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INICIACIÓN AL ÁLGEBRA ELEMENTAL

Flor M. Rodríguez VásquezCatalina Navarro SandovalElika S. Maldonado Mejía

Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía

Luis A. Campistrous PérezCelia R. Rizo Cabrera

INICIACIÓN AL ÁLGEBRA ELEMENTAL

Flor M. Rodríguez VásquezCatalina Navarro SandovalElika S. Maldonado Mejía

Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía

Luis A. Campistrous PérezCelia R. Rizo Cabrera

Primera edición: 2015

© Flor M. Rodríguez Vásquez Catalina Navarro Sandoval Elika S. Maldonado Mejía Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía Luis A. Campistrous Pérez Celia R. Rizo Cabrera© Ediciones Díaz de Santos, S. A.

Reservados todos los derechos.

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Ediciones D. D. S. MéxicoCuicuilco 29C, col. Letrán Valle, C. P. 03650Delegación Benito Juárez, México, D. [email protected]://www.diazdesantosmexico.com.mx/

Ediciones Díaz de SantosC/ Albasanz 2, 28037, Madrid, Españ[email protected]:/www.editdiazdesantos.com

ISBN: 978-84-9969-758-1

Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco.

Impreso en México/Printed in Mexico

Primera edición: 2015

© Flor M. Rodríguez Vásquez Catalina Navarro Sandoval Elika S. Maldonado Mejía Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía Luis A. Campistrous Pérez Celia R. Rizo Cabrera© Ediciones Díaz de Santos, S. A.

Reservados todos los derechos.

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ISBN: 978-84-9969-758-1

Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco.

Impreso en México/Printed in Mexico

Primera edición: 2016

Primera edición: 2015

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ISBN: 978-84-9969-758-1

Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco.

Impreso en México/Printed in Mexico

Primera edición: 2015

© Flor M. Rodríguez Vásquez Catalina Navarro Sandoval Elika S. Maldonado Mejía Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía Luis A. Campistrous Pérez Celia R. Rizo Cabrera© Ediciones Díaz de Santos, S. A.

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ISBN: 978-84-9969-758-1

Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco.

Impreso en México/Printed in Mexico

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Contenido�

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TEMA�1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR�Y�SUS�OPUESTOS�..........................................................�15�

SUBTEMA�1.1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR.�SIGNIFICADO�ORDINAL�Y�CARDINAL�........................................�16�SUBTEMA�1.2.�MÁS�DE�NÚMEROS�NATURALES�.....................................................................................�17�1.2.1.�PROPIEDADES�DE�LA�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�......................................................................�17�1.2.2.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�..........................................................�17�1.2.3.�SOBRE�LA�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES.............................................................................�18�1.2.4.�SOBRE�LA�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�...................................................................................�19�SUBTEMA�1.3.�OPUESTOS�DE�LOS�NÚMEROS�NATURALES.�LOS�NÚMEROS�ENTEROS�......................................�21�SUBTEMA�1.4.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�........................................�24�1.4.1.�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.....................................................................................................�24�1.4.2.�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................................................�25�1.4.3.�OPERACIONES�COMBINADAS�DE�SUMAS�Y�RESTAS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�...........................................�27�1.4.4.�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.........................................................................................�28�1.4.5.�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�....................................................................................................�29�SUBTEMA�1.5.�PROPIEDADES�DE�LAS�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................�31�1.5.1.�PROPIEDADES�DE�LA�SUMA�DE�NÚMEROS�ENTEROS�............................................................................�31�1.5.2.�PROPIEDADES�DE�LA�RESTA�NÚMEROS�ENTEROS�.................................................................................�32�1.5.3.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................�33�

TEMA�2.�NÚMEROS�PARA�MEDIR�..............................................................................................�35�

SUBTEMA�2.1.�LOS�NÚMEROS�NATURALES�NO�SON�SUFICIENTES...............................................................�36�SUBTEMA�2.2.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�RACIONALES�Y�EXPRESIONES�DECIMALES.�PROPIEDADES�..............�39�2.2.1.�SUMA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�39�2.2.2.�SUMA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�40�2.2.3.�RESTA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�41�2.2.4.�RESTA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�42�

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TEMA�1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR�Y�SUS�OPUESTOS�..........................................................�15�

SUBTEMA�1.1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR.�SIGNIFICADO�ORDINAL�Y�CARDINAL�........................................�16�SUBTEMA�1.2.�MÁS�DE�NÚMEROS�NATURALES�.....................................................................................�17�1.2.1.�PROPIEDADES�DE�LA�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�......................................................................�17�1.2.2.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�..........................................................�17�1.2.3.�SOBRE�LA�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES.............................................................................�18�1.2.4.�SOBRE�LA�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�...................................................................................�19�SUBTEMA�1.3.�OPUESTOS�DE�LOS�NÚMEROS�NATURALES.�LOS�NÚMEROS�ENTEROS�......................................�21�SUBTEMA�1.4.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�........................................�24�1.4.1.�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.....................................................................................................�24�1.4.2.�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................................................�25�1.4.3.�OPERACIONES�COMBINADAS�DE�SUMAS�Y�RESTAS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�...........................................�27�1.4.4.�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.........................................................................................�28�1.4.5.�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�....................................................................................................�29�SUBTEMA�1.5.�PROPIEDADES�DE�LAS�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................�31�1.5.1.�PROPIEDADES�DE�LA�SUMA�DE�NÚMEROS�ENTEROS�............................................................................�31�1.5.2.�PROPIEDADES�DE�LA�RESTA�NÚMEROS�ENTEROS�.................................................................................�32�1.5.3.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................�33�

TEMA�2.�NÚMEROS�PARA�MEDIR�..............................................................................................�35�

SUBTEMA�2.1.�LOS�NÚMEROS�NATURALES�NO�SON�SUFICIENTES...............................................................�36�SUBTEMA�2.2.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�RACIONALES�Y�EXPRESIONES�DECIMALES.�PROPIEDADES�..............�39�2.2.1.�SUMA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�39�2.2.2.�SUMA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�40�2.2.3.�RESTA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�41�2.2.4.�RESTA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�42�

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2.2.5.�MULTIPLICACIÓN��DE�FRACCIONES�...................................................................................................�43�2.2.6.�DIVISIÓN�DE�FRACCIONES�..............................................................................................................�44�SUBTEMA�2.3.�IGUALDAD�DE�RAZONES.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES,�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES.�PORCENTAJES�............................................................................................................�45�2.3.1.�IGUALDAD�DE�RAZONES�.................................................................................................................�45�2.3.2.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES�..............................................................................................�45�2.3.3.�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES�........................................................................................�46�2.3.4.�PORCENTAJES�..............................................................................................................................�46�

TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49�

SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50�3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50�3.1.2.�OPERACIONES�EN���.....................................................................................................................�51�3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51�3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53�SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,�CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56�3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56�3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59�

PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�1�.........................................................................................�64�

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TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71�

SUBTEMA�4.1.�LENGUAJE�COMÚN�Y�LENGUAJE�ALGEBRAICO�...................................................................�72�SUBTEMA�4.2.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS,�VALORES�INADMISIBLES.�DOMINIO�...........................................�74�SUBTEMA�4.3.�TÉRMINOS,�COEFICIENTES,�PARTE�LITERAL.�TÉRMINOS�SEMEJANTES,�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�

SEMEJANTES�.................................................................................................................................�76�4.3.1.�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�SEMEJANTES�...........................................................................................�77�4.3.2.�SUSTITUCIÓN,�VALOR�DE�UN�TÉRMINO�.............................................................................................�77�SUBTEMA�4.4.�OPERACIONES�CON�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................�79�4.4.1�SUMA�Y�RESTA�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�....................................................................................�79�4.4.2�MULTIPLICACIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................................�79�4.4.3�DIVISIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�...........................................................................................�80�

TEMA�5.�POLINOMIOS�Y�OPERACIONES�.....................................................................................�83�

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2.2.5.�MULTIPLICACIÓN��DE�FRACCIONES�...................................................................................................�43�2.2.6.�DIVISIÓN�DE�FRACCIONES�..............................................................................................................�44�SUBTEMA�2.3.�IGUALDAD�DE�RAZONES.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES,�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES.�PORCENTAJES�............................................................................................................�45�2.3.1.�IGUALDAD�DE�RAZONES�.................................................................................................................�45�2.3.2.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES�..............................................................................................�45�2.3.3.�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES�........................................................................................�46�2.3.4.�PORCENTAJES�..............................................................................................................................�46�

TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49�

SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50�3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50�3.1.2.�OPERACIONES�EN���.....................................................................................................................�51�3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51�3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53�SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,�CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56�3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56�3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59�

PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�1�.........................................................................................�64�

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TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71�

SUBTEMA�4.1.�LENGUAJE�COMÚN�Y�LENGUAJE�ALGEBRAICO�...................................................................�72�SUBTEMA�4.2.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS,�VALORES�INADMISIBLES.�DOMINIO�...........................................�74�SUBTEMA�4.3.�TÉRMINOS,�COEFICIENTES,�PARTE�LITERAL.�TÉRMINOS�SEMEJANTES,�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�

SEMEJANTES�.................................................................................................................................�76�4.3.1.�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�SEMEJANTES�...........................................................................................�77�4.3.2.�SUSTITUCIÓN,�VALOR�DE�UN�TÉRMINO�.............................................................................................�77�SUBTEMA�4.4.�OPERACIONES�CON�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................�79�4.4.1�SUMA�Y�RESTA�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�....................................................................................�79�4.4.2�MULTIPLICACIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................................�79�4.4.3�DIVISIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�...........................................................................................�80�

TEMA�5.�POLINOMIOS�Y�OPERACIONES�.....................................................................................�83�

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2.2.5.�MULTIPLICACIÓN��DE�FRACCIONES�...................................................................................................�43�2.2.6.�DIVISIÓN�DE�FRACCIONES�..............................................................................................................�44�SUBTEMA�2.3.�IGUALDAD�DE�RAZONES.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES,�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES.�PORCENTAJES�............................................................................................................�45�2.3.1.�IGUALDAD�DE�RAZONES�.................................................................................................................�45�2.3.2.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES�..............................................................................................�45�2.3.3.�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES�........................................................................................�46�2.3.4.�PORCENTAJES�..............................................................................................................................�46�

TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49�

SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50�3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50�3.1.2.�OPERACIONES�EN���.....................................................................................................................�51�3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51�3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53�SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,�CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56�3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56�3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59�

PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�1�.........................................................................................�64�

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TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71�

SUBTEMA�4.1.�LENGUAJE�COMÚN�Y�LENGUAJE�ALGEBRAICO�...................................................................�72�SUBTEMA�4.2.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS,�VALORES�INADMISIBLES.�DOMINIO�...........................................�74�SUBTEMA�4.3.�TÉRMINOS,�COEFICIENTES,�PARTE�LITERAL.�TÉRMINOS�SEMEJANTES,�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�

SEMEJANTES�.................................................................................................................................�76�4.3.1.�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�SEMEJANTES�...........................................................................................�77�4.3.2.�SUSTITUCIÓN,�VALOR�DE�UN�TÉRMINO�.............................................................................................�77�SUBTEMA�4.4.�OPERACIONES�CON�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................�79�4.4.1�SUMA�Y�RESTA�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�....................................................................................�79�4.4.2�MULTIPLICACIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................................�79�4.4.3�DIVISIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�...........................................................................................�80�

TEMA�5.�POLINOMIOS�Y�OPERACIONES�.....................................................................................�83�

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2.2.5.�MULTIPLICACIÓN��DE�FRACCIONES�...................................................................................................�43�2.2.6.�DIVISIÓN�DE�FRACCIONES�..............................................................................................................�44�SUBTEMA�2.3.�IGUALDAD�DE�RAZONES.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES,�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES.�PORCENTAJES�............................................................................................................�45�2.3.1.�IGUALDAD�DE�RAZONES�.................................................................................................................�45�2.3.2.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES�..............................................................................................�45�2.3.3.�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES�........................................................................................�46�2.3.4.�PORCENTAJES�..............................................................................................................................�46�

TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49�

SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50�3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50�3.1.2.�OPERACIONES�EN���.....................................................................................................................�51�3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51�3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53�SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,�CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56�3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56�3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59�

PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�1�.........................................................................................�64�

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TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71�

SUBTEMA�4.1.�LENGUAJE�COMÚN�Y�LENGUAJE�ALGEBRAICO�...................................................................�72�SUBTEMA�4.2.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS,�VALORES�INADMISIBLES.�DOMINIO�...........................................�74�SUBTEMA�4.3.�TÉRMINOS,�COEFICIENTES,�PARTE�LITERAL.�TÉRMINOS�SEMEJANTES,�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�

SEMEJANTES�.................................................................................................................................�76�4.3.1.�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�SEMEJANTES�...........................................................................................�77�4.3.2.�SUSTITUCIÓN,�VALOR�DE�UN�TÉRMINO�.............................................................................................�77�SUBTEMA�4.4.�OPERACIONES�CON�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................�79�4.4.1�SUMA�Y�RESTA�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�....................................................................................�79�4.4.2�MULTIPLICACIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................................�79�4.4.3�DIVISIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�...........................................................................................�80�

TEMA�5.�POLINOMIOS�Y�OPERACIONES�.....................................................................................�83�

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SUBTEMA�5.1.�MONOMIOS�Y�POLINOMIOS.�GRADO�DE�UN�MONOMIO�Y�DE�UN�POLINOMIO�..........................�84�SUBTEMA�5.2.�OPERACIONES�CON�POLINOMIOS�...................................................................................�86�5.2.1.�SUMA�Y�RESTA�DE�POLINOMIOS�......................................................................................................�87�5.2.2.�MULTIPLICACIÓN�DE�POLINOMIOS�...................................................................................................�90�5.2.3.�DIVISIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................................................�93�SUBTEMA�5.3.�PRODUCTOS�NOTABLES�...............................................................................................�96�5.3.1.�CUADRADO�DE�UN�BINOMIO�..........................................................................................................�97�5.3.2.�CUADRADO�DE�LA�DIFERENCIA�DE�UN�BINOMIO�.................................................................................�99�5.3.3.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CON�UN�TÉRMINO�COMÚN�.................................................................�102�5.3.4.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CONJUGADOS�..................................................................................�104�5.3.5.�BINOMIOS�CON�TÉRMINO�SEMEJANTE�............................................................................................�106�5.3.6.�TRINOMIO�AL�CUADRADO�............................................................................................................�108�5.3.7.�CUBO�DE�UN�BINOMIO�................................................................................................................�109�5.3.7.�SUMA�DE��DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�...............................................................................................�112�5.3.8.�RESTA�DE�DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�................................................................................................�112�5.3.9.�MULTIPLICACIÓN�DE�DOS�BINOMIOS�CUALESQUIERA�........................................................................�113�SUBTEMA�5.4.�DIVISIÓN�SINTÉTICA�DE�POLINOMIOS.�REGLA�DE�RUFFINI�..................................................�115�

TEMA�6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................�119�

SUBTEMA�6.1.�LA�DESCOMPOSICIÓN�EN�FACTORES�DE�NÚMEROS�ENTEROS�...............................................�120�SUBTEMA�6.2.�EL�USO�DE�UN�FACTOR�COMÚN�PARA�DESCOMPONER�EN�FACTORES�.....................................�121�SUBTEMA�6.3.�FACTORIZACIÓN�DE�BINOMIOS:�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�Y�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�..�124�6.3.1.�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�........................................................................................................�124�6.3.2.�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�.....................................................................................................�124�SUBTEMA�6.4.�FACTORIZACIÓN�DE�TRINOMIOS:�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�Y�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..�126�6.5.1.�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�..................................................................................................�126�6.5.2.�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..............................................................................................................�126�SUBTEMA�6.6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�DE�CUATRO�O�MÁS�TÉRMINOS.�USO�DE�LA�REGLA�DE�RUFFINI�.�127�

TEMA�7.�FRACCIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�131�

SUBTEMA�7.1.�FRACCIÓN�ALGEBRAICA,�NUMERADOR,�DENOMINADOR�Y�SIGNO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA132�SUBTEMA�7.2.�FRACCIONES�EQUIVALENTES,�SIMPLIFICACIÓN�DE�FRACCIONES�............................................�134�SUBTEMA�7.3.�DOMINIO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA.�VALOR�NUMÉRICO�...........................................�135�

PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�2�................................................................................�139�

ALGO�QUE�DEBES�SABER.�TÉCNICAS�DE�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.....................................�143�

ALGUNOS�CONSEJOS�PARA�RESOLVER�PROBLEMAS�...............................................................................�143�

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9��

SUBTEMA�5.1.�MONOMIOS�Y�POLINOMIOS.�GRADO�DE�UN�MONOMIO�Y�DE�UN�POLINOMIO�..........................�84�SUBTEMA�5.2.�OPERACIONES�CON�POLINOMIOS�...................................................................................�86�5.2.1.�SUMA�Y�RESTA�DE�POLINOMIOS�......................................................................................................�87�5.2.2.�MULTIPLICACIÓN�DE�POLINOMIOS�...................................................................................................�90�5.2.3.�DIVISIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................................................�93�SUBTEMA�5.3.�PRODUCTOS�NOTABLES�...............................................................................................�96�5.3.1.�CUADRADO�DE�UN�BINOMIO�..........................................................................................................�97�5.3.2.�CUADRADO�DE�LA�DIFERENCIA�DE�UN�BINOMIO�.................................................................................�99�5.3.3.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CON�UN�TÉRMINO�COMÚN�.................................................................�102�5.3.4.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CONJUGADOS�..................................................................................�104�5.3.5.�BINOMIOS�CON�TÉRMINO�SEMEJANTE�............................................................................................�106�5.3.6.�TRINOMIO�AL�CUADRADO�............................................................................................................�108�5.3.7.�CUBO�DE�UN�BINOMIO�................................................................................................................�109�5.3.7.�SUMA�DE��DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�...............................................................................................�112�5.3.8.�RESTA�DE�DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�................................................................................................�112�5.3.9.�MULTIPLICACIÓN�DE�DOS�BINOMIOS�CUALESQUIERA�........................................................................�113�SUBTEMA�5.4.�DIVISIÓN�SINTÉTICA�DE�POLINOMIOS.�REGLA�DE�RUFFINI�..................................................�115�

TEMA�6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................�119�

SUBTEMA�6.1.�LA�DESCOMPOSICIÓN�EN�FACTORES�DE�NÚMEROS�ENTEROS�...............................................�120�SUBTEMA�6.2.�EL�USO�DE�UN�FACTOR�COMÚN�PARA�DESCOMPONER�EN�FACTORES�.....................................�121�SUBTEMA�6.3.�FACTORIZACIÓN�DE�BINOMIOS:�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�Y�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�..�124�6.3.1.�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�........................................................................................................�124�6.3.2.�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�.....................................................................................................�124�SUBTEMA�6.4.�FACTORIZACIÓN�DE�TRINOMIOS:�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�Y�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..�126�6.5.1.�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�..................................................................................................�126�6.5.2.�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..............................................................................................................�126�SUBTEMA�6.6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�DE�CUATRO�O�MÁS�TÉRMINOS.�USO�DE�LA�REGLA�DE�RUFFINI�.�127�

TEMA�7.�FRACCIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�131�

SUBTEMA�7.1.�FRACCIÓN�ALGEBRAICA,�NUMERADOR,�DENOMINADOR�Y�SIGNO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA132�SUBTEMA�7.2.�FRACCIONES�EQUIVALENTES,�SIMPLIFICACIÓN�DE�FRACCIONES�............................................�134�SUBTEMA�7.3.�DOMINIO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA.�VALOR�NUMÉRICO�...........................................�135�

PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�2�................................................................................�139�

ALGO�QUE�DEBES�SABER.�TÉCNICAS�DE�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.....................................�143�

ALGUNOS�CONSEJOS�PARA�RESOLVER�PROBLEMAS�...............................................................................�143�

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10��

¿SABÍAS�QUÉ…�HAY�DIFERENCIAS�ENTRE�LOS�EJERCICIOS�Y�LOS�PROBLEMAS?�............................................�144�¿CÓMO�ENFRENTARSE�A�UN�PROBLEMA?�..........................................................................................�145�ETAPAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.......................................................................................�146�DESCRIPCIÓN�DE�TÉCNICAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�...............................................................�147�ANÁLISIS�DE�ALGUNAS�ESTRATEGIAS�.................................................................................................�150�ALGUNOS�CONSEJOS�QUE�TE�AYUDARÁN�A�PENSAR�MEJOR�....................................................................�151�LOS�AUTORES�..............................................................................................................................�152��

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¿SABÍAS�QUÉ…�HAY�DIFERENCIAS�ENTRE�LOS�EJERCICIOS�Y�LOS�PROBLEMAS?�............................................�144�¿CÓMO�ENFRENTARSE�A�UN�PROBLEMA?�..........................................................................................�145�ETAPAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.......................................................................................�146�DESCRIPCIÓN�DE�TÉCNICAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�...............................................................�147�ANÁLISIS�DE�ALGUNAS�ESTRATEGIAS�.................................................................................................�150�ALGUNOS�CONSEJOS�QUE�TE�AYUDARÁN�A�PENSAR�MEJOR�....................................................................�151�LOS�AUTORES�..............................................................................................................................�152��

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algebra_FINAL17x23.pdf 1027/11/2014 10:50:56 a.m.

11��

Prólogo�El�presente�libro�está�especialmente�dedicado�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que�quieren�iniciar�sus�estudios�en�álgebra�elemental,�así�como�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que�deben�fortalecer�sus�conocimientos�en�dicha�área�de�la�matemática.�

Hemos�considerado�diferentes�estilos�de�enseñanza�que�deben�ser�suscitados�en�el�proceso�educativo�y,�asimismo,�acudimos�a��investigaciones�en�didáctica�sobre�álgebra�elemental.�

La�obra�se�ha�organizado�en�dos�bloques,�de�tal�forma�que�pueda�orientar�y�reforzar�sobre:�

� Bloque�1.�Estructuras�numéricas:�naturales,�enteros,�racionales,�reales.��� Bloque�2.�Estructuras�algebraicas�básicas:�productos�notables,�factorización�y�operaciones�

con�polinomios.��

Cada��bloque�está�estructurado�por�temas�y�subtemas,�y�al�final�se�presenta�una�sección�dedicada�a�las�técnicas�para�resolver�problemas�con�la�finalidad�de�que�ayuden�a�obtener�éxito�en�las�actividades�sugeridas.�El�principal�objetivo�es�proveer�al�lector�de�una�estructura�organizada�para�estimular�el�gusto�por�la�iniciación�en�el�estudio�del�álgebra�elemental,�así�como�coadyuvar�en�la�comprensión�de�los�temas.��

Por�último,�queremos�externar�nuestro�agradecimiento�total�por�el�trabajo�y�esfuerzo�al�Cuerpo�Académico�Educación�Matemática�UAGRO�CA�154,�así�como�a�los�colaboradores:�Yanet�Tejada,�Gustavo�Antero,�Miguel�Cervantes,�Javier�García,�Martha�Rivera,�Florida�Pastrana�y�Yadira�Villareal,�quienes�con�sus�conocimientos,�propuestas�y�dedicación�enriquecieron�el�texto.���

Esta�obra�fue�auspiciada�por�el�proyecto�Fortalecimiento�del�Cuerpo�Académico�“Educación�Matemática”�aprobado�por�el�Programa�de�Mejoramiento�del�Profesorado.�Subsecretaría�de�Educación�Superior.�Secretaría�de�Educación�Pública.�

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Prólogo�El�presente�libro�está�especialmente�dedicado�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que�quieren�iniciar�sus�estudios�en�álgebra�elemental,�así�como�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que�deben�fortalecer�sus�conocimientos�en�dicha�área�de�la�matemática.�

Hemos�considerado�diferentes�estilos�de�enseñanza�que�deben�ser�suscitados�en�el�proceso�educativo�y,�asimismo,�acudimos�a��investigaciones�en�didáctica�sobre�álgebra�elemental.�

La�obra�se�ha�organizado�en�dos�bloques,�de�tal�forma�que�pueda�orientar�y�reforzar�sobre:�

� Bloque�1.�Estructuras�numéricas:�naturales,�enteros,�racionales,�reales.��� Bloque�2.�Estructuras�algebraicas�básicas:�productos�notables,�factorización�y�operaciones�

con�polinomios.��

Cada��bloque�está�estructurado�por�temas�y�subtemas,�y�al�final�se�presenta�una�sección�dedicada�a�las�técnicas�para�resolver�problemas�con�la�finalidad�de�que�ayuden�a�obtener�éxito�en�las�actividades�sugeridas.�El�principal�objetivo�es�proveer�al�lector�de�una�estructura�organizada�para�estimular�el�gusto�por�la�iniciación�en�el�estudio�del�álgebra�elemental,�así�como�coadyuvar�en�la�comprensión�de�los�temas.��

Por�último,�queremos�externar�nuestro�agradecimiento�total�por�el�trabajo�y�esfuerzo�al�Cuerpo�Académico�Educación�Matemática�UAGRO�CA�154,�así�como�a�los�colaboradores:�Yanet�Tejada,�Gustavo�Antero,�Miguel�Cervantes,�Javier�García,�Martha�Rivera,�Florida�Pastrana�y�Yadira�Villareal,�quienes�con�sus�conocimientos,�propuestas�y�dedicación�enriquecieron�el�texto.���

Esta�obra�fue�auspiciada�por�el�proyecto�Fortalecimiento�del�Cuerpo�Académico�“Educación�Matemática”�aprobado�por�el�Programa�de�Mejoramiento�del�Profesorado.�Subsecretaría�de�Educación�Superior.�Secretaría�de�Educación�Pública.�

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�Sabías

sirven�tercer�

Por�otsiglos�ecuacillegaro

En�un�que�seXVII�y�Xmatemsu�usorealiza

A�pesade�la�hsu�necrepres

Situaprob

Numerac

TEMA�1(���

�que…�

para�ordenahijo�en�tu�fam

ro�lado,�en�cI�y�II�a.�C.�ones)�y�se�uon�a�ser�cono

principio,�a�loe�les�denominXVIII�tanto�sumáticos�siguieo�hasta�princada�por�Weie

ar�de�las�difichistoria,�hoy�cesidad�para�sentar�deuda

ación�blema�

Píde“adipuntanteúltimdadocuyapunt

ión�en�tablilla�cun

1.�LOS�N�����������

ar.�Por�ejemmilia,�entre�o

cuanto�a�los�en�China�yausaban�las�rocidos�sino�ha

os�números�naba�como�fu�concepto�coeron�inventaipios�del�XIX.rstrass�a�med

ultades�que�día�nadie�duinterpretar�s,�temperatu

ele�a�un�comvinar”�los�númtos�del�primeerior;�4)�sumamo�resultado;�o�al�productoas�centenas�sotos�del�segund

eiforme�babilónic

ÚMEROS�P���������

Los�númdistintas�de�ordenen�el�trefectuar�consecuenumeracfueron���cero.�Loobjetos�pcuando�d���días”,municipiodetermin

Los�númplo:�decimos

otros�casos.�

números�ena�se�utilizabreglas�operaasta�la�alta�Ed

negativos�nofalsos,�ficticioomo�fundamndo�justificac.�Su�construcdiados�del�sig

representó�euda�de�su�exiy�representauras�por�deba

pañero�que�lmeros�pídele�qr�dado;�2)�sumar����al�produc6)�multiplicar

o�anterior;�8)�on�los�puntosdo�dado,�y�las�

a��

15�

PARA�CON���������

eros�naturalcivilizacione

nar�son�las�mratamiento�

conteos,�encia�que�ión�para�re������������s�números�npresentes�endecimos�“ten,�“tengo����aos”,�estamonar�cuántos�o

eros�naturales�que�mayo�

teros,�de�acuan�los�númetivas�de�los�dad�Media,�a

o�se�les�reconos,�absurdosmentación�lógciones,�miencción�formal�glo�XIX.��

el�reconocimistencia�comoar�diversas�sajo�de�cero,�e

lance�3�dadoque�realice�lo�mar���al�resulcto�anterior;�r�por����la�sumrestar����.�E

s�del�primer�dunidades�son�

NTAR�Y�SU�����������

les�son�los�pes,�debido�a�más�elementade�las�cantdesde�la�el�hombre

epresentarlos�����,�y�mucnaturales�fun�la�naturalengo������hermaños”,�“el�esos�utilizandoobjetos�hay.�

es,�además�des�el�quinto

uerdo�con�daeros�negativsignos;�en�

a�través�de�lo

nocía�como�n,�imposibles.gica�no�estabtras�que�otro�a�partir�de�

iento�de�los�no�modelo�masituaciones�centre�otras).�

os�y�no�te�disiguiente:�1)�mtado�anterior5)�sumar�los�ma�anterior;�7)l�resultado�qu

dado,�las�decelos�puntos�de

US�OPUES��������)

primeros�queque�las�tareales�que�se�ptidades.�La�antigüedad,

e�inventara�s.�Los�primcho�más�tareron�creadoeza,�de�ahí�smanos”,�“un�stado�de�Gueo�números�n

de�ayudarnoo�mes�del�añ

atos�históricvos�(como�cEuropa�estos�textos�árab

números�verd.�Todavía�durban�claros,�aos�seguían�prlos�números

números�negatemático,�yotidianas�(so

ga�el�resultamultiplicar�porr;�3)�multiplicapuntos�del�se)�sumar�los�pue�se�obtieneenas�se�corresel�tercer�dado.

STOS�)�

e�surgen�en�eas�de�contapueden�realiznecesidad�

,�tuvo�comsistemas�

meros�númerrde�apareció�os�para�contu�nombre.�Ames�tiene���errero�tiene�naturales�pa

s�a�contar,�nño,�que�eres

os,�durante�coeficientes�os�números�bes.�

daderos,�porrante�los�sigasí�que�algunrotestando�ps�naturales,�f

gativos�a�trav�menos�aún�obre�todo�pa

do.�Ahora�par���el�número�ar�por���la�sumegundo�dado�untos�del�terce�es�un�númesponden�con�l�Compruébalo

las�r�y�zar�de�mo�de�ros��el�tar�Así,���o����ara�

nos�s�el�

los�de�no�

r�lo�los�nos�por�fue�

vés�de�ara�

ara�de�ma�al�

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principio,�a�loe�les�denominXVIII� tanto�sumáticos�siguieo�hasta�princada�por�Weie

ar�de�las�difichistoria,�hoy�cesidad� para�sentar�deuda

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Píde“adipuntanteúltimdadocuyapunt

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cuanto�a� los�en� China� yausaban� las� rocidos�sino�ha

os�números�naba�como�fu�concepto�coeron�inventaipios�del� XIX.rstrass�a�med

ultades�que�día�nadie�duinterpretar�s,�temperatu

ele� a� un� comvinar”�los�númtos� del� primeerior;� 4)� sumamo�resultado;�o� al� productoas� centenas� sotos�del�segund

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ÚMEROS�P���������

Los� númdistintas�de�ordenen� el� trefectuar�consecuenumeracfueron���cero.� Loobjetos� pcuando�d���días”,municipiodetermin

Los�númplo:� decimos

otros�casos.�

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o� anterior;� 8)�on� los�puntosdo�dado,�y�las�

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PARA�CON���������

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nar�son� las�mratamiento�

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teros,�de�acuan� los� númetivas� de� los�dad�Media,�a

o�se�les�reconos,�absurdosmentación� lógciones,�miencción� formal�glo�XIX.��

el�reconocimistencia�comoar� diversas� sajo�de�cero,�e

lance� 3� dadoque�realice�lo�mar���al� resulcto� anterior;�r�por����la�sumrestar����.� E

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s�a�contar,�nño,� que� eres

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4)

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16�

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cesor����(����eos�naturales�n

meros�naturaentonces�est

naturales�se�r

denan�y�se�re

un�punto,�al�qcamos�un�extos�con�el�núm

�en�el���y�a�prcan� los�núms.��

finito�y�podem

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nificado�ors�(primero,�sal� total�de� edefinida� por

es��� � �).�no�hay�un���t

ales�y�siempre�conjunto�e

representa�p

presentan�so

que�le�llamamtremo�en�el�mero��.�

partir�del�unomeros�natural

mos�represen

����� ��� �

rdinal�y�casegundo,�tercelementos�der� los� siguient

tal�que�� � �

re�que���estáes�el� conjunt

or�el�símbolo

obre�la�semir

mos�origen,�origen�y�en�d

o�se�marca�eles� sucesivos

ntarlo�como:

ardinal�cero…)�y�come�un� conjunttes�Axiomas�

�sea��.��

�en�el�conjunto�de� todos�

o��.��rrecta�numér

�y�un�segmendonde�llegue

el�otro�extrems�hasta� llega

:��

mo�o).��de�

nto��los�

rica�

nto�e�la�

mo�r�a�

algebra_FINAL17x23.pdf 16 27/11/2014 10:50:56 a.m.

SubteLos�núnúmerUna�foPeano:

1)

2)

3)

4)

5)

Por�lo�

Regulacomo�s

Para�lade�uniotra�or

Despucon�el�tener�l

Así,�el�

�����

Origer

ema�1.1.�Lúmeros������ros�cardinaleorma�de�con:�

��es�un�númCada�núme

��no�poseeSi������,�eSi���pertensu�sucesor�números�na

general,�el�co

armente�los�nse�muestra�a

a�construcciódad.�Para�inirilla�derecha�

és�se�transp�,�repitiendoa�semirrecta

conjunto�de�

en�o�punto�de�eferencia�

os�número���aparecens�(número�n

nstruir�los�nú

mero�natural

ero�natural����antecesor,�e

entonces���ece�a�un�con���está�en�eaturales.��

onjunto�de�lo

números�nata�continuació

ón�de�ésta,�pciar�la�constrdel�segment

orta�el�segmo�esta�opera�de�los�núme

números�nat

���

os�para�co�como�númenatural�correúmeros�natur

.�

posee�un�suc

es�decir,�en�lo

��.�njunto�de�núml�conjunto,�e

os�números�n

urales�se�ordn:�

artimos�de�urucción�colocto�lo�marcam

mento�unidadación�se�mareros�naturale

turales�es�inf

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SubteLos�núnúmerUna� foPeano:

1)

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SubteLos�núnúmerUna�foPeano:

1)

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conjunto�de�

en�o�punto�de�eferencia�

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nstruir�los�nú

mero�natural

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orta�el�segmo�esta�opera�de�los�núme

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os�para�co�como�númenatural�correúmeros�natur

.�

posee�un�suc

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artimos�de�urucción�colocto�lo�marcam

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16�

ontar.�Signeros�ordinalesspondiente�arales�queda�

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algebra_FINAL17x23.pdf 1627/11/2014 10:50:56 a.m.

17��

Subtema�1.2.�Más�de�números�naturales�En�los�números�naturales�sólo�están�definidas�las�operaciones�de�adición�y�multiplicación.�Cuando�se�suman�o�se�multiplican�dos�números�naturales,�el�resultado�es�otro�número�natural,�esto�significa�que�la�operación�es�cerrada,�por�ejemplo:�

Suma����������

Multiplicación���������������

1.2.1.�Propiedades�de�la�adición�de�números�naturales��

La�adición�de�números�naturales�cumple�las�siguientes�propiedades:��

Propiedad�asociativa:�si�������son�números�naturales�cualesquiera,�se�cumple�que�����������������.�Por�ejemplo:�

���������������.�Comprobación:��

������������� .���������������� .�Propiedad�conmutativa:�si�����son�números�naturales�cualesquiera,�se�cumple�que�������������������������.�Por�ejemplo:�

�������.���Comprobación:��

�������y�además������,�por�lo�que�se�verifica�la�propiedad�conmutativa.���

Elemento�neutro:�el���es�el�elemento�neutro�de�la�suma�de�enteros�porque,�cualquiera�que�sea�el�número�natural��,�se�cumple�que������.��Por�ejemplo:�

�����.��

1.2.2.�Propiedades�de�la�multiplicación�de�números�naturales�

La�multiplicación�de�números�naturales�cumple�las�propiedades�asociativa,�conmutativa,�elemento�neutro�y�distributiva�del�producto�respecto�de�la�suma.�

Propiedad�asociativa:�si�������son�números�naturales�cualesquiera,�se�cumple�que��������������������

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17��

Subtema�1.2.�Más�de�números�naturales�En� los� números� naturales� sólo� están� definidas� las� operaciones� de� adición� y� multiplicación.�Cuando�se�suman�o�se�multiplican�dos�números�naturales,�el�resultado�es�otro�número�natural,�esto�significa�que�la�operación�es�cerrada,�por�ejemplo:�

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1.2.2.�Propiedades�de�la�multiplicación�de�números�naturales�

La� multiplicación� de� números� naturales� cumple� las� propiedades� asociativa,� conmutativa,�elemento�neutro�y�distributiva�del�producto�respecto�de�la�suma.�

Propiedad� asociativa:� si� �� �� � �son� números� naturales� cualesquiera,� se� cumple� que���� � �� � � � � � �� � �����

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Por�eje

�� � ��Compr

�� � ���� � ��Los�res

Propie� � � �Por�eje

� � � �Elemennúmer

Por�eje

� � � �Distribcumple

Por�eje

� � �� �Para�co

� � �� �� � � �Como�

1.2.3.�

Al� iguaejemp

Esto� ccomo:�

Es�impy�sustr

emplo:�

� � � � � �� �robación:�

� � � �� � �� �� � � � ��sultados�coin

dad� conmu� � � �.�emplo:�

� � � � � ��.�nto�neutro:�ero�natural��,�semplo:�

� �� �� � � �butiva�del�proe�que�� � �� �emplo:�

� �� � � � � �omprobar�la�

� �� � � � � �� � � � � �� �los�resultado

Sobre�la�sus

al� que� la� sumlo,�si�tenemo

orresponde��� � � � �.�

portante�saberaendo�(las�ga

��.��

� ��.���� ��.��

nciden,�de�mo

tativa:� si� �

el���es�el�elemse�cumple�qu

�� ��oducto� respec� �� � � � � �

� � � �.�igualdad,�res

� ��.�� �� � ��.�os�coinciden,�

stracción�de

ma,� la� resta�eos����gallinasa� realizar� un

er�que�los�térallinas�que�se

odo�que�la�pr

�� � �son� núm

mento�neutroue�� � � � �.�

cto�de� la� sum� � � �.��

solveremos�c

la�propiedad

e�números�n

es�una�operas�y�los�coyote

na� operación

rminos�de�la�e�comieron�lo

Minuendo

Su

18�

ropiedad�se�c

meros� natu

o�de�la�multi�

ma:�si��� �� ��s

cada�miembr

d�se�cumple.�

naturales��

ación�que� sees�se�comen��n� llamada� su

resta�se�llamos�coyotes).��

� �

o

ustraendo

comprueba.��

urales� cuale

iplicación�po

son�números

ro�de�la�ecuac

e�deriva�de� la�, ¿cuántas�gustracción� o� r

man�minuendo

Resultado�

squiera,� se�

rque,�cualqu

s�naturales�c

ción:��

a�operación�gallinas�nos�q

resta,� y� se� p

o�(las�gallinas

cumple� q

uiera�que�sea

ualesquiera,�

de� contar.� Puedan?��

puede� expres

s�que�tenemo

que������������������

a�el�

se�

Por�

sar�

os)�

algebra_FINAL17x23.pdf 18 27/11/2014 10:50:56 a.m.

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resta,�y�se�p

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La�rest

Por�eje

�����

1.2.4.�

La�divientre�oEn�otra

Los�tésujetossobra)

La�divi

Si�el�re

La�divi

es�dife

ta�no�cumple

emplo:�

��,�pero��

Sobre�la�div

sión�es�la�opotro�determias�palabras,�l

rminos�de�las),�cociente�().��

sión�también

esto�es�cero,�

División�

������

�����

�������

������

sión�no�cump

erente�que����.

e�con�la�propi

�����.�Y�

visión�de�nú

eración�que�nado�númerla�división�co

a�división�se�(el�número�q

n�se�puede�re

la�división�se

exacta�

������

���

�������

ple�con�la�pro

.�

Divis

Resid

iedad�conmu

obviamente,

úmeros�natu

permite�repao�de�objetosnsiste�de�cal

llaman�divideue�le�corresp

epresentar�co

�llama�exacta

opiedad�conm

��������������������

sor�

duo��

19�

utativa,�es�de

,���es�diferen

urales�

artir�un�deter�o�sujetos�(dcular�cuántas

endo�(el�númponde�a�lo�q

�������

omo:�����,���

a,�y�en�caso�c

Divis

mutativa.�No

��� �

Cocie

D

cir,�����

nte�de���.�

rminado�númivisor�que�ties�veces�el�div

mero�de�objeue�se�reparti

�,������contrario,�es�

sión�inexacta

�������

���������

����������

����������

o�es�lo�mismo

ente�

Dividendo�

���.�

mero�de�objetene�que�ser�dividendo�cont

etos),�divisor�ió)�y�resto�o�

inexacta.��

a�

o������que���

�,��p

tos�(dividendistinto�de�certiene�al�diviso

(el�número�residuo�(lo�q

or�ejemplo,���

do)�ro).�or.��

de�que�

����

algebra_FINAL17x23.pdf 1927/11/2014 10:50:56 a.m.

La�rest

Por�eje

�� � ��

1.2.4.�

La�divientre�oEn�otra

Los�tésujetossobra)

La�divi

Si�el�re

La�divi

es�dife

ta�no�cumple

emplo:�

� �,�pero��

Sobre�la�div

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n�se�puede�re

la�división�se

exacta�

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ple�con�la�pro

.�

Divis

Resid

iedad�conmu

obviamente,

úmeros�natu

permite�repao�de�objetosnsiste�de�cal

llaman�divideue�le�corresp

epresentar�co

�llama�exacta

opiedad�conm

��������������������

sor�

duo��

19�

utativa,�es�de

,���es�diferen

urales�

artir�un�deter�o�sujetos�(dcular�cuántas

endo� (el�númponde�a�lo�q

�������

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mutativa.�No

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Cocie

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rminado�númivisor�que�ties�veces�el�div

mero�de�objeue�se�reparti

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o�es�lo�mismo

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mero�de�objetene�que�ser�dividendo�cont

etos),�divisor�ió)�y�resto�o�

inexacta.��

a�

o������que����,��p

tos�(dividendistinto�de�certiene�al�diviso

(el�número�residuo�(lo�q

or�ejemplo,���

do)�ro).�or.��

de�que�

����

algebra_FINAL17x23.pdf 19 27/11/2014 10:50:56 a.m.

20��

EJERCICIOS�RESUELTOS�

1. Usando�las�propiedades�distributiva,�asociativa,�elemento�neutro�y�conmutativa,�resuelve�lo�siguiente�según�corresponda:�

Ejercicio� Solución�

������ � �� ��

��� � �� � ���� � �������������������������������������������� �� � ����� � ����

������� � ��� � ��� ��

��� � ��� � ���� � ��� � ���������������������������������������� � ����

�������� � �� ��

���� � �� � ������ � ���

������������� ��

���������� � ���� � ��������������������������� ������� � ���

2. El� fin�de� semana� la�mamá�de� Juanito� compró���kg�de�naranjas�por����,���kg�de� fresa�por�����y���kg�de�manzana�por����.� ¿Cuál�fue�el�costo�de�cada�tipo�de�fruta�por�kilo?�¿Cuánto�gastó�en�las�frutas?�

Solución:�

Si� por���kg� de� naranjas� pagó����,� entonces� basta� con� dividir�����por���kg,� por� lo� que� el�kilogramo�de�naranja�costó���.�Ahora,�si�por���kg�de�fresa�se�pagó����,�entonces�el�kg�costó����.�Y�si�por���kg�de�manzanas�se�pagó����,�por�lo�que�el�kilo�costó����.�En�total�se�gastó:�

� � �

� � �

� � �

� � � �

� �

algebra_FINAL17x23.pdf 20 27/11/2014 10:50:56 a.m.

20��

EJERCICIOS�RESUELTOS�

1. Usando�las�propiedades�distributiva,�asociativa,�elemento�neutro�y�conmutativa,�resuelve�lo�siguiente�según�corresponda:�

Ejercicio�Solución�

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2. El�fin�de�semana�la�mamá�de�Juanito�compró���kg�de�naranjas�por����,���kg�de�fresa�por�����y���kg�de�manzana�por����.�¿Cuál�fue�el�costo�de�cada�tipo�de�fruta�por�kilo?�¿Cuánto�gastó�en�las�frutas?�

Solución:�

Si�por���kg�de�naranjas�pagó����,�entonces�basta�con�dividir�����por���kg,�por�lo�que�el�kilogramo�de�naranja�costó���.�Ahora,�si�por���kg�de�fresa�se�pagó����,�entonces�el�kg�costó����.�Y�si�por���kg�de�manzanas�se�pagó����,�por�lo�que�el�kilo�costó����.�En�total�se�gastó:�

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algebra_FINAL17x23.pdf 2027/11/2014 10:50:56 a.m.

20��

EJERCICIOS�RESUELTOS�

1. Usando�las�propiedades�distributiva,�asociativa,�elemento�neutro�y�conmutativa,�resuelve�lo�siguiente�según�corresponda:�

Ejercicio� Solución�

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2. El� fin�de� semana� la�mamá�de� Juanito� compró���kg�de�naranjas�por����,���kg�de� fresa�por�����y���kg�de�manzana�por����.� ¿Cuál�fue�el�costo�de�cada�tipo�de�fruta�por�kilo?�¿Cuánto�gastó�en�las�frutas?�

Solución:�

Si� por���kg� de� naranjas� pagó����,� entonces� basta� con� dividir�����por���kg,� por� lo� que� el�kilogramo�de�naranja�costó���.�Ahora,�si�por���kg�de�fresa�se�pagó����,�entonces�el�kg�costó����.�Y�si�por���kg�de�manzanas�se�pagó����,�por�lo�que�el�kilo�costó����.�En�total�se�gastó:�

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algebra_FINAL17x23.pdf 20 27/11/2014 10:50:56 a.m.

20��

EJERCICIOS�RESUELTOS�

1. Usando�las�propiedades�distributiva,�asociativa,�elemento�neutro�y�conmutativa,�resuelve�lo�siguiente�según�corresponda:�

Ejercicio�Solución�

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2. El�fin�de�semana�la�mamá�de�Juanito�compró���kg�de�naranjas�por����,���kg�de�fresa�por�����y���kg�de�manzana�por����.�¿Cuál�fue�el�costo�de�cada�tipo�de�fruta�por�kilo?�¿Cuánto�gastó�en�las�frutas?�

Solución:�

Si�por���kg�de�naranjas�pagó����,�entonces�basta�con�dividir�����por���kg,�por�lo�que�el�kilogramo�de�naranja�costó���.�Ahora,�si�por���kg�de�fresa�se�pagó����,�entonces�el�kg�costó����.�Y�si�por���kg�de�manzanas�se�pagó����,�por�lo�que�el�kilo�costó����.�En�total�se�gastó:�

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algebra_FINAL17x23.pdf 2027/11/2014 10:50:56 a.m.

EJERCIC

1. Usaresu

a)

c)

e)

g)

i)

k)

2. Mi�������

¿Cuánt

¿Le�alc

¿Qué�o

3. Un�

SubteEn�el�prepres

�Ahorapartir�enteroenterocero.�Pla�izqu

Origere

CIOS�PROPUEST

ando�las�prouelve�las�sigu

����������������������������������������

amigo�Jos���c/u,����ref��c/u�y������eto�dinero�llev

canzará�para�

operaciones�t

número�natu

ema�1.3.�Oprimer�subtesentar�sobre�

a�bien,�en�esde�los�númeos�positivos�os�negativos,Para�expresaierda�del�núm

n�o�punto�de�eferencia�

TOS�

opiedades�disuientes�opera

����

�������������������

���������������

nos�invitó�a�frescos�de���en�diversos�a

va�gastado�Jo

comprar�el�p

tiene�que�rea

ural�de�tres�c

Opuestos�dma�de�este�bla�recta�de�la

ste�subtema�eros�naturaley�se�distingu�que�son�los�r�el�sentido�dmero�natural

stributiva,�asaciones:���

��

��

�����

una�reunión���c/u,���paqartículos.�José

os��

pastel�(que�cu

alizar�para�ha

ifras�es����ve

de�los�númbloque�traba�manera�sigu

interesa�pres�que�ya�conuen�por�ser�opuestos�de

de�un�número.�

21�

sociativa�y�c

b) ���d) ����f) ����h) ����j) ���l) ���

n�para�celebruetes�de�vaé�cuenta�con

uesta�������cacer�el�cálculo

eces�la�suma�

meros�natuajamos�los�núuiente:�

esentar�los�onocemos,�a�lmayores�qu

e�los�númeroo�se�utilizan�

conmutativa�

�������������

������������������������������

rar�su�cumplsos�de����c/u

n�������.�

con�el�resto�d

o�total?��

de�sus�cifras

urales.�Losúmeros�natu

opuestos�delo�cuales�tamue�el�cero,�sos�naturales�ylos�signos���

y�la�propied

���

�������������

�����������

leaños.�Compu,���paquete

del�dinero?��

s.�¿Cuál�es�el�n

s�números�urales,�los�cu

e�los�númerombién�se�les�se�construyey�además�soy� ,�los�cual

dad�del�neut

�������

��

pr�pizzas�s�de�platos�

número?�

enteros�ales�se�pued

�os�naturales.llama�númern�los�númern�menores�qes�se�colocan

tro�

��

de�de�

den�

.�A�ros�ros�que�n�a�

algebra_FINAL17x23.pdf 2127/11/2014 10:50:56 a.m.

EJERCIC

1. Usaresu

a)

c)

e)

g)

i)

k)

2. Mi�������

¿Cuánt

¿Le�alc

¿Qué�o

3. Un�

SubteEn�el�prepres

�Ahorapartir�enteroenterocero.�Pla�izqu

Origere

CIOS�PROPUEST

ando� las� prouelve�las�sigu

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amigo� Jos���c/u,����ref��c/u�y������eto�dinero�llev

canzará�para�

operaciones�t

número�natu

ema�1.3.�Oprimer�subtesentar�sobre�

a� bien,� en� esde� los�númeos� positivos�os�negativos,Para�expresaierda�del�núm

n�o�punto�de�eferencia�

TOS�

opiedades� disuientes�opera

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nos� invitó�a�frescos� de���en�diversos�a

va�gastado�Jo

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ural�de�tres�c

Opuestos�dma�de�este�bla�recta�de�la

ste� subtema�eros�naturaley� se� distingu�que�son�los�r�el�sentido�dmero�natural

stributiva,� asaciones:���

��

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una� reunión���c/u,���paqartículos.�José

os��

pastel�(que�cu

alizar�para�ha

ifras�es����ve

de�los�númbloque�traba�manera�sigu

interesa� pres�que�ya�conuen� por� ser�opuestos�de

de�un�número.�

21�

sociativa� y� c

b) �� �d) ��� �f) ��� �h) ��� �j) � � �l) �� �

n�para� celebruetes� de� vaé�cuenta�con

uesta�������cacer�el�cálculo

eces�la�suma�

meros�natuajamos�los�núuiente:�

esentar� los� onocemos,�a� lmayores� qu

e�los�númeroo�se�utilizan�

conmutativa�

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n�������.�

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o�total?��

de�sus�cifras

urales.�Losúmeros�natu

opuestos� delo�cuales�tamue� el� cero,� sos�naturales�ylos�signos���

y� la� propied

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�� � �� � �� ��� ��

� � �� � ���� ��

leaños.�Compu,���paquete

del�dinero?��

s.�¿Cuál�es�el�n

s�números�urales,� los�cu

e� los� númerombién�se� les�se� construyey�además�soy� ,�los�cual

dad� del� neut

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número?�

enteros�ales�se�pued

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tro�

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de�de�

den�

.� A�ros�ros�que�n�a�

algebra_FINAL17x23.pdf 21 27/11/2014 10:50:56 a.m.

Entonclos�núm

Por� taenteronúmer

Los�núlo�sigu

1) 2)

3)

4)

Por�últ

Así:����

EJERCIC

1. Loc�

ces,�para�ubimeros��negat

anto,� a� los� nos�negativos�ros�enteros�y

úmeros�enteriente:��

Todo�númeEl���es�may

Si� un� númesea�su�símb

Si�un�númemenor�sea�

timo,�para�po

��� � ����� �

CIOS�PROPUEST

caliza�en�la�re

�� �

A�la�izquierdanúm

carlos�en�la�rtivos�y�positiv

números� entcomo���,�dey�es�represen

ros,�al�igual�q

ero�positivo�eyor�que�cualq

ero� es� positibolo�numéric

ero�entero�essu�símbolo�n

oder�expresa

�� � �� �� �

TOS�

ecta�los�siguie

���������� � ���

a�del�cero�ubicamomeros�negativos�

recta�numérvos�como�se�

teros� positive�modo�que�ltado�por��.��

que�los�núme

es�mayor�quequier�número

ivo,� es�mayoo.�

s�negativo,�enumérico.�

r�que�un�núm

�� �� � ����

entes�número

���� � � ��������

� �

El�número�de�

os�a�los�

22�

ica�partimos�muestra�en�l

vos� los� podea�unión�de������������������

eros�naturale

e��.��negativo.��

or� cuanto�ma

es�mayor�cua

mero�es�mayo

��� �� � ����

os:�

�� � ����������

�� � ��� � �

referencia��

de�un�puntola�siguiente�f

emos� denota��,����y�� rep

s,�están�orde

ayor�

anto�

or�que�otro,�s

��.���

��������� � ������

Así�reprenúmetambnúmenegaorden

A�la�derecha�denúmer

o�de�referencfigura:�

ar� por����y�presenta�el�c

enados,�por�l

se�utiliza�el�sí

�� � ����������

como�esentar� y� ubicaeros�naturales�enbién� podemos� uberos� enteros� potivos,� observan�y�posición.��

el�cero�ubicamos�aros�positivos�

cia,�y�ubicam

a� los� númerconjunto�de�l

o�que�cumpl

ímbolo��.�

��

podemos�ar� a� los�n� la� recta,�bicar� a� los�ositivos� y�ndo� su�

a�los�

mos�

ros�los�

len�

algebra_FINAL17x23.pdf 22 27/11/2014 10:50:56 a.m.

Entonclos�núm

Por�taenteronúmer

Los�núlo�sigu

1) 2)

3)

4)

Por�últ

Así:����

EJERCIC

1. Loc�

ces,�para�ubimeros��negat

anto,�a�los�nos�negativos�ros�enteros�y

úmeros�enteriente:��

Todo�númeEl���es�may

Si�un�númesea�su�símb

Si�un�númemenor�sea�

timo,�para�po

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CIOS�PROPUEST

caliza�en�la�re

���

A�la�izquierdanúm

carlos�en�la�rtivos�y�positiv

números�entcomo���,�dey�es�represen

ros,�al�igual�q

ero�positivo�eyor�que�cualq

ero�es�positibolo�numéric

ero�entero�essu�símbolo�n

oder�expresa

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TOS�

ecta�los�siguie

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a�del�cero�ubicamomeros�negativos�

recta�numérvos�como�se�

teros�positive�modo�que�ltado�por��.��

que�los�núme

es�mayor�quequier�número

ivo,�es�mayoo.�

s�negativo,�enumérico.�

r�que�un�núm

���������

entes�número

���� ����������

��

El�número�de�

os�a�los�

22�

ica�partimos�muestra�en�l

vos�los�podea�unión�de������������������

eros�naturale

e��.��negativo.��

or�cuanto�ma

es�mayor�cua

mero�es�mayo

����������

os:�

�������������

��������

referencia��

de�un�puntola�siguiente�f

emos�denota��,����y�� rep

s,�están�orde

ayor�

anto�

or�que�otro,�s

��.���

����������������

Así�reprenúmetambnúmenegaorden

A�la�derecha�denúmer

o�de�referencfigura:�

ar�por����y�presenta�el�c

enados,�por�l

se�utiliza�el�sí

�������������

como�esentar�y�ubicaeros�naturales�enbién�podemos�uberos�enteros�potivos,�observan�y�posición.��

el�cero�ubicamos�aros�positivos�

cia,�y�ubicam

a�los�númerconjunto�de�l

o�que�cumpl

ímbolo��.�

��

podemos�ar�a�los�n�la�recta,�bicar�a�los�ositivos�y�ndo�su�

a�los�

mos�

ros�los�

len�

algebra_FINAL17x23.pdf 2227/11/2014 10:50:56 a.m.

Entonclos�núm

Por� taenteronúmer

Los�núlo�sigu

1) 2)

3)

4)

Por�últ

Así:����

EJERCIC

1. Loc�

ces,�para�ubimeros��negat

anto,� a� los� nos�negativos�ros�enteros�y

úmeros�enteriente:��

Todo�númeEl���es�may

Si� un� númesea�su�símb

Si�un�númemenor�sea�

timo,�para�po

��� � ����� �

CIOS�PROPUEST

caliza�en�la�re

�� �

A�la�izquierdanúm

carlos�en�la�rtivos�y�positiv

números� entcomo���,�dey�es�represen

ros,�al�igual�q

ero�positivo�eyor�que�cualq

ero� es� positibolo�numéric

ero�entero�essu�símbolo�n

oder�expresa

�� � �� �� �

TOS�

ecta�los�siguie

���������� � ���

a�del�cero�ubicamomeros�negativos�

recta�numérvos�como�se�

teros� positive�modo�que�ltado�por��.��

que�los�núme

es�mayor�quequier�número

ivo,� es�mayoo.�

s�negativo,�enumérico.�

r�que�un�núm

�� �� � ����

entes�número

���� � � ��������

� �

El�número�de�

os�a�los�

22�

ica�partimos�muestra�en�l

vos� los� podea�unión�de������������������

eros�naturale

e��.��negativo.��

or� cuanto�ma

es�mayor�cua

mero�es�mayo

��� �� � ����

os:�

�� � ����������

�� � ��� � �

referencia��

de�un�puntola�siguiente�f

emos� denota��,����y�� rep

s,�están�orde

ayor�

anto�

or�que�otro,�s

��.���

��������� � ������

Así�reprenúmetambnúmenegaorden

A�la�derecha�denúmer

o�de�referencfigura:�

ar� por����y�presenta�el�c

enados,�por�l

se�utiliza�el�sí

�� � ����������

como�esentar� y� ubicaeros�naturales�enbién� podemos� uberos� enteros� potivos,� observan�y�posición.��

el�cero�ubicamos�aros�positivos�

cia,�y�ubicam

a� los� númerconjunto�de�l

o�que�cumpl

ímbolo��.�

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podemos�ar� a� los�n� la� recta,�bicar� a� los�ositivos� y�ndo� su�

a�los�

mos�

ros�los�

len�

algebra_FINAL17x23.pdf 22 27/11/2014 10:50:56 a.m.

Entonclos�núm

Por�taenteronúmer

Los�núlo�sigu

1) 2)

3)

4)

Por�últ

Así:����

EJERCIC

1. Loc�

ces,�para�ubimeros��negat

anto,�a�los�nos�negativos�ros�enteros�y

úmeros�enteriente:��

Todo�númeEl���es�may

Si�un�númesea�su�símb

Si�un�númemenor�sea�

timo,�para�po

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CIOS�PROPUEST

caliza�en�la�re

���

A�la�izquierdanúm

carlos�en�la�rtivos�y�positiv

números�entcomo���,�dey�es�represen

ros,�al�igual�q

ero�positivo�eyor�que�cualq

ero�es�positibolo�numéric

ero�entero�essu�símbolo�n

oder�expresa

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TOS�

ecta�los�siguie

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a�del�cero�ubicamomeros�negativos�

recta�numérvos�como�se�

teros�positive�modo�que�ltado�por��.��

que�los�núme

es�mayor�quequier�número

ivo,�es�mayoo.�

s�negativo,�enumérico.�

r�que�un�núm

���������

entes�número

���� ����������

��

El�número�de�

os�a�los�

22�

ica�partimos�muestra�en�l

vos�los�podea�unión�de������������������

eros�naturale

e��.��negativo.��

or�cuanto�ma

es�mayor�cua

mero�es�mayo

����������

os:�

�������������

��������

referencia��

de�un�puntola�siguiente�f

emos�denota��,����y�� rep

s,�están�orde

ayor�

anto�

or�que�otro,�s

��.���

����������������

Así�reprenúmetambnúmenegaorden

A�la�derecha�denúmer

o�de�referencfigura:�

ar�por����y�presenta�el�c

enados,�por�l

se�utiliza�el�sí

�������������

como�esentar�y�ubicaeros�naturales�enbién�podemos�uberos�enteros�potivos,�observan�y�posición.��

el�cero�ubicamos�aros�positivos�

cia,�y�ubicam

a�los�númerconjunto�de�l

o�que�cumpl

ímbolo��.�

��

podemos�ar�a�los�n�la�recta,�bicar�a�los�ositivos�y�ndo�su�

a�los�

mos�

ros�los�

len�

algebra_FINAL17x23.pdf 2227/11/2014 10:50:56 a.m.

�¿Qué�e

2. Obsob

La�bas

El�faro

El�ancl

La�estr

La�tort

La�tort

3. En�lqupo

4. En�lsem

5. En�¿Su

6. Un�salal�m

7. En�deasc

8. La���

es�mayor:���

serva�el�dibubjetos�represe

e�del�helicóp

�está�a�_____

a�del�barco�e

rella�está�a��_

tuga�que�va�h

tuga�que�va�e

la�lista�de�losue�había�estaosición?�

la�tabla�de�lamana.�Anteri

la�lista�de�loubió�o�bajó?�¿

día,�en�la�relida�del�sol�y�mediodía?�

el�estado�de��Atoyac.�Si�alcenso�o��desc

computado������por�su

��o���?�_____

ujo�y�complentados,�del�

ptero�est�a��

___�m�______

está�a��______

_________�m,

hacia�la�derec

en�dirección�a

s����principalado�la�sema

�liga�de�futboiormente�est

os����princip¿Cuántos�pue

gión�Montañel�mediodía.

Guerrero,�lalguien�hubiescenso�de�tem

ra�de�Pedru�computado

_����������������������

eta�las�oracnivel�del�mar

���m��sobre�

__��el�nivel�de

____�m�_____

,�o�bien,�a�___

cha�se�encue

al�faro�se�enc

es,�el�disco�fana�anterior.

ol�mexicano,taba�en�la�pos

ales,�el�discoestos?�

ña�del�estado.�A�la�salida�d

a�temperaturse�viajado�demperatura?�

ro�costó���ra,�¿cuánto�c

23�

���������������¿Qué

ciones�con�lar.�

�el�nivel�del�m

el�mar.�

_��el�nivel�del

_____�m�bajo

ntra�a�_____

cuentra��a�___

avorito�de�Ja.�La�antigua�

el�equipo�desición���.�¿Eno�favorito�de

o�de�Guerrerdel�sol�se�reg

ra�es�de�����ee�la�montaña�

������más�qcostó�la�de�M

é�es�mayor:��

as�distancias

mar.�

l�mar.�

o�el�nivel�del�

___m�de�prof

________�met

anet�estaba�tposición�er

e�las�Chivas�sn�qué�posició

e�Susana�pa

ro,�la�tempergistraban����

en�la�montaña�la�sierra�de

que�la�de�Mariana?�

���o��?�_____

s�a�que�se�e

mar.�

undidad�del�

tros.�

tres�lugares�mra�la���.�¿Cu

ubió�cuatro�pón�se�encuen

só�del�lugar�

ratura�ascend��.�¿Cuál�era�

ña�alta�y�de��e�Atoyac,�¿ha

Mariana.�S

_�

encuentran�

mar.�

más�abajo�deál�es�la�nue

posiciones�estra�ahora?�

r����al�lugar��

di���entrela�temperatu

����en�la�sieabría�notado�

i�Pedro�pa

los�

e�lo�eva�

sta�

��.�

e�la�ura�

rra�un�

ag�����������

algebra_FINAL17x23.pdf 2327/11/2014 10:50:56 a.m.

�¿Qué�e

2. Obsob

La�bas

El�faro

El�ancl

La�estr

La�tort

La�tort

3. En�lqupo

4. En�lsem

5. En�¿Su

6. Un�salal�m

7. En�deasc

8. La���

es�mayor:���

serva� el� dibubjetos�represe

e�del�helicóp

�está�a�_____

a�del�barco�e

rella�está�a��_

tuga�que�va�h

tuga�que�va�e

la�lista�de�losue� había� estaosición?�

la�tabla�de�lamana.�Anteri

la� lista� de� loubió�o�bajó?�¿

día,�en�la�relida�del�sol�y�mediodía?�

el�estado�de��Atoyac.�Si�alcenso�o��desc

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hacia�la�derec

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�liga�de�futboiormente�est

os����princip¿Cuántos�pue

gión�Montañel�mediodía.

Guerrero,�lalguien�hubiescenso�de�tem

ra� de� Pedru�computado

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al�faro�se�enc

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ales,� el� discoestos?�

ña�del�estado.�A�la�salida�d

a�temperaturse�viajado�demperatura?�

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23�

���������������¿Qué

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e�las�Chivas�sn�qué�posició

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que� la� de�Mariana?�

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mar.�

undidad�del�

tros.�

tres�lugares�mra� la���.� ¿Cu

ubió�cuatro�pón�se�encuen

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ratura�ascend��.�¿Cuál�era�

ña�alta�y�de��e�Atoyac,�¿ha

Mariana.� S

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mar.�

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algebra_FINAL17x23.pdf 23 27/11/2014 10:50:56 a.m.

SubteSigno

1.4.1.�

La�sumal�igua

Veamo

Sea���

A�partiresulta

Casos�

1. Si�loresu

Por

���

2. Anánúm

�����Por

���

3. En�sign

Por

����

ema�1.4.�Oos�de�agru

Adición�de�n

ma�en�los�núml�que�en�los�n

os�el�siguient

� ���y�� � �

ir�de����se�avado�es�el�núm

de�la�suma�d

os�dos�númeultado�es�otr

r�ejemplo:�

�� � ���� �

álogamente,�mero�negativ

r�ejemplo:�

�� � ���� �

el� caso� en� qno,�el�resulta

r�ejemplo:�

�� � ���� �

Operacionepación�

números�en

meros�enteronúmeros�nat

e�ejemplo�us

�.��Calcula�� �

vanza���unidmero���,�lo�q

e�números�e

eros�que�se�sro�número�po

����.��

cuando� los�vo.�

��������

que� los� sumdo�puede�se

�����y�����

es�con�núm

nteros�

os�tiene�variourales.�

sando�la�repr

� �.�

ades�hacia�laque�algebraic

� � � � ��

nteros.�

uman�son�poositivo.�

dos�números

mandos� tengar�positivo�o�n

� � ���� � ��

24�

meros�ente

os�significado

esentación�e

a�derecha,�puamente�corr

��� � ���� �

ositivos,�el�

s�que�se�sum

an� distinto�negativo.�

���.�

eros.��

os,�entre�ello

en�la�recta�nu

uesto�que���tresponde�a:�

� �����

man�son�neg

Cuando�sumaya� sean� positconserva�el�sig�Cuando� sumdiferentes,� eldel� número�este�caso,�las�

VALOR�ABSOSe� llama� vaentero� al� núeliminar�el�siY� se� representero�entre�El� valor� abnatural��:� ��

os:�añadir,�ag

umérica:��

iene�signo�po

ativos,�el� res

as�números�con�stivos� o� negativosgno.�

mas� números�l� resultado� consmayor� en� valor�cantidades�se�res

OLUTO�DE�UN�NÚalor� absoluto� deúmero� natural� qgno�del�número�esenta� escribiende�dos�barras�vertic

bsoluto� de� �� �e��� � �.�

gregar,�avanz

ositivo.�El�

sultado�es�ot

signos� iguales,�s,� el� resultado�

con� signos�erva� el� signo�absoluto.� En�

stan.�

ÚMERO.�e� un� número�que� resulta� de�entero.��do� el� número�cales� � �

es� el� número�

zar,��

tro�

algebra_FINAL17x23.pdf 24 27/11/2014 10:50:56 a.m.

SubteSigno

1.4.1.�

La�sumal�igua

Veamo

Sea���

A�partiresulta

Casos�

1. Si�loresu

Por

���

2. Anánúm

�����Por

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3. En�sign

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Adición�de�n

ma�en�los�núml�que�en�los�n

os�el�siguient

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ir�de����se�avado�es�el�núm

de�la�suma�d

os�dos�númeultado�es�otr

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el�caso�en�qno,�el�resulta

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números�en

meros�enteronúmeros�nat

e�ejemplo�us

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dos�números

mandos�tengar�positivo�o�n

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meros�ente

os�significado

esentación�e

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s�que�se�sum

an�distinto�negativo.�

���.�

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os,�entre�ello

en�la�recta�nu

uesto�que���tresponde�a:�

������

man�son�neg

Cuando�sumaya�sean�positconserva�el�sig�Cuando�sumdiferentes,�eldel�número�este�caso,�las�

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álogamente,�mero�negativ

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�� � ���� �

el� caso� en� qno,�el�resulta

r�ejemplo:�

�� � ���� �

Operacionepación�

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man�son�neg

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1.4.2.�

Para�e

Los�regtiempo

¿Cuále

Cambi

El�term

El�camdiferen

Cambi

El�term

La�dife

Esto�se

Sustracción

ste�subtema�

gistros�de�temo�son:�

Registro�

Temperatu

s�son�los�cam

o��:�registro�mómetro�ha�p

bio,�por�tantncia�es�de���

o��:�registro�mómetro�ha�p

erencia�es�de�

e�expresa�así

n�de�número

iniciemos�co

mperatura�to

��

ra������

mbios�sucesiv

���.�pasado�de�ma

to,�es�de���,�y�����Esto�se�e

���.�pasado�de���

��grados,�peí:���������

os�enteros�

on�el�siguient

omados�en�u

��

�C������C

vos�que�se�ha

arcar������C

y�como�ademxpresa�numé

������

����C�a�marc

ero�en�sentid

�������.�

25�

e�ejemplo:�

na�estación�m

��

C �����C

an�ido�experim

C�a�marcar���

más�ha�aumenéricamente�m

������������

ar�������Cels

o�negativo,�l

meteorológic

��

�����C

mentando?�

������Celsius.�

ntado,�entonmediante�una

����

sius.�

uego�la�varia

ca�en�un�ciert

��

�����C

nces�es�positiva�resta:�

ación�es�de���

to�periodo�de

��

�����C

va,�luego�la�

���.�

e�

algebra_FINAL17x23.pdf 2527/11/2014 10:50:56 a.m.

1.4.2.�

Para�e

Los�regtiempo

¿Cuále

Cambi

El�term

El�camdiferen

Cambi

El�term

La�dife

Esto�se

Sustracción

ste�subtema�

gistros�de�temo�son:�

Registro�

Temperatu

s�son�los�cam

o��:�registro�mómetro�ha�p

bio,�por�tantncia�es�de���

o��:�registro�mómetro�ha�p

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e�expresa�así

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na�estación�m

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o�negativo,�l

meteorológic

��

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ntado,�entonmediante�una

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ca�en�un�ciert

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algebra_FINAL17x23.pdf 25 27/11/2014 10:50:56 a.m.

Cambi

El�term

La�dife

Numér

Cambi

El�term

La�dife

Numér

Cambi

El�term

Es�una

Se�exp

Al� iguason�qu

o��:�registro�mómetro�ha�p

erencia�es�de�

ricamente�se

o��:�registro�mómetro�ha�p

erencia�es�de�

ricamente�se

o��:�registro�mómetro�varí

�variación�po

presa�así:����al�que�en� losuitar,�eliminar

� � �.�pasado�de���

��grados�en�e�expresa�así�

� � �.�pasado�de���

��grados�en�e�expresa�así:

� � �.�ía�de������C�

ositiva�de���g�� � ���� �s�números�nar,�retroceder

����C�a�����

sentido�nega

����� � ���

����C�a�����

sentido�nega

����� � ���

a�������Cels

rados,�es�dec

����.�aturales,�algur,�entre�otros

26�

��Celsius.�

ativo,�es�deci

�� � ������

��Celsius.�

ativo:�����.��� � ����.�

sius.�

cir:������.�

unos�signific.�

ir,�������

ados�de�resttar�en� los�núúmeros�enterros�

algebra_FINAL17x23.pdf 26 27/11/2014 10:50:56 a.m.

Cambi

El�term

La�dife

Numér

Cambi

El�term

La�dife

Numér

Cambi

El�term

Es�una

Se�exp

Al�iguason�qu

o��:�registro�mómetro�ha�p

erencia�es�de�

ricamente�se

o��:�registro�mómetro�ha�p

erencia�es�de�

ricamente�se

o��:�registro�mómetro�varí

�variación�po

presa�así:����al�que�en�losuitar,�eliminar

���.�pasado�de���

��grados�en�e�expresa�así�

���.�pasado�de���

��grados�en�e�expresa�así:

���.�ía�de������C�

ositiva�de���g��������s�números�nar,�retroceder

����C�a�����

sentido�nega

���������

����C�a�����

sentido�nega

���������

a�������Cels

rados,�es�dec

����.�aturales,�algur,�entre�otros

26�

��Celsius.�

ativo,�es�deci

���������

��Celsius.�

ativo:�����.��������.�

sius.�

cir:������.�

unos�signific.�

ir,�������

ados�de�resttar�en�los�núúmeros�enterros�

algebra_FINAL17x23.pdf 2627/11/2014 10:50:56 a.m.

Cambi

El�term

La�dife

Numér

Cambi

El�term

La�dife

Numér

Cambi

El�term

Es�una

Se�exp

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o��:�registro�mómetro�ha�p

erencia�es�de�

ricamente�se

o��:�registro�mómetro�ha�p

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sius.�

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unos�signific.�

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ados�de�resttar�en� los�núúmeros�enterros�

algebra_FINAL17x23.pdf 26 27/11/2014 10:50:56 a.m.

Cambi

El�term

La�dife

Numér

Cambi

El�term

La�dife

Numér

Cambi

El�term

Es�una

Se�exp

Al�iguason�qu

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ricamente�se

o��:�registro�mómetro�ha�p

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presa�así:����al�que�en�losuitar,�eliminar

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sentido�nega

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sentido�nega

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rados,�es�dec

����.�aturales,�algur,�entre�otros

26�

��Celsius.�

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sius.�

cir:������.�

unos�signific.�

ir,�������

ados�de�resttar�en�los�núúmeros�enterros�

algebra_FINAL17x23.pdf 2627/11/2014 10:50:56 a.m.

Para�re

1.4.3.�

Las�opposibleconsidcircula

Resí

1. Cuacompestá�ede�agsigno�sin�cacantid

2. Cuacompestá�ede�agsigno�cambide�lexpre

estar�número

Operacione

peraciones�ce.�Por�tal�razderadas�comar�u�ordinario

eglas�para�símbolos�de�a

ando�unuesta�de�vaencerrada�prupación�pr���,�el�símbambiar�los�dades�de�la�e

ando�unuesta�de�vaencerrada�prupación�pr���,�el�símbiando�el�siglas�cantidsión.�

os�enteros�se

es�combinad

combinadas�zón,�es�convo�una�sola.����,�el�paré

suprimir�losagrupación�

a�exprearias�cantidapor�un�símbrecedido�pobolo�se�suprsignos�de�

expresión.�

a�exprearias�cantidapor�un�símbrecedido�pobolo�se�suprno�de�cada�dades�de�

e�suma�al�min

das�de�suma

de�sumas�yveniente�agruLos�símbolo

éntesis�rectan

sión�ades�bolo�or�el�rime�las�

���

sión�ades�bolo�or�el�rime�una�la�

���

������

Minuendo

Sustr

27�

nuendo�el�opu

s�y�restas.�S

y�restas�pueupar�algunasos�usados�pngular�o�corc

��������

�����

��������

��

raendo

uesto�del�sus

Signos�de�agr

eden�tener�ts�cantidades�para�este�prchete����y�la

Ejemp

����������

��������������� �

��������������������

Resultado�

straendo.��

rupación�

tantos�númepara�indicaropósito�sonas�llaves�

plo�

��������������������������

���������������

���������

eros�como�sr�que�éstas�s:�el�parénte.����

���������

��������������

sea�son�esis�

algebra_FINAL17x23.pdf 2727/11/2014 10:50:56 a.m.

Para�re

1.4.3.�

Las� opposibleconsidcircula

Resí

1. Cuacompestá� ede� agsigno�sin� cacantid

2. Cuacompestá� ede� agsigno�cambide� lexpre

estar�número

Operacione

peraciones� ce.�Por� tal� razderadas� comar�u�ordinario

eglas�para�símbolos�de�a

ando� unuesta�de�vaencerrada� prupación� pr���,�el�símbambiar� los�dades�de�la�e

ando� unuesta�de�vaencerrada� prupación� pr���,�el�símbiando�el�siglas� cantidsión.�

os�enteros�se

es�combinad

combinadas�zón,�es� convo� una� sola.��� �,�el�paré

suprimir�losagrupación�

a� exprearias�cantidapor� un� símbrecedido� pobolo�se�suprsignos� de�

expresión.�

a� exprearias�cantidapor� un� símbrecedido� pobolo�se�suprno�de�cada�dades� de�

e�suma�al�min

das�de�suma

de� sumas� yveniente�agruLos� símbolo

éntesis�rectan

sión�ades�bolo�or� el�rime�las�

� � �

sión�ades�bolo�or� el�rime�una�la�

� � �

� � ����

Minuendo

Sustr

27�

nuendo�el�opu

s�y�restas.�S

y� restas� pueupar�algunasos� usados� pngular�o�corc

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�����

� � ����� �

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raendo

uesto�del�sus

Signos�de�agr

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Ejemp

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Resultado�

straendo.��

rupación�

tantos� númepara� indicaropósito� sonas�llaves�

plo�

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eros� como� sr�que�éstas� s:� el� parénte.����

� ���� ����

�������� � �����

sea�son�esis�

algebra_FINAL17x23.pdf 27 27/11/2014 10:50:56 a.m.

3. Unmultipencerragrupuna�ddentro

4. Cuaagrupunos�conveempesímboadentdecir�puedadistint

5. En�los�negat

��

1.4.4.�

Para� mtienennegati

a� cantidaplicando� a�rada� en� uación� multe�las�cantido�del�símbo

ando� los�ación� estádentro� d

eniente�zando� poolos� que�ro,� sin� quque� los�

an�ser�suprimta.���

cualquier�catérminos�ivos,�y�se�su

Multiplicaci

multiplicar� do�el�mismo�sigvo.�

������

������

������

������

d� que� euna� expre

un� símbolo�tiplica� a� cades�que�eslo.�

símbolos�án� contende� otros,�

suprimor� el� o�

están�ue� esto� qu

símbolos�midos�en�fo

aso,�se�agrupositivos�

uman.�

ión�de�núme

os� números�gno,�el�prod

� ��

� ��

� ��

� ���

esté�sión�de�

cada�stán�

� � �

de�idos�es�

irlos�los�

más�uiera�

no�orma�

� � �

� � �

� � �

� � �� ��

� ��� ��

upan�y�

eros�entero

enteros� se�ucto�será�po

28�

��� � �����������

����� � � ��

� ����� � ��

� ����� � ��

� � � � � � � � � � �

�� ���

s�

multiplican�ositivo;�si� tien

�����Ejem

��������

�� � � ��� � ��� � �� � ��� � �� � �� � �� �� � �� � ���� � �� � ���� �� � �� ��� � � ��

� � � � � ���� � � � ���� � � � � ��� � ��� ����

sus� valores�nen�signos�d

mplos:�

������� �������� �������� �������� �

��� � �������� � � ���� �� � �� �� � ������ � ���

� � �� � ��

� � � � � ��

� � � � ��

� � �� � ���� � � �

absolutos;� sdiferentes,�el

�� ���� ���� ���� ��

� �� � �����

� �� � ���

�� � ���

�� � ��� � �

� ��� � ��

� � �� � ��� � � ��

si� los� númer�producto�se

��

ros�erá�

algebra_FINAL17x23.pdf 28 27/11/2014 10:50:57 a.m.

3. Unmultipencerragrupuna�ddentro

4. Cuaagrupunos�conveempesímboadentdecir�puedadistint

5. En�los�negat

��

1.4.4.�

Para�mtienennegati

a�cantidaplicando�a�rada�en�uación�multe�las�cantido�del�símbo

ando�los�ación�estádentro�d

eniente�zando�poolos�que�ro,�sin�quque�los�

an�ser�suprimta.���

cualquier�catérminos�ivos,�y�se�su

Multiplicaci

multiplicar�do�el�mismo�sigvo.�

������

������

������

������

d�que�euna�expre

un�símbolo�tiplica�a�cades�que�eslo.�

símbolos�án�contende�otros,�

suprimor�el�o�

están�ue�esto�qu

símbolos�midos�en�fo

aso,�se�agrupositivos�

uman.�

ión�de�núme

os�números�gno,�el�prod

���

���

���

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esté�sión�de�

cada�stán�

���

de�idos�es�

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más�uiera�

no�orma�

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���

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������

������

upan�y�

eros�entero

enteros�se�ucto�será�po

28�

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s�

multiplican�ositivo;�si�tien

�����Ejem

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���������������������������������������������������������

��� ������� ���������������������

sus�valores�nen�signos�d

mplos:�

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�������

������

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absolutos;�sdiferentes,�el

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�������

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si�los�númer�producto�se

��

ros�erá�

algebra_FINAL17x23.pdf 2827/11/2014 10:50:57 a.m.

3. Unmultipencerragrupuna�ddentro

4. Cuaagrupunos�conveempesímboadentdecir�puedadistint

5. En�los�negat

��

1.4.4.�

Para� mtienennegati

a� cantidaplicando� a�rada� en� uación� multe�las�cantido�del�símbo

ando� los�ación� estádentro� d

eniente�zando� poolos� que�ro,� sin� quque� los�

an�ser�suprimta.���

cualquier�catérminos�ivos,�y�se�su

Multiplicaci

multiplicar� do�el�mismo�sigvo.�

������

������

������

������

d� que� euna� expre

un� símbolo�tiplica� a� cades�que�eslo.�

símbolos�án� contende� otros,�

suprimor� el� o�

están�ue� esto� qu

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aso,�se�agrupositivos�

uman.�

ión�de�núme

os� números�gno,�el�prod

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esté�sión�de�

cada�stán�

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más�uiera�

no�orma�

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eros�entero

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si� los� númer�producto�se

��

ros�erá�

algebra_FINAL17x23.pdf 28 27/11/2014 10:50:57 a.m.

3. Unmultipencerragrupuna�ddentro

4. Cuaagrupunos�conveempesímboadentdecir�puedadistint

5. En�los�negat

��

1.4.4.�

Para�mtienennegati

a�cantidaplicando�a�rada�en�uación�multe�las�cantido�del�símbo

ando�los�ación�estádentro�d

eniente�zando�poolos�que�ro,�sin�quque�los�

an�ser�suprimta.���

cualquier�catérminos�ivos,�y�se�su

Multiplicaci

multiplicar�do�el�mismo�sigvo.�

������

������

������

������

d�que�euna�expre

un�símbolo�tiplica�a�cades�que�eslo.�

símbolos�án�contende�otros,�

suprimor�el�o�

están�ue�esto�qu

símbolos�midos�en�fo

aso,�se�agrupositivos�

uman.�

ión�de�núme

os�números�gno,�el�prod

���

���

���

����

esté�sión�de�

cada�stán�

���

de�idos�es�

irlos�los�

más�uiera�

no�orma�

���

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upan�y�

eros�entero

enteros�se�ucto�será�po

28�

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sus�valores�nen�signos�d

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absolutos;�sdiferentes,�el

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si�los�númer�producto�se

��

ros�erá�

algebra_FINAL17x23.pdf 2827/11/2014 10:50:57 a.m.

Regla�

1.4.5.�

La�divi����enrealizaenterosigue:��.�En�gdivisorpor�el�

Simbó

Regla�

de�los�signos

El�producto

El�productonegativo.�

El�producto

División�de�

sión�puede�cn���tales�que�ar�en�los�ento�que�al�multi�al�dividir���pgeneral,�dividr�es�encontradivisor�más�e

licamente:��

de�los�signos

Si���es�posmismo�sign

Si���es�p Si���es�n

Si���es�negdistinto�sig

���������

���������

���������

����������

s�para�multip

o�de�dos�núm

o�de�un�núm

o�de�dos�núm

números�en

considerarse��������y��

teros,�por�ejiplicarlo�por�por���obtenemdir�un�númerar�un�tercer�el�resto�sea�ig

������ ,

���

s�para�divisió

itivo,�por�la�rno.�Por�tanto

positivo,���es�negativo,���esgativo,�por�lgno.�Por�tanto

plicación�

meros�enteros

mero�entero

meros�enteros

nteros�

como�la�ope����entoncemplo�

�no�p��nos�de�commos�como�rero�entero�llamnúmero�entegual�al�divide

�donde���

���������Ejempl�����������������������������������as������������������

ón�

regla�de�la�m:�

positivo.�

s�negativo.�

la�regla�de�o:�

29�

s�positivos�es

�positivo�po

s�negativos�e

eración�inversces����

�,�sin

podría�realizmo�resultado�esultado���y�cmado�dividenero,�llamadondo.�

��.�

os:�

������������������

�������

multiplicación

multiplicació

������

s�otro�númer

or�otro�nega

es�un�número

sa�de�la�multn�embargo,�

arse�en�los���.��Pero�estacomo�residuondo�entre�ot�cociente,�de

�� ��������

����

n,�el�divisor�y�

ón,�los�facto

�������������� �

ro�entero�pos

ativo�es�un�n

o�entero�posi

iplicación,�esesto�no�siem

enteros�ya�qa�operación�so��,�en�símbotro�número�ee�tal�forma�q

��������������

el�cociente�h

ores���y���tien

sitivo.�

número�ente

itivo.�

s�decir,�si�dadmpre�se�pue

que�no�hay�se�realiza�comolos������entero�llamaque�el�cocien

�����������

han�de�tener

nen�que�ten

ero�

dos�ede�

un�mo���do�nte�

r�el�

ner�

algebra_FINAL17x23.pdf 2927/11/2014 10:50:57 a.m.

Regla�

1.4.5.�

La�divi�� ��enrealizaenterosigue:��.�En�gdivisorpor�el�

Simbó

Regla�

de�los�signos

El�producto

El� productonegativo.�

El�producto

División�de�

sión�puede�cn���tales� que�ar� en� los� ento�que�al�multi�al�dividir���pgeneral,�dividr�es�encontradivisor�más�e

licamente:��

de�los�signos

Si���es�posmismo�sign

Si���es�p Si���es�n

Si���es� negdistinto�sig

������ � ��

������ � ��

������ � ��

������ � ���

s�para�multip

o�de�dos�núm

o� de� un� núm

o�de�dos�núm

números�en

considerarse��� � � � ��y��

teros,� por� ejiplicarlo�por�por���obtenemdir�un�númerar�un�tercer�el�resto�sea�ig

� � � � � � ,

���

s�para�divisió

itivo,�por�la�rno.�Por�tanto

positivo,���es�negativo,���esgativo,� por� lgno.�Por�tanto

plicación�

meros�enteros

mero� entero

meros�enteros

nteros�

como�la�ope� � ��entoncemplo��no� p��nos�de�commos�como�rero�entero�llamnúmero�entegual�al�divide

�donde�� �

���������Ejempl�������� � ��������������������������as������������������

ón�

regla�de�la�m:�

positivo.�

s�negativo.�

la� regla� de�o:�

29�

s�positivos�es

� positivo� po

s�negativos�e

eración�inversces�� � �

�,� sin

podría� realizmo�resultado�esultado���y�cmado�dividenero,� llamadondo.�

� �.�

os:�

��������� �������� �

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multiplicación

multiplicació

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s�otro�númer

or� otro� nega

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sa�de�la�multn� embargo,�

arse� en� los���.��Pero�estacomo�residuondo�entre�ot�cociente,�de

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ón,� los� facto

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ro�entero�pos

ativo� es� un� n

o�entero�posi

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ores���y���tien

sitivo.�

número� ente

itivo.�

s�decir,�si�dadmpre� se� pue

que� no� hay�se�realiza�comolos�� � � � �entero�llamaque�el�cocien

�������� � ��

han�de�tener

nen� que� ten

ero�

dos�ede�

un�mo�� �do�nte�

r�el�

ner�

algebra_FINAL17x23.pdf 29 27/11/2014 10:50:57 a.m.

30��

Si���es�positivo,���es�negativo.� Si���es�negativo,���es�positivo.�

Si� el� dividendo� y� el� divisor� de� una� división� de� números� enteros� tienen� el� mismo� signo,� el�cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.�

��

EJERCICIOS�PROPUESTOS��

1. Sean�� � ������ � ������ � ���������� � ��.�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:�

a) � � ��b) � � ��c) � � ��d) � � ��

2. Resuelve�lo�siguiente:�

a) �� � �� ��

b) ���� � ���� ��

c) ���� � �� ��

d) ���� � �� ��

e) �� � ���� ��

f) �� � ���� ��

3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.�

a) ��� ��� � ���� � ��� ��b) ��� ��� � ��� ���� � ��� ��� �

4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones�algebraicas�siguientes:�

a) � � ��� � ��� � ��� � � �� ��

b) ����� � ��� � ��� � � � �� ��� ��

c) ����� � ��� � �� � �� � � ���� � � � ��� � �� � �� � � � � � ��

d) �� � ������ � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � ��

algebra_FINAL17x23.pdf 30 27/11/2014 10:50:57 a.m.

30��

Si���es�positivo,���es�negativo.� Si���es�negativo,���es�positivo.�

Si�el�dividendo�y�el�divisor�de�una�división�de�números�enteros�tienen�el�mismo�signo,�el�cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.�

��

EJERCICIOS�PROPUESTOS��

1. Sean������������������������������.�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:�

a) ����b) ����c) ����d) ����

2. Resuelve�lo�siguiente:�

a) �������

b) ���� ����� ��

c) ���� �����

d) ���� �����

e) ������� ��

f) ������� ��

3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.�

a) ��� ��� ����� ���� ��b) ��� ��� ���� ���� ���� ��� �

4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones�algebraicas�siguientes:�

a) ��������������� ����

b) ������������������ �����

c) ��������������� �������� �������������� ���

d) ��������������� ������������ ������� ���

algebra_FINAL17x23.pdf 3027/11/2014 10:50:57 a.m.

30��

Si���es�positivo,���es�negativo.� Si���es�negativo,���es�positivo.�

Si� el� dividendo� y� el� divisor� de� una� división� de� números� enteros� tienen� el� mismo� signo,� el�cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.�

��

EJERCICIOS�PROPUESTOS��

1. Sean�� � ������ � ������ � ���������� � ��.�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:�

a) � � ��b) � � ��c) � � ��d) � � ��

2. Resuelve�lo�siguiente:�

a) �� � �� ��

b) ���� � ���� ��

c) ���� � �� ��

d) ���� � �� ��

e) �� � ���� ��

f) �� � ���� ��

3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.�

a) ��� ��� � ���� � ��� ��b) ��� ��� � ��� ���� � ��� ��� �

4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones�algebraicas�siguientes:�

a) � � ��� � ��� � ��� � � �� ��

b) ����� � ��� � ��� � � � �� ��� ��

c) ����� � ��� � �� � �� � � ���� � � � ��� � �� � �� � � � � � ��

d) �� � ������ � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � ��

algebra_FINAL17x23.pdf 30 27/11/2014 10:50:57 a.m.

30��

Si���es�positivo,���es�negativo.� Si���es�negativo,���es�positivo.�

Si�el�dividendo�y�el�divisor�de�una�división�de�números�enteros�tienen�el�mismo�signo,�el�cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.�

��

EJERCICIOS�PROPUESTOS��

1. Sean������������������������������.�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:�

a) ����b) ����c) ����d) ����

2. Resuelve�lo�siguiente:�

a) �������

b) ���� ����� ��

c) ���� �����

d) ���� �����

e) ������� ��

f) ������� ��

3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.�

a) ��� ��� ����� ���� ��b) ��� ��� ���� ���� ���� ��� �

4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones�algebraicas�siguientes:�

a) ��������������� ����

b) ������������������ �����

c) ��������������� �������� �������������� ���

d) ��������������� ������������ ������� ���

algebra_FINAL17x23.pdf 3027/11/2014 10:50:57 a.m.

31��

5. Resuelve�lo�siguiente�

a) �������

b) �������������

�� ������������ ������������ ���������� � ����������

Subtema�1.5.�Propiedades�de�las�operaciones�con�números�enteros�

1.5.1.�Propiedades�de�la�suma�de�números�enteros�

Es�cerrada:�al�sumar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número�entero.�

Asociativa:�si��������������������.�Por�ejemplo:�

���������������������.�Puedes�comprobar�esto�resolviendo�de�la�siguiente�manera:��

���������������������.��������������������������.��

Conmutativa:�Si������������.�Por�ejemplo:�

�������������������.�Para�comprobar:�

������������.�������������.��

El�cero�es�el�elemento�neutro:�si��������������.�Por�ejemplo:�

����������������.��

algebra_FINAL17x23.pdf 3127/11/2014 10:50:57 a.m.

31��

5. Resuelve�lo�siguiente�

a) �� � �� ��

b) ����� � ����� ��

�� ����� � �� ���� �� � ����� ���� ����� � �� �� � �� � ����� ��

Subtema�1.5.�Propiedades�de�las�operaciones�con�números�enteros�

1.5.1.�Propiedades�de�la�suma�de�números�enteros�

Es�cerrada:�al�sumar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número�entero.�

Asociativa:�si���� � � � �� � � � � � � �� � � � .�Por�ejemplo:�

�� � ��� � �� � ��� � �� � ����.�Puedes�comprobar�esto�resolviendo�de�la�siguiente�manera:��

�� � ��� � �� � �� � ���� � ���.���� � �� � ���� � ���� � ���� � ���.��

Conmutativa:�Si���� � �� � � � � �.�Por�ejemplo:�

���� � ���� � ���� � ����.�Para�comprobar:�

���� � ���� � ��.����� � ���� � ��.��

El�cero�es�el�elemento�neutro:�si�� � �� � � � � � � � � �.�Por�ejemplo:�

���� � � � � � ���� � ��.��

algebra_FINAL17x23.pdf 31 27/11/2014 10:50:57 a.m.

Inversque��

Por�eje

���es����es�e�

1.5.2.�

Es�cerr

No�es�a

Por�eje

���� ������Por ta

No�es�c

����� ����� �Por ta

No�tien

Por�eje

���� �� � � ��

Invers

Ejemp

���� ����� ����� �

o�aditivo:�to��� � �.��

emplo:��

el�opuesto�d

el�opuesto�de

Propiedade

rada:�la�difere

asociativa:�e

emplo:��

� ����� � ��� ����� � ��nto:����� �

conmutativa

� ���� � ��� ���� � ��nto: ���� �

ne�elemento

emplo:�

� � � � � ��� � � � � ��

o�aditivo:�si� los:�

� ���� � ��� ���� � ��� ���� � ��

El�invesumadcualqu

do�número�e

e��,�porque��e����,�porqu

es�de�la�resta

encia�de�dos�

n�general,�si�

���� � ������� � ��������� � ���

a:�en�general,

��� �� ���� � ���

o�neutro:�en�g

��� � �����

� �

�� � ���� ��� � ���� ��� � ���� �

erso�aditivo�ddo� con� él� seuiera,�su�inver

entero���tien

���� � � � �ue��� � ����

a�números�e

números�en

� � �� �

� ���� � ��� ���� � ����� � ����� �

�si�� � � � ��

� � ����, ya

general,�si� �

� �.�

� �.�� �.�� �.�

de�un�númeroe� obtiene� el�rso�aditivo�se

32�

ne�asociado�

��� � ���� ��� � ����� �

enteros�

teros�es�un�n

� �� � ��

���. ���. � ����� � ��

�� � ����.�

que ���� �

� � � �

o�entero�es�ocero.� Así,� s

e�representa�

a�él�un�núme

� �.�� �� � �.�

número�ente

� � � �� �

���, ya que �

� ���.

� � � .�

otro�número�si���es� un� npor����.�

ero�entero��

ro.�

���

���� � ����

entero,�tal�qnúmero� ente

��,�de�tal�form

�.

ue�ero�

ma�

algebra_FINAL17x23.pdf 32 27/11/2014 10:50:57 a.m.

Inversque��

Por�eje

���es����es�e�

1.5.2.�

Es�cerr

No�es�a

Por�eje

����������Por ta

No�es�c

�����������Por ta

No�tien

Por�eje

����������

Invers

Ejemp

���������������

o�aditivo:�to�����.��

emplo:��

el�opuesto�d

el�opuesto�de

Propiedade

rada:�la�difere

asociativa:�e

emplo:��

������������������nto:������

conmutativa

����������������nto: �����

ne�elemento

emplo:�

��������������

o�aditivo:�si� los:�

������������������������

El�invesumadcualqu

do�número�e

e��,�porque��e����,�porqu

es�de�la�resta

encia�de�dos�

n�general,�si�

��������������������������

a:�en�general,

��� �� ��������

o�neutro:�en�g

���������

� �

������������������������

erso�aditivo�ddo�con�él�seuiera,�su�inver

entero���tien

��������ue��������

a�números�e

números�en

� ����

��������������������������

�si�������

������, ya

general,�si� �

��.�

��.���.���.�

de�un�númeroe�obtiene�el�rso�aditivo�se

32�

ne�asociado�

������������������

enteros�

teros�es�un�n

������

���. ���. ���������

�������.�

que �����

� ���

o�entero�es�ocero.�Así,�s

e�representa�

a�él�un�núme

��.������.�

número�ente

�� ����

���, ya que �

����.

�� � .�

otro�número�si���es�un�npor����.�

ero�entero��

ro.�

���

���������

entero,�tal�qnúmero�ente

��,�de�tal�form

�.

ue�ero�

ma�

algebra_FINAL17x23.pdf 3227/11/2014 10:50:57 a.m.

Inversque��

Por�eje

���es����es�e�

1.5.2.�

Es�cerr

No�es�a

Por�eje

���� ������Por ta

No�es�c

����� ����� �Por ta

No�tien

Por�eje

���� �� � � ��

Invers

Ejemp

���� ����� ����� �

o�aditivo:�to��� � �.��

emplo:��

el�opuesto�d

el�opuesto�de

Propiedade

rada:�la�difere

asociativa:�e

emplo:��

� ����� � ��� ����� � ��nto:����� �

conmutativa

� ���� � ��� ���� � ��nto: ���� �

ne�elemento

emplo:�

� � � � � ��� � � � � ��

o�aditivo:�si� los:�

� ���� � ��� ���� � ��� ���� � ��

El�invesumadcualqu

do�número�e

e��,�porque��e����,�porqu

es�de�la�resta

encia�de�dos�

n�general,�si�

���� � ������� � ��������� � ���

a:�en�general,

��� �� ���� � ���

o�neutro:�en�g

��� � �����

� �

�� � ���� ��� � ���� ��� � ���� �

erso�aditivo�ddo� con� él� seuiera,�su�inver

entero���tien

���� � � � �ue��� � ����

a�números�e

números�en

� � �� �

� ���� � ��� ���� � ����� � ����� �

�si�� � � � ��

� � ����, ya

general,�si� �

� �.�

� �.�� �.�� �.�

de�un�númeroe� obtiene� el�rso�aditivo�se

32�

ne�asociado�

��� � ���� ��� � ����� �

enteros�

teros�es�un�n

� �� � ��

���. ���. � ����� � ��

�� � ����.�

que ���� �

� � � �

o�entero�es�ocero.� Así,� s

e�representa�

a�él�un�núme

� �.�� �� � �.�

número�ente

� � � �� �

���, ya que �

� ���.

� � � .�

otro�número�si���es� un� npor����.�

ero�entero��

ro.�

���

���� � ����

entero,�tal�qnúmero� ente

��,�de�tal�form

�.

ue�ero�

ma�

algebra_FINAL17x23.pdf 32 27/11/2014 10:50:57 a.m.

Inversque��

Por�eje

���es����es�e�

1.5.2.�

Es�cerr

No�es�a

Por�eje

����������Por ta

No�es�c

�����������Por ta

No�tien

Por�eje

����������

Invers

Ejemp

���������������

o�aditivo:�to�����.��

emplo:��

el�opuesto�d

el�opuesto�de

Propiedade

rada:�la�difere

asociativa:�e

emplo:��

������������������nto:������

conmutativa

����������������nto: �����

ne�elemento

emplo:�

��������������

o�aditivo:�si� los:�

������������������������

El�invesumadcualqu

do�número�e

e��,�porque��e����,�porqu

es�de�la�resta

encia�de�dos�

n�general,�si�

��������������������������

a:�en�general,

��� �� ��������

o�neutro:�en�g

���������

� �

������������������������

erso�aditivo�ddo�con�él�seuiera,�su�inver

entero���tien

��������ue��������

a�números�e

números�en

� ����

��������������������������

�si�������

������, ya

general,�si� �

��.�

��.���.���.�

de�un�númeroe�obtiene�el�rso�aditivo�se

32�

ne�asociado�

������������������

enteros�

teros�es�un�n

������

���. ���. ���������

�������.�

que �����

� ���

o�entero�es�ocero.�Así,�s

e�representa�

a�él�un�núme

��.������.�

número�ente

�� ����

���, ya que �

����.

�� � .�

otro�número�si���es�un�npor����.�

ero�entero��

ro.�

���

���������

entero,�tal�qnúmero�ente

��,�de�tal�form

�.

ue�ero�

ma�

algebra_FINAL17x23.pdf 3227/11/2014 10:50:57 a.m.

33��

1.5.3.�Propiedades�de�la�multiplicación�de�números�enteros�

Ley�de�composición�interna:�al�multiplicar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número�entero.�Simbólicamente:�si���������������.���

Asociativa:�si�para�todo��������������������������.�Por�ejemplo:��

���������������������������������.�Para�comprobar:��

����������������������������.����������������������������.�Por�tanto:������������������������������������ya�que��������.��

Conmutativa:�si�para�todo����������������.���Por�ejemplo:��

������� ���� ������.���Para�comprobar:�

������� ��� .��� �������� .���Por�tanto:�������� ���� �������ya�que�� �� .��

Elemento�neutro,�el�����:�para�todo�����������������������.�����Por�ejemplo:�

����������������������.��Distributiva�de�la�multiplicación�respecto�de�la�suma:�para�todo���������������������������������.�������Por�ejemplo:�

����������������������������������������.�Para�comprobar�resultados:�

������������������������������.��������������������������������.��

algebra_FINAL17x23.pdf 3327/11/2014 10:50:57 a.m.

33��

1.5.3.�Propiedades�de�la�multiplicación�de�números�enteros�

Ley�de�composición�interna:�al�multiplicar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número�entero.�Simbólicamente:�si��� �� � ��� � � � � ��.���

Asociativa:�si�para�todo��� �� �� � ��� �� � �� � � � � � �� � ��.�Por�ejemplo:��

����� � ����� � ���� � ���� � ����� � �����.�Para�comprobar:��

����� � ����� � ���� � �� � ���� � ���.����� � ����� � ����� � ���� � � � ���.�Por�tanto:������� � ����� � ���� � ���� � ����� � ������ya�que���� � ���.��

Conmutativa:�si�para�todo��� �� � ��� � � � � � � �.���Por�ejemplo:��

���� � �� � � �� � � ����.���Para�comprobar:�

���� � �� � � � .��� � � ���� � � .���Por�tanto:����� � �� � � �� � � �����ya�que�� � � .��

Elemento�neutro,�el�����:�para�todo�� � ������ � ���� � ���� � � � �.�����Por�ejemplo:�

���� � ���� � ���� � ���� � ��.��Distributiva� de� la� multiplicación� respecto� de� la� suma:� para� todo��� �� �� � ������� � �� � �� ��� � �� � �� � ��.�������Por�ejemplo:�

���� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � �����.�Para�comprobar�resultados:�

���� � ����� � ����� � ���� � ����� � ��.������ � ����� � ����� � ����� � � � �� � ��.��

algebra_FINAL17x23.pdf 33 27/11/2014 10:50:57 a.m.

34��

Distributiva� de� la� multiplicación� respecto� de� la� sustracción:� para� todo��� �� �� � ������������ ��� � �� � �� � �� � �� � ��.�Por�ejemplo:�

���� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � �����.�Para�comprobar�resultados:�

���� � ����� � ����� � ���� � ��� � �� � ���� � � ���.������ � ����� � ����� � ����� � � � � ���.��

� �

algebra_FINAL17x23.pdf 34 27/11/2014 10:50:57 a.m.

34��

Distributiva�de�la�multiplicación�respecto�de�la�sustracción:�para�todo��������������������������������������.�Por�ejemplo:�

����������������������������������������.�Para�comprobar�resultados:�

���������������������������������� ����.�������������������������������.��

��

algebra_FINAL17x23.pdf 3427/11/2014 10:50:57 a.m.


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