1

Asal Çarpanlara Ayırma / EBOB-EKOK3

ORTAK DERSLER

MATEMATİKProf. Dr. Emin KASAP

2

İçİndekİler5.1. ASAL ÇARPANLARA AYIRMA ........................................................................................................................... 3

5.1.1. Asal Sayılar............................................................................................................................................................................... 35.1.2. Aralarında Asal Sayılar ....................................................................................................................................................... 35.1.3. Bir Sayının Asal Bölenleri ................................................................................................................................................. 35.1.4. Bir Sayının Pozitif Tamsayı Olan Bölenlerinin Sayısı ......................................................................................... 3

5.2. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN ( EBOB ) ............................................................................................................... 35.3. SORULAR .................................................................................................................................................................... 3

Prof. Dr. Emin KASAP

Ünite: 5ASAL ÇARPANLARA AYIRMA / EBOB - EKOK

2

5.1. ASAL ÇARPANLARA AYIRMA

5.1.1. Asal Sayılar

Sadece 1 e ve kendisine bölünebilen doğal sayılara asal sayı denir.

2,3,5,7,11,13,17,… sayıları birer asal sayıdır.

Uyarı:

* En küçük asal sayı 2 dir.

*Asal sayılar 2 haricinde hep tektir.

5.1.2. Aralarında Asal Sayılar

1 den başka ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar

denir. Örneğin; 3 ile 5, 4 ile 7, 16 ve 27 aralarında asal sayılardır.

Uyarı:

İki sayının kendileri asal olmadıkları halde bu iki sayı aralarında asal

olabilir.

Örnek: x ve y birer pozitif doğal sayı olmak üzere x+1 ve y+2 sayıları

aralarında asaldır. (x+1)(y+2)=40 ise x+y nin değeri kaçtır?

Çözüm: 40=8.5 şeklinde aralarında asal iki sayının çarpımı olarak yazılabilir.

(x+1)(y+2)=40 olduğundan x+1=8, y+2=5 alınabilir. O halde x=7, y=3 olur.

x+y=10 bulunur.

Örnek: x ve y+2 aralarında asal iki doğal sayı olmak üzere 8

2 12

x

y

olduğuna göre x+y toplamı kaçtır?

Çözüm:

8 2

12 3 olduğundan x=2, y+2=3 olur.

x=2, y=1 olur.

x+y=3 bulunur.

3

5.1.3. Bir Sayının Asal Bölenleri

Bir doğal sayıyı tam olarak bölen asal sayılara o sayının asal bölenleri

denir. Örneğin; 45 sayısının pozitif tamsayı bölenleri 1,3,5,9,15 ve 45 olup

bunlar pozitif içerisinden asal olanlar 3 ve 5 tir.

a,b,c birbirinden farklı asal sayılar ; x,y ve z birer pozitif tamsayı olmak

üzere . .x y zK a b c ifadesine K sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli denir.

Örnek: 270 sayısının asal çarpanlarını bulalım:

270 2 olup 3270 2.3 .5 yazılabilir. O halde

135 3 270 in asal çarpanları 2,3 ve 5 tir.

45 3

15 3

5 5

1

5.1.4. Bir Sayının Pozitif Tamsayı Olan Bölenlerinin Sayısı

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve x,y,z pozitif tamsayılar olmak

üzere . .x y zA a b c şeklinde asal çarpanlarına ayrılan A sayısının pozitif tamsayı

olan bölenlerinin sayısı (x+1).(y+1).(z+1) dir.

Örnek: 120 sayısının pozitif tamsayı olan bölenlerinin sayısını bulalım:

120 2 3 1 1120 2 .3 .5 olduğundan pozitif tamsayı

60 2 bölenlerinin sayısı,

15 3 (3+1).(1+1).(1+1)=16 dır.

5 5

1

Örnek: , 10.6nn N A sayısının pozitif tamsayı olan bölenlerinin sayısı 60

ise n kaçtır?

Çözüm:

4

n n n n 1 n 1A 2.5.(2.3) 2.5.2 .3 2 .3 .5 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. A

nın pozitif tamsayı olan bölenlerinin sayısı,

(n+2).(n+1).2=60

(n+2).(n+1)=30

n=4 bulunur.

Uyarı:

Bir A tamsayısının pozitif tamsayı olan bölenlerininters işaretlileri de

sayının negatif tamsayı olan bölenleridir. Buna göre;

Bir sayının pozitif tamsayı olan bölenlerinin sayısı ile negatif tamsayı

olan bölenlerinin sayısı eşittir.

Bir sayının tamsayı olan bölenlerinin sayısı pozitif tamsayı

bölenlerinin sayısının .2 katıdır.

Bir sayının tamsayı olan bölenlerinin toplamı sıfırdır.

Örnek: 72 sayısının asal olmayan tamsayı bölenleri kaç tanedir?

Çözüm:

72 2 olup 3 272 2 .3 dir.

36 2 72 nin asal bölenleri 2 ve 3 tür. Yani 2 tane

18 2 asal böleni vardır.

9 3 72 nin pozitif tamsayı olan bölenlerinin sayısı

3 3 (3+1).(2+1)=12 dir. O halde tamsayı olan

1 bölenlerinin sayısı ise 2.12=24 olur. Bu

bölenlerden 2 tanesi asal olduğundan asal olmayan tamsayı bölenlerinin sayısı;

24-2=22 dir.

5

5.2. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN ( EBOB )

İki ya da daha fazla doğal sayının her birini tam olarak bölen sayıların en

küçüğüne , bu sayıların en büyük ortak böleni denir. Örneğin; 12 ve 16

sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım:

12 nin bölenleri 1,2,3,4,6,12

16 nın bölenleri 1,2,4,8,16

olup 12 ve 16 nın ortak bölenleri ise 1,2,4 dür. O halde 12 ve 16 nın en büyük

ortak böleni 4 olur.

EBOB(12,16)=4

şeklinde gösterilir.

Uyarı:

İki ya da daha fazla sayının en büyük ortak böleni bulunurken sayılar aynı

anda asal çarpanlarına ayrılır. Sayıların ortak bölenleri işaretlenir. Ortak

bölenlerin çarpımı en büyük ortak bölen olur.

Örnek: EBOB (12,16) = ?

12 16 2 *

6 8 2 *

3 4 2 EBOB (12,16) = 4 bulunur.

3 2 2

3 1 3

1

Örnek: Kenarlarının uzunlukları 200 cm ve 560 cm olan dikdörtgen

biçimindeki bir karton kesilerek eşit ve en büyük karelere ayrılacaktır. Bu

kartondan bu koşula uyan kaç tane kare elde edilir?

Çözüm: Karenin bir kenarı EBOB (200, 560) dan bulunur.

200 560 2 *

100 280 2 *

50 140 2 * EBOB (200,560) = 2.2.2.5=40 bulunur.

25 70 2 Bir karenin alanı 40.40=1600 2cm

6

25 35 5 * Kartonun alanı 200.560=112000 2cm

5 7 5 Kare sayısı 112000:1600=70 olur.

1 7 7

1

Uyarı:

a ve b aralarında asal iki doğal sayı ise EBOB a,b 1 dir. Örneğin;

EBOB 2,7 1 dir.

5.3. EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)

İki ya da daha fazla doğal sayının her birinin katı olan doğal sayılardan en

küçüğüne, bu sayıların en küçük ortak katı denir. Örneğin; 2 ve 8 sayılarının en

küçük ortak katını bulalım:

2 nin katları 2, 4,6,8,10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …

8 in katları 8, 16,24,32, …

O halde 2 ve 8 in ortak katları 8, 16,24, … olup 2 ve 8 in en küçük ortak katı 8

dir.

2,8 8EBOB

şeklinde gösterilir.

Uyarı:

İki yada daha fazla doğal sayının en küçük ortak katı bulunurken sayılar

aynı anda asal çarpanlarına ayrılır. Elde edilen tüm bölenlerin çarpımı sayıların

en küçük ortak katıdır.

Örnek: EKOK 2,8 ?

Çözüm:

2 8 2

1 4 2 EKOK 2,8 2.2.2 8 bulunur.

1 2 2

7

1 1

Örnek: Kenarları 40 cm ve 60 cm olan dikdörtgen biçimindeki levhalardan en

az kaç tanesi bir araya getirilerek bir kare elde edilir.

Çözüm: 40 ve 60 ın katı olan en küçük sayı istenilen karenin bir kenarının

uzunluğuna eşittir.

40 60 2 EKOK 40,60 2.2.2.3.5 120

20 30 2 Karenin alanı 120.120=1202 cm

2

10 15 2 Bir dikdörtgenin alanı 40.60=1400 cm2

5 15 3 Dikdörtgen sayısı 1202 : 2400=60 bulunur.

5 5 5

1 1

Uyarı:

Bu tip sorularda, bir bütün parçalara ayrılıyorsa EBOB, parçalar

birleştirilip bir bütün elde ediliyorsa EKOK kullanılır.

Uyarı:

a ve b sayıları asal iki doğal sayı ise EKOK a,b a.b dir.

a ve b doğal sayıları için

a.b EBOB a,b EKOK a,b

dir.

Örnek: EBOB 24,x 6, EKOK 24,x 168 ise x kaçtır?

Çözüm:

24.x EBOB 24,x .EKOK 24,x

24.x 6.168

x 42

bulunur.

Örnek: 6 ile bölündüğünde 4, 10 ile bölündüğünde 8, 14 ile bölündüğünde 12

kalanını veren üç basamaklı en küçük iki doğal sayının toplamı kaçtır?

8

Çözüm: Sayı x olsun.

6 ile bölündüğünde 4 kalanı verdiğinden 6 4x a

100 ile bölündüğünde 8 kalanı verdiğinden 10 8x b

14 ile bölündüğünde 12 kalanı verdiğinden 14 12x c

elde edilir.

6 4 2 6 6 6 1

10 8 2 10 10 10 1

14 12 2 14 14 14 1

x a x a a

x b x b b

x c x c c

olup 2x sayısı 6, 10, ve 14 ün katıdır.

EKOK 6,10,14 210 olduğundan

2 210 208

2 2.210 418

2 3.210 628

. .

. .

. .

x x

x x

x x

bulunur. En küçük iki x in toplamı,

208 418 626 dır.

Örnek: a, b ve c birer doğal sayı olmak üzere 3a+5 4b+2 5c 7 koşulunu

sağlayan en küçük a, b ve c sayıları için a+b+c toplamı kaçtır?

Çözüm:

3a+5 4b+2 5c 7x olsun.

2 3a+3 4b 5c 5

2 3 a+1 4b 5 c 1

x

x

olur. O halde 2x ; 3, 4 ve 5 in katıdır.

9

EKOK 3,4,5 60

x 2 60

x 2 2.60

x 2 3.60

.

.

.

En küçük değer,

2 60

62

x

x

olur.

3a 5 62 den a 19

4b+2=62 den b=15

5c+7=62 den c 11

a b+c 45 bulunur.

Örnek: 5 e bölündüğünde 3, 9 a bölündüğünde 5 kalanını veren üç basamaklı en

küçük doğal sayı nedir?

Çözüm: Sayı x olsun. O halde

5a 3 9b 5x

yazılabilir.

8 5a 5 9b 3

8 5 a 1 3 3b 1

x

x

olup 8x ; 5 ve 3 ün katıdır. O halde 8x in en küçük değeri

EKOK 5,3 15 olur.

10

8 15

8 2.15

8 3.15

.

.

.

x

x

x

olup 8x in üç basamaklı en küçük değeri 105 olur.

8 105

113

x

x

bulunur.

Örnek: Bir sepetteki yumurtaları 5 er 5 er, 6 şar 6 şar grupladığımızda daima 3

yumurta artıyor. Sepetteki yumurtaların sayısı 140 ile 170 arasında olduğuna

göre sepette kaç yumurta vardır?

Çözüm: Sepetteki yumurta sayısı x olsun.

5 er 5 er gruplandığında 3 yumurta artıyorsa 5a 3x

6 şar 6 şar gruplandığında 3 yumurta artıyorsa 6a 3x

olur.

5a 3 6a 3

3 5a 6a olup 3; 5 ve 6 nın katıdır.

x

x x

EKOK(5,6)=30 olduğundan

x-3=30

x-3=2.30

x-3=3.30

.

.

.

olacaktır. Yumurta sayısı 140 ile 170 arasında olduğundan x-3=150 den x=153

bulunur.

11

Örnek: 150 kg buğday ve 240 kg pirinç ayrı ayrı eşit büyüklükte kutulara

konulacaktır. Bunun için en az kaç kutu gerekir?

Çözüm:

240 150 2* EBOB(240,150)=2.3.5=30

120 75 2

60 75 2

30 75 2

15 75 3*

5 25 5*

1 5 5

1

Bir kutuya en fazla 30 kg ürün konulabilir. O halde buğday için 150/30=5 kutu,

pirinç için 240/30=8 kutu olmak üzere toplam 5+8=13 kutu gereklidir.

Örnek: Kenar uzunlukları 30, 45, 75 ve 105 m. olan dörtgen biçimindeki bir

tarlanın etrafına eşit aralıklarla fidan dikilecektir. En az kaç tane fidan

dikilebilir?

Çözüm:

30 45 75 105 2

15 45 75 105 3*

5 15 25 35 3

5 5 25 35 5*

1 1 5 7 5

1 7 7

7

EBOB(30,45,75,105)=3.5=15 (İki fidan arası uzaklık)

12

Tarlanın çevresiFidansayısı

İki fidan arası uzaklık

30 45 75 105

15

255

15

17.

Örnek: a ve b aralarında asal iki sayıdır.

EKOK(a,b)+EBOB(a,b) toplamı kaçtır?

Çözüm: a ve b aralarında asal olduğundan

EKOK(a,b)=a.b ve EBOB(a,b)=1 olur. O halde EKOK(a,b)+EBOB(a,b)=a.b+1

bulunur.

Örnek: İki pozitif tamsayının en büyük ortak böleni 18 ve en küçük ortak katı

630 dur. Sayılardan biri 90 ise diğer sayı kaçtır?

Çözüm: Sayılar a ve b olsun.

EBOB(a,b). EKOK(a,b)=a.b

18.630=90.b

b=126 bulunur.

Örnek: A kentinde 60 günde bir tiyatro şenliği, 72 günde bir konser grubu, 54

günde bir müzik şenliği yapılmaktadır. Aynı günde bu üç olay A kentinde

gerçekleştikten kaç gün sonra tekrar aynı günde gerçekleşir?

Çözüm: Üçünün de ortak katı olan sayıda bu üç olay aynı günde

gerçekleşecektir.

60 72 54 2

30 36 27 2

15 18 27 2

15 9 27 3

5 3 9 3

5 1 3 3

5 1 5

13

1

EKOK(60,72,54)=23.3

3.5=1080 gün sonra aynı günde gerçekleşir.

SORULAR

1) 292 den en az hangi sayıyı çıkardığımızda elde edilen sayı 2,5 ve 7 ye tam

bölünür? (Cevap: 12)

2) 24,36 ve 60 sayılarının EKOK u, EBOB unun kaç katıdır? (Cevap: 30)

3) a ve b pozitif tamsayılar a=3b dir. Bu iki sayının EKOK ve EBOB larının

çarpımı 147 olduğuna göre a kaçtır? (Cevap: 21)

4) Eni 84 cm boyu 189 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir levha hiç parça

artmayacak biçimde en az kaç tane eş kareye ayrılır? (Cevap: 36)

5) Boyutları 12,18 ve 24 cm olan dikdörtgenler prizması biçiminde bir kutu

vardır. Bu kutunun içine hiç boşluk kalmamak üzere küp biçiminde en az kaç

kutu yerleştirilebilir? (Cevap: 24)

6) 13 eksiği 6,9,15 sayılarına bölünebilen 3 basamaklı en küçük sayının

rakamları toplamı kaçtır? (Cevap: 13)

7) 1080,1800,2520 sayılarını bölen en küçük tamsayı kaçtır? (Cevap: 360)

8) 14 ve 10 ile bölündüğünde 4 kalanını veren üç basamaklı en büyük sayının

rakamları toplamı kaçtır? (Cevap: 21)

9) Bir havuz 30,45 ve 75 litrelik varillerle ayrı ayrı doldurulduğunda hiç su

artmamaktadır. Bu havuz en az kaç litre su alır? (Cevap: 450)

10) a bir pozitif doğal sayı a/8, a/12, a/20 sayıları birer doğal sayı ise a nın en

küçük değerinin rakamları toplamı kaçtır? (Cevap: 3)