Žvanut Ivana dokončna diplomska naloga - share.upr.si thinking supported by Piaget's theory of cognitive development and Vygotsky's sociocultural theory , and finally also with learning

UNIVERZA NA PRIMORSKEM

PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKA NALOGA

IVANA ŽVANUT

KOPER 2014

UNIVERZA NA PRIMORSKEM

PEDAGOŠKA FAKULTETA

Visokošolski strokovni študijski program

prve stopnje Predšolska vzgoja

Diplomska naloga

RAZUMEVANJE POJMA NESKONČNOSTI V

PREDŠOLSKEM OBDOBJU

Ivana Žvanut

Koper 2014

Mentor: doc. dr. Darjo Felda

IZJAVA O AVTORSTVU

Podpisana Ivana Žvanut, študentka visokošolskega strokovnega študijskega programa

prve stopnje Predšolska vzgoja,

izjavljam,

da je diplomska naloga z naslovom Razumevanje pojma neskončnosti v predšolskem

obdobju

- rezultat lastnega raziskovalnega dela,

- so rezultati korektno navedeni in

- nisem kršila pravic intelektualne lastnine drugih.

Podpis:

______________________

V Kopru, dne

ZAHVALA

Zahvaljujem se staršem, ki so mi ves čas študija stali ob strani in me spodbujali ter

vsem ostalim posebnim ljudem, ki so pripomogli k nastanku diplomske naloge.

Le otrokova domišljija pozna neskončno idej in zamisli, zato ji je vredno prisluhniti

in slediti!

POVZETEK

Predšolski otrok začne že zelo zgodaj kazati zanimanje za matematiko, ko na

primer prešteva svoje igrače, jih grupira in primerja med seboj, šteje dneve v tednu in

se seznanja s prostorskimi predlogi. Predšolsko obdobje, zlasti obdobje med tretjim in

petim letom, je tudi ključno za razvoj pojmov, ki otroku omogočajo razmišljanje na višji

ravni, vendar pa je v tem obdobju večina otrok še na stopnji prekonceptualnega

mišljenja. Tudi pojem neskončnosti je za otroke te starosti nekakšna »uganka«.

Diplomska naloga prikazuje otrokovo razumevanje neskončnosti. V teoretičnem delu je

predstavljen pojem neskončnosti ter njegova zgodovina, matematično mišljenje

predšolskega otroka, ki je podprto s Piagetovo kognitivno-razvojno teorijo in

sociokulturno teorijo Vigotskega ter nazadnje še učenje matematike v predšolskem

obdobju. V empiričnem delu sta predstavljeni dve dejavnosti, ki sem ju izvedla z otroki

v vrtcu in se navezujeta na usvajanje pojma neskončnosti. Namen dejavnosti je bil

otroke seznaniti in jim približati pojem neskončnosti ter opazovati, v kolikšni meri so

sposobni njegovega razumevanja. Preko deskriptivne metode opazovanja sem

ugotovila, da imajo otroci te starosti zgolj neke predpogoje za razumevanje, niso pa še

sposobni v celoti razumeti in dojeti pojem kot tak, kar je tudi skladno s Piagetovo

predoperativno stopnjo. Ugotovila sem tudi, da štiriletniki bolj razumejo sam koncept

neskončnosti od triletnikov, ki se v dejavnosti niso toliko vključevali, pač pa so zgolj

opazovali. Dejavnosti otroka te starosti morajo biti izpeljane smiselno in na konkretnem

nivoju.

Ključne besede: matematika v vrtcu, predšolski otrok, neskončnost, mišljenje,

razvoj pojmov

ABSTRACT

A preschool child and infinity

A preschool child starts showing his interest in mathematics at a very early age, for

example when counting his toys, putting them into groups and comparing them, when

counting the days of the week and when learning the prepositions of place.

A preschool period, especially the period between the age of three to five, is also

crucial for the development of concepts, which enable a child to think on a higher level.

However, the majority of children at this age are still at the stage of pre conceptual

thinking. Also the concept of infinity is a mystery to children of that age.

My diploma thesis focuses on a child's understanding of infinity. The theoretical

part of the thesis deals with the concept of infinity and its history, preschool children's

mathematical thinking supported by Piaget's theory of cognitive development and

Vygotsky's sociocultural theory , and finally also with learning of mathematics in a

preschool period.

The empirical part of thesis analyses two activities related to the understanding of

the concept of infinity which I carried out among children in a kindergarten. The aim of

these activities was to introduce the concept of infinity to children and observe to what

extent they can understand it.

With the descriptive method of observation I found out that children of that age

have only some kind of predispositions for understanding, however, they are not yet

able to understand and grasp that concept completely, which also agrees with Piaget's

preoperational stage.

I also found out that four-year –old children understand the concept of infinity

better than three-year – olds, who did not participate much in the activities ,they were

just observing them.

Activities for children of that age must be carried out logically and on a concrete

level.

Key words: mathematics in a kindergarten, a preschool child, infinity, thinking, the

development of concepts

KAZALO VSEBINE

1 Uvod ........................................................................................................................ 1

2 Teoretični del ........................................................................................................... 2

2.1 Neskončnost – zgodba brez konca ................................................................. 2

2.2 Möbiusov neskončni trak ................................................................................ 2

2.3 Zgodovina neskončnosti ................................................................................. 3

2.4 Predšolski otrok in matematično mišljenje ...................................................... 5

2.4.1 Piagetova kognitivno-razvojna teorija .................................................. 6

2.4.1.1 Miselna struktura in miselni procesi ....................................... 7

2.4.1.2 Piagetovi stadiji kognitivnega razvoja .................................... 8

2.4.2 Sociokulturna teorija L. S. Vigotskega ................................................10

2.4.2.1 Razvoj govora .......................................................................11

2.4.2.2 Mišljenje ...............................................................................12

2.5 Učenje matematike v predšolskem obdobju ...................................................12

2.5.1 Razredna inkluzija ..............................................................................13

Konzervacija števila .......................................................................................13

3 Empirični del ...........................................................................................................14

3.1 Opredelitev problema in cilji ...........................................................................14

Delovne hipoteze ....................................................................................................15

3.2 Metoda dela ...................................................................................................15

3.3 Postopek dejavnosti ter ugotovitve o dojemanju neskončnosti otrok ..............15

3.3.1 Prva dejavnost ...................................................................................16

3.3.2 Druga dejavnost .................................................................................25

3.4 Delovne hipoteze – preverjanje .....................................................................32

4 Zaključek in sklepne misli .......................................................................................34

Viri in literatura ............................................................................................................35

KAZALO SLIK

Slika 1: Möbiusov neskončni trak ............................................................................... 3

Slika 2: Sodelovanje v pogovoru ...............................................................................19

Slika 3: Otroci zbrano in doživeto poslušajo zgodbo .................................................20

Slika 4: Otroci se vživijo v vlogo dečka .....................................................................20

Slika 5: Kaj se skriva v kozarcih? ..............................................................................21

Slika 6: Okušanje posameznih živil ...........................................................................22

Slika 7: Otroci štejejo koruzna zrna ...........................................................................22

Slika 8: Štetje koruznih zrn........................................................................................23

Slika 9: Deklica poizkuša prešteti riževa zrna ...........................................................23

Slika 10: Otroci med štetjem sladkorja ........................................................................24

Slika 11: Otroci poizkušajo prešteti moko....................................................................24

Slika 12: Ponovitev .....................................................................................................25

Slika 13: Primerjanje trakov po dolžini ........................................................................28

Slika 14: Otroci otipajo volno in jo odvijajo ..................................................................28

Slika 15: Uživanje ob odvijanju volne ..........................................................................29

Slika 16: Nadaljujemo z odvijanjem .............................................................................29

Slika 17: Klobčič volne se odkotali iz skupine .............................................................30

Slika 18: Ogledovanje slik ...........................................................................................30

Slika 19: Lepljenje slik na plakat .................................................................................31

Slika 20: Otroci si ogledujejo slike ...............................................................................31

Slika 21: Pomoč pri obešanju plakata .........................................................................31

Slika 22: Naš končni izdelek .......................................................................................32

Ivana, Žvanut (2014): Razumevanje pojma neskončnosti v predšolskem obdobju. Diplomska naloga.

Koper: UP PEF.

1

1 UVOD

Števila so ena od matematičnih vsebin, brez katere si je skoraj nemogoče

predstavljati pouk matematike. Lahko bi tudi rekli, da so števila nekakšen gradnik

matematičnih dejavnosti. Z njimi se otrok srečuje že zelo zgodaj v predšolskem

obdobju. Otrok šteje, koliko je vseh otrok v skupini, koliko svečk na torti je upihnil

njegov prijatelj, koliko dni je v tednu, itd. Skratka, številke spremljajo otroka na vsakem

koraku in nemogoče se jim je izogniti.

Težava pa nastopi tedaj, ko se otrok sooči s problemom, kjer ima na razpolago, da

prešteje nekaj, česar je nekoliko več in kar je nekoliko težje prešteti. Na primer zrna

sladkorja, soli ali moke in podobnih živil. Tudi štetje peska na morski obali ali listov

dreves na sprehodu mu povzroča težave in obenem tudi izziv. Kaj pa klobčič volne? Ali

se kdaj konča? Teoretično se, vendar pa sem v okviru zgoraj omenjenih primerov

otrokom skušala bolje prikazati in jim predstaviti do tedaj še neznan pojem

neskončnosti, torej nečesa, kar nima mej in se nikoli ne konča. Preko dejavnosti z zrni

različnih velikosti ter volno sem se tudi osredotočala na to, kakšno je njihovo

razumevanje omenjenega pojma, kar bo tudi rdeča nit moje diplomske naloge.

Tako kot nam odraslim, tudi otrokom v predšolskem obdobju neskončnost

predstavlja velik izziv, nekaj neznanega, nepredstavljivega in nedotakljivega.

Neskončnost ni pojem, ki bi bil vezan zgolj na matematiko, pač pa se povezuje tudi s

fiziko, filozofijo, umetnostjo in psihologijo in prav zaradi te svoje raznovrstnosti in

posebnosti mi je predstavljal še toliko večji izziv, da ga apliciram tudi na matematične

dejavnosti v vrtcu.

V teoretičnem delu predstavljam sam pojem neskončnosti kot tak, nato se

osredotočim na njegovo zgodovino, torej kako se je razvijal skozi stoletja do danes.

Nadaljujem s predstavitvijo mišljenja predšolskega otroka, kjer predstavim Piagetovo

kognitivno-razvojno teorijo ter sociokulturno teorijo L. S. Vigotskega, ki sta osrednji

teoriji, nujni za razumevanje matematičnega mišljenja predšolskega otroka. Nazadnje

predstavim še učenje matematike v predšolskem obdobju.

V empiričnem delu sta opisani dve dejavnosti na temo neskončnosti, ki sem ju

izvedla v vrtcu. Podana je priprava za vsako dejavnost in potek, ki je dokumentiran s

fotografijami. Vsako od dejavnosti sem tudi dokumentirala. Namen dejavnosti je bil

predvsem ta, da sem otrokom približala in predstavila pojem neskončnosti ter

opazovala njihovo razumevanje le-tega.


Koper: UP PEF.

2

2 TEORETIČNI DEL

2.1 Neskončnost – zgodba brez konca

Velikokrat se v nas poraja vprašanje: kako veliko je lahko število? Odgovor nanj pa

ni nič kaj preprost. Res je, da je eno od največjih števil centiljon, ki ga zapišemo z 1 in

600 ničlami, vendar pa to še zdaleč ni največje število. Obstajajo namreč še mnogo

večja števila. Ena glavnih lastnosti števil je ta, da nimajo mej. Samo poskusimo

izmišljenemu številu prišteti 1, pa že imamo večje število. Naša števila lahko torej

postanejo tako velika, kot si le želimo.

Neskončnost je ideja, da se nekaj nikoli ne konča, nikoli ne zaustavi in se nadaljuje

v večnost (Bentley, 2010).

Kovačič in Domanjko (2002) naštevata primere, s katerimi lahko prikažemo

neskončnost:

- s štetjem, ki se nikoli ne konča: 1, 2, 3…..; naravnih števil je neskončno mnogo, saj

vsakemu številu n, sledi še večje število n+1;

- z merjenjem velikosti (množic);

- z opazovanjem vesolja in štetjem zvezd na nebu;

- s štetjem peščenih zrnc na obali

2.2 Möbiusov neskončni trak

Omenjeni trak je nekakšen simbol neskončnosti. Kovačič in Domanjko (2002)

navajata, da se Möbiusov neskončni trak od običajnega, sklenjenega traku razlikuje po

tem, da ima kot ploskev eno samo stran. Pri običajnem traku rob ločuje notranjost in

zunanjost, pri Möbiusovem traku pa ni mogoče prestopiti roba.


Koper: UP PEF.

3

Slika 1: Möbiusov neskončni trak (vir: Japelj Pavšič in Justinek, 2011, str. 27)

2.3 Zgodovina neskončnosti

Zgodovina neskončnosti sega v čas starih Grkov, ki so za poimenovanje

»neomejenega« ali »neskončnega« uporabljali pojem apeiron. To zamisel so

uporabljali v svojih raziskovanjih časa in prostora ter števil samih. Neskončnost je bila

zanje matematični in duhovni pojem, saj je njena lastnost neomejenosti in nakazane

neizmernosti v tesni povezavi z idejami večnosti, nesmrtnosti in božanskosti. Čas nima

ne začetka ne konca. Prostor je »bivališče« črt in ravnin, katerih velikosti lahko delimo

ali razširjamo brez meja (Guedj, 1998).

Eden prvih, ki je začel raziskovati ideje neskončnosti je bil Zenon, študent filozofa

Parmenida iz eleatske šole. Zenon je bil pripadnik monizma, verovanja, da so vse

stvari različni vidiki ene same večne resničnosti, ki se imenuje bivanje. Ker je bilo v

monizmu vse eno, si ni bilo mogoče zamisliti ne-bivanja. Zenon je v ta namen napisal

knjigo paradoksov, ki so skušali dokazati, da je vse eno. V njej je razmišljal, kaj bi se

zgodilo, če bi kaj skušal razdeliti na neskončno majhne dele, in vsakič je skušal

dokazati, da rezultat ne more biti smiseln. Eden najbolj znanih Zenonovih paradoksov

je o tekaču Ahilu in želvi, s katerim mu je uspelo sestaviti na videz logično sicer

pravilen dokaz, da hitri Ahil ne more nikoli prehiteti počasne želve (Bentley, 2010).

Aristotel, ki se je rodil leta 384 pred Kr. V kraju Stagira v Makedoniji v severni Grčiji

je bil vsestranski mislec. Z idejami, ki jih je predstavil Zenon se ni strinjal. Aristotel je

zamisel o neskončnosti videl v raziskovanju narave. Neskončnost mu je pomenila

predvsem možnost, kot resničnost, saj si ni znal zamisliti začetka in konca nečesa.

Zanj je bil torej obstoj neskončnosti le možnost, ki ne obstaja zdaj (in mogoče tudi v

prihodnje ne bo nikoli obstajala). Z neskončnostjo se po Aristotelu ne moremo nikoli


Koper: UP PEF.

4

soočiti, saj nič v našem svetu ne more biti neskončno veliko ali staro. Prav na tej

Aristotelovi ideji je večina matematike slonela še stoletja (Bentley, 2010).

Vendar pa niso vsi misleci o neskončnosti razmišljali tako boječe kot Aristotel.

Demokrit iz Abdere, ki je bil znan zaradi svojega poimenovanja snovi, sestavljene iz

neskončnega števila neskončno majhnih in različnih atomov, je menil, da je celota

neomejena, zaradi števila atomov. V podporo Demokrita je Rimljan Lukrecij domneval,

da meje realnega ni moč fiksirati. Prepričan je bil tudi, da ni samo enega neskončnega

sveta, pač pa, da obstaja neskončno število takih svetov (Guedj, 1998).

Galileo Galilei je sledil Aristotelovi ideji o neskončnosti kot možnosti. Osredotočil

se je na kroga, kjer je bil eden večji od drugega in opazoval na kateri krožnici se nahaja

več točk. Prišel je do zaključka, da imata obe krožnici enako število točk, kljub temu, da

je ena večja od druge. Zapisal je,«… z našim omejenim razumom poskušamo

razpravljati o neskončnosti in ji pripisujemo lastnosti, ki jih sicer pripisujemo stvarem, ki

so končne in omejene; mislim, da je to napačno, saj ne moremo govoriti o neskončnih

količinah kot o količinah, ki so lahko manjše ali večje druga od druge ali enake med

seboj« (Bentley, 2010, str. 223).

Simbol ∞ za neskončno veliko število je v matematično literaturo prvi uvedel John

Wallis leta 1665. Omenjeni simbol izhaja iz rimske oznake CD za tisoč, ki so jo po

navadi pisali z eno samo potezo. Simbol ∞ poznamo še danes, vendar pa se v

matematiki uporablja redko (Kovačič Domajnko, 2002).

Svet je torej dolgo časa sledil Aristotelovi ideji, da dejanske neskončnosti ni. Šele

triindvajset stoletij pozneje je nemški matematik Georg Cantor uspel dokazati, da

obstajajo množice, ki niso števne in da so nekatere množice tudi večje od drugih.

Neskončnost od tega trenutka dalje ni bila več pojem »poljubno veliko«.

»Zdaj smo prvikrat razumeli, da je lahko kakšna neskončnost tudi večja ali manjša

kot vsaka druga neskončnost. Dejstvo, da se neskončnost nadaljuje brez konca, še ne

pomeni, da je neskončnost vedno enako velika« (Bentley, 2010, str. 224).

Cantor in Dedekind sta skušala dokazati obstoj neskončnosti z enoličnim

prirejanjem dveh reči iz različnih kupov, kar pomeni, da sta vse reči iz dveh različnih

kupov poskušala urediti v pare na en sam način. Če se to sestavljanje parov nikoli ne

konča, lahko rečemo, da je v kupih neskončno reči. Če skopni en kup ali pa oba se

prirejanje ustavi in takrat lahko rečemo, da je število reči v kupih končno in ga lahko

določimo.

To sestavljanje parov imenujemo v matematiki obratno enolično prirejanje in

predstavlja temelj Cantorjeve in Dedekindove zgradbe. Ugotovila sta, da sta dve

množici, med elementi katerih obstaja obratno enolično prirejanje ekvipolentni, torej

imata enako moč, katera pa je lahko tudi neskončna. Prav ta ugotovitev predstavlja prvi


Koper: UP PEF.

5

korak proti novemu pojmovanju matematične neskončnosti.

Cantor in Dedekind sta pokazala, da torej obstajajo neskončne množice. Takšna je

množica naravnih števil. Vsa naravna števila lahko razdelimo v dve množici: množico

sodih in lihih števil. Že po tem vemo, da so soda in liha števila del celotne množice

naravnih števil. Zdaj poskusimo vsa naravna števila urediti v pare z vsemi sodimi

naravnimi števili in izkaže se, da je to mogoče. Velja pa tudi obratno in sicer, da lahko

vsa soda naravna števila uredimo v pare z vsemi naravnimi števili. Iz tega sledi, da sta

množici naravnih in sodih števil neskončni; število njunih elementov je števno.

Poenostavimo lahko, da je vsaka množica števna, če lahko njene elemente preštejemo

in pri tem za štetje porabimo vsa naravna števila.

Cantor je trdil, da je moč množice realnih števil večja. Nemogoče je vzpostaviti

obratno enolično preslikavo med naravnimi in realnimi števili. To pomeni, da je na

premici »neskončno« več točk kot je racionalnih števil. Poleg števne neskončnosti se tu

srečamo z neskončnostjo, ki pripada moči realnih števil. To je moč kontinuuma. Pri

kontinuumu gre za točke na premici, ki so nanizane brez presledka.

Cantor je s potenčno množico Ƥ (A) dokazal, da obstajajo različne neskončnosti, ki

so večje od števne neskončnosti in manjše od kontinuuma. V tej množici so vse

množice, ki jih lahko sestavimo iz elementov dane množice. Če ima množica A n

elementov, jih ima njej prirejena potenčna množica natanko 2ᶯ. Kakršnakoli je

neskončnost neke množice, je mogoče zgraditi drugo, ki bo imela višjo neskončnost.

(Guedj, 1998).

Nam sta najbližji dve neskončnosti: števna neskončnost – toliko je naravnih števil

(in prav toliko je tudi celih in racionalnih števil) in moč kontinuuma – toliko je realnih

števil (Kovačič in Domanjko, 2002).

Vendar pa še vedno obstaja t. i. problem kontinuuma. Ali obstajajo še kake

neskončnosti, ki so večje od števne neskončnosti in manjše od kontinuuma? Cantor

meni, da obstajajo, kajti kakršnakoli je neskončnost neke množice, je mogoče zgraditi

drugo, ki bo imela višjo neskončnost in s tem lahko potrdimo, da obstaja neskončno

neskončnosti. Iz naravnih števil lahko zgradimo nepretrgano zaporedje neskončnosti

(Guedj, 1998).

2.4 Predšolski otrok in matematično mišljenje

Predšolska vzgoja se zelo tesno povezuje z razvojno psihologijo. Raziskovalci

skušajo z različnimi raziskovalnimi pristopi razumeti otrokov razvoj. V razvojni

psihologiji pa ni ene same splošno veljavne teorije razvoja, ki bi razložila celoten


Koper: UP PEF.

6

pogled na otrokov razvoj. Vsaka posamezna se osredotoča na delne vidike osebnosti.

Glede na izvor osebnosti in vidike njenega težišča, uvrščamo teorije osebnosti v:

motivacijske, strukturne, funkcionalne, biološke, vedenjske, socialne, humanistične in

kognitivne (Wolkfolk, 2002).

»Najvplivnejša kognitivna razvojna teoretika sta bila vsekakor Jean Piaget in Lev

Vigotski. Na podlagi njunih raziskav so nastale kognitivne teorije o duševnem razvoju,

ki so glavni temelj v proučevanju razvojne psihologije. Teoriji proučujeta otrokovo

aktivnost pri konstruiranju znanja, vendar sta si glede smeri miselnega razvoja otroka

različni. Pri Piagetu poteka otrokov razvoj v smeri od individualnega k socialnemu,

medtem ko je pri Vigotskem ravno obratno. Otrok je zanj socialno bitje, zato razvoj

poteka od socialnega k individualnemu« (Bah Brglez, 2011, str. 7).

V nadaljevanju si bomo podrobneje ogledali obe teoriji.

2.4.1 Piagetova kognitivno-razvojna teorija

Švicarski psiholog Jean Piaget se je osredotočal predvsem na otrokov splošni

spoznavni razvoj, tako da je bilo razumevanje matematike s tega vidika šele

drugotnega pomena. Z leti je razvil teorijo, s katero je poskušal pojasniti otrokov razvoj

mišljenja in razumevanja od rojstva dalje. Njegova dognanja o razvoju matematičnega

mišljenja so tako bolj posledica splošne teorije (Manfreda Kolar, 2006, str. 1).

Piaget se je pri svojih raziskovanjih posluževal tehnike kliničnega intervjuja, kjer

raziskovalec otroku zastavi problem in nato opazuje, kako ga rešuje. Piaget se ni omejil

le na točno določena in vnaprej predvidena vprašanja, pač pa je sproti postavljal tudi

nova vprašanja, ki so mu pomagala bolje razumeti, kako otroci razmišljajo.

Verjel je, da je znanje proces pridobivanja informacij s pomočjo mentalne ali fizične

akcije in ne inventar zbranih in shranjenih informacij. Zavračal je pojmovanje, da je

znanje reprezentacija tega, kar smo se naučili ali izkusili. Otrok stvari vidi v odvisnosti

od obstoječega mehanizma percepcije. Na način njegovega sprejemanja informacij

vplivajo pretekle izkušnje in aktualna stopnja zrelosti.

Piaget izhaja iz štirih dejavnikov razvoja:

- dednost

Piaget ni pripisoval ključne vloge pri razvoju niti dednosti, niti okolju, pač pa

interakciji med njima. Dednost določa časovni urnik, po katerem se na periodičnih

točkah otrokovega odraščanja odpirajo nove razvojne možnosti.

- izkušnje


Koper: UP PEF.

7

Piaget omenja fizične in logično-matematične izkušnje. Fizične otrok pridobiva

direktno in spontano, ko manipulira z objekti v okolju, opazuje, posluša, okuša…

Logično- matematične izkušnje se prav tako nanašajo na objekte, vendar so spoznanja

abstrahirana iz akcij, ki jih na teh objektih vrši.

- socialna transmisija

Je prenos znanja iz socialnega okolja, torej izobraževanje kot tako. Uspeh

socialnega prenosa znanja je odvisen od zrelosti in fizičnih izkušenj.

- uravnoteženje

Uravnava prejšnje tri in ima po Piagetovem mnenju glavno, usklajevalno vlogo, saj

predstavlja nenehno interakcijo med otrokovim mišljenjem in realnostjo. Otrok asimilira

(sprejema) izkušnje v obstoječi miselni okvir, hkrati pa zaradi izkušenj akomodira

(spreminja) lastne strukture v njem. Otrok s svojo aktivnostjo odkriva nove probleme in

s tem povzroča neravnotežje, obenem pa gradi rešitve in dosega višjo stopnjo

ravnotežja. Otrok mora na vsakem stadiju razvoja doseči določeno stopnjo ravnotežja,

da lahko napreduje v višji nivo.

2.4.1.1 Miselna struktura in miselni procesi

Mišljenje je kompleksen proces, ki je sestavljen iz treh komponent: vsebine,

strukture in miselnih procesov.

Vsebina je to, kar oseba miselno izraža. Vsebina mišljenja je določena z miselno

strukturo ali konceptom. Miselna struktura je način mišljenja, ki je značilen za neko

stopnjo. Miselne strukture so spremenljivke, saj se z razvojem stalno spreminjajo.

Piaget v povezavi z miselno strukturo govori o shemah, ki so organizirani vzorci misli

ali aktivnosti in jih otrok uporablja za interpretacijo nekega vidika svojih izkušenj.

Miselni procesi vplivajo na razvijanje mišljenja. Piaget loči organizacijo in

adaptacijo. Miselni procesi so nespremenljivke, ker se odvijajo na enak način skozi vse

posameznikovo življenje. Miselna organizacija je otrokova težnja, da uskladi obstoječe

miselne sheme v koherenten sistem. Otroci ves čas reorganizirajo obstoječa spoznanja

v nove in bolj kompleksne mentalne strukture. Da lahko te strukture koherentno

delujejo, se morajo usklajevati tudi med seboj. Piaget ta proces imenuje recipročna

asimilacija in lahko privede tudi do nove organizacije miselnih struktur. Navzven se

kaže z novimi oblikami sposobnosti miselnega delovanja.

Adaptacija pa je vzdrževanje ravnotežja med miselno strukturo in okoljem.


Koper: UP PEF.

8

Sestavljata jo dva nasprotna si procesa: proces akomodacije in asimilacije. Pri

asimilaciji gre za vključevanje objektov ali informacij v obstoječe miselne sheme,

akomodacija pa je sprememba miselne strukture, ki je rezultat prilagoditve načina

razmišljanja novim informacijam.

Da bi otrokova interakcija z okoljem vodila do višjih stopenj v njegovem

razumevanju, je potrebno ravnotežje med obema procesoma (povz. po Batistič Zorec,

2006, str. 51-53).

2.4.1.2 Piagetovi stadiji kognitivnega razvoja

Razvoj mišljenja poteka v stadijih. Za vsak stadij so značilne specifične strukture

naše zavesti, ki se navzven kažejo v specifičnih oblikah intelektualne aktivnosti in

vedênja. To pomeni, da otroci približno enake starosti, ki so v istem stadiju razvoja,

dajejo ob reševanju nekega problema podobne odgovore.

Za teorijo stadijev je značilno, da je zaporedje stadijev stalno in za vse otroke

enako, medtem ko se lahko čas pojavljanja nekega stadija od posameznika do

posameznika razlikuje. Stadijev ni mogoče preskakovati (povz. poBatistič Zorec, 2006,

str. 54-55).

- Senzomotorična faza (od rojstva do 18 mesecev)

»Otrokovo mišljenje v tej fazi vključuje gledanje, poslušanje, gibanje, dotikanje, itd.

Otrok v tem obdobju razvije konstantnost objekta. Gre za razumevanje, da objekti v

okolju obstajajo, ne glede na to, ali jih otrok vidi ali ne. Drugi glavni dosežek v tem

obdobju je začetek logičnih, ciljno usmerjenih dejanj. Če si predstavljamo igralni zaboj

za dojenčke, ki je plastičen, ima pokrov in vsebuje precej barvnih predmetov, ki jih

lahko vržemo ven in zamenjamo. 6-mesečni dojenček bo zelo verjetno razočaran, ko

bo poskušal spraviti igrače v zaboj. Starejši otrok, ki je osvojil osnove senzomotorične

faze, se bo verjetno sposoben spoprijeti z igračo na sistematičen način. S poskusi in

napakami bo otrok počasi zgradil shemo »igralnega zaboja«: (1) ostrani pokrov, (2)

zaboj obrni na glavo, (3) stresi, če se predmeti zaskočijo, (4) glej, kako predmeti letijo

iz zaboja. Ločene sheme na nižjem nivoju so bile organizirane v shemo na višjem

nivoju, da bi lahko dosegel cilj.

Otrok bo kmalu sposoben obrniti to dejanje v nasprotno smer, ko bo ponovno

napolnil zaboj. Učenje obračanja dejanja v nasprotno smer (reverzibilnosti) je osnoven

dosežek senzomotorične faze« (Woolfolk, 2002, str. 30).

- Predoperacionalna faza (od 2. do 7. leta)


Koper: UP PEF.

9

Preoperativno mišljenje se začne s sposobnostjo simbolne funkcije, kar pomeni,

da otrok razume, ustvarja in uporablja simbole, ki predstavljajo nekaj, kar ni prisotno.

Otroci v tem obdobju že govorijo in jezik jim bistveno razširi obzorje. Za to obdobje je

značilen razcvet simbolične igre in otrokova bujna domišljija. Značilna je egocentrična

raba govora in velika odvisnost od zaznavanja pri reševanju problemov.

Predoperacionalna faza se deli na dve podstopnji:

- Prekonceptualna ali simbolna faza (od 2. do 4. leta)

Ideje, koncepti oziroma mišljenje otroka te starosti so glede na standarde odraslih

na nek način primitivni. Za otroka te starosti je značilno transduktivno mišljenje oziroma

sklepanje iz posebnega na posebno. Otrok poveže dva istočasna dogodka s

sklepanjem, da je eden povzročil drugega. Značilna je tudi nezmožnost hierarhične

ločitve med razredi in podrazredi. Težko razumejo, da je isti objekt lahko hkrati uvrščen

v dva različna razreda. Če damo otroku nalogo, naj razvrsti v skupine stvari po dveh

značilnostih, na primer po barvi in obliki, v tej starosti še ni zmožen upoštevati obeh

značilnosti hkrati.

- Intuitivna faza (od 4. do 7. leta)

Gre za obdobje prehoda med časom, ko je mišljenje odvisno zgolj od percepcije

ter naslednjo stopnjo v razvoju, to je odvisnostjo od logičnega mišljenja. Za to obdobje

je značilen premik k večji decentraciji. Otrok lahko postopoma vidi več kot en dejavnik,

ki vpliva na dogodek. Zmožen je intuitivno reševati probleme, kadar so objekti vključeni

v problem pred njim. Do konca tega obdobja je otrok še vedno bolj odvisen od

percepcije kot od logičnega mišljenja. Če otroku te starosti damo nalogo, da klasificira

predmete po eni lastnosti, na primer rumeni in rdeči kvadrati, mu to ne dela težav. Ko

pa mora klasificirati predmete po dveh lastnostih, na primer kvadrate in trikotnike,

rumene in rdeče barve, bo pogosto reševal po principu figuralne kolekcje. Skupaj bo

dal na primer kvadrat in trikotnik ter svoj odgovor utemeljil s tem, da je naredil hišo.

- Faza konkretnih operacij (od 7. do 11. leta)

Mišljenje otrok postane bolj fleksibilno in logično, saj ni več odvisno zgolj od

trenutne vizualne zaznave. Otroci v tej fazi začnejo uporabljati miselne akcije, vendar le

ob konkretnih in jasnih objektih ali znakih objektov, ne pa v zvezi s hipotetičnimi idejami

in abstraktnimi dogodki.

Čeprav lahko otrok reši problem s predstavo, pa mu predvsem na začetku te faze

pomaga, če lahko vidi objekte ali njihovo sliko. O miselnih akcijah oziroma operacijah

lahko govorimo tedaj, ko so miselne akcije ponotranjene, reverzibilne in organizirane v


Koper: UP PEF.

10

sistem.

Ena najpomembnejših značilnostih te faze je reverzibilnost. To je sposobnost, da

na miselnem nivoju preidemo neko pot in se spet vrnemo nazaj v prvotni položaj.

Druga pomembna značilnost je decentracija, ki pomeni, da se lahko istočasno

osredotočimo na več vidikov objekta. Za to obdobje je značilna tudi sposobnost

konzervacije, torej razumevanja, da ostaneta dva predmeta enaka ne glede na zunanjo

spremembo – na primer oblike, če ni nič dodano li odvzeto. Otroci so na tej stopnji

razvoja sposobni reševati tudi probleme seriacije – urejanja vrste elementov po

kvantitativni dimenziji, na primer po velikosti ali dolžini. S tem je povezana tudi

sposobnost tranzitivnosti, ki se nanaša na relacijo med elementi serije.

- Faza formalnih operacij (po 12. letu)

Mladostniki lahko razmišljajo abstraktno logično in sistematično rešujejo probleme.

Mladostnik lahko razmišlja tudi o hipotetičnih problemih in situacijah, pri čemer je

realno le poseben segment v sklopu mogočega. Za to fazo je značilno razmišljanje o

različnih možnostih, postavljanje domnev in eksperimentalno preverjanje hipotez s

pomočjo deduktivnega sklepanja. Mišljenje doseže najvišjo točko ravnotežja prav na tej

stopnji. Formalno mišljenje predstavlja tudi refleksijo lastnega mišljenja ali

metakognicijo (povz po Batistič Zorec, 2006, str. 57-63; Bah Brglez, 2011, 8).

2.4.2 Sociokulturna teorija L. S. Vigotskega

Osrednje izhodišče te teorije je, da je kognitivni razvoj rezultat interakcije med

otrokom in socialnim okoljem. Miselne sposobnosti niso toliko odvisne od prirojenih

dejavnikov, ampak so predvsem produkt posameznikove aktivnosti v socialnih

institucijah kulture, v kateri odrašča. Za razumevanje otrokovega razvoja je potrebno

razumevanje narave njegovega kulturnozgodovinskega ozadja. Vigotski je menil, da

»naravna linija« razvoja dominira le na začetku, približno prvi dve leti, nato pa ima

vedno bolj pomembno vlogo kultura.

Razvoj poteka v stadijih, med katerimi obstajajo kvalitativne razlike.

Otrok je aktiven v razvoju.

Vigotski izhaja iz materialistične filozofije, saj pravi, da otroci konstruirajo svoje

mišljenje z udeleževanjem v aktivnostih. Aktivnosti so tiste, ki kreirajo njihovo mišljenje

in tako je miselni razvoj proces, v katerem otroci ponotranjijo rezultate svojih izmenjav

z okoljem.

Predvideval je, da ljudje kreirajo psihološka orodja, da bi nadzorovali svoje vedênje


Koper: UP PEF.

11

in mišljenje. Med temi orodji, ki jih je imenoval tudi znaki, je najbolj pomemben govor.

Sem pa prišteva še numerični sistem, pisanje in druga.

2.4.2.1 Razvoj govora

Najosnovnejša funkcija govora je ta, da besede simbolizirajo stvari in dogodke,

zato se s pomočjo govora mišljenje osvobaja vezanosti na trenutno situacijo. Govor v

razvoju otroka omogoča, da inteligentno sodeluje v socialnem življenju skupine, ki ji

pripada. Govor se razvije v štirih stopnjah:

- Stopnja primitivnega govora

Traja približno do drugega leta, ko je govor še povsem ločen od mišljenja. V tem

obdobju se srečamo s tremi neintelektualnimi govornimi funkcijami. Emocionalno

funkcijo predstavlja jok ob neprijetnih dogodkih in čebljanje ob ugodju. Socialna

reakcija je smeh ob prihodu druge osebe ter prve besede, ki predstavljajo predmete ali

otrokove želje.

- Socialni ali zunanji govor

Začne se okrog drugega leta, z otrokovim odkritjem simbolične funkcije govora.

Otrok z njo išče informacije, na primer pogosto sprašuje, kako se stvari imenujejo.

Funkcija socialnega govora je izražanje preprostih misli in čustev ter kontrola vedenja

drugih. Posledica simbolizacije je zbliževanje funkcij govora in mišljenja. Otrokova

praktična inteligenca se kaže v spoznavanju značilnosti stvari in v uporabi objektov kot

sredstev za doseganje zaželenih ciljev.

- Egocentrični govor

Pojavljati se začne po tretjem letu starosti in zajema velik del govora skozi celotno

predšolsko obdobje, še posebej v igri. Gre za glasen monolog, ki spremlja otrokove

aktivnosti. Ni namenjen drugim, saj ga otrok uporablja tudi, ko se igra sam. Vigotski je

menil, da egocentrični govor nastane zaradi nezadostne individualizacije prvotno

socialnega govora. Poudarjal je torej koristnost egocentričnega govora, ki otroku

pomaga pri usmerjanju svoje aktivnosti in reševanju problemov.

- Notranji govor

Po mnenju Vigotskega, začne egocentrični govor po sedmem letu upadati, ker se

spremeni v notranji govor. Otrok uporablja tihi govor, ki je neke vrste notranji monolog.

Probleme otrok rešuje miselno. Smer razvoja ni postopna socializacija govora, ki izhaja

od zunaj, ampak postopna individualizacija, ki izhaja iz otrokove notranjosti. Glasni


Koper: UP PEF.

12

govor preide v notranji dialog, nato pa v tihi govor za sebe, sčasoma pa na čisti

mentalni plan, ko pride tudi do posplošene konstrukcije odnosov med predmeti in

pojavi v stvarnosti. Notranji govor predstavlja povsem samostojno govorno funkcijo, ki

se razlikuje od zunanjega govora. Notranji govor je nasproten zunanjemu govoru.

Medtem ko je zunanji govor spreminjanje misli v besede, je notranji govor proces

spreminjanja besed v misli.

2.4.2.2 Mišljenje

Splošni proces razvoja mišljenja poteka kot proces ponotranjenja zunanjih in

socialnih interakcij, ki se začne kot interpersonalni proces in sčasoma postane

intrapsihični proces, ki se dogaja v otroku. Vigotski je verjel, da se vsaka funkcija v

otrokovem kulturnem razvoju pojavlja na dveh planih. Najprej na socialnem in nato na

psihološkem. Proces ponotranjenja poteka najprej tako, da otroku nudijo pomoč bolj

sposobni drugi, nato si otrok pomaga sam z glasnim govorjenjem pri reševanju

problemov, nazadnje pa pride do ponotranjenja koncepta.

Konceptualno razmišljanje je način, kako si posameznik organizira okolje z

abstrahiranjem in pripisovanjem iste kvalitete dvema ali več fenomenom. Na osnovi

rešitev je prišel do treh stadijev razvoja konceptualnega mišljenja oziroma razvoja

pojmov.

- V prvem stadiju otrok razmišlja v neorganiziranih zbirkah. Stvari razvršča v skupine

slučajno, po trenutnem vrstnem redu.

- V drugem stadiju združuje stvari po skupnih značilnostih, ki zares obstajajo, kar

predstavlja korak k večji objektivnosti. Povezave med komponentami so konkretne,

ne pa še abstraktno logične, ker še ne zajemajo vseh možnih povezav.

- Tretji stadij je tisti, kjer otrok začne razmišljati v konceptih. Za mišljenje v konceptih

sta značilni zmožnosti analize in sinteze (povz. po Batistič Zorec, 2006, str. 69-73).

2.5 Učenje matematike v predšolskem obdobju

»Matematika je zelo vpeta v življenje in delo v vrtcu in je zanimiva ter privlačna, ko

jo otrok uporablja v igri, se srečuje z njo pri načrtovanih matematičnih dejavnostih ter jo

spoznava ob prepletanju z ostalimi področji ter elementi kurikula« (Bah Brglez, 2011,

str. 7).

Za razumevanje učenja matematike v predšolskem obdobju, sta ključnega pomena

lastnosti razredne inkluzije ter konzervacije, ki sem ju omenila že pri Piagetovi


Koper: UP PEF.

13

kognitivno-razvojni teoriji. V nadaljevanju ju bom podrobneje predstavila.

2.5.1 Razredna inkluzija

Labinowicz (1991, str. 134) navaja, da s preizkusom razredne inkluzije

ugotavljamo otrokovo zmožnost primerjave dela s celoto.

»Pred otroka postavimo skupino lesenih kock, ki so večinoma rjave barve, nekaj

pa je belih. Otroka vprašamo ali je več lesenih ali rjavih kock. Otroci pri starosti 6 let in

manj praviloma odgovarjajo, da je več rjavih kock. Šele pri sedmih letih začnejo

pospešeno odgovarjati, da je več lesenih kock. Piaget je na osnovi tega preizkusa

zaključil, da otrok na preoperacionalni stopnji še ne zmore primerjati množice z njeno

podmožico. Namesto tega primerja eno podmnožico z drugo. Otrok lahko pozornost

naenkrat usmeri le na del ali celoto, ne pa na oboje hkrati in na ugotavljanje njunega

medsebojnega odnosa« (Manfreda Kolar, 2006, str. 3).

2.5.2 Konzervacija števila

»Standardni preizkus konzervacije števila sestoji iz treh korakov:

1. pred otroka najprej postavimo dve vrsti predmetov, ki so v bijektivni korespondenci:

0 0 0 0 0 0

L L L L L L

Otroka vprašamo, če je v obeh vrstah enako število predmetov in če otrok

odgovori pravilno, nadaljujemo;

2. otroka opozorimo: »Glej, kaj bom sedaj naredila!« in eno vrsto pred njegovimi očmi

raztegnemo tako, da se vrsti po dolžini ne ujemata več:

0 0 0 0 0 0

L L L L L L

3. ponovimo vprašanje iz 1. dela: Ali je v obeh vrstah enako število predmetov?« Če

otrok še vedno trdi , da je v obeh vrstah enako število predmetov, potem pravimo,

da je konzerviral pojem števila.

Piaget je na osnovi dobljenih rezultatov zaključil, da otroci do 7. leta starosti

praviloma še ne konzervirajo števila. Iz njihovih odgovorov je moč sklepati, da menijo,

da sprememba dolžine vrste vpliva na spremembo moči množice. Nasprotno pa otroci

po 7. letu starosti spremembe dolžine ne povezujejo več s spremembo moči množice«

(Manfreda Kolar, 2006, str. 3-4).


Koper: UP PEF.

14

3 EMPIRIČNI DEL

3.1 Opredelitev problema in cilji

V predšolskem obdobju je bistveno, da otrok doživi matematične pojme v

sproščenem in veselem vzdušju ter, da postanejo del njegove podzavesti. Predstave,

ki jih je pridobil, bo kasneje spontano priklical v zavest in jih tudi uporabil (Markelj,

2002).

Otrok lahko pridobiva matematična znanja in izkušnje ob vsakodnevnih

dejavnostih in pri posebej načrtovanih dejavnostih v vrtcu, s katerimi se vzpostavijo

pogoji za doseganje ciljev na področju matematike. Sem sodi razdeljevanje pribora,

razvrščanje in urejanje predmetov, branje pravljic in sledenje pravljičnih števil 3, 7, 5 ob

branju ter mnoge druge.

Otrok potrebuje stalne matematične spodbude. Matematične vsebine lahko

vključimo v vse dejavnosti dnevnega reda in dnevne rutine. Mnogo dejanj je, ki jih v

vsakodnevnem življenju opravimo, ne da bi se zavedali, pa vendar z njimi odpiramo

matematično področje.

Pomembno je, da v vrtcu ustvarimo pogoje, ki otroka spodbujajo k aktivnosti –

pripravimo matematično okolje: na stene igralnice pritrdimo različna sporočila, grafične

prikaze, plakate, koledarje, ki jih otrok gleda, ob njih razmišlja, sprašuje, jih prešteva.

Na posamezna mesta pritrdimo nalepke s simboli in napisi, postavimo modele različnih

geometrijskih teles in likov, materiale, ki so namenjeni razvrščanju, preštevanju,

nizanju…

Otrok se za dejavnosti odloča sam. Igra se s prijateljem, lahko pa tudi sam ali v

manjši skupini. Vzgojiteljica igro opazuje in izkoristi priložnosti, ko se lahko nevsiljivo

vključi vanjo (Vogrič, 2007).

Ker je matematika, predvsem pa pojem neskončnosti za predšolskega otroka še

dokaj nerazumljiv, je izrednega pomena, da ga uvajamo postopoma ter na konkretnih

primerih, saj po mnenju Manfreda Kolarjeve (2006, str. 2), otrok v začetku ne more

razviti logično-matematičnega sklepanja brez konkretnih izkušenj.

Prav tako je pomembno, da v spoznavanje vključimo tudi otrokova čutila ter, da

dejavnosti vpeljujemo preko igre, saj bomo le tako otroku omogočili, da matematične

dejavnosti doživi kot nekaj zabavnega ter da v njih uživa.

Namen raziskovanja je otroke seznaniti in jim približati pojem neskončnosti ter pri

tem opazovati, v kolikšni meri so sposobni razumevanja omenjenega pojma. Poudarek

je na aktivnem sodelovanju otrok pri dejavnostih, pa tudi na mojem lastnem


Koper: UP PEF.

15

opazovanju na odzive in mnenja otrok.

Cilj empiričnega dela naloge:

- Ugotoviti, v kolikšni meri so otroci sposobni razumeti pojem neskončnosti.

- Preko konkretnih dejavnosti otrokom predstaviti in približati pojem neskončnosti.

- Otrok loči pojem števne in neštevne neskončnosti, pozna primere števne in

neštevne neskončnosti

Delovne hipoteze

- Med posameznimi otroki obstajajo razlike v razumevanju pojma neskončnosti.

- Otrokom drugega starostnega obdobja lahko skozi konkretne dejavnosti približamo

pojem neskončnosti.

- Otroci na drugi starostni stopnji še nimajo občutka za dojemanje neskončnosti kot

take.

3.2 Metoda dela

Uporabila bom deskriptivno metodo pedagoškega raziskovanja. Vzorec bodo

otroci iz Otroškega vrtca Ajdovščina, enota Ob Hublju, skupina Čebelice, stari od 3-5

let, skupaj 20 otrok.

Podatke bom zbirala s pomočjo strukturiranega opazovanja oziroma opazovanja z

aktivno udeležbo. Pri otrocih bom opazovala, v kolikšni meri so sposobni razumeti

pojem neskončnosti in ga aplicirati na praktičnih primerih. Dokazala bom, da med

posameznimi otroki obstajajo razlike v razumevanju neskončnosti ter da jim lahko skozi

konkretne dejavnosti približamo omenjen pojem. Med posameznimi dejavnostmi bom

otroke spodbujala, jim postavljala vprašanja in podvprašanja in jim pomagala, ko bodo

potrebovali pomoč.

3.3 Postopek dejavnosti ter ugotovitve o dojemanju neskončnosti otrok

Otrokom bom povedala, da se bomo danes pogovarjali o neskončnosti in jih

najprej seznanila z obrazložitvijo pojma. Podala bom primere neskončnosti iz narave in

dopustila otrokom, naj tudi sami razmišljajo, kaj zanje pomeni neskončno, nato jih bom

motivirala s pripovedovanjem zgodbe Neskončno velik sladoled, nakar bom izvedla dve

dejavnosti, v sklepnem delu pa bomo na plakat lepili slike iz narave, ki prikazujejo


Koper: UP PEF.

16

neskončnost ter ga izobesili na omaro v igralnici.

Prva dejavnost nosi naslov Štetje zrnc. Celotno skupino otrok bom povabila, naj se

usedejo v krog. Pokazala jim bom pet kozarcev z različno velikimi zrni. V prvem

kozarcu bodo testenine, v drugem koruzna zrna, v tretjem riž, v četrtem sladkor ter v

petem moka. Otrokom bom dala možnost, da vsako zrno otipajo in ga okušajo. Najprej

bomo prešteli testenine, nato koruzna zrna, riž, sladkor in nazadnje moko. Preko štetja

bomo ugotovili, da bolj kot so zrna manjša, težje jih preštejemo in da nekaterih snovi ni

mogoče prešteti, saj jih je neskončno veliko.

Druga dejavnost nosi naslov Krajše, daljše, neskončno. Pred otroke bom postavila

vrvi in trakove različnih dolžin. Opazovali bomo posamezne trakove in jih med seboj

primerjali po dolžini – kateri je daljši, krajši. Otrokom bom pojem neskončnosti skušala

predstaviti s klobčičem volne, ki ga bodo odvijali v krogu in ugotovili, da se nikoli ne

konča, se nadaljuje v neskončnost.

Pri obeh dejavnostih bom pozorno spremljala otrokovo razumevanje pojma in

njegovo sposobnost dojemanja neskončnosti kot take.

Pripomočki:

- različno velika zrna (testenine, koruzna zrna, riž, sladkor, moka)

- trakovi različnih velikosti

- klobčič volne

- plakat

- sličice, ki prikazujejo neskončnost

- lepilo

- lutka deček

Potek dejavnosti bom dokumentirala s fotoaparatom.

3.3.1 Prva dejavnost

Naslov dejavnosti: Štetje zrnc

Vsebina: usvajanje pojma neskončnosti

Globalni cilji:

- Seznanjanje z matematiko v vsakdanjem življenju.

- Doživljanje matematike kot prijetne izkušnje.

Operativni cilji:


Koper: UP PEF.

17

- Otrok razmišlja o neskončnosti kot pojmu, ki se pogosto pojavi v vsakdanjem

življenju.

- Otrok loči pojem števne in neštevne neskončnosti, pozna primere števne in

neštevne neskončnosti.

- Preko konkretnih dejavnosti postopoma spoznava in usvaja pojem neskončnosti.

Metode dela:

- metoda razlage

- metoda razgovora

- metoda pripovedovanja

- metoda opazovanja

Oblike dela:

- skupna

Sredstva in pripomočki:

- lutka deček in sladoled

- živila različnih velikosti (testenine, koruzna zrna, riž, sladkor, moka),

Vloga odraslih:

- Otroke spodbujam, da o neskončnosti razmišljajo kot o pojmu, ki se pojavlja v

vsakdanjem življenju.

- Otroke spodbujam, da sodelujejo v pogovoru in odgovarjajo na moja vprašanja.

- Preko pripovedovanja zgodbe in izvajanja konkretnih dejavnosti jim skušam

približati razumevanje pojma.

Aktivnosti otrok:

- Otroci aktivno sodelujejo v pogovoru in odgovarjajo na moja vprašanja.

- Prisluhnejo pripovedovanju zgodbe Neskončno velik sladoled.

- Ugotavljajo katera zrna je moč prešteti in to tudi preizkušajo.

Povezovanje z drugimi področji:

- Jezik (pripovedovanje zgodbe Neskončno velik sladoled).

- Narava (spoznavanje lastnosti določenih živil).

Metodični postopek:


Koper: UP PEF.

18

Motivacija

Otroke po malici povabim, naj se posedejo v polkrog. Povem jim, da se bomo

danes pogovarjali o neskončnosti. Otrokom razložim, da o neskončnosti govorimo

tedaj, ko je določenih stvari tako veliko, da jih ni mogoče prešteti oziroma, da je neka

stvar neskončna, kadar se nikoli ne konča. Naštejem jim nekaj primerov iz narave

(valovi, vesolje, puščava…). Spodbudim jih, da tudi sami sodelujejo v pogovoru in

povedo svoje ideje.

Nato jih povabim k poslušanju zgodbe Neskončno velik sladoled, avtorice Lidije

Gačnik Gombač, ki jo pripovedujem s pomočjo lutke – dečka.

Glavni del

Otrokom pokažem kozarce in jih najprej vprašam, ali vedo, kaj je v njih. Najprej jim

pokažem kozarec s testeninami in jim omogočim, da jih otipajo in preizkušajo. Tako

naredim še z ostalimi kozarci. Na vsak karton stresem nekaj zrn in najprej preštejemo

testenine. Nadaljujemo s štetjem koruznih zrn, nato riža, sladkorja in moke.

Zaključek

Ugotovimo, da bolj kot so zrna manjša, težje jih preštejemo. Nekaterih zrn – v

našem primeru je to moka, pa ni mogoče prešteti, torej rečemo, da jih je neskončno

veliko.

Potek dejavnosti ter moje ugotovitve o dojemanju neskončnosti otrok

Otroke sem po malici povabila, naj se posedejo v polkrog. Že takoj na začetku sem

jih seznanila z novim pojmom neskončnosti. Po izrazih na njihovih obrazih sodeč, pa

tudi po pogovoru z vzgojiteljico, lahko potrdim, da je bil to zanje povsem nov in tuj

pojem, o katerem se niso še nikoli pogovarjali. O njihovem nepoznavanju omenjenega

pojma govorijo naslednja vprašanja, ki so mi jih postavljali:

- Kaj pa je to?

- Kaj bomo pa delali?

Otrokom sem najprej razložila, da o neskončnosti govorimo tedaj, ko je določenih

stvari tako veliko, da jih ni mogoče prešteti oziroma, da je neka stvar neskončna, kadar

se nikoli ne konča. Naštela sem jim nekaj primerov iz narave in vsakdanjega življenja:

- valovi

- vesolje

- zvezde


Koper: UP PEF.

19

Slika 2: Sodelovanje v pogovoru

Otrokom sem omogočila, da so tudi sami podali svoje predloge, ki so bili naslednji:

- oblaki

- rožice

- listki na drevesih

- trava

Na podlagi predlaganih odgovorov otrok lahko rečem, da so pravilno razumeli

mojo razlago in se orientirali glede na moje predloge, vendar pa so predloge podajali

samo starejši otroci, kar lahko nakazuje na to, da mlajši niso povsem razumeli pojma

neskončno.

Po pogovoru sem jih povabila k poslušanju zgodbe Neskončno velik sladoled, ki

sem jo pripovedovala s pomočjo lutke – dečka. Zgodba govori o dečku, ki se je

sprehajal po mestu in si zaželel sladoled, ki je neskončno dober. Prišel je do

slaščičarne in tam je bilo veliko različnih vrst sladoleda. Sladoledar mu je od vsakega

okusa odščipnil delček in nastala je kepica, ki je bila ravno prav velika. Ta sladoled pa

je bil prav poseben, saj ga je deček lizal brez pretanka. Lizal ga je cel dan, še ponoči

ga je postavil na nočno omarico in ga naslednje jutro nesel s seboj v šolo in šahovski

krožek. Nikoli se ga ni naveličal in vedno je bil enake velikosti. Nekega dne pa se je

odpravil s starši na morje, a ne brez svojega sladoleda. Napihnil je blazino in z njo

odplaval daleč od obale. Tam bi mu velika riba kmalu ukradla sladoled, a deček ga je

trdno stisnil k sebi. Čez nekaj časa je postal tako utrujen, da je v trenutku zaspal. Ko se

je zbudil je nad seboj zagledal galeba, ki mu je med spanjem ukradel sladoled. Deček

je bil silno žalosten in razočaran, saj je ostal brez sladoleda. Ko so se s starši vrnili v

mesto je odšel do slaščičarne, a prijaznega sladoledarja ni bilo več. Deček si je včasih


Koper: UP PEF.

20

še vedno privoščil sladoled, a prav nobeden ni bil tako dober kot je bil Neskončno velik

sladoled.

Slika 3: Otroci zbrano in doživeto poslušajo zgodbo

Slika 4: Otroci se vživijo v vlogo dečka

Pri samem pripovedovanju zgodbe sem pazila, da je bil govor jasen, tekoč in ne

preveč hiter. V zgodbo sem se vživela, kar je bilo moč opaziti tudi na obrazih otrok, saj

so me z zanimanjem poslušali. Ves čas sem se trudila, da sem v pripovedovanje

vključevala besedo neskončno ter jo tudi poudarila.

Po končanem pripovedovanju je sledila doživljajska pavza. Nato sem otroke

povabila, naj mi pomagajo pri obnavljanju zgodbe. Pri samem obnavljanju sem bila bolj

v ozadju, saj so otroci zelo radi sodelovali pri pogovoru, kar pomeni, da jim je bila

zgodba všeč. Seveda pa sem jih spraševala tudi vprašanja, ki so se navezovala na

neskončnost.


Koper: UP PEF.

21

- Kakšen je bil sladoled, ki ga je lizal otrok?

- »Neskončno velik.«

- Zakaj pa mislite, da je bil neskončno velik?

- »Ker ga je vedno lizal.«

- »Ker je šel spat z njim.«

- »Ker ga je nesel s seboj na morje«.

Pri odgovorih otrok sem opazila, da so starejši otroci (5-letniki) že razmišljali v

pravo smer, saj so podajali pravilne predloge. Pri mlajših otrocih pa so bili odgovori

povsem neustrezni oziroma so bili ti otroci zgolj opazovalci.

Po končani zgodbi sem otroke povabila, naj se posedejo na tla. Prednje sem

postavila najprej kozarec s testeninami in jih vprašala, kaj je v njem. Odgovorili so mi:

pašta, jaz pa sem jim prikimala in jim povedala, da pašti pravilno rečemo testenine. Po

istem postopku smo prepoznali še vsebino ostalih štirih kozarcev. Otrokom sem dala

možnost, da vsako živilo tudi otipajo in okušajo.

Slika 5: Kaj se skriva v kozarcih?


Koper: UP PEF.

22

Slika 6: Okušanje posameznih živil

Otroci so radi preizkušali sestavine. Ne samo sladkorja, pač pa tudi testenine in

moko. Tisti otroci, ki so bolj sramežljivi so se kljub mojim spodbudam branili in so zgolj

opazovali druge. Ko smo preizkusili vsa živila, sem otrokom povedala, da jih bomo

sedaj še prešteli. Otroci, ki so bolj odprte narave so že pričeli s štetjem testenin.

Prešteli so trinajst testenin.

Slika 7: Otroci štejejo koruzna zrna

Nadaljevali smo s štetjem koruznih zrn, ki je otrokom že predstavljalo večjo oviro.

Otrokom sem najprej pustila, naj samostojno preštejejo zrna. Otroci so brez težav

prešteli petnajst zrn, nato pa so se ustavili, zato sem predlagala, naj zrna preštejemo

še enkrat. Tokrat sem jim pomagala tudi jaz in prešteli smo enaindvajset koruznih zrn.

Nadaljevali smo s štetjem riža. Ob mojem vprašanju, ali lahko preštejemo riževa zrna,

je precej otrok odgovorilo z ne. Spodbudila sem jih, da smo skupaj prešteli zrna,


Koper: UP PEF.

23

vendar so se otroci že kmalu ustavili, tako da sem zrna preštela sama in otrokom

dokazala, da jih lahko preštejemo.

Na podlagi opazovanja štetja otrok se lahko strinjam z dejstvom, da običajno otroci

med tretjim in petim letom starosti pravilno preštevajo le majhne množice predmetov

(Manfreda Kolar, 2006, str. 22).

Slika 8: Štetje koruznih zrn

Slika 9: Deklica poizkuša prešteti riževa zrna


Koper: UP PEF.

24

Pred otroke sem stresla nekaj zrn sladkorja in jih vprašala, ali ga lahko preštejemo.

Otroci so rekli, da ga ne moremo, ker so to zelo drobna zrna. Povedala sem jim, da ga

sicer lahko preštejemo, vendar že težje, kot smo lahko prešteli riž, koruzna zrna ali

testenine. Otrokom sem dopustila, da so sami preštevali zrnca, kar pa jim je povzročalo

precejšnje težave.

Slika 10: Otroci med štetjem sladkorja

Čakalo nas je še štetje moke. Pred otroke sem stresla nekaj moke in otroci so mi

že takoj povedali, da moke ne moremo prešteti. Otroke sem vseeno spodbudila, naj

poizkusijo prešteti moko in to so tudi storili, vendar so takoj obupali. Še enkrat sem jih

opomnila na to, kar sem jim povedala že v uvodnem delu in sicer: ko je nekaterih stvari

toliko, da jih ni mogoče prešteti, tedaj govorimo o neskončnosti.

Slika 11: Otroci poizkušajo prešteti moko


Koper: UP PEF.

25

Dejavnost smo zaključili tako, da so se otroci zopet posedli na stole, pred njih pa

sem vnovič postavila vseh pet kozarcev in za vsebino vsakega kozarca smo ponovili,

ali jo lahko preštejemo ali ne. Otroci so radi sodelovali pri ponovitvi poteka dejavnosti in

si tudi dobro zapomnili vsebino kozarcev. Znali so tudi povedati pri katerih kozarcih

lahko preštejemo njihovo vsebino.

Slika 12: Ponovitev

3.3.2 Druga dejavnost

Naslov dejavnosti: Krajše, daljše, neskončno

Vsebina: usvajanje pojma neskončnosti

Globalni cilji:

- Seznanjanje z matematiko v vsakdanjem življenju.

- Doživljanje matematike kot prijetne izkušnje.

Operativni cilji:

- Otrok razmišlja o neskončnosti kot pojmu, ki se pogosto pojavi v vsakdanjem

življenju.

- Preko konkretnih dejavnosti postopoma spoznava in usvaja pojem neskončnosti.

Metode dela:

- metoda razlage

- metoda razgovora

- metoda opazovanja


Koper: UP PEF.

26

- metoda demonstracije

Oblike dela:

- skupna

Sredstva in pripomočki:

- trakovi različnih velikosti

- klobčič volne

- plakat

- različne slike z motivi iz narave

- lepilo

Vloga odraslih:

- Otroke spodbujam, da o neskončnosti razmišljajo kot o pojmu, ki se pojavlja v

vsakdanjem življenju.

- Preko prikazovanja trakov različnih velikosti, jim skušam približati pojem

neskončnosti.

- Otroke spodbujam in usmerjam, da izberejo pravilne slike.

- Pomagam jim pri lepljenju slik na plakat.

- Izdelan plakat izobesim na omaro v igralnici.

Aktivnosti otrok:

- Preko opazovanja različnih dolžin trakov otroci pridobivajo konkretno izkušnjo o

neskončnosti.

- Med različnimi slikami otroci izberejo tiste, ki prikazujejo neskončnost.

- Otroci izbrane slike prilepijo na plakat in ga pomagajo obesiti na omaro v skupini.

Povezovanje z drugimi področji:

- narava (izbiranje in lepljenje slik z motivi iz narave)

Metodični postopek:

Motivacija

Otroke po malici povabim, naj se posedejo v polkrog. Najprej jih vprašam, ali se še

spomnijo, o čem smo govorili včeraj. Otroci najprej povedo, da so poslušali pravljico o

sladoledu. Njihov odgovor potrdim in jih vprašam, kaj se še spomnijo. Odgovorijo mi,


Koper: UP PEF.

27

da smo govorili o tem, da je nekaterih stvari tako veliko, da jih ne moremo prešteti. Na

kratko ponovimo dejavnost štetja zrn.

Glavni del

Pred otroke postavim trakove različnih velikosti. Vprašam jih, ali so vsi trakovi

enako dolgi. Nato posamezne trakove odvijem in jih med seboj primerjamo po dolžini.

Na koncu otrokom pokažem še klobčič volne ter jih vprašam, ali vedo kako se le-ta

imenuje. Pričnem ga odvijati in ga podam otroku zraven mene. Ta ga odvije in ga poda

naslednjemu otroku. Nadaljujemo vse do tedaj, ko se klobčič vrne do mene. Klobčič

zakotalim skozi vrata igralnice in otrokom približam pojem neskončnosti s tem ko jim

razložim, da se ne konča, pač pa se nadaljuje naprej brez konca.

Zaključek

Na tla igralnice postavim plakat ter slike z različnimi motivi iz narave. Otrokom dam

navodila, naj med vsemi slikami izberejo tiste, ki prikazujejo neskončnost ter jih prilepijo

na plakat. Končni izdelek obesimo na omaro v skupini.

Potek dejavnosti ter moje ugotovitve o dojemanju neskončnosti otrok

Z otroki smo najprej ponovili potek včerajšnje dejavnosti. Na kratko smo obnovili

zgodbo o Neskončno velikem sladoledu ter dejavnost štetja zrn. Otrokom je najbolj v

spominu ostala zgodba o sladoledu. Takoj so se spomnili tudi na moko, ki je niso mogli

prešteti.

To njihovo usvojeno znanje sem nato navezala na dejavnost Krajše, daljše,

neskončno. Pred otroke sem postavila trakove različnih velikosti in jih najprej vprašala,

ali so vsi trakovi enako dolgi. Otroci so odgovorili, da niso. Da je temu res tako, sem

zato raztegnila vse trakove in otroke zopet vprašala, kaj menijo.


Koper: UP PEF.

28

Slika 13: Primerjanje trakov po dolžini

Otroci so nato trakove primerjali po dolžini od krajšega, k najdaljšemu, pri tem pa

sem jim pomagala tudi sama in jih ves čas usmerjala. Otroci so znali zelo dobro

primerjati dolžine trakov.

Vzela sem klobčič volne in otroke vprašala, kaj imam v rokah. Odgovorili so mi

pravilno. Klobčič volne sem pričela odvijati in ga podala naslednjemu otroku. Povedala

sem jim, da kljub temu da volno odvijamo, se nikoli ne konča. Otroke sem povabila, naj

otipajo klobčič volne ter tudi sami odvijejo nekaj volne, nato pa klobčič podajo

naslednjemu otroku.

Slika 14: Otroci otipajo volno in jo odvijajo


Koper: UP PEF.

29

Slika 15: Uživanje ob odvijanju volne

Slika 16: Nadaljujemo z odvijanjem

Ko je volna pripotovala nazaj do mene, sem jo zakotalila skozi vrata igralnice in na

ta način otrokom prikazala, da se ne konča, pač pa se nadaljuje nekam v neskončnost.


Koper: UP PEF.

30

Slika 17: Klobčič volne se odkotali iz skupine

Po dejavnosti s trakovi, sem na tla igralnice postavila plakat ter slike z različnimi

motivi iz narave. Otrokom sem podala navodila, naj med različnimi slikami izberejo le

tiste, ki prikazujejo neskončnost.

Slika 18: Ogledovanje slik

Otroci so imeli pri tem kar nekaj problemov, saj so na plakat lepili tudi tiste sličice,

katerih motive smo lahko prešteli, zato je bilo potrebnega kar nekaj usmerjanja tudi z

moje strani. Pred otroke sem znova postavila vse sličice in z mojo pomočjo smo še

enkrat izbrali sličice, katerih motive lahko preštejemo. Tokrat so imeli otroci že manj

težav pri izbiranju slik.


Koper: UP PEF.

31

Slika 19: Lepljenje slik na plakat

Slika 20: Otroci si ogledujejo slike

Izdelan plakat smo skupaj z otroki izobesili na omaro igralnice.

Slika 21: Pomoč pri obešanju plakata


Koper: UP PEF.

32

Slika 22: Naš končni izdelek

3.4 Delovne hipoteze – preverjanje

- Med posameznimi otroki obstajajo razlike v razumevanju pojma neskončnosti.

Med izvajanjem dejavnosti sem skušala čim bolj opazovati sodelovanje otrok

bodisi med samim pogovorom ali pri aktivnem udejstvovanju pri dejavnostih. Na

podlagi svojih lastnih opazovanj lahko zaključim, da med posameznimi otroki obstajajo

razlike v razumevanju pojma neskončnosti, saj so 3 in 4-letniki za navedeni pojem

podajali povsem nesmiselne primere, veliko težav jim je povzročalo tudi izbiranje sličic,

kjer so bili motivi, ki prikazujejo neskončnost. Hipotezo torej lahko potrdim.

- Otrokom drugega starostnega obdobja lahko skozi konkretne dejavnosti približamo

pojem neskončnosti.

Otroke sem najprej seznanila s pojmom neskončnosti tako, da sem jim z besedami

opredelila njen pomen. Le dva otroka sta se odzvala in sicer tako, da sta me vprašala

kaj je to ter kaj bomo delali. Ko smo pojem razvijali preko konkretnih dejavnosti, pa

sem takoj zaznala, da so postale predstave otrok glede navedenega pojma nekoliko

bolj razumljive, torej lahko navedeno hipotezo potrdim in jo hkrati povežem s Kolarjevo

(2006, str. 2), ko navaja, da otrok v začetku ne more razviti logično-matematičnega

sklepanja brez konkretnih izkušenj.

- Otroci na drugi starostni stopnji še nimajo občutka za dojemanje neskončnosti kot

take.

Med izvajanjem dejavnosti je bilo jasno razvidno, da otroci v starosti od 3 do 5 let

še nimajo občutka za dojemanje neskončnosti kot take. Čeprav je bilo na trenutke


Koper: UP PEF.

33

zaznati določeno stopnjo razumevanja, lahko izluščim zgolj to, da imajo otroci v tej

starosti zgolj nekakšne predpogoje za dojemanje pojma neskončnosti, ki pa ga bodo

razvili v fazi formalnih operacij. Navedeno hipotezo torej lahko potrdim.


Koper: UP PEF.

34

4 ZAKLJUČEK IN SKLEPNE MISLI

Za menoj sta dve izvedeni dejavnosti, nad katerima sem izredno navdušena.

Največ mi pomeni odziv otrok, ki je bil nad mojimi pričakovanji. Otroci so se na

dejavnost odzvali z velikim zanimanjem, saj je bil pogovor o neskončnosti zanje nekaj

povsem novega. Motivirala sem jih že s samo zgodbo o Neskončno dobrem sladoledu,

osrednji dejavnosti pa sta se odvijali sproščeno, brez naglice in postopoma. Po

končanih dejavnostih smo se odpravili na sprehod in med potjo so me otroci ves čas

opozarjali, naj se ozrem v naravo in naj opazujem »neskončno cvetov« in »neskončno

listkov«, kar je le še pokazatelj več, da jim je dejavnost pustila nek vtis, da so si

zapomnili, o čem smo se pogovarjali, pa čeprav za kratek čas.

Področje matematike je tisto, ki nekaterim otrokom predstavlja velike težave in od

nas vzgojiteljev je odvisno, kako bomo matematiko otroku prikazali. Potruditi se

moramo, da bo otrok matematiko doživel kot prijetno izkušnjo in jo vzljubil. Prav zato je

pomembno, da otrokove prve stike z matematiko uvajamo na konkretnih primerih in

predvsem skozi igro. Paziti moramo, da smo pri podajanju navodil kratki, a hkrati jasni.

Dejavnosti je potrebno uvajati postopoma, saj bo imel otrok le tako čas, da dobljene

informacije dobro »predela« in si jih zapomni. Prav zaradi tega sem si tudi sama

dejavnosti organizirala tako, da sem jih izvedla v dveh dneh in menim, da sem naredila

pravilno, saj so tako otroci ostali dovolj zbrani in motivirani.

Nisem si predstavljala, da bodo odzivi otrok na temo neskončnosti tako prijetni in

raznovrstni, saj je to pojem, ki tudi nam odraslim povzroča precej težav. Vendar pa je

to le še dokaz več, kako bujna in »brezmejna« je otroška domišljija.

Če bi dejavnost izvajala še enkrat ne bi spreminjala ničesar, saj sem bila nad

lastnim delom zadovoljna. Vsekakor se bom podobnih dejavnosti posluževala tudi v

bodoče, ker prinašajo v vzgojno-izobraževalni proces svežino in pestrost.


Koper: UP PEF.

35

VIRI IN LITERATURA

Bah Brglez, E. (2011). Pogledi na razvoj matematičnega mišljenja predšolskega otroka.

Matematika v šoli, 17(3-4), 7-11.

Batistič Zorec, M. (2006). Teorije v razvojni psihologiji. Ljubljana: Pedagoška fakulteta.

Bentley, P. J. (2010). Knjiga o številih: skrivnosti števil in kako so ustvarila sodobni

svet. Ljubljana: Tehniška založba.

Guedj, D. (1998). Svet števil. Ljubljana: DZS.

Japelj Pavšič, B. in Justinek, A. (2011). Matematika za otroke. Pridobljeno 28. 3. 2014

s http://srednja.pksola.si/unisvet/PV/vecavtorjev%20-%20Matematika%20za%20

otroke.pdf.

Kovačič, J. in Domanjko, V. (2002). Neskončnost, uvod v razmišljanja neskončnosti za

mlade radovedneže. Ljubljana: Zveza za tehnično kulturo Slovenije.

Labinowicz, E.(1989). Izvirni Piaget. Ljubljana: DZS.

Manfreda Kolar, V. (2006). Razvoj pojma število pri predšolskem otroku. Ljubljana:

Pedagoška fakulteta.

Markelj, M. (2005). Skozi igro do matematičnih pojmov v predšolskem obdobju. Vrtec:

strokovna revija za področje predšolske vzgoje, 2(5/6), 23-30.

Vogrič, T. (2007). Matematika v predšolskem obdobju. Matematika v šoli, 13(1-2), 4-12.

Wolkfolk, A. (2002). Pedagoška psihologija. Ljubljana: Educy.

Documents

Žvanut Ivana dokončna diplomska naloga - share.upr.si thinking supported by Piaget's theory of cognitive development and Vygotsky's sociocultural theory , and finally also with learning