5/24/2018 matematici ptr economisti
1/189
RODICA TRANDAFIR or)I. DUDA (coordonat
AURORA BACIU RODICA IOAN
MATEMATICI PENTRU ECONOMITI
Volumul 1
5/24/2018 matematici ptr economisti
2/189
2
Editura FundaieiRomnia de Mine, 2001
ISBN 973-582-336-5
5/24/2018 matematici ptr economisti
3/189
UNIVERSITATEA SPIRU HARET
Facultatea de Management Financiar-Contabil
Facultatea de Marketing i ComerExterior
RODICA TRANDAFIR I. DUDA (coordonator)
AURORA BACIU RODICA IOAN
MATEMATICI PENTRU ECONOMITI
Volumul 1
EDITURA FUNDAIEIROMNIA DE MINE
3Bucureti, 2001
5/24/2018 matematici ptr economisti
4/189
4
5/24/2018 matematici ptr economisti
5/189
5
CUPRINS
1.Elemente de algebrliniar(AURORA BACIU) ... 71.1. Sisteme de ecuaii liniare . 71.2. Sisteme de inecuaii liniare .. 111.3. Spaii vectoriale ... 141.4. Spaii euclidiene .. 201.5. Aplicaii liniare 231.6. Valori proprii i vectori proprii asociai unei aplicaii liniare . 251.7. Forme liniare. Forme ptratice 311.8. Reducerea unei forme ptratice la forma canonic. 35
2.Programare liniar(RODICA TRANDAFIR) 49
2.1. Introducere ... 492.2. Forma generala problemei de programare liniar. 512.3. Soluiile problemei de programare liniar.. 532.4. Metoda simplex de rezolvare a unui program liniar standard 552.5. Metoda bazei artificiale ... 612.6. Cazul n care sistemul de restricii conine inegaliti . 662.7. Dualitatea n programarea liniar 702.8. Aplicaii n economie .. 742.9. Probleme de transport .. 77
3.Elemente de teoria grafurilor (RODICA IOAN) 88
3.1. Introducere. Definiii ... 883.2. Matrici asociate unui graf. Proprietile grafurilor .. 923.3. Flux maxim ntr-o reea de transport ... 111
4.Elemente de analizmatematic(I. DUDA) .. 125
4.1. Funcii vectoriale . 1254.2. Limite iterate ... 1304.3. Continuitatea funciilor vectoriale ... 1314.4. Continuitatea spaial.. 1324.5. Derivate pariale .. 1334.6. Interpretarea economica derivatelor pariale 1354.7. Difereniabilitatea funciilor de mai multe variabile ... 1354.8. Derivate pariale de ordin superior .. 140
4.9. Formula lui Taylor ... 142
5/24/2018 matematici ptr economisti
6/189
6
4.10. Extremele funciilor de mai multe variabile .. 1434.11. Funcii implicite 1484.12. Extreme condiionate legate .. 149
4.13. Funcii omogene de mai multe variabile ... 1514.14. Funcii omogene n economie ... 1524.15. Ecuaii difereniale . 1534.16. Ecuaii difereniale care nu conin variabile independente 1554.17. Ecuaii cu variabile separabile .. 1564.18. Ecuaii omogene 1564.19. Ecuaii reductibile la ecuaii omogene .. 1574.20. Ecuaii liniare de ordinul nti ... 1584.21. Unele aplicaii n economie a ecuaiilor difereniale . 159
5.Elemente de matematici financiare(AURORA BACIU) ... 1635.1. Dobnda simpl... 1635.2. Dobnda compus... 1645.3. Pli ealonate (rente) .. 1695.4. mprumuturi . 174Probleme propuse (elemente de matematici financiare) 184Bibliografie . 187
5/24/2018 matematici ptr economisti
7/189
1.ELEMENTE DE ALGEBRLINIAR
1.1.Sisteme de ecuaii liniare
Un sistem de m-ecuaii liniare cu n-necunoscute x1, x2. ..., xn, sescriu sub forma:
1nn1212111 bxa...xaxa =+++
2n2n222121 bxa...xaxa =+++
7
(1.1.1.) .
..mnmn22m11m bxa...xaxa =+++
unde aiji bicu i = 1,2, ..., m i j = 1,2, ..., n sunt constante reale,
(1.1.2) =
==n
1jijij m1,2,...,ibxa
sau sub formmatriceal:
(1.1.3.) AX = b,unde:
A =
=
=
m
2
1
n
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
b
b
b
x
x
x
X
aaa
aaa
aaa
MM
L
LLLL
L
L
Matricea A se numete matricea coeficienilor, b se numetematricea termenilor liberi, iar X matricea necunoscutelor.Studiul sistemelor cu m-ecuaii i n-necunoscute presupune
determinarea unui sistem de valori (numere) care date necunoscutelorsverifice simultan toate ecuaiile sistemului.
Sistemul de ecuaii pentru care se gsete un asemenea sistem denumere, sau mai multe asemenea sisteme, care s verifice simultantoate ecuaiile sistemului se numete sistem compatibil unicdeterminat, respectiv, sistem compatibil nedeterminat. n cazul n carenu exist
nici un sistem de numere cu aceast
proprietate, sistemul se
va numi sistem incompatibil.
5/24/2018 matematici ptr economisti
8/189
TEOREMA CRONKER CAPELLI: Sistemul (1.1.1.) este un sis-tem compatibil dac i numai dac rangul matricei A este egal curangul matricei extinse , unde:
=
mmn2m1m
2n22221
1n11211
baaa
baaabaaa
L
LMLLL
L
L
Dac rang A = rang = k = n, numrul necunoscutelor, atuncisistemul (1) este sistem unic determinat.
Dac rang A = rang = k < n, atunci sistemul (1.1.1.) este
sistem compatibil nedeterminat.Studiul sistemelor se poate realiza i prin metoda eliminriisuccesive (Metoda lui Gauss), pe lngalte metode cunoscute din liceu.
Metoda lui Gauss const n transformri elementare succesiveale sistemului ntr-un sistem echivalent, care va elimina pe rnd cte ovariabildin toate ecuaiile sistemului cu excepia unei singure ecuaiin care coeficientul variabilei va fi egal cu unitatea.
Dac a11 0, atunci variabila x1 din prima ecuaie poate aveacoeficientul 1 dac se mparte aceastecuaie prin a11. Elementul a11
se va numi pivot. Prima ecuaie va deveni:(1.1.4.)
11
1n
11
n132
11
121 a
bx
a
a...xx
a
ax =++++
11
13
a
a
Pentru a elimina necunoscuta x1din ecuaiile 2, 3, ..., m, ecuaia(1.1.4.) se nmulete pe rnd cu a21, a31, ..., am1i se scade din ecuaia2, apoi din ecuaia 3 .a.m.d. Se obine ecuaiile:
ecuaia 2:
=
++
+
21
11
12n21
11
n1n2321
11
1323221
11
1222 a
abbxa
aaa...xa
aaaxa
aaa
.................ecuaia m:
=
++
+
1m
11
1m21m
11
n1mn3m
11
133m21m
11
122m aa
bbxa
a
aa...xa
a
aaxa
a
aa
8
Se obine astfel un sistem echivalent cu sistemul iniial n carenecunoscuta x1se afldoar n prima ecuaie, cu coeficient unu.
5/24/2018 matematici ptr economisti
9/189
(1.1.5.)
=
+
=
++
=+++
m111
1mnm1
11
mnmn2m1
11
12m2
n2111
1n2n221
11
1222
11
1
n11
1n
211
12
1
aa
bbxa
a
aa...xa
a
aa
xaa
aa...xa
a
aa
a
bx
a
a...x
a
ax
L
2111
12 aa
bb
n etapa urmtoare, dac x2 are coeficientul nenul n ecuaia a
doua, se va alege acesta pivot i, prin aceeai metod, se va urmrieliminarea necunoscutei x2din toate ecuaiile cu excepia ecuaiei doiunde va avea coeficientul unu.
Algoritmul va continua pn cnd nu vom mai putea eliminadupprocedeul de mai sus nici o variabil.
Sistemul (1.1.5.) echivalent cu sistemul (1.1.1.) se poate calculai schematic cu ajutorul metodei dreptunghiului.
Se scriu coeficienii tuturor necunoscutelor i termenii liberi aisistemului. Calculul unui sistem echivalent se obin astfel: linia nti
se mparte prin elementula11 0, a11 pivotul se ncadreaz. Elementele coloanei ntisunt zero. Celelalte elemente din celelalte linii se calculeazformndun dreptunghi ce are ca diagonal segmentul ce unete loculelementului de calculat i pivotul. Noul coeficient va fi egal cudiferena dintre produsul coeficienilor de pe diagonala pivotului iprodusul coeficienilor de pe cealalt diagonal, diferena care semparte la pivot.
S
chematic obinem:
a11 a12... a1n b1a21 a22... a2n b2...........am1 am2....amn bm
1 a'12...a'1n b'10 a'22... a'2n b'2.....0 a'm2... a'mn b'm
9
5/24/2018 matematici ptr economisti
10/189
unde: n1,ja
aa
11
j1j1 ==
11
i1j1ij11ij a
aaaaa =
pentru i = n1,jm,1 =
11
1i111ii a
baabb
=
pentru i = m,2
11
11 a
bb =
n mod similar, n etapele urmtoare se obin sisteme echivalentecu sistemul iniial.
n etapa a n-a se obine:
1 0 ... 0 1)-(n11)-(n
1n)1n(1m,1 ba...a
+
0 1 ... 0 1)-(n21)-(nn2)1n( 1m2 ba...a +
0 0 ... 1 1)-nm1)-(n
mn1n(
1m,m ba...a
+
Soluia sistemului se citete:
10
=
=
++
+
+
n)1n(
mn1mm)1n(
mn
n)1n(
n11m)1n(1m1
)1n(11
xaxabx
xaxabx
LK
L
1)-(n1m
Dacm < n i rang A = rang = m, sistemul este compatibilnedeterminat.
Exemplu. Sse rezolve sistemul:
=
=++
=++
2x2xx2x
4x5xxx
2x4x3xx2
4321
4321
4321
S
oluie: Folosind metoda lui Gauss prezentatmai sus, obinem:
5/24/2018 matematici ptr economisti
11/189
2 33 44 1 1 221 1 5 1 41 2 1 2 2
1 3/2 2 1/2 10 1/2 7 3/2 30 1/2 7 3/2 3
1 0 19/2 4 100 1 14 3 60 0 0 0 0
Deoarece n ultimul sistem toate elementele a33, a34, b4sunt nule,algoritmul nu mai poate continua. Sistemul este compatibil nedeter-
minat deoarece rang A = rang = 2 (determinantul maxim nenul ce sepoate forma este de ordin 2). Necunoscute principale sunt x1i x2.S
oluia sistemului este:
+=
=
Rx
R
3x146
42/1910
4
3
432
431
x
xx
xxx
1.2.Sisteme de inecuaii liniare
Un sistem de inecuaii liniare cu n-necunoscute x1, x2, ..., xn sescrie sub forma:
a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn
5/24/2018 matematici ptr economisti
12/189
Studiul sistemelor de inecuaii (1.2.2.) sau (1.2.3.) se reduce la studiulunui sistem de ecuaii prin adunarea, respectiv scderea, la fiecare ecuaie aunei necunoscute auxiliare, pozitive cu rol de egalizare, i anume:
a11x1+ a12 x2+...+ a1nxn + y1= b1(1.2.4.) a2x1+ a22x2+ ... + a2nxn+ y2= b2 ..............
am1x1+ am2+ ... + amnxn+ ym= bm
saua11x1+ a12 x2+...+ a1nxn - y1= b1
(1.2.5.) a2x1+ a22x2+ ... + a2nxn- y2= b2
..................
am1x1+ am2+ ... + amnxn ym= bm
yi0 pentru i = 1,mundeVom numi soluie a sistemului de inecuaii (1.2.2.), respectiv (1.2.3.),
un sist m de valori care verificsimultan toate inecuaiile sistemului.eTEOREMA: Oricrei soluii a sistemului de inecuaii (1.2.1.) i co-
respunde o soluie a sistemului de ecuaii (1.2.4.) sau (1.2.5.) i reciproc.Demonstraie: Fie sistemul de inecuaii (1.2.2.) scris sub
formmatriceal
Ax b i x0o soluie a acestui sistem. Deci A x0 b.Sistemul de inecuaii se transform n sistem de ecuaii (1.2.4.)scris sub formmatriceal:
Ax + y = b sau y = b Ax cu y 0
atunci (x0, y0) este soluia sistemului dac
y0= b Ax0 0.
Fie (x0, y0) soluie pentru sistemul (1.2.4.) Atunci y00 i
Ax0 + y0= b de unde obinem Ax0b i deci x0soluie a sistemului deinecuaii.Exemplu. Sse rezolve sistemul de inecuaii:2x1 +x2 x32
x1 + 2x2+ 3x3 41 x2+ x32x
Soluie: Sistemul de inecuaii se transformntr-un sistem de ecuaii2x1 +x2 x3+ y1= 2
x1 + 2x2+ 3x3 +y2= 4x1 x2+ x3 + y3= 2
12
5/24/2018 matematici ptr economisti
13/189
P
rin metoda eliminrii complete obinem:
5/25/15/15/1100
15/1415/75/115/2010
3/53/103/1001
2111500003/23/13/710
103/13/23/501
2102/12/32/30
0012/12/72/30
1002/12/12/11
3100111
10103212001112
byyyxxx 321321
S
oluie a sistemului de ecuaie este:
+=
+=
=
3213
3212
311
y5
1y
5
1y
5
1
5
2x
y15
7y
5
1y
15
2
15
14x
y51y3135x
y1, y2, y3 0
n consecinsoluie a sistemului de inecuaii este:
5
2x
15
14x
3
5x
3
2
1
=
=
=
13
5/24/2018 matematici ptr economisti
14/189
14
1.3.Spaii vectoriale
Fie V o mulime nevidde elemente i K un corp de colari (de
regulK este corpul numerelor reale R sau corpul numerelor comple-xe C) Pe mulimea V se definesc douoperaii:1. Operaia de adunare + ca lege de compoziie intern, care
asociazfiecrei perechi de elemente (x, y) Vx V un element sumx + y V.
2.Operaia de nmulire cu scalari ca lege de comparaieextern, care asociaz, fiecrei perechi de elemente (, x) Kx V unelement x V
Definiie. Mulimea nevidV se numete spaiu vectorial peste
corpul K dac(V, + ) este grup abelian, adicverific:1
.1. x + y = y + x pentru () x, y V
1
.2. (x + y) + z = x + (y+z) pentru () x,y,z V
1.3. () xV, () Ov element neutru OvVastfel nctx + Ov = Ov + x
1.4. () x V, () x element opus, - x V,a.x + (-x) = (-x) + x = Ov
i (V, )2
.1. (+ ) x = + x pentru () , K, x V
2
.2. (x+y) = x + y pentru () K, x, y V
2
.3. ( ) x = (x) pentru () , K, x V
2
.4. 1k x = x pentru () x V i 1kK
Notaii:
1. Elementele unui spaiu vectorial V se numesc vectori.2
. Elementele corpului K se numesc scalari.
Definiie. Fie V un spaiu vectorial peste corpul K0 Un vectorv V se numete combinaie liniara vectorilor v1, v2,... vmV dacexistscalori 1, 2,...nK astfel nct:
v
= 1 v1+ 2 v2+ ... + nvn.
Definiie. Un sistem de vectori {v1, v2,..., vn} din V se numetesistem de generatori ai spaiului vectorial V dacorice vector v V sepoate scrie ca o combina
ie liniar
a vectorilor v
1, v
2,....v
n.
5/24/2018 matematici ptr economisti
15/189
Definiie. Un sistem de vectori {v1, v2,..., vn} din V se numetesistem liniar independent dacdin
(1.3.1.) 1v1+ 2v2+... + nvn= 0v rezultscalari nuli 1= 2
= ... = n= 0Dac exist scalari nenuli, sistemul de numete sistem liniardependent.
PROPOZIIA 1.3.1. Vectorii v1, v2,..., vn V sunt liniardependeni dac i numai dac cel puin un vector dintre ei este ocombinaie liniarde ceilali.
Demonstraie: Fie v1, v2, ..., vn vectori liniar dependeni.Atunci existscalarii 1, 2,..., n, nu toi nuli, astfel nct:
1v1+ 2v2+...+ nvn= 0 ie 10k, atunci putem scrie:f
n1
n3
1
32
1
21 v...vvv
+
=
ceea ce arat c vectorul v1 se scrie ca o combinaie liniar deceilali vectori.
Presupunem, eventual renumerotnd vectorii, cv1se scrieca o combina
ie de vectorii v2, v3,...vn. Atunci exist
scalari
2,
3, ...,nnu toi nuli astfel nct:
v1= 2 v2+ 3v3+ ... + nvn
sau
v1 2v2 3v3... nvn= 0v
Deci
vectorii v1, v2, ...vnsunt liniar dependeni.
Definiie: Fie V spaiu vectorial peste corpul K. Un sistem de
vectoriB V se numete baza pe spaiul vectorial V daceste formatdintr-un numr maxim de vectori liniar independeni. Numrulvectorilor din bazdetermindimensiunea spaiului.
PROPOZIIA1.3.2. Fie V un spaiu vectorial peste corpul K i B= {b1, b2,..., bn} o baza spaiului V, atunci orice vector v V se scrien mod unic ca o combinaie liniara vectorilor bazei.
Demonstraie: Presupunem c vectorul v V se poate expriman doumoduri n funcie de vectorii bazei B i anume:
15
5/24/2018 matematici ptr economisti
16/189
v = 1b1+ 2b2+ nbnv
= 1b1+ 2b2 +... + nbn.
S
cznd cele dourelaii obinem:
v= (1 1) b1+ (2 2) b2 +...+ (n n) bn.0Vectorii bazei b1, b2, ... bn conform definiiei sunt liniar
independeni, deci toi scalarii combinaiei sunt nuli. Deci: 1= 2;...,n= n. n consecinun vector se scrie ca o combinai liniarunicdevectorii bazei.
Definiie. Coeficienii 1, 2, ..., n ai reprezentrii vectoruluiv V n baza B se numesc coordonatele vectorului v n baza B.
Se poate scrie atunci v = (1, 2, ..., n).SPAIUL VECTORIAL n DIMENSIONAL este mulimea:
Rn= R R ...= pe care se definesc operaiile:
= Rx,
x
xx
x/x 1n
21
M
x + y = +
n
21
x
xx
M
+
++
=
2n
2211
n
21
yx
yxyx
y
yy
MM
i x = =
n
21
x
xx
M
n
21
x
xx
M
PROPOZIIA1.3.3. Sistemul de vectori unitari:
16
1
0
0
b,...
0
1
0
b,
0
0
1
n2MMM
b1=
formeazo baza spaiului vectorial Rn
numitbaza canonic.
=
OBSERVAIE: n spaiul Rn existo infinitate de baze.PROPOZIIA 1.3.4. Un sistem de vectori { v1, v2, ... vn} V
sunt vectori liniar independeni dac rangul matricei vectorilor esteegal cu numrul vectorilor. Vectorii sunt liniar dependeni dacrangulmatricei vectorilor este mai mic ca numrul vectorilor.
Demonstraie: Fie vectorii
v1=
=
=
mn
1m
nn2
21
2n1
11
a
av
a
av
a
aMLMM
5/24/2018 matematici ptr economisti
17/189
Ei sunt liniar dependeni daci numai dacexistscalari 1, 2,... m, nu toi nuli, astfel nct:
=
++
+
0
0
...1
2
21
2
1
11
1 MMMM
mn
m
m
nn a
a
a
a
a
a
ceea ce este echivalent cu sistemul omogen cu m-necunoscute i
n-ecu ii:a
17
m1m221111
LL
n1
=+++
=+++
0aaa
0a...aa
mnm2n21
Sistemul omogen admite soluii diferite de soluia banaldacinumai dacrang A
5/24/2018 matematici ptr economisti
18/189
b1=
=
=
nn
1n
n
n2
21
2
n1
11
b
b
b
b
b
b,
b
b
MLMM
Fie 1, 2... n coordonatele vectorului v n baza A, atunciv = 1a1+ 2a2+ ... + nan
sauv = A unde = (1, 2, ... n)T
Vectorii bazei A pot fi exprimai la rndul lor ca o combinaieliniar
de vectorii bazei B, deciai= i1b1+ i2b2 + ... + in bn i = n,1
A
ceti vectori nlocuii n combinaia liniara vectorului v, obinem:
v = 1(11b1+ 12b2+ ... + 1nbn)+ ... + mnbn + n (n1b1+ ...+ nnbn)
sauv = (111+...+ n n1) b1+... + (11n+ ... + nnn) bn
n consecincoordonatele vectorului v n baza
vor fi:
++=
++=
nnnn11n
1nn1111
...
...L
S
crismatriceal, relaia devine:
= M M =
nnn1
1n11
L
MMM
L
A se numete matricea de trecere de la baza M la baza .
OBSERVAII1. Matricea de trecere de la o baz la alta este ntotdeauna
matrice nesingular.2. Dac matricea de trecere de la baza A la baza la baza A
este M-13. Fie vectorul v = (v1, v2,... vn) R
n v1, v2,... vn sunt coordo-
natele vectorului v scris n baza canonic.18
5/24/2018 matematici ptr economisti
19/189
++
+
=
1
0
0
v
0
1
0
v
0
0
1
v
v
v
v
n21
n
2
1
MLMMM
v = E v unde E =
100
010
001
L
MMMM
L
L
Coordonatele lui v n baza A = {a1a2... an} sunt(1, 2,..., n)Tdeci v = A
sau
=
n
1
nnn1
1n11
n
1
aa
aa
v
v
M
L
MMM
L
M
Coordonatele lui v n baza B vor fi vor fi = (1,..., n), deci
v = B De unde B = A sau = B-1A n consecin, matricea de trecere de la baza A la baza B este
(12) M = B-1 A.
Exemplu.Fie vectorii a1= (1, 1, 0)T, a2= (-1, 2, 1)
T, a3= (1, 2,4,)Ti un vector v R3exprimnd n raport cu baza A = {a1, a2, a3}prin coordonatele 1, 2 i 1. Sse exprime coordonatele vectorului v nraport cu baza B = {b1, b2, b3} unde b1= (-1, 2, 3)
T, b2= (1, 1, 1)Ti
b3= (1, 2, 3)T.
Soluie. Matricele de trecere de la baza A, respectiv B la bazacanonicsunt:
A =
=
313
212
111-
Bi410
221
111
Coordonatele vectorului v n raport cu baza B sunt, conform
observaiei de mai sus, relaiei (12):
19
5/24/2018 matematici ptr economisti
20/189
=
=
=
7/10
7/3
7/13
1
2
1
410
221
11-1
7/37/47/1
7/47/37/6
7/17/17/2
1
2
1
410
221
111
313
212
111-
1
3
2
1
1.4.Spaii euclidiene
Definiie. Fie V spaiu vectorial peste corpul de scalari K. Oaplicaie f: V x V R, notatf (x, y) = = (x/y) se numeteprodus scalar dacsatisface:
1. = + () x1, x2, y V2. = () x, y,V3. = () x, y V, ()K4 . 0 pentru x 0
Definiie. Un spaiu vectorial E peste corpul K pe care s-a definitun produs scalar se numete spaiu euclidian.
Exemplu. Dac spaiu vectorial V este n. dimensional pestecorpul de scalari K i produsul scalar o funcie f : Rnx RnR estedefinit prin:
= x1y1+ x2y2 + ... + xnyn
s e observcu uurincse verificcele patru proprieti de definiie.Definiie. ntr-un spaiu euclidian real sau complex, doi vectori
x, y E se numesc vectori ortogonali dac produsul loc scalar estenul, deci = 0
Definiie. Fie E spaiu euclidian. Un sistem x1, x2, ... xnE senumete sistem ortogonal de vectori dac fiecare vector vi esteortogonal pe toi ceilali vectori. Deci = 0 pentru orice i ji, j = n,1
PROPOZIIA1.4.1. n orice spaiu euclidian n-dimensional estecorpul K existcel puin o bazortogonal care se poate determinacu procedeul lui Gramm Schmidt.
Se pleacde la o bazoarecare a spaiului En, B = {b1, b2, ... bn}ise vor construi vectorii:
a1= b1a2= b2-21a1..
.an = bn- n1a1- n2a2...- nn-1an-120
5/24/2018 matematici ptr economisti
21/189
Scalarii ij se vor determina punnd condiia ca oricare dinvectori {a1, a2, ... an}sfie ortogonali
==
==
==
22
233223
11
133113
11
12
2112
a,a
a,b0a,a
a,a
a,b0a,a
aa
a,b
0a,a
Se obin
=
jj
jij
a,a
a,ib
Exemplu. S se construiasc o baz ortogonal a spaiuluieuclidian R3
Soluie: Fie vectorii b1=
=
=
2
1
0
b
1
0
1
b
0
1
1
32
Aceti trei vectori avnd rang A = 3 formeazo baza spaiului E3.
Se vor construi vectorii ;01
1
ba 11
==
==
0
1
1
(1,1,0)0),1,(1,
0)1,(1,1),,0,1(_
1
0
1
a,ba 11222
=
=
1-
1/2-
1/2
0
1
1
2
1-
1-
0
1
a 2
=
+
=
==
1/3
1/3-
1/3
1-
1/2-
1/2
3
5
0
1
1
2
1-
2
1
0
1-
1/2-
1/2
1)-1/2-(1/21),-1/2-(1/2
1)-1/2,-(1/2,(012),-
-
0
1
1
(1,1,0)10),(1
(110)12),(0-
2
1
0
aab 213 32313a
21
5/24/2018 matematici ptr economisti
22/189
Vectorii (a1, a2, a3 ) formeaz o baz ortogonal a spaiului Edeoarece sunt trei vectori liniar independeni i ortogonali doi cte doi.
Definiie. Fie V spaiu vectorial peste corpul K O funcie f: V R,notatf(x) = x se numete norma vectorului x, x V dac
verific: 1. 0x
2. xx =
3. yxy ++x
OBSERVAIE. Norma unui vector pe un spaiu euclidian sepoate defini n mai multe feluri. Noi vom folosi norma definit cuajutorul produsului scalar:
= xx,x
Definiie. Un spaiu vectorial pe care s-a definit o norm se vanumi spaiu ca vectorial normat.
PROPOZIIA 1.4.2. n orice spaiu vectorial normat exist obaz ortonormat adic o baz ortogonal n care norma fiecruivector este egalcu unitatea.
Fie o bazortogonal
A = {a
1, a
2, ... a
n} construit
prin proce-
deul Gramm Schmidt.Se va construi o baz ortonormat, fiecare vector din baza A
prin mprirea fiecrui vector la norma sa, se obine baza:
n
nn
2
22
1
11 a
aC,...
a
aC,
a
aC ==
xemplu. Sse determine o bazortonormata spaiului R3E
Rezolvare: Vom pleca cu baza ortogonal
=
=
=
1/3
1/3-
1/3
a;
1-
1/2-
1/2
a;
0
1
1
a 321
V
om norma fiecare vector:
( ) ( )TTT
c
==== 0,
2
1,
2
1
2
01,1,
2
0,1,1
a
a
1
11
22
5/24/2018 matematici ptr economisti
23/189
( )TT
2
22 3
2-,
6
1-,
6
1
2
3
1-1/2,-1/2,
a
ac
===
( )T
T
c
===
3
3,
3
3-,
3
3
3
11/31/3,-1/3,
a
a
3
33
Vectorii {c1, c2, c3}formeazo bazortonormata spaiului R3
1.5.Aplicaii liniare
Definiie. Fie V, V' dou spaii vectoriale peste acelai corp descalari K de dimensiuni n respectiv m. O aplicaie T: V V' senumete aplicaie (transformare sau operator) liniardaceste aditiv iomogen, deci verific:
1. T ( x + y) = T (x) + T (y) () x, y V
2
. T (x ) = T (x) () x V, () K
TEOREMA 1.5.1. O aplicaie T: V V' este aplicaie liniardaci numai dac:(13) T (x + y) = T (x ) + T (y)
Demonstraie: T aplicaie liniar. Vom calcula cu ajutorulproprietilor de definiie 1, 2 valoarea
T (x + y) = T(x) + T (y) = T (x) + T (y) Presupunem crelaia T(x + y) = T (x) + T(y) este
verificat. Atunci ea este verificati pentru scalarii = = s ceea ceconduce la egalitatea 1. ct i pentru scalarul = 0 ceea ce conduce laegalitatea 2. (q.e.d.)
OBSERVAIE. Teorema 1.3.1. poate fi folosit ca definiiepentru aplicaia liniar.
TEOREMA 1.5.2. Fie V, V' dou spaii vectoriale peste acelaicorp de scalari K; B = {a1, a2, ... an}o baza spaiului Vectorial V iB' = {b1, b2, ... bn } o baz a spaiului vectorial V', atunci exist oaplicaie liniarT : V V' cu proprietatea:
T (ak) = bkpentru () k {1, 2, ..., n }
23
5/24/2018 matematici ptr economisti
24/189
Demonstraie: Fie v V, T: V V' o aplicaie,T(v) = 1b1+ 2b2+ ... + nbn
vom demonstra caplicaia astfel definiteste liniar.Fie v1, v2 doi vectori oarecare din V care se pot exprima n
funcie de baza B astfel:
v1= 11a1+ 12a2+ ... + 1nanv 2
= 21a1+ 22a2+ ... + 2nanV
om calcula
v1+ v2= (11a1+ ... + 1nan) + (21a1+ ... + 2nan) ==
(11+ 21) a1+ ... + (1n+ 2n) an
T(v1+ v2) = (11+ 21) b1+ ... + (1n+ 2n) bn=(11b1 + ... 1nbn) + (21b1+ ... + 2nb1) = T(v1) + T(v2)=
Deci aplicnd teorema 1.3.1. aplicaia T definitmai sus este oaplicaie liniar.
Pentru orice vector ak B coordonatele sale n baza B sunt
0,...,0,...,0
k
1 i deci prin definiie
T(ak) 1+. = 0b .. + 0bk-1+ 1. bk+ 0 bk+1+ ... + 0bn= bkn consecinexisto aplicaie liniarcare verific
T(ak) = bk
1.5.3.Matricea asociatunei aplicaii liniare
Fie aplicaia liniar T: V V', V, V' spaii vectoriale peste uncorp K,
B = {a1,... , an}o baza spaiului vectorial V i B' = {b1...bn}obaz a spaiului vectorial V'. Fie ai un vector oarecare din B atunciT(ai) este un vector al spaiului V' i poate fi reprezentat n mod unicn fun ie de vectorii bazei B':c
T(ai)
= i1b1+ i2b2+ ... + inbn
Matricea format din coordonatele vectorilor T(a1), T(a2), ...T(an) n baza B' se va numi matrice asociat aplicaiei liniare T nraport cu perechea de baze {B, B'}
24
5/24/2018 matematici ptr economisti
25/189
MB, B'(T) =
mnn2n1
2m2212
1n2111
LMMMM
L
L
Exemplu. S se determine matrice asociat aplicaiei liniare
T: R2R3,
(x1x2) = (x1+ x2, - x2, - x1 x2) n raport cu perechea de bazeT
25
}{ } {
=
=
=
=
=
==
0
1-
5
bb
1
1
1
b
bbbi3
1-a
1
1aaa
321
3212121
4
3
1
,,B,B
Soluie: T(a1) = T(1,1) = (1+1,-1,-1 1) = (2,-1,-2)T(a2) = T(-1,3) = (-1+3, -3, +1-3) = (2,-3,-2)
Coordonatele acestor doi vectori n funcie de baza B' sunt
(10/4,-9/8,1/8) i respectiv (3, 1/8, 7/8). Deci matricea asociatperechii de baze este
M B B' (T) =
8/78/1
8/18/9
34/10
1.6.Valori proprii i vectori proprii asociai
unei aplicaii liniareDefiniie. Fie V un spaiu vectorial n-dimensional peste corpul
de scalari K i T: V o aplicaie liniar. Un scalar K se numetevaloare proprie pentru aplicaia liniar T dac exist cel puin unvector nenul v V astfel nct:
(1.6.1.) T (v) = v
Vectorul nenul v V care verific relaia (1.6.1.) se numetevector propriu pentru aplicaia liniarT asociatvalorii proprii .
5/24/2018 matematici ptr economisti
26/189
1.6.1.Determinarea valorilor i vectorilor propriipentru o aplicaie liniar
Fie T: V V' aplicaie liniar cu matricea aplicaiei AT,definitn 1.3.3., n bazaB= {a1, ..., an}. Relaia (1.6.1.) se mai scrie:
T (v) - v = 0
sau
(1.6.2.) (AT- Ei) v = 0v
u
nde
=
=
=
n
1
i
nnn1
1n11
v
v
vEiaa
aa
M
L
MMM
L
L
MMM
L
10
01
AT
R
elaia (1.6.2.) conduce la sistemul:
(1.6.3.)
( )
( )
( )
=+++
=+++
=+++
0va...vava
0va...vava
0va...vava
nnn22n11n
nn2222112
nn1221111
L
n consecin, coordonatele vectorului propriu v nenul sunt solu-iile sistemului omogen (1.6.3.). Soluiile sistemului omogen (1.6.3.) nusunt toate nule numai dacdeterminantul sistemului este nul.
Dete
rminantul sistemului (1.6.3.):
( )
=
nnn2n1
2n2212
1n2111
aaa
aaa
aaa
P
L
MMMM
L
L
se numete polinomul caracteristic asociat aplicaiei liniare T.Ecuaia P () = 0 se numete ecuaie caracteristica aplicaiei T. Decise verificteorema:
26
5/24/2018 matematici ptr economisti
27/189
TEOREMA1.6.2. Fie T : V V K este o valoare propriea aplicaiei liniare T dac i numai dac este rdcin a ecuaieicaract ristice.e
Observaii1. Polinomul caracteristic i deci ecuaia caracteristic nu
depinde de baza aleas.2. Vectorii proprii asociai aplicaiei liniare T : V V pentru
valorile proprii determinate se obin nlocuind valorile proprii nsistemul (1.6.3.) i rezolvnd sistemul.
Soluiile sistemului vor fi coordonatele vectorilor proprii asociaiaplicaiei T n raport cu baza B.
3. Fiecrei valori proprii i corespund o infinitate de vectori proprii.Sistemul omogen (1.6.3.) este compatibil nedeterminat.cci P()=0. Mulimea soluiilor formeaz un subspaiu, numit
subspaiu propriu ataat valorii proprii respective. Se noteazE={/V-{0}, T()=}4. Un vector propriu poate fi asociat ca vector propriu unei
singure valori proprii asociataplicaiei liniare T.Observaia se demonstreaz presupunnd ca pentru - vector
propriu al lui T existdouvalori proprii adic:
T()= i T()= 0vatunci= sau (-) =0n consecin- =0 i deci = i deci propunerea este fals.
Exemplu: S se determine valorile i vectorii proprii asociaiaplicaiei liniare T: R2R2cu T(1, 2)=( 1+22, 21+2)
Soluie: Matricea aplicaiei este: AT=
12
21
Ecuaia caracteristic
P() =
12
21 =0 (1-)2-4=0 2- 2-3=0 1=-1, 2=3
Vectorii proprii asociai valorii proprii 1 = -1 au coordonatele nraport cu baza canonicdate de sistemul de ecuaii:
{
=+
=+
=+
=+
022
022
0)1(2
02)1(
21
21
211
211
27
5/24/2018 matematici ptr economisti
28/189
cu soluia 1= -2 2 = k RSubspaiu vectorilor propriu ai lui 1este:
1 = {/= (-k,k) k R}EVectorii proprii asociai valorii proprii 2=3 au coordonatele n
raport cu baza comunicdate de soluiile sistemului.
=
=+
=+
=+
022
022
0)1(2
02)1(
21
21
221
212
cu soluia nedeterminat1=2=h, cu h RSubspaiul propriu
E 2={/=(h,h), h R}TEOREMA 1.6.3 Dac 1, 2, .... p sunt vectori proprii ai
aplicaiei liniare T:VV asociai valorile proprii distincte 1,.... ,patunci sunt liniari independeni.
Demonstraia teoremei se face presupunnd c vectorii ar fidependeni, deci ar verifica: (1.6.4.) 11+22+.....+pp= 0v cu i0
Vectorii proprii ai aplicaiei liniare T verificT(1) = 11, .....T(p)= pp
Calculm:
(1.6.5.) T(11+.....+pp) = 1T(1) +.......+ pT(p) = 111 + ...... +ppp= 0Dacdin (1.6.5.) scdem (1.6.4.) nmulit cu 1se obine:111+.........+ppp-1(11+.......+p1) = 0 sau(2-1) 22+........+(p-1) pp = 0Cum valorile proprii 1,......,p sunt distincte, dac vectorii 2,
3,......, par fi independeni am obine 2 = ....... = p = 0, ceea ce arcontrazice presupunerea fcut. Rezultcvectorii proprii sunt liniarindependeni.
TEOREMA1.6.4. Fie V spaiu vectorial de dimensiune n, T: V Vo aplicaie liniari 1, 2,......, nvalori proprii distincte pentru T. Atunciexisto bazB pentru V astfel nct matricea asociataplicaiei liniare Ts aib form diagonal cu elementele diagonalei principale egale cuvalorile proprii.
28
Demonstraia teoremei pleac de la teorema 1.4.3. cci vectoriiproprii asociai valorilor proprii distincte 1, 2, ......, n sunt 1, 2, .....,nliniar independeni vectorii 1, 2, ....., nformeazo baza spaiuluiV cci numrul lor este maximal. Matricea aplicaiei liniare T, T(i) =ii i = 1,n n raport cu perechea de baze {B, B}este:
5/24/2018 matematici ptr economisti
29/189
AT=
n
2
1
......00
0.......0
0......0
TEOREMA 1.6.5. Fie V spaiu vectorial de dimensiune n,
T:VV o aplicaie liniarcare are un polinom caracteristic:P()=(-1)
m1 (-2)m2 ......( -p)
mp cu m1+m2+.......+mp=n.Atunci exist o baz B a spaiului vectorial V astfel nct matriceaasociat aplicaiei liniare T n raport cu perechea de baz {B, B} saib form diagonal dac i numai dac dimensiunea fiecruisubspaiu propriu Ei corespunztor valorii proprii ieste egalcu mi-ordinul de multiplicitate al valorii proprii respective
diagAT =
4342143421pp m
pp
m
p .....,.......,......1
Baza B este format din vectori proprii aparinnd subspaiilorproprii corespunztoare.
Exemplu1. Fie T: R3
R3
datprin: T()=(41+2, -1+32+3, 1-2+3)Sse studieze dacexisto baza spaiului vectorial R3n raport
cu care matricea asociataplicaiei liniare T saibformdiagonal.S
oluie. Matricea transformrii este:
AT=
110
131
114
P
olinomul caracteristic este:
)2()3(
110
131
114
)( 2
+=
=P
Deci ecuaia caracteristic
29
5/24/2018 matematici ptr economisti
30/189
(3-)2(2-)=0 are =3 valoare proprie de ordin de multiplicitatedoi (rdcindubl) i =-2 valoare proprie distinct.
30
=+
=+
=+
33231
22
31
321
32
321
321
,2,
02
0
0
0)31(
0)33(
0)34(
Vectorii proprii asociai valorii proprii =3 sunt soluiile
sistemului.
R==
=
=
=+
Deci: E3={x/x=(k,2k,k) R} a crei dimensiune este 1. n
conformitate cu teorema 1.4.5. nu existo baza spaiului vectorial R3n raport cu care matricea asociataplicaiei T saibformdiagonal.
2. Fie T:R3R3 o aplicaie liniar a crei matrice asociat nraport cu baza canoniceste:
AT=
130
310
004
Sse studieze dacexisto baza spaiului vectorial R3n raport
cu care matricea asociataplicaiei liniare T saibformdiagonal.S oluie. Ecuaia caracteristicasociateste:
0)2()4(
130
310
0042 =+=
Valorile proprii sunt 1=2=4, 3=-2Vectorii proprii asociai valorii 1=2=4 sunt soluiile sistemului
de ecuaii:
R,R,033
033
0)41(3
03)41(
0)44(
313232
32
32
32
1
=
=
=+
=+
=+
=
Deci
E=3={/=(k,h,h) k,h R}
Dimensiunea subspaiului propriu E=3 este doi ct este i
ordinul de multiplicitate a valorii proprii =3.
5/24/2018 matematici ptr economisti
31/189
Vectorii proprii corespunztori valorii proprii 3=-2 sunt
soluiile sistemului.
31
32
1
==
=+
=+
=
=++
=++
=+
R,,0
033
033
06
0)21(3
03)21(
0)24(
3321
32
32
1
3
2Deci E=-2 = {/=(0,-p,p) p R}a
crei dimensiune este unu.
Matricea ATse transformAT=
200
040
004
ntr-o bazB = {b1, b2, b3}unde b1, b2E=4 i b3E=-2ca de
exemplu:B = {b1=(1,2,2); b2=(-1,1,1); b3=(0,-3,3)}
1.7.Forme liniare. Forme ptratice
Definiie: Fie v spaiu vectorial peste corpul real, de dimensiunen. O aplicaie f: V R este o form(transformare sau operator) liniardect este aditivi omogen.
f(x+y)=f(x)+f(y) () x, y V
f(x)= f(x) () x V, () R
OBSERVAIEAceast
aplica
ie ata
eaz
fiec
rui vector x = (x
1, x
2,......,x
n) V
scris ntr-o baza spaiului unui numr real f(x) R.DefiniieFie V spaiu vectorial peste corpul R de dimensiune n.
O aplicaie f: V x V R este o form biliniar dac este liniar nraport cu ambele argumente:
f(ax1+bx2, y)=af(x1, y)+b(x2,y)f(x,ay1+by2)=af(x,y1)+b(x,y2) () x1, x2, y V, () a, b R
5/24/2018 matematici ptr economisti
32/189
1.7.1.Scrierea unei forme biliniare sub formmatricial.
Fie spaiul vectorial V o bazB = {b1,....bn}
Atunci vectorii x,y V se pot scrie:x=x1b1+.....+xnbny=y1b1+......+ynbnAplicaia f: VxV R se scrief(x,y) = f (x1b1+......+xnbn, y1b1+........+ynbn) =
= = = = =
=n
i
n
j
n
i
n
j
ijjijiii axxbbfyx1 1 1 1
),(
sau f(x,y)=(x1,...xn) =x
T
Ay
n
1
nnn
n
y
y
aa
aa
.....
...
1
111
OBSERVAIE: O form biliniar este determinat dac se
cunoate matricea formei A.Exemple: Fie o form biliniar f: R x R R, f(x,y) = x1y1-
2x2y1+x1y2. Vectorii x,y sunt exprimai n baza canonic. Care estematricea formei biliniarn baza canonic? Care este matricea formei
biliniare n baza B={b1,b
2} b
1= ?
=
6
5
b,4
3
2
Soluie:
f(x,y)=(x1,x2) = (x1a11+x2a21 x1a12+x2a22) =
2
1
2221
1211
y
y
aa
aa
2
1
y
y
= x1y1a11+x2y1a21+x1y2a12+x2y2a22.
Aceastformo identificm cu forma biliniardat: f(x,y)=x1y1-
2x2y1+x1y2S e obine matricea formei n baza canonic
Af=
02
11
C ei doi vectori x, y scrii n baza B={b1, b2}devine:
x = B
+
+=
=
21
2
2
1
64
5
1
2
1 3
64
53
x
x
32
5/24/2018 matematici ptr economisti
33/189
y = B
+
+=
=
21
21
2
1
2
1
64
53
64
53
y
y
n consecinforma biliniardevine:f(x, y) = (31+52; 41+t2) =
+
+
21
2
64
5
02
11
13
= -311-712-21- 52n.
Se obine matricea formei biliniare n baza B:
Af=
51
73
Definiie: O formbiliniarse numete forma biliniarsimetricdacmatricea formei este o matrice simetric, adicmatricea A esteegalcu transpusa sa:
Af = AT
f
Definiie: Fie un spaiu vectorial V peste corpul real R dedimensiunea n. O aplicaie g: V R este o form ptratic dacexisto aplicaie biliniarsimetric
f: VxV R astfel nct g(x) = f(x,x) () x V
Observaie:
f(x,x)=xTAx=(x1.....xn) = =
=
n
1i
n
1jjiij
n
1
nn1n
n111
xxa
x
:
x
a....a
:
a....a
unde A matricea simetricadicaij=aji.Exemple: 1. Fie f: R2xR2R o formbiliniarsimetric
f(x, y) = 2x1y1+x1y2+4x2y2+x2y1. Care este matricea formei bili-niare? Care este forma ptratic?
A= A simetricdeoarece a12=a21=1
41
12
Forma ptratic
g(x)=f(x,x)=(x1x2) (2x1+x2, x1+4x2) ==
x
x
2
1
41
12
2
1
x
x
33= 2x12+x2x1+x1x2+4x22=2x12+2x1x2+4x22
5/24/2018 matematici ptr economisti
34/189
2. Fie g: R3R o formptraticg(x)=x12+2x1x3-x2x3+x22+3x32sse s rie matricea formei ptratice.c
A= matrice simetric
32/11
2/110101
Definiii: 1. O form ptratic g: V R este pozitiv definit
dactoi minorii matricei simetrice A sunt strict pozitivi. Minorii sunt:
nnn1
1n11
n
2221
12112
....aa
:
....aa
......,aa
aaa === ;111
2. O form ptratic g: V R este semipozitiv definit dacminorii sunt:
1
0, 20, ...., n0.
3. O formptraticg: V R este negativ definitdacminorii
impari 1, 3,.... sunt strict negativi iar cei pari 2, 4,....sunt strictpozitivi.4. O formptraticeste seminegativdefinitdac1 0, 3
0,..... i 20, 40,....5. O formptraticpentru care nu sunt ndeplinite nici una din
condi erioare este o formptraticnedefinit.iile ant
Exemple. Sse stabileascnatura formelor ptratice:g1(x) = 8x
2-6x1x2+2x x3+4x22+x3
21 2g2(x) = x1
2-4x1x2+4x22
g3(x) = -2x12-y1x2-x224(x) = x1
2-3x1x2+2x1x3-2x2x3+x32g
S
oluie:
0150;230;8
110
143
038
A 3211 ===
=
g 1(x) este o formptraticpozitivdefinit34
5/24/2018 matematici ptr economisti
35/189
00;142
21A 212 ==
=
g2(x) este o formptraticsemipozitivdefinit
04/70;212/1
2/12213 ==
=A
04
1-0;-9/40;1
111
102/3
12/31
A 3214 ===
=
g 3
(x) este o formptraticnegativdiferit
g 4
(x) formptraticnedefinit
Definiie. Fie g: VR o formptratic. ntr-o baza spaiuluiB V forma ptratic g are o formcanonic dacmatricea formeieste o matrice diagonaladic:
35
g (y)=b1y12+b2y2
2+....+bryr2
r = rang A < n;
1.8.Reducerea unei forme ptratice la o formcanonic
1.8.1.Metoda Jacobi
Fie o form ptratic g: V R g(x) = xTAx, A matricesimetric. Dactoi minorii matricei A sunt neutri atunci existo bazB a spaiului V astfel nct forma ptraticsse transforme n formcanonic:
2122
2
121
1
.....1
n
n
n yyyg(y)
++
+
=
(y1,....., yn) reprezintcoordonatele vectorului x n baza B.
1.8.2.Metoda valorilor proprii
Aceast metod determin valorile cu ajutorul ecuaiei caracte-
ristice ataat matricei formei. Dac aceast matrice poate fi transfor-
5/24/2018 matematici ptr economisti
36/189
mat ntr-o matrice diagonal. [ndeplinete condiiile teoremei 1.4.5.]atunci se poate determina o bazn care se poate scrie forma canonic.
1.8.3.Metoda GaussAceastmetodformeazptrate perfecte cnd conine cel puin
un aii0.Exemplul 1:S se transforme forma ptratic g:R3 R, g(x) = x22 - x32 +
+4x1x2 - 4x1x3ntr-o formcanonic.Soluie. Matricea formei este:
=
102
012220
A
Minorii 04;- 32 =
====
102
012
220
12
20;01
Metoda Jacobi nu se poate aplica cci avem minori nuli.Vom ncerca metoda vectorilor proprii scriind ecuaia
caracteristicdin ntrecerea A.
3;3;0
0)9(-
102
012
220
)(P
321
2
===
=+=
=
Valori proprii distinctesubspaiului propriu al valorii proprii 1=0 se obine din
sistemul:
36
===
=
=+
=
=+
=+
=+
2;
2;
02
02
022
0)1(2
0)11(2
02232
32
31
22
1
32
311
211
3211x
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
11
5/24/2018 matematici ptr economisti
37/189
{ }RkkkkxxE === ),2,2,(/01
Printr-un calcul similar se obine:
E2=-3= {x/x=(h,21 h,h), h R}
E3=3 = {x/x=(-2t, -2t, t) t R}n consecinmatricea A se poate scrie ca o matrice diagonal
A
=
300
030
000care conduce la forma canonicg(y) = -3y22+3y32
Baza n care s-a fcut transformarea se obine din trei vectoricare aparin celor trei subspaii ale vectorilor proprii ca de exemplu:
B
={b1=(1, -2, -2) b2=(2, 1, 2) b3=(2, 2, -1)}
Exemplul 2:Sse scrie o formcanonica formei ptratice:g(x) = 2x1
2+3x22+8x3
2+2x1x2-8x1x3+6x2x3Soluie: Matricea formei este:
=
834
331
412
A
33
22
11
23
22
21
1
105
2
2
1
5
50
5
2
2
1)(
50
834
331
412
,51631
12;2
yyyyyyygAtunci
Minorii 32
+=+=
=
=====
La aceastformptraticse poate folosi i metoda lui Gauss.
g(x)=2
1[2x1+x2-4x3]
2 -2
1x2
2+8x32+4x2x3+3x2
2+8x32+6x2x3
Elementul a11=20 se va forma un ptrat perfect cu cei treitermeni ce conin pe x1[2x12 + 2x1x28x1x3]
37
5/24/2018 matematici ptr economisti
38/189
Pentru restul termenilor se caut forma unui nou ptrat perfectcu termeni ce conin pe x2
[ ] [ ] 23322
321322
22
321 105
2
5
5
242
2
110
2
542
2
1)( xxxxxxxxxxxxxg
+++=+++=
Substituind:y1 = 2x1 + x2 - 4x3y2=
2
5 x2+5x3
3 = x3yobinem forma canonic
2
3
2
2
2
1 105
2
2
1
yyyg(y) +=
OBSERVAIEDac toi coeficienii aii= 0 unei forme ptratice g(x) sunt nuli
atunci nu se poate aplica nici o metodde mai nainte.n aceastsituaie se va face nti o transformare de forma:xi = yi - yjxj = yi + yjx k
= yk, ki,j
ExempluSse reducforma ptraticg: R3Rg(x) = x1x2+ 2x2x3+ x1x3la o formcanonic
Soluie. Matricea formei este
012/1
102/1
2/12/10
Vom face transformareax1= y1- y2
x2= y1+ y23= y3x
n aceste condiii, forma ptraticdevine:g(y) = (y1-y2)(y1+y2) + 2(y1+y2)y3+ (y1 y2)y3 = y1
2 y22 + 3y1y3+ y2y3
cu matricea
=
02/12/3
2/110
2/301
A
38
5/24/2018 matematici ptr economisti
39/189
M
inorii, prin metoda Jacobi, sunt:
1=1; 2=-1; 3=2 g(z) = z12 z22 1/2 z3.
APLICAII1. S se rezolve prin metoda eliminrii complete Gaussurmtoarele sisteme:
=++
=+
=++
=++
=
=++
=+
++
=++
=++
1xx2xx
2xx2x
2xxx2
1x5xx
c
5x8xx4
1x3x2x
2x5x3x
b.
x5x4x5x3
2xx3x2x
1xx2xx
.a
4321
321
431
421
321
321
321
3321
4321
4321
R
ezolvare. Se aduc sistemele la sisteme echivalente diagonale:
a)
1 1 -2 1 11 2 3 -1 2
3 5 4 -5 31 1 -2 1 10 1 5 -1 10 2 10 -8 01 0 -7 3 00 1 5 -2 10 0 0 -4 -21 0 -7 0 3/20 1 -5 0 -2
0 0 0 1 1/2 39
5/24/2018 matematici ptr economisti
40/189
b)3 1 -5 0 2
-1 2 3 1
4 -1 -8
51 1/3 -5/3 2/30 7/3 4/3 5/30 -7/3 -4/3
-7/31 0 -39/21 9/70 1 4/7 5/70 0 0
-2/3
a) Sistem compatibil nedeterminat cu: x1=3/2-7x3; x2= -2 + 5x3;
x3R; x4=1/2b) Sistem incompatibil. Rang A = 2, Rang =3c) Metoda eliminrii complete poate determina sisteme echiva-
lente diagonale i scriind pe orizontal
7/31000
7/90100
7/90010
7/130001
1228000
617100
34010
29001
06200
32/172/100
02/92/110
12/12/101
11211
20121
21102
15011
06-200
351-30
09-12-0
15011
Sistem unic determinnd soluia:7
3;
7
9;
7
9;
7
13==== 4321 xxxx
2 . Sse rezolve sistemele:
=+
=+
=+
=+
=+
=
=+
=+
05x3x
42xx
22xx
1x-xx
b)
xxx
xx
xxx
xxx
a
21
21
32
321
32
222
02
62
)
321
21
321
321
40
5/24/2018 matematici ptr economisti
41/189
Soluii:a. Sistem unic determinat x1=1; x2=2; x3=-2
b. Sistem incompatibil.
3. Sse studieze dependena liniara sistemelor de vectori:a) v1=(1, 3, -1,1); v2= (0,1,1,0); v3=(-2,1,1,0) n R
4b) v1= (2,1,-3); v2=(4,5,-1); v3=(1,2,1) n R
3c) v1=(0,2,3); v2=(1,-1,3); v3=(-2,1,3) n R
3
Rezolvare. a) Se considerrelaia: 11+22+13=0nlocuind vectorii v1, v2, v3se obine:
=
=
=++=++
=
001
111113
201
0
003
02
1
321
321
31
A
M
atricea vectorilor. Rang A =3
Sistemul omogen este unic determinat cu soluia 1=2=3=0 Cei trei vectori sunt liniar independeni.
b) Pornind de la aceeai relaie se obine sistemul:
=+
=++
=++
03
0
042
321
321
321
25
=
113251
142
A rang A = 2 sistem nedeterminat cu
soluia Rk,2
1,
2
133231 ===
Cei trei vectori sunt liniar dependeni. Relaia de dependen a
celor trei vectori este: 0
22
321 =+ kkk
41
5/24/2018 matematici ptr economisti
42/189
c) Se scrie matricea vectorial:
3Arang21-AA ==
=333112
210
C
ei trei vectori sunt liniari independeni.
4. n spaiul R3se dau vectorii: v1=(2,1,3), v2=(-1, 2, 0), v3=(1,0, -2). S se arate c acetia formeaz o baz. Se cer coordonatelevectorului v = (2,2,2) n aceastbaz.
Rezolvare: Cei trei vectori v1, v2, v3vor forma o bazn R3dacvor fi liniari independeni. Se scrie matricea:
=
203
021
112
A Se calculeazA= -16 rang A = 3
vectorii sunt liniari independeni. Vectorul v se va scrie: v = 1v1 +2v2 + 3v3(2,2,2) = 1(2,1,3) + + 2(-1,2,0) + 3(1,0,-2)
=
=+
=+
223
22
22
21
21
321
Sistemul trebuie saibsoluie unici anume:2/1,2/1,11 === 32
C
oordonatele vectorului v n baza {v1, v
2, v
3}sunt (1, 1/2, 1/2).
5. n R4 se dau vectorii z1=(1,1,1,1) x2=(0,1,0,1) x3=(2,1,0,0)x4=(-1,0,-1,1). S se arate c acetia formeaz o baz. S se scriecoordonatele vectorului x = (2,1,2,1) n aceastbaz.
Soluie: Formeazbazcci determinantul de ordinul patru estediferit de zero. Coordonatele vectorului n baza {x1, x2, x3, x4}sunt (2,-1, 0, ).0
6. Sse calculeze produsul scalar al vectorilor:a) v1=(1,-2,0,3,4); v2=(1,4,-2,1,2) n R
5
42
5/24/2018 matematici ptr economisti
43/189
b) == 21 v(2,1,1/2),x
3
1,2,
3
1n R3
Rezolvare:a) =11+(-2) 4 + 0(-2) + 3 1 + 4 2 = 4
< x1, x2> =6
15
3
1
2
121
3
12 =
++
7. Sse normeze vectorii: v1=(3,2,1,3), v2=(0,2,-3,1)
Rezolvare:
==
23
3,
23
1,
23
2,
23
3)3,1,2,3(
23
1*1v
==
14
1,
14
3,
14
2,0)1,3,2,0(
14
1*2v
8. Fie baza b1= (1, 1, 2)T, b2= (-1, 2, 5)
T, b3 = (0, 1, 4)Tn R3.
Sse construiasc o bazortogonal n spaiul R3. Rezolvare: Lumprocedeul Gramm-Schmidt.
==== 2111222T
11 cuaba,(1,1,2)ba 61
aaa,b11
12 =
deci
==6
2,
6
11,
6
7)2,1,1(
6
1)0,2,1(2
TTa ; a3= b3- 31a2cu
=
=
==
==
=
34,
37,
62
62,
611,
671)2,1,1(
23)4,1,0(
1174
36
6
29
,
,
6
9
,
,
3
22
2232
11
1331
a
aa
ab
aa
ab
V
ectorii: {a1, a2, a3}formeazo bazortogonal.
9. Sse verifice cvectorii {a1, a2, a3}i {b1, b2, b3}formeazdoubaze ale spaiului R3. S se gseasc relaiile care exist ntrecoordonatele unui vector v scris n cele doubaze. Vectorii sunt: a1 = (1,2, -3); 2 = (3,1,0); a3= (-2, 1, 4); b1= (2,-2,1); b2= (1,4,0); b3= (0,1,4).a
Rezolvare: Se scriu matricele Ai B
i se calculeaz
rangurile lor.
43
5/24/2018 matematici ptr economisti
44/189
3ArangB
401
142-
012
B
3ArangAA
==
=
==
=
41
35
403
112
231
Deci: A= {a1, a2, a3}i B = {b1, b2, b3}sunt baze n R3Fie:
A=(1, 2, 3) n baza A A= 1a1+2a2+3a3B=(w1, w2,w3) n baza B B=W1b1+w2b2+w3b3T=AA
Ti T=BBT Deci AAT=BBTRelaia care nmulitlastnga cu A-1se obine:
AT=A-1BB
=
3
2
1
1
3
2
1
401
142
012
w
w
w
403-
112
2-31
10. Sse arate curmtoarele aplicaii sunt aplicaii liniare:a) f: R3R2 f(x1, x2, x3) = (2x1 x3, 2x2)
b) f: R2R2 f(x1, x2) = (x1-x2, 2x1-x2)
Rezolvare:a) Fie: x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) R3i , R Calculm:x + y = (x1+ y1, x2+ y2, x3+y3)
f(x + y) = (2(x1+ y1)-( x3+ y3), 2(x2+ y2)==(2x1-x3, 2x2), + (2y1-y3,2y3)= f(x)+ f(y)Deci f este operator liniar.
b) Fie xF(x1,x2), y=(y1y2) R2i , Rx+ y=(x1+ y1, x2+ y2) f(x+ y)=( x1+ y1- x2- y2, 2x1+ 2y1- x2- y2) == ((x1-x2)+ (y1-y2), (2x1-x2)+ (2y1-y2))== (x1-x2, 2x1-x2) + (y1-y2, 2y1-y2)= f(x)+ f(y)
Deci f este aplicaie liniar.44
5/24/2018 matematici ptr economisti
45/189
11. Fie aplicaia f: R3R2, f(x) = (x12, x1-x3).Sse verifice daceste o aplicaie liniar.
Rezolvare: x=(x1,x
2,x
3) y=(y
1,y
2,y
3)i ,
R
x+ y = x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3f(x+ y) = (x1+ y1)2, x2+ y2-x3- y3)=(2x1
2+ 2y12+2x1y1+(x2-x3)+ (y2-y3)) f(x)+ f(y)Deci f nu este operator liniar.
12. Fie aplicaia liniarf: R2R3f(x1x2)= (x1+2x2, -x1, x1+x3).Sse scrie matricea ataatoperatorului f.
Rezolvare: Matricea aplicaiei liniare este:
=
11
01
21
A
13. Fie aplicaia liniar f: R3 R3 cu f(x) = (2x1+x2+x3,2x1+3x2+2x3, 3x1+3x2+4x3)
S se scrie matricea ataat aplicaie liniare, s se determenivectorii i valorile proprii. Sse determine o bazn care aplicaia sepoate aduce la o formdiagonal.
Rezolvare: Matricea formei este:
=
433
232
112
A
Pentru a determina valorile proprii se scrie ecuaia caracteristicP()=A-E= 0
07)-(1)-(
1433
232
1112
)(P 2 ==
=
Deci aplicaia are valorile proprii 1=2=1 i 3=745
5/24/2018 matematici ptr economisti
46/189
Vectorii proprii corespunztori valorilor proprii vor fi soluii alesistemelor:
=+
=+
=++
=++
=++
=++
=++
=++=++
=++
=++=++
03x-3x3x
02x4x-2x
0xx5x-
0x3x3x3
0x2x2x2
0xxx
0x)4(x3x3
0x2x)x(x20xxx)-(2
0x)4(x3x3
0x2x)3(x20xxx)2(
321
321
321
321
321
321
3321
3233
1
3213
3121
3211
3211
Subspaiile vectorilor proprii E=1i E=7sunt:E=1={x/x=(-k-h,h,h) k,h R}dim E=1=2E=7={x/x=(k,2k,3k,) k R}dim E=7=1Matricea A poate fi transformat ntr-o baz, ntr-o matrice
diagonal deoarece subspaiile vectorilor proprii au dimensiuni egalecu ordinul de multiplicitate al valorii proprii respective.
Deci:
),,(Bbazao-ntr
700
010001
321 bbbA =
=
14. Fie aplicaiile liniare f: R3R3a) f1(x)=(2x1+2x3, x1+x2)
b) f2(x)=(2x1-x2, -x1+2x3, -x2+2x3)Se cere sse scrie matricea ataataplicaiilor. Sse determine
valorile i vectorii proprii; sse determine baza n care matricele pot fidiagonalizate. Rspuns:
;11
22)
=Aa 1=0; 2=3 O bazn care:
=
30
00A este B={b1=(1,-1) b2=(2,1)}
46
5/24/2018 matematici ptr economisti
47/189
=
210
201
012
)Ab ; 1=2=1; 3=2. Nu existo bazdin R3
n care sse poatdiagonaliza matricea formei A.
15. S se aduc la forma canonic, prin metoda lui Gauss,formele ptratice:
a) g1(x) = 2x2+2
2+x32-2x1x2+4x1x3-2x2x31
) g2(x)=5x12+6x2
2+4x32-4x1x2-4x1x3b
Rezolvare:
a) Observm cavem coeficienii aii0, de exemplu a11=2. Sealeg toi termeni care pe xnformnd un ptrat cu acetia.
g(x) = (2x12 - 2x1x2 + 4x1x3) + x2 + x3 - 2x2x3=
2
1(2x1 - x2 + 2x3)
2
-2
1x2
2- 2x32+2x3x3+x2+x3-2x2x3=
2
1(2x1-x2+2x3)
2+2
1x2
2-x32
Dacnotm: y1=2x1-x2+2x3; y2=x2; y3=x3atunci:
23
22
21 2
1
2
1yyy(y)g1 +=
b) Procednd similar se obine:
23
22
21
13
40
26
5
5
1yyy(y)g1 ++= unde
=
=
=
33
222
3211
5
4
5
26
225
xy
xxy
xyxy
16. Utiliznd metoda valorilor proprii s se aduc la formacanonicurmtoarele forme ptratice:
a) g1(x) = 5x12 + 6x2
2 + 4x32 - 4x1x2 - 4x1x3
b) g2(x) = x12 + 5x2
2 + x32 + 2x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3
Rezolvare: a) Se scrie matricea simetrica formei ptratice
47
5/24/2018 matematici ptr economisti
48/189
=
402
062
225
A
Se determin valorile proprii scriind ecuaia caracteristic aacestei matrici.
P() = 08)-(5)-(2)-( ==
402
062
225
Valorile proprii sunt: 1=2, 2=5, 3=8Subspaile vectorilor proprii: E1={x/x=(2a, a, 2a) a R}E2= {x/x= (a, 2a, -2a), a R }E3= {x/x=(-2a, 2a, a) a R }
Vectorii
1 = (2,1,2) E1; 2 = (1,2,-2) t2; 3 = (-2, 2, 1) t3formeazo
bazortogonala spaiului R3
. Vectorii normai
=
= 5
2,5
1,5
2w
1
11
=
=5
2,
5
2,
5
1w
2
22 i
=
=
5
1,
5
2,
5
2w
3
33 formeaz o baz
ortonormatn care forma ptraticse transformn forma canonic:
g1(y)=2y12+5y2
2+8y3
b) Similar se obine:
g2(y)=-2y12+3y2
2+6y32ntr-o bazortonormat
=
=
=
6
1,
6
2,
3
1,
3
1,
3
1,0,
2
11
6
1 ww
2
1-w 32
48
5/24/2018 matematici ptr economisti
49/189
49
2.PROGRAMARE LINIAR
2.1.Introducere
n prezent o serie de activiti economice i sociale complexeconduc la rezolvarea unor probleme de optimizare. Astfel, problemedin domeniul planificrii produciei, de planificare a investiiilor,probleme de transport, probleme de dietetc. conduc la probleme de
optimizare ale cror soluii optime trebuie determinate. Modelarea lormatematic a permis utilizarea aparatului matematic furnizat dealgebra liniar pentru determinarea soluiilor optime. De exemplu,modelarea n unele probleme economice poate fi fcutastfel: notndcu xi(i = 1,..., n) nivelele la care trebuie sse desfoare n activiti iprin f (x1,.., xn) funcia obiectiv (de eficien) se cere sse determinevalorile variabilelor Xi, (i = 1,..., n) aa nct funcia obiectiv s iavaloarea maxim(minim).
[max/min] f (x1,..., xn) (2.1.1.)
cu condiiilefj(x1,..., xn) 0, 0 j m (2.1.2.)
numite i restriciile problemei.
Dac funciile f i fj,, (j = 1,..., m) sunt funcionale liniare,problema este de programare liniar.
Iatcteva exemple:
Exemplul 1:Problemde planificare a produciei
O ntreprindere industrialdispune de materiile prime M1,...Mn,deci care fabricprodusele P1,...Pm. Dintr-o tonde materie primMi(i = 1,..., n) se produc aij uniti din produsul Pj (j = 1,..., m) (aij senumesc i consumuri specifice).
Lunar ntreprinderea trebuie s producbj (j = 1,..., m) uniti
din fiecare produs Pj . Dac preul unei tone din materia prim Mieste ci (i = 1,..., n), s se ntocmeasc un plan de consum lunar almateriilor prime astfel nct pentru realizarea produciei planificate,cheltuielile sfie minime.
Fie xj cantitatea din materia prim Mi utilizat n procesul deproducie, aijxj reprezint cantitatea de materie prim din resursa Mi
5/24/2018 matematici ptr economisti
50/189
utilizatpentru producerea cantitii de produs Pj, iar cantitatea totaldin resursa Minecesarpentru producia total formatdin produseleP1,..., Pneste
a1jx1+ a2jx2+ ....anjxninnd seama de faptul c lunar ntreprinderea trebuie s
produ cel puin bjuniti din fiecare produs Pjca1jx1+ a2jx2+....+ anjxn bj (j = 1,..., m)
Deci, modelul matematic al problemei este
50
n
jiij bxa , (j = 1,...,m) (2.1.3.)=1i
xi 0, i = 1,..., n (2.1.4.)
[min] f = (2.1.5.)=
n
11iixc
Condiiile (3) sunt restriciile problemei, (4) sunt condiii denenegativitate, iar f este funcia obiectiv sau funcia de eficien.
Exemplul 2:O problemde utilizare optima unor resurse.n condiiile exemplului 1, deci din materiile prime R1,...,Rncare
sunt limitate de cantitile b1,..., bn se fabric produsele P1,..., Pm. Secunosc consumurile specifice aij0 i beneficiile unitare cj, (j = 1,..., m)(cjeste suma realizatprin valorificarea unei uniti din produsul Pj nuniti bneti). Se cere s se determine cantitile xj, deci fiecareprodus Pjcare trebuie realizate astfel nct beneficiul sfie maxim.
Modelul matematic al problemei este:
=
m
1jijij bxa i = 1,..., n (2.1.6.)
xj0, j = 1,..., m (2.1.7.)
[max] f = (2.1.8.)=
m
1jjjxc
5/24/2018 matematici ptr economisti
51/189
Condiiile (6) rezult din faptul c nu putem consuma din fiecare
resursmai mult dect cantitatea de care dispunem, iar reprezint
ncasrile totale.=
m
1j
jjxc
Se pot da i alte exemple de probleme de programare liniar, pecare le vom trata n cadrul acestui capitol.
2.2.Forma generala problemei de programare liniar
F
orma generala unei probleme de programare liniareste:
, j = 1,..., k (2.2.1.)= n
1ijiij bxa
, j = k+1,..., l (2.2.2.)=
n
1ijiij bxa
, j = l+1,..., m (2.2.3.)=
=n
1ijiij bxa
, (2.2.4.)0x,,0x,0x
p21 iii K
0x,,0xrp1p ii
++
K
celelalte variabile nu au semnul specificat
[max/min] f = (2.2.5.)=
n
1i
iixc
A rezolva o astfel de problem nseamn a determina valorile
nenegative ale variabilelor Xi care satisfac condiiile (2.2.1.), (2.2.2.),(2.2.3.) (deci a determina nivelurile Xi la care se desfoar anumiteactiviti) i care optimizeazfuncia obiectiv f (sau funcie de eficien).
O problem de programare liniar poate fi formulat i matricealdactoate inecuaiile sistemului de restricii au acelai sens (condiie carepoate fi uor ndeplinitnmulind cu 1 inecuaiile (2.2.1.) sau (2.2.2.).
51
De exemplu, notnd cu A = (aij)m n , b = (b1,...,bm)t, C = (c1,...,
cm) i
5/24/2018 matematici ptr economisti
52/189
X
= (x1,..., xn)tproblema din ex. 1. Se scrie:
AX bX 0 (2.2.6.)[min] f = CX
Forma standard a unei probleme de programare liniareste:AX = b (2.2.7.)X 0 (2.2.8.)[max/min] f = CX (2.2.9.)
Orice problem de programare liniar poate fi adus la formastandard i anume:
Toate inecuaiile din sistemul de restricii pot fi transformate n
egaliti adunnd sau scznd (dupcaz) o serie de variabile nenegativenumite variabile ecartsau de compensare. n acest fel din matricea A =(aij) obinem matricea Al obinut din A la care s-au adugat l vectoricoloancu toate elementele nule cu excepia elementului situat pe linia jcare este +1 pentru inecuaiile sau 1 pentru inecuaiile , iar vectorulx = (x1,..., xn)
t devine Xl obinut din X prin adugarea a l componentenenegative xn + 1,..., xn + l i care reprezint activiti fictive. Analog Cdevine Cl= (c1,..., cn, 0,..., 0), adugnd la C, l componente nule.
Variabilele nenegative rmn aceleai, iar n locul
variabilelor negative vom introduce noi variabile
nenegative prin substituiile
p1 iixx K
rp iixx ,,
1K
+
wk= xk (k = ip + 1,..., ir)
Variabilele care nu au semnul specificat se pot
nlocu fictiv cu diferena a douvariabile presupuse nenegative i anume:n1r ii
x,,x K+
i
0v0,u,vux kkiii kkk = , (k = r,..., n)
Aceste modificri conduc la forma extins a problemei deprogra niamare li r :
Al Xl= bXl0[max/min] f = ClXl
c
are este forma standard.
52
5/24/2018 matematici ptr economisti
53/189
Exemplul 1:Sse aducla forma standard problema de progra-mare liniar:
x1+ 3x2 x3 2x4+ 3x5= 7
x1 2x2 x3 + x5+ 2x66
2x1+ 3x2+ 2x3 x4 x6+ x74
3x1+ x2 x3+ 2x5 x6 3x73
x1 0, x2 0, x3 0, x7 0, x4, x5, x6frrestricii de semn[max] f = 3x1 2x2+ x3+ x4 x5+ 2x7.
Pentru x3i x7care sunt negative facem substituiilew3= x3, w7= x7,
iar variabilele x4, x5, x6 care nu au restricii de semn se vor
nlocui cu x4= u4 v4 ; x5= u5 v5; x6= u6 v6Cu ac
este nlocuiri sistemul de restricii devine:
x1+ 3x2+ w3 2(u4 v4) + 3(u5 v5) = 7x1 2x2+ w3+ (u5 v5) + 2(u6 v6) 62x1+ 3x2 2w3 (u4 v4) (u6 v6) w743
x1+ x2+ w3 + 3w7= 3
3x1 2x2 w3+ (u4 v4) (u5 v5) 2w7i f =P entru forma standard ad
ugm variabilele ecart .......... i obinem
x1+ 3x2+ w3 2u4+ 2v4+ 3u5 3v5= 7
x1 2x2+ w3+ u5 v5+ 2u6 2v6+ = 6e
8x
2x1+ 3x2 2w3 u4 v4 u6 v6 w7 = 4e
9x
53
103x1+ x2+ w3 + 3w7 3
ex
x10, x20, w30, u40, v40, u50, v50, u60, v60,
w70,0x0,x0,x e10
e9
e8
[max] f = 3x1 2x2 w3+ u4 v4 u5+ v5 2w7
De menionat cn orice cerinde optimizare maximul i mini-mul se pot nlocui reciproc, anume:
[max] f(x) = [min ] (f(x))[min] f(x) = [ max] (f(x))
5/24/2018 matematici ptr economisti
54/189
2.3.Soluiile problemei de programare liniar
n continuare vom considera problema standard (S) de programare
liniar. Pentru compatibilitatea sistemului (2.2.7.) considerm crang A = rang (Ab)i rang A = m ceea ce implicmnDEFINIIA 3.1. Numim soluia posibil (sau realizabil) a
problemei (S) un vector x = (x1, ..., xn)t din spaiul soluiilor care
satisface (2.2.7.) i (2.2.8.)Mulimea soluiilor posibile este o submulime a spaiului
vectorial n- dimensional al soluiilor, ea poate fi vid, redus la unpunct, infinit dar mrginit, infinit i nemrginit aa cum rezultdin exemplele pe care le vom analiza.
Se demonstreazcmulimea soluiilor posibile este o mulimeconvex.
DEFINIIA3.2. O soluie posibil(sau realizabil) X se numetesoluie de baz(sau program de baz) dacare cel mult m componentestrict pozitive (xi1,..., xir, r m) i dac vectorii coloan ai1, ..., aircorespunztor coordonatelor nenule xir (r m), ale vectorului X suntliniar independeni.
Dac soluia de baz are exact m componente nenule ea este
nedegenerat, n caz contrar (dacconine mai puin de m componentenenule) ea este degenerat.
DEFINIIA 3.3. Se numete soluie optim a problemei (S) osoluie posibilcare satisface cerina de optim (2.2.9).
Exemplul 2.1.:Fie programul (S)x1 x2 2x3 x4 = 4 (2.3.1.)2x1+ x2 4x3 x5 = 6xi0 i = 1, ..., 5 (2.3.2)
Matricea 10412
01211A
= are rangul 2
Vectorul X1= (20/3, 4/3, 1, 0, 4)teste o soluie posibildeoarece
satisface condiiile (2.1.1) i (2.1.2.)Vectorul X2 = (4, 0, 0, 0, 2)
t reprezint o soluie de baznedegeneratdeoarece numrul componentelor nenule este 2 = rang A
i vectorii
=
2
11a i
=
1
0a 5 sunt liniar independeni.
54
5/24/2018 matematici ptr economisti
55/189
Vectorul X3 = (22/3, 0, 2, 0, 0)t nu este o soluie de baz dei
este o soluie posibil deoarece vectorii coloan din matricea A
corespunztori componentelor nenule
= 2
11a i
= 4
2-a 3 sunt
liniar dependeni.Vom da n continuare cteva teoreme privind soluiile unui
program liniar. pentru demonstrarea lor se pot consulta [1], [2], [3], ...TEOREMA 3.1. ntre soluiile posibile ale unei probleme de
programare liniari soluiile posibile ale problemei extinse existocorespondenbiunivoc.
TEOREMA 3.2. ntre soluiile optime ale unei probleme de
programare liniari cele ale problemei extinse existo corespondenbiunivoc.
Spaiul vectorial n-dimensional al tuturor soluiilor X se numetespaiul soluiilor, iar mulimea soluiilor posibile formeaz unsubspaiu H al acestuia ea poate fi vid, redusla un punct, infinitdarmrginitsau infiniti nemrginitaa cum va rezulta din exemplelepe care le vom da.
TEOREMA 3.3. Dac pentru un program liniar H atunciexistcel puin o soluie de baz.
Din cele expuse pn acum rezult c pentru rezolvarea uneiprobleme de programare liniareste necesar i suficient sputem descoperin mulimea soluiilor de bazpe acelea care optimizeazfuncia obiectiv.n cazul n care n problemintervin dousau trei variabile soluia putea fideterminat prin metode elementare i anume metoda grafic i metodaalgebric [...]. n celelalte cazuri o inspectare completa mulimii tuturorsoluiilor de baz ar presupune un volum mare de calcule i o serie dedezavantaje ca n cazul problemelor cu soluie infinit.
O metod care ne d rspunsuri precise i concludente i care
necesit un volum relativ mic de calcule este metoda simplex, carepermite determinarea soluiei optime pornind de la o soluie de bazdupun numr finit de iterate.
2.4.Metoda simplex de rezolvare a unui program liniar standard
Fie programul standard(S) AX = b (2.4.1.)X 0 (2.4.2.)
[max] f = CX (2.4.3.)55
5/24/2018 matematici ptr economisti
56/189
cu notaiile din paragraful 1. Dac vectorii coloan ai matriceiA, mi2i1i formeaz o baz n R
m, atunci xi1, xi2, ... , xim senumesc coordonate bazice (variabile de baz). Matricea A poate fi
descompusn dousubmatrice EB formatdin vectorii
a,...,a,a
mi1i a...,,a iE formatcu celelalte coloane, deci:EBA= (2.4.4.)
i analogC = (CB, CE), X = (XB, XE)
t (2.4.5.)iar forma standard se scrie
( ) BX,XFE tEB = (2.4.6.)
XB0, XE0 (2.4.7.)[max] f = (CB, CE) (XB, XE)
t (2.4.8.)Fcnd calculele, rezultEXB+ FXE= B (2.4.9.)XB0, XE0 (2.4.10.)[max] f = CBXB+ CEXE (2.4.11.)O soluie a sistemului (3.9) esteXB= B
-1b B-1EXE (2.4.12.)
lund aici XF= 0 obinem o soluie de bazpentru (2.4.9.) i anumeXB= B
-1b (2.4.13.)Dac XB 0 spunem c baza imi a,...,a4B 1= este primal
admisibil. Dac vectorul ( )tjijijij m21 ,...yy,ya = (j = 1, ..., n) areaceste componente n raport cu baza B iar
( ) { } Jj,,...ii,iI,ycx,,...cc,cC m21Ii
ijijimi2i1E ===
(2.4.14.)
cu J = {1, ..., n, y-I}Dispunnd de o baz primal admisibil se ntocmete tabelulsimplex n care trecem:
a) soluia XB= B-1b
b) CB= (Ci1, ..., Cim)
c)
==Ii
iiBBB XCXCf (
valoarea funciei obiectiv
corespunztoare soluiei de baz.
56
5/24/2018 matematici ptr economisti
57/189
d) ( )tjijijij1 m21 y,...,y,yaB = care reprezint coordonatele
vectorilor nji,aj n baza B. dacB este baza canonicyijsunt
coeficienii din sistemul de restricii dat.e) se calculeaz
=Ii
ijij yCf
f) se calculeazdiferenele
=
Ij,0
Ij,cycfz Ii
jiji
jj
U n astfel de tabel simplex aratdeci sub forma:
57
am
c1 c2 ... ci ... cm cm+1 ... cn1a 2a ... ia ... 1ma + CB B XB ... na
c1 1a 1x~ 1 0 0 y1,m+ y1,... ... 0 1 ... n
c2 2a 2x~ 0 1 ... 0 0 y2,m+1 ... y2,n
M M M M M M M M M
ci ia ix~ 0 0 . 1 0 y +1 . n.. i,m .. yi,
M M M M M M M M M
cm ma mx~ 0 0 . 0 1 y m+1 . y ,n.. m, .. m
fB f1 f2 fi fm fm+1 ... Fnci-fj . c 1 n0 0 .. 0 0 m+1-fm+ ... cn-f
n continuare apl test de tim l i bazat
pe urm
roblema deprogr
tru care fj j
opt B
ueste o
se ic ul op alitate a soluiei XBtoarele teoreme pe care le dm frdemonstraie i anume:
EOREMA 4.1. Dac fj c
j 0 pentru toi j J, pT
amare liniarare optim finit i fopt= fB.TEOREMA4.2. Dacpentru un indice jJ pen c < 0
toate componentele xjk0, programul are optim infinit1. Dactoi cj fj0, jJ atunci XBeste soluia optimi f = f
2. Dac exist cel puin o diferen fj cj< 0 atunci soluia nptim. n acest caz existurmtoarele posibiliti.
a) Fie lJ aa nct 0fc
5/24/2018 matematici ptr economisti
58/189
b) Fie l J cu 0fc 0
atunci soluia poate fi mbuntit.Se trece la prima iterat prin care se determin vectorul care
intrn bazi vectorul care iese din baz. Indicele k al vectorului care intrn bazne este dat de
ck fk= max {cj fj/ cj fj> 0} (4.14.)iar indicele h al vectorului care iese din bazeste dat de
= 0yI,i/y
x~min
y
xik
ik
i
kh
hf
(
(4.15.)
din bazi ia locul vectorul
58
n acest mod vectorului ha k
Se stabilete elementul pivot ykh i se recalculeaz toateelementele tabloului simplex i se obine o nousoluie de baz*. Dacaceastsoluie nu este optimse trece la iterata urmtoare. Ca rezultatal fiecrei iterate se obine o nousoluie de bazi n baza teoremelorenunate anterior n final obinem soluia optimsau ne convingem cnu avem optim finit.
a
ObservaiiReamintim regula de calcul:- elementele de pe linia pivotului se mpart la pivot
- elementele de pe coloana pivotului devin nule cu excepiapivotului care devine 1
- celelalte elemente se calculeaz dup regula dreptun-ghiului. Se determinvaloarea unui determinant de ordin doi undepe diagonala principal avem pivotul i elementul ce trebuierecalculat iar celelalte elemente se gsesc pe linia i coloana pivo-tului intersectate cu linia i coloana elementului de calculat. Rezul-tatul se mparte la pivot.
Exemplul 4.1.: Sse rezolve problema de programare liniar4x1 + 2x2 6x3+ x4= 4x1 x2+ x5= 3max] f = 4x1 - x2+ 2x3+ x5[
Soluie
10011
01624
=A , rang A = 2
5/24/2018 matematici ptr economisti
59/189
Vectorii
=
0
1a 4 i
=
1
0a 5 formeazo baz.
V
ariabilele bazice sunt x5i x6deci I = {5, 6}.
Alctuim tabelul simplex
4 -1 2 0 1 cjcB B xB 1a 2a 3a 4a 5a
04a
4 4 2 -6 1 0
1 5a
3 1 -1 0 0 1
fj 3 1 -1 0 0 1cj fj 3 0 2 0 0
Cea mai mare diferenpozitiveste c1 f1= 4 i avem yi1 > 0deci soluia poate fi mbuntit.
n baz va intra vectorul 1a . Pentru a vedea ce vector iese nbazcalculm
11
3,
4
4min
y
xmin
i1
i =
=
deci din baziese vectorul 4a . Pivotul este 4.T
abelul simplex din iterata urmtoare este:
4 -1 2 0 1 cjcB B xB 1a 2a 3a 4a 5a
4 1a 1 1 1/1 -3/2 1/4 0
1 5a 2 0 -3/2 3/2 -1/4 1fj 6 4 1/2 -9/2 3/4 1cj fj 0 -3/2 13/2 -3/4 0
Mai avem o diferencj fjpozitivdeci n baz intrvectorul
3a i iese vectorul 5a deoarece pe coloana lui 3a avem o singur59
5/24/2018 matematici ptr economisti
60/189
coordonat pozitiv 3/2. pivotul este 3/2. Tabloul simplex n iterataurmtoare este:
4 -1 2 0 1 cjcB B xB 1a 2a 3a 4a 5a
4 1a 3 1 -1 0 0 1
2 3a 4/3 0 -1 1 -1/6 2/3fj 44/3 4 -6 2 -1/3 16/3cj fj 0 5 0 1/3 -13/3
Avem doudiferene cj fjpozitive dar pe coloanele lor elementeley
ijtransformate sunt negative deci problema nu are optim finit.
Exemplul 4.2.:Sse rezolve problema de programare liniar.2x1+ x2+ x3+ x5= 2x1+2 x22 x3+ x6= 33x1 x2+ x3+ x4= 5[max] f = 3x1+ x2 x3+ 2x4 + x6Soluie:
001113
100221
010112
A
= , rang A = 3
Vectorii 465 a,a,a formeazo bazT
abloul simplex este urmtorul
a6
3 1 -1 2 0 1 cjcB B xB
1a 2a 3a 4a 5a 0
5a 2 2 1 1 0 1 0
1 6a 3 -1 2 -2 0 0 12
4a 5 3 -1 1 1 0 0
fj 13 5 0 0 2 0 1cj f -2 1 -1 0 0 0
60
jAvem c2 f2> 0 deci intrn bazvectorul 2a
Din26
6
y
x
2
3
2
3,
1
2min ==
deci iese din baz vectorul 6a .
Pivotul este y62= 2
5/24/2018 matematici ptr economisti
61/189
U
rmtorul tabel este:
3 1 -1 2 0 1 cjc
BB x
B 1a 2a 3a 4a 5a 6a 05a 1/2 5/2 0 2 0 1 -1/2
12a 3/2 -1/2 1 -1 0 0 1/2
24a 13/2 5/2 0 0 1 0 1/2
fj 29/2 9/2 1 -1 2 0 3/2cj fj -3/2 0 0 0 0 -1/2
Toate diferenele cj fjsunt negative sau nule deci
zopt=2
29 i este realizat pentru valorile x1= 0,23x 2 = , x3= 0,
2
13x 4 = , 2
1x 5 = i x6=0. Soluia optimeste X = ( 0, 3/2, 0, 13/2,
1/2, 0)t i este nedegenerat (numrul de componente pozitive alevectorului soluie X egal cu numrul restriciilor).
2.5.Metoda bazei artificiale
n problemele studiate anterior matricea sistemului de restriciiconinea vectori unitari care alctuiau o baz unitar ceea ce uuradeterminarea unei soluii iniiale de baz. Dacaceastbazunitarnuexist, recurgem la metoda bazei artificiale prin introducerea
variabilelor pentru a avea o baz primal admisibil i se
rezolvproblema de programare liniar.
0x ak
AX + IX(a)= b
X 0; X(a)0[max] f = CX X(a)cu un numr real arbitrar strict pozitiv (pentru min f se adaug
X(a))Orice soluie posibila problemei iniiale este o soluie posibil
a programului extins pentru care valorile tuturor variabilelor artificialesunt nule i reciproc orice posibila programului extins n care toatevariabilelor artificiale sunt nule, este o soluie a programului iniialdupnlturarea acestora.
Asemenea soluii se realizeazpentru [min] X(a)61
5/24/2018 matematici ptr economisti
62/189
O astfel de problemse rezolvprin metoda celor doufaze:Faza I. n aceastfazse rezolvproblemaAX + IX(a)= b
X 0; X(a)0[min] f1= X
(a)La sfrit putem avea urmtoarele situaii:1) [min] f1= 0 deci toate variabilele artificiale sunt nule i nici o
variabil artificialnu este bazicfade soluia optim. n acest cazdispunem de o soluie de baza programului extins din care prin nl-turarea variabilelor artificiale se obine o soluie de baz a progra-mului iniial i se trece la faza a II-a.
2) [min] f1= 0 i cel puin o variabil artificial este bazic ea
trebuie eliminatastfel:- dacpe linia variabilei artificiale existelemente nenule (rangA = m) alegem unul dintre acestea drept pivot i facem nco iteraiepentru a o elimina din baz.
- dacpe linia variabilei artificiale nu avem elemente nenule (rangA < m), o vom neglija suprimnd-o din tabel. Se trece la faza a II-a
3) [min] f1> 0 problema iniialnu are soluie de baz.Faza a II-a. n aceast faz n cazul 1) se elimin din ultimul
tabel simplex coloanele variabilelor artificiale i se continu
algoritmul introducnd coeficienii funciei obiectiv f = CX. n cazul2) dac n bazau mai rmas variabile artificiale nenule aceasta estedovada cproblema iniialnu admite soluii. Dacn baza rmas ovariabil artificialdar pe linia ei n tabelul simplex toate elementelesunt nule, se suprimaceastlinie i se trece la faza a II-a.
Exemplul 5.1.:Sse rezolve programul liniar2x1+ 3x2+ x3= 4x2+ 2x3+ x4= 6x1+ x3+ x4= 8xi0, 1 i 4[max] f = x1+ 8x2+ x3+3x4Soluie
1101
1210
0132
A=
62
5/24/2018 matematici ptr economisti
63/189
Nu dispunem de o bazcanonicdeci vom aduga sistemului de
restricii variabile artificiale i vom rezolva problema prin
metoda celor doufaze.
a7
a6
a5 x,x,x
Faza I. Rezolvm programul liniar
2x1+ 3x2+ x3+ = 4a5x
x2+ 2x3+ x4+ = 6a6x
x1+ x3+ x4+ = 8a7x
xi0, (1 i 4) 7k50,xak
[min] f1=a
7
a
6
a
5
xxx ++A
vem o problemde minim
T
abloul simplex este:
63
0 0 0 0 1 1 1 cjCB B XB
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 1
5a 4 2 3 1 0 1 0 0
16a 6 0 1 2 1 0 1 0
17a 8 1 0 1 1 0 0 1
fj 18 3 4 4 2 1 1 1cj-fj -3 -4 -4 -2 0 0 01
5a 1 2 5/2 0 -1/2 1 -1/2 0
03a 3 0 1/2 1 1/2 0 1/2 0
17a 5 1 -1/2 0 1/2 0 -1/2 1
fj 6 3 2 0 0 1 -1 1cj-fj -3 -2 0 0 0 2 00
1a 1/2 1 5/4 0 -1/4 1/2 -1/4 0
03a 3 0 1/2 1 1/2 0 1/2 0
17a 9/2 0 3/4 0 3/4 -1/2 -1/4 1
fj 9/2 0 3/4 0 3/4 -1/2 -1/4 1cj-fj 0 -3/4 0 -3/4 3/2 3/4 0
0 1a 2 1 3/2 0 0 1/3 -1/3 1/3
5/24/2018 matematici ptr economisti
64/189
03a 0 0 0 1 0 1/3 2/3 -2/3
04a 6 0 0 0 1 -2/3 -1/3 4/3
fj 0 0 0 0 0 0 0 0cj-fj 0 0 0 0 1 1 1
Am eliminat din baz toate variabilele artificiale i f1 opt = 0.Trecem la faza urmtoare.
Faza a II-a. Relum tabelul simplex de unde am rmas dar cu cjcoeficienii funciei obiectiv f i fr coloanele vectorilor 765 a,a,a .Avem pentru problema de maxim tabelul:
1 8 1 3 cjCB B XB
1a 2a 3a 4a 1
1a 2 1 3/2 0 0
13a 0 0 0 1 0
34a 6 0 1 0 1
fj 20 1 9/2 1 3
cj-fj 0 7/2 0 082a 4/3 2/3 1 0 0
13a 0 0 0 1 0
34a 7 -2/3 0 0 1
fj 87/3 10/3 8 1 3cj-fj -7/3 0 0 0
max f = 387 i este realizat de vectorul
t
70,,340,A = i
este degenerat
Exemplul 5.2.:Sse rezolve programul liniar-x1 + x2+ x3= 1x1 x2+ x4= 1x1 + x2+ 2x3= 4xi 0, 1 i 4
[max] f = 2x1 x2+ 3x3+ x464
5/24/2018 matematici ptr economisti
65/189
Soluie
02111011
0111
A
=
n A avem un vector coloanunitar ( )t4 0,1,0a = deci adugmsistemului de restricii numai dou variabile artificiale la prima
ecuaie i la ultima i rezolvm problema prin cele doufaze.
a5x
a6x
Faza I. Rezolvm programul liniar:
-x1+ x2+ x3+ = 1a5x
x1 x2+ x4= 1
x1+ x2+ 2x3+ = 4a6x
xi0, 1 i 4, 0x0,xa6
a5
[min] f1=a6
a5 xx +
A
vem tabelul simplex:
65
0 0 0 0 1 1 cjcB B xB1a 2a 3a 4a 5a 6a
15a 1 -1 1 1 0 1 0
04a 1 1 -1 0 1 0 0
16a 4 1 1 2 0 0 1
fj 5 0 2 3 0 1 1cj fj 0 -2 -311 0 0 0
0 3a 1 -1 1 1 0 1 00
4a 1 1 -1 0 1 0 0
16a 2 3 -1 0 0 -2 1
fj 2 3 -1 0 0 -2 1cj fj -311 1 0 0 2 00
3a 5/3 0 2/3 1 0 1/3 1/3
04a
1/3 0 -2/3
0 1 2/3 -1/3
5/24/2018 matematici ptr economisti
66/189
01a 2/3 1 -1/3
0 0 -2/3
1/3
fj 0 0 0 0 0 0 0
F
aza a II-a
2 -1 3 1 cj
CB B XB 1a 2a 3a 4a
3 3a 5/3 0 2/3 1 0
1 4a 1/3 0 -2/3 0 12 1a 2/3 1 -1/3 0 0
fj 20/3 2 2/3 3 1cj-fj 0 -5/3 0 0
Rezult [max] f =3
20 i este realizat de vectorul X = (2/3, 0,
5/3, 1/3)t, soluie nedegenerat.
2.6.Cazul n care sistemul de restricii conine inegaliti
Am vzut n paragraful 1 corice program liniar poate fi adus laforma standard prin adugarea (pentru inegaliti de tipul ) sauscderea (pentru inegaliti de tipul ) a unor variabile ecart (decompensare) care pot fi interpretate economic ca reprezentnd activi-ti fictive pe care ntreprinderea nu le efectueazi crora n funciade eficien le vor corespunde beneficii nule. Problema extins se
rezolv prin metoda simplex studiatanterior.Exemplul 6.1.: S se aduc la forma standard i s se rezolve
problema de programare liniar:x1 + x2+ 2x3102x1 + x2+ 3x312x1 + x2+ x37xi 0, 1 i 3[max] f = 2x1 + x2 3x3
66
5/24/2018 matematici ptr economisti
67/189
Soluia 1. Problema extinseste:x1 + x2+ 2x3+ x4= 102x1 + x2+ 3x3+ x5= 15x1 + x2+ x3+ x6= 7xi 0, 1 i 7[max] f = 2x1 + x2 3x3+ 0x4+ 0x5+ 0x6
Avem urmtorul tabel simplex
2 1 -3 0 0 0 cjc
BB x
B 1a 2a 3a 4a 5a 6a 04a 10 1 1 2 1 0 0
05a 12 2 1 3 0 1 0
06a 7 1 1 1 0 0 1
fj 0 0 0 0 0 0 0cj fj 2 1 -3 0 0 00
4a 4 0 1/2 1/2 1 -1/2 0
21a 6 1 1/2 3/2 0 1/2 0
06a 1 0 1/2 -1/2 0 -1/2 1
fj 12 2 1 3 0 1 0cj fj 0 0 -6 0 -1 0
A
vem fopt= 12 pentru X = (6, 0 , 0)t. Soluia este degenerat
Exemplul 6.2.: S se aduc la forma standard i s se rezolve
programul liniar:3x1+x2-x3 =9 (6.2.1.)x12x2+x3x4 6x1+3x2x33x4 3,x10, x20, x30, x4nu are semn specificat (6.2.2.)[max.] f = 2x1+2x2x3x4.Soluie Facem substituiile x3= y3, y3 0,x4= u4 v4 cu u40, v4 0. Programul devine3x1 + x2 + y3= 9 (6.2.1)
67x1 2x2 y3 u4+ v46
5/24/2018 matematici ptr economisti
68/189
x1 + 3x2+ y3+ 3u4 3v43x10, x2 0, y30, u4 0, v40 (6.2.2)[max] f = 3x1+ 2x2+ y3 u4+ v4 (6.2.3)
Restriciile conin i inecuaii deci la inecuaia a doua adugmvariabila ecart y50 iar n ultima scdem variabila ecart y60 deci
programul devine3x1 + x2 + y3= 9x1 2x2 y3 u4+ v4+ y5= 6x1+ 3x2+ y3+ 3u4 3v4 y6= 3 (6.2.1)i [max.] f = 3x1+ 2x2+ y3 u4+ v4+ 0y5+ 0y6.A
vem
A =
654432
7654321
yyxuyx
103-3131
0111-1-2-1
0000113aaaaaaa
1x
, rang A = 3
Nu avem o bazcanonic, n A vectorul 6a = (0,1,0)t
este unitar.Completm o baz cu ajutorul variabilelor artificiale adugat
membrului nti al primei ecuaii i adugat ultimei ecuaii
(5.2.1). Problema se rezolvprin metoda celor doufaze:
a7y
a8y
Faza I-a Avem de rezolvat programul liniar:
3yy3v3uy3xx
6yvuy2xx
9yyx3x
a8644321
544321
a7321
=++++
=++
=+++
x10, x20, y30, u40, v40, y50, y60, y70, y80a8
a71 yyf[min] +=
T
abelul simplex va fi:
0 0 0 0 0 0 0 1 1 cjcB B xB
1a
68
2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a
5/24/2018 matematici ptr economisti
69/189
18a 9 3 1 1 0 0 0 0 1 0
06a 6 1 -1 -1 -1 1 1 0 0 0
1 9a 3 1 3 1 3 -3 0 -1 0 1f1j 12 4 4 2 3 -3 0 -1 1 1cj-fij -4 -4 -2 -3 3 0 2 0 01 a8 8 8/3 0 2/3 -1 1 0 1/3 1 -1/30
6a 7 4/3 0 -2/3 0 0 1 -1/3 0 1/3
02a
1 1/3 1 1/3 1 -1 0 -1/3 0 1/3
fij 8 8/3 0 2/3 -1 1 0 1/3 1 -1/3
cj-fij -8/3 0 -2/3 1 -1 0 2/3 0 4/301a 3 1 0 1/4 -3/8 3/8 0 1/8 3/8 -1/8
06a 12 0 0 -1 1/2 -1/2 1 -1/2 -1/2 1/2
02a 0 0 1 1/4 9/8 -9/8 0 -3/8 -1/8 3/8
fij 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Am obinut [min] f1= 0 i din bazam eliminat toate variabileleartificiale.
Faza a II-a. Relum ultima parte a tabelului simplex fr ulti-mele doucoloane i cu coeficienii cjai funciei f. Vom avea:
3 2 1 -1 0 0
cB B xB 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a
3 1a 3 1 0 1/4 -3/8 3/8 0 1/8
0 6a 12 0 0 -1 1/2 -1/2 1 -1/2
2 2a 0 0 1 1/4 9/8 -9/8 0 -3/8fj 9 3 2 5/4 9/8 9/8 0 -3/8cj-fj 0 0 -1/4 -17/8 -1/8 0 3/80
7a 24 8 0 2 -3 3 0 10
6a 24 4 0 0 -1 1 1 02
2a 9 3 1 1 0 0 0 0fj 18 6 2 2 0 0 0 0
cj-fj -3 0 -1 -1 1 0 069
5/24/2018 matematici ptr economisti
70/189
15a 8 8/3 0 2/3 -1 1 0 1/3
06a 16 4/3 0 -2/3 0 0 1 -1/3
2 2a 9 3 1 1 0 0 0 0fj 26 26/3 2 8/3 -1 1 0 1/3cj-fj -17/3 0 -5/3 0 0 0 -1/3
f opt = 26 i este realizat de X = (0, 9, 0, -8)t. Soluia este
degenerat.
70
5/24/2018 matematici ptr economisti
71/189
71
2.7.Dualitatea n programarea liniar
Problema dualitii n programarea liniar prezint un interesdeosebit din punct de vedere matematic ct i economic. n paragra-fele anterioare am fcut ipoteza ca rang A = m pn la metoda bazeiartificiale, rmnnd totui res