Introdução à Lógica Matemática Argumentos Válidos Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria

Introdução à Lógica Matemática

Argumentos Válidos

Introdução a Lógica Matemática - 2007/1

João Marques Salomão

Curso de Engenharia Elétrica

Coordenadoria de Eletrotécnica

CEFET-ES

ArgumentosArgumentos Um argumento é uma seqüência de formas

proposicionais A1, A2, ..., An, An+1, com n, tal que a conjunção das n primeiras implica a última, ou seja:A1۸A2۸ ...۸AnAn+1. (Argumento válido)

Neste caso, as formas proposicionais Ai, 1 i n são chamadas de premissas e An+1 é a conclusão.

Um argumento é inválido se a implicação não se verificar, isto é: A1۸A2۸ ...۸An An+1.

Obs: Denotaremos os argumentos válidos por: A1۸A2۸ ...۸AnAn+1

Para testar a validade de um argumento A1, A2, ..., An An+1 é necessário verificar se A1۸A2۸ ...۸AnAn+1 é uma tautologia.

Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 2

Aplicação da TV na Validação de Aplicação da TV na Validação de ArgumentosArgumentos

1 – Usando a TV simplificada, testar a validade do argumento: A ~A, A۷ .

Sol: Devemos verificar se a proposição ((A۸~A)۸(A۷) é uma tautologia:

Conclusão: como a coluna da TV correspondente à condicional não é uma tautologia, então o argumento não é válido.

2 – Fazer o mesmo para o argumento: A A۷ .Sol: verificar se ((A۸(A۷))۸(~ é uma tautologia:

((A ۸ ~A) ۸ (A ۷ ))

0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0

1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0


As Regras de InferênciaAs Regras de Inferência• São argumentos válidos simples usados como suporte para testar a

validade de argumentos mais complexos, visto que a técnica da tabela verdade pode se tornar impraticável.Dupla negação (DN): ¬¬P ou P P ¬¬P 1) Conjunção (C): P, Q

P۸Q

2) Disjunção (D): P (Tautolgia) ->

P۷Q

3) Simplificação (S): P۸Q (Tautolgia) ->

P

4) Regra da absorção (RA): P → Q

P→(P۸Q)

5) Simplificação disjuntiva (S+): P۷Q, P ۷¬Q

P

P P ۷ Q

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

1 1 1 1 0

1 1 1 1 1


(P ۸ Q) P

0 0 0 1 0

0 0 1 1 0

1 0 0 1 1

1 1 1 1 1

Regras de InferênciaRegras de Inferência6) Modus ponens (modalidade que afirma) - MP

P → Q, P If P, then Q. and P. Therefore, Q Q

7) Modus tollens (modalidade que nega) - MT

P → Q, ¬Q If P, then Q. and ¬Q . Therefore, ¬P .

¬P (P Q) ۸ ~Q ~P

0 1 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0

1 1 1 0 0 1 0

Ex: Se hoje é quinta-feira, então haverá jogo.

Hoje é quinta-feira.

Portanto, haverá jogo.

Ex: Se há oxigênio ou fumaça

aqui, então há fogo.

Não há oxigênio ou fumaça.

Portanto, não existe fogo.


(P Q) ۸ P Q

0 1 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0

1 1 1 1 1 1 1

Regras de InferênciaRegras de Inferência8) Silogismo disjuntivo (SD): P۷Q, ¬Q

~Q

9) Silogismo hipotético (SH): A→B, B→C

A→C

10) Regras do bicondicional (BIC): A→B, B→A ou AB_____

AB (A→B)۸(B→A)

11) Dilema construtivo (DC): A→B, C→D, A۷C

B۷D

12) Dilema destrutivo (DD): A→B, C→D, ~B۷~D

~A۷~C

Obs: Além dessas regras, usam-se propriedades, leis e teoremas da equivalência lógica. Por exemplo: A→B ~A۷BIntrodução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 6

Técnicas dedutivasTécnicas dedutivas Permitem obter a conclusão de argumentos sem o

uso de TV. Isso pode ocorrer através de três alternativas:

1. Dedução direta - Considera as informações dadas nas premissas e com o uso das regras de inferência permite encontrar a conclusão.

2. Dedução de conclusão condicional e bicondicional – Neste caso, a conclusão é do tipo condicional ou bicondicional e para demonstrar a validade, o antecedente da conclusão é tomado como uma nova premissa e o conseqüente é obtido como conclusão.

3. Dedução indireta ou redução a um absurdo - Nega-se a conclusão e obtém-se uma contradição se o argumento for válido.


Dedução diretaDedução direta Utiliza-se das regras de inferência para validar os argumentos.

Neste caso, uma forma proposicional B é dita dedutível ou derivável a partir de um conjunto de premissas (p) ou hipóteses quando podemos escrever A1,A2, ...,An-1An B. Exemplos: a) Deduzir ~D a partir de:

C, C→~B, ~B →~D

Sol:

1 – C p

2 - C→~B p

3 - ~B →~D p

4 - ~B MP em 2 e 1

5 - ~D MP em 3 e 4

b) Deduzir E۷~D, dado as premissas: D۸B, C→~B, ~C →E.

Sol:

1 D۸B p

2 - C→~B p

3 - ~C →E p

4 - B S em 1

5 - ~(~B) DN em 4

6 - ~C MT em 2 e 5

7 - E MP em 3 e 6

8 - E۷~D D em 7


Dedução direta - ExemplosDedução direta - Exemplos

c) Derivar “x=0” das premissas: x0→x=y, x=y→x=z, x z.

Sol: escrevendo simbolicamente onde p x=0 , temos: ~p → q, q → r, ~r p

1 ~p → q p

2 - q → r p

3 - ~r p

4 - ~q MT em 2 e 3

5 - ~(~p) MT em 1 e 4

6 - p DN em 5

d) Deduzir A das premissas: ~A→B, B→~D, D۷E, ~E.

Sol:

1 ~A→B p

2 - B→~D p

3 - D۷E p

4 - ~E p

5 - D SD em 3 e 4

6 - ~(~D) DN em 5

7 - ~B MT em 2 e 6

8 - ~(~A) MT em 1 e 7

9 - A DN em 8


Dedução: conclusão do tipo PDedução: conclusão do tipo P۸QQQuando a conclusão é do tipo p q, devemos

obter, independentemente, as parcelas p e q, e a seguir, deduzir p q, por CONJUNÇÃO.

Exemplo: Se a procura do produto aumentar, seu preço subirá; se o preço subir, o produto não será exportado; se não houver importação ou se a produto for exportado, o produto escasseará. A procura do produto aumentou e não haverá importação. Logo, o produto não será exportado e escasseará.

Fazendo: p a procura aumentar; q o preço subir; r o produto ser exportado; s haver importação; t o produto escassear, temos o argumento na forma simbólica e sua dedução:

p q; q r; s r t; p s; r t


Solução: conclusão do tipo PSolução: conclusão do tipo P۸QQ

1 premissa 1 p q

2 premissa 2 q r

3 premissa 3 s r t

4 premissa 4 p s

5 S em 4 p

6 SH em 1 e 2 p r

7 MP em 5 e 6 r

8 S em 4 s

9 D em 8 s r

10 MP em 3 e 9 t

11 C em 7 e 10 r t Exercício 36a): Deduzir E D das premissas: A B; E B;

(A D)Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 11

Dedução condicionalDedução condicional e bi- e bi- condicionalcondicional Sendo a conclusão da forma A→B e as premissas A1, A2, ...

An, se tomamos a conjunção das premissas como sendo D e comprovamos a validade do seguinte argumento DA→B, obtemos a equivalência (A۸D)B.

Prova: Se o argumento é válido, então temos D→A→B) 1 (tautologia) D→A۷B) ~D۷A۷B) (~D۷A)۷B ~(D۸A)۷B (D۸A)→B 1 (tautologia), portanto, (A۸D)B.

Isto é, se a conclusão do argumento é do tipo condicional, para demonstrar sua validade, o antecedente da conclusão é tomado como uma nova premissa e o conseqüente é obtido como conclusão.

OBS: Para a prova de argumentos com conclusão do tipo bicondicional o procedimento é idêntico e deve ser feito em ambos os sentidos (condição necessária e suficiente).

Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 12

Dedução condicional - ExemplosDedução condicional - Exemplos

a) Deduzir E→~A das premissas (pag 55): A→B, E→~B.

Sol:

1 A→B p

2 - E→~B p

3 - E pp (antecedente)

4 - ~B MP em 2 e 3

5 - ~A MT em 1 e 4

6 - E→~A DCond em 3 e 5

C – Obter C→D das premissas (pag 55):

(C۷E)→A, E→(~A۸~B), E۷D .

b) Comprovar a validade do argumento:

Se a casa ficar vazia ou eu conseguir o empréstimo então pago a dívida e me mudo. Se eu me mudar ou Pedro ficar em São Paulo então volto a estudar.

Logo, se a casa ficar vazia, volto a estudar.

Considere:p a casa ficar vaziaq eu conseguir o empréstimor eu pagar a dívidas me mudart Pedro ficar em São Paulou voltar a estudar.


Dedução Dedução bi-bi-condicional - Exemploscondicional - ExemplosExemplo: Deduzir CD das premissas (pag 55):

F→C, D→F, C→G, D۷~G .

Sol: 1 F→C p

2 - D→F p

3 - C→G p

4 - D۷~G p

5a - C pp

6a - G MP em 3 e 5a

7a – D SD em 4 e 6a

8a - C→D Dcond em 5a e 7a

5b - D pp

6b - F MP em 2 e 5b

7b – C MP em 1 e 6b

8b - D→C CondD em 5b e 7b

9 - (C→D)۸(D→C) C em 8a e 8b

10 - CD BICON em 9


Dedução da forma Dedução da forma p p q q • Sabemos que, por COND, p q p

q, portanto, se a conclusão do argumento tem a forma p q, podemos substituíla por p q.

• Utilizando Dedução da Condicional, incluir p nas premissas e deduzir q.

• Exemplo: Ou pagamos a dívida ou o déficit aumenta; se as exportações crescerem, o déficit não aumenta. Logo, ou pagamos a dívida ou as exportações não crescem.Onde: p pagar a dívida; q o déficit aumentar; r as exportações crescerem, Temos o argumento: p q, r q, p r.

• Pela Dedução da Condicional, a forma: p q, r q, p, r

Solução:

1 premissa 1 p q

2 premissa 2 r q

3 premissa 3 p

4 SD em 1e 3 q

5 MT em 2 e 4

r


Dedução indireta ou por absurdoDedução indireta ou por absurdo O método da dedução indireta ou redução a um

absurdo consiste em admitir a negação da conclusão como uma nova premissa e, então, deduzir uma contradição.

Prova: Considerando o argumento abaixo é válido: A1, A2... An B, é uma tatologia

Então A1, A2... An, ~B 0 é uma

Contradição.

Mas pela regra da condicional temos que:

A1, A2... An, ~B→0 , mas como ~B→0 ~~B۷0 B۷0B۷0B segue que o argumento

A1, A2... An B é válido.

Exemplo: Deduzir E das premissas:

~A→E, ~E→B, ~(A۸B). Sol:

1 ~A→E p

2 - ~E→B p

3 - ~(A۸B) p

4 - ~E pp

5 - B MP em 2 e 4

6 - ~A۷~B DM em 3

7 - ~~B DN em 5

8 - ~A SD em 6 e 7

9 - E MP em 1 e 8

10- E۸~E C em 4 e 9 (contradição)

11 – E DI de 4 a10


Validade e invalidade de argumentosValidade e invalidade de argumentos Os métodos de dedução demonstram a validade de um

argumento. Ele não serve para a prova de sua invalidade. Por outro lado,um argumento é, uma operação de condicional.

Se o argumento for válido, essa condicional é tautológica, caso contrário, ela é falsa;

Uma condicional é falsa se o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso;

Em um argumento, o antecedente é uma conjunção de premissas, e o conseqüente é a conclusão;

Para que o antecedente seja verdadeiro, é necessário que todas as premissas sejam verdadeiras, e para que o conseqüente seja falso, é necessário que a conclusão seja falsa.

Sendo assim, para mostrar que um argumento é inválido, é suficiente encontrar uma combinação de valores lógicos para as proposições simples envolvidas, de forma que torne cada premissa verdadeira, e a conclusão falsa.


Validade e invalidade - Validade e invalidade - ExemplosExemplos Exemplo: Considere o

seguinte argumento: Se José comprar ações

e o mercado baixar, ele perderá seu dinheiro. O mercado não vai baixar. Logo, ou José compra ações ou perderá seu dinheiro.

onde: p José comprar ações; q o mercado baixar; r José perder dinheiro.

Formalmente: pq r, q, p r

Solução: Para mostrar sua invalidade devemos fazer as premissas verdadeiras e a conclusão falsa; isto é:

VL [p q r] = V ( a ); VL [ q] = V ( b ) ;

VL [ p r ] = F ( c ).

De ( b ) vem que o VL [ q ] = F; subst em ( a ) temos: VL [p F r ] = V ( d ).

Sendo o VL [p r] = F ( e ), e como o VL [p F] = F qualquer que seja p, de ( d ), vem VL [r] = F; que substituindo em ( e ), vem: VL [p F] = F. O que implica em VL [ p ] = F

Temos então que, para o conjunto de valores lógicos:

VL [ p ] = F; VL [ q ] = F e VL [ r ] = F Então a condicional é falsa, o que significa

que o argumento é inválido.


Fluxograma é um método de modelagem lógica utilizado em programação e na solução de problemas em geral.

Simbologia utilizada em Fluxogramas

Validade e invalidade de argumentos:Validade e invalidade de argumentos:FluxogramasFluxogramas

NÃO

Y X

?SIM

1 - Início ou fim de rotinas ou deduções.

2 - Comando que atribui valores às variáveis;

3 - Comando que toma decisões.Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 19

No caso do Fluxograma aplicado na verificação da validade de um argumento ou prova de um teorema, procede-se da seguinte forma:

1. consideram-se as premissas verdadeiras; 2. aplicam-se os conectivos lógicos na obtenção da

conclusão. 3. verifica se a conclusão é tautológica ou não. No

primeiro caso, o argumento é válido, e no segundo, ele é inválido.

O teste de validade ou não de argumentos pode ser feito pelo método direto ou indireto (redução a um absurdo).

Validade e invalidade de argumentos:Validade e invalidade de argumentos:FluxogramasFluxogramas


Fluxogramas - ExemplosFluxogramas - ExemplosEx1: Como obter, no máximo em

duas pesagens, a bola mais pesada de um total de oito com as mesmas semelhanças físicas entre elas?

Sol:

Início

Colocar 3 bolas em cada prato,

deixando 2 de fora.

Um dos lados é

mais pesado?

Colocar as 2 de fora, uma em cada

prato.

Das 3 mais pesadas, colocar

uma em cada prato, deixando uma fora.

Um dos lados é

mais pesado?

A bola que ficou de fora é a mais pesada!

SIM NÃO

A mais pesada é a que fizer pender o

prato!

NÃOSIM

FIM

1a Pesagem!

2a Pesagem!


Fluxogramas – Exemplos método Fluxogramas – Exemplos método diretodireto

Ex2: Pelo método direto, obter p’ dadas as premissas:p q, q’

Sol:

Ex3: Testar a validade do argumento:a b, a’ b’

Sol:

a b = 1 a’ = 1

Início

2

1

3

4

5

a = 0

0 b = 1

b = 0 b = 1

b=?

Fim

Indefinido

p q = 1 q’ = 1

Início

2

1

3

4

5

q = 0

p 0 = 1

p = 0

p’ = 1

Fim

Arg . válido

Arg . inválido


Fluxogramas – Exemplos método Fluxogramas – Exemplos método indiretoindireto Ex4: Pelo método indireto,

obter p dadas as premissas:

p + q, p’ q’

Sol:

Ex5: Provar a validade do argumento:p + q, q r , r’ p

Sol:

Fim

Contradição

r’ = 1 q r = 1

Início

2

1

3

4

5

p = 0

0 q = 1

q = 1

r = 0

6

p + q = 1

1 0 = 1

Arg . válido

Conclusão falsa

Início

Fim Arg . válido

p + q = 1 p’ q’ = 1

2

1

3

4

5

p = 0

0’ q’ = 1

1 q’ = 1

q’ = 1

q = 0

0 + 0 = 1

6

7 Contradição

Conclusão falsa


FaláciasFalácias Afirmando o conseqüente: Se Frei Beto escreveu a Bíblia, então Frei Beto é um grande escritor.

Frei Beto é um grande escritor. Portanto, Frei Beto escreveu a Bíblia.

Negando o antecedente: Se eu estiver adormecido, meus olhos estão fechados. Eu não estou

adormecido. Conseqüentemente, meus olhos não estão fechados.

Falácia da relevância: as premissas não têm relação com a conclusão.

Antonio viu os homens cometerem o crime. Antonio é apenas um pobre coitado. De vez em quando ele toma umas biritas. Logo, o testemunho de Antonio não tem valor algum.

Raciocínio circular: assume aquilo que se deseja comprovar. É claro que estas cenas de sexo são imorais, pois são ofensivas aos

telespectadores.


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