LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO
Metodologia Científica e Lógica Formal
A existência como um todo comporta duas realidades, ao
mesmo tempo distintas e complementares; e só encontram
sentido tendo o Homem como centro de atuação, e a busca do
saber como instrumento natural que almeja, gradativamente,
compreender o real. Essas duas realidades são, de um lado, o
ser questionador (obviamente, estamos falando do Homem) e o
objeto questionado, sendo entendido como objeto todo o
complexo de seres que estão aí fora, toda existência, onde,
sobre esse desconhecido, se debruçam as várias disciplinas
que procuram dar explicações convincentes em relação aos
aspectos particulares desse objeto. Esses aspectos justificam
a existência de cada uma dessas disciplinas.
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Se faz presente em toda ciência a rigorosidade dos métodos utilizados para o estudo do objeto, onde não é levada em consideração apenas a capacidade de apreensão dos sentidos, e sim o experimento científico rigoroso, aplicado à cada fenômeno em particular. Essa metodologia é vivenciada principalmente nas ciências exatas e da natureza. É dentro dessa ótica que iremos focar o nosso estudo sobre a Lógica Formal.
Há muitas definições para a Lógica, pois trata-se de um assunto bastante amplo e com muitas aplicações. Também as pessoas vivem o dia-a-dia colocando em prática os conceitos apresentados nos livros e, de certa forma, dominam essa prática, de maneira que a dificuldade maior se apresenta na assimilação dos conceitos.
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Um feirante, por exemplo, realiza o tempo todo cálculos
matemáticos, contas, operações lógicas das mais diversas; mas
talvez teria dificuldade para representar graficamente – em um
primeiro momento - uma equação do tipo 8 + 6 = 14. Também
seria difícil para ele interpretar a operação lógica "A → B", mas o
mesmo entende perfeitamente a frase "Se vendo, então tenho
lucro".
Está sendo dito a mesma coisa, porém, de forma diferente, onde a
primeira é reservada ao espaço acadêmico, já a segunda é
vivenciada no cotidiano das pessoas. A Lógica Formal trabalha
esses conceitos, estudando as regras gerais do pensamento e a
melhor maneira de aplicação desse conhecimento na busca da
verdade.
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Foi encontrado na Índia textos muito antigos que tratavam de
assuntos lógicos, e que poderiam sinalizar que nesse país
provavelmente teria surgido os primeiros estudos sobre a
Lógica. No entanto, já é aceito pelos historiadores que o berço
dessa matéria foi a Grécia Antiga, aproximadamente no século
IV a. C., sendo os primeiros textos atribuídos aos filósofos
conhecidos como Sofistas. Também a Parmênides e Zenão.
Porém, foi o grande Aristóteles quem organizou de forma
sistemática esse conhecimento, de maneira que, a partir de
suas reflexões, essa temática foi elevada ao nível de ciência.
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Para mostrar que os sofistas (mestres da retórica e da oratória) podiam enganar os cidadãos utilizando argumentos incorretos, Aristóteles estudou a estrutura lógica da argumentação. Revelando, assim, que alguns argumentos podem ser convincentes, embora não sejam corretos. A lógica, segundo Aristóteles, é um instrumento para atingir o conhecimento científico, baseando-se no silogismo.
Busto de Aristóteles – filósofo e professor Nascimento 384 a.C.
Estagira, Calcídica, Grécia Antiga. Morte 322 a.C. (62 anos) Cálcis, na ilha Eubeia.
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A finalidade de Aristóteles era de buscar a verdade por meio de um argumento lógico, que nada mais é do que um conjunto de proposições onde, nesse conjunto, as primeiras afirmações são ditas premissas, e apresentam um valor lógico; e como consequência, temos a conclusão, que é derivada das premissas. Em um argumento válido, as premissas são provas evidentes da verdade da conclusão.
Exemplo 01:
Todo homem pensa.
René Descartes é homem.
Logo, René Descartes pensa.
Exemplo 02:
Existem normas acadêmicas em toda universidade federal.
A Ufal é uma universidade federal.
Logo, na Ufal, existem normas acadêmicas
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Exemplo 03:
Há Caixa Econômica em todas as capitais brasileiras.
Ora, Maceió é uma capital brasileira.
Logo, em Maceió, tem Caixa Econômica.
Dedução e Indução
A dedução é um processo mental onde o indivíduo admite como válida
e convincente, uma afirmação declarada; e em conformidade com
esse argumento, chega à uma conclusão lógica, de forma a não poder
haver contradição entre as premissas e a conclusão. Portanto, há um
desdobramento lógico onde é possível, por dedução, atribuir ao
particular as características encontradas na premissa.
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Um argumento dedutivo se diz válido quando suas premissas, sendo
classificadas como verdadeiras, garantem a veracidade da conclusão, pois
é impossível admitirmos premissas verdadeiras e conclusão falsa.
O silogismo é o exemplo mais conhecido de raciocínio lógico dedutivo. É
uma construção lógica, formada por três proposições: premissa maior,
premissa menor e conclusão.
Existe muitas formas de deduções lógicas, mas o silogismo se apresenta
como uma das mais comuns. Independente de sua forma mais popular ou
não, todos os métodos revelam três características fundamentais da Lógica
Matemática, a saber, o princípio da não contradição, o princípio da
identidade e do terceiro excluído. Também a Lógica adotada nesse curso é
conceituada como bivalente, isto é, a conclusão só poderá ser verdadeira
(V) ou falsa (F), não havendo outra possibilidade. Esses assuntos fazem
parte da lógica clássica e iremos estudá-los mais adiante, tanto o seu
aspecto histórico, como, principalmente, sua aplicabilidade.
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No exemplo dado acima, temos:
Todo homem pensa (premissa maior).
René Descartes é homem (premissa menor).
Logo, René Descartes pensa (conclusão).
Analisando bem o raciocínio existente nesses silogismos, eles evidenciam a
seguinte regra lógica:
Se X = Y, e Z = Y, logo X = Z.
Como consequência, é pertinente concluir que o elemento Z está contido em X.
Obs.: Pode acontecer que, do ponto de vista do método dedutivo, o raciocínio
esteja correto, e o conteúdo não seja verdadeiro. É perfeitamente possível
ter uma afirmação que desempenha a função de premissa, mas que não
seja evidente:
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Vejamos um exemplo:
A temperatura chega a 28° todos os meses do ano em Maceió.
Ora, janeiro é um mês do ano.
Logo, a temperatura chega a 28° no mês de janeiro.
Indução
A indução é uma operação realizada pela mente humana que faz o processo
inverso da dedução, ou seja, no método indutivo, a finalidade é trabalhar a
observação de fatos particulares para permitir a generalização de uma
ideia. Os acontecimentos estão presentes na natureza de forma
individualizada, porém revelam características que são comuns a uma série
de outros acontecimentos. É por conta desse processo de saber lidar com
esses fatos que o Homem passou a formular conceitos para aplicá-los de
volta no mundo real, que nada mais são do que generalizações dos fatos
particulares.
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O saber científico é essencialmente universal, justamente por
pretender estender um conhecimento específico e limitado a todo
gênero de situações que expressam uma semelhança de
fenômenos. E a indução satisfaz essa intenção da ciência como
um todo.
Exemplos de indução:
Soltei uma pedra de determinada altura e ela caiu;
Soltei outra pedra de determinada altura e ela caiu;
Soltei mais uma pedra, e também esta caiu;
Logo, se eu soltar uma outra pedra de determinada altura, ela vai cair.
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O boi é mortal.
O cavalo é mortal.
O leão é mortal.
O gato é mortal.
O pássaro é mortal.
O homem é mortal.
Ora, boi, cavalo, leão, gato, pássaro e homem são mortais.
Logo, todo animal é mortal.
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A girafa de número um tem o pescoço longo.
A girafa de número dois tem o pescoço longo.
A girafa de número três tem o pescoço longo.
A girafa de número (y) tem o pescoço longo.
Toda girafa tem o pescoço longo.
No estudo dos teoremas matemáticos, por exemplo, é aplicado
o método dedutivo para fundamentar a relação entre premissa
e conclusão que, nesse caso, assumem a forma de Hipótese e
Tese, respectivamente. As representações são dadas
conforme abaixo:
.
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1ª - Se Y é o conjunto dos números inteiros positivos, então Y é infinito.
2ª - Se P, então Q.
3ª - P → Q.
4ª - P =› Q (lê-se: "P implica Q").
Já um caso contextualizado de indução pode ser aplicado às
pesquisas científicas de determinada área da Física, onde, por
exemplo, no estudo do movimento retilíneo uniforme, é suficiente
apenas a análise particular de alguns objetos, submetidos a
determinadas condições, para formular os conceitos gerais, de
forma que não é necessária uma nova verificação do fato para
comprovação do fenômeno, pois a generalização, uma vez
definida, garante a repetição do fato, sendo mantidas as mesmas
características dos objetos na experiência.
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Portanto, percebemos claramente a diferença entre os métodos
dedutivo e indutivo, de modo que no primeiro, a característica principal
é trabalhar a generalização de uma proposição dada e, a partir do seu
valor lógico, chegar a uma conclusão; já o segundo faz o caminho
inverso: partindo de verdades particulares, experimentadas ao
extremo, constitui seus conceitos e sua visão geral sobre o real. E em
ambos os métodos os argumentos lógicos são satisfeitos pela relação
entre premissas e conclusão.
Tem
po
1
Posição
Inicial
Posição 1
Posição 2
Posição 3
Tem
po
2
Posição
Final
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Lógica Clássica e Não Clássica
Tradicionalmente a Lógica Clássica é compreendida como uma forma
própria de organizar os argumentos e de trabalhar os conceitos,
obedecendo os princípios fundamentais da não contradição, do
terceiro excluído e da identidade. E dizemos também que a Lógica
Clássica é bivalente, admitindo somente conclusões verdadeiras (V) ou
falsas (F).
Princípio da Não Contradição
Refletindo um pouco sobre o dilema do Ser de Parmênides e do Vir a
Ser de Heráclito que, em nosso estudo, apenas ilustra e nos leva a
constatar que o problema da contradição perpassa a História, tanto
em situações corriqueiras da vida, como em obras filosóficas de
grandes pensadores e seus discípulos, a nossa reflexão é aplicada ao
estudo da Lógica, com sua origem inserida nesse contexto filosófico.
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O princípio da não contradição afirma que não podemos classificar
como verdadeiro e falso um mesmo objeto, ao mesmo tempo. Por
exemplo, se afirmo que “Todo homem é mortal” (premissa maior, que
vamos representar por “P”), e em seguida acrescento que “Sócrates é
homem” (premissa menor, que está inclusa em “P”), como
consequência lógica – nesse caso, por dedução – concluo que
“Sócrates é mortal” (e chamo isso de “Q”). Diante dessas premissas,
eu não poderia concluir que Sócrates não é mortal, pois as
proposições não me autorizam, dentro da lógica bivalente, a concluir
outra coisa, se não, a sua condição de ser mortal.
Simbolicamente, temos uma representação dita condicional do tipo “P
→ Q”, e vemos que, se “P” é verdade, então “Q” é verdade. Não posso
ter “P” como verdade e “Q” como falsidade.
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Princípio do Terceiro Excluído
No âmbito da lógica bivalente, não há uma terceira possibilidade, ou
seja, toda proposição só poderá ser verdadeira ou falsa, não havendo
possibilidade para uma outra conclusão.
Princípio da Identidade
Identidade é o princípio que, como o próprio nome diz, identifica,
caracteriza um objeto como sendo aquilo que é, e não poder ser outra
coisa. Em outras palavras, não há espaço para o relativismo, onde um
mesmo objeto possa ser aceito com outra natureza. Essa abordagem
não é admitida no princípio da identidade.
Na expressão se René Descartes pensa, então René Descartes pensa
temos a representação simbólica “P → P” (voltaremos a falar do
princípio da identidade quando trabalharmos os conceitos de
Tautologias, Contradições e Contingências).
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Negar ao menos um desses princípios da Lógica Clássica é permitir a
assimilação de conceitos da Lógica não Clássica, tais como:
• Lógica Plurivalente – é descartada a ideia de bivalência e assumida a
noção de trivalência, onde uma proposição pode ser verdadeira, falsa
ou neutra;
• Lógica Nebulosa – a verdade é graduada, ou seja, uma proposição
pode apresentar-se mais verdadeira que a outra;
• Lógica da Probabilidade – pode haver a possibilidade de uma
proposição ser verdadeira;
• Lógica Modal – admite a ideia de possibilidade e necessidade, onde,
por exemplo, ao afirmarmos: talvez irei apresentar o seminário na Ufal
amanhã, essa frase participa da ideia de possibilidade.
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Portanto, analisando os diferentes tipos de Lógica, percebemos que
todas elas trazem a característica da formalidade, ou seja, dentro de
sua especificidade na abordagem do real, predomina a rigorosidade
própria da metodologia científica. Também vemos que os novos
conceitos de lógica surgem em momentos diferentes e obedecem
correntes de pensamento das mais diversas. A Lógica Bivalente é a
base desse curso, tendo a menção das demais apenas um caráter
exemplificativo.
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Proposições e Conectivos
É definido como proposição um conjunto formado por palavras ou
símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo; são
afirmações ou juízos que fazemos a respeito de objetos determinados.
Em uma proposição não são admitidas frases interrogativas ou
exclamativas.
Toda proposição apresenta três características fundamentais:
1. Sendo uma oração, é formada por sujeito e predicado;
2. É declarativa;
3. Contempla um, e somente um, dos valores lógicos: ou é verdadeira (V)
ou é falsa (F).
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Exemplos
1. Maceió é a capital de Alagoas;
2. A Lua é um satélite natural da Terra;
3. ∆ = b² - 4.a.c;
4. 35 ≠ 53;
5. Chama-se translação o movimento da Terra que determina a passagem
do dia para a noite;
6. √16 + √9 < 8;
7. 5 l 25 (lê-se: 5 é divisor de 25);
8. 1/4 > 1/2;
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Exemplos
1. Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil;
2. MDCCCXXIII = 1.823;
3. N Ȼ Z;
4. {a, b, c, d, e, f} ∩ {b, d, g, h, k} = {b, d};
5. {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {0, 4, 6, 7, 8} = ø.
As expressões abaixo não são consideradas proposições:
1. A Lua é um satélite natural da Terra? (frase interrogativa);
2. 8 * 5 – 2 (ausência de predicado);
3. 4x – 2 = 30 (não é possível a classificação de verdadeiro ou falso);
4. Estude muito, se quiser ser aprovado! (frase exclamativa).
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Uma proposição é classificada como simples (atômica) ou composta
(molecular).
A proposição simples é aquela que não depende de outra proposição
para ser constituída, e é representada por letras minúsculas de origem
latina: p, q, r, s, t, ... São chamadas de letras proposicionais.
Exemplos:
1. p: José é um bom pai;
2. q: Vinte é múltiplo de quatro;
3. r: João é estudante;
4. s: 8 > 4;
5. t: A raiz quadrada de dezesseis é 4.
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Já a proposição composta, como o próprio nome sugere, é formada
pela combinação de duas ou mais proposições. A representação é
através de letras latinas maiúsculas: P, Q, R, S, T, ..., que também são
chamadas de letras proposicionais.
Exemplos:
1. P: José é um bom pai e Maria é uma excelente mãe;
2. Q: Vinte é múltiplo de quatro ou quatro é divisor de vinte;
3. R: Se João é estudante, então é esforçado;
4. S: 8 > 4 e 8 < 9;
5. T: A raiz quadrada de dezesseis é 4 ou a raiz cúbica de 27 é 3.
Observe que as proposições compostas são formadas por proposições
simples, e são também chamadas de fórmulas.
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Ao pretender evidenciar a composição de uma proposição
composta, basta escrever: P(p, q, r, ...).
Conectivos são palavras utilizadas para a formação de novas
proposições a partir da existência de outras.
Exemplos:
P: A raiz quadrada de 81 é nove e o número 7 é ímpar;
Q: Nove é a raiz quadrada de 81 ou 81 é múltiplo de nove;
R: Não é verdade que um círculo mede mais que 360°;
S: Se João é estudante, então é esforçado;
T: José será aprovado se e somente se estudar.