2012-2013
YAZAR: FURKAN AYDIN
http://matematik-canavari.blogspot.com/
Bu kaynak ücretsiz olarak sunulmuştur.
Parayla satılmaz. Öğrencilere yardımcı
olmak üzere ders kitapları referans
alınarak hazırlanmıştır.
7. SINIF MATEMATİK CANAVARI
1
7. SINIF KONULARI 1.BÖLÜM ....................................................................................................................................................
7.1.1.Doğrular ve Açılar .......................................................................................................................1
7.1.2.Rasyonel Sayılar 1 .......................................................................................................................5
7.1.3.Tam Sayılar .................................................................................................................................8
2.BÖLÜM ....................................................................................................................................................
7.2.1.Rasyonel Sayılarla İşlemler ...................................................................................................... 12
7.2.2.Cebirsel İfadeler ....................................................................................................................... 17
7.2.3.Denklemler .............................................................................................................................. 21
7.2.4.Çember ve Daire ...................................................................................................................... 25
3.BÖLÜM ....................................................................................................................................................
7.3.1.Oran-Orantı ............................................................................................................................. 29
7.3.2.Çokgenler ve Açıları Ölçme ...................................................................................................... 34
7.3.3.Dörtgenlerin Kenar-Açı ve Köşegen Özellikleri ........................................................................ 37
7.3.4.Çokgenlerde Eşlik ve Benzerlik ................................................................................................ 42
7.3.5.Tablo ve Grafikler - Sütun Grafiği - Çizgi Grafiği - Daire Grafiği ............................................... 45
7.3.6.Merkezi Eğilim ve Yayılma Ölçüleri .......................................................................................... 50
4.BÖLÜM ....................................................................................................................................................
7.4.1.Rasyonel Sayılarla Çok Adımlı İşlemler .................................................................................... 52
7.4.2.Doğrusal Denklemler ve Grafikleri-Kartezyen Koordinat Sistemi ............................................ 55
7.4.3.Rasyonel Sayılarla İlgili Problemler Çözme .............................................................................. 59
7.4.4.Faktöriyel ................................................................................................................................. 62
7.4.5.Permütasyon ........................................................................................................................... 63
7.4.6.Ayrık ve Ayrık olmayan Olaylar ve Olasılıkları ......................................................................... 64
7.4.7.Olasılık-Geometri İlişkisi .......................................................................................................... 67
2
5.BÖLÜM ....................................................................................................................................................
7.5.1. Dönüşüm Geometrisi-Yansıma ............................................................................................... 69
7.5.2.Dönme Hareketi, Düzlemde Bir Noktada Şekilleri Belli Bir Açı Döndürme ............................. 72
7.5.3.Süsleme ve Süsleme Kodu ....................................................................................................... 75
7.5.4. Tam Sayıların Kendileriyle Tekrarlı Çarpımı - Üslü Sayılar ...................................................... 78
7.5.5. Örüntüleri Modelleme ve Modelleri Harflendirme ................................................................. 81
7.5.6. Bilinçli Tüketim Aritmetiği Yüzdeler ........................................................................................ 85
7.5.7. Faiz Hesaplama ........................................................................................................................ 88
6.BÖLÜM ....................................................................................................................................................
7.6.1. Dairesel Silindir ........................................................................................................................ 89
7.6.2. Farklı Yönlerden Görünümleri Verilen Nesneleri Çizme .......................................................... 90
7.6.3. Kenar-Çevre Alan İlişkisi .......................................................................................................... 91
7.6.4. Paralelkenar-Eşkenar Dörtgen-Yamuk .................................................................................... 92
7.6.5.Çember - Daire - Daire Dilimi .................................................................................................... 96
7.6.6.Dik Dairesel Silindirin Alanı ve Hacmi ..................................................................................... 100
1
7.1.1.Doğrular ve Açılar
Bir “d” doğrusuna
dışındaki bir
noktadan
çizilebilecek en
kısa mesafeye
orta dikme denir.
(Üç boyutta dikme)
Paralel doğru :Aralarındaki açıklık hiç
değişmeyen ve birbirleri ile kesişmeyen
doğrulara paralel doğrular denir. Tren ve
tramvay yolları, elektrik telleri, bir merdivenin
kenarları, paralel doğrulara örnek olarak
gösterilir.
d1//d2
Not: Bir noktadan
sonsuz tane doğru
geçer.
*Aynı düzlemde bulunan 3 doğru ,
a)Aynı noktadan geçiyor ise bu doğrulara
“noktadaş doğrular” denir.
b)İki doğru paralel diğeri dikse “orta dikme”
denir.
c)Doğrular ikişer ikişer kesiştirilirse oluşan
cisme (aynı düzlemde olmak şartıyla) “üçgen”
denir.
AÇILAR
1)Dar Açı: Ölçüsü 0º `den büyük ve 90º`den
küçük açılara DAR AÇI denir.
2)Dik Açı: Ölçüsü 90º olan açıya DİK AÇI denir.
3)Geniş Açı: Ölçüsü 90º`den büyük 180º`den
küçük olan açıya GENİŞ AÇI denir.
4)Doğru Açı: Ölçüsü 180º olan açıya DOĞRU
AÇI denir.
5)Tam Açı: Ölçüsü 360º olan açıya TAM AÇI
denir.
6)Tümler Açı: İki açının ölçüleri toplamı 90º
olan açıya TÜMLER AÇI denir.
7)Bütünler Açı: İki açının ölçüleri toplamı 180º
ise bu açılara BÜTÜNLER AÇI denir.
Bir Noktada Kesişen İki Doğrunun
Oluşturduğu Açılar:
a)Komşu Açılar: Başlangıç noktaları ve bir
kenarları aynı iki veya daha fazla açıya KOMŞU
AÇILAR denir.
b)Komşu Tümler Açılar:
Başlangıç noktaları ve bir kenarları
aynı, ölçüleri toplamı 90º olan iki
farklı açıya KOMŞU TÜMLER
AÇILAR denir.
2
c)Komşu Bütünler Açılar: Başlangıç noktaları
ve bir kenarları aynı, ölçüleri toplamı 180º olan
açıya KOMŞU BÜTÜNLER
AÇILAR denir.
d)Ters Açılar: Köşeleri
ortak ve kenarları
birbirine zıt ışınları olan
iki açıya TERS AÇI denir.
Ters açıların ölçüleri
birbirine eşittir.
Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar
a)Yöndeş Açılar: Aynı yöne bakan açılara
yöndeş açılar denir. Yöndeş açılar birbirine
eşittir.
b)Dış Ters Açılar: Dışta kalan ve dışa bakan
ters açılara dış ters açılar denir. Dış ters
açıların ölçüleri birbirine eşittir.
c)İç Ters Açılar: İçte kalan ve içi bakan ters
açılara iç ters açılar denir. İç ters açıların
ölçüleri birbirine eşittir.
d)Karşı Konumlu Açılar: Paralel iki doğru
arasında kalan ve karşılıklı olan açılara denir.
Karşı konumlu açıların toplamı 180º`dir.
a ile z , b ile t iç ters açılardır.
y ile d , x ile c dış ters açılardır.
a ile t , b ile z karşı konumlu açılardır.
Sorular
1)
2)
3)
4)
5)
3
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
4
13)
14)
15)İki paralel doğru çiziniz ve bu doğruları
kesen biri dik 2 doğru çiziniz.
16)
17)
18)
I ve II numaralı yerlere ne gelmelidir?
19)Üç doğru düzlemde en az kaç noktada
kesişir? En fazla kaç noktada kesişir?
5
7.1.2.Rasyonel Sayılar 1
Rasyonel Sayılar, (oranlı sayılar) iki tamsayının
birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır.
Rasyonel sayılar kümesi, tam sayıların bir
genişlemesidir ve ile gösterilir.
Aşağıdaki şekilde, bir bütün yuvarlak pasta 4
eş parçaya
bölünmüş ve bu
4 eş parçalardan
her birisi ¼ olarak
görülmektedir.
Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan
eksiktir. Geriye kalan, dört eşit parçaya
bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3de 4
oranı) veya (kesiri)dir. Bu ¾ ifadesi şeklinde
gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin
üstündeki değere (yani 3e) pay, kesir çizgisinin
altındaki değere (yani 4’e) payda denir. Bu
kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye
okunur.
Aşağıda sayı doğrularında işaretlenen
noktalara karşılık gelen rasyonel sayıları
kutucuklar içine yazınız.
KESİRLERİN OKUNMASI VE YAZILMASI
Paydası 10 100 1000 ... gibi 10'un kuvvetleri
olan kesirlere ondalık kesir denir.
Not: Kesirleri ondalık kesire çevirmek için
payda 10’un katlarına çevrilir.
Paydası 10 Olan Kesirler:
Ondalık kesrin payındaki sayının birler
basamağından sola doğru 1 basamak virgüle
ayrılır.
Paydası 100 Olan Kesirler:
Ondalık kesrin payındaki sayının birler
basamağından sola doğru 2 basamak virgüle
ayrılır.
Not: 2/3 , 8/9 kesirlerini ondalık kesire
çevirirsek bazı kısımları devreder. Bu gibi
kesirlere devirli ondalık kesir denir.
6
Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük
,küçüklük)
*Paydaları eşit olan rasyonel
sayılar için payı büyük olan
daha büyük, payı küçük olan
daha küçüktür.
*Paylar eşit olduğunda bölünen parça sayısı
yani payda büyüdükçe oluşan parça boyutları
daha küçük olacaktır.
*Pay ve paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir
ve sıralama işlemine devam edilir.
NOT: Unutmamalıdır ki negatif paylar
karşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin
karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerinin
de ele alınması gerekir.
“ < ” Küçük işareti “ ≤ “ Küçük eşit
“ > ” Büyük işareti “≥” Büyük eşit
N: Doğal sayılar, Z: Tam sayılar, Q: Rasyonel
sayılar
Sorular
1) Aşağıdaki şekilleri kesir şeklinde ifade
ediniz?
= =
= =
2) Aşağıdaki kesirleri büyükten küçüğe
sıralayınız
3) Aşağıdaki kesirleri ondalıklı ifadeye
çeviriniz.
4)
kesirlerini sadeleştirin.
5)
ondalıklı ifadeye çeviriniz.
6)
3
4 ,
1
2 ,
5
8 ,
1
3 rasyonel sayıları küçükten
büyüğe doğru
sıralanırsa soldan ikinci rasyonel sayı kaç olur?
7) 3,4343434343434343… sayısını rasyonel
ifadeye çeviriniz?
7
8) şekli ondalık sayıya
çeviriniz?
9)
1
4 <
x
8 <
5
12 sıralamasının doğru olması
için x yerine doğal sayılardan hangisi
yazılmalıdır?
10) Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların
sonuna D ,yanlış olanların sonuna Y yazınız.
a) İki rasyonel sayı arasında mutlaka bir
rasyonel sayı bulunur. ( )
b) Her tamsayı aynı zamanda bir rasyonel
sayıdır. ( )
c)Payı paydasından büyük kesirlere basit kesir
denir.( )
8
7.1.3.Tam Sayılar
Tam Sayılar, (ya da Z) şeklinde gösterilir.
Toplama İşlemi:
1. a+0=a (Birim Eleman)
2. a+b=b+a (Değişme)
3. a+(b+c)=(a+b)+c (Birleşme)
4. a+(-a)=0 (Ters Eleman)
ÖR: (+6)+(-2)=+4
Çıkartma İşlemi:
ÖR: (-4)-(+3)=(-7)
Çarpma İşlemi:
“0”yutan eleman , “1” etkisiz eleman
Ör: (-3) x 5
Ör: (-3) x (-4)
Bölme İşlemi:
Ör: (-14) : 7
Ör: (8):(2)=+4
Tam Sayılarda İşlemlerin Sayı Doğrusunda
Gösterilmesi:
Toplarken sağa , çıkartırken sola
Ör:(+4)+(-8)=(-4)
İşlem önceliği: Birden fazla işlem karışık
verilmişse, önce parantezler, parantez yoksa
önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve
çıkarma yapılır. Eşit öncelikli yan yana olursa
örneğin çarpma ve bölme, her zaman işleme
soldan başlanır.
Sorular:
1) [(8x2)-5]x[(7+4):11+3]=?
2)
9
3) x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere,
2x+3y=27 koşulunu sağlayan kaç y değeri
bulunur?
4) x ve y birer pozitif tam sayılar olmak üzere
x>3 2x+3y=96 olduğuna göre, y nin
alabileceği en büyük değer kaçtır?
5) a, b, c pozitif tamsayılar olmak üzere
3a=5b ve c=2a olduğuna göre, c nin
alabileceği en küçük değer kaçtır?
6) a, b, c pozitif tamsayılar ve
a . b = 4 a . c =12 olduğuna göre, a +
b+ c toplamının en küçük değeri kaçtır?
7) a=Çarpmaya göre yutan eleman
b=Toplamaya göre etkisiz eleman
c=Çarpmaya göre birim eleman ise,
ac+bc+ac+a+b+c işleminin sonucu
kaçtır?
8) a < b < 0 < c < d <3 olmak üzere,
a+b+c’nin pozitif olmadığı biliniyor. O
halde a+b+c+d nin en büyük değeri
kaçtır?
9)
10) Çarpma tablosuna göre
Sonucu kaçtır?
10
4-A SINIFINDAKİ ÖĞRENCİLERİN SINIF
BAŞKANLIĞI SEÇİMİ
012
3456
789
10
1112
Oya Tunç Murat Sinem Ayça
11)
12)
14)
15)
16)
17)
Aşağıdaki soruları yukarıdaki sütun
Grafiğine göre cevaplayınız.
a) Sınıf başkanlığı için kaç öğrenci aday
olmuştur?
11
b) En az oyu alan öğrenci ile en fazla oyu
alan öğrenci arasında kaç oy fark vardır?
c) 4-A sınıfında kaç öğrenci vardır?
18)
19) Ali 10 liraya 5 kitap alabiliyor.12 lirası
olsaydı kaç kitap alabilirdi?
20) Ali’nin koyunları ile Veli’nin tavuklarının
sayısı toplam 20 dir. Bu hayvanların
ayaklarının sayıları toplam 50 dir. Koyun ve
tavuk sayısını bulunuz?
21)
22) Boşlukları 1den 9 a kadar olan sayılarla
doldurunuz?
23) Aşağıda gündüz sıcaklıkları verilen illerin
istenilen gece sıcaklıklarını bulunuz.
24)Çarpımları 18 toplamları -11 olan iki sayının
farklarının alacağı değerler toplamı kaçtır?
12
7.2.1.Rasyonel Sayılarla İşlemler
Rasyonel Sayılarla Toplama İşlemi
Paydalar eşit ise paylar toplanır paydalardan
biri yazılır.
Paydaları eşit olmayan rasyonel sayıların
paydaları eşitlenerek yapılır.
Toplama İşleminin Özellikleri
0 etkisiz elemandır.
Ör:
Ters eleman
Ör:
Değişme Özelliği
Ör:
Birleşme Özelliği
Ör:
Rasyonel Sayılarla Çıkarma İşlemi
Paydalar eşit ise paylar çıkarılır paydalardan
biri yazılır.
Paydaları eşit olmayan rasyonel sayıların
paydaları eşitlenerek yapılır.
Farkı;
Yukarıdaki tabloya göre toplama işleminin
etkisiz eleman, ters eleman, değişme özelliği,
birleşme özelliği olduğunu görebiliriz.
13
NOT: Çıkarma İşleminin etkisiz eleman,
değişme özelliği, birleşme özelliği, ters
elemanı yoktur.
Rasyonel Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi
Çarpma İşlemi
Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken
paydaki sayıları çarpıp çarpımın payına,
paydadaki sayıları çarpıp çarpımın paydasına
yazarız.
Rasyonel sayılarla çarpma işleminde aynı
işaretli rasyonel sayıların çarpımı pozitif, zıt
işaretli rasyonel sayıların çarpımı negatif
rasyonel sayıdır.
0 yutan elemandır.
Ör:
1 etkisiz elemandır.
Ör:
Toplama işlemine göre tersi -1 ile
çarpımıdır.
Ör:
Değişme Özelliği vardır.
Ör:
Birleşme Özelliği vardır.
Ör:
Çarpma işleminin toplama üzerine
dağılma özelliği vardır.
Ör:
NOT: Çarpımları 1 olan iki rasyonel sayı,
çarpma işlemine göre birbirinin tersidir.
2 ile
dir.
Bölme İşlemi
Rasyonel sayılarla bölme işlemi yapılırken
birinci terim aynen yazılır, ikinci terimin
çarpma işlemine göre tersi, birinci terim ile
çarpılır.
Ör:
14
NOT: Aynı işaretli rasyonel sayıların bölümü
pozitif, zıt işaretli rasyonel sayıların bölümü
negatif rasyonel sayıdır.
Ör:
SORULAR
1.
2. Kutucuğu doldurunuz.
3.
15
4. =?
5.
6.
7.
8. kaçtır?
9.
10.Doğru-Yanlış
11.
12.
Yukarıdaki numaralandırılmış kutucuklara
özellikler yazılmıştır. Aşağıdaki soruları,
kutucuklardaki özelliklerden yararlanarak
cevaplayınız. Yukarıdaki kutucukların hangileri
rasyonel sayılarda;
a)
16
b)
c)
ç)
d)
13.Çarpmaya göre tersini bulunuz.
14.Bölme işlemine göre boşlukları doldurunuz.
17
7.2.2.Cebirsel İfadeler
ÖR:2x+5-3x
-“ax” cebirsel ifadesinde “x”e terim, “a”ya bu
terimin kat sayısı denir.
-Bir cebirsel ifadede bir değişkenin aynı veya
farklı kat sayılara sahip olan terimlerine
benzer terimler denir.
Toplama ve Çıkarma
Model kullanmadan toplayalım
NOT: Benzer terimler toplanırken veya
çıkarılırken içinde bilinmeyen bulunan
terimlerin önündeki kat sayılarla işlem
(toplama veya çıkarma) yapılır, elde edilen sayı
bilinmeyenin kat sayısı olarak yazılır.
ÖR: 3x – 2x + 5x= (3-2+5)x=6x
ÖR: 5x+3y-4x+2y=(5-4)x+(3+2)y=1.x+5y=x+5y
ÖR: 9x-7x+3-2y=(9-7)x-2y+3=2x-2y+3
ÖR: x-2y+3x+5y+z=(1+3)x+(-2+5)y + z=4x+3y+z
Çarpma ve Bölme
Ör: 2 ile (8x-6)yı çarpalım
Model kullanmadan çarpalım
18
NOT: Tek terimli bir ifade ile iki terimli bir
ifade çarpılırken çarpma işleminin toplama
veya çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği
uygulanır. Buna göre birinci ifade ile ikinci
ifadenin birinci ve ikinci terimleri sıra ile
çarpılır.
ÖR:
ÖR:
İfadesini en sade hale
getirelim.
ÖR: =?
SORULAR
1.
2.
3.
4.
19
5. ifadesini
sadeleştiriniz?
6.
7.
8.
20
9.Aşağıdaki şeklin alanını cebirsel olarak ifade
ediniz.
10. Cebirsel ifadeleri sadeleştirin.
21
7.2.3.Denklemler
İçinde en az bir bilinmeyen ve işlem bulunan
ifadelere cebirsel ifadeler denir. Cebirsel
ifadelerde kullanılan harflere değişken,
denklemlerde kullanılan harflere de
bilinmeyen adı verilir.
Eşit kollu bir terazinin her iki kefesindeki
ağırlıklar eşit ise terazi dengede olur. Terazinin
her iki tarafında farklı cebirsel ifadeler olsun.
Bu ifadeler eşit ağırlıkta ise terazi dengede
olur.
ÖR: 3kg elma=10 adet elma olsun.
3kg karpuz= 1 adet karpuz olsun.
Sonuç: 10adet elma =1 adet karpuz (Ağırlık
olarak)
NOT: Terazinin her iki tarafına aynı miktarda
ağırlık eklemek veya çıkartmak terazinin
dengesini bozmaz. Yani eşitlik değişmez.
ÖR:
ÖR:
ÖR:
Her iki tarafa 3 tane
22
SORULAR
a)
b)
c)
ç)
Problemler
ÖR: Semra, ilk gün kitabının 13 sayfasını
okudu. Sonraki 5 gün boyunca her gün eşit
miktarda sayfa okudu. 6 gün sonunda 158
sayfalık kitabını bitiren Semra'nın ilk günden
sonraki günler kaçar sayfa kitap okuduğunu
denklem kurarak bulunuz.
Sonraki her gün için x sayfadan 5x sayfa okur.
5x+13=158
5x+13-13=158-13
5x=145
5x:5=145:5 ise
x=29 olur.
ÖR:
X=12 olur.
Yatak odası= 21m2
Koridor ve banyo-wc=6m2
Mutfak=8m2
Salon=48m2
23
SORULAR
1. a=?
2. Dikdörtgenin çevresi=?
3.
4.
5. 4 eksiğinin 5 katı 35 olan sayı kaçtır?
6. 2 katının 3 eksiği, yarısına eşit olan sayı
kaçtır?
24
7. Aralarında üçer yaş fark bulunan kardeşlerin
yaşlarının toplamı 99 olduğuna göre en büyük
kardeşin yaşını denklem kurarak bulunuz.
8. Mehmet işe gitmek üzere yola çıkmış ve
evinden 27,5 m uzaklaşmıştır. Bu noktadan,
dakikada ortalama 55 m yürüyerek evinin
247,5 m uzağına varmıştır. Buna göre
Mehmet, ilk bulunduğu noktadan bu noktaya
kaç dakikada ulaşmıştır?
9. Üç arkadaş, internet sitesinden aynı
matematik kitabı için birer tane sipariş
verdiler. Tek kolide gelecek bu sipariş için, 5 TL
posta ücreti olmak üzere toplam 50 TL
ödediler. Buna göre bir kitabın kaç TL
olduğunu bulunuz.
10. Bir koşucu, belli bir sürede kaç metre
koştuğunu merak ediyor. Aynı gün, belli bir
süre tutarak 3 kere koşuyor. Her koşusunda
aynı sürede kaç metre koştuğunu kaydediyor
ve her koşunun bir önceki koşudan 15,5 m
daha fazla olduğunu görüyor. Koşucu, 3 koşu
sonunda toplam 247,5 m koştuğuna göre son
koşuda kaç metre koşmuştur?
25
7.2.4.Çember ve Daire
Bir düzlemdeki sabit bir noktadan eşit
uzaklıktaki noktaların meydana getirdiği
geometrik şekle çember adı verilir.
Çember veya daireyi iki eş parçaya ayıran
doğru parçasına çap denir, Çap, R ile gösterilir.
Merkez ile çember üzerindeki bir noktayı
birleştiren doğru parçasına yarıçap denir, r ile
gösterilir.
Çemberin pergelle çizimi yapılırken saatin
akrep veya yelkovanın hareket yönünün aynı
veya tersi doğrultusunda hareket edilmesi
gerekir. Çemberin çizim yönü, kısaca “saat
yönü” veya “saat yönünün tersi” olarak ifade
edilir.
r=yarıçap
Not:
D noktası
DAİRE
Çemberin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine
daire adı verilir.
DÜZLEMDE BİR DOĞRU İLE DAİRENİN
DURUMU
*Hiç ortak noktası olmayabilir.
*Teğet geçebilir.
*Herhangi iki noktayı kesebilir.
Çember ile doğrunun bir noktaları ortak ise
biri diğerine teğettir.
Çemberin iki noktası arasında kalan parçasına
çember yayı, çember parçası veya kısaca yay
denir.“ ” sembolü ile gösterilir.
26
Köşesi çemberin merkezi olan açıya merkez
açı denir. Merkez açının ölçüsü 0° ile 180°,
çember yayları ise 0° ile 360° arasındadır.
Merkez açının içinde kalan çember parçasına
ise merkez açının gördüğü yay denir.
Merkez açının kenarlarının çemberi veya
daireyi kestiği noktaların arasındaki yaylardan
biri majör (büyük) çember yayı, diğeri minör
(küçük) çember yayıdır. Merkez açının
gördüğü yay minör yay olmalıdır.
ÖR:
Köşesi çemberin üzerinde bulunan açıya çevre
açı denir.
Çevre açının içinde kalan çember parçasına
çevre açının gördüğü yay denir.
ÖR:
Aynı Yayı Gören Merkez Açı ile Çevre Açı
Arasındaki İlişki
Bir çevre açının ölçüsü, aynı yayı gören merkez
açının ölçüsünün yarısına eşittir.
=x ise
2x olur.
Yayların Ölçüsü
27
NOT: Merkez açı, doğru açı ise gördüğü yaya
yarım çember yayı ya da yarım çember denir.
SORULAR
1. Yandaki M merkezli
çemberin içindeki
noktaları İ kümesi ile,
dışındaki noktaları D
kümesi ile, üzerindeki
noktaları ise Ü kümesi
ile gösteriniz.
2. Yandaki
örüntüde
bulunan
doğrular ile
çemberlerin
birbirlerine
göre durumlarını açıklayınız.
3.
28
4.
5.
6.
7.
29
7.3.1.Oran-Orantı
ORAN
a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere ye a nın b ye oranı denir.
• Oranlanan çokluklardan ikisi aynı anda sıfır olamaz. Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür
olmalıdır.
• Oranın sonucu birimsizdir.
ORANTI
En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani
oranı ile nin eşitliği olan ye orantı denir. Bu
orantı a : c = b : d biçiminde de gösterilebilir.
a ile d ye dışlar,
b ile c ye içler denir.
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı
oranda artıyorsa veya iki çokluktan biri
azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa
böyle çokluklara doğru orantılı çokluklar
denir.
Doğru orantı kısaca “D.O.” ile gösterilir.
Doğru orantı ile işlem yaparken orantıdaki
terimler çapraz çarpılır.
• İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru
orantılıdır.
• Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır.
Doğru orantının grafiği aşağıdakine benzer.
Ör:
Doğru orantılı niceliklerde miktarların bölümü
sabit bir sayıdır. a ve b sayıları birbiri ile doğru
orantılı ise ⁄ sabit bir sayıdır.
⁄
Başka bir deyişle, x ile y çoklukları doğru
orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti
olmak üzere, y = k . x ifadesine doğru
orantının denklemi denir.
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı
oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri
aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters
orantılıdır denir.
• İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters
orantılıdır.
• Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın
hızı ters orantılıdır.
Ters orantılı niceliklerdeki miktarların
çarpımları sabit bir sayıdır. a ve b sayıları
birbiri ile ters orantılı ise a . b sabit bir sayıdır.
a.b=k (k=Orantı sabiti)
Yandaki tabloya göre,
1.24=2.12=3.8=4.6=k=24 tür.
30
Örnekler
Kişi sayısı-Bilet miktarı (DO)
Sınav notu-Karne notu(DO)
Koltuk miktarı-Yolcu Sayısı(DO)
Tuğla Sayısı-Duvar yüksekliği(DO)
Kutu Miktarı-Hediye Sayısı(DO)
İşçi Sayısı-İş miktarı(DO)
Musluk sayısı-Havuzun dolma süresi(TO)
İşçi sayısı-işin bitme süresi(TO)
Yükseklik-Oksijen miktarı(TO)
Problemler
Ör: Evlerinin mutfağındaki fayansları
yenileyecek olan Tüzüner ailesi, iki tanesi 12 TL
olan fayanslardan 42 tane alacağına göre
fayanslara kaç Türk lirası ödeyecektir?
Fayans sayısı artarsa parada artar –Doğru
Orantı
2fayans 12TL ise
42fayans x TLdir.
2.x=42.12 olup x=252 TL dir.
Ör: Aynı hızda çalışan 4 işçi 9 günde bir işi
yapıyorsa 6 işçi aynı işi kaç günde yapar?
İşçi sayısı ile süre- Ters Orantı (Düz Çarpım)
4.9=6.x x=6 gün
SORULAR
1.
2.
3.
4.
31
5.
6.
7.
8.
9.
10.
32
11.
12.
13.
14.
15.
16.
33
17.
18.
19.
34
7.3.2.Çokgenler ve Açıları Ölçme
Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru
parçasına köşegen denir.
Köşegenlerinin tamamı çokgenin iç bölgesinde
kalan çokgenlere dışbükey çokgenler denir.
ÖR:
Köşegenlerinin bazıları çokgenin dışında kalan
çokgene içbükey çokgen denir.
ÖR:
NOT: Çokgenlerde
aynı köşeye ait iç ve
dış açıların toplamı
180° dir. Bir başka
deyişle bir çokgenin
aynı köşesine ait iç
ve dış açıları
bütünlerdir.
*Tüm açıları ve kenarları birbirlerine eş olan
çokgenlere düzgün çokgenler denir.
NOT: Düzgün çokgenlerin merkezinden geçen
köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir.
NOT: Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilecek
köşegenler çokgeni (n-2) sayıda üçgene
dönüştürür. Bu sebeple üçgenin iç açıları
toplamı 180 olduğundan çokgenlerin iç açıları
toplamı: (n-2).180 dir. Bu çokgen düzgün bir
çokgen ise bir iç açısının ölçüsü :
dir.
NOT: Her çokgenin dış açıları toplamı 360 dır.
Düzdün çokgenlerin bir dış açısının ölçüsü
Düzgün çokgenlerin bir iç açısı
ÖR: 12 kenarlı bir düzgün çokgenin iç açılarının
toplamını ve bir iç açısının ölçüsünü bulalım.
Onikigenin içinde 12-2=10 tane üçgen vardır.
10.180=1800 (iç açıları toplamı)
⁄ =150 (bir iç açısı)
II.Yol
⁄ =30 (bir dış açısının ölçüsü)
180-30=150 (bir iç açısı)
Ör: 20 kenarlı düzgün bir çokgenin,
a)Bir dış açısı: ⁄ =18
b)Bir iç açısı: 180-18=162
c)İç açıları toplamı: 162.20=3240
Ör: Bir dış açısı: ⁄ =72
Bir iç açısı: 180-72=108
İç açıları
toplamı:108.5=540
x+x+130+(x+30)+(x-20)=540
4x+140=540 ise 4x=400 olup x=100
35
SORULAR
1. x=?
2.
3.
4.
5.
36
6.
7.
8.
9.
10.
11.
37
7.3.3.Dörtgenlerin Kenar-Açı ve Köşegen
Özellikleri
Paralelkenar, karşılıklı kenarları eşit olan ve iç
açıları toplamı 360 derece olan bir dörtgendir.
Karşılıklı kenarları paralel ve uzunlukları eşittir.
Paralelkenar : Karşılıklı kenarları paralel olan
dörtgene paralelkenar denir. Bir dörtgenin
karşılıklı kenarları birbirine paralelse karşılıklı
kenarlar birbirine eşittir.
EŞKENAR DÖRTGEN
Bir eşkenar dörtkenarı eşit uzunlukta bir
dörtgendir.
Her eşkenar dörtgen bir paralelkenardır ve dik
açılı olanı bir karedir.
Her eşkenar dörtgende köşeleri birleştiren iki
çift paralel kenar ve iki köşegen vardır. Eşleşik
(benzer) üçgenler kullanılarak, eşkenar
dörtgenin bu köşegenlerin her birine göre
simetrik olduğu ispatlanabilir. Dolayısıyla her
eşkenar dörtgen aşağıdaki özellikleri taşır:
1. Karşı açılar eşittir.
2. Köşegenler birbirine diktir; yani eşkenar
dörtgen bir dik köşegenli dörtgendir.
3. Köşegenler açıortaydır.
YAMUK
38
KARE
Bütün kenarları ve açıları (90'ar derece)
birbirine eşit olan dörtgendir. Aynı zamanda
dikdörtgendir ve eşkenar dörtgendir. Bu iki
özel dikdörtgenin tüm özelliklerini taşır. Aynı
zamanda kare bir düzgün çokgendir. Eski adı
ise murabbadır.
ÖZELLİKLERİ
* Dört kenarının da uzunluğu birbirine eşittir. * Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir. * Dört açısı da 90 derecedir. * İki adet köşegeni vardır. Bu köşegenler aynı zamanda açıortaylardır ve uzunlukları birbirlerine eşittir. * Alanının formülü bir kenarı "a" olan karede 'axa'dır. * Köşegenlerin kesim noktası 90 derecedir. * Köşegenlerin kesiştikleri nokta karenin ağırlık merkezidir.
* Alanını bulmak için bir kenar uzunluğunun karesi alınır. * Köşegenleri birbirini dik ortalar. * Çevresi a.4 veya 'a+a+a+a'ya eşittir. * Aynı zamanda bir düzgün
çokgendir.
DİKDÖRTGEN
Dikdörtgen, kenarları ikişer ikişer birbirine dik ve paralel olan dörtgen.
Bir dikdörtgende, karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren birbirine dik iki simetri ekseni vardır. Bu eksenlerin kesim noktası aynı zamanda köşegenlerin de kesim noktasıdır, bu noktaya simetri merkezi denir. Dikdörtgenin dört açısı da dik açıdır ve köşegenleri birbirine eşittir.
Dikdörtgenin dört açısı da 90 derecedir. İç açıları toplamı 360 derecedir.
Dikdörtgenin karşılıklı kenarları birbirine eşittir.
Dikdörtgen simetrik bir şekildir. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları
paraleldir ve karenin 2 katının görünümündedir.
Dikdörtgen aynı zamanda bir dörtgendir.
Dikdörtgenin iki tane köşegeni vardır. Uzunlukları eşittir.
Dikdörtgenin çevre uzunluğu Ç=2(a+b) dir
Dikdörtgenin alanı A=a.b dir.
39
SORULAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
40
7.
8.
9.
10.
11.
12.
41
13.
14.
15.
16.
17.
18.
42
7.3.4.Çokgenlerde Eşlik ve Benzerlik
Kenar uzunlukları ve bu kenarların
oluşturduğu açıların ölçüleri eşit olan
çokgenlere eş çokgenler denir.
Eş çokgenlerde benzerlik oranı 1’dir.
Benzer çokgenlerin açıları eş ve
karşılıklı kenar uzunluklarının oranı
birbirine eşittir.
Bu oran “benzerlik oranı” olarak
adlandırılır. Eş çokgenlerin benzerlik
oranı 1'dir.
Yandaki ABCD
dörtgeninin
aşağıdaki
çokgenlerin hangisi
ile eş, hangisi ile
benzer olduğunu
bulalım.
a) ABCD ve KLMN dörtgenlerinin eş
açılarını ve karşılıklı kenar
uzunluklarının oranını bulalım:
43
İki çokgenin açıları birbirine eş ve benzerlik
oranı 1 (karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eş)
olduğu için bu iki çokgen birbirine eştir. Bunu
ABCD dörtgeni ≅ KLMN dörtgeni şeklinde
yazabiliriz.
b) ABCD ve PRST dörtgenlerinin eş
açılarını ve karşılıklı kenar
uzunluklarının oranını bulalım:
ABCD ve PRST dörtgenlerinin açıları eş, kenar
uzunlukları orantılı olduğundan bu iki dörtgen
benzerdir. Bunu ABCD yamuğu PRST yamuğu
şeklinde yazabiliriz. Dörtgenlerin benzerlik
oranı 2’dir.
SORULAR
1. Aşağıdaki çokgenlerin birbirine eş veya
benzer olup olmadıklarını belirleyiniz.
44
2.
3.Hangi parçaların eş olduklarını belirleyiniz.
4. Mehmet'in 8 cm x 11 cm boyutlarında
fotoğrafı vardır. Sınav giriş belgesindeki
fotoğraf bölümünün boyutları 4 cm x 6 cm’ dir.
Mehmet, fotoğrafı kesmeden ve şekli
değişmeyecek şekilde küçültebilir mi? Neden?
45
7.3.5.Tablo ve Grafikler - Sütun Grafiği -
Çizgi Grafiği - Daire Grafiği
Sütun Grafiği
ÖR:
Çizgi Grafiği
ÖR:
Daire Grafiği
ÖR:
NOT: Microsoft Excel kullanarak tabloları
grafiklere rahat bir şekilde çevirebilirsiniz. Bu
sebeple iyi bir excel kullanıcısı olmanız tavsiye
edilir. Ayrıca excel matematikte çok yararlı bir
program olduğu bilinmelidir.
Tablo Nasıl Oluşturulur?
- Veriler toplanır,
- Elde edilen veriler belirli sıraya göre yazılır,
- Uygun bir tablo oluşturulur,
- Tabloya uygun bir başlık yazılır.
Tablomuz çetele veya sayı tablosu olabilir.
Örnek bir tablo:
NOT: Çizgi, sütun ve daire grafikleri ile tablolar
istatistiksel temsil biçimleridir.
1- Çizgi Grafiği
Toplanan bilgilerin yatay ve dikey eksenlerdeki kesişimlerini çizgi yardımı ile birleştirilmesi ile elde edilen grafik çeşididir.
Çizgi grafikleri araştırılmak istenen konudaki değişimleri ve gidişatı gösterir ve ileriki durumlar için kestirimde (tahminlerde) bulunulmasına olanak sağlar.
Örnek bir çizgi grafiği:
Anket, istatistik gibi araştırma sonuçlarını gösteren ve tüm verilerin bir çizgi üzerinde kesiştiği grafik türü. Çizgi grafiği okumak için önce grafik üzerinde bir nokta belirlenir. Bu noktanın yatay ve düşey eksenlerdeki değerlerinden yararlanılır.
46
Çizgi Grafiğinin Kullanım Alanları
Araştırmalar sonucu elde edilen bilgilerin çizgi ile ifade edilerek gösterilmesine çizgi grafiği denir. Çok yönlü kullanma imkânı olduğu için en çok kullanılan grafiktir. Hastanelerde, hastaların günlük vücut sıcaklıkları genellikle bu tür grafiklerle gösterilir. Bir dikey, bir yatay çizgi çizilir ve bunlar eşit aralıklarla bölünür.
Aşağıdakileri yapmak istiyorsanız, dağılım grafiği yerine çizgi grafiğini tercih edebilirsiniz:
Yatay eksen boyunca metin etiketleri kullanma Bu metin etiketleri aylar, üç aylık dönemler ve mali yıllar gibi eşit aralıklı değerleri gösterebilir.
Yatay eksen boyunca az sayıda sayısal değer kullanma Zaman aralığını, örneğin yılları temsil eden
az sayıda, eşit aralıklı sayısal
etiketler kullanıyorsanız, çizgi
grafiğini kullanabilirsiniz.
Yatay eksen boyunca zaman ölçeği kullanma Çalışma sayfasındaki tarihler sıralı olmasa veya aynı temel birime sahip olmasa bile, tarihleri gün, ay veya yıl sayısı gibi belirli aralıklarla veya temel birimlerle kronolojik sırada görüntülemek istiyorsanız, çizgi grafiği kullanın.
NOT: Çizgi grafiklerinde eksen aralığının yanlış alınması grafiğin yanlış yorumlanmasına yol açabilir. Resim veya şekil grafikleri, verilen değerlere uygun çizilmemiş veya yanlış yorumlara yol açacak şekilde çizilmiş olabilir. Bu yüzden verilen değer ile resmin veya şeklin uygunluğuna dikkat edilmelidir.
2-Sütun Grafiği
Toplanan bilgilerin sütun şeklindeki grafik ile gösterilmesine sütun grafiği denir. Bu tip grafikte gösterilmek istenen değerler sütun veya çubuklarla ifade edilir. Çizgi grafiğinde olduğu gibi dikey ve yatay çizgiler çizilir ve eşit aralıklarla bölünür. Karşılaştırılacak değerler bu aralıklar üzerinde işaretlenir. Aynı genişlikte sütunlar bu işaretlere kadar uzatılır.
Sütun Grafiği Özellikleri: Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay
eksende ve düşey eksende ölçülen
değerlerin birbirine göre durumları
sütunlarla (çubuklarla) belirtilir. Yatay
eksende incelediğimiz bir değere göre,
düşey eksendeki değişimi görebiliriz.
Sütun Grafiğinin Kullanım Alanları Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay
eksende ve düşey eksende ölçülen
değerlerin birbirine göre durumları
sütunlarla (çubuklarla) belirtilir. Yatay
eksende incelediğimiz bir değere göre,
düşey eksendeki değişimi görebiliriz.
Ürün hasılatlarının yıllara dağılımı Fabrikada üretilen ürünlerin
üretim miktarları (aya-yıla göre) Bir kentte ya da ülkede yıllara
bağlı yağışlar Bir okuldan mezun olan öğrenci
sayısının yıllara göre dağılımı Ülkeler arası üretim
karşılaştırması Bir forum sitesine günde gelen
mesaj sayısının incelenmesi
47
Daire Grafiği
Toplanan bilgilerin amaca uygun, çizilen dairenin dilimlere ayrılarak gösterilmesine daire grafiği denir.
Bir bütünün ayrılan çeşitli parçalarını ifade etmek için daire grafiği kullanılır. Çizilen bir daire üzerinde amaca uygun biçimde verileri yüzdelerine göre çeşitli parçalara bölünerek, daire grafiği yapılır.
Daire grafiğinde tam açı 360 dereceyi kullanırız. Bir bütünün tamamını 360 dereceye eşitleyip dilimlerin karşılık geldiği açıları buluruz. Daire grafiğinde dilimler belirlenirken açı ölçüleri önemlidir. Daire grafiği bir bütünün parçaları hakkında bilgi sunmada en güçlü temsil yöntemidir.
NOT: Daire grafiğinde dilimler belirlenirken açı ölçüleri önemlidir. Daire grafiğinde daire dilimlerindeki merkez açıların ölçüleri toplamı 360° dir.
NOT: Daire grafiği bir bütünün parçaları hakkında bilgi sunmada, çizgi grafiği ise artış ve düşüşleri uygulamada en güçlü temsil yöntemidir.
NOT: Daire grafiğinde her bir bölgenin merkez açısının ölçüsünü tamamının 3600 olmasından yola çıkarak oran-orantı yoluyla bulabiliriz.
SORULAR
48
49
11.
12.
50
7.3.6.Merkezi Eğilim ve Yayılma Ölçüleri
Aritmetik ortalama, ortanca (medyan) ve tepe
değeri (mod) istatistikte yer alan ortalama
çeşitleridir.
Bu değerler merkezî eğilim ölçüleridir.
Aritmetik ortalama duyarlı ortalama iken
diğerleri duyarlı olmayan ortalamalardır.
Verilerin yorumlanmasında amaca uygun
ortalama çeşidi kullanılmalıdır.
ORTANCA(MEDYAN)
Bir veri grubu sıralandığında ortadaki değere
ortanca adı verilir.
Eğer ortada iki değer varsa yani veri sayısı çift
ise ortanca, bu değerlerin aritmetik
ortalamasıdır.
MOD(TEPE DEĞER)
Bir veri grubunda en çok tekrar eden değere
tepe değeri adı verilir.
Bir veri grubunun birden fazla tepe değeri
olabilir. Tepe değeri hiç olmayabilir.
NOT: Bir veri grubunda en tipik özelliği veya
değeri belirlemek istediğimizde tepe değerini
kullanmamız gerekir.
AÇIKLIK
Açıklık, bir veri grubundaki en büyük değer ile
en küçük değerin farkıdır. Açıklık bir yayılma
ölçüsüdür.
Açıklık = en büyük değer – en küçük değer
Çeyrekler açıklığı yayılma ölçüsüdür. Veriler
sıralandıktan ve ortanca değeri bulunduktan
sonra alt ve üst çeyrekler bulunur.
Alt çeyrek, ortancaya göre verilerin alt
yarısının ortanca değeridir.
Üst çeyrek, ortancaya göre verilerin üst
yarısının ortanca değeridir.
Çeyrekler açıklığı = üst çeyrek – alt çeyrek
şeklinde hesaplanır.
Çeyrekler açıklığı, uçlarda yer alan verilerden
daha az etkilendiği için verilerin yayılması
hakkında açıklıktan daha iyi bilgi verir.
ARİTMETİK ORTALAMA (A.O.)
Verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür.
NOT: Veri grubunda çok yüksek ve çok düşük
değerlerin olması aritmetik ortalamayı etkiler.
Bu tür değerler olmadığında aritmetik
ortalama, var olan durumu ortaya koymada
veya gelecek ile ilgili tahmin yapmada
kullanışlı bir ortalama çeşididir. Veri grubunda
çok yüksek ve çok düşük değerlerin olması
durumunda ortanca, aritmetik ortalamadan
daha sağlıklı bilgi verir. Bunun nedeni sözü
edilen değerlerin ortancayı etkilemesidir.
ÖR: Aşağıda bir sınıfta bulunan 13 öğrencinin
ailelerinin kaçar kişiden oluştuğu gösterilmektedir. 1, 3, 2, 2, 4, 6, 8, 3, 5, 6, 5, 6, 4 Bu veri grubuna ait tepe değeri, ortanca, aritmetik ortalama, açıklık ve çeyrekler açıklığını bulunuz. Verileri sıralayalım(büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıralamak sonucu değiştirmez) 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8 --------------------------------------------------------------------
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8
Tepe değer: En çok tekrar eden=6 --------------------------------------------------------------------
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8
Medyan: Ortadaki= 4 --------------------------------------------------------------------
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8
Açıklık: 8-1=7
51
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8
Çeyrekler Açıklığı: 6-3=3 --------------------------------------------------------------
1+ 2+ 2+ 3+ 3+ 4+ 4+ 5+ 5+ 6+ 6+ 6+ 8=55 55:13=4,23
Aritmetik Ortalama=4,23 Soru 1. Bir sınıfta bulunan 18 öğrencinin matematik sınavından aldığı puanlar aşağıda verilmiştir. 48, 56, 58, 62, 68, 70, 70, 71, 72, 75, 79, 81, 82, 82, 82, 88, 90, 92 Bu veri grubuna ait A)Açıklık, B)Çeyrek açıklık, C)Tepe değeri, D)Ortanca değeri
E)Aritmetik ortalamayı bulunuz.
52
7.4.1.Rasyonel Sayılarla Çok Adımlı İşlemler
*
*Çok adımlı işlemlerde hangi işlemin daha
önce yapılacağı ayraçlarla belirtilir.
*Kesir çizgisi kullanılarak verilen işlemlerde
işlem önceliği kesir çizgisine göre belirlenir.
ÖR:
ÖR:*
+
*
+
ÖR:
*
+
*
+
[ ]
ÖR:(
)+(
).(
)=(
)+(
)=
ÖR:
SORULAR
53
54
ÖR:
9.
ise x kaçtır?
10.
ise x kaçtır?
ÖR:
55
7.4.2.Doğrusal Denklemler ve Grafikleri-
Kartezyen Koordinat Sistemi
ÖR: Buket, haftada 10 TL harçlık almaktadır.
Tablo ve grafikle bu durumu inceleyelim.
Buket’in aldığı harçlık ile zaman arasındaki
ilişkinin denklemini bulalım:
Harçlık ile zaman arasında doğrusal bir ilişki
vardır ve bu doğrusal ilişkinin denklemi
p=10.h’tır. Bu denklem p-10.h=0
şeklinde de gösterilebilir. Bu tür denklemlerin
belirttiği grafikler, doğrusal grafiklerdir.
ÖR: Taksi ile yapılan yolculukların ücreti
taksimetre ile belirlenir. Ankara’da taksimetre
130 Kr ile açılır ve her kilometrede 130 Kr
artar. Açılış ücretini de göz önüne alarak
gidilen yol ile ücret arasındaki ilişkiyi bulup
tabloda gösterelim. Daha sonra bu ilişkiyi
gösteren denklemi yazıp çizgi grafiğini çizelim:
Yol ile ücret arasında doğrusal bir ilişki vardır
ve bu ilişkinin denklemi ü=130+y.130’dur. Bu
denklemi ü-130.y-130=0 şeklinde de
gösterebiliriz.
SONUÇ
Doğrusal ilişkiyi ifade eden denklem doğrusal
denklemdir. Doğrusal denklem iki değişkenden
oluşan
ax + by + c = 0
şeklinde gösterilebilir. Bu ifadede c sabit sayı,
a ve b kat sayılardır.
56
Kartezyen koordinat sistemi, iki sayı
doğrusunun sıfır noktasında birbiri ile dik
kesişmesi sonucu oluşur. Yatay eksen “x
ekseni (apsisler ekseni)”, dikey eksen ise “y
ekseni (ordinatlar ekseni)” olarak
isimlendirilir. Koordinat eksenlerinin kesim
noktası ise “başlangıç noktası” veya “orijin”
olarak adlandırılır.
Kartezyen koordinat sistemindeki herhangi bir
nokta sıralı ikililerle belirlenir ve her noktaya
karşılık gelen bir sıralı ikili vardır. Bir sıralı
ikilide birinci sayı x eksenindeki, ikinci sayı ise
y eksenindeki koordinatı gösterir.
ÖR:
x=0 için y değeri bulunur. A(0,y)
y=0 için x değeri bulunur. B(x,0)
Bulunan noktalar koordinat düzleminde
işaretlenir.
Bu noktalar bir doğru yardımıyla birleştirilir.
Ör: 6x+2y=0
x=0 için y=0
y=0 için x=0 bulunur. Demek ki doğrumuz
orijinden geçiyor. O halde
x=1 olsun y= -3 olur.
y= 3 için x= -1 olur.
57
SORULAR
2.
3. Bir karınca, koordinat sisteminde A (4,6)
noktasında bulunmaktadır. Karınca, önce dikey
olarak aşağı yönde 5 birim, sonra sağına
dönerek yatay bir şekilde 7 birim, daha sonra
da dikey olarak aşağı yönde 10 birim
ilerlemiştir. Karıncanın en son bulunduğu
koordinatları belirleyiniz.
58
4. Pastacı Ali Usta, yapacağı pastanın
kremasında her bardak süt için sütün üç
katından bir bardak fazla şeker kullanıyor.
Buna göre;
• Yukarıdaki tabloda kullanılması gereken
şeker miktarlarını belirleyiniz.
• Süt ve şeker miktarı arasındaki ilişkinin
cebirsel ifadesini yazınız. Bu ilişki doğrusal
mıdır?
NOT: Doğrusal denklemlerin grafiklerinde her
sıralı ikili bir nokta belirtir ve bu noktalar aynı
doğru üzerindedir. Bu noktalara doğrudaş
noktalar denir.
5. A(a,2a+1) noktası y=3x-4 doğrusu üzerinde
ise a kaçtır?
6.Aşağıdaki noktalardan hangisi 2y-4x+6=0
doğrusunun üzerindedir?
A)(-1,4) B)(1,2) C (0, -3)
D) 3,-3)
59
7.4.3.Rasyonel Sayılarla İlgili Problemler
Çözme
Ör: x=?
Cevap:
ÖR:
Cevap B
ÖR:
ÖR:
60
ÖR: Hangi sayının yarısının yarısının 1 eksiği 13
tür?
x=56
ÖR:
ÖR:
SORULAR
1.
2.
61
3.
4.
5.
62
7.4.4.Faktöriyel
Tanım
1'den n'ye kadar (veya n'den geriye doğru 1'e
kadar) olan doğal sayıların çarpımı “n! (n
faktöriyel)” biçiminde gösterilir.
=n.(n-1)...3.2.1
n!=1.2.3…(n-1).n
0!=1 olarak kabul edilir.
Örnekler:
4!=1x2x3x4=24
8!=1x2x3x4x5x6x7x8
5!=1.2.3.4.5
1!=1
2!=1.2
4!=4.3!
12!=12.11!
12!=12.11.10!=132.10!
7!=7.6.5.4!=210.4!
n!=1.2.3.4. … .n
n!= n.(n-1)!
n!= n.(n-1).(n-2)!
(2n)!= (2n). (2n-1)!
(2n)!= (2n). (2n-1).(2n-2)!
SORULAR
*5!=
*7!=
*3!+2!=
* 0!+0!-1!=
*3!-2!+4!=
*6!-5!=
*1!+2!+3!+4!+5!=
S2.
S3.
S4.
S5.
S6.
63
7.4.5.Permütasyon
Permütasyon denilince akla “sıralama”
gelmelidir.
ÖR: Bir olimpiyat oyununda, erkekler 110 m
engelli yarışına 8 atlet katılıyor. Bu yarışta ilk
üç sıralama kaç değişik şekilde gerçekleşebilir?
Çözüm:
8 yarışmacından biri birinci, kalan 7
yarışmacıdan biri ikinci ve kalan 6
yarışmacıdan biri de üçüncü olur. Bu durumda
ilk üç sıralama, 8.7.6=336 şekilde olabilir.
Bu hesaplamayı faktöriyel kullanarak tekrar
ifade edelim.
SONUÇ:
n ve r birer doğal sayı ve r ≤ n olmak üzere
n'nin r'li permütasyonlarının (dizilişlerinin)
sayısı “P(n,r)” şeklinde gösterilir.
ÖR:
ÖR: A=,1,2,3,4,5- A kümesinin elemanları
kullanılarak rakamları farklı,
a) 2 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
P(5,2)= 20
b) 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
P(5,3)= 60
Ör: A={a,b,c,d} kümesinin üçlü
permütasyonlarının kaçında a veya b
bulunur?
A kümesinin elemanları arasından a ve b yi
ayırırsak kalan elemanlardan oluşturacağımız
3'lü permütasyonlar P(3,3)=6 olur.
Buna göre 5 elemanlı A kümesinin 3 elemanlı
alt kümelerinin tamamından a ve b nin
bulunmadığı durumu çıkartırsak soruda
istenen şartı sağlarız.
P(5,3)-P(3,3)=60-6=54 olur.
SORULAR
1. 3 farklı pantolon,5 farklı ceket ve 4 farklı
gömleği olan bir kişi bir pantolon, bir ceket ve
bir gömleği kaç farklı şekilde giyebilir?
2. 1,4,8,9 rakamlarıyla kaç tane 4 basamaklı
doğal sayı yazılır ?
3. P(n,2)=P(n,3) olduğuna göre n kaçtır?
4. 2233444 sayısının rakamları yer
değiştirilerek kaç farklı yedi basamaklı sayı
yazılır?(Not: Bu soru tekrarlı Permütasyon ile
çözülür.)
5. 4 erkek ve 5 kız yuvarlak bir masa etrafında
kaç değişik biçimde oturabilir?(Not: Bu soru
Dairesel Permütasyon ile çözülür.)
6. ''FURKAN''kelimesinin harflerinin yerleri
değiştirilerek yazılabilecek altı harfli
kelimelerden kaç tanesinde her R harfinden
hemen sonra A harfi gelir?
64
7.4.6.Ayrık ve Ayrık olmayan Olaylar ve
Olasılıkları
Örnek: “KALEMLİK” kelimesinin her harfi eşit
özellikteki kâğıt parçalarına yazılarak harfler
bir torbaya atıldığında bir harfin çekilmesi
olayı ile ilgili örnek uzay,
Ö = ,K, A, L , E, M, L, İ, K- olur.
“KALEMLİK” kelimesinin harflerinden oluşan
evrensel küme E = ,K, A, L, E, M, İ- olarak ifade
edilir.
Olasılık Teorisi’nde olayları ifade ederken
listeleme yöntemi kullanıldığında “Kümeler
Teorisi’nin tam tersine her bir eleman yazılır.
Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar
A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşiyorsa
böyle olaylara ayrık olmayan olaylar adı
verilir.
Ayrık olmayan olayların kesişim kümesi boş
küme değildir.
s(A∪B) = s(A) + s(B) – s(A∩B) olur.
A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşmiyorsa
böyle olaylara ayrık olaylar adı verilir.
Ayrık olayların kesişim kümesi boş kümedir.
A∩B = ∅
s(A∪B) = s(A) + s(B) olur.
ÖR: Atılan bir zarın üst yüzeyine gelecek
sayıların 3'ten büyük veya çift gelme olasılığını
bulunuz? E={1,2,3,4,5,6}
A={4,5,6}
B={2,4,6}
A n B={4,6}
O(AUB)= O(A) + O(B) - O(A n B)
O(AUB)= 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6 = 2/3
ÖR: Bir kutuda 1'den 10'a kadar
numaralandırılmış 10 kart vardır. Kutudan
rastgele seçilen bir kartın 2 veya 8 numaralı
kart olması olasılığı kaçtır?
O(AUB)= O(A) + O(B)
O(AUB)= 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5
ÖR: Hilesiz bir zar atılıyor. Zarın üst yüzüne
gelen sayının 3'ten büyük ve çift sayı olma
olasılığı kaçtır?
A={4,5,6} B={2,4,6} AnB={4,6 } ise A ile B
olayları ayrık olmayan birer olaydır.
O(AUB)=O(A)+O(B)-O(AnB) ile olasılığı
hesaplanır.
O(AUB)=3/6+3/6-2/6=4/6=2/3
veya
AUB={2,4,5,6} s(AUB)=4 o(AUB)=4/6=2/3
Ör: Zarın bir kez atılması deneyine ilişkin
olarak aşağıdaki olaylar düşünülecek olursa;
65
A = çift sayı elde edilmesi = ,2, 4, 6-
B = tek sayı elde edilmesi = {1, 3, 5}
C = 5’den küçük sayı elde edilmesi = ,1, 2, 3,
4} bu olaylara ilişkin olarak,
a) A ve B olayları ayrık mıdır?
b) A ve C olayları ayrık mıdır?
SORULAR
1. Cuma günleri yapılan törende bayrağı
göndere çekmek için 4. sınıflardan bir öğrenci
seçilecektir. 4. sınıflarla ilgili tablodan
yararlanarak aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
4A 4B 4C
KIZ 20 13 24
ERKEK 12 19 8
a. Seçilen öğrencinin 4A sınıfından olma veya erkek öğrenci olma olayının çeşidi nedir?
b. Seçilen öğrencinin 4A ve 4B sınıfından olma olayının çeşidi nedir? c. Seçilen öğrencinin 4B sınıfından bir kız öğrenci olma olasılığını hesaplayınız.
ç. Seçilen öğrencinin 4C sınıfından olma veya erkek öğrenci olma olasılığını hesaplayınız.
d. Seçilen öğrencinin 4A sınıfından bir erkek
öğrenci olma olasılığını hesaplayınız.
e. Seçilen öğrencinin 4A veya 4C sınıfından bir
erkek öğrenci olma olasılığını hesaplayınız. 2.Bir kutuda 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 kart vardır. Kutudan rastgele seçilen bir kartın 2 veya 5 ten küçük numaralı kart olması olasılığı kaçtır?
66
3. Hilesiz bir zar atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının 3'ten büyük ve çift sayı olma olasılığı kaçtır? 4. İlker ve Aysun, oynayacakları bir oyun için, alfabedeki harfleri aynı özelliklere sahip küçük kâğıtlara yazıp katlayarak bir torbanın içine atıyorlar. Kurala göre isminin harflerini ilk tamamlayan kişi oyunu kazanacaktır. Buna göre Aysun, torbada bütün harfler varken bir harf çektiğinde, bu harfin “a” veya “y” gelme olasılığı nedir? 5. Hakan ve Sevgi aralarında “hafıza oyunu” oynuyorlar. 16 kartla oynanan bu oyunun amacı, aynı sayıyı gösteren iki kartı eşleştirmektir. Kartların şekilleri aşağıdaki gibidir.
Buna göre;
a) Hakan'ın açtığı kartın kırmızı renkli veya çift sayılı olma olasılığı nedir? b) Sevgi'nin açtığı kartın mavi renkli veya tek sayılı olma olasılığı nedir?
67
7.4.7.Olasılık-Geometri İlişkisi
ÖR:
30 Ağustos Zafer Bayramı'nda gösteri yapan
paraşütçülerin iniş yapacakları alan yukarıdaki
gibidir. Bir paraşütçünün bu bölgedeki kırmızı
boyalı alana inme olasılığı nedir?
SORULAR
1. Yanda, kenar
uzunlukları 2 cm
kısaltılarak iç içe
çizilmiş
karelerden
oluşan platform,
hedef vurma
oyunu için
kullanılmaktadır. Buna göre platformu tutan
bir atış yapıldığında;
a) 12’yi vurma olasılığı nedir?
b) 6’yı vurma olasılığı nedir?
c) 4'u vurma olasılığı, 10'u vurma olasılığından
yüzde kaç daha fazladır?
2. Yanda boyutları
verilen dikdörtgenler
prizması şeklindeki bir
kutu, masanın üzerine
atılıyor. A, B ve C
bölgelerinin kutunun üst yüzüne gelme
olasılıklarını hesaplayınız.
68
Yanda
verilen
dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun
karşılıklı yüzleri aynı renktedir. Buna göre 3, 4,
5 ve 6. soruları yanıtlayınız.
3.Bu kutu atıldığında üste gelen yüzeyin yeşil
olma olasılığı kaçtır?
4.Kutu atıldığında üste gelen yüzeyin mavi
olma olasılığı kaçtır?
5. Kutu atıldığında üste gelen yüzeyin kırmızı
olmama olasılığı kaçtır?
6. Kutu atıldığında üste gelen yüzeyin yeşil ve
mavi olmama olasılığı kaçtır?
69
7.5.1. Dönüşüm Geometrisi-Yansıma
Bir nesnenin bir doğruya göre simetriğine
yansıma (ayna simetrisi) denir.
Not: Bir şeklin kendisi ile yansıması eştir.
ÖR:
Yanda verilen sayıların önce yatay eksene göre
yansımasını sonra yatay eksendeki şeklin dikey
eksene göre yansımasını bulunuz.
Bu şeklinde(yatay yansımadaki) dikey eksene
göre yansıması ise aşağıdaki gibidir.
Ör: Aşağıdaki yansımaları verilmiş şekilleri
inceleyelim.
Not: Şekillerin görünüşü ile kendilerinin
aynaya(doğruya) olan uzaklıkları eşittir. Bu
sebeple şeklin üzerinden alacağımız herhangi
bir noktanın doğruya uzaklığı ile yansımasının
uzaklığı eşittir.
SORULAR
1. Aşağıdaki şekillerden hangisi yansıma
simetrisine sahiptir?
70
2. Aşağıdaki şekillerin yansımasını çiziniz.
3. Aşağıdaki şekillerden hangisi yansıma
simetrisine sahiptir?
4. Aşağıdaki şekillerden hangisi yansıma
simetrisine sahip değildir?
a) b)
c) d)
5. Aşağıda verilen TUR kelimesinin önce 1 numaralı doğruya göre simetrisini çiziniz. Oluşan şeklin 2 numaralı doğruya göre simetrisini çiziniz. Son elde ettiğiniz şeklin 3 numaralı doğruya göre simetrisini çiziniz. Yaptığınız işlemlerden yararlanarak bir şeklin tek sayıda ve çift sayıda doğruya göre simetrisi alındığında elde edilen görüntülerin arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
6. Ambulans taşıtının önündeki “AMBULANS” ve itfaiye araçlarındaki “İTFAİYE” yazılarının niçin ters yazıldığını açıklayınız.
71
7. Aşağıdaki şekillerin yansımasını çiziniz.
8. Aşağıdaki şekillerden hangisi yansıma simetrisine sahiptir?
9. Yandaki şeklin yansımasını çiziniz.
72
7.5.2.Dönme Hareketi, Düzlemde Bir
Noktada Şekilleri Belli Bir Açı Döndürme
Bir şeklin boyutu ve biçimi değişmeden, yeri ve
duruşunun değişmesi sonucu oluşan harekete
dönme hareketi denir.
Döndürülen şeklin biçim ve boyutu değişmez.
Dönme hareketi sonucunda şeklin duruşu ve
yeri değişir.
Bir şekil, bir nokta etrafında döndürüldüğünde
o nokta dönme hareketinin merkezi olur.
Saatteki akrep ve yelkovanın bağlı olduğu pim,
salıncaktaki oturağı taşıyan iplerin veya
zincirlerin bağlandığı yer dönme hareketinin
merkezidir. Yelkovanın ilk durumu ile son
durumunun oluşturduğu açıya dönme açısı
denir.
Çeyrek dönme 90 derecelik dönmedir.
Yarım dönme 180 derecelik dönmedir.
Tam dönme 360 derecelik dönmedir.
180 derecelik dönmeye merkezil dönme veya
noktaya göre simetride denir.
NOT: Bir şekil kendi merkezi etrafında 360
dereceden küçük açı ile döndürüldüğünde en
az bir kez kendisi ile çakışıyorsa bu şekil
dönme simetrisine sahiptir.
Dönme simetrisinde verilen geometrik şeklin
en küçük dönme simetri açısı bulunurken:
Verilen şeklin tam ortasına dönme merkezi
işaretlenir. Verilen geometrik şeklin kaç eşit
kenarı varsa ya da kaç tane birbirine eşit farklı
yönlü yüzü varsa dönme simetri sayısı budur.
Ve 360 derece bu kenar sayısına bölünerek en
küçük dönme simetri açısı bulunur. Yani
dönme simetri sayısı kenar sayısına eşit
olacak. Ama kenarları birbirine eşit düzgün
çokgen tarzındaki şekiller için.
Örneğin;
Karenin en küçük dönme simetri açısı
360:4=90 derece olduğundan dönme simetrisi
vardır.
Düzgün altıgenin en küçük dönme simetri açısı
360:6=60 derece olduğundan dönme simetrisi
vardır.
Eşkenar üçgenin en küçük dönme simetri açısı
360:3=120 derece olduğundan dönme
simetrisi vardır.
Buradan anlaşıldığı üzere düzgün çokgenler
yani eşkenar üçgen, kare, düzgün altıgen,
düzgün beşgen dönme simetrisine sahiptir ve
en küçük dönme simetri açısı vardır.
ÖR: Yanda verilen şeklin saat
yönünde 3 kez döndürülerek
elde edilmiş görüntülerini inceleyelim.
SORULAR
1. Aşağıdaki figürlerin, O noktasının etrafında
verilen açıya göre, saat yönünde çevrilmiş
hâllerini çiziniz.
73
2.
3. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
I. Döndürülen şeklin biçim ve boyutu değişmez. II. Döndürülen şeklin duruşu ve yeri değişmez. III. Çeyrek dönme 90° lik dönme, yarım dönme ise 180°lik dönmedir. IV. 180° lik dönme merkezil dönmedir.
4. Aşağıdaki şekillerden hangisi diğer şekillerin
döndürülmüşü ile elde edilemez?
5. Yandaki şeklin
döndürülmüş hali hangisi
olamaz?
6.
Yukarıdaki şekillerin numaralarını, aşağıda
verilen açıklamalardan uygun olanının
karşısına yazınız.
74
a) Doğru simetrisi:
b) Dönme simetrisi:
c) 60o deki dönme simetrisi:
ç) 120o deki dönme simetrisi:
d) 72o deki dönme simetrisi:
e) 90o deki dönme simetrisi:
f) 180o deki dönme simetrisi:
7.
8.
9.
75
7.5.3.Süsleme ve Süsleme Kodu
ÖR: Yamuk ve paralelkenarlar ile desenler
oluşturarak noktalı
kâğıda bir süsleme
yapalım. Süslemede
çokgenler arasında
boşluk kalmaması
gerektiğinden, yamuk ve
paralelkenar şekilleri ile yandaki gibi bir
süsleme yapabiliriz. Yaptığımız süslemeyi
aşağıdaki gibi değişik renklere boyayarak farklı
görünümler elde edebiliriz.
Süsleme yapılabilmesi için her bir
köşede oluşan acıların ölçülerinin
toplamı 360o olmalıdır.
Bir süslemede, her köşedeki düzgün
çokgensel bölgelerin kenar sayıları “
süslemenin kodu” dur.
ÖR:
Örüntü
bloklarından
altıgen, kare ve
eşkenar üçgenin
ucunu birden
kullanarak bir
süsleme yapalım.
Yaptığımız süslemeye ait kodu bulalım:
Süslemeyi yandaki gibi yapabiliriz. Seçtiğimiz
her köşe etrafında, iki adet kare (kenar sayısı 4
ve 4), birer adet eşkenar üçgen (kenar sayısı 3)
ve birer adet düzgün altıgen (kenar sayısı 6)
vardır.
Eşkenar üçgenin bir iç acısı 60o, Karenin bir iç
acısı 90o, Düzgün altıgenin bir iç acısı 120o
olduğundan süsleme
üzerinde seçtiğimiz her
bir kösede oluşan
açıların ölçülerinin
toplamı,
60o+90o+120o+90o=360o
dir.
ÖR: Aşağıdaki süslemenin kodunu bulunuz.
Cevap:
6;4;3;4
ÖR: Aşağıdaki süslemenin kodunu bulunuz.
Cevap:
6;6;6
Ör:
Modeliyle yansıma, öteleme ve
dönme hareketlerini kullanarak
süsleme yapalım.
76
SORULAR
1. Süslemenin kodunu bulunuz.
2. Aşağıdaki süslemelerdeki yansımaları
bulunuz.
3. Aşağıdaki süslemede öteleme, yansıma ya
da dönme hareketlerinden hangisi vardır?
4.
5. Yandaki
kutucuklardaki
harflerden hangisi
veya hangileri;
77
a)
b)
c)
6. Aşağıdaki süslemenin kodunu bulunuz.
78
7.5.4. Tam Sayıların Kendileriyle Tekrarlı
Çarpımı - Üslü Sayılar
Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımına o
sayının kuvveti denir. Yapılan bu tekrarlı
çarpma işleminin sonucunu bulmaya ise
kuvvet alma işlemi denir. Kuvvet ile üs eş
kavramlardır.
NOT: Sıfır hariç her sayı için n0 = 1’dir.
NOT: Negatif bir tam sayının tek kuvvetinin
değeri negatiftir. Negatif bir tam sayının çift
kuvvetinin değeri pozitiftir.
NOT: 10’un pozitif kuvvetleri bulunurken 1
yazılır. 1’in sağına 10’un kuvveti kadar 0
yazılarak sonuç bulunur.
NOT: Negatif sayıların üssünü alırken sayının
parantez içinde olup olmaması önemlidir.
Negatif sayı parantez içinde değilken üssü
alınıyorsa sadece sayının kuvveti alınır ve (–)
işareti sayının önüne yazılır.
ÖRNEKLER
a.a.a.a.a…..a=an (n tane a’nın çarpımı)
(a=taban, n=üs veya kuvvet)
3x3x3x3x=34 (4 tane 3’ün yan yana yazılıp
çarpılmasıdır.)
Sıfırın sıfırdan farklı bütün kuvvetleri 0’a
eşittir.
01=0
05=0
10’un pozitif kuvvetleri:
101=10
102=100
103=1000
Negatif bir tam sayının tek kuvvetleri daima
negatif sayıdır.
(-2)1=-2
(-2)3=-8
Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri daima
pozitif sayıdır.
(-2)2=4
(-2)4=16
79
SORULAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
80
9.
10.
11.
12.
13.
14.
81
7.5.5. Örüntüleri Modelleme ve Modelleri
Harflendirme
“n” harfi, örüntüdeki sayıların sırasını veya
yerini belirten işaret, sembol veya
notasyondur. Bu yüzden n’ye örüntünün n.
sayısı, temsilci sayısı veya genel sayısı denir.
Bir örüntüde, istenen sıradaki sayıyı bulmak
için örüntü ilişkisinin harfli ifadesindeki harfin
yerine hangi sıradaki sayı bulunmak
isteniyorsa o sıra sayısı yazılır.
Örnek: Örüntü ilişkisi 3n + 2 olan örüntüde 4.
sırada bulunan sayı
3n + 2 = 3 . 4 + 2 = 14’tür.
Buna göre örüntüdeki herhangi bir sırada
bulunan sayı, bulunduğu sıra sayısının 2
katından 2 fazlası hesaplanarak bulunur.
ÖR:
Model:
ÖR:
SORULAR
1. Aşağıdaki küpler arasındaki ilişkinin
kuralını bulunuz.
2.
Sizde 18, 50 ve 90. Terimleri bulun.
82
3.
4.Örüntülerin kurallarını bulunuz.
5.
6.
7.
83
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
84
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
85
7.5.6. Bilinçli Tüketim Aritmetiği Yüzdeler
YÜZDE KÂR ve ZARAR HESAPLARI
Paydası 10 100 1000 vb gibi olan kesirler %
ile ifade edilebilir. Örneğin 45/100 kesrini % 45
şeklinde yazabiliriz.
Her rasyonel sayıyı yüzde ile ifade edebiliriz.
Bunun için gereken paydadaki sayıyı 10 100
ya da 1000 yapmaktır.
ALIŞVERİŞTEKİ YÜZDE HESAPLARI
Yüzde Hesapları
%y=
Bir sayının yüzde y’sı=x.(
)
Bir sayının yüzde y fazlası=x+x.(
)
Bir sayının yüzde y eksiği=x-x.(
)
Bir sayının yüzde y’sı ile yüzde z’sinin toplamı
=x.(
)+ x.(
)
Bir sayının yüzde y’sı ile yüzde z’sinin farkı
=x.(
)- x.(
)
Yandaki satış fişini inceleyelim. %18 KDV
oranıyla 7,65 TL lik yiyecek alınmıştır. Alınan
yiyeceğin KDV’siz fiyatını bulalım:
7,65 TL’lik fiyat, KDV dahil fiyattır. KDV’siz
fiyat ile %18 KDV’sinin toplamı 7,65 TL’dir.
KDV’siz fiyata x diyelim. Denklemi x+x.
=
7,65 şeklinde kurabiliriz.
KÂR - ZARAR HESAPLARI
Kâr zarar hesaplarında bilmemiz gereken üç
temel kavram vardır.
Alış Fiyatı: Bir malın üretildiği yerden alındığı
fiyata denir.
Maliyet Fiyatı: Alınan malın satılacak olan yere
getirilinceye kadar yapılan masrafların( taşıma
sigorta depo kirası vs.) alış fiyatına
eklenmesi ile ortaya çıkan fiyatına denir.
Satış Fiyatı: Bir malın maliyet fiyatına belli bir
kâr eklenmesi ile ortaya çıkan fiyata denir.
İNDİRİM - TENZİLÂT - İSKONTO
İndirim ya da iskonto satış fiyatının üzerinden
yapılır. Bir anlamda kârdan indirim yapmaktır.
Bunu zarar kavramı ile karıştırmamalıyız.
ZARAR
Bir mal alış fiyatından daha düşük fiyata
satılırsa zarar edilmiş olur. Yani alış fiyatının
satış fiyatından yüksek olması durumudur.
Zarar = Alış fiyatı - Satış fiyatı
KDV Hesapları
KDV devletin aldığı katma değer vergisidir.
Bir ürünün KDV’li satış fiyatı =
(ürünün fiyatı) + *(ürünün fiyatı).(KDV oranı)+
Örnek: 100 liralık bir montun yüzde 8’i KDV’si
vardır Bu mont kaç liraya alınır?
86
KDV=100.(8/100)=8 TL KDV vardır.
KDV’li satış fiyatı=100+8=108 TL alırız.
Kar-Zarar Hesapları
Alış (maliyet) fiyatı= A
Satış (etiket) fiyatı= S
Kar oranı=K
Zarar oranı=Z
İndirim oranı=İ
1) Yüzde x kar ile satış
Satış fiyatı = Alış fiyatı + Kar
S=A+K ise S=A+[(A.x)/100]
2) Yüzde x zarar ile satış
Satış fiyatı=Alış fiyatı - Zarar
S=A-Z ise S=A-[(A.x)/100]
3) Yüzde x indirim ile satış
Satış fiyatı=Alış fiyatı -İndirim
S=A-İ ise S=A-[(A.x)/100]
Örnek: 120 TL’lik bir takım elbise yüzde 20 kar
ile ne kadara satılır?
Önce kar oranını bulmalıyız.
120.(20/100) yani (120.20)/100 buradan da
2400/100
Kar=24 TL olur.
Satış fiyatı=Alış fiyatı + Kar
S=120+24=144 TL karlı satış
ÖR: 160 liraya alınan bir mal 120 liraya
satılıyorsa bu malın satışındaki zarar yüzdesi
kaçtır?
160 - 120 = 40 lira zarar vardır.
SORULAR
1. 60 TL’ye alınan bir ceketten % 20 kâr elde edilebilmesi için ceket kaç TL’ye satılmalıdır?
2. 900 TL’ye alınan bir beyaz eşya 1080 TL’ye satıldığına göre ürüne uygulanan kâr oranı yüzde kaçtır? 3. Yüzde 18 zararla satılan bir üründen 324 TL zarar edildiğine göre bu ürünün alış fiyatı kaç TL’dir?
4. %20 zararla 32 liraya satılan bir gömleğin
alış fiyatı kaç liradır?
87
5. Bir mal %20 indirimle 200 liraya satılıyorsa
malın indirimsiz satış fiyatı kaç lira olur?
6. 150 liraya alınan bir mal 180 liraya
satıldığında kâr oranı % kaç olur?
7. Telefon faturalarındaki Katma Değer
Vergisinin %18 oranında olduğu bir ülkede
35,04 TL'lik bir konuşmaya kaç TL KDV eklenir?
8. Markete gittiğinizde alacağınız yoğurdun
fiyatının 5,2 TL'den 4,94 TL’ye düşmüş
olduğunu gördünüz. Fiyatta % kaç iskonto
yapılmıştır?
9. Bir mağaza, önce ürünlerini %30 kar ile
satmak istemiş fakat sonra satış fiyatı
üzerinden %12,5 iskonto (indirim) yapmak
zorunda kalmıştır. Bu mağaza toplam % kaç
kar etmiştir?
88
7.5.7. Faiz Hesaplama
Faiz Hesaplamaları: Bir miktar para, belirli bir
süre için borç olarak verilince, para sahibine
belirli bir oranda kar olarak ödenen miktara
faiz denir.
Faiz almak için verilen paraya kapital,
uygulanan yüzde oranına faiz oranı ve
kapitalin faizde kaldığı süreye zaman denir.
A= Anapara(kapital)
t= Yüzde
n= Zaman
f=Faiz miktarı
Faiz miktarı yıllık, aylık ve günlük olarak
hesaplanabilir.
f=A.n.t/100 Yıllık Faiz Formülü
f=A.n.t/1200 Aylık Faiz Formülü
f=A.n.t/36000 Günlük Faiz Formülü
Faiz hesaplarında 1ay=30 gün ve
1yıl=360 gün alınır.
Faiz problemlerin de, yüzde
problemi gibi çözülebilir.
SORULAR
1. Bir miktar para % 8 faiz oranıyla 3 yıl faizde kalıyor. Bu süre sonunda faiziyle birlikte 620 TL olan para, başlangıçta kaç TL’dir?
2. Betül Hanım parasının yarısını % 15 faiz oranı ve 2 yıl süre ile bir bankaya yatırıyor. Parasının diğer kısmını ise % 6 faiz oranı ve 24 ay süre ile başka bir bankaya yatırıyor. Betül Hanım’ın başlangıçta 1800 TL’si olduğuna göre bu süre sonunda toplam kaç TL’si olmuştur?
3.
4. Ali Bey, kredi kartı borcunun ocak ayı faturasını üç ay sonra ödeyebilmiştir. Ocak ayı borcu 486 TL ve bankanın aylık gecikme faizi oranı %5,5 olduğuna göre Ali Bey, kaç TL faiz ödemiştir? 5. %8'lik KDV oranıyla satılan bir gıda ürününün KDV dahil satış fiyatı 1450 Kr olursa bu ürün için toplam ne kadar KDV ödenir?
89
7.6.1. Dairesel Silindir
Silindir: Alt ve üst tabanı eş iki daireden
oluşan ve bu iki dairenin etrafında yüksekliği
“h” olan bir dikdörtgenin döndürülmesiyle
elde edilen 3 boyutlu geometrik cisim.
Dairesel silindirin tabanlarının karşılıklı iki
noktasını birleştiren doğrulara silindirin ana
doğruları denir. Dik dairesel silindirde ana
doğrular taban düzlemlerine diktir.
Dairesel silindirde, tabanların merkezlerini
birleştiren doğruya eksen denir.
Dairesel silindirin ekseni tabanlara dik ise dik
dairesel silindir, tabanlara dik değilse eğik
dairesel silindir denir.
Dik dairesel silindirde ana doğrular taban
düzlemlerine diktir.
Tabanlardan birinin bir noktasından, diğer
tabanın düzlemine inilen dikme silindirin
yüksekliğidir. Taban yarıçapı da silindirin
yarıçapıdır.
Eğik silindir
90
7.6.2. Farklı Yönlerden Görünümleri
Verilen Nesneleri Çizme
Yapıların modellerini oluşturmak için yönler
belirtilerek farklı görünümleri verilmelidir.
Yapıların yüzlerini çizerken önden, arkadan,
sağdan, soldan, üstten ve alttan
görünümlerine bakarız.
Görünümler kareli kâğıda ama yapımız
izometrik kâğıda çizilir.
ÖR:
ÖR:
Şeklin görünümlerini çizelim.
ÖR:
Şeklin görünümlerini çizelim.
SORULAR
1.
Şeklin görünümlerini
çiziniz.
2.Şeklin görünümlerini çiziniz.
3.
Şeklin
görünümlerini
çiziniz.
4.
Şeklin görünümlerini
çiziniz.
91
7.6.3. Kenar-Çevre Alan İlişkisi
Kenar uzunluğu ile alan arasında şu ilişki
vardır:
Kenar uzunluğu arttıkça alan da artar, kenar
uzunluğu azaldıkça alan da azalır.
Karenin Çevresi=4.25=100
Dikdörtgenin Çevresi=2(40+10)=100
Her iki şeklinde çevresi eşit bir de alanlarına
bakalım,
Karenin Alanı: 25.25=625
Dikdörtgenin Alanı=40.10=400
Sonuç: Demek ki çevresi eşit olan her şeklin
alanı eşit olmuyormuş.
ÖR:
Bir kenar uzunluğu 1 cm olan birim karelerden
yukarıdaki gibi üç farklı şekil elde edilmiştir. Bu
şekiller arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
Üç şeklin alanı da 10 cm2 dir.
I. Şeklin çevresi=14 cm
II. Şeklin çevresi=14 cm
III. Şeklin çevresi=22 cm
Sonuç: Demek ki alanı eşit olan her şeklin
çevresi eşit olmuyormuş.
***Aynı alana sahip şekiller farklı çevre
uzunluklarına sahip olabilir. Aynı çevre
uzunluğuna sahip şekiller, farklı alanlara sahip
olabilir.
SORULAR
1. Alanı 24 cm2 olan dikdörtgenleri çizerek
bunlardan en büyük çevreye sahip olanı belirleyiniz.
2. Çevresi 18 cm olan dikdörtgenleri çizerek en
büyük alana sahip olanı belirleyiniz. 3. Çevresi 28 br olan karenin kenar uzunlukları iki katına çıkarıldığında alanı kaç br
2 olur?
4.Bir dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu 3 te 1ine indirildiğinde alanın iki kat artması için uzun kenarı kaç birim arttırılmalıdır? 5.Alanı 23 olan dikdörtgenin çevresinin maksimum tam sayı değeri kaçtır? 6. Alanı 18 olan dikdörtgenin çevresinin minimum tam sayı değeri kaçtır?
92
7.6.4. Paralelkenar-Eşkenar Dörtgen-Yamuk
Paralelkenar
Taban: a
Yükseklik: h
Alan: a.h
Taban: b
Yükseklik: h
Alan: b.h
Alan: a.ha
Alan: b.hb
Sonuç: a.ha = b.hb olur.
NOT: Paralelkenarda komşu iki açının
açıortayları arasında kalan açı 90° dir.
NOT: *AC+ köşegeni, *DK+ ve *DL+ doğru
parçaları paralelkenarın alanını şekildeki gibi
bölerler.
Eşkenar Dörtgen
IACI=y
IBDI=x
Alan=
Alan köşegenlerin çarpımının yarısına
eşittir.
Eşkenar dörtgen parelel kenarın tüm
özelliklerini taşır.
Alan: a.h
NOT: Eşkenar dörtgenin köşegenleri aynı
zamanda açıortay doğrularıdır.
93
Yamuk
Alt taban= a
Üst taban= c
Yükseklik= h
Alan=
Paralel olmayan kenarları eşit olan yamuklara
ikizkenar yamuk denir.
İkizkenar yamukta taban ve tepe açıları kendi
aralarında eşittir.
Yamukta Orta Taban
ABCD
yamuğunda
E ve F
kenarların
orta
noktaları ise
EL
doğrusuna orta taban denir.
[AB] // [EF] //
[DC]
NOT: Bir yamukta alt ve üst iki köşenin, karşı
kenarın orta noktası ile birleştirilmesi sonucu
oluşan alan yamuğun alanının yarısına eşittir.
|BE| = |EC|
A(ABCD) = 2A(ADE)
DİK YAMUK
Alt taban= a
Üst taban= c
Yükseklik= h
Alan=
SORULAR
1.
94
2.
3.
4.
5.
6.
7.
95
8.
9.
10.
11.
96
7.6.5.Çember - Daire - Daire Dilimi
Çember, düzlemde sabit bir noktaya eşit
uzaklıkta bulunan noktaların kümesinin
oluşturduğu yuvarlak, geometrik şekil.
Tanımda bahsi geçen sabit noktaya çemberin
merkezi, eşit uzaklıkların her birine yarıçap,
yarıçapın iki katı uzunluğa ise çap denir.
Genellikle, merkez m veya O, yarıçap r, çap
ise R (Büyük r harfi) ile gösterilir. Çember
üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru
parçasına ise kiriş adı verilir.
Çevre: 2πr π≈3,14 r=yarıçap
Çember çevresi uzunluğundan yola çıkarak
orantı yardımıyla çemberin belli bir parçasının
uzunluğunu bulabiliriz.
2πr uzunluğundaki çember 3600 ise
x uzunluğundaki çember parçası α derecedir
Doğru Orantı var. İçler-Dışlar Çarpımı yapılır.
2πr. α=x.3600 olur.
Çember yayı (parçası) = x =
olur.
Not: Bazı sorularda π sayısı 3 veya ⁄
alınabiliyor. Fakat soruda böyle bir ifade yoksa
π sayını “π” olarak kullanacağız. Çünkü π sayısı
aslında bir sayıdır, bilinmeyen değil.
Daire
Daire, çemberin içinde kalan alana verilen
isimdir. Burada
alandan kasıt, bir
çemberin
çevrelediği
noktaların kümesi
olmasıdır. Bir
dairenin açık daire
ya da kapalı daire
olmasını dairenin sınırlarını oluşturan
çemberin daireye dahil olup olmadığı belirler;
çember daireye dahilse kapalı daire, değilse
açık dairedir.
Daireyi dilimlere ayırırsak ve bu dilimler o
kadar çok küçük seçilirse şekildeki dibi bir
dikdörtgen oluşturulabilir. Sonuçta ,
Dikdörtgenin Alanı= Uzun kenar x Kısa Kenar
O halde,
Dairenin Alanı = πr.r = πr2 bulunur.
Dairenin alanından yola çıkarak orantı
yardımıyla dairenin belli bir parçasının alanını
bulabiliriz.
πr2 alanlı daire 3600 ise
x alanlı daire α derecedir
Doğru Orantı var. İçler-Dışlar Çarpımı yapılır.
πr2. α=x.3600 olur.
97
Daire Diliminin Alanı= (x= πr2. α)/360 bulunur.
SORULAR
1.
2.
3.
4.
98
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
99
13.
14.
15.
16.
17.
18.
100
7.6.6.Dik Dairesel Silindirin Alanı ve
Hacmi
Silindir: Alt ve üst tabanı eş iki daireden
oluşan ve bu iki dairenin etrafında yüksekliği
“h” olan bir dikdörtgenin döndürülmesiyle
elde edilen 3 boyutlu geometrik cisim.
Yani, silindir iki eş daire ve bir
dörtgenden(genelde dikdörtgen) oluşur.
Dairenin Alanı = πr2 bulunur.
Dikdörtgenin Alanı= Uzun kenar x Kısa Kenar
2 Dairenin Alanı =2. πr2
Dikdörtgenin Alanı=2πr.h
Dik Silindirin Yüzey Alanı=
= 2 Dairenin Alanı + Dikdörtgenin Alanı
= 2. πr2+2πr.h=2 πr(r+h) olur.(Ortak paranteze
alındı)
SİLİNDİRİN HACMİ
Silindir bir dikdörtgenin herhangi bir kenarı
etrafında 3600 döndürülmesiyle oluşan üç
boyutlu bir cisimdir.
Günlük hayatta kavanoz, boya rulosu vb
örnekleri vardır.
Dairenin Alanı’nın πr2 formülü ile
bulunduğunu biliyoruz. Bulunan bu daireden
çok sayıda elimizde olduğunu düşünelim. Bu
daire pullarını üst üste koyduğumuz zaman
yüksekliği “h” olan bir silindir olacağını
göreceğiz.
Sonuç:
Silindirin Hacmi = πr2.h bulunur.
SORULAR
1.
101
2.
3.
4.
5.
6.
7.
102
8.
9.
10.
103
Recommended
