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INICIACIÓN AL ÁLGEBRA ELEMENTAL
Flor M. Rodríguez VásquezCatalina Navarro SandovalElika S. Maldonado Mejía
Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía
Luis A. Campistrous PérezCelia R. Rizo Cabrera
INICIACIÓN AL ÁLGEBRA ELEMENTAL
Flor M. Rodríguez VásquezCatalina Navarro SandovalElika S. Maldonado Mejía
Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía
Luis A. Campistrous PérezCelia R. Rizo Cabrera
Primera edición: 2015
© Flor M. Rodríguez Vásquez Catalina Navarro Sandoval Elika S. Maldonado Mejía Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía Luis A. Campistrous Pérez Celia R. Rizo Cabrera© Ediciones Díaz de Santos, S. A.
Reservados todos los derechos.
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.
Ediciones D. D. S. MéxicoCuicuilco 29C, col. Letrán Valle, C. P. 03650Delegación Benito Juárez, México, D. F.jnic[email protected]://www.diazdesantosmexico.com.mx/
Ediciones Díaz de SantosC/ Albasanz 2, 28037, Madrid, Españ[email protected]:/www.editdiazdesantos.com
ISBN: 978-84-9969-758-1
Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco.
Impreso en México/Printed in Mexico
Primera edición: 2015
© Flor M. Rodríguez Vásquez Catalina Navarro Sandoval Elika S. Maldonado Mejía Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía Luis A. Campistrous Pérez Celia R. Rizo Cabrera© Ediciones Díaz de Santos, S. A.
Reservados todos los derechos.
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.
Ediciones D. D. S. MéxicoCuicuilco 29C, col. Letrán Valle, C. P. 03650Delegación Benito Juárez, México, D. F.jnic[email protected]://www.diazdesantosmexico.com.mx/
Ediciones Díaz de SantosC/ Albasanz 2, 28037, Madrid, Españ[email protected]:/www.editdiazdesantos.com
ISBN: 978-84-9969-758-1
Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco.
Impreso en México/Printed in Mexico
Primera edición: 2016
Primera edición: 2015
© Flor M. Rodríguez Vásquez Catalina Navarro Sandoval Elika S. Maldonado Mejía Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía Luis A. Campistrous Pérez Celia R. Rizo Cabrera© Ediciones Díaz de Santos, S. A.
Reservados todos los derechos.
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.
Ediciones D. D. S. MéxicoCuicuilco 29C, col. Letrán Valle, C. P. 03650Delegación Benito Juárez, México, D. F.jnic[email protected]://www.diazdesantosmexico.com.mx/
Ediciones Díaz de SantosC/ Albasanz 2, 28037, Madrid, Españ[email protected]:/www.editdiazdesantos.com
ISBN: 978-84-9969-758-1
Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco.
Impreso en México/Printed in Mexico
Primera edición: 2015
© Flor M. Rodríguez Vásquez Catalina Navarro Sandoval Elika S. Maldonado Mejía Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía Luis A. Campistrous Pérez Celia R. Rizo Cabrera© Ediciones Díaz de Santos, S. A.
Reservados todos los derechos.
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.
Ediciones D. D. S. MéxicoCuicuilco 29C, col. Letrán Valle, C. P. 03650Delegación Benito Juárez, México, D. F.jnic[email protected]://www.diazdesantosmexico.com.mx/
Ediciones Díaz de SantosC/ Albasanz 2, 28037, Madrid, Españ[email protected]:/www.editdiazdesantos.com
ISBN: 978-84-9969-758-1
Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco.
Impreso en México/Printed in Mexico
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Contenido�
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���������..................................................................................................................................�13�
TEMA�1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR�Y�SUS�OPUESTOS�..........................................................�15�
SUBTEMA�1.1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR.�SIGNIFICADO�ORDINAL�Y�CARDINAL�........................................�16�SUBTEMA�1.2.�MÁS�DE�NÚMEROS�NATURALES�.....................................................................................�17�1.2.1.�PROPIEDADES�DE�LA�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�......................................................................�17�1.2.2.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�..........................................................�17�1.2.3.�SOBRE�LA�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES.............................................................................�18�1.2.4.�SOBRE�LA�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�...................................................................................�19�SUBTEMA�1.3.�OPUESTOS�DE�LOS�NÚMEROS�NATURALES.�LOS�NÚMEROS�ENTEROS�......................................�21�SUBTEMA�1.4.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�........................................�24�1.4.1.�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.....................................................................................................�24�1.4.2.�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................................................�25�1.4.3.�OPERACIONES�COMBINADAS�DE�SUMAS�Y�RESTAS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�...........................................�27�1.4.4.�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.........................................................................................�28�1.4.5.�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�....................................................................................................�29�SUBTEMA�1.5.�PROPIEDADES�DE�LAS�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................�31�1.5.1.�PROPIEDADES�DE�LA�SUMA�DE�NÚMEROS�ENTEROS�............................................................................�31�1.5.2.�PROPIEDADES�DE�LA�RESTA�NÚMEROS�ENTEROS�.................................................................................�32�1.5.3.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................�33�
TEMA�2.�NÚMEROS�PARA�MEDIR�..............................................................................................�35�
SUBTEMA�2.1.�LOS�NÚMEROS�NATURALES�NO�SON�SUFICIENTES...............................................................�36�SUBTEMA�2.2.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�RACIONALES�Y�EXPRESIONES�DECIMALES.�PROPIEDADES�..............�39�2.2.1.�SUMA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�39�2.2.2.�SUMA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�40�2.2.3.�RESTA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�41�2.2.4.�RESTA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�42�
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Contenido�
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TEMA�1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR�Y�SUS�OPUESTOS�..........................................................�15�
SUBTEMA�1.1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR.�SIGNIFICADO�ORDINAL�Y�CARDINAL�........................................�16�SUBTEMA�1.2.�MÁS�DE�NÚMEROS�NATURALES�.....................................................................................�17�1.2.1.�PROPIEDADES�DE�LA�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�......................................................................�17�1.2.2.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�..........................................................�17�1.2.3.�SOBRE�LA�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES.............................................................................�18�1.2.4.�SOBRE�LA�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�...................................................................................�19�SUBTEMA�1.3.�OPUESTOS�DE�LOS�NÚMEROS�NATURALES.�LOS�NÚMEROS�ENTEROS�......................................�21�SUBTEMA�1.4.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�........................................�24�1.4.1.�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.....................................................................................................�24�1.4.2.�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................................................�25�1.4.3.�OPERACIONES�COMBINADAS�DE�SUMAS�Y�RESTAS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�...........................................�27�1.4.4.�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.........................................................................................�28�1.4.5.�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�....................................................................................................�29�SUBTEMA�1.5.�PROPIEDADES�DE�LAS�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................�31�1.5.1.�PROPIEDADES�DE�LA�SUMA�DE�NÚMEROS�ENTEROS�............................................................................�31�1.5.2.�PROPIEDADES�DE�LA�RESTA�NÚMEROS�ENTEROS�.................................................................................�32�1.5.3.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................�33�
TEMA�2.�NÚMEROS�PARA�MEDIR�..............................................................................................�35�
SUBTEMA�2.1.�LOS�NÚMEROS�NATURALES�NO�SON�SUFICIENTES...............................................................�36�SUBTEMA�2.2.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�RACIONALES�Y�EXPRESIONES�DECIMALES.�PROPIEDADES�..............�39�2.2.1.�SUMA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�39�2.2.2.�SUMA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�40�2.2.3.�RESTA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�41�2.2.4.�RESTA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�42�
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2.2.5.�MULTIPLICACIÓN��DE�FRACCIONES�...................................................................................................�43�2.2.6.�DIVISIÓN�DE�FRACCIONES�..............................................................................................................�44�SUBTEMA�2.3.�IGUALDAD�DE�RAZONES.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES,�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES.�PORCENTAJES�............................................................................................................�45�2.3.1.�IGUALDAD�DE�RAZONES�.................................................................................................................�45�2.3.2.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES�..............................................................................................�45�2.3.3.�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES�........................................................................................�46�2.3.4.�PORCENTAJES�..............................................................................................................................�46�
TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49�
SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50�3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50�3.1.2.�OPERACIONES�EN���.....................................................................................................................�51�3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51�3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53�SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,�CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56�3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56�3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59�
PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�1�.........................................................................................�64�
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TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71�
SUBTEMA�4.1.�LENGUAJE�COMÚN�Y�LENGUAJE�ALGEBRAICO�...................................................................�72�SUBTEMA�4.2.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS,�VALORES�INADMISIBLES.�DOMINIO�...........................................�74�SUBTEMA�4.3.�TÉRMINOS,�COEFICIENTES,�PARTE�LITERAL.�TÉRMINOS�SEMEJANTES,�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�
SEMEJANTES�.................................................................................................................................�76�4.3.1.�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�SEMEJANTES�...........................................................................................�77�4.3.2.�SUSTITUCIÓN,�VALOR�DE�UN�TÉRMINO�.............................................................................................�77�SUBTEMA�4.4.�OPERACIONES�CON�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................�79�4.4.1�SUMA�Y�RESTA�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�....................................................................................�79�4.4.2�MULTIPLICACIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................................�79�4.4.3�DIVISIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�...........................................................................................�80�
TEMA�5.�POLINOMIOS�Y�OPERACIONES�.....................................................................................�83�
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2.2.5.�MULTIPLICACIÓN��DE�FRACCIONES�...................................................................................................�43�2.2.6.�DIVISIÓN�DE�FRACCIONES�..............................................................................................................�44�SUBTEMA�2.3.�IGUALDAD�DE�RAZONES.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES,�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES.�PORCENTAJES�............................................................................................................�45�2.3.1.�IGUALDAD�DE�RAZONES�.................................................................................................................�45�2.3.2.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES�..............................................................................................�45�2.3.3.�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES�........................................................................................�46�2.3.4.�PORCENTAJES�..............................................................................................................................�46�
TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49�
SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50�3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50�3.1.2.�OPERACIONES�EN���.....................................................................................................................�51�3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51�3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53�SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,�CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56�3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56�3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59�
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TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71�
SUBTEMA�4.1.�LENGUAJE�COMÚN�Y�LENGUAJE�ALGEBRAICO�...................................................................�72�SUBTEMA�4.2.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS,�VALORES�INADMISIBLES.�DOMINIO�...........................................�74�SUBTEMA�4.3.�TÉRMINOS,�COEFICIENTES,�PARTE�LITERAL.�TÉRMINOS�SEMEJANTES,�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�
SEMEJANTES�.................................................................................................................................�76�4.3.1.�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�SEMEJANTES�...........................................................................................�77�4.3.2.�SUSTITUCIÓN,�VALOR�DE�UN�TÉRMINO�.............................................................................................�77�SUBTEMA�4.4.�OPERACIONES�CON�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................�79�4.4.1�SUMA�Y�RESTA�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�....................................................................................�79�4.4.2�MULTIPLICACIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................................�79�4.4.3�DIVISIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�...........................................................................................�80�
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TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49�
SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50�3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50�3.1.2.�OPERACIONES�EN���.....................................................................................................................�51�3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51�3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53�SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,�CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56�3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56�3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59�
PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�1�.........................................................................................�64�
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TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71�
SUBTEMA�4.1.�LENGUAJE�COMÚN�Y�LENGUAJE�ALGEBRAICO�...................................................................�72�SUBTEMA�4.2.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS,�VALORES�INADMISIBLES.�DOMINIO�...........................................�74�SUBTEMA�4.3.�TÉRMINOS,�COEFICIENTES,�PARTE�LITERAL.�TÉRMINOS�SEMEJANTES,�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�
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TEMA�5.�POLINOMIOS�Y�OPERACIONES�.....................................................................................�83�
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2.2.5.�MULTIPLICACIÓN��DE�FRACCIONES�...................................................................................................�43�2.2.6.�DIVISIÓN�DE�FRACCIONES�..............................................................................................................�44�SUBTEMA�2.3.�IGUALDAD�DE�RAZONES.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES,�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES.�PORCENTAJES�............................................................................................................�45�2.3.1.�IGUALDAD�DE�RAZONES�.................................................................................................................�45�2.3.2.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES�..............................................................................................�45�2.3.3.�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES�........................................................................................�46�2.3.4.�PORCENTAJES�..............................................................................................................................�46�
TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49�
SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50�3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50�3.1.2.�OPERACIONES�EN���.....................................................................................................................�51�3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51�3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53�SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,�CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56�3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56�3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59�
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TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71�
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SEMEJANTES�.................................................................................................................................�76�4.3.1.�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�SEMEJANTES�...........................................................................................�77�4.3.2.�SUSTITUCIÓN,�VALOR�DE�UN�TÉRMINO�.............................................................................................�77�SUBTEMA�4.4.�OPERACIONES�CON�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................�79�4.4.1�SUMA�Y�RESTA�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�....................................................................................�79�4.4.2�MULTIPLICACIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................................�79�4.4.3�DIVISIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�...........................................................................................�80�
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SUBTEMA�5.1.�MONOMIOS�Y�POLINOMIOS.�GRADO�DE�UN�MONOMIO�Y�DE�UN�POLINOMIO�..........................�84�SUBTEMA�5.2.�OPERACIONES�CON�POLINOMIOS�...................................................................................�86�5.2.1.�SUMA�Y�RESTA�DE�POLINOMIOS�......................................................................................................�87�5.2.2.�MULTIPLICACIÓN�DE�POLINOMIOS�...................................................................................................�90�5.2.3.�DIVISIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................................................�93�SUBTEMA�5.3.�PRODUCTOS�NOTABLES�...............................................................................................�96�5.3.1.�CUADRADO�DE�UN�BINOMIO�..........................................................................................................�97�5.3.2.�CUADRADO�DE�LA�DIFERENCIA�DE�UN�BINOMIO�.................................................................................�99�5.3.3.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CON�UN�TÉRMINO�COMÚN�.................................................................�102�5.3.4.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CONJUGADOS�..................................................................................�104�5.3.5.�BINOMIOS�CON�TÉRMINO�SEMEJANTE�............................................................................................�106�5.3.6.�TRINOMIO�AL�CUADRADO�............................................................................................................�108�5.3.7.�CUBO�DE�UN�BINOMIO�................................................................................................................�109�5.3.7.�SUMA�DE��DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�...............................................................................................�112�5.3.8.�RESTA�DE�DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�................................................................................................�112�5.3.9.�MULTIPLICACIÓN�DE�DOS�BINOMIOS�CUALESQUIERA�........................................................................�113�SUBTEMA�5.4.�DIVISIÓN�SINTÉTICA�DE�POLINOMIOS.�REGLA�DE�RUFFINI�..................................................�115�
TEMA�6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................�119�
SUBTEMA�6.1.�LA�DESCOMPOSICIÓN�EN�FACTORES�DE�NÚMEROS�ENTEROS�...............................................�120�SUBTEMA�6.2.�EL�USO�DE�UN�FACTOR�COMÚN�PARA�DESCOMPONER�EN�FACTORES�.....................................�121�SUBTEMA�6.3.�FACTORIZACIÓN�DE�BINOMIOS:�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�Y�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�..�124�6.3.1.�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�........................................................................................................�124�6.3.2.�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�.....................................................................................................�124�SUBTEMA�6.4.�FACTORIZACIÓN�DE�TRINOMIOS:�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�Y�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..�126�6.5.1.�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�..................................................................................................�126�6.5.2.�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..............................................................................................................�126�SUBTEMA�6.6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�DE�CUATRO�O�MÁS�TÉRMINOS.�USO�DE�LA�REGLA�DE�RUFFINI�.�127�
TEMA�7.�FRACCIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�131�
SUBTEMA�7.1.�FRACCIÓN�ALGEBRAICA,�NUMERADOR,�DENOMINADOR�Y�SIGNO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA132�SUBTEMA�7.2.�FRACCIONES�EQUIVALENTES,�SIMPLIFICACIÓN�DE�FRACCIONES�............................................�134�SUBTEMA�7.3.�DOMINIO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA.�VALOR�NUMÉRICO�...........................................�135�
PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�2�................................................................................�139�
ALGO�QUE�DEBES�SABER.�TÉCNICAS�DE�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.....................................�143�
ALGUNOS�CONSEJOS�PARA�RESOLVER�PROBLEMAS�...............................................................................�143�
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SUBTEMA�5.1.�MONOMIOS�Y�POLINOMIOS.�GRADO�DE�UN�MONOMIO�Y�DE�UN�POLINOMIO�..........................�84�SUBTEMA�5.2.�OPERACIONES�CON�POLINOMIOS�...................................................................................�86�5.2.1.�SUMA�Y�RESTA�DE�POLINOMIOS�......................................................................................................�87�5.2.2.�MULTIPLICACIÓN�DE�POLINOMIOS�...................................................................................................�90�5.2.3.�DIVISIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................................................�93�SUBTEMA�5.3.�PRODUCTOS�NOTABLES�...............................................................................................�96�5.3.1.�CUADRADO�DE�UN�BINOMIO�..........................................................................................................�97�5.3.2.�CUADRADO�DE�LA�DIFERENCIA�DE�UN�BINOMIO�.................................................................................�99�5.3.3.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CON�UN�TÉRMINO�COMÚN�.................................................................�102�5.3.4.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CONJUGADOS�..................................................................................�104�5.3.5.�BINOMIOS�CON�TÉRMINO�SEMEJANTE�............................................................................................�106�5.3.6.�TRINOMIO�AL�CUADRADO�............................................................................................................�108�5.3.7.�CUBO�DE�UN�BINOMIO�................................................................................................................�109�5.3.7.�SUMA�DE��DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�...............................................................................................�112�5.3.8.�RESTA�DE�DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�................................................................................................�112�5.3.9.�MULTIPLICACIÓN�DE�DOS�BINOMIOS�CUALESQUIERA�........................................................................�113�SUBTEMA�5.4.�DIVISIÓN�SINTÉTICA�DE�POLINOMIOS.�REGLA�DE�RUFFINI�..................................................�115�
TEMA�6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................�119�
SUBTEMA�6.1.�LA�DESCOMPOSICIÓN�EN�FACTORES�DE�NÚMEROS�ENTEROS�...............................................�120�SUBTEMA�6.2.�EL�USO�DE�UN�FACTOR�COMÚN�PARA�DESCOMPONER�EN�FACTORES�.....................................�121�SUBTEMA�6.3.�FACTORIZACIÓN�DE�BINOMIOS:�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�Y�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�..�124�6.3.1.�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�........................................................................................................�124�6.3.2.�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�.....................................................................................................�124�SUBTEMA�6.4.�FACTORIZACIÓN�DE�TRINOMIOS:�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�Y�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..�126�6.5.1.�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�..................................................................................................�126�6.5.2.�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..............................................................................................................�126�SUBTEMA�6.6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�DE�CUATRO�O�MÁS�TÉRMINOS.�USO�DE�LA�REGLA�DE�RUFFINI�.�127�
TEMA�7.�FRACCIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�131�
SUBTEMA�7.1.�FRACCIÓN�ALGEBRAICA,�NUMERADOR,�DENOMINADOR�Y�SIGNO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA132�SUBTEMA�7.2.�FRACCIONES�EQUIVALENTES,�SIMPLIFICACIÓN�DE�FRACCIONES�............................................�134�SUBTEMA�7.3.�DOMINIO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA.�VALOR�NUMÉRICO�...........................................�135�
PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�2�................................................................................�139�
ALGO�QUE�DEBES�SABER.�TÉCNICAS�DE�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.....................................�143�
ALGUNOS�CONSEJOS�PARA�RESOLVER�PROBLEMAS�...............................................................................�143�
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10��
¿SABÍAS�QUÉ…�HAY�DIFERENCIAS�ENTRE�LOS�EJERCICIOS�Y�LOS�PROBLEMAS?�............................................�144�¿CÓMO�ENFRENTARSE�A�UN�PROBLEMA?�..........................................................................................�145�ETAPAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.......................................................................................�146�DESCRIPCIÓN�DE�TÉCNICAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�...............................................................�147�ANÁLISIS�DE�ALGUNAS�ESTRATEGIAS�.................................................................................................�150�ALGUNOS�CONSEJOS�QUE�TE�AYUDARÁN�A�PENSAR�MEJOR�....................................................................�151�LOS�AUTORES�..............................................................................................................................�152��
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11��
�
Prólogo�El�presente�libro�está�especialmente�dedicado�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que�quieren�iniciar�sus�estudios�en�álgebra�elemental,�así�como�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que�deben�fortalecer�sus�conocimientos�en�dicha�área�de�la�matemática.�
Hemos�considerado�diferentes�estilos�de�enseñanza�que�deben�ser�suscitados�en�el�proceso�educativo�y,�asimismo,�acudimos�a��investigaciones�en�didáctica�sobre�álgebra�elemental.�
La�obra�se�ha�organizado�en�dos�bloques,�de�tal�forma�que�pueda�orientar�y�reforzar�sobre:�
� Bloque�1.�Estructuras�numéricas:�naturales,�enteros,�racionales,�reales.��� Bloque�2.�Estructuras�algebraicas�básicas:�productos�notables,�factorización�y�operaciones�
con�polinomios.��
�
Cada��bloque�está�estructurado�por�temas�y�subtemas,�y�al�final�se�presenta�una�sección�dedicada�a�las�técnicas�para�resolver�problemas�con�la�finalidad�de�que�ayuden�a�obtener�éxito�en�las�actividades�sugeridas.�El�principal�objetivo�es�proveer�al�lector�de�una�estructura�organizada�para�estimular�el�gusto�por�la�iniciación�en�el�estudio�del�álgebra�elemental,�así�como�coadyuvar�en�la�comprensión�de�los�temas.��
Por�último,�queremos�externar�nuestro�agradecimiento�total�por�el�trabajo�y�esfuerzo�al�Cuerpo�Académico�Educación�Matemática�UAGRO�CA�154,�así�como�a�los�colaboradores:�Yanet�Tejada,�Gustavo�Antero,�Miguel�Cervantes,�Javier�García,�Martha�Rivera,�Florida�Pastrana�y�Yadira�Villareal,�quienes�con�sus�conocimientos,�propuestas�y�dedicación�enriquecieron�el�texto.���
�
Esta�obra�fue�auspiciada�por�el�proyecto�Fortalecimiento�del�Cuerpo�Académico�“Educación�Matemática”�aprobado�por�el�Programa�de�Mejoramiento�del�Profesorado.�Subsecretaría�de�Educación�Superior.�Secretaría�de�Educación�Pública.�
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Prólogo�El�presente�libro�está�especialmente�dedicado�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que�quieren�iniciar�sus�estudios�en�álgebra�elemental,�así�como�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que�deben�fortalecer�sus�conocimientos�en�dicha�área�de�la�matemática.�
Hemos�considerado�diferentes�estilos�de�enseñanza�que�deben�ser�suscitados�en�el�proceso�educativo�y,�asimismo,�acudimos�a��investigaciones�en�didáctica�sobre�álgebra�elemental.�
La�obra�se�ha�organizado�en�dos�bloques,�de�tal�forma�que�pueda�orientar�y�reforzar�sobre:�
� Bloque�1.�Estructuras�numéricas:�naturales,�enteros,�racionales,�reales.��� Bloque�2.�Estructuras�algebraicas�básicas:�productos�notables,�factorización�y�operaciones�
con�polinomios.��
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Cada��bloque�está�estructurado�por�temas�y�subtemas,�y�al�final�se�presenta�una�sección�dedicada�a�las�técnicas�para�resolver�problemas�con�la�finalidad�de�que�ayuden�a�obtener�éxito�en�las�actividades�sugeridas.�El�principal�objetivo�es�proveer�al�lector�de�una�estructura�organizada�para�estimular�el�gusto�por�la�iniciación�en�el�estudio�del�álgebra�elemental,�así�como�coadyuvar�en�la�comprensión�de�los�temas.��
Por�último,�queremos�externar�nuestro�agradecimiento�total�por�el�trabajo�y�esfuerzo�al�Cuerpo�Académico�Educación�Matemática�UAGRO�CA�154,�así�como�a�los�colaboradores:�Yanet�Tejada,�Gustavo�Antero,�Miguel�Cervantes,�Javier�García,�Martha�Rivera,�Florida�Pastrana�y�Yadira�Villareal,�quienes�con�sus�conocimientos,�propuestas�y�dedicación�enriquecieron�el�texto.���
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Esta�obra�fue�auspiciada�por�el�proyecto�Fortalecimiento�del�Cuerpo�Académico�“Educación�Matemática”�aprobado�por�el�Programa�de�Mejoramiento�del�Profesorado.�Subsecretaría�de�Educación�Superior.�Secretaría�de�Educación�Pública.�
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�
�Sabías
sirven�tercer�
Por�otsiglos�ecuacillegaro
En�un�que�seXVII�y�Xmatemsu�usorealiza
A�pesade�la�hsu�necrepres
Situaprob
Numerac
TEMA�1(���
�que…�
para�ordenahijo�en�tu�fam
ro�lado,�en�cI�y�II�a.�C.�ones)�y�se�uon�a�ser�cono
principio,�a�loe�les�denominXVIII�tanto�sumáticos�siguieo�hasta�princada�por�Weie
ar�de�las�difichistoria,�hoy�cesidad�para�sentar�deuda
ación�blema�
Píde“adipuntanteúltimdadocuyapunt
ión�en�tablilla�cun
1.�LOS�N�����������
ar.�Por�ejemmilia,�entre�o
cuanto�a�los�en�China�yausaban�las�rocidos�sino�ha
os�números�naba�como�fu�concepto�coeron�inventaipios�del�XIX.rstrass�a�med
ultades�que�día�nadie�duinterpretar�s,�temperatu
ele�a�un�comvinar”�los�númtos�del�primeerior;�4)�sumamo�resultado;�o�al�productoas�centenas�sotos�del�segund
eiforme�babilónic
ÚMEROS�P���������
Los�númdistintas�de�ordenen�el�trefectuar�consecuenumeracfueron���cero.�Loobjetos�pcuando�d���días”,municipiodetermin
Los�númplo:�decimos
otros�casos.�
números�ena�se�utilizabreglas�operaasta�la�alta�Ed
negativos�nofalsos,�ficticioomo�fundamndo�justificac.�Su�construcdiados�del�sig
representó�euda�de�su�exiy�representauras�por�deba
pañero�que�lmeros�pídele�qr�dado;�2)�sumar����al�produc6)�multiplicar
o�anterior;�8)�on�los�puntosdo�dado,�y�las�
a��
15�
PARA�CON���������
eros�naturalcivilizacione
nar�son�las�mratamiento�
conteos,�encia�que�ión�para�re������������s�números�npresentes�endecimos�“ten,�“tengo����aos”,�estamonar�cuántos�o
eros�naturales�que�mayo�
teros,�de�acuan�los�númetivas�de�los�dad�Media,�a
o�se�les�reconos,�absurdosmentación�lógciones,�miencción�formal�glo�XIX.��
el�reconocimistencia�comoar�diversas�sajo�de�cero,�e
lance�3�dadoque�realice�lo�mar���al�resulcto�anterior;�r�por����la�sumrestar����.�E
s�del�primer�dunidades�son�
NTAR�Y�SU�����������
les�son�los�pes,�debido�a�más�elementade�las�cantdesde�la�el�hombre
epresentarlos�����,�y�mucnaturales�fun�la�naturalengo������hermaños”,�“el�esos�utilizandoobjetos�hay.�
es,�además�des�el�quinto
uerdo�con�daeros�negativsignos;�en�
a�través�de�lo
nocía�como�n,�imposibles.gica�no�estabtras�que�otro�a�partir�de�
iento�de�los�no�modelo�masituaciones�centre�otras).�
os�y�no�te�disiguiente:�1)�mtado�anterior5)�sumar�los�ma�anterior;�7)l�resultado�qu
dado,�las�decelos�puntos�de
US�OPUES��������)
primeros�queque�las�tareales�que�se�ptidades.�La�antigüedad,
e�inventara�s.�Los�primcho�más�tareron�creadoeza,�de�ahí�smanos”,�“un�stado�de�Gueo�números�n
de�ayudarnoo�mes�del�añ
atos�históricvos�(como�cEuropa�estos�textos�árab
números�verd.�Todavía�durban�claros,�aos�seguían�prlos�números
números�negatemático,�yotidianas�(so
ga�el�resultamultiplicar�porr;�3)�multiplicapuntos�del�se)�sumar�los�pue�se�obtieneenas�se�corresel�tercer�dado.
STOS�)�
e�surgen�en�eas�de�contapueden�realiznecesidad�
,�tuvo�comsistemas�
meros�númerrde�apareció�os�para�contu�nombre.�Ames�tiene���errero�tiene�naturales�pa
s�a�contar,�nño,�que�eres
os,�durante�coeficientes�os�números�bes.�
daderos,�porrante�los�sigasí�que�algunrotestando�ps�naturales,�f
gativos�a�trav�menos�aún�obre�todo�pa
do.�Ahora�par���el�número�ar�por���la�sumegundo�dado�untos�del�terce�es�un�númesponden�con�l�Compruébalo
las�r�y�zar�de�mo�de�ros��el�tar�Así,���o����ara�
nos�s�el�
los�de�no�
r�lo�los�nos�por�fue�
vés�de�ara�
ara�de�ma�al�
cer�ero�los�o.�
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2)
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4)
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Por�lo�
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Así,�el�
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Origer
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��no�poseeSi��� � ��,�eSi���pertensu�sucesor�números�na
general,�el�co
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a�construcciódad.�Para�inirilla�derecha�
és�se�transp�,� repitiendoa�semirrecta
conjunto�de�
en�o�punto�de�eferencia�
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mero�natural
ero�natural����antecesor,�e
entonces�� �ece�a�un�con���está�en�eaturales.��
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orta�el�segmo�esta�opera�de�los�núme
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os�para�co�como�númenatural� correúmeros� natur
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posee�un�suc
es�decir,�en�lo
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16�
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meros�naturaentonces�est
naturales�se�r
denan�y�se�re
un�punto,�al�qcamos�un�extos�con�el�núm
�en�el���y�a�prcan� los�núms.��
finito�y�podem
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es��� � �).�no�hay�un���t
ales�y�siempre�conjunto�e
representa�p
presentan�so
que�le�llamamtremo�en�el�mero��.�
partir�del�unomeros�natural
mos�represen
����� ��� �
rdinal�y�casegundo,�tercelementos�der� los� siguient
tal�que�� � �
re�que���estáes�el� conjunt
or�el�símbolo
obre�la�semir
mos�origen,�origen�y�en�d
o�se�marca�eles� sucesivos
ntarlo�como:
ardinal�cero…)�y�come�un� conjunttes�Axiomas�
�sea��.��
�en�el�conjunto�de� todos�
o��.��rrecta�numér
�y�un�segmendonde�llegue
el�otro�extrems�hasta� llega
:��
mo�o).��de�
nto��los�
rica�
nto�e�la�
mo�r�a�
�
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�
SubteLos�núnúmerUna�foPeano:
1)
2)
3)
4)
5)
Por�lo�
Regulacomo�s
�
�
Para�lade�uniotra�or
Despucon�el�tener�l
Así,�el�
�����
�
Origer
ema�1.1.�Lúmeros������ros�cardinaleorma�de�con:�
��es�un�númCada�núme
��no�poseeSi������,�eSi���pertensu�sucesor�números�na
general,�el�co
armente�los�nse�muestra�a
a�construcciódad.�Para�inirilla�derecha�
és�se�transp�,�repitiendoa�semirrecta
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en�o�punto�de�eferencia�
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nstruir�los�nú
mero�natural
ero�natural����antecesor,�e
entonces���ece�a�un�con���está�en�eaturales.��
onjunto�de�lo
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ón�de�ésta,�pciar�la�constrdel�segment
orta�el�segmo�esta�opera�de�los�núme
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���
os�para�co�como�númenatural�correúmeros�natur
.�
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algebra_FINAL17x23.pdf 1627/11/2014 10:50:56 a.m.
17��
Subtema�1.2.�Más�de�números�naturales�En�los�números�naturales�sólo�están�definidas�las�operaciones�de�adición�y�multiplicación.�Cuando�se�suman�o�se�multiplican�dos�números�naturales,�el�resultado�es�otro�número�natural,�esto�significa�que�la�operación�es�cerrada,�por�ejemplo:�
�
Suma����������
Multiplicación���������������
1.2.1.�Propiedades�de�la�adición�de�números�naturales��
La�adición�de�números�naturales�cumple�las�siguientes�propiedades:��
Propiedad�asociativa:�si�������son�números�naturales�cualesquiera,�se�cumple�que�����������������.�Por�ejemplo:�
���������������.�Comprobación:��
������������� .���������������� .�Propiedad�conmutativa:�si�����son�números�naturales�cualesquiera,�se�cumple�que�������������������������.�Por�ejemplo:�
�������.���Comprobación:��
�������y�además������,�por�lo�que�se�verifica�la�propiedad�conmutativa.���
Elemento�neutro:�el���es�el�elemento�neutro�de�la�suma�de�enteros�porque,�cualquiera�que�sea�el�número�natural��,�se�cumple�que������.��Por�ejemplo:�
�����.��
1.2.2.�Propiedades�de�la�multiplicación�de�números�naturales�
La�multiplicación�de�números�naturales�cumple�las�propiedades�asociativa,�conmutativa,�elemento�neutro�y�distributiva�del�producto�respecto�de�la�suma.�
Propiedad�asociativa:�si�������son�números�naturales�cualesquiera,�se�cumple�que��������������������
algebra_FINAL17x23.pdf 1727/11/2014 10:50:56 a.m.
17��
Subtema�1.2.�Más�de�números�naturales�En� los� números� naturales� sólo� están� definidas� las� operaciones� de� adición� y� multiplicación.�Cuando�se�suman�o�se�multiplican�dos�números�naturales,�el�resultado�es�otro�número�natural,�esto�significa�que�la�operación�es�cerrada,�por�ejemplo:�
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Por�eje
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Propie� � � �Por�eje
� � � �Elemennúmer
Por�eje
� � � �Distribcumple
Por�eje
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1.2.3.�
Al� iguaejemp
Esto� ccomo:�
Es�impy�sustr
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Sobre�la�sus
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na� operación
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Minuendo
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o�de�la�multi�
ma:�si��� �� ��s
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d�se�cumple.�
naturales��
ación�que� sees�se�comen��n� llamada� su
resta�se�llamos�coyotes).��
� �
o
ustraendo
comprueba.��
urales� cuale
iplicación�po
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ro�de�la�ecuac
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man�minuendo
Resultado�
squiera,� se�
rque,�cualqu
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a�operación�gallinas�nos�q
resta,� y� se� p
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de� contar.� Puedan?��
puede� expres
s�que�tenemo
que������������������
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Por�
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1.2.4.�
La�divientre�oEn�otra
Los�tésujetossobra)
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La�divi
Si�el�re
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La�divi
es�dife
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�
ta�no�cumple
emplo:�
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Sobre�la�div
sión�es�la�opotro�determias�palabras,�l
rminos�de�las),�cociente�().��
sión�también
esto�es�cero,�
División�
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�����
�������
������
sión�no�cump
erente�que����.
e�con�la�propi
�����.�Y�
visión�de�nú
eración�que�nado�númerla�división�co
a�división�se�(el�número�q
n�se�puede�re
la�división�se
exacta�
������
���
�������
ple�con�la�pro
.�
Divis
Resid
iedad�conmu
obviamente,
úmeros�natu
permite�repao�de�objetosnsiste�de�cal
llaman�divideue�le�corresp
epresentar�co
�llama�exacta
�
�
opiedad�conm
�
��������������������
sor�
duo��
19�
utativa,�es�de
,���es�diferen
urales�
artir�un�deter�o�sujetos�(dcular�cuántas
endo�(el�númponde�a�lo�q
�������
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omo:�����,���
a,�y�en�caso�c
Divis
�
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�
�
mutativa.�No
��� �
Cocie
D
cir,�����
nte�de���.�
rminado�númivisor�que�ties�veces�el�div
mero�de�objeue�se�reparti
�,������contrario,�es�
sión�inexacta
�������
���������
����������
����������
o�es�lo�mismo
ente�
Dividendo�
���.�
mero�de�objetene�que�ser�dividendo�cont
etos),�divisor�ió)�y�resto�o�
inexacta.��
a�
o������que���
�,��p
tos�(dividendistinto�de�certiene�al�diviso
(el�número�residuo�(lo�q
or�ejemplo,���
do)�ro).�or.��
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20��
EJERCICIOS�RESUELTOS�
1. Usando�las�propiedades�distributiva,�asociativa,�elemento�neutro�y�conmutativa,�resuelve�lo�siguiente�según�corresponda:�
Ejercicio� Solución�
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2. El� fin�de� semana� la�mamá�de� Juanito� compró���kg�de�naranjas�por����,���kg�de� fresa�por�����y���kg�de�manzana�por����.� ¿Cuál�fue�el�costo�de�cada�tipo�de�fruta�por�kilo?�¿Cuánto�gastó�en�las�frutas?�
Solución:�
Si� por���kg� de� naranjas� pagó����,� entonces� basta� con� dividir�����por���kg,� por� lo� que� el�kilogramo�de�naranja�costó���.�Ahora,�si�por���kg�de�fresa�se�pagó����,�entonces�el�kg�costó����.�Y�si�por���kg�de�manzanas�se�pagó����,�por�lo�que�el�kilo�costó����.�En�total�se�gastó:�
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20��
EJERCICIOS�RESUELTOS�
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2. El�fin�de�semana�la�mamá�de�Juanito�compró���kg�de�naranjas�por����,���kg�de�fresa�por�����y���kg�de�manzana�por����.�¿Cuál�fue�el�costo�de�cada�tipo�de�fruta�por�kilo?�¿Cuánto�gastó�en�las�frutas?�
Solución:�
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EJERCICIOS�RESUELTOS�
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Solución:�
Si� por���kg� de� naranjas� pagó����,� entonces� basta� con� dividir�����por���kg,� por� lo� que� el�kilogramo�de�naranja�costó���.�Ahora,�si�por���kg�de�fresa�se�pagó����,�entonces�el�kg�costó����.�Y�si�por���kg�de�manzanas�se�pagó����,�por�lo�que�el�kilo�costó����.�En�total�se�gastó:�
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EJERCICIOS�RESUELTOS�
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Solución:�
Si�por���kg�de�naranjas�pagó����,�entonces�basta�con�dividir�����por���kg,�por�lo�que�el�kilogramo�de�naranja�costó���.�Ahora,�si�por���kg�de�fresa�se�pagó����,�entonces�el�kg�costó����.�Y�si�por���kg�de�manzanas�se�pagó����,�por�lo�que�el�kilo�costó����.�En�total�se�gastó:�
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EJERCIC
1. Usaresu
a)
c)
e)
g)
i)
k)
2. Mi�������
¿Cuánt
¿Le�alc
¿Qué�o
3. Un�
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SubteEn�el�prepres
�
�
�Ahorapartir�enteroenterocero.�Pla�izqu
�
Origere
CIOS�PROPUEST
ando�las�prouelve�las�sigu
����������������������������������������
amigo�Jos���c/u,����ref��c/u�y������eto�dinero�llev
canzará�para�
operaciones�t
número�natu
ema�1.3.�Oprimer�subtesentar�sobre�
a�bien,�en�esde�los�númeos�positivos�os�negativos,Para�expresaierda�del�núm
n�o�punto�de�eferencia�
TOS�
opiedades�disuientes�opera
����
�������������������
���������������
nos�invitó�a�frescos�de���en�diversos�a
va�gastado�Jo
comprar�el�p
tiene�que�rea
ural�de�tres�c
Opuestos�dma�de�este�bla�recta�de�la
ste�subtema�eros�naturaley�se�distingu�que�son�los�r�el�sentido�dmero�natural
stributiva,�asaciones:���
��
��
�
�����
una�reunión���c/u,���paqartículos.�José
os��
pastel�(que�cu
alizar�para�ha
ifras�es����ve
de�los�númbloque�traba�manera�sigu
interesa�pres�que�ya�conuen�por�ser�opuestos�de
de�un�número.�
21�
sociativa�y�c
b) ���d) ����f) ����h) ����j) ���l) ���
n�para�celebruetes�de�vaé�cuenta�con
uesta�������cacer�el�cálculo
eces�la�suma�
meros�natuajamos�los�núuiente:�
esentar�los�onocemos,�a�lmayores�qu
e�los�númeroo�se�utilizan�
conmutativa�
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������������������������������
rar�su�cumplsos�de����c/u
n�������.�
con�el�resto�d
o�total?��
de�sus�cifras
urales.�Losúmeros�natu
opuestos�delo�cuales�tamue�el�cero,�sos�naturales�ylos�signos���
y�la�propied
���
�������������
�����������
leaños.�Compu,���paquete
del�dinero?��
s.�¿Cuál�es�el�n
s�números�urales,�los�cu
e�los�númerombién�se�les�se�construyey�además�soy� ,�los�cual
dad�del�neut
�������
��
pr�pizzas�s�de�platos�
número?�
enteros�ales�se�pued
�os�naturales.llama�númern�los�númern�menores�qes�se�colocan
tro�
��
de�de�
den�
.�A�ros�ros�que�n�a�
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EJERCIC
1. Usaresu
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Entonclos�núm
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�
�
�
�
�
�
Por� taenteronúmer
Los�núlo�sigu
1) 2)
3)
4)
�
Por�últ
Así:����
EJERCIC
1. Loc�
ces,�para�ubimeros��negat
anto,� a� los� nos�negativos�ros�enteros�y
úmeros�enteriente:��
Todo�númeEl���es�may
Si� un� númesea�su�símb
Si�un�númemenor�sea�
timo,�para�po
��� � ����� �
CIOS�PROPUEST
caliza�en�la�re
�� �
A�la�izquierdanúm
carlos�en�la�rtivos�y�positiv
números� entcomo���,�dey�es�represen
ros,�al�igual�q
ero�positivo�eyor�que�cualq
ero� es� positibolo�numéric
ero�entero�essu�símbolo�n
oder�expresa
�� � �� �� �
TOS�
ecta�los�siguie
���������� � ���
a�del�cero�ubicamomeros�negativos�
recta�numérvos�como�se�
teros� positive�modo�que�ltado�por��.��
que�los�núme
es�mayor�quequier�número
ivo,� es�mayoo.�
s�negativo,�enumérico.�
r�que�un�núm
�� �� � ����
entes�número
���� � � ��������
� �
El�número�de�
os�a�los�
22�
ica�partimos�muestra�en�l
vos� los� podea�unión�de������������������
�
eros�naturale
e��.��negativo.��
or� cuanto�ma
es�mayor�cua
mero�es�mayo
��� �� � ����
os:�
�� � ����������
�� � ��� � �
referencia��
de�un�puntola�siguiente�f
emos� denota��,����y�� rep
�
s,�están�orde
ayor�
anto�
or�que�otro,�s
��.���
��������� � ������
�
Así�reprenúmetambnúmenegaorden
A�la�derecha�denúmer
o�de�referencfigura:�
ar� por����y�presenta�el�c
enados,�por�l
se�utiliza�el�sí
�� � ����������
como�esentar� y� ubicaeros�naturales�enbién� podemos� uberos� enteros� potivos,� observan�y�posición.��
el�cero�ubicamos�aros�positivos�
cia,�y�ubicam
a� los� númerconjunto�de�l
o�que�cumpl
ímbolo��.�
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podemos�ar� a� los�n� la� recta,�bicar� a� los�ositivos� y�ndo� su�
a�los�
mos�
ros�los�
len�
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Entonclos�núm
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Así:����
EJERCIC
1. Loc�
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1. Loc�
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Todo�númeEl���es�may
Si� un� númesea�su�símb
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timo,�para�po
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r�que�un�núm
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os�a�los�
22�
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como�esentar� y� ubicaeros�naturales�enbién� podemos� uberos� enteros� potivos,� observan�y�posición.��
el�cero�ubicamos�aros�positivos�
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a� los� númerconjunto�de�l
o�que�cumpl
ímbolo��.�
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a�los�
mos�
ros�los�
len�
algebra_FINAL17x23.pdf 22 27/11/2014 10:50:56 a.m.
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Entonclos�núm
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Por�taenteronúmer
Los�núlo�sigu
1) 2)
3)
4)
�
Por�últ
Así:����
EJERCIC
1. Loc�
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anto,�a�los�nos�negativos�ros�enteros�y
úmeros�enteriente:��
Todo�númeEl���es�may
Si�un�númesea�su�símb
Si�un�númemenor�sea�
timo,�para�po
����������
CIOS�PROPUEST
caliza�en�la�re
���
A�la�izquierdanúm
carlos�en�la�rtivos�y�positiv
números�entcomo���,�dey�es�represen
ros,�al�igual�q
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ero�entero�essu�símbolo�n
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TOS�
ecta�los�siguie
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El�número�de�
os�a�los�
22�
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��������
referencia��
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�
s,�están�orde
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anto�
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Así�reprenúmetambnúmenegaorden
A�la�derecha�denúmer
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�
�¿Qué�e
�
2. Obsob
La�bas
El�faro
El�ancl
La�estr
La�tort
La�tort
3. En�lqupo
4. En�lsem
5. En�¿Su
6. Un�salal�m
7. En�deasc
8. La���
�
es�mayor:���
serva�el�dibubjetos�represe
e�del�helicóp
�está�a�_____
a�del�barco�e
rella�está�a��_
tuga�que�va�h
tuga�que�va�e
la�lista�de�losue�había�estaosición?�
la�tabla�de�lamana.�Anteri
la�lista�de�loubió�o�bajó?�¿
día,�en�la�relida�del�sol�y�mediodía?�
el�estado�de��Atoyac.�Si�alcenso�o��desc
computado������por�su
��o���?�_____
ujo�y�complentados,�del�
ptero�est�a��
___�m�______
está�a��______
_________�m,
hacia�la�derec
en�dirección�a
s����principalado�la�sema
�liga�de�futboiormente�est
os����princip¿Cuántos�pue
gión�Montañel�mediodía.
Guerrero,�lalguien�hubiescenso�de�tem
ra�de�Pedru�computado
_����������������������
eta�las�oracnivel�del�mar
���m��sobre�
__��el�nivel�de
____�m�_____
,�o�bien,�a�___
cha�se�encue
al�faro�se�enc
es,�el�disco�fana�anterior.
ol�mexicano,taba�en�la�pos
ales,�el�discoestos?�
ña�del�estado.�A�la�salida�d
a�temperaturse�viajado�demperatura?�
ro�costó���ra,�¿cuánto�c
23�
���������������¿Qué
ciones�con�lar.�
�el�nivel�del�m
el�mar.�
_��el�nivel�del
_____�m�bajo
ntra�a�_____
cuentra��a�___
avorito�de�Ja.�La�antigua�
el�equipo�desición���.�¿Eno�favorito�de
o�de�Guerrerdel�sol�se�reg
ra�es�de�����ee�la�montaña�
������más�qcostó�la�de�M
é�es�mayor:��
as�distancias
mar.�
l�mar.�
o�el�nivel�del�
___m�de�prof
________�met
anet�estaba�tposición�er
e�las�Chivas�sn�qué�posició
e�Susana�pa
ro,�la�tempergistraban����
en�la�montaña�la�sierra�de
que�la�de�Mariana?�
���o��?�_____
s�a�que�se�e
mar.�
undidad�del�
tros.�
tres�lugares�mra�la���.�¿Cu
ubió�cuatro�pón�se�encuen
só�del�lugar�
ratura�ascend��.�¿Cuál�era�
ña�alta�y�de��e�Atoyac,�¿ha
Mariana.�S
_�
encuentran�
�
mar.�
más�abajo�deál�es�la�nue
posiciones�estra�ahora?�
r����al�lugar��
di���entrela�temperatu
����en�la�sieabría�notado�
i�Pedro�pa
los�
e�lo�eva�
sta�
��.�
e�la�ura�
rra�un�
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1.4.1.�
La�sumal�igua
Veamo
Sea���
�
A�partiresulta
�
Casos�
1. Si�loresu
Por
���
2. Anánúm
�����Por
���
3. En�sign
Por
����
ema�1.4.�Oos�de�agru
Adición�de�n
ma�en�los�núml�que�en�los�n
os�el�siguient
� ���y�� � �
ir�de����se�avado�es�el�núm
de�la�suma�d
os�dos�númeultado�es�otr
r�ejemplo:�
�� � ���� �
álogamente,�mero�negativ
r�ejemplo:�
�� � ���� �
el� caso� en� qno,�el�resulta
r�ejemplo:�
�� � ���� �
Operacionepación�
números�en
meros�enteronúmeros�nat
e�ejemplo�us
�.��Calcula�� �
vanza���unidmero���,�lo�q
e�números�e
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����.��
cuando� los�vo.�
��������
que� los� sumdo�puede�se
�����y�����
es�con�núm
nteros�
os�tiene�variourales.�
sando�la�repr
� �.�
ades�hacia�laque�algebraic
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nteros.�
uman�son�poositivo.�
dos�números
mandos� tengar�positivo�o�n
� � ���� � ��
24�
meros�ente
os�significado
esentación�e
a�derecha,�puamente�corr
��� � ���� �
ositivos,�el�
s�que�se�sum
an� distinto�negativo.�
���.�
eros.��
os,�entre�ello
en�la�recta�nu
uesto�que���tresponde�a:�
� �����
man�son�neg
Cuando�sumaya� sean� positconserva�el�sig�Cuando� sumdiferentes,� eldel� número�este�caso,�las�
VALOR�ABSOSe� llama� vaentero� al� núeliminar�el�siY� se� representero�entre�El� valor� abnatural��:� ��
os:�añadir,�ag
umérica:��
iene�signo�po
ativos,�el� res
as�números�con�stivos� o� negativosgno.�
mas� números�l� resultado� consmayor� en� valor�cantidades�se�res
OLUTO�DE�UN�NÚalor� absoluto� deúmero� natural� qgno�del�número�esenta� escribiende�dos�barras�vertic
bsoluto� de� �� �e��� � �.�
gregar,�avanz
ositivo.�El�
sultado�es�ot
signos� iguales,�s,� el� resultado�
con� signos�erva� el� signo�absoluto.� En�
stan.�
ÚMERO.�e� un� número�que� resulta� de�entero.��do� el� número�cales� � �
es� el� número�
zar,��
�
tro�
algebra_FINAL17x23.pdf 24 27/11/2014 10:50:56 a.m.
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1.4.2.�
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Los�regtiempo
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¿Cuále
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Cambi
El�term
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El�camdiferen
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Cambi
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La�dife
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Sustracción
ste�subtema�
gistros�de�temo�son:�
Registro�
Temperatu
s�son�los�cam
o��:�registro�mómetro�ha�p
bio,�por�tantncia�es�de���
o��:�registro�mómetro�ha�p
erencia�es�de�
e�expresa�así
n�de�número
iniciemos�co
mperatura�to
��
ra������
mbios�sucesiv
���.�pasado�de�ma
to,�es�de���,�y�����Esto�se�e
���.�pasado�de���
��grados,�peí:���������
os�enteros�
on�el�siguient
omados�en�u
��
�C������C
vos�que�se�ha
arcar������C
y�como�ademxpresa�numé
������
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�������.�
25�
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na�estación�m
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C �����C
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ar�������Cels
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�����C
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sius.�
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�����C
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Para�re
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1.4.3.�
Las�opposibleconsidcircula
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1. Cuacompestá�ede�agsigno�sin�cacantid
2. Cuacompestá�ede�agsigno�cambide�lexpre
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Operacione
peraciones�ce.�Por�tal�razderadas�comar�u�ordinario
eglas�para�símbolos�de�a
ando�unuesta�de�vaencerrada�prupación�pr���,�el�símbambiar�los�dades�de�la�e
ando�unuesta�de�vaencerrada�prupación�pr���,�el�símbiando�el�siglas�cantidsión.�
os�enteros�se
es�combinad
combinadas�zón,�es�convo�una�sola.����,�el�paré
suprimir�losagrupación�
a�exprearias�cantidapor�un�símbrecedido�pobolo�se�suprsignos�de�
expresión.�
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eden�tener�ts�cantidades�para�este�prchete����y�la
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Resultado�
straendo.��
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tantos�númepara�indicaropósito�sonas�llaves�
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1.4.4.�
Para� mtienennegati
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eniente�zando� poolos� que�ro,� sin� quque� los�
an�ser�suprimta.���
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Multiplicaci
multiplicar� do�el�mismo�sigvo.�
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d� que� euna� expre
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uman.�
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Regla�
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La�divi����enrealizaenterosigue:��.�En�gdivisorpor�el�
Simbó
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Regla�
de�los�signos
El�producto
El�productonegativo.�
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sión�puede�cn���tales�que�ar�en�los�ento�que�al�multi�al�dividir���pgeneral,�dividr�es�encontradivisor�más�e
licamente:��
de�los�signos
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Si���es�p Si���es�n
Si���es�negdistinto�sig
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o�de�dos�núm
o�de�un�núm
o�de�dos�núm
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considerarse��������y��
teros,�por�ejiplicarlo�por�por���obtenemdir�un�númerar�un�tercer�el�resto�sea�ig
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s�para�divisió
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positivo,���es�negativo,���esgativo,�por�lgno.�Por�tanto
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meros�enteros
mero�entero
meros�enteros
nteros�
como�la�ope����entoncemplo�
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licamente:��
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s�negativo.�
la� regla� de�o:�
29�
s�positivos�es
� positivo� po
s�negativos�e
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multiplicación
multiplicació
������
s�otro�númer
or� otro� nega
es�un�número
sa�de�la�multn� embargo,�
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n,�el�divisor�y�
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o�entero�posi
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sitivo.�
número� ente
itivo.�
s�decir,�si�dadmpre� se� pue
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han�de�tener
nen� que� ten
ero�
dos�ede�
un�mo�� �do�nte�
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algebra_FINAL17x23.pdf 29 27/11/2014 10:50:57 a.m.
30��
Si���es�positivo,���es�negativo.� Si���es�negativo,���es�positivo.�
�
Si� el� dividendo� y� el� divisor� de� una� división� de� números� enteros� tienen� el� mismo� signo,� el�cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.�
��
EJERCICIOS�PROPUESTOS��
1. Sean�� � ������ � ������ � ���������� � ��.�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:�
a) � � ��b) � � ��c) � � ��d) � � ��
�
2. Resuelve�lo�siguiente:�
a) �� � �� ��
b) ���� � ���� ��
c) ���� � �� ��
d) ���� � �� ��
e) �� � ���� ��
f) �� � ���� ��
�
3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.�
a) ��� ��� � ���� � ��� ��b) ��� ��� � ��� ���� � ��� ��� �
�
4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones�algebraicas�siguientes:�
a) � � ��� � ��� � ��� � � �� ��
b) ����� � ��� � ��� � � � �� ��� ��
c) ����� � ��� � �� � �� � � ���� � � � ��� � �� � �� � � � � � ��
d) �� � ������ � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � ��
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30��
Si���es�positivo,���es�negativo.� Si���es�negativo,���es�positivo.�
�
Si�el�dividendo�y�el�divisor�de�una�división�de�números�enteros�tienen�el�mismo�signo,�el�cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.�
��
EJERCICIOS�PROPUESTOS��
1. Sean������������������������������.�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:�
a) ����b) ����c) ����d) ����
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2. Resuelve�lo�siguiente:�
a) �������
b) ���� ����� ��
c) ���� �����
d) ���� �����
e) ������� ��
f) ������� ��
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3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.�
a) ��� ��� ����� ���� ��b) ��� ��� ���� ���� ���� ��� �
�
4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones�algebraicas�siguientes:�
a) ��������������� ����
b) ������������������ �����
c) ��������������� �������� �������������� ���
d) ��������������� ������������ ������� ���
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30��
Si���es�positivo,���es�negativo.� Si���es�negativo,���es�positivo.�
�
Si� el� dividendo� y� el� divisor� de� una� división� de� números� enteros� tienen� el� mismo� signo,� el�cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.�
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EJERCICIOS�PROPUESTOS��
1. Sean�� � ������ � ������ � ���������� � ��.�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:�
a) � � ��b) � � ��c) � � ��d) � � ��
�
2. Resuelve�lo�siguiente:�
a) �� � �� ��
b) ���� � ���� ��
c) ���� � �� ��
d) ���� � �� ��
e) �� � ���� ��
f) �� � ���� ��
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3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.�
a) ��� ��� � ���� � ��� ��b) ��� ��� � ��� ���� � ��� ��� �
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4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones�algebraicas�siguientes:�
a) � � ��� � ��� � ��� � � �� ��
b) ����� � ��� � ��� � � � �� ��� ��
c) ����� � ��� � �� � �� � � ���� � � � ��� � �� � �� � � � � � ��
d) �� � ������ � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � ��
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30��
Si���es�positivo,���es�negativo.� Si���es�negativo,���es�positivo.�
�
Si�el�dividendo�y�el�divisor�de�una�división�de�números�enteros�tienen�el�mismo�signo,�el�cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.�
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EJERCICIOS�PROPUESTOS��
1. Sean������������������������������.�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:�
a) ����b) ����c) ����d) ����
�
2. Resuelve�lo�siguiente:�
a) �������
b) ���� ����� ��
c) ���� �����
d) ���� �����
e) ������� ��
f) ������� ��
�
3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.�
a) ��� ��� ����� ���� ��b) ��� ��� ���� ���� ���� ��� �
�
4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones�algebraicas�siguientes:�
a) ��������������� ����
b) ������������������ �����
c) ��������������� �������� �������������� ���
d) ��������������� ������������ ������� ���
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31��
5. Resuelve�lo�siguiente�
a) �������
b) �������������
�� ������������ ������������ ���������� � ����������
�
Subtema�1.5.�Propiedades�de�las�operaciones�con�números�enteros�
1.5.1.�Propiedades�de�la�suma�de�números�enteros�
Es�cerrada:�al�sumar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número�entero.�
�
Asociativa:�si��������������������.�Por�ejemplo:�
���������������������.�Puedes�comprobar�esto�resolviendo�de�la�siguiente�manera:��
���������������������.��������������������������.��
Conmutativa:�Si������������.�Por�ejemplo:�
�������������������.�Para�comprobar:�
������������.�������������.��
El�cero�es�el�elemento�neutro:�si��������������.�Por�ejemplo:�
����������������.��
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31��
5. Resuelve�lo�siguiente�
a) �� � �� ��
b) ����� � ����� ��
�� ����� � �� ���� �� � ����� ���� ����� � �� �� � �� � ����� ��
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Subtema�1.5.�Propiedades�de�las�operaciones�con�números�enteros�
1.5.1.�Propiedades�de�la�suma�de�números�enteros�
Es�cerrada:�al�sumar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número�entero.�
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Asociativa:�si���� � � � �� � � � � � � �� � � � .�Por�ejemplo:�
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Conmutativa:�Si���� � �� � � � � �.�Por�ejemplo:�
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���� � ���� � ��.����� � ���� � ��.��
El�cero�es�el�elemento�neutro:�si�� � �� � � � � � � � � �.�Por�ejemplo:�
���� � � � � � ���� � ��.��
algebra_FINAL17x23.pdf 31 27/11/2014 10:50:57 a.m.
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Inversque��
Por�eje
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1.5.2.�
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No�es�a
Por�eje
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No�es�c
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No�tien
Por�eje
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o�aditivo:�to��� � �.��
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el�opuesto�d
el�opuesto�de
Propiedade
rada:�la�difere
asociativa:�e
emplo:��
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conmutativa
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ne�elemento
emplo:�
� � � � � ��� � � � � ��
o�aditivo:�si� los:�
� ���� � ��� ���� � ��� ���� � ��
El�invesumadcualqu
do�número�e
e��,�porque��e����,�porqu
es�de�la�resta
encia�de�dos�
n�general,�si�
���� � ������� � ��������� � ���
a:�en�general,
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o�neutro:�en�g
��� � �����
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erso�aditivo�ddo� con� él� seuiera,�su�inver
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���� � � � �ue��� � ����
a�números�e
números�en
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� ���� � ��� ���� � ����� � ����� �
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general,�si� �
� �.�
� �.�� �.�� �.�
de�un�númeroe� obtiene� el�rso�aditivo�se
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ne�asociado�
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enteros�
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o�entero�es�ocero.� Así,� s
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a�él�un�núme
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���, ya que �
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entero,�tal�qnúmero� ente
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algebra_FINAL17x23.pdf 32 27/11/2014 10:50:57 a.m.
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Propiedade
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ne�elemento
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El�invesumadcualqu
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algebra_FINAL17x23.pdf 3227/11/2014 10:50:57 a.m.
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El�invesumadcualqu
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o�aditivo:�si� los:�
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El�invesumadcualqu
do�número�e
e��,�porque��e����,�porqu
es�de�la�resta
encia�de�dos�
n�general,�si�
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a:�en�general,
��� �� ��������
o�neutro:�en�g
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erso�aditivo�ddo�con�él�seuiera,�su�inver
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a�números�e
números�en
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de�un�númeroe�obtiene�el�rso�aditivo�se
32�
ne�asociado�
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o�entero�es�ocero.�Así,�s
e�representa�
a�él�un�núme
��.������.�
número�ente
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otro�número�si���es�un�npor����.�
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algebra_FINAL17x23.pdf 3227/11/2014 10:50:57 a.m.
33��
�
1.5.3.�Propiedades�de�la�multiplicación�de�números�enteros�
Ley�de�composición�interna:�al�multiplicar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número�entero.�Simbólicamente:�si���������������.���
Asociativa:�si�para�todo��������������������������.�Por�ejemplo:��
���������������������������������.�Para�comprobar:��
����������������������������.����������������������������.�Por�tanto:������������������������������������ya�que��������.��
Conmutativa:�si�para�todo����������������.���Por�ejemplo:��
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������� ��� .��� �������� .���Por�tanto:�������� ���� �������ya�que�� �� .��
Elemento�neutro,�el�����:�para�todo�����������������������.�����Por�ejemplo:�
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����������������������������������������.�Para�comprobar�resultados:�
������������������������������.��������������������������������.��
algebra_FINAL17x23.pdf 3327/11/2014 10:50:57 a.m.
33��
�
1.5.3.�Propiedades�de�la�multiplicación�de�números�enteros�
Ley�de�composición�interna:�al�multiplicar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número�entero.�Simbólicamente:�si��� �� � ��� � � � � ��.���
Asociativa:�si�para�todo��� �� �� � ��� �� � �� � � � � � �� � ��.�Por�ejemplo:��
����� � ����� � ���� � ���� � ����� � �����.�Para�comprobar:��
����� � ����� � ���� � �� � ���� � ���.����� � ����� � ����� � ���� � � � ���.�Por�tanto:������� � ����� � ���� � ���� � ����� � ������ya�que���� � ���.��
Conmutativa:�si�para�todo��� �� � ��� � � � � � � �.���Por�ejemplo:��
���� � �� � � �� � � ����.���Para�comprobar:�
���� � �� � � � .��� � � ���� � � .���Por�tanto:����� � �� � � �� � � �����ya�que�� � � .��
Elemento�neutro,�el�����:�para�todo�� � ������ � ���� � ���� � � � �.�����Por�ejemplo:�
���� � ���� � ���� � ���� � ��.��Distributiva� de� la� multiplicación� respecto� de� la� suma:� para� todo��� �� �� � ������� � �� � �� ��� � �� � �� � ��.�������Por�ejemplo:�
���� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � �����.�Para�comprobar�resultados:�
���� � ����� � ����� � ���� � ����� � ��.������ � ����� � ����� � ����� � � � �� � ��.��
algebra_FINAL17x23.pdf 33 27/11/2014 10:50:57 a.m.
34��
Distributiva� de� la� multiplicación� respecto� de� la� sustracción:� para� todo��� �� �� � ������������ ��� � �� � �� � �� � �� � ��.�Por�ejemplo:�
���� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � �����.�Para�comprobar�resultados:�
���� � ����� � ����� � ���� � ��� � �� � ���� � � ���.������ � ����� � ����� � ����� � � � � ���.��
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algebra_FINAL17x23.pdf 34 27/11/2014 10:50:57 a.m.
34��
Distributiva�de�la�multiplicación�respecto�de�la�sustracción:�para�todo��������������������������������������.�Por�ejemplo:�
����������������������������������������.�Para�comprobar�resultados:�
���������������������������������� ����.�������������������������������.��
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algebra_FINAL17x23.pdf 3427/11/2014 10:50:57 a.m.