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Estabilidad de sistemas dinámicos

Abril del 2016

Facultad de IngenieríaUniversidad Autónoma de Baja California

Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Definición Formal (matemática) de Estabilidad

Se establecerá la estabilidad en el sentido de Lyapunov. Considérese un sistema representado por la ecuación diferencial

)(xfx (1)

suponga que es un punto de equilibrio de (1). el punto de equilibrio puede ser cero o ser llevado a un valor cero (como punto de referencia).

)(eqx

El punto de equilibrio es )(eqx

Estable si, para cada existe un , tal que0 0)(

0,)()0( ttxx Es Inestable si no es estable

Es Asintóticamente Estable si es estable y puede ser elegida tal que 0)(lim)0(

txx

t

.0))(( eqxf


mksen

lg

dtddtd

0

0

Por ejemplo en las ecuaciones del péndulo simple:

0,0

0,

Dos puntos de equilibrio:

1

2

dtd

Péndulo simple 2

Péndulo simple 1

Estable

Inestable

http://www.myphysicslab.com/pendulum1.html

http://www.educaplus.org/modules/wfsection/article.php?articleid=43

http://www.myphysicslab.com/pendulum1.html


» La estabilidad, desde el punto de vista de control es quizá la característica más importante de los sistemas dinámicos.

» La estabilidad de un sistema generalmente es analizada en puntos de equilibrio, aunque puede no ser así.

» El concepto de estabilidad que más se usa es el de estabilidad absoluta, dice si el sistema es estable o no. » También se usan los conceptos de estabilidad relativa y error en estado estacionario.

» La Estabilidad relativa nos indica que tan estable es un sistema en relación a otro o en relación a algún cambio dentro del mismo.

» El error en estado estacionario es la diferencia entre el valor deseado y el valor obtenido una vez que el sistema tenga un estado estable. Cabe destacar que un sistema estable puede tener error en estado estable.


Los sistemas tienen puntos de equilibrio estables e inestables. Para encontrar los puntos de equilibrio en un modelo de un sistema, se igualan las dinámicas a cero y se despejan las variables de interés.

Estabilidad AbsolutaEs la característica más importante de los sistemas de control, se refiere a que si el sistema es estable o inestable.

Definicion.Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada acotada, el sistema posee una salida acotada.

La condición de estabilidad se analiza sobre puntos de equilibrio, un sistema de control se encuentra en un punto de equilibrio si la salida permanece en el mismo estado en ausencia de cualquier perturbación o entrada.

La estabilidad es una característica propia de cada sistema y no depende de las entradas


Plano s

Región estable

Región inestable

Región estable

Región inestable

Análisis de Estabilidad en Laplace

La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicación de los polos de lazo cerrado en el plano s. Si alguno de los polos de lazo cerrado de un sistema se encuentra en el semiplano derecho el sistema es inestable.


Plano s


Comentarios:

1) Un sistema de lazo abierto también tiene características de estabilidad.

2) Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus características de estabilidad a menos que se cambien sus parámetros, se agregue otro elemento dinámico o usando realimentación

3) Un sistema inestable puede estabilizarse usando realimentación.

4) Un sistema estable puede hacerse inestable con una cierta realimentación.


Criterio de Estabilidad de RouthUn sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que todas las raíces de la ecuación característica ( ) tienen parte real negativa

)()(

)()(

11

10

11

10sqsp

asasasabsbsbsb

sRsC

nnnn

mmmm

)(sq

cuando no se tiene forma a encontrar las raíces de la ecuación característica…

El criterio de estabilidad de Routh permite determinar si hay raíces con parte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio.

El criterio de estabilidad de Routh se basa en el ordenamiento de los coeficientes de la ecuación característica


en el siguiente arreglo

ns1ns2ns3ns

0s

1a

4a

5a

2a

3a

0a 6a

7a

1c

3b

5a

2b

3a1b 4b

7a

1h

0)( 12

21

10

nnnnn asasasasasq

…


donde

1

30211 a

aaaab 1

50412 a

aaaab 1

70611 a

aaaab

1

21311 b

baabc 1

31512 b

baabc 1

31713 b

baabc

1

21211 c

cbbcd 1

31312 c

cbbcd

El criterio de Routh establece que el número de raíces de con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de la primera columna del arreglo.

)(sq


Ejemplo 1Sea el siguiente polinomio

0322

13

0 asasasa

3s

2s

s

0s

0a

1a2a

3a

1

3021a

aaaa

3a

el arreglo es

La condiciones para que todas las raíces tengan parte reales negativas son:

3021 aaaa 0,,, 3210 aaaa


Ejemplo 2Sea el siguiente polinomio

05432 234 ssss

3s

2ss0s

1

el arreglo es4s

2

3

4

5

1 5

0

0

6 0

5

Hay un dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos raíces con partes reales positivas.


Casos especialesSi un término es cualquier columna es cero y los demás términos no son cero. El elemento cero puede reemplazarse por un número positivo y continuar con el arreglo.Ejemplo 2Sea el siguiente polinomio 01011422 2345 sssss

3s2ss0s

1el arreglo es

4s 211

4 10

6 00

010

5s 2

1c

12124

1c

1d10

6106 11

cd

Hay un dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos raíces con partes reales positivas.