureira (UFRJ) Problemas Acoplados 19 de abril de 2016 19 / 31

Problema Acoplado

R l d
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Resultados

Figura : (x, t), RHO - nelx =4, nelt =10, = =0.01, = 0.25

Erro absoluto maximo: RHO (0.0304947).Rodrigo Lopes Rangel Madureira (UFRJ) Problemas Acoplados 19 de abril de 2016 20 / 31

Problema Acoplado

R l d
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Resultados

Figura : No do meio no espaco - LMB, RHO - nelx =4, nelt =10


Problema Acoplado

R lt d
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Resultados

Figura : u(x, t), LMB - nelx =40, nelt =40, = = 0.01, = 0.25

Erro absoluto maximo: LMB(

0.0002607).Rodrigo Lopes Rangel Madureira (UFRJ) Problemas Acoplados 19 de abril de 2016 22 / 31

Problema Acoplado

R lt d
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Resultados

Figura : (x, t), RHO - nelx =40, nelt =40, = = 0.01, = 0.25

Erro absoluto maximo: RHO(

0.0003607).Rodrigo Lopes Rangel Madureira (UFRJ) Problemas Acoplados 19 de abril de 2016 23 / 31

Problema Acoplado

Res ltados
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Resultados

Figura : No do meio no espaco - LMB, RHO - nelx =40, nelt =40


Problema Acoplado

Sistema Aproximado
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Sistema Aproximado

Exerccio:

Desacoplar o sistema.

Dica: Na segunda equacao, usar a seguinte aproximacao paraprimeira derivada de(t):

n(t) 3n 4n1 + n2

2t (21)


Problema Acoplado

Desafio Problema com tres equacoes
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Desafio - Problema com tres equacoes

2u

t2

2u

x2 +1

x +2

P

x =f1(x, t), emQc

t + d

P

t k

2

x2 +1

2u

xt =f2(x, t), emQ (22)

dP

t +

t h

2P

x2 +2

2u

xt =f3(x, t), em

Q

com as seguintes condicoes de fronteira:

u= = P =0, em (23)e condicoes iniciais:

u(x, 0) =u0(x),u

t(x, 0) =u1(x), (x, 0) =0(x)

P(x, 0) =P0(x), x em K(0)< x < K(0) (24)


Problema Acoplado

Problema com tres equacoes


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Problema com tres equacoesOndeQ e o domnio nao-cilndrico, contido no R2, definido por:Q= {(x, t) R2; x=K(t)y, y ] 1, 1[, t ]0, T[} (25)

com fronteira lateral

= 0 0.(iii) Existe uma constante positiva K1, tal que 1 [K(t)y]2 > K1,

0 t T, 1 y 1.(iv) , , 1, 2, ke hsao estritamente positivas.(v) Assuma que as constantes positivas c, d e satisfazem: c d2 > 0.Entao, essa condicao implica que c2 + 2dP+P2 >0.


Problema Acoplado

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Problema com tres equacoesCom:v(y, t) =u(K(t)y

x, t), (y, t) =(K(t)y

x, t),(y, t) =P(K(t)y

x, t), obtemos:

2v

t2

y

a1(y, t)

v

y

+ 2b2(y, t)

2v

yt+ a3(y, t)

v

y

+( )b1(t)2v

y2 +1a2(t)

y +2a2(t)

y =g1(y, t) em Q

c

t + cb2(y, t)

y + d

t + db2(y, t)

y +1a2(t)

2v

yt

+1

y

b3(y, t)

v

y

kb1(t)

2

y2 =g2(y, t) em Q

d

t + db2(y, t)

y +

t +b2(y, t)

y +2a2(t)

2v

yt

+2

y

b3(y, t)

v

y

hb1(t)

2

y2 =g3(y, t) em Q

(27)


Problema Acoplado



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Condicoes de contorno:

v===0, em (28)

Condicoes iniciais:

v(y, 0) =v0(y),v

t(y, 0) =v1(y), (y, 0) =0(y),

(y, 0) =0(y), 1 < y < 1 (29)


Problema Acoplado



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Sistema de equacoes diferenciais ordinarias obtido:

M(t) + 2UT(t)(t) +

S(t) + VT(t)

+ ( )b1(t)N

(t)+1a2(t)L

T(t) + 2a2(t)LT(t) =G1(t)

cM(t) + cUT(t) + kb1(t)Nij(t) + dM(t) + dUT(t)(t)+1a2(t)L

T(t) 1W(t)(t) =G2(t)

dM(t) + dUT(t) + hb1(t)Nij (t) +M(t) +U

T(t)(t)

+2a2(t)LT(t) 2W(t)(t) =G3(t)

(30)


Bibliografia

Referencias I
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Referencias I

S. -I. CHOU, C. -C. WANG. Estimates of error in finite elementapproximate solutions to problems in linear thermoelasticity. Springer,1984.

LIMACO, J.; RINCON, M. A.; SANTOS, B.S.. Numerical Method,

Existence and Uniqueness for Thermoelasticity System with MovingBoundary. CAM, 2005.

RINCON, M. A.; LIU, I-SHIH.. Introducao ao Metodo dos ElementosFinitos. UFRJ, IM, 2011.

FALCAO, D.L., MELCIDES, P.. Equacoes Diferenciais Parciais e aTermoelasticidade Linear. UFSC, 2009.

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Documents

Problemas Acoplados