������������ ���� ���������� ����������� ���
�� ��������� � �������� ����
������������ �������
������ �������������������
�������� �������
6.1. CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE MÁXIMO Ó MÍNIMO.
������ �� � ����� ����������� ��� ������� �� ������ � �� ���� ��� �������������������� ���� �� � �
������� ���� � ����� � ����� ���� ������ �� � �������������� � ��� ��� ����� �� ��� �� �
6.2. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO
6.3. SIGNIFICADO DE LA PRIMERA DERIVADA
������� � ���� ����� ������ ���� ����� �
������� ��������� � ����� ������� ������� ������ ��� �� � ��� ��� �
6.4. SINIFICADO Y APLICACIONES DE LA SEGUNDA DERIVADA
������� �� ������ ����� ������� �������� �� ������ � �������������������� ���� �� � �
������� ��������� � ����� ������� ������� ������ ����������� ��� �
�
������������� ����������������������������������������������������� 270 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
���� �� � � ��� � � ���� �� � � � ������� �� � �� ���� � � �� �� � �
������ ��� ����� �����������������
������������������� [ ]: ,f a b →� ��� 0 [ , ]x a b∈ ��
� �� �!�"#$%&� 0x ��'�#$����������������(�� ( )f x ��$��!�)$%�*+�!&�[ , ]a b �')���',!&�')�
[ ]0( ) ( ), ,f x f x x a b≥ ∀ ∈ �
- �� �!�"#$%&� 0x ��'�#$����������� ������(�� ( )f x ��$��!�)$%�*+�!&� [ , ]a b �')���',!&�')�
[ ]0( ) ( ), ,f x f x x a b≤ ∀ ∈ �
� � �'%&'� ����� �.%*�/ &'� %�/ -)0$� '�� !�'� !!�/ �� � ��� ��� �� � ���� ���
����������� � 0( )f x � '�� !�� !!�/ �� ������ ������ �� ���������� �� ���������� (�� ( )f x � �$�
[ , ]a b ��
� �)�!��1#$2),$�1#�'��2&$%)$#���$��!�)$%�*+�!&�2�**�(&� [ , ]a b 3�!���.)'%�$2)��(�!�
+�!&*��.%*�/ &�4'#"�*)&*�,�)$1�*)&* �(�� ( )f x ��$� [ , ]a b �5#�(�*6��7�*�$%)8�(����'%&�$&�
'�*6�� �'6� ')� !�� 2&$%)$#)(�(� (�� !�� 1#$2),$� '�� ()�'�� 9$)2�/ �$%�� �$� �!� )$%�*+�!&��
�-)�*%& ( , )a b ��
����������� ��� ���� :f D ⊂ →� � 3� �� !&'� "#$%&'� d D∈ %�!�'� 5#�� ∃� δ� :;�
+�*)1)2�$(&<�
( ) ( ) (ó ( ) ( )); ( - , )f d f x f d f x x d d Dδ δ> < ∀ ∈ + ∩ �
'�� !�'� (�$&/ )$�� ������ ��� �� ��� ��� �� � ���� ���� �������� ,� *�!�%)+&'� ,3� / #��
1*�2#�$%�/ �$%�3�/ =.)/ &'�,�/ 6$)/ &'���'�2�'��
������������� ����������������������������������������������������� 271 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� ��� �'%�'� (�1)$)2)&$�'� "&(�/ &'� (�(#2)*� �!7#$�'� *�!�2)&$�'� �$%*�� �'%&'�
"#$%&'<�
� �$��.%*�/ &��-'&!#%&��'�#$�2�'&�"�*%)2#!�*�(���.%*�/ &�!&2�!��
� �$�+�!&*��.%*�/ &� 4'#"�*)&*�,�)$1�*)&* ��'�9$)2&>�"�*&�"#�(��?�-�*�/ ='�(��#$�
"#$%&��.%*�/ &��
� �$��.%*�/ &�*�!�%)+&�"#�(��2&)$2)()*�,�$&�2&$�#$�"#$%&��.%*�/ &��-'&!#%&��
������ ���������� ����� �� � � �
���������������������� �� � ��
�������� ��� �)� ( , )d a b∈ � �'� #$� "#$%&� (�� / =.)/ &� 4/ 6$)/ & � !&2�!� "�*�� �!�
5#� f'(d)∃ 3��$%&$2�'�'��+�*)1)2��5#� '( ) 0f d = ��
� ��/ &'%*�2),$��
�#"&$7�/ &'�5#��'��%*�%��(��#$�/ =.)/ &>�"&*�(�1)$)2),$��'<�
( - ) - ( ) 0f d f dδ ≤ ��� ( ) - ( ) 0f d f dδ+ ≤ �
�&*�&%*���"�*%�3�%�/ -)0$�"&*�(�1)$)2),$�(��(�*)+�(��
0 0 0 00
0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim
h h
f x h f x f x h f xf x
h h+ −→ →
+ − + −′ = = �
�!�$#/ �*�(&*�(��!&'�(&'�!6/ )%�'��$%�*)&*�'��'�$�7�%)+&�,�2�*&>��!�(�$&/ )$�(&*�
�'�"&')%)+&��$��!�"*)/ �*&���$�7�%)+&��$��!�'�7#$(&>�"&*�%�$%&�!��9$)2��"&')-)!)(�(�
(�� 5#�� '��$� )7#�!�'� 4�� (�-�$� '�*!&� "�*�� 5#�� �.)'%�� !�� (�*)+�(�� (�� ( )f x �$� �!�
"#$%&�( ��'�5#���/ -&'�'��$�)7#�!�'���2�*&���"&*�%�$%& '( ) 0f d = ��
� �()�$%�� #$� "*&2�()/ )�$%&� �$=!&7&� +�*6�/ &'� 5#�� %�/ -)0$� 1@4. A;� 2#�$(&� '��
%*�%��(��#$�/ 6$)/ &>�!#�7&�!&'�/ =.)/ &'���/ 6$)/ &'�!&2�!�'��'%=$�)$2!#6(&'��$%*��
!&'�5#��!!�/ �*�/ &'�"#$%&'�')$7#!�*�'���
���������������!&'�"#$%&'�(��)$%�*+�!&�[ , ]a b ��"�*��!&'�5#��&�-)�$� ( ) 0f x′ = �&�-)�$�
$&��.)'%�� ( )f x′ 3�'��!�'�(�$&/ )$������������������
������������� ����������������������������������������������������� 272 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
������ ���� � ������� ��� ��� �� ���
��� �� ��� ��� ��� �������� ��� ���
���� ����� �� ��
� ���%&(&�!&�+)'%&��$%�*)&*/ �$%��(�(#2)/ &'�5#�<�
� �!�5#��'��+�*)1)5#��5#�� '( ) 0f d = �$&�')7$)1)2��$�2�'�*)�/ �$%��5#����'���#$�
/ =.)/ &�,�/ 6$)/ &�!&2�!���'�(�2)*3�#$�"#$%&�')$7#!�*�$&�%)�$��"&*�5#��'��#$�
"#$%&��.%*�/ &���
� �!�+�!&*��.%*�/ &�"#�(��*�2��*��$�2#�!5#)�*��(��!&'��.%*�/ &'�(�!�)$%�*+�!&��
� �)� �!� +�!&*� �.%*�/ &� $&� *�2��� �$� !&'� �.%*�/ &'� (�!� )$%�*+�!&� '�*=3�
$�2�'�*)�/ �$%�3�#$�"#$%&�')$7#!�*��
� �)� &-'�*+�/ &'� !�� �)7#*�� ���3� +�/ &'� 5#�� $&� �.)'%�� 1@42 � ��
5#� '( ) '( ) '( ) 0f b f d f e= = = 3�5#��'&$�%&(&'�!&'�"#$%&'�')$7#!�*�'�(��!��1#$2),$���)$�
�/ -�*7&3� '�� 2#/ "!� ( ) ( )f c f a> � �� ( ) ( )f b f c> 3� "&*� %�$%&3� � 2� $&� �'� �.%*�/ &� 4$)�
'#"�*)&*3� $)� )$1�*)&* �� �&/ &� ( ) ( ) ( ) f e f d f b< < "&*� %�$%&� (� $&� �'� �.%*�/ &�� �)$�
�/ -�*7&����'��!��.%*�/ &�)$1�*)&*���-��!��.%*�/ &�'#"�*)&*���
�
Figura 6.1. Extremos de una función en un intervalo cerrado
� �� �.)'%�$2)�� (�� !&'� �.%*�/ &'� (�� #$�� 1#$2),$� 5#�(�� 7�*�$%)8�(�� ')� !��
1#$2),$� �'� 2&$%)$#�� �$� �!� )$%�*+�!&� [ , ]a b � �� (�-�$� 2&)$2)()*� 2&$� �!7#$&� (�� !&'�
')7#)�$%�'�"#$%&'<�
�
������������� ����������������������������������������������������� 273 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� �#$%&'��$�!&'�5#��1@4. A;��
� �#$%&'��$�5#��!&'�5#��$&��.)'%��1@4. ��
� &'��.%*�/ &'�(�!�)$%�*+�!&3��'�(�2)*���,�-��
� � $��+�8�?�!!�(&��!�+�!&*�(��14. ��$�2�(��#$&�(���'%&'�"#$%&'3��!�/ ��&*�(��
�!!&'�'�*=��!��.%*�/ &�'#"�*)&*��3��!�/ �$&*3��!��.%*�/ &�)$1�*)&*�(��!��1#$2),$��$��!�
)$%�*+�!&�[ , ]a b ��
� ����������������� [ ]: 0,6f →� �(�1)$)(��"&*� ( ) 4 - 3f x x= − ��
x
1
2
3
4
y
f�c�
f�a� f�b�
I Ia�0 c�3 b�6
Figura 6.2. Función con extremo en un punto donde no existe la derivada.
� ��1#$2),$��'�2&$%)$#���$��!�)$%�*+�!&� [0,6] ��3�"&*�%�$%&3��!2�$8���!�+�!&*�
/=.)/&���/6$)/&��
� �)� &-'�*+�/&'� !�� 7*=1)2�� (�� !�� 1#$2),$� &-'�*+�/&'� 5#�� $&� �.)'%�� �$� �!�
)$%�*)&*�(�!�)$%�*+�!&� [0,6] �$)$79$�"#$%&�%�!�5#� '( ) 0f x = >�')$��/-�*7&�.A���'�
#$�"#$%&��$��!�5#��$&��.)'%�� '(3)f ���'�(�2)*�.A���'��!�9$)2&�"#$%&�')$7#!�*�(��!��
1#$2),$����!2�$8���!�/=.)/&���
� �!�+�!&*�/6$)/&�!&��!2�$8���$�!&'��.%*�/&'�(�!�)$%�*+�!&3��'�(�2)*��$�.A;���
.A����
�
������������� ����������������������������������������������������� 274 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
���� ��� ��� �� ��� �� �� �� �� �
� &'� %�&*�/ �'� 5#�� �� 2&$%)$#�2),$� +�/ &'� �� �$#$2)�*� $&'� +�$� �� "�*/ )%)*�
2&$&2�*�"*&")�(�(�'�(��!��1#$2),$���%*�+0'�(��'#�(�*)+�(����'%&'�*�'#!%�(&'�'&$�(��
7*�$�#%)!)(�(���!��?&*��(��(�2)*�2#�$(&�#$��1#$2),$�"*�'�$%��#$�/ =.)/ &�&�/ 6$)/ &��
�������� ��� ������ �� ���� ������ � ����� ��� ������� � ���� [ ]: ,f a b →� � �'� #$��
1#$2),$�%�!�5#��
� � ( )f x �2&$%)$#���$�[ , ]a b �
- � ( )f x �(�*)+�-!���$� ( , )a b �
2 � ( ) ( )f a f b= ��
�$%&$2�'3��.)'%���!�/ �$&'�#$�"#$%&�.&∈ ( , )a b �%�!�5#��� 0'( ) 0f x = ��
� ��/&'%*�2),$��
� �&*�'�*� ( )f x �2&$%)$#���$� [ , ]a b 3�%�$(*=3��!�/�$&'3�#$��.%*�/&�'#"�*)&*���
#$��.%*�/&�)$1�*)&*���
� �#"&$7�/&'� 5#�� �'%�� �.%*�/&� �'� #$� "#$%&� (�!� )$%�*)&*� (�!� )$%�*+�!&�
( , )a b ���$%&$2�'3�(�-��'�* 0'( ) 0f x = 3�"&*�5#�� ( )f x ��'�(�*)+�-!��%&(&'�!&'�
"#$%&'�(�!�)$%�*+�!&� ( , )a b ��
� �$� 2�'&� 2&$%*�*)&3� !&'� �.%*�/&'� '#"�*)&*� �� )$1�*)&*� 2&)$2)()*=$� 2&$� !&'�
"#$%&'� �.%*�/&'�(�!� )$%�*+�!&����� -�� �&/&� ( ) ( )f a f b= 3� �$%&$2�'� ( )f x �
'�*=�2&$'%�$%���3�"&*�%�$%&3� '( ) 0 ( , )f x x a b= ∀ ∈ ���
� �$�2#�!5#)�*�2�'&3��.)'%���!�/�$&'�#$�"#$%&� 0 ( , )x a b∈ �%�!�5#��� 0'( ) 0f x = ��
�&(&��'%&�'��"#�(��&-'�*+�*��$�!���)7#*��������
� � -'0*+�'��5#���'� 2&$()2),$�$�2�'�*)��!��(�*)+�-)!)(�(�(�� ( )f x � �$� ( , )a b �
"#�'� �$� 2�'&� 2&$%*�*)&� $&� "&(*6�/&'� �'�7#*�*� 5#�� �.)'%�� #$� 0 ( , )x a b∈ %�!� 5#���
0'( ) 0f x = ���&/&�"#�(��&-'�*+�*'���$��!��B�/"!&������
������������� ����������������������������������������������������� 275 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
x
y
a bxo
Figura 6.3. Interpretación gráfica del Teorema de Rolle
� ����������������3� [ ]: 0, 2f →� �(�1)$)(��"&*<�
( ) 1f x x= −1 ; 0 1
1; 1 2x x
x x
− ≤ ≤�= � − ≤ ≤�
��
�'%�� 1#$2),$� $&� %)�$�� $)$79$� "#$%&� �$� �!� )$%�*)&*� (�!� )$%�*+�!&� [0, 2] � %�!�
5#� '( ) 0f x = 3� �� ')$� �/ -�*7& (0) (2)f f= �� C�&$%*�()2�� 0'%&� �!� ��&*�/ �� (��
&!!�D�
� ���� "&*5#�� !�� 1#$2),$� $&� �'� (�*)+�-!�� �$� .A�3� �� "&*� %�$%&� $&� 2#/ "!�� !��
'�7#$(��2&$()2),$�(�!���&*�/ ����
� ���������������/ &'%*�*�5#��!���2#�2),$�5 2 1 0x x+ − = �%)�$��#$����',!&�#$��*�68�
*��!���
� ��1)$)/ &'�!��1#$2),$�5( ) 2 1f x x x= + − 3�2&$%)$#����(�*)+�-!���$�2#�!5#)�*�
"#$%&���#�'%&�5#��
(0) 1 0(1) 2 0
f
f
= − <= >
�
!�� 1#$2),$� 2�/ -)�� (�� ')7$&� �$� �!� )$%�*+�!&� [0,1] � �3� �"!)2�$(&� �!� ��&*�/ �� (��
E&!8�$&� "&(�/ &'� 7�*�$%)8�*� 5#�� !�� 1#$2),$� '�� �$#!�� �$� �'�� )$%�*+�!&� �3� "&*�
%�$%&3��.)'%��#$��*�68�(��!���2#�2),$�(�(���
������������� ����������������������������������������������������� 276 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� �#"&$7�/ &'�5#��!���2#�2),$�%)�$��(&'�*�62�'�*��!�'� 0 1 y x x ���$��'%��2�(&�
'��2#/ "!�<�
� 1�2&$%)$#���$� 0 1[ , ]x x �
� 1�(�*)+�-!���$� 0 1[ , ]x x �
� 0 1( ) ( )f x f x= ��
� �$� �'%�'� 2&$()2)&$�'� �!� ��&*�/ �� (�� &!!�� �1)*/ �� 5#�� �$� �!� )$%�*+�!&�
0 1[ , ]x x � (�-�� �.)'%)*� #$� "#$%&� 3x � %�!� 5#�� 3'( ) 0f x = �� �#�'%&� 5#��
4'( ) 5 1 0f x x= + ≠ 3� $&� '�� 2#/ "!�� �!� ��&*�/ �� (�� &!!��� !7&� (�� !&� 5#�� ?�/ &'�
'#"#�'%&�(�-��'�*�1�!'&�����!�'�%*�'�2&$()2)&$�'�(�!�%�&*�/ ��!��9$)2��5#��"#�(��
'�*�1�!'���'� 0 1( ) ( )f x f x= ���'�(�2)*3�5#��!���2#�2),$�$&�"#�(��%�$�*�(&'�*�62�'�
*��!�'�()'%)$%�'����
�
�������� ��� �������� ���� ������ ������ ��� ��������� ���� [ ]: ,f a b →� � #$��
1#$2),$�%�!�5#��
� � ( )f x �2&$%)$#���$�[ , ]a b �
- � ( )f x �(�*)+�-!���$� ( , )a b �
�$%&$2�'3��.)'%���!�/ �$&'�#$�"#$%&� 0 ( , )x a b∈ �%�!�5#�� ′ = −−
f xf b f a
b a( )
( ) ( )0 ��
� ��&/ 0%*)2�/ �$%�� ')7$)1)2�� 5#�� �.)'%�� #$� "#$%&� (�� ( )f x � �$� 5#�� !��
%�$7�$%����!��2#*+���'�"�*�!�!����!��*�2%��5#��#$��!&'�"#$%&'� ( , ( )) y ( , ( )).a f a b f b �
������������� ����������������������������������������������������� 277 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
x
y
a bxo
Figura 6.4. Interpretación gráfica del Teorema de del V.M. de Lagrange
� !�������"�#����
�&$')(�*�/&'�!��1#$2),$�?4. �(��(�1)$)(��"&*�
( ) ( )( ) ( ) ( )
f b f ah x f x x a
b a−� �= − −� �−�
�
�'%��1#$2),$�'�*=�2&$%)$#���$�[ , ]a b ���(�*)+�-!���$� ( , )a b �')�!&��'�14. ��
�&*�&%*��"�*%���
( ) ( ) y ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h a f a h b f b f b f a f a h a h b= = + = = �
�$� 2&$'�2#�$2)�� �� !�� 1#$2),$� ?4. � !�� �'� �"!)2�-!�� �!� ��&*�/�� (�� � �� �3� "&*�
%�$%&3��.)'%)*=�#$�"#$%&�.&��$� ( , )a b �"�*���!�5#� '( ) 0oh x = >�"&*�!&�5#�3�"�*���'��
"#$%&��
0 0
( ) ( )0 ( ) ( )
f b f ah x f x
b a−′ ′= = −−
�
�3�"&*�%�$%&�
0
( ) ( )( )
f b f af x
b a−′ =−
��
� ����'%��%�&*�/��'��(�(#2�$�1=2)!/�$%��(&'�2&*&!�*)&'�42#���(�/&'%*�2),$�
&/)%)/&' ��
������������� ����������������������������������������������������� 278 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
��������������)�14. ��'�(�*)+�-!���$� ( , )a b �� '( ) 0 ( , )f x x a b= ∀ ∈ 3��$%&$2�'��'�1��'�
2&$'%�$%���$�%&(&��!�)$%�*+�!&� ( , )a b ���
�
�������������)� 1� 4. � � �� � 74. � '&$�(�*)+�-!�'� �$� ( , )a b �� '( ) '( ) ( , )f x g x x a b= ∀ ∈ 3�
�$%&$2�'�'��+�*)1)2��14. A74. F2&$'%�$%���
� � -'�*+�/ &'�5#��!&'���&*�/ �'�(�!���!&*�� �()&�(�� � ����(��� ����
$&'�(�$� )$1&*/ �2),$� '&-*�� ( )f x � ��"�*%)*�(�� (́ )f x �� ���/ &'�#$��B�/ "!&�(��2,/ &�
�"!)2�*!&��
� ���� �����$�����&'�2&2?�'�"�%*#!!���5#)"�(&'�2&$�*�(�*��'%=$�')%#�(&'���G�H/ �(��
()'%�$2)���$�#$���#%&")'%����#�$(&�#$�2�/ ),$�"�'��B#$%&��!�"*)/ �*&�(���!!&'�'��
!�� / )(��#$�� +�!&2)(�(�(��I;�H/ J?�� �#�%*&�/ )$#%&'�(�'"#0'3��!� "�'�*� B#$%&��!�
&%*&�2&2?�3��'%��!��/ )(��K;�H/ J?���*&-�*�5#���$��!79$�/ &/ �$%&�(�!�%*���2%&��!�
2�/ ),$�?��'#"�*�(&�!&'��;;�H/ J?��
� ����'4% �!��1#$2),$�5#��$&�(���!�/ &+)/ )�$%&�(�!�2�/ ),$3�5#��'��'#"&$��5#��
�'�2&$%)$#����(�*)+�-!���$��!�)$%�*+�!&�[ ]1150, 3��!�%)�/ "&�/ �()(&��$�?&*�'��
� �)�'4% ��'�!��()'%�$2)��*�2&**)(��(�'(���!�)$'%�$%��%A;3�'��%)�$��5#��
115(0) 0 ( ) 8s y s= = �
!��+�!&2)(�(�/ �()��'�*=�
115
1 115 15
( ) (0) 8120
0m
s sv
−= = =−
�
� �&*��!���&*�/ ��(�!���!&*�� �()&�(���7*�$7��
� ( )1150 00, tal que '( ) 120mt v t v∃ ∈ = = ��
�&*�%�$%&3��$��!79$�/ &/ �$%&�(�!�%*���2%&�?��'#"�*�(&�!&'��;;�H/ J?���
� �
������������� ����������������������������������������������������� 279 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
�
��������!����&*�/��(�!���!&*���()&���$�*�!)8�(&�(����#2?������� [ ]: ,f a b →� �
#$��1#$2),$�%�!�5#��
� � ( )f x �2&$%)$#���$�[ , ]a b �
- � ( )f x �(�*)+�-!���$� ( , )a b ��
�$%&$2�'3� 0 ( , ) x a b∃ ∈ �%�!�5#�����[ ( ) - ( )] '( ) [ ( ) - ( )] '( )f b f a g x g b g a f x= �
� !�������"�#����
� ��*���!!&3��!�)7#�!�5#���$��!���&*�/ ��(��� ���3�(�1)$)/ &'�!��1#$2),$�
?4. �(��!��')7#)�$%��1&*/ ��
( ) ( )[ ( ) - ( )] - ( )[ ( ) - ( )]h x f x g b g a g x f b f a= �
� ��(�'�!�'�?)",%�')'�(�!�%�&*�/ �3� ( )h x ��'�2&$%)$#���$� [ , ]a b ���(�*)+�-!���$�
( , )a b ��
� �&*�&%*��"�*%��
( ) ( )[ ( ) - ( )] - ( )[ ( ) - ( )] ( ) ( ) - ( ) ( ) ( )h a f a g b g a g a f b f a f a g b g a f b h b= = = �
� �&*�%�$%&3���!��1#$2),$� ( )h x �'��!��"#�(���"!)2�*��!���&*�/ ��(�� � ��"&*�
!&�5#���1)*/ �/ &'�5#�� 0 ( , ) x a b∃ ∈ %�!�5#��
0 0 00 '( ) '( )[ ( ) - ( )]- '( )[ ( ) - ( )]h x f x g b g a g x f b f a= = �
2&/ &�5#�*6�/ &'�(�/ &'%*�*���
� �)� ( ) ( ) y '( ) 0 g b g a g x≠ ≠ !��)7#�!(�(��$%�*)&*�"#�(���'2*)-)*'��(��!��1&*/ ��
( ) ( ) '( )( ) ( ) '( )
f b f a f xg b g a g x
− =−
�
� ����'%��*�!�2),$�"#�(��&-%�$�*'���!�%�&*�/ ��(��@LM �����
�
�
������������� ����������������������������������������������������� 280 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
��������"������������� %&'���������$�1���7�(&'�1#$2)&$�'�%�!�'�5#��
� � lim ( ) 0 lim ( ) 0x a x a
f x y g x→ →
= = �
- �'( )
lim'( )x a
f xg x→
∃ �
�$%&$2�'3�( ) '( )
lim lim( ) '( )x a x a
f x f xg x g x→ →
= ����
� �'�(�2)*3��!�!6/ )%��(�!�2&2)�$%��(��(&'�1#$2)&$�'�5#��%)�$(�$���2�*&�"�*��#$�
(�%�*/ )$�(&� +�!&*� (�� !�� +�*)�-!�3� �'� )7#�!� 4')� �.)'%� � �!� !6/ )%�� (�!� 2&2)�$%�� (�� '#'�
1#$2)&$�'�(�*)+�(�'�"�*���!�/ )'/ &�+�!&*�(��!��+�*)�-!���
� ()���*�"��������
� �#"&$)�$(&�5#���.)'%�$��
(
(
'( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim lim
'( ) ( ) ( ) ( )
n
nx a x a x a x a
f x f x f x f xó ó ó
g x g x g x g x→ → → →
′′ ′′′′′ ′′′
� �
"&(*�/ &'��"!)2�*��!���&*�/ ��(��@LM ����'#2�')+�/ �$%���
� �� *�7!��(�� N?O")%�!� '��"#�(�� �"!)2�*�%�/ -)0$��$� )$(�%�*/ )$�2)&$�'� (�!�
%)"&� ∞∞ 3�')�$(&���2#�!5#)�*�$9/ �*&�(�!�2&$B#$%&�(��!&'�$9/ �*&'�*��!�'�
�/ "!)�(&��
������������� ����������������������������������������������������� 281 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
���� ��� ����� � � � �� ���� �� � ���� � �
������ � ���� ����������� ���� ����� ��
������������������ :f D ⊂ →� � ��
!��� ( )f x ��'�"��"�������$��� ,x y D⇔ ∀ ∈ �%�!�5#�� ( ) ( )x y f x f y≤ ≤ �
"�� ( )f x ��'���"��"�������$��� ,x y D⇔ ∀ ∈ �%�!�5#�� ( ) ( )x y f x f y≤ ≥ �
��� ( )f x �'� �����"��� ����� "��"������ �$� �� ,x y D⇔ ∀ ∈ � %�!� 5#�� x y< �
( ) ( )f x f y < �
#��� ( )f x �� 1#$2),$� 1� '�*=� �����"���� ����� ��"��"������ �$� �� ,x y D⇔ ∀ ∈ ��������
%�!�5#�� x y< � ( ) ( )f x f y > �
������ �������� : ( , )f a b → � �(�*)+�-!���$� ( , )a b 3��$%&$2�'�
� � �)� '( ) 0 ( , )f x x a b> ∀ ∈ ���� ( )f x ��'�2*�2)�$%���$� ( , )a b ��
- � �)� '( ) 0 ( , )f x x a b< ∀ ∈ ����� ( )f x ��'�(�2*�2)�$%���$� ( , )a b ��
� !�������"�#����
�&$')(�*�/&'�(&'�"#$%&'�2#�!�'5#)�*��2���(�(�!�)$%�*+�!&� ( , )a b �%�!�'�5#�� c d< ��
�.)'%�� #$� 0 ( , )x c d∈ � 5#�� +�*)1)2� 0
( ) ( )'( )
f d f cf x
d c−=−
�� �#�'%&� 5#� c d< 3�
�$%&$2�'��
� �)� '( ) 0 ( , )f x x a b> ∀ ∈ 3 � '( ) 0of x > � ( ) ( ) , ( , )f d f c c d a b> ∀ ∈ � �
( )f x ��'�2*�2)�$%���$� ( , )a b ��
� �)� '( ) 0 ( , )f x x a b< ∀ ∈ 3 � '( ) 0of x < � ( ) ( ) , ( , )f d f c c d a b< ∀ ∈ � �
( )f x ��'�(�2*�2)�$%���$� ( , )a b ���
� �'%�� %�&*�/�� $&'� (�� )$1&*/�2),$� (�� 2&/&� �'� ( )f x � �� "�*%)*� (�!�
2&$&2)/)�$%&�(�� '( )f x ���'%��*�'#!%�(&�$&'�+����"�*/)%)*�(�2)()*�2#�$(&�#$��1#$2),$�
"*�'�$%��#$��.%*�/&�!&2�!��$�#$�"#$%&3��'6�2&/&��!�2�*=2%�*�(��()2?&��.%*�/&��
������������� ����������������������������������������������������� 282 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
������ ����������� ��� ��� �������
����� ��� ���� � � �� � �
�� �����
� ���� 0x %�!�5#� 0'( ) 0f x = �,�$&� 0'( )f x∃ ���$%&$2�'<�
� �#�$(&�0
0
'( ) 0
'( ) 0
x x f x f
x x f x f
� < > ↑��
> < ↓��� 0x ��'�#$�� +��� ��������*���
x
y
x�xo
f '�x��of '�x��o
x�xoxo
Figura 6.5. Comportamiento de '( )f x en un máximo relativo
� �#�$(&�0
0
'( ) 0
'( ) 0
x x f x f
x x f x f
� < < ↓��
> > ↑��� 0x ��'�#$�� ,��� ��������*���
x
y
x�xo
f '�x��of '�x��o
x�xoxo
Figura 6.6. Comportamiento de '( )f x en un mínimo relativo
������������� ����������������������������������������������������� 283 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� �#�$(&�0
0
'( ) 0
'( ) 0
x x f x f
x x f x f
� < > ↑��
> > ↑��� � ,� -)�$� �
0
0
'( ) 0
'( ) 0
x x f x f
x x f x f
� < < ↓��
> < ↓���
�$%&$2�'� 0x �$&��'�$)�/ =.)/ &�$)�/ 6$)/ &�*�!�%)+&��
x
y
x�x0
f '�x0��0
f '�x��0
f '�x��0
x�x0x0
x
y
x�x0
f '�x0��0
f '�x��0
f '�x��0
x�x0x0
Figura 6.7. Comportamiento de '( )f x cuando no hay extremo relativo
� ���������-�����
�#"&$7�/&'�5#��!��1#$2),$�(�*)+�(��+)�$��(�(��"&*�!��7*=1)2��(��!���)7#*����K���
5#�*�/&'� (�%�*/)$�*� !&'� )$%�*+�!&'� (�� 2*�2)/)�$%&� �� (�2*�2)/)�$%&� �� '#'�
�.%*�/&'�*�!�%)+&'��
� �)�1@4. :;��$�4�3- �14. ��'�2*�2)�$%���$�4�3- �41���$�4�3- �
� �)�1@4. P;��$�4�3- �14. ��'�(�2*�2)�$%���$�4�3- �41���$�4�3- �
�
������������� ����������������������������������������������������� 284 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
�&*�%�$%&<�
� 1��'�2*�2)�$%���$�4��3�� �
� �1��'�(�2*�2)�$%���$�4��3�� �4��3F� �
� �)�#$��1#$2),$�%)�$���$�#$�"#$%&�.;� #$��.%*�/ &�!&2�!��$%&$2�'<��)��.)'%��
1@4.; �'��2#/ "!��5#��1@4.; A;���
� ��-�/ &'�/ )*�*�!&'�"#$%&'�(&$(�3�&�-)�$�$&��.)'%��!��"*)/ �*��(�*)+�(��&�
0'%���'�2�*&��
� �$� .A��3� � 1@4�� A;��3 '( ) 0
3 '( ) 0
x f x f
x f x f
� < − < ↓��
> − > ↑�� �.A��� �'� #$� "#$%&�(��
/ 6$)/ &�!&2�!��
� �$� .A��3� 1@4�� A;�1 '( ) 0
1 '( ) 0
x f x f
x f x f
� < − > ↑��
> − < ↓�� �.A��� �'� #$� "#$%&� (��
/ =.)/ &�!&2�!��
� �$� .A�3� 1@4. A;� �2 '( ) 0
2 '( ) 0
x f x f
x f x f
� < < ↓��
> < ↓���.A�� $&� �'� #$� "#$%&�
�.%*�/ &�!&2�!��
-3 -2 -1 1 2 3 4x
-8
-6
-4
-2
2
4
f'�x�
�
Figura 6.8. Gráfica de '( )f x
������������� ����������������������������������������������������� 285 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
���� ��� ���� � � � ���� ��� � ��� �� ��� �� �
� ���� � �
������ ����������������������
����������� #�� ��� ()2�� 5#�� #$�� 1#$2),$� .�/� ������ ��� "��"�*����� ��������� 0�"���
����)��."��*���/���$�#$�)$%�*+�!&� ( , )a b �')� ( , )x a b∀ ∈ �!��%�$7�$%����!��2#*+���$��'��
"#$%&�5#�(��"&*�(�-�B&�(��!��2#*+���
x
y
6.9. Gráfica de una función convexa
����������� $�� ��� ()2�� 5#�� #$�� 1#$2),$� .�/� ������ ��� "��"�*����� ��������� 0�"���
�)����."��"�*�/� ��$�#$�)$%�*+�!&� ( , )a b �')� ( , )x a b∀ ∈ �!��%�$7�$%����!��2#*+���$��'��
"#$%&�5#�(��"&*��$2)/ ��(��!��2#*+���
x
y
Figura 6.10. Gráfica de una función cóncava
������������� ����������������������������������������������������� 286 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
��������#������ : ( , )f a b → � �(�*)+�-!���$� ( , )a b 3��$%&$2�'�
� � �)� ''( ) 0 ( , )f x x a b> ∀ ∈ ���� 'f ↑ ( )f x ��'�2&$+�.���$� ( , )a b ��
- � �)� ''( ) 0 ( , )f x x a b< ∀ ∈ ����� 'f ↓ ( )f x ��'�2,$2�+���$� ( , )a b ��
�
�����������%���)��$�#$�"#$%&� 0x �'��+�*)1)2���
0
0
''( ) 0
''( ) 0
x x f x
x x f x
< >�� > <�
�&�-)�$�0
0
''( ) 0
''( ) 0
x x f x
x x f x
< <�� > >�
�
'��()2��5#�� 0x ��'�#$���������� ����#����
� �'�(�2)*3�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��'�#$�"#$%&��$��!�5#��?���#$�2�/ -)&��$��!�
'�$%)(&�(��!��2&$2�+)(�(�(��!��2#*+����#�'%&�5#��#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��'�#$�"#$%&�
�$��!�5#��!��"*)/ �*��(�*)+�(��"�'��(��'�*�2*�2)�$%����(�2*�2)�$%��&���!��)$+�*'���$�
�'��"#$%&�')��.)'%��!��'�7#$(��(�*)+�(��$�2�'�*)�/ �$%���'%��?��(��'�*�2�*&���'�(�2)*�
')��.;�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$3�')�∃ ′′ � ′′ =f x f x( ) ( )0 0 0 ��
� ���������������
�#"&$7�/ &'�5#��!��1#$2),$�(�*)+�(��+)�$��(�(��"&*�!��7*=1)2��(��!���)7#*����K���
5#�*�/ &'�(�%�*/ )$�*�!&'�)$%�*+�!&'��$�!&'�5#��!��1#$2),$��'�2,$2�+��,�2&$+�.��
��!&'�"#$%&'�(��)$1!�.),$��
� 'f ↑ ��$�4��3�� �4�3F� ��� ( )f x ��'�2&$+�.��4��3�� �4�3F� �
� � 'f ↓ ��$�4��3� �4�3F� ( )f x �2,$2�+���$�4��3� �4�3F� �
� �$�.A����2 ' ''( ) 0
2 ' ''( ) 0
x f f x
x f f x
� < − ↑ >��
> − ↓ <�� �.A�����'�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��
� �$�.�A��1 ' ''( ) 0
1 ' ''( ) 0
x f f x
x f f x
� < ↓ <��
> ↑ >����.�A���'�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��
� �$�.A���2 ' ''( ) 0
2 ' ''( ) 0
x f f x
x f f x
� < ↑ >��
> ↓ <�� �.A����'�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��
������������� ����������������������������������������������������� 287 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
&'�"#$%&'�(��)$1!�.),$�'&$�!&'��.%*�/ &'�(�� '( )f x ���
������ ���������� ����������� ��� ������
��� �� � ��
��������$������ 0x �#$�"#$%&�"�*���!�5#� 0(́ ) 0f x = ���) 0"( ) 0f x > ���$%&$2�'����'�
#$� / 6$)/ &>� ')� 0"( ) 0f x < � �$%&$2�'� ()2?&� "#$%&� '�*=�#$� / =.)/ &�� �$� 2�'&� (�� 5#��
0"( ) 0 f x = "&(*6��'�*�2#�!5#)�*�2&'���
� !�� �����"�#�����
�!�(�'�**&!!&�(�����!&*�(��&*(�$���(��()2?��1#$2),$�$&'�(�*6�<�
2
( ) ( ) ( )2!h
f a h f a f a′′+ − ≈ �
�!� ')7$&� (�� f a h f a( ) ( )+ − � (�"�$(�� (�!� ')7$&� (�� ′′f a( ) �� � -%�$)0$(&'�� �!�
*�'#!%�(&��
� �!�')7#)�$%��*�'#!%�(&�5#���'�#$��7�$�*�!)8�2),$�(�!��$%�*)&*��
��������%����)�( 1 (( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0n nf a f a f a f a y f a−′ ′′ ′′′= = = = = ≠� 3�'�*=<�
� � �)�$��'�"�*3� ( ( ) 0nf a > a ��'�#$�/ 6$)/ &�*�!�%)+&���
- �� �)�$��'�"�*3� ( ( ) 0nf a < a ��'�#$�/ =.)/ &�*�!�%)+&���
2 �� �)�$��'�)/ "�* a ��'�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��
� !�������"�#����
��(�'�!�'�2&$()2)&$�'3��!�(�'�**&!!&�(�����!&*�(��&*(�$�$��$��!�"#$%&���$&'�()2��
5#��
( ( )( ) ( )
!
nnf a
f a h f a hn
+ − ≈ ���
� �)�$� �'�#$�$9/ �*&�"�*��� ( ( ) 0nf a > ( ) - ( ) 0f a h f a + > x a = � �'� #$�
/ 6$)/ &�*�!�%)+&���
������������� ����������������������������������������������������� 288 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� �)� $� �'� #$� $9/ �*&� "�*� ��( ( ) 0nf a < ( ) - ( ) <0f a h f a + x a = � �'� #$�
/ =.)/ &�*�!�%)+&���
� �)�$��'�#$�$9/ �*&�)/ "�*�nh �2�/ -)��(��')7$&� ( ) - ( )f a h f a + �2�/ -)��
(��')7$&� x a = ��'�$)�/ =.)/ &3�$)�/ 6$)/ &�*�!�%)+&3� x a= ��'�#$������
� ���������1�����(&��!�*�2)$%&3�?�!!�*��!�=*���/ =.)/ ��(�!�*�2%=$7#!&��"&��(&��$�
�!��B��� ��2&$�!&'�&%*&'�+0*%)2�'��$�!��2#*+��� 212 - y x= ��
��1#$2),$�5#��$&'�(���!�=*���(�!�*�2%=$7#!&�)$'2*)%&��$�!��"�*=-&!���'�
2( ) 2 (12 - ); [0, 12]A x x x x= ∈ �
�&/ &� 4. A;� 4+�!&*� / 6$)/ &� (�� !�� 1#$2),$ � �$� !&'� �.%*�/ &'� (�!� )$%�*+�!&� �!�
/ =.)/ &��'%�*=��$��!�)$%�*)&*���'�*=�#$�"#$%&�%�!�5#��Q4. A;�
2 2'( ) 2(12 - ) - 4 0A x x x= = �
2 2'( ) 24 - 6 0 4 2A x x x x= = = = ± �
��'2�*%�/ &'��!�+�!&*�$�7�%)+&�"&*5#��$&��'%=�(�$%*&�(�!�)$%�*+�!&��
"( ) -12 "(2) -24 A x x A= = ��$� 2x = �?���#$�/ =.)/ &��
x
y
.
�
Figura 6.11. Rectángulo inscrito en la parábola 212 - y x= �
�
������������� ����������������������������������������������������� 289 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
������ ����������� ��� ��� �������
����� ��� ���� � �������
�� �����
� ����.&�#$�"#$%&�')$7#!�*3�%�!�5#� 0''( ) 0f x = �,�$&� 0''( )f x∃ ���$%&$2�'<�
� �#�$(&�0
00
''( ) 0 'x x
f x f f xx x
<� < ↓ � >�
� ��'�#$��+�����������*���
x
y
x�xo
f ''�x��o
f ''�x��of ''�x��o
x�xoxo
Figura 6.12. Comportamiento de '( )f x en un máximo relativo
� �#�$(&� 0''( ) 0f x > �&�-)�$�0
00
''( ) 0 'x x
f x f f xx x
<� > ↑ � >�
� ���'�#$�
� ,��� ��������*���
x
y
x�xo
f ''�x��o
f ''�x��of ''�x��o
x�xoxo
Figura 6.13. Comportamiento de '( )f x en un mínimo relativo
������������� ����������������������������������������������������� 290 Cálculo Diferencial con “Mathematica”
������������ ���� ���������� ����������� ���
� �#�$(&�0
0
''( ) 0 '
''( ) 0 '
x x f x f f
x x f x f f
� < < ↓��
> > ↑��
�
�&�-)�$��
� � ������0
0
''( ) 0 '
''( ) 0 '
x x f x f f
x x f x f f
� < > ↑��
> < ↓��
�
���
0x ���'�#$�"#$%&�(��)$1!�.),$��
�
x
y
x�x0
f ''�x0��0
f ''�x��0
f ''�x��0
x�x0x0
x
y
x�x0
f ''�x0��0
f ''�x��0
f '�x��0
x�x0x0
Figura 6.14. Comportamiento de ''( )f x cuando no hay un punto de inflexión