1
MATEMATIČKO MODELIRANJE KANALIZACIJE
KOMUNALNA HIDROTEHNIKA 2
Postoje dva osnovna tipa kanalizacionih mreža:
Separacioni sistem
KišnakanalizacijaKanalizacija za
upotrebljene vode
Atmosferske vode
Upotrebljene vodeUlica
Ulica
Kišne + upotrebljene vodeSušni period: upotrebljene vode
Kišni period: upotrebljene vode+ kišne vode
Opšti sistem
UVOD
2
Osnovne razlike hidrauličkih proračuna kanalizacionih u odnosu na proračune vodovodnih sistema su:
- Otpadna voda teče kroz kolektore gravitaciono. Tečenje u kanalizaciji, u opsegu projektovanih protoka, treba da bude sa slobodnom površinom, dok je tečenje u distributivnom vodovodnom sistemu pod pritiskom.
- Kanalizaciona mreža se gotovo uvek gradi kao granata dok je vodovodna mreža najčešće povezana u prstenove. Stoga, smer tečenja otpadne vode u kanalizaciji je unapred određenkonfiguracijom mreže i nagibima kanala.
UVOD
Ako se pretpostavi da je tečenje u kanalizacionim kolektorima –kanalima ustaljeno i jednoliko onda se tečenje opisuje Šezi-Maningovom jednačinom. Za slučaj da je nagib dna kanala jednaknagibu linije energije jednačina ima oblik:
gde su: Qpp – proticaj kroz kanal kada je pun do vrha (m3/s), n – Maningov koeficijent (m-1/3s), A – površina okvašenog preseka; za slučaj kada je kanal pun do vrha jednaka je površini poprečnog presek kanala(m2), R – hidraulički radijus (m); R = A/O
gde je O okvašeni obim (m), Id – nagib dna koji je jednak nagibu linije energije Ie.
d
32 IRAn
1Qpp /=
UVOD
3
Pretpostavka o ustaljenom i jednolikom tečenju u kanalizaciji u stvarnosti nije ispunjena.
Proračuni neustaljenog i nejednolikog tečenja u kanalizacionoj mreži mogu se vršiti primenom hidrauličko-hidroloških modela koji se zasnivaju na punim dinamičkim jednačinama tečenja koji omogućavaju adekvatan proračun tečenja u kanalizacionim cevima, uključujući tečenje pod pritiskom, pojave uspora pri visokim vodostajima na mestima izliva kao i pojave izlivanja na teren usled nedovoljne propusne moći nizvodnih deonica.
Ovi modeli se obično koriste za proračune kišne i opšte kanalizacije, pri pojavi kiša.
UVOD
Kod hidrauličkih proračuna sistema za upotrebljene vode useparacionom sistemu kanalizacije proverava se propusna moćdeonica kanalizacije pri merodavnim maksimalnim proticajimaotpadne vode (Qmax.čas).
Merodavni maksimalni proticaji se određuju empirijskimjednačinama.
Pri merodavnim (maksimalnim) proticajima upotrebljene vodemaksimalno dopušteno punjenje kanala za upotrebljene vode je uopsegu od 50 do 70%.
Ovaj zahtev se postavlja jer je neophodno obezbediti strujanjevazduha u sistemu kanala za upotrebljenu vodu.
Upotrebljene vodeUVOD
4
Hidraulički proračuni kanalizacije za kišne vode i kanalizacije po opštem sistemu su znatno komplikovaniji i uključuju hirološko-hidrauličke modele kojima se određuje oticaj kišnih voda po slivu kanalizacione mreže.
Količine kišnih voda koje dospevaju u kanale mogu se određivati:
• nekim konceptualnim modelom, npr. racionalnom metodom,
• modelima koji su zasnovani na fizičkim zakonima oticanja. Ovi modeli mnogo bolje opisuju proces oticanja, ali sa druge strana veoma su kompleksni i zahtevaju veliku količinu ulaznih podataka.
Atmosferske vodeUVOD
30% evapotranspiracija40% evapotranspiracija
10% direktan oticaj
55% direktan oticaj
25% plitka infiltracija
10% plitka infiltracija
25% duboka infiltracija
5% duboka infiltracija
Prirodno vodopropusno zemljište Zemljište 75%-100% vodonepropusnosti
UTICAJI URBANIZACIJE NA KIŠNI OTICAJ:
UVOD
Dolazi do promena u svim komponentama hirološkog ciklusa
5
� Model je aproksimacija realnosti koji u sebi uključuje uzročno-posledične relacije.
� Model se definiše kao skup matematičkih formulacija kojima se opisuju procesi u razmatranom sistemu.
� Modeliranjem se dolazi do odgovora na pitanja o radu i stanju analiziranog sistema na kvantitativan način.
UVOD
Svaki model je samo aproksimacija stvarnosti i ima svoja ograničenja!
MODELIRANJE PROCESA
� Padavine - oticaj
� Tečenje po površini terena
� Tečenje u mreži kanala
KANALIZACIJA ZA UPOTREBLJENE VODE
KIŠNA KANALIZACIJA I KANALIZACIJA PO OPŠTEM SISTEMU
6
MODELIRANJE PROCESA
� Padavine – oticaj (modeliranje procesa na slivu)
� Hidrološke analize i modeliranje
� Zadržavanje vode na površini sliva
� Modeliranje infiltracije vode u tlo
� Modeliranje evaporacije (evapotranspiracije)
d
ds
Padavine Isparavanje
Oticaj
Infiltracija
U najopštijem slučaju, proces transformacije padavina u oticaj se može prikazati sledećom shemom.
Neki modeli ne vode računa o svim komponentama (racionalna metoda, SCS)
PADAVINE - OTICAJ
7
HIDROLOŠKE ANALIZE I MODELI
Racionalna teorija računa proticaj vode Q koja se može slivatisa površine F (ha) jednačinom:
Q = ϕϕϕϕ Ψ i Fgde su: ϕ - koeficijent srednjeg intenziteta kiše, i – intenzitet kiše (l/s ha),Ψ - koeficijent oticaja (-).
Koeficijent oticaja je razmera između količine vode koja otiče kroz kanale kanalizacije i ukupne količine kiše koja je pala na razmatranu površinu terena. Vrednosti koeficijenta oticaja zavise od karakteristika površine.
Racionalna metoda služi samo za dimenzionisanje mreže, usledatmosferskih padavina. Ovom metodom se ne može se simulirati rad kanalizacionog sistema u različitim uslovima.
Ne važi jednačina kontinuiteta.
RACIONALNA TEORIJA
8
Za potrebe proračuna kanalizacije za kišne vode i kanalizacijepo opštem sistemu potrebno je raspolagati podacima hidroloških analiza kišana razmatranom području.
Za potrebe proračuna po racionalnoj metodi potrebno jeraspolagati ITP dijagramom koji daje zavisnost između intenziteta kiše (i),trajanja kiše (T) i povratnog perioda kiše (P).
1
10
100
0,1 1 10 100
trajanje ki{e h[ ]
inte
nzit
et k
i{e
mm
/h[
]
T= 1000 god.10025
510
2
RACIONALNA TEORIJA
Trajanje kiše jednako je vremenu koncentracije sliva tc.
Vreme koncentracije je vreme potrebno da kiša sa najudaljenije tačke sliva dospe do izlaznog profila sliva.
tc
inte
nzi
tet
ki
ešp
roto
k
t = tk c
a) t = tk c
tc
inte
nzi
tet
ki
ešp
roto
k
tc
b) t > tk ct k
t k
tc
Qmax = Qmax
RACIONALNA TEORIJA
9
Povratni periodi kiša:- najmanje 2 god. za kišnu kanalizaciju u separacionom sistemu- najmanje 5 godina za opštu kanalizaciju - 10 godina za autoputeve i vitalne saobraćajne pravce
RACIONALNA TEORIJA
- SCS metoda (nekada Soil
Conservation Service - SCS, danas Natural Resources Conservation
Service - NRCS),
- Računske kiše konstantnog intenziteta,
- Računske kiše neravnomernog intenziteta (kiša sa naizmeničnim blokovima, Chicago Design Storm, ...),
- Osmotrene padavine.
DRUGE HIDROLOŠKE METODE ANALIZA
10
PADAVINE - OTICAJ
d
ds
Padavine Isparavanje
Oticaj
Infiltracija
5,03
21
IARn
Q =
Padavine: zadaju se kao vremenska serija (hijetogram, sumarna linija...)
Isparavanje se može se modelirati na nekolino načina
- konstantna vrednost,
- mesečni prosek
- računanje iz podataka o temperaturi (Hargreaves metoda)
d
ds
Padavine Isparavanje
Oticaj
Infiltracija
5,03
21
IARn
Q =
PADAVINE - OTICAJ
hd
11
PADAVINE - OTICAJInflitracija:
0x
Q
t
A=
∂∂
+∂∂
( )0gAhgAS
x
HgA
x
AQ
t
QLf
2
=++∂∂
+∂
∂+
∂∂ /
� Modeliranje tečenja po površini:
1D Sen Venanove j-ne:
2D Sen Venanove jednačine.
/videti literaturu, veoma kompiikovan i računarski zahtevan metod za rad i kalibraciju/
TEČENJE PO POVRŠINI TERENA
Najčešće se koristi uprošćeni model, Šezi-Maning j-na:
d
32 IRAn
1Q /=
12
* - SWMM: Storm Water Management model (US EPA)
TEČENJE PO POVRŠINI TERENA
TEČENJE PO POVRŠINI TERENA
* - SWMM: Storm Water Management model (US EPA)
13
TEČENJE PO POVRŠINI TERENA
TEČENJE PO POVRŠINI TERENA
14
TEČENJE PO POVRŠINI – ULAZ U KANALIZAICJU
Primer modeliranja
(SWMM)
Slivna površine: S1, S2, S3), generisani oticaj se ubacuje u čvorove kanalizacione mreže J1, J2, J3
Kanalizaciona mreža: čvorovi (J1, J2, J3,...) i cevi (C1, C2, C3,...)
TEČENJE U MREŽI KANALA
� Tečenje u mreži kanala
� Tečenje u kolektorima (čvorovi i cevi)
� Modeliranje objekata (prelivi, crpne stanice, retenzije itd.)
Tečenje u kolektorima
0x
Q
t
A=
∂∂
+∂∂
( )0gAhgAS
x
HgA
x
AQ
t
QLf
2
=++∂∂
+∂
∂+
∂∂ /
Rešavanje za uslove:
- ustaljenog tečenja,
- neustaljenog tečenja (kinematski talas),
- neustaljenog tečenja (dinamički talas).
1D Sen Venanove j-ne:
15
OSNOVNE JEDNAČINE
gde je Q proticaj, x koordinata (rastojanje) duž toka, β koeficijent neravnomernosti brzina po poprečnom preseku, A površina proticajnog preseka toka, h dubina vode, IE nagib linije energije, Id podužni nagib dna kanala.
Jednačina kontinuiteta
Dinamička jednačina
1 2 3 4
Članovi dinamičke jednačine:
1. uticaj promene brzine u jednom preseku kroz vreme,
2. promena brzinske visine duž toka,
3. promena dubine duž toka,
4. uticaj trenja (nagib linije energije), i
5. nagib dna. Zajedno (3) i (5) predstavljaju promenu pijezometarske kote.
5
TEČENJE U MREŽI KANALA
Pojedini članovi iz dinamičke jednačine nisu istog značaja u svim uslovima tečenja pa se neki od njih mogu zanemariti što može značajno pojednostavitiproračun.
1 2 3 4 5
TEČENJE U MREŽI KANALA
16
MODELI TRENJA
Maningova jednačina vvR
nI
/E 34
2
=
RA
QC
g2
1I
2
2
E τ=
vvgR
IE
8
λ=
+−=
λλ Re
.
D.
klog
512
732
1
Šezijeva jednačina
Darsi-Vajzbahova jednačina
gde je n Maningov koeficijent
gde je Cτ - koeficijent tangencijalnog napona, R - hidraulički radijus
gde je λ Darsi-Vajsbahov koeficijent trenja definisan Kolbruk-Vajtovom formulom:
gde je k apsolutna hrapavost, D prečnik cevi, Re Rejnoldsov broj (Re= vD/ν, gde je ν kinematski koeficijent viskoznosti)
MODELI TRENJA KOLBRUKOVA I KOLBRUK-VAJTOVA FORMULA
+−=
λλ Re
.
D.
klog
512
7132
1
Opšta Kolbrukova formula za otpore trenja u cevima u svim oblastima turbulentnog tečenja:
( )Reλλ =
=
D
kλλ
=
D
kRe,λλ
- turbulentno strujanje u “glatkoj” cevi
- turbulentno strujanje u “hrapavoj” cevi
- prelazna oblast između glatke i hrapave cevi
17
MODELI TRENJA KOLBRUKOVA I KOLBRUK-VAJTOVA FORMULA
.constD
k=
= λλ
- turbulentno strujanje u “hrapavoj” cevi
gDIE
2
1 2vλ=
v
EgDI2
=λ
+−=
λλ Re
.
D.
klog
512
7132
1
+−=
E
EgDID
.
D.
kloggDI
2
512
71322
νv
Standard SRPS EN752 – Kanalizacioni sistemi izvan objekata
MODELI TRENJA KOLBRUKOVA I KOLBRUK-VAJTOVA FORMULA
Za delimično ispunjene kanalizacione cevi kružnog poporečnog preseka
+−=
E
EgDID
.
D.
kloggDI
2
512
71322
νv
RD 4=
⋅⋅+
⋅−⋅⋅=
E
EIRgR
.
R.
klogIRg
424
512
4713242
νv
Kolbruk-Vajtova (Colebrook White) formula
Za delimično ispunjene kanale, prilagođena za turbulentni režim u hrapavoj cevi
Kolbruk-Vajtova formula ovako napisana važi samo za određen opseg vrednosti apsolutne hrapavosti cevi o čemu naročito treba voditi računa u zoni minimalnih brzina tečenja u kanalizaciji.
Standard SRPS EN752 –Kanalizacioni sistemi izvan objekata
18
MODELI TRENJA OPSEG VAŽENJA KOLBRUK-VAJTOVE FORMULE
Pretpostavku da je λ=const. u standardnom režimu tečenja u kanalizacionim cevima treba proveriti, tj. odrediti granicu kada ova pretpostavka prestaje da važi, odnosno kada se Kolbruk-Vajtova formula više ne može primenjivati
=D
kλλ
=
D
kRe,λλ
- turbulentno strujanje u “hrapavoj” cevi
- prelazna oblast između glatke i hrapave cevi
41
11150
/
D
k.
=λ
41
2
601150
/
ReD
k.
+=λ
4141
2
6011150
//
kvD
k.
+
=ν
λ
Ako se u proceni koeficijenta trenja λ dozvoli relativna greška od 2%
MODELI TRENJA OPSEG VAŽENJA KOLBRUK-VAJTOVE FORMULE
Ako se u proceni koeficijenta trenja λ dozvoli relativna greška od 2%
41
7
6 601021
/
k.
+==
v
νλλ
750732 ~k>
νv
( ) s/CT o 26 m 1020 −==ν
s/m,vpp 80=750732 ~
k>
νv
λ=const. k > 1 mm
s/mvpp
3= k > 0,3 mm
19
MODELI TRENJAMANINGOVA FORMULA
E
/ IARn
321=Q gde je n (m-1/3s) Maningov koeficijent hrapavosti a R(m) hidraulički radijus
61
2
0290 /kg
,n = (m-1/3s) (k se unosi u metrima)
Za opseg hrapavosti koji se postavlja u rešavanju praktičnih zadataka
0,3 mm<k<3 mm -> 0,001 m-1/3s <n<0.015 m-1/3s
Veza između Maningovog koeficijenta hrapavosti i apsolutne hrapavosti:
Prema DVGW standardima (Deutscher Verein des Gas- und Wasserfaches e.V. - Technisch-wissenschaftlicher
Verein = DVGW German Technical and Scientific Association for Gas and Water), za uobičajene kanale za otpadnu vodu, sa slobodnim ogledalom, sa kućnim i bočnim priključcima, silaznim oknima i krivinama, u hidrauličkim proračunima preporučuje se apsolutna hrapavost kanala za otpadnu vodu k=1.5 mm.
Za k=1.5 mm, Maningov koeficijent hrapavosti n=0.013 m-1/3s
MODELI TRENJAPRIMENA KOLBRUK-VAJTOVE I MANINGOVE FORMULE
Složeni izrazi koji opisuju tečenje fluida i prateće energetske gubitke na trenje ne znače obavezno i veći stepen tačnosti.
(Georgije Hajdin, Mehanika fluida-Knjiga druga-Uvodjenje u hidrauliku, Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2000)
20
MODELI ZASNOVANI NA POJEDNOSTAVLJENIM JEDNAČINAMA
TRANSFORMACIJA TALASA U AKUMULACIJI - RETENZIJI
dt
dVqQ =−
( ) ( ) ( )1jj1jj1jj
VVt
1qq
2
1QQ
2
1−−− −
∆=+−+
44444 344444 2143421)Q(F
jjjj
)Q(F
jj Vt
qQQVt
q
12
111
22−−− ∆
+−+=∆
+
t
VqQ
∆∆
=−
Jednačina kontinuiteta:
Proračun transformacije ulaznog hidrograma:
∆t
Qj - 1
qj - 1
Qj
qj
Q , q
t
voda koja puni kolektor
voda koja napu{takolektor
Q ( t )
q ( t )
nepoznate
PRIMER 1TRANSFORMACIJA TALASA U KOLEKTORU ATMOSFERSKE KANALIZACIJE I PRORAČUN AKUMULACIONE MOĆI CEVOVODA
KI[ NE KANALIZACIJE
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180t (min)
Q,q
(m
3 /s)
ulazni hidrogramQ qV
L=3500 m
D=1200 mm
Id=1.4%
n=0.012 m-1/3s
∆t=6 min
Karakteristike kolektora Ulazni hidrogram Q(m3/s)
21
PRIMER 1
Proračun kapaciteta cevovoda u funkciji visine punjenja q(h)
D=120cm
h
D/2
ϕ
B( ϕ)
O( ϕ)
A( ϕ)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
0 1 2 3 4 5 6q (m3/s)
visi
na p
unje
nja
kana
lizac
iono
g ko
lekt
ora
h(
m)
d
/ IARn
)h(q 321=
Na osnovu geometrijskih karakteristika proticajnog profila u kolektorima kružnog preseka i Šezi-Maningove jednačine
dobija se zavisnost propusne moći cevovoda u zavisnosti od visine punjenja h.
ϕ−=
2cos1
2
Dh
−=ϕD
h21arccos2
( )ϕ−ϕ=ϕ sin8
D)(A
2
2
D)(O
ϕ=ϕ
2sinD)(B
ϕ=ϕ
GE
OM
ET
RIJ
SK
E K
AR
AK
TE
RIS
TIK
E P
RO
TIC
AJN
OG
PR
OF
ILA
U
KO
LE
KT
OR
IMA
KR
UŽ
NO
G P
RE
SE
KA
1
PRIMER 1
Proračun funkcije F2(q)
dobija se zavisnost propusne moći cevovoda u zavisnosti od visine punjenja h.
t
Vq)q(F
∆+= 222
m 3500ALAV ⋅=⋅=
22
PRIMER 1
Proračun izlaznog hidrograma q(t)3 44444 344444 2143421)Q(F
jjjj
)Q(F
jj Vt
qQQVt
q
12
111
22−−− ∆
+−+=∆
+
t
min
(1)
Qj
m3/s
Qj+Q
j-1
m3/s
(2) (3)
F2(q)=q
j+2V
j/∆t
m3/s
2Vj/∆t
m3/s
(4) (5)
qj
m3/s
(6)
ula
zni
hid
rog
ram
(4)=(3)-(5)+(6) q s
a
gra
fik
a
F2(q
)
(6)=
(4)-
(5)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180t (min)
Q,q
(m
3 /s)
ulaznihidrogram
izlaznihidrogram
TRANSFORMACIJA POPLAVNOG TALASA U KOLEKTORU ATMOSFERSKE KANALIZACIJE
MODEL KINEMATSKOG TALASA
Primenjuje se za proračun neustaljenog tečenja u kanalima sa slobodnom površinom sa velikim brzinama i velikim podužnim nagibima kod kojih su promene dubine i brzine duž toka male.
Dinamička jednačina:
dE II =
2
2
3/4
2
dA
Q
R
nI =
d3/2 IAR
n
1Q =
Jednačina kontinuiteta:0
1=
∂
∂+
∂
∂
x
Q
Bt
h
s
0=∂
∂+
∂
∂
x
hc
t
hc - brzina prostiranja poremećaja u toku (brzina propagacije talasa)
DETALJE IZVOĐENJA
POGLEDATI U PREDAVANJIMA
IZ HIDRAULIKE 2
23
NUMERIČKI MODEL KINEMATIČKOG TALASA
( )01
1
=∆−
+∆− −
+
x
hhc
t
hh n
k
n
k
n
k
n
k
( )n
k
n
k
n
k
n
k hhx
tchh 1
1
−+ −
∆∆
−=
( )n
k
n
k
n
k
n
k hhCrhh 1
1
−+ −−=
Za stabilnu numeričku šemu Kurantov broj<=1
1≤∆∆
=x
tcCr
0=∂
∂+
∂
∂
x
hc
t
h
1+n
kh
n
khn
kh
1−
k-1 k
n
n+1
t
x
FTBS šema
Forward in Time Backward in Space
PRIMER 2U prizmatičnom širokom pravougaonom kanalu širine 12m dužine 10 km sa nagibom dna Id=0.008, hrapavošću obloge n=0.012 m-1/3s, dolazi do neustaljenog strujanja. Na uzvodnom kraju kanala proticaj se menja po priloženom hidrogramu.
15
20
25
30
0 1000 2000 3000
t(s)
Q (
m3/
s)
Između zadatih tačaka pretpostavlja se linearna promena proticaja. Sračunati promenu proticaja i dubine u najnizvodnijem preseku kanala (x~10 km). Koristiti model kinematičkog talasa. Brzina propagacije talasa c~1.5 Vo a Vo je brzina vode pri proticaju 20 m3/s.
Usvojiti Δx=2000 m, Δt=300 s
REŠENJE
B
h
BhA =
Bh2O +=
O/AR =
BO ≈hR ≈
IdBhn
Q / 351=
Proticajni profil:
Okvašeni obim:
Hidraulčiki radijus:
Za široke pravougaone kanale (kod kojih je B>>h)
Šezi Maningova formula se svodi na:
Za početni Q=20 m3/s, iz prethodne jednačine dobija seho=0.407m
Brzina propagacije talasa je zadata kao ulazni podatak:
s/m..
.Vo.c 1426124070
205151 =
⋅==
9150.x
tcCr =∆∆
=Kurantov broj
Uzvodni granični uslov
24
PRIMER 2 1+n
kh
n
khn
kh
1−
k-1 k
n-1
n
t
x
( )n
k
n
k
n
k
n
khhCrhh
1
1
−+ −−=
20
22
24
26
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
t(s)
Q (
m3/s
)
PROPAGACIJA TALASA KROZ KANAL
PRIMER 2
20
22
24
26
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
t(s)
Q (
m3/s
) Brzina kretanja talasa je veća od brzine kretanja poremećaja
Ublaženje talasa je posledica numeričke difuzije ali odgovara prirodnom procesu.
Rešenje jednačina modela kinematičkog talasa ne dozvoljava ublaženje već samo vremensko pomeranje ulaznog hidrograma
Kinematički model se može poboljšati
ako se računski parametri modela povežu sa lokalnim geometrijskim i hidrauličkim uslovima tako da posledice numeričke difuzije odgovaraju fizičkom ublaženju ulaznog hidrograma. Na taj način se prevazilazi nedostatak kinematičkog modela u smislu precenjivanja izlaznih dubina i proticaja.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
T (min)
Q (
m3
/s)
ulaz
izlaz 30dx
izlaz 8dx
25
POBOLJŠANI MODEL KINEMATIČKOG TALASAMETODA MASKINGAM-KANŽ
Zapremina vode na deonici toka je linearna kombinacija proticaja na granicama deonice
( )1kk1k QQKXKQV ++ −+=
K, X, empirijski parametri, određuju se kalibracijom
n1k3
1nk2
nk1
1n1k QCQCQCQ +
+++ ++=MASKINGAM MODEL
)X1(2K
t
X2K
t
C1
−+∆
+∆
=
)X1(2K
t
X2K
t
C 2
−+∆
−∆
=)X1(2
K
tK
t)X1(2
C 3
−+∆
∆−−
=
POBOLJŠANI MODEL KINEMATIČKOG TALASAMETODA MASKINGAM-KANŽ
0=∂∂
+∂∂
x
Qc
t
Q
KANŽ MODEL
0=∂∂
+∂∂
x
Qc
t
A
Jednačina kontinuiteta:
Ako se pretpostavi da postoji jednoznačna veza između proticaja i dubine
0x
)QQ)(1()QQ(c
t
)QQ)(1()QQ( nk
n1k
1nk
1n1k
n1k
1n1k
nk
1nk =
∆
−θ−+−θ+
∆
−ψ−+−ψ +++
++++
+
ψ - koeficijent ponderacije po rastojanju, θ - koeficijent vremenske ponderacije
x
t
k+1Q
n+1
k+1Q
n
kQ
n
kQ
n+1
∆t
∆x
xk
xk+1
tn
tn+1
(1-ψ)∆x ψ∆x
(1-θ)∆t
θ∆t
Q poznato Q nepoznato
5.012
10 <
∆−=<
xBcI
Q
d
ψUslov stabilnosti numeričke šeme je θ=0.5
26
POBOLJŠANI MODEL KINEMATIČKOG TALASAMETODA MASKINGAM-KANŽ
n
k
n
k
n
k
n
k QCQCQCQ 13
1
21
1
1 +++
+ ++=
KANŽ MODELc
xK
∆=
∆−=
xcBI
Q1
2
1X
d
DCr1
DCr1C1 ++
−+=
DCr1
DCr1C 2 ++
++−=
DCr1
DCr1C 3 ++
+−=
x
tcCr∆∆
=xcBI
QD
d ∆=
( )1kk1k QQKXKQV ++ −+=MASKINGAM MODEL
MASKINGAM-KANŽ MODEL
MC sa konstantnim koeficijentima C1, C2, C3 =const. – MC-CP
MC sa promenljivim koeficijentima C1, C2, C3 nisu const. –MC-VP
MASKINGAM-KANŽ SA PROMENLJIVIM KOEFICIJENTIMA
*Q
Parametri modela su funkcija proticaja c(Q), Cr(Q), D(Q)
Koeficijenti C1, C2, C3 se proračunavaju za svaki korak posebno
1)Q(D),Q(Cr),Q(c ***
( )n1k
1nk
* QQ2
1Q +
+ +=
kQ
n+1
kQ
k+1Q
n
n+1
kQ
n
k+1Q
n
2 DCr1
DCr1C1 ++
−+=
DCr1
DCr1C 2 ++
++−=
DCr1
DCr1C 3 ++
+−=
x
tcCr∆∆
=xcBI
QD
d ∆=
kQ
n+1
kQ
k+1Q
n
n+1
kQ
n
k+1Q
n
1
1
++
n
kQ
n
k
n
k
n
k
n
k QCQCQCQ 13
1
21
1
1 +++
+ ++=
27
MASKINGAM-KANŽ SA PROMENLJIVIM KOEFICIJENTIMA
3
kQ
n+1
kQ
k+1Q
n
n+1
kQ
n
k+1Q
n
1
1
++
n
kQ
( )1
11
1
4
1 +++
+ +++= n
k
n
k
n
k
n
k
** QQQQQ
4DCr1
DCr1C1 ++
−+=
DCr1
DCr1C 2 ++
++−=
DCr1
DCr1C 3 ++
+−=
x
tcCr∆∆
=xcBI
QD
d ∆=
**Q
kQ
n+1
kQ
k+1Q
n
n+1
kQ
n
k+1Q
n
1
1
++
n
kQ
n
k
n
k
n
k
n
k QCQCQCQ 13
1
21
1
1 +++
+ ++=
Konačna vrednost izlaznog hidrograma
PRIMER 3
Pravougaoni kanal, B=25m, Id=5%, n=0.015 m-1/3s
Qmax=2Qmin
CP C1=0.586, C2=0.434, C3=-0.02 , Vol=0% VP C1=0.6-0.68, C2=0.31-0.42, C3=-0.02-0.1, Vol>0%
C1>0, C2>0, C3<=0 C1>0, C2>0, C3<=0
MC-CPdx=362.5 m
dt=1min
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
T (min)
Q (
m3/s
)
MC-VPdx=362.5m
dt=1min
180
230
280
330
380
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
T(min)
Q(m
3/s
)
Izlazni hidrogrami (CP, VP) u kontrolnom preseku 7∆∆∆∆x:
180
230
280
330
380
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
T (min)
Q (
m3/
s)
ulaz
MC VP
MC CP
28
PRIMER 3
300
310
320
330
340
350
360
370
1 2 3 4 5 6 7 8
n dx
Q(m
3/s)
-0,025
-0,02
-0,015
-0,01
-0,005
0
Vo
l(%
)
maxQ
Vol(%)
KONTROLA TAČNOSTI NUMERIČKOG POSTUPKA
MC-VPdx=362.5m
dt=1min
180
230
280
330
380
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
T(min)
Q(m
3/s
)
0)()()()( =−=− ∫∫T
o
T
o
dtizlazQdtulazQizlazVulazV
Provera “održanja zapremine”
(V.Jevđević)
100*)ulaz(V
)izlaz(V)ulaz(V(%)Vol
−=
MC-CP daje potpuno održanje zapremine
MC-VP pokazuje grešku, ∆V
Greška zapremine (izračunata kroz svaki kontrolni presek dx) pokazuje osobinu konstantnog porasta u smeru propagacije talasa
Izlazni hidrogrami računati pomoću obe metode su zadržali simetričnost oblika ulaznog hidrograma što nije očekivano u prirodnim uslovima.
PRIMER 4
Veći maksimum ulaznog hidrograma uzrokuje veće brzine propagacije talasa.
C2<0 uzrokuje pojavu oscilacija ispod baznog proticaja
Pravougaoni kanal, B=25m, Id=5%, n=0.015 m-1/3s
Qmax=10Qmin
MC-VPdx=500mdt=1min
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15 20
T(min)
Q(m
3/s
)
C1>0, C2<0, C3>0
MC-VP presek X=500mdx1=100m; dx2=500mdt=1min
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15 20
T (min)
Q (
m3/
s)
Za manji ∆x nema oscilacija
Ipak, dalje numeričke simulacije za različite ∆x pokazuju da su oscilacije posledica negativnih vrednosti C2
29
REKAPITULACIJA
Model kinematičkog talasa se koristi za proračun neustaljenog tečenja u strmim kanalizacionim cevima gde je dominantan uticaj trenja, gde su promene dubine i brzine duž toka male.
Prednosti:
Relativno jednostavan algoritam proračuna zbog postojanja samo jednog graničnog uslova, uzvodnog i jednoznačne veze između protoka i dubine.
Nedostaci:
� Rešenje jednačina modela kinematičkog talasa ne dozvoljava ublaženje već samo vremensko pomeranje ulaznog hidrograma što ne odgovara prirodnom fenomenu. Pravilnim izborom parametara modela se ovaj nedostatak može ublažiti. Numeričko rešenje jednačina kinematičkog talasa daje izlazni hidrogami više “liči” na prirodni fenomen (ublaženje maksimuma, distorzija oblika hidrograma) za šta je odgovorna numerička difuzija.
� Ne uzima u obzir uticaj uspora.
Priprem a pPriprem a p odlogodloga a -- G ISG IS
A lati zasnovani na G IS tehnologiji A lati zasnovani na G IS tehno logiji -- H idroinform atikaH idroinform atika
30
Primena hidroinformatičkih
alata u pripremi podloga
ne može da nadomesti
nedostajuće ili loše podatke.
PROJEKTOVANJE I MODELIRANJE
� Modele treba kalibrisati
� Modele treba verifikovati
� Ocena tačnosti modela je izuzetno važna
31
1.5
1.0
0.5
0.08 10 12 14 16 18 20 22 24
Q(m
/s)
3
t(h)
0.1
0.05
0.0
i (m
m/m
in)
14.10.1997.merenoBEMUS
OTTHYMO
Primer izmerenih i sračunatih hidrograma oticaja (Kumodraž)
0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0 800.0 900.0 1000.0 1100.0 1200.0 1300.0 1400.0 1500.0 1600.0[m]
613.5
614.0
614.5
615.0
615.5
616.0
616.5
617.0
617.5
618.0
618.5
619.0
619.5
620.0
620.5
621.0
621.5
622.0
622.5
623.0
623.5
624.0
624.5
625.0
625.5
626.0
626.5
WATER LEVEL BRANCHES - 1-6-2001 08:36:07 kisa 2g30min.PRF
ISP
US
T 1
5324
5323
5322
5321
532
0
5319
5318
5317
5316
5315
5314
531
3
5312
531
1
5310
530
9
530
8
5307
530
6
5305
530
4
530
3
5302
530
1
5300
5299
529
852
97
5296
529
5
529
4
529
352
92
5291
5290
5289
5288
5287
5286
5285
5284
5283
m3/sDischarge 0.33 0.32 0.32 0.31 0.30 0.30 0.29 0.28 0.27 0.27 0.26 0.25 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.15 0.14 0.11 0.11 0.10 0.07 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.02 0.01
32
Posebnu grupu proračuna i analiza čine proračuni objekata u kanalizaciji kao što su kaskade, prelivi, brzotoci, retenzije i drugo.
Za analizu, dimezinisanje i oblikovanje ovih objekata potrebno je ispuniti niz hidrauličkih uslova koji zavise od tipa i namene građevine.
Preporučuje se korišćenje uputstava, standarda i preporuke koje su definisane na osnovu obimnih ispitivanja na fizičkim modelima.
Ukoliko su postojeća uputstva i standardi nedovoljni, značajni objekti u kanalizaciji mogu se i fizički modelirati u hidrauličkim laboratorijama u cilju preciznog definisanja geometrije objekta, uslova eksploatacije i načina rada objekta.
HIDRAULIČKI PRORAČUN OBJEKATA
REKAPITULACIJA
Koja je svrha primene različitih modela i matematičkog modelovanja tečenja u kanalizaciji?
Pri izboru modela proračuna propagacije talasa kroz sistem kanala sa slobodnom površinom potrebno je znati pod kojim uslovima važe osnovne jednačine različitih modela i kako ti uslovi korespondiraju sa praktičnim zadatkom koji je pred inženjera postavljen
Koji pristup proračuna tečenja u kanalizaciji je primenjen u okviru Godišnjeg zadatka?