MATEMATİK - yaricap.com · 10 SINIF MATEMATİK •Polinomlar •Çarpanlara Ayırma •İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 2

10SINIF

MATEMATİK•Polinomlar•Çarpanlara Ayırma•İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

2

YAYIN KOORDİNATÖRÜOğuz GÜMÜŞ

EDİTÖRHazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN

DİZGİMuhammed KARATAŞ

SAYFA TASARIM - KAPAKF. Özgür OFLAZ

1. BASKIAğustos 2018

İLETİŞİM

Ostim Mah. 1207 Sokak No: 3/C–D Ostim / Ankara

Tel: 0312 395 13 36Fax: 0312 394 10 04

[email protected]

twitter.com/yaricappfacebook.com/yaricapyayinlari

instagram.com/yaricapyayinlari

Bu kitabın her hakkı Yarıçap Yayınlarına aittir. 5846 ve 2936 sayılı Fikir ve

Sanat Eserleri Yasası’na göre Yarıçap Yayınlarının yazılı izni olmaksızın,

kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz,

bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.

Eğer bir gün sözlerim bilim ile ters düşerse, bilimi seçin...

M. Kemal Atatürk

SUNUSevgili Gençler,

Matematik ve geometri hem okul derslerinde hem de üniversiteye giriş sınavlarına hazırlıkta en önemli yere sahiptir.

Yarıçap Yayınları olarak eğitim - öğretim hayatınızda bu derslerle ilgili sorunlarınızı temelden çözebilmeniz için TAMAMI VİDEO ANLATIMLI

olan kitaplarımızı sizlere sunuyoruz.

Yarıçap Yayınları matematik ve geometri fasikülleri konuları en temelden kavramanızı ve öğrendiklerinizi pekiştirebilmenizi sağlamak

amacıyla birbirini bütünleyen “BİLGİ - BİRLİKTE ÇÖZELİM - SIRA SİZDE - ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM - KONU TESTİ” olmak üzere 5 bölümden oluşmaktadır.

® “BİLGİ” bölümünde kazanımlarla ilgili açıklayıcı ve öğretici bilgiler verilmiştir.

® “BİRLİKTE ÇÖZELİM” bölümleri “BİLGİ” ile ilişkilendirilmiş örneklerin bulunduğu alandır.

® “SIRA SİZDE” bölümlerinde konuyu kavramayı ve pekiştirmeyi sağlayacak sorular verilmiştir.

® “ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM” bölümünde açık uçlu sorular aracılığıyla öğrendiklerinizin daha sağlam hâle getirilmesi amaçlanmıştır.

® “KONU TESTİ” bölümlerinde konuyla ilgili çoktan seçmeli sorular verilmiştir.

“Başlamak, başarmanın yarısıdır.” sloganıyla çıktığımz yolculukta sizlere başarılar dileriz.

Oğuz GÜMÜŞDevrim ÖZATA

Seçkin KARAASLAN

İÇİNDEKİLERBÖLÜM 1: Polinomlar ..............................................................................................................5

Polinom Kavramı .................................................................................................................6Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 1.............................................................................................8Sabit Polinom.....................................................................................................................10Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 2...........................................................................................13Polinomlarda Değer Bulma ................................................................................................14Sabit Terim Uygulamaları ..................................................................................................15Katsayılar Toplamı .............................................................................................................16Polinomlarda Toplama - Çıkarma ......................................................................................17Polinomlarda Çarpma ........................................................................................................18Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 3...........................................................................................19Polinomlarda Bölme...........................................................................................................20Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 4...........................................................................................22Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma ..............................................................................23Polinomlarda Derece .........................................................................................................25Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 5...........................................................................................26Konu Testi 1, 2, 3...............................................................................................................28

BÖLÜM 2: Çarpanlara Ayırma ..............................................................................................35Polinom Çarpanları ............................................................................................................36Ortak Çarpan Parantezine Alma ........................................................................................37Gruplandırma .....................................................................................................................39Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 1...........................................................................................40İki Kare Farkı .....................................................................................................................42Tamkare Özdeşlikleri .........................................................................................................44Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 2...........................................................................................47İki Terimin Toplamının ve Farkının Küpü ...........................................................................49Küpler Toplamı ve Farkı ....................................................................................................50Üç Terimlinin Çarpanlara Ayrılması ...................................................................................51Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 3...........................................................................................53Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ..................................................................................55Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 4...........................................................................................58Konu Testi 1, 2, 3...............................................................................................................60

BÖLÜM 3: İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler .................................................67Çarpanlara Ayırarak Kök Bulma ........................................................................................68Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 1...........................................................................................71Diskriminant Yöntemi .........................................................................................................73Köklerin Varlığı ..................................................................................................................74Değişken Değiştirme Yöntemi ...........................................................................................76Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 2...........................................................................................77Karmaşık Sayılar ...............................................................................................................79Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 3...........................................................................................82Kök - Katsayı İlişkileri.........................................................................................................84Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 4...........................................................................................87Konu Testi 1, 2, 3...............................................................................................................88Cevap Anahtarı ................................................................................................................94

1BÖLÜM

POLİNOMLAR

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

6POLINOMLAR

Polinomlar

Polinom Kavramı - 1n∈N ve an, an – 1, ...., a2, a1, a0 gerçek sayılar olmak üzere, P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a2x2 + a1x + a0 şek-lindeki ifadelere n. dereceden polinom veya çok terimli denir. P(x) , Q(x), R(x) ... gibi büyük harflerle gösterilir.

Yani bir ifadenin polinom olabilmesi için x in kuv-vetleri doğal sayı olmalıdır.

an, an – 1,...., a2, a1, a0 polinomun katsayılarıdır.

anxn şeklindeki her bir ifadeye polinomun terimleri denir.

x polinomun değişkeni ve x in en büyük kuvveti poli-nomun derecesidir. der [P(x)] şeklinde gösterilir.

BİLGİ

BİRLİKTE ÇÖZELİM

1. Aşağıdaki ifadelerden hangileri polinomdur.Polinom olanların derecelerini belirleyiniz.

a) P(x) = x7 – 2x3 + 5x – 1Kuvvetlerin hepsi doğal sayı olduğu için polinomdur. Derecesi 7 dir.

b) P(x) = x – 4Kuvvetlerin hepsi doğal sayı olduğu için polinomdur. Derecesi 1 dir.

c) P(x) = x x2 123- +

N23b olduğu için polinom değildir.

d) P(x) = 5Polinomdur. Derecesi 0 dır.

e) P(x) = x3 – §x + 2

x x ve N212

1b= olduğu için polinom değildir.

f) P(x) = §2 x2 + 7x – 1Kuvvetlerin hepsi doğal sayı olduğu için polinomdur.

SIRA SİZDE - 1

1. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi bir polinom-dur?a) 3x4 – 2x3 + 5x – 1b) x x x4 2 14 2

3- - +

c) §5d) §5x2 – §x + 1e) x x2 3 52 + +

2. Aşağıdaki polinomların derecelerini bulunuz.a) P(x) = 4b) Q(x) = 5xc) R(x) = 2x2 – 7x + 1d) K(x) = 7x2 – x3 + 4x – 1

3. Aşağıdaki polinomların terim sayılarını bulunuz.a) P(x) = x3 – 2x + 5b) Q(x) = 2x2 + 7x

4. P(x) = 2x3 – 7x2 + 5x + 4

polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

7 POLINOMLAR

SIRA SİZDE - 2

1. Aşağıdaki polinomların başkatsayılarını ve sa-bit terimlerini bulunuz.a) P(x) = x3 + 4x2 – 7x + 5b) Q(x) = –x2 + 5x3 – x + 5c) R(x) = 4xd) K(x) = 6

2. P(x) = 6x3 + 7 . x n12

+ 5

ifadesi bir polinom olduğuna göre, n’nin alabile-ceği doğal sayı değerleri toplamı kaçtır?

3. P(x) = x6 – n + 2 . xn – 3 + 5

ifadesi bir polinom olduğuna göre, n’nin alabile-ceği değerler toplamı kaçtır?

4. P(x) = ax3 + 4x2 + 5x + b

polinomun başkatsayısı 7 ve sabit terimi 4 oldu-ğuna göre, a – b kaçtır?

Polinom Kavramı - 2

P(x) = anxn + an–1xn – 1 + ... + a2 x2 + a1 + a0 polinomunda,

• En büyük dereceli terimin katsayısı olan an, poli-nomun baş katsayısıdır.

• x değişkeninin bulunmadığı terim polinomun sabit terimidir.

BİLGİ


1. P(x) = 4x3 + 7x2 – 5x – 3

polinomunun başkatsayısını ve sabit terimini bulunuz.

der[P(x)] = 3 olduğundan x3 ün katsayısı, başkatsayı olur. Yani P(x) polinomunun başkatsayısı 4 tür.x değişkeni olmayan terim, –3 sabit terimdir.

2. ( ) .P x x x2 5n 2n6

= + +-

ifadesi bir polinom olduğuna göre, n’nin alabile-ceği değerleri bulunuz.

x değişkenlerinin kuvvetleri doğal sayı olmalıdır.

n N6! ise n = 1, 2, 3, 6

n – 2 ∈ N ise n = 2, 3, 4 ....n ∈ {2, 3, 6} bulunur.

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

8

ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM

POLINOMLAR

11. Aşağıdaki ifadelerden hangileri polinomdur?

a) x3 – 4§x – 7

b) 3x – x2

c) x2 – §2x – 7§2

d) 5

e) 3x3 + 3x–1 – 4x – 1

2. Aşağıdaki polinomların derecelerini, başkatsa-yılarını ve sabit terimlerini bulunuz.

a) P(x) = 4x7 – 2x2 + 5

b) Q(x) = –2x2 + 7x

c) R(x) = 4x – 7

d) K(x) = –5

e) B(x) = 3x2 – x3 + 7

3. P(x) = 2x2n + 4x3 – 7

polinomunun derecesi 6 olduğuna göre, n kaç-tır?

4. P(x) = 2x2n + 4x3 – 7

polinomunun derecesi 3 olduğuna göre, başkat-sayısı kaçtır?

5. P(x) = 4x2 – 2x + 5

polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

6. 2. dereceden, başkatsayısı 3 ve sabit terimi 4 olan bir P(x) polinomun katsayıları toplamı 12 dir.

Buna göre, P(x) polinomunu bulunuz.

7. P(x) = 2x2 – 7x + a + 1

polinomunun sabit terimi 6 olduğuna göre, a kaçtır?

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

10POLINOMLAR

SIRA SİZDE - 3

1. Aşağıdaki polinomlardan sıfır polinomu ve sabit polinom olanları belirleyiniz.

a) P(x) = x

b) Q(x) = 5

c) R(x) = –2

d) B(x) = 0

e) K(x) = §3x2

2. P(x) = (a – 4)x2 + (b + 2)x + c – 3

polinomu sabit polinom olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

3. P(x) = (a + 1)x2 + (b – 3)x + c – 4

polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

4. P(x) = (a – 3)x + c – 4polinomu başkatsayısı 7 olan sabit bir polinomdur.

Buna göre, a + c toplamı kaçtır?

Sabit PolinomP(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0

polinomunda

an = an – 1 = ... = a2 = a1 = 0 ise P(x) = a0 ifadesine sabit polinom denir.Yani sabit polinomda x değişke-ni bulunmaz.

BİLGİ


P(x) = (a – 1)x2 + bx + 4

polinomu sabit polinom olduğuna göre, a ve b değerlerini bulunuz.

a – 1 = 0 ve b = 0 olmalıa = 1 ve b = 0 bulunur.

Sıfır PolinomuP(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0

polinomunda

an = an – 1 = ... = a1 = a0 = 0 ise P(x) = 0 polinomuna sıfır

polinom denir.

BİLGİ


P(x) = ax2 +(b – 2)x + c – 3sıfır polinomu olduğuna göre, a, b ve c değerle-rini bulunuz.

a = 0, b – 2 = 0 ve c – 3 = 0 olmalıa = 0, b = 2 ve c = 3 bulunur.

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

13


POLINOMLAR

21. Aşağıdakilerden hangileri sabit polinomdur?

a) P(x) = 2xb) Q(x) = 4c) R(x) = –2d) K(x) = §5xe) ( )B x 3

1=

2. Aşağıdakilerden hangileri sıfır polinomudur?a) P(x) = –4b) Q(x) = 20

c) R(x) = 0d) K(x) = §5e) ( )B x 7

0=

3. P(x) = (a – 2)x + 4 – b

polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a · b çarpımı kaçtır?

4. P(x) = (a – 3)x + a + 2

polinomu sabit polinom olduğuna göre, P(x) in eşitini bulunuz.

5. Her x∈R için, x(x – 2) + x(x + 1) = ax2 + bx + c

eşitliği sağlandığına göre, a + b + c toplamı kaç-tır?

6. P(x) = x2 + 7x + 4

Q(x) = ax2 + bx + c

polinomları eşit olduğuna göre, a + b – c ifade-sinin eşiti kaçtır?

7. Her x reel sayısı için, x2 – 7x + 6 = ax2 – bx + c


8. +x2 –x2 x

1

–1–x

+ +

+

+ ++ +

–+

––

– – –Yukarıda verilen modelleme pullarına göre,

+x2 –x2 x

1

–1–x

+ +

+

+ ++ +

–+

––

– – –

şeklinde modellenen P(x) polinomunu bulunuz.

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

17 POLINOMLAR

SIRA SİZDE - 9

1. P(x) = 2x + 3

Q(x) = 3x – 2

olduğuna göre, P(x) + Q(x) polinomu bulunuz.

2. P(x) = 2x2 + 3x + 5 Q(x) = x2 – x + 4

olduğuna göre, aşağıdaki polinomları bulunuz.

a) P(x) – Q(x)

b) 2P(x) + Q(x)

c) 3P(x) – 2Q(x)

3. P(x) = ax2 + 3x + 2 Q(x) = 2x2 + bx + c

polinomları veriliyor.P(x) + Q(x) = 5x2 + 2x + 7

olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

Polinomlarda Toplama - Çıkarma

Polinomlarda toplama - çıkarma yapılırken aynı dere-celi terimler toplanır veya çıkarılır.

BİLGİ


1. P(x) = 2x2 + 3x + 5Q(x) = x2 + x – 1

olduğuna göre,

a) P(x) + Q(x) polinomunu bulunuz.

b) P(x) – Q(x) polinomunu bulunuz.

a) 2x2 + 3x + 5 + x2 + x – 1P(x) + Q(x) = 3x2 + 4x + 4 bulunur.b) 2x2 + 3x + 5 – x2 – x + 1P(x) – Q(x) = x2 + 2x + 6 bulunur.

2. P(x) = x2 + 4xQ(x) = 2x – 3polinomu veriliyor.2P(x) – 3Q(x) polinomu veriliyor.

2 · (x2 + 4x) – 3 · (2x – 3)2P(x) – 3Q(x) = 2x2 + 8x – 6x + 9 = 2x2 + 2x + 9şeklinde bulunur.

3.

3x

5x + 5

2xx + 3

Yukarıda bir bahçe içinde bulunan ev verilmiştir.

Buna göre, bahçenin ev dışındaki alanını göste-ren ifadeyi bulunuz.

Bahçenin Tamamı – Evin Alanı

= 3x(5x + 5) – 2x(x + 3)

= 15x2 + 15x – 2x2 – 6x

= 13x2 + 9x

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

19


POLINOMLAR

31. P(x) = x2 + x – 2

Q(x) = 2x2 – 3x + 5

olduğuna göre, aşağıdaki polinomları bulunuz.a) P(x) + Q(x)

b) P(x) – Q(x)

c) P(x) + 2Q(x)

2. P(x) = 2x + 3 Q(x) = 3x – 1

olduğuna göre, aşağıdaki polinomları bulunuz.a) P(x) . Q(x)

b) P2(x) + 2Q(x)

c) P(x) . Q(x) – P(x)

3. P(x) = 2x2 + 4x –1Q(x) = x2 + 4

polinomları veriliyor.2P(x) + Q(x) = ax2 + bx + c


4. Her x reel sayısı için, x · (2x – 1) + (x – 2) . (3x + 2) = ax2 + bx + c


5. P(x) = ax2 + 3x – 1Q(x) = 3x2 + bx + c

polinomları veriliyor.

2P(x) + Q(x) = 5x2 + 7x + 3

olduğuna göre, a – b – c ifadesinin eşiti kaçtır?

6. P(x) = 4x + 1 Q(x) = 2x + 5polinomları veriliyor.

P2(x) – Q(x) = ax2 + bx + c


YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

28

KONU TESTİ

POLINOMLAR

11. P(x) = 3x2 + 4x + 7

polinomu veriliyor.

Buna göre,I. P(x) in derecesi 3 tür.II. P(x) in başkatsayısı 3 tür.III. P(x) in sabit terimi 7 dir.

yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve IIID) I, II ve III E) II ve III

2. I. P(x) = 3x2 + x4 – 5

II. Q(x) = 3x2 – §7xIII. R(x) = 4

yukarıdaki ifadelerden hangileri polinomdur?

A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve IID) II ve III E) I, II ve III

3. P(x) = 4x2 + 7x – 3

polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

4. P(x) = 3xn – 3 + 4x5 – n + 3

ifadesi bir polinom olduğuna göre, n nin alabile-ceği kaç farklı değer vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. P(x) = 4x2 + 2x + 7

polinomunun derecesi kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7

6. ( ) . .P x x x x2 5 4 1n 3n12

= + + --

ifadesi bir polinom olduğuna göre, n nin alabile-ceği kaç farklı değer vardır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

7. P(x) = ax3 + 2x2 + 7 – a

polinomunun başkatsayısı 4 olduğuna göre, sa-bit terimi kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

8. P(x) = (a + 2)x3 + 4x2 + 7x + a – 1

polinomunun sabit terimi 3 olduğuna göre, baş-katsayısı kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

YARI

ÇAP

YAYI

NLAR

I

29 POLINOMLAR

9. Aşağıdaki polinomlardan hangisi sabit polinom değildir?

A) P(x) = 4 B) P(x) = –2x C) P(x) = x0

D) P(x) = 0 E) P(x) = §3

10. P(x) = (a – 1)x2 + (b + 3)x + 7

sabit polinom olduğuna göre, a + b toplamı kaç-tır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

11. P(x) = (a – 3)x2 + (b + 2)x + c – 4

sıfır polinomu olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

12. P(x) = 3x2 + 7x + 2

Q(x) = ax2 + bx + cpolinomları veriliyor.

P(x) = Q(x) olduğuna göre, a + b – c ifadesinin eşiti kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12

13. P(x) = 3x + 7polinomu veriliyor.

Buna göre, P(1) + P(2) toplamı kaçtır?

A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

14. Her x gerçel sayısı için x2 + ax – 5 = (x + 1)(bx + c)


A) –9 B) –8 C) 0 D) 8 E) 9

2002 / ÖSS

15. P(x + 1) = x2 – 3x + 1polinomu veriliyor.

Buna göre, P(x – 2) polinomunun sabit terimi kaçtır?

A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19

16. Gerçel katsayılı P(x), Q(x) ve R(x) polinomları ve-riliyor. Sabit terimi sıfırdan farklı P(x) polinomu için P(x) = Q(x)·R(x + 1)eşitliği sağlanıyor.

P’nin sabit terimi Q’nun sabit teriminin iki katı olduğuna göre, R’nin katsayılarının toplamı kaç-tır?

A) 32 B) 4

1 C) 43 D) 1 E) 2

2011 / LYS

Documents

MATEMATİK - yaricap.com · 10 SINIF MATEMATİK •Polinomlar •Çarpanlara Ayırma •İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 2