Zbirka Zadaci Od Jakost Na Materijalite II

Univerzitet “Sv. Kliment Ohridski” Tehni~ki fakultet Bitola

D. Trajkovski, Q. Popovski

ZBIRKA ZADAÎ OD JAKOST NA MATERIJALITE II

Bitola, 2005

Dejan Trajkovski, Qup~o Popovski

2

So re{enie na dekanot na Tehni~kiot fakultet vo Bitola br. HHH od HHHH godina odobreno e izdavaweto na u~ebnoto pomagalo pod naslov

ZBIRKA ZADAÎ OD JAKOST NA MATERIJALITE II

Od red. prof. D-r Dejan Trajkovski i ass. M-r. Qup~o Popovski Recenzent: vonr. prof. d-r. Blagoj Pavlov Ureduva~ki odbor: Lektor: Izdava~: Pe~ati: Tira`:

Zbirka zada~i od jakost na materijalite II

3

SODR@INA

Predgovor ........................................................................................ Upotrebeni oznaki .........................................................................

1. Naponska i deformaciona sostojba vo to~ka .................. 2. Sloèni napregawa ............................................................ 3. Odreduvawa na pomestuvawa kaj stati~ki opredeleni

konstrukcii .......................................................................... 4. Stati~ki neopredeleni nosa~i ......................................... 5. Ramninski osnosimetri~ni napregawa ............................ 6. Tenkoyidni osnosimetri~ni rezervoari ......................... 7. Dinami~ki optovaruvawa ...................................................

Prilozi I. Nekoi pova`ni matemati~ki obrasci .................................

II. Jakosni hipotezi .................................................................... III. Stati~ki opredeleni nosa~i ............................................... IV. Stati~ki neopredeleni nosa~i ........................................... V. Tablici na vlijatelni koeficienti ..................................

VI. Dozvoleni napregawa ............................................................ VII. Kriti~na sila pri izvitkuvawe ..........................................

VIII. Momenti na inercija i otporni momenti ............................ IX. Tablici za profili ..............................................................

Literatura ......................................................................................

5 7

13 25

39 79

147 163 179

193 201 205 213 219 225 229 235 243 253


4


5

PREDGOVOR Zbirkata sodrì zada~i od predmetot Jakost na materijalite II i e vo sklad so nastavnite planovi na Tehni~kiot fakultet vo Bitola. Site zada~i se celosno re{eni za studentite da moàt na ovie primeri da go steknat iskustvo za re{avawe na drugi sli~ni zada~i od ovaa oblast. Ovaa zbirka na zada~i moè korisno da posluì i na inènerite koi se zanimavaat vo praktika so ovaa problematika poradi izborot na zada~i koi se zemeni od praksata pri {to matemati~kite te{kotii pri re{avaweto na zada~ite se svedeni na minimum. Zbirkata e podelena vo sedum poglavja:

Naponska i deformaciona sostojba vo to~ka Sloèni napregawa Odreduvawa na pomestuvawa kaj stati~ki opredeleni

konstrukcii Stati~ki neopredeleni nosa~i Ramninski osnosimetri~ni napregawa Tenkoyidni osnosimetri~ni rezervoari Dinami~ki optovaruvawa.

Pokraj ovie sedum poglavja zbirkata sodrì i prilozi, pozna~ajni matemati~ki obrazsci, obrazsci i tabeli koi se korisni pri re{avaweto na zada~ite od oblasta na jakosta na materijalite.

Pogolemiot del od ovie zada~i raboteni se na ve`bi so studentite ili bile ispitni zada~i od predmetot Jakost na materijalite II na Tehni~kiot fakultet vo Bitola. 1 Juni 2005 godina Bitola

Od avtorite


6


7

UPOTREBENI OZNAKI


8


9

zyx ,, normalni napregawa

yzxzxy ,, tangencijalni napregawa

T tenzor na napregawata

321 ,, glavni napregawa

J1, J2, J3 invarijanti na napregaweto )(y),(x kk koeficienti na pravci na glavni oski

xzkxykxxk ,, koeficienti na pravci na glavni napregawa

normalno napregawe dozvoleno normalno napregawe Mx moment na svitkuvawe okolu x oska My moment na svitkuvawe okolu y oska Ix moment na inercija okolu x oska Iy moment na inercija okolu y oska F sila A povr{ina na popre~en presek tangencijalno napregawe ix radius na inercija za x oska iy radius na inercija za y oska Wx otporen moment za x oska Wy otporen moment za yoska Mf moment na svitkuvawe Mt moment na torzija Me ekvivalenten moment 0z dozvoleno napregawe na zategawe 0p dozvoleno napregawe na pritisok Q popre~na sila N nadol`na sila Sx stati~ki moment by debelina q generalizirano pomestuvawe Ad deformaciona rabota Q generalizirana sila E modul na elasti~nost A povr{ina na popre~en presek G modul na lizgawe I0 polaren moment na inercija Ix moment na inercija okolu x oska Iy moment na inercija okolu y oska N aksijalna sila Mt moment na torzija Mx moment na svitkuvawe okolu x oska My moment na svitkuvawe okolu y oska Qx popre~na sila vo x pravec Qy popre~na sila vo y pravec F0 pomo{na sila

qN sila od dejstvo na tovarot

N sila od dejstvo na pomo{nata edine~na sila


10

qtM moment na torzija od tovar

tM moment na torzija od pomo{nata edine~na sila

qxM moment na svitkuvawe okolu x oska od tovar

xM moment na svitkuvawe okolu x oska od pomo{na sila

qyM moment na svitkuvawe okolu y oska od tovar

yM moment na svitkuvawe okolu y oska od pomo{na sila qxQ popre~na sila vo x pravec od dejstvo na tovar

xQ popre~na sila vo x pravec od dejstvo na pomo{na sila

qyQ popre~na sila vo y pravec od dejstvo na tovar

yQ popre~na sila vo y pravec od dejstvo na pomo{na sila

qiA povr{ina na dijagramot na napadnata golemina od

zadadenoto opteretuvawe ( nadol`na sila, popre~na sila, moment na svitkuvawe, moment na torzija)

i ordinata na dijagramot na napadnata golemina od edine~noto opteretuvawe 1iS mereno na mestoto na

teì{teto na povr{inata qA

ij vlijatelni koeficienti na elasti~nost

qi pomestuvawa na to~kite poradi nadvore{ni opteretuvawa

jS prekubrojni stati~ki nepoznati

E modul na elasti~nost I moment na inercija

)z(M mi moment na svitkuvawe od dejstvo na edine~na sila iS

)z(M mj moment na svitkuvawe od dejstvo na edine~na sila jS

)z(M mq moment na svitkuvawe od dejstvo na tovar q

jA povr{ina na dijagramot na napadnata golemina od edine~noto opteretuvawe 1jS

iA povr{ina na dijagramot na napadnata golemina od edine~noto opteretuvawe 1iS




teì{teto na povr{inata qA u(r) radijalno pomestuvawe r(r) radijalna komponenta na napregaweto (r) cirkularna komponenta na napregaweto gustina na materijalot poasonov koeficient agolna brzina


11

RN radius na nadore{en pre~nik bezdimenzionalen odnos me|u vnatre{niot i

nadvore{niot radius na diskot r polarno rastojanie E modul na elasti~nost pV vnatre{en pritisok vo debeloyidnata cevka pN nadvore{en pritisok t koeficient na toplotno {irewe tN nadvore{na temperatura tV vnatre{na temperatura t0 temperatura m napregawe vo meridijanska ramnina odnosno vo

presekot na sadot so ramnina koja ja sodrì oskata na simetrija na sadot

c napregawe vo cirkularna ramnina odnosno vo presek normalen na meridijanskata ramnina

p pritisok debelina na yidot na sadot Rm radius na krivina vo meridijanski pravec Rc radius na krivina vo cirkularen pravec kd dinami~ki koeficient Fst stati~ka sila Fd dinami~ka sila st napregawe od dejstvo na stati~ka sila d napregawe od dejstvo na dinami~ka sila st stati~ki ugib d dinami~ki ugib Nd vkupna sila vo jaèto G tovar q teìna na jaè na edinica dolìna g zabrzuvawe pri slobodno pa|awe z izminat pat na tovarot z zabrzuvawe na tovarot i jaèto H visina od koja teloto pa|a koeficient na redukcija koj zavisi od na~in na

potpirawe na gredata i od vidot na udarot (nadolèn ili popre~en)

Q0 teìna na gredata G teìna na teloto


12


13

1. NAPONSKA I DEFORMACIONA SOSTOJBA

VO TO^KA


14


15

Naponskata sostojba vo to~ka podrazbira sevkupnost na napregawata koi dejstvuvaat na site mo`ni povr{ini koi minuvaat niz taa to~ka. Ima vkupno devet komponenti na napregaweto koi moàt da se sloàt vo kvadratna matrica i se odnesuvaat kako komponentite na tenzor od vtor red, koj se narekuva tenzor na napregaweto

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T

Presmetka na glavni napregawa i glavni oski Pri prostorna sostojba na napregawa so menuvawe na orientacijata na oskite na elementarniot paralelopiped moè da se najde takva nivna polo`ba pri koja site tangencijalni napregawa }e bidat nula. Povr{inite paralelni na stranicite na paralelopipedot orientirani na ovaj na~in se narekuvaat glavni povr{ini. Napregawata koi dejstvuvaat na niv 1, 1, 1 se narekuvaat glavni napregawa, a soodvetnite oski glavni oski. Za tie nasoki normalnite napregawa dobivaat ekstremni vrednosti t.e. edno e najgolemo, edno e najmalo, a edno e po golemina pome|u niv.

0322

13 JJJ

Trite koreni na ovaa ravenka se sekoga{ realni i pretstavuvaat golemini na glavnite napregawa vo tri me|usebno razli~iti pravci. Goleminite na glavnite napregawa ne zavisat od izborot na koordinatniot sistem pa koeficientite J1, J2, J3 vo kubnata ravenka se invarijantni golemini. Tie se narekuvaat invarijanti na napregaweto od prv, vtor i tret stepen.

3211 zyxJ

313221222

2 yzxzxyzyzxyxJ

3213

zzyzx

yzyyx

xzxyx

J

Nasokite na glavnite napregawa se nao|aat od ravenkata na kompatibilnost

1

1

2

2

2

22

xz

xy

xz

xxxz

Prethodno se odreduvaat pravcite na glavnite oski


16

kyxy

xykx

kyxz

xyxz

k )(x

kyxy

xykx

yzxy

xzkx

k )(y

za 321 ,,k

1

122

)(y)(x kk

kxz

kxzkkxx )(x

kxzkkxy )(y za sekoja glavna oska soodvetno.

kade {to se

zyx ,, normalni napregawa

yzxzxy ,, tangencijalni napregawa

T tenzor na napregawata

321 ,, glavni napregawa

J1, J2, J3 invarijanti na napregaweto )(y),(x kk koeficienti na pravci na glavni oski

xzkxykxxk ,, koeficienti na pravci na glavni napregawa


17

1.1. Naponskata sostoba na to~ka zadadena e so tenzorot na

napregawata

4018101815510512

T N/mm2. Da se najdat glavnite

napregawa i glavnite pravci na tenzorot na napregawata. Re{enie:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T

4018101815510512

Invarijanti na napregaweto

434015121 zyxJ N/mm2.

2222 yzxzxyzyzxyxJ

50918105401540121512 222 )()( (N/mm2)2.

76124018101815510512

3

zzyzx

yzyyx

xzxyx

J

(N/mm2)3.

Koeficienti na kubnata ravenka (karakteristi~nata ravenka)

023 dcba a = 1 b = –J1 = –43 c = J2 = –509 d = –J3 = 7612

0322

13 JJJ

0761250943 23

3331413

433

,yyaby kkkk

; 321 ,,k

03 qypy kk ;

33112513

43509133

32

2

2

2,)()(

abcap

dacbaba

q 233 2792

271

074557376121275094319432127

1 233 ,)()()(

73232

10502427

3311254

0745573274

,),(),(pqD


18

za D > 0 casus ireducibilis

07172651050242

07455732

722

,,,(Dqr

1771

20745573105024

2

7,),(

,tanaqDtanazarg

3 zk

Diqz 2

32

323

ksinikcosrk

k

3k 3

pz

kkky

7911362151 ,i,

21953422 ,i,

479173 ,i,

7911362151 ,i,

21953422 ,i,

479173 ,i,

724301 ,y 06852 ,y

792353 ,y Glavni napregawa

39161 , N/mm2 26592 , N/mm2 125503 , N/mm2

Proverka na invarijati na napregaweto

43125502659724303211 ,,),(J N/mm2

12550307241255026592659724303132212 ,)(,,,),(J 509 (N/mm2)2

7612125502659724303213 ,,),(J (N/mm2)3

Koeficientite na pravcite na glavnite oski


19

kyxy

xykx

kyxz

xyxz

k )(x

kyxy

xykx

yzxy

xzkx

k )(y

; 321 ,,k

1

122

)(y)(x kk

kxz

kxzkkxx )(x

kxzkkxy )(y ;

Prva glavna oska

92101 ,xx 9932211 ,)arccos( xx

29401

,xy 10210711 ,)arccos( xy

25701 ,xz 1017511 ,)arccos( xz

Vtora glavna oska

3702 ,xx 0511222 ,)arccos( xx

84802


37402 ,xz 0126822 ,)arccos( xz

Treta glavna oska

10803 ,xx 29633 ,)arccos( xx

44103


89103 ,xz 0012733 ,)arccos( xz

matricata na transformacijata e:

891044101080374084803750257029409210

333

222

111

,,,,,,,,,

aaaaaaaaa

xzxyxx

xzxyxx

xzxyxx


20

komponentite na tenzorot na napregaweto za sistemot od glavni oski }e bidat:

1255000026590003916

000000

3

2

1

,,

,T

1.2. Sostojbata na napregawata vo to~ka e dadena so tenzorot na

napregawata

2055251557525710

,,

,,T MPa. Da se proveri cvrstinata so

primena na hipotezata za najgolema specifi~na specifi~na deformaciona rabota za promena na formata ako ekvivalentnoto napregawe e=90 MPa.

Re{enie:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

,,

,,T

2055251557525710

Invarijanti na napregaweto

452015101 zyxJ MPa.

2222 yzxzxyzyzxyxJ

556255257201520101510 222 ,,, (MPa)2.

7517184018101815510512

3 ,J

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(MPa)3.

Koeficienti na kubnata ravenka (karakteristi~nata ravenka)

023 dcba a = 1 b = –J1 = –45 c = J2 = 562,5 d = –J3 = –1718,75

0322

13 JJJ

0751718556245 23 ,,

1513

453

kkkk yy

aby ; 321 ,,k


21

03 qypy kk ; 321 ,,k

511213

455562133

32

2

2

2,)(,

abcap

dacbaba

q 233 2792

271

253175171812755624519452127

1 233 ,),(,)()(

2345249027

511242531

274

3232,),(),(pqD

za D < 0 kubnata ravenka ima tri realni koreni

6151067112 ,,pr

588

615102531

33 ,),(

,cosarqcosa

483183

5886181023

21 ,,cos),(cosry

298183

588606181023

6022 ,,cos),(cosry

18503

588606181023

6023 ,,cos),(cosry

Glavni napregawa

1513

453

kkkk yy

aby ; 321 ,,k

483331 , MPa 29832 , MPa 815143 , MPa

Proverka na invarijati na napregaweto

45815142983483333211 ,),(,J MPa

81514483338151429832983483333132212 ,,,),(),(,J 509 (MPa)2

7612125502659724303213 ,,),(J (MPa)3

Hipoteza za najgolema specifi~na deformaciona rabota

31322123

22

21 e


22

298343833298343833298343833483334833348333 222 ,,,,,,),(),(),(3718, MPa < 90 MPa.

1.3. Prostornata sostojba na napregawata vo to~ka pretstavena e so

pomo{ na tenzor na napregaweto

500500100505050100

T N/mm2. Da

se opredeli ekvivalentnoto napregawe spored hipotezata za najgolema distorziska energija (hipoteza na Huber-Mizes-Henki).

Re{enie:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T

500500100505050100

N/mm2

100x N/mm2

100y N/mm2

50z N/mm2

50 yxxy N/mm2

0 zyyz N/mm2

50 zxxz N/mm2 Spored hipotezata za najgolema distorziska energija

222222 3 xzyzxyzxzyyxzyxe

100505010010010050100100 222 )(

9217500503 222 , N/mm2 1.4. Komponentite na napregaweto pri ramninska sostojba na

napregaweto vo dadena to~ka iznesuvaat x=80 N/mm2, y= – 40 N/mm2, xy=40 N/mm2. Da se opredelat ekvivalentnite napregawa spored hipotezata za najgolema dolìnska dilatacija (hipoteza na Mariot) kako i spored hipotezata za najgolema specifi~na deformaciona rabota za promena na formata (hipoteza na Huber-Mizes-Henki). Poasonoviot koeficient e=0,3.


23

x xxy

yx

y

y

xy

yx

Sl. 1.4

Re{enie: Gi odreduvame glavnite napregawa

222221 4044080

21

240804

21

2

xyyx

yx,

1921 , N/mm2 1522 , N/mm2

03 N/mm2 gi sortirame

1921 , N/mm2 02 N/mm2

1523 , N/mm2 Ekvivalentnoto napregawe spored hipotezata za najgolema dolìnska dilatacija (hipoteza na Mariot)

7107631573107192323121 ,,;,;,max;;maxe N/mm2 dodeka spored hipotezata za najgolema specifi~na deformaciona rabota za promena na formata (hipoteza na Huber-Mizes-Henki)

51262

1 232

231

221 ,e N/mm2


24

x

y

1 2

OS

A

B

1 2

Sl. 1.4 a


25

2. SLO@ENI NAPREGAWA


26


27

Pri odreduvaweto na napregawata pri sloèni napregawa gi koristime slednive postapki Presmetka na koso svitkuvawe Napregaweto e

xI

My

IM

y

y

x

x

zFM yx ; zFM xy

sinFFx ; cosFFy

Ravenkata na neutralnata oska e

Nx

y

y

xN x

MM

IIy

Ugibite pri koso svitkuvawe

x

xx IE

lFu

3

3;

y

yy IE

lFu

3

3

; 22yx uuu

kade {to se normalno napregawe dozvoleno normalno napregawe Mx moment na svitkuvawe okolu x oska My moment na svitkuvawe okolu y oska Ix moment na inercija okolu x oska Iy moment na inercija okolu y oska Presmetka na istovremeno dejstvo na svitkuvawe i nadol`na sila Napregaweto e

xI

My

IM

AF

y

y

x

x

kade {to se F sila A povr{ina na popre~en presek Presmetka na ekscentri~no dejstvo na nadol`na sila Napregaweto e


28

xI

My

IM

AF

y

y

x

x

Fx yFM ; Fy xFM

Ravenka na neutralnata oska

01 22 Ny

FN

x

F xixy

iy

kade 2x

x iAI

; 2y

y iAI

Otse~kite koi neutralnata oska gi gi otsekuva od koordinatnite oski

F

yx x

ia

2

; F

xy y

ia

2

Presmetka na istovremeno dejstvo na svitkuvawe i usukuvawe

22

21 21

zxxx

, MMMW

Spored hipotezata za najgolemo normalno napregawe

x

ee W

M kade 22

21

21

zxxe MMMM

Spored hipotezata za najgolema dolìnska dilatacija

222

12

1zxxe MMMM

spored hipotezata za najgolemo tangencijalno napregawe

22zxe MMM

Spored hipotezata za najgolema specifi~na deformaciona rabota za promena na formata

22zxe MMM

Spored hipotezata na Mor

222

12

1zxxe MMMM

kade

p

zK0

0


29

Ako se raboti za vratilo so kruèn popre~en presek

22yxf MMM rezultanten moment na svitkuvawe

x

f

WM

; x

zzW

MWM

20

kade {to se tangencijalno napregawe ix radius na inercija za x oska iy radius na inercija za y oska Wx otporen moment za x oska Wy otporen moment za yoska Mf moment na svitkuvawe Mt moment na torzija Me ekvivalenten moment 0z dozvoleno napregawe na zategawe 0p dozvoleno napregawe na pritisok Istovremeno dejstvo na svitkuvawe i smolknuvawe

yI

M

x

xz ;

xy

xyzy Ib

SQ

kade {to se Q popre~na sila N nadol`na sila Sx stati~ki moment by debelina


30

2.1. Silata F dejstvuva na krajot od lostot CD i go doveduva vo dvièwe trkaloto T na koe dejstvuva momentot M=1 kNm. Dolìnite na lostovite se sledni lAC=lBC=1 m. Vratiloto ima kruèn prstenast presek so debelina yidot =3 mm. Odnosot me|u nadvore{niot i vnatre{niot pre~nik e =0,9. Dozvolenot napregawe iznesuva 0=160 N/mm2, Poasonoviot koeficient e =0,3. Da se opredeli intenzitetot na silata F. Da se konstruiraat dijagramite na napadnite momenti, na svitkuvawe i na usukuvawe na dadeniot nosa~. Da se dimenzionira vratiloto so ogled na sloènata sostojba na napregawa. Da se primeni hipotezata na najgolema dolìnska dilatacija (hipoteza na Mariot).

Sl. 2.1.

Re{enie: 0BM ;

050 M,F sledi 250

150

,,

MF kN

A BC

F

M=1 kNm

F 0,5 kNm

Y = 1 kN Y = 1 kNBA

Sl. 2.1. a


31

Mf1 kNm

Sl. 2.1. b

Mt

1 kNm

Sl. 2.1. v

Spored hipotezata na Mariot

2691112

30112

30142

12

1 2222 ,,,MMMM tffe

kN

x

eWM

0

7510160

102691 6

0

,MW e

x mm3

7510164

d

2d

64d

64d

W 43n

n

4v

4n

x

mm3

Od tuka se odreduva deka 376,dn mm. 2.2. Dadena e konzola ABCD pri {to dolìna na lostot AC=CD=a=2 m.

Rastojanieto AB=a/2=1 m. Delot od lostot CD optereten e so kontinuiran tovar q=1 kN/m normalno na konzolata. Vo to~kata B dejstvuva sila F=2000 N. Konzolata e izrabotena od kru`na cevka so odnos me|u vnatre{niot i nadvore{niot dijametar od =dv/dn=0,9. Dozvolenoto napregawe e 0=200 N/mm2. Poasonoviot koeficient =0,3. Da se dimenzionira presekot na cevkata vrz osnova na hipotezata za najgolema dolìnska dilatacija.


32

Sl. 2.2.

Re{enie:

0xM

0 aaqM Ax sledi 2aqM Ax

0yM

02

aFM Ay sledi 2aFM Ay

0zM

02

aaqM Az sledi 2

2aqM Az

Rezultanten moment na svitkuvawe

447222200021000

2

22222222

aFaqMMM AyAxAf Nm

Moment na torzija

20002

210002

22

aqMM Azt Nm

x

ff W

M ;

x

ttt W

MWM

20

2

0

222 4

21

214

21

21

WM

WM

WM t

x

f

x

ftffe

x

eWM

0

22 42

12

1tffe MMMM


33

47502000444722

30144722

301 22

,, Nm

23750200

4750000

0

e

xMW mm3

23750164

2

6464 43

44

n

n

vn

xd

d

dd

W mm3

988901

23750323 4 ,

,dn

mm

Usvoeno dn = 90 mm

819090 ,dd nv mm 2.3. Da se opredeli maksimalno dozvolenata sila so koja moè da se

optovari limeniot nosa~ pri {to optovaruvaweto od sopstvena teìna da se zeme vo predvid. Da se primeni hipotezata na Treska pri odreduvaweto na sloènite napregawa. Da se razgleda presekot vo sredinata na gredata i toa mestoto na spojot na pojasot so rebroto. Dozvolenot napregawe iznesuva =160 N/mm2. Gustinata na materijalot od koj e izraboten nosa~ot iznesuva 7800 kg/m3.

7 m 7 m

A B

C

F

250

500

20

10

Sl. 2.3.

Re{enie:


34

7 m 7 m

A BC

F q

YYA B

Sl. 2.3 a. Povr{ina na popre~en presek na nosa~ot

6101460010460250202 A m2 sopstvena teìna na nosa~ot

111710146008197800 6 ,Agq N/m' moment na inercija na popre~niot presek

83

23

10646124601024025020

12202502

,I x mm4

22FlqYA

22FlqYB

F,FlFlqM c 3500107424

140008140001117

487

22

MC Sl. 2.3 b.

0cQ

22222FlqFlqlqYQ Ac

QC

AY

BY

Sl. 2.3 v.


35

k k

2023

0

250

Sl. 2.3 g.

napregawe vo presekot k–k

F,,,

F,IM

x

38

7102159

10646230350010742230

N/mm2

F

F

IbSQ

x

x 58 109

1066410

240250202

N/mm2

Spored hipotezata na Treska

16010941021594 0252322 FF,,u N/mm2

0255101082210471 326 F,F, Fmax=123979 N 2.4. Da se proveri jakosta na dadeno vratilo so kruèn prstenast

popre~en presek. Vnatre{niot dijametar na vratiloto e dV=40 mm, a debelinata na yidot =4 mm. Vratiloto e optovareno so moment na svitkuvawe Mf=2 kNm i moment na usukuvawe Mt=0,5 kNm. Dozvolenoto napregawe e doz=160 N/mm2. Da se koristi hipotezata na Huber-Mizes-Henki.

dv

Sl. 2.4.

Re{enie: Nadvore{niot dijametar e 482 vn dd mm otporniot i polarniot moment za popre~niot presek e


36

4

44

10625

2

64

,d

ddW

n

vnx

mm4.

4

44

0 1024112

2

32

,Wd

ddW x

n

vn

mm4.

Napregawata na svitkuvawe i torzija se

635,WM

x

ff N/mm2 i 44

0,

WM t

t N/mm2

Ekvivalentnata jakost sprema hipotezata na Huber Mizes Henki

4363 22 ,tfu N/mm2 < 160doz N/mm2 2.5.. Da se opredeli jadroto na presek daden na slikata.

10 c

m60

cm

10 cm40 cm

A B

C

D

E

F

x

y

Sl. 2.5.

Re{enie: Povr{inata na popre~niot presek e

1000401060102211 hbhbA cm2


37

Teì{teto na profilot go presmetuvame na sledniot na~in

441000

65400306002211

A

yAyAy TTT cm

Moment na inercija za xc–xc oskata

222

3222

11

311

21 1212eAhbeAhbIII xxx

477333446540012

10404430600126010 2

32

3

cm4

Moment na inercija za yc–yc oskata

58333124010

121060

1212

33322

311

21

bhbhIII yyy cm4

Radiusi na elipsa na inercija

637100058333 ,

AI

i yy cm

84211000

477333 ,AIi x

x cm

10 c

m60

cm

10 cm40 cm

A B

C

D

E

F

2644

xT

yT

iy

ix

T

Sl. 2.5 a.

Koordinatite na to~kite od profilot vo odnos na koordinatniot sistem xT T yT se dadeni vo tabelata podolu


38

Tabela 2.5.

exi , cm eyi , cm x0i , cm y0i , cm A –5 –44 92,28 1,32 B 5 –44 –92,28 1,32 C 20 16 –23,07 –3,64 D 20 26 –23,07 –2,24 E –20 26 23,07 –2,24 F –20 16 23,07 –3,64

Koordinatite na to~kite od jadroto na presekot vo odnos na koordinatniot sistem xT T yT se opredeluvaat na sledniot na~in, a se pretstaveni vo tabelata pogore

xi

yi e

ix

2

0 ; yi

xi e

iy2

0 10

cm

60 c

m

10 cm40 cm

A B

C

D

E

F

2644

xT

yT

xoA

xoE

yoA

y0D

yoC

T

Sl. 2.5 b.


39

3. OPREDELEUVAWE NA POMESTUVAWA KAJ STATI^KI

OPREDELENI KONSTRUKCII


40


41

Pri odreduvawe na pomestuvawata na oddelni to~ki od stati~ki opredeleni konstrukcii se koristat slednive postapki Kastiqanova teorema Dokolku e potrebno da se opredeli generiliziranoto pomestuvawe na nekoja to~ka i vo koja ne dejstvuva generalizirana sila Q, toga{ vo nabquduvanata to~ka se dodava fiktivna generalizirana sila koja e ednakva na nula Q0=0 i se primenuva vtorata Kastiqanova teorema Pomestuvaweto e

000

QQ

Aq d

dodeka deformacionata rabota e

dz)z(IE

)z(Mdz)z(IG

)z(Mdz)z(AE)z(N

An

m

b

a x

xn

m

b

a

tn

m

b

ad

m

m

m

m

m

m 1

2

1 0

2

1

2

21

21

21

dz)z(AG

)z(Qdz)z(AG

)z(Qdz

)z(IE)z(M n

m

b

a y

xn

m

b

a x

yn

m

b

a y

y m

m

m

m

m

m

1

2

1

2

1

2

21

21

21

pa pomestuvaweto e

dzQM

IEQ

Mdz

QM

IGQ

Mdz

QN

AEQ

N

QQA

q xn

m

b

a x

xt

n

m

b

a

tn

m

b

a

dm

m

m

m

m

m01

0

01 0

0

01

0

00

0000

dzQQ

AGQ

Qdz

QQ

AGQ

Qdz

QM

IEQ

Myn

m

b

a x

yx

n

m

b

a y

xyn

m

b

a y

y m

m

m

m

m

m01

0

01

0

01

0 000

kade {to se q generalizirano pomestuvawe Ad deformaciona rabota Q generalizirana sila E modul na elasti~nost A povr{ina na popre~en presek G modul na lizgawe I0 polaren moment na inercija Ix moment na inercija okolu x oska Iy moment na inercija okolu y oska N aksijalna sila Mt moment na torzija


42

Mx moment na svitkuvawe okolu x oska My moment na svitkuvawe okolu y oska Qx popre~na sila vo x pravec Qy popre~na sila vo y pravec Morova metoda za presmetuvawe na pomestuvawata Pri opredeluvaweto na generaliziranoto pomestuvawe na nekoja to~ka od dadena konstrukcija ako na nea ne dejstvuva nadvore{na sila se dodava fiktivna edine~na generalizirana sila Q0 vo nasokata kade {to se bara pomestuvaweto. Na primer ako se bara linisko pomestuvawe se dodava pomo{na sila F0, a ako se bara agolno pomestuvawe se dodava pomo{en spreg M0. Deformacionata rabota e

dzIE

MFMdzIG

MFMdzAE

NFNAn

m

b

a x

xoqx

n

m

b

a

toqt

n

m

b

a

oq

d

m

m

m

m

m

m 11 01 21

21

21

dzAE

QFQkdzAG

QFQkdz

IEMFM n

m

b

a

xoqxx

n

m

b

a

xoqxyn

m

b

a y

yoqy m

m

m

m

m

m

111 21

21

21

pomestuvaweto e

dz

IEMMdz

IGMMdz

AENN

FFAq

n

m

b

a x

xqx

n

m

b

a

tqt

n

m

b

a

qd

m

m

m

m

m

m 11 0100 1

dzAG

QQkdz

AGQQk

dzIEMM n

m

b

a

yqyxn

m

b

a

xqxyn

m

b

a y

yqy m

m

m

m

m

m

111

kade {to se F0 pomo{na sila

qN sila od dejstvo na tovarot

N sila od dejstvo na pomo{nata edine~na sila qtM moment na torzija od tovar

tM moment na torzija od pomo{nata edine~na sila

qxM moment na svitkuvawe okolu x oska od tovar

xM moment na svitkuvawe okolu x oska od pomo{na sila

qyM moment na svitkuvawe okolu y oska od tovar

yM moment na svitkuvawe okolu y oska od pomo{na sila


43

qxQ popre~na sila vo x pravec od dejstvo na tovar

xQ popre~na sila vo x pravec od dejstvo na pomo{na sila

qyQ popre~na sila vo y pravec od dejstvo na tovar

yQ popre~na sila vo y pravec od dejstvo na pomo{na sila

Pravilo na Vere{~agin Integralot na proizvodot od dve funkcii od koi ednata mora da bide linearna e ednakov na proizvodot na povr{inata (A) pod krivata na proizvolnata funkcija (f2) i vrednosta na linearnata funkcija (f1) na mestoto koe {to soodvetsvuva na polo`bata na teì{teto na povr{inata pod krivata na proizvolnata funkcija zT.

A)z(fdz)z(f)z(fI T

l 1

021

bza)z(f TT 1 so koristewe na ova pravilo kaj konstrukcii napregnati istovremeno na svitkuvawe i torzija sledi deka pomestuvaweto e

m

ttmm

qt

my

ymm

qy

mx

xmm

qx

IEA

IEA

IEAq

m

t*q

tm

y*q

ym

x*q

x AAA

xmm

qx*q

x IEA

A

; ymm

qy*q

y IEA

A

; tmm

qt*q

t IEA

A

kade {to se




teì{teto na povr{inata qA


44

3.1. Prosta greda so prepust optovarena e so ramnomeren kontinuiran tovar q sprema slikata vo srednoto pole AB. Modulot na elasti~nost e E, a momentot na inercija na presekot na gredata e I. Da se opredeli vertikalnoto pomestuvawe na krajot od prepustot vo to~kata C.

A B CEI

q

a a/2

Sl. 3.1.

Re{enie: Ja koristime metodata na Maksvel so dodavawe na edine~na sila vo pravec na baranoto pomestuvawe

A B CEI

q

a a/2

YAq YBqz1 z2

Sl. 3.1 a. Reakciite vo potporite od dejstvoto na tovarot se opredeluvaat od uslovite za ramnoteà

2aqYAq

; 2

aqYBq

dodeka momentite od dejstvoto na tovarot dadeni se vo tabelata podolu

Mqq a / 82

Sl. 3.1 b.


45

Reakciite vo potporite od dejstvoto na edine~nata sila se

21

AY ; 23

BY

dodeka momentite od dejstvoto na edine~nata sila dadeni se vo tabelata podolu

A B CEI

a a/2

YA YBz1 z2

S = 1

Sl. 3.1 v.

M

- a / 2

Sl. 3.1 g. Tabela 3.1.

m mz )z(M mq )z(M m 1 az 10

22

21

1zqzaq

12

1 z

2 2

0 2az

0 2z

Pomestuvaweto vo pravec na edine~nata sila e

IEaqzMzMzMzM

IEdz

IEzMzM /a

q

a

q

n

m

b

am

mmqC

m

m

481 42

022

011

1


46

3.2. Da se opredeli horizontalnoto pomestuvawe na to~kata C od dadeniot nosa~ ABC so forma i dimenzii sprema skicata. Nosa~ot e optovaren so horizontalna sila F koja dejstvuva vo podvi`nata potpora C. Krutosta na svitkuvawe na celiot nosa~ e EI.

A B

CF

E,I

E,I

a a

a

Sl. 3.2. Re{enie: Reakciite vo potporite A i C gi odreduvame od uslovite za ramnoteà

A B

C F

E,I

E,I

a a

a

Y

Y

XA

A

C

Sl. 3.2 a.

0AM

02 aYaF C sledi FYC 21

0iX

0 FX A sledi FX A

0iY

0 CA YY sledi FYA 21


47

Gi odreduvame momentite po soodvetni segmenti od nosa~ot

-1/2 F a

M

Sl. 3.2 b.

az 10

111 21 zFzY)z(M A

20 2 az

2222 42

22

22 zFzFzY)z(M C

Tabela 3.2.

m zm Mq(zm) 1 az 10

121 zF

2 20 2 az 24

2 zF

Bidej}i vo pravec na baranoto pomestuvawe ve}e dejstvuva nadvore{na sila ja odreduvame deformacionata rabota

m

n

m

b

a m

mqd dz

IE)z(M

Am

m1

2

21

IE

aFdzzFdzzFIE

aa

24

214

221

21 322

02

2

20

1

2

1

Pomestuvaweto vo to~kata C

IE

aFFAd

C

12

213


48

3.3. Daden e nosa~ so konstantna krutost. Da se opredeli vertikalnoto

pomestuvaweto vo to~kata C.

A

B C Dq

a a a

a

Sl. 3.3. Re{enie: Za da go opredelime pomestuvaweto ja koristime Kasiqanovata teorema i dodavame sila F0=0 vo to~kata C vo pravec kade treba da go odredime pomestuvaweto pa gi odreduvame rekaciite vo potporite od uslovite za ramnoteà

A

B C D

q

a a a

a

X

Y

z1

F = 0 z2

z3

A

YA

D

0

Sl. 3.3 a.


49

0AM

0322 0 aYaFaaq D sledi 03

261 FaqYD

0iY

00 DA YFaqY sledi 031

65 FaqYA

Momentite po segmenti se slednive

20 1 az

2110

2111 4

122

31

6545

2145 zqzFaq)z(cosqcoszY)z(M A

az 20

2022 32

61 zFaqzY)z(M D

aza 23

aFzFaqazFzY)z(M D

0303033 3

161

20 1 az

10

162 z

F)z(M

az 20

20

232 z

F)z(M

aza 23

azF

)z(M

30

331

20 1 az

21101 4

112

250 zqzaq)F,z(M

az 20

202 610 zaq)F,z(M

aza 23

303 610 zaq)F,z(M


50

Tabela 3.3. m zm M(zm) )F,z(M m 00

0F)z(M m

1 20 1 az

2110 4

122

31

65 zqzFaq

211 4

112

25 zqzaq

16

2 z

2 az 20 203

261 zFaq

26

1 zaq 232 z

3 aza 23 aFzFaq

0303

161 36

1 zaq az 331

pomestuvaweto na to~kata C se presmetuva na sledniov na~in

mi

mi

b

am

mm

n

mC dz

F)z(M)F,z(M

IEFFAd

00

10001

0

22

0211

2

0

211 3

261

62

41

12251 dzzzaqdzzzqzaq

IE

aa

IEaqdzazzaq

a

a

4

33

2

3 1922

10811

31

61

3.4. Da se opredeli horizontalnoto pomestuvawe na potporata C od

dadeniot nosa~ prikaàn na skicata.

a a

a

A

B Cq

E,I

Sl. 3.4. Re{enie: Gi odereduvame reakciite vo potporite od dejstvo na tovar


51

a a

a

A

B

Cq

q

E,I

Y

z1z2

Y

Aq

Sl. 3.4 a.

0AM

031

22

aaaqaYCq sledi aqYCq

31

0iY

02

CqAq YaqY sledi aqYAq 61

0iX

0AqX

Mq

q a / 6

2 q a / 272

2

Sl. 3.4 b. Gi odreduvame momentite od tovarot po poodelni segmenti od nosa~ot

20 1 az

111 122

22 zaqzY)z(M Aqq


52

az 20 2222

222 6

131

31

2zqzaqzzqzY)z(M Cqq

Dodavame edine~na sila vo pravec na baranoto pomestuvawe i gi odereduvame reakciite vo potporite od dejstvoto na edine~nata sila

a a

a

A

B

CE,I

Y

z1z2

Y

A

XA

S = 1

Sl. 3.4 v.

0AM

02 aYaX C sledi 21

CY

0iY

sledi 21

AY

0iX

0 SX A sledi 1AX Gi odreduvame momentite od edine~na sila po soodvetni segmenti od nosa~ot

20 1 az

1111 42

22

22 zzXzY)z(M AA

az 20

222 21 zzY)z(M C


53

M

- a / 2- a / 2


m zm )z(M mq )z(M m 1 20 1 az

1122 zaq 14

2 z

2 az 20 222 6

131 zqzaq 22

1 z

Pomestuvaweto go odreduvame so pomo{ na metodot na Maksvel

n

mm

b

a mm

mmqD dz

IE)z(M)z(Mm

m1

20

22221

2

011 2

161

31

42

1221 dzzzqzaqdzzzaq

IE

aa

IEaq,

3

083130


54

3.5. Da se opredeli horizontalnoto pomestuvawe vo to~kata D od nosa~ot prikaàn na slikata. Nosa~ot e asimetri~no optovaren so ramnomeren kontinuiran tovar q, a lostot CD e kruto povrrzan za gredata vo sredinata.

3a/4

a

A

D

C

q

a

E,IB

E,I

Sl. 3.5. Re{enie: Prvo go odreduvame dijagramot na momentite predizvikani od tovarite

3a/4

a

Y

A

qA

D

C

E,I

1z

q

a

E,I

3zBqY

B

2z

Sl. 3.5 a.

Mq

q a / 42

Sl. 3.5 b.

Reakciite vo potporite se

0AM


55

02

2 aaqaYBq sledi aqYBq

41

0iY

041

aqaqYAq sledi aqYAq 43

az 10

243 1

11zaqzaq)z(M q

az 20

22 41 zaq)z(M q

az430 3

03 )z(M q Potoa go odreduvame dijagramot na momentite predizvikani od edine~nata sila

E,I3a/4

a

YA

AXA

D

C

1z

aS = 1

3zE,I

BY

B

2z

Sl. 3.5 v.

3 a/8

- 3 a/4

M

- 3 a/8

Sl. 3.5. g.


56


0AM

0243

aYaS B sledi 83

BY

0iY

0 BA YY sledi 83

AA YY

0iX

0 XX A sledi 1 SX A

az 10

11 83 z)z(M

az 20

22 83 z)z(M

az430 3

33 43 z)z(M

Tabela 3.5.

m zm )z(M mq )z(M m 1 az 10

243 1

1zaqzaq 18

3 z

2 az 20 24

1 zaq 283 z

3 az

430 3 0

343 z

Pomestuvaweto vo to~kata D

1

01

11

1 83

2431 dzzzaqzaq

IEdz

IE)z(M)z(M an

mm

b

a mm

mimqD

m

m

IEaqdzzadzzzaq

aa

644

3083

41 4

3

43

032

022


57

3.6. Da se opredeli horizontalnoto pomestuvawe na to~kata C za

ramkata pretstavena na slikata. Da se opredeli deformacionata rabota. Momentot na inercija na gredata BD e dvojno pogolem od momentot na inercija na na stolbovite.

A

B

C

D

H

I

2I

q

F

I I

a

aa

Sl. 3.6. Re{enie: Bidej}i ve}e postoi sila koja dejstvuva vo pravec na baranoto pomestuvwe ja opredeluvame deformacionata rabota. Prvo go odreduvame dijagramot na momentite predizvikani od tovarite


58

A

B

C

D

H

I

2I

q

F

I I

a

aa

1

2

3

4z z

z

z

YY

X

A

A

H

Sl. 3.6. a.


0AM

022

aFaaqaYH sledi aqFYH 212

0iY

0 HA YaqY sledi FaqYA 221

0iX

0 FX A sledi FX A

az 10 11 zF)z(M

az 20

aan

m

b

am

mqd dz

I

zFdz

I

zF

Edz

IE

zMA

m

m 02

22

01

21

1

2

21

21

az 30

2212 3

333z

zqzaqF)z(M

az 40 04 )z(M


59

Tabela 3.6.

i zm )z(M mq 1 az 10 1zF 2 az 20 2zF 3 az 30

2212 3

33zzqzaqF

4 az 40 0 Deformacionata rabota e

aan

m

b

am

mm

mqd dz

IzFdz

IzF

Edz

IEzM

Am

m 02

22

01

21

1

2

21

21

aa

dzI

dzI

zzqzaqF

04

2

03

23

33 02

2212

IEaq

IEaqF

IEaF

52432

4801

241

32


IEaq

IEaF

FAd

C

43

121

34

3.7. Dadena e konstrukcija so promenliva krutost sprema crteòt. Ako

F1=F2=F i F=q·a da se opredeli vertikalnoto pomestuvawe vo to~kata V.

A B

HV

q

F

1

2

EI

2EI

F

aEI

a

a a

Sl. 3.7.


60

Re{enie: Gi odreduvame reakciite vo potporite prikaàni na sl. 3.7 a, od uslovite za ramnoteà

A BC

HV EI

2EI

aEI

a aAY BY

AX

F1

q

2F

Sl. 3.7. a

FX A

FYA 23

FYB 21

Za da se opredeli vertikalnoto pomestuvawe vo to~kata V, dodavame edine~na vertikalna sila 11 S . Potoa gi odreduvame dijagramite na momentite od tovarite i od edine~nata sila prikaàni na sl. 3.7 b i sl. 3.7 v.


61

M q

- F a

F a / 2

1 / 2 q a 2

- F a / 2

- F a / 2

Sl. 3.7 b.

A BC

HV EI

2EI

aEI

a aAY BY

AX

SV

Sl. 3.7 v. So koristewe na metodot na Vere{~agin za mnoèwe na dijagramite go dobivame pomestuvaweto vo to~kata V.


62

M

a

a

a

a

Sl. 3.7 g.

aaFaaaaF

IEaaaF

IEA

IE

n

mm

qmV 3

2222

131

21

211

1

32

42243

231 22 aaqaaaqaaaqa

IE

IEaF

V

24

3


63

3.8. Dadena e stati~ki odredena ramka so promenliva krutost sprema skicata. Da se nacrtaat stati~kite dijagrami na popre~nite sili i momenti na svitkuvawe ako e M=q·a2 i so metodot na edine~ni optovaruvawa (Maksvel–Morovi integrali) da se opredeli vertikalnoto pomestuvawe vo to~kata V.

2a

a

a

A B

CV M

q

2EI

EI

EI

Sl. 3.8. Re{enie: Za da go opredelime vertikalnoto pomestuvawe vo to~ka V treba da dodademe edine~na vertikalna sila vo to~kata V koja }e dejstvuva vo pravec na vertikalnoto pomestuvawe. Potoa gi opredeluvame momentite od tovarite i od edine~nata sila prikaàni vo tabelata i na slikite sl. 3.8 a i sl. 3.8 b. Od uslovite za ramnoteà gi odreduvame reakciite vo potporite

2a

a

a

A B

CV M

q

2EI

EI

EI

XA

YA YB

z1

3z 2z

Sl. 3.8. a.


64

2aqYA

; 2

3 aqYB

i

q a / 82

2- q a

Mq

2- q a

2- q a

Sl. 3.8 b.

2a

aa

A B

CV

2EI

EI

EI

XA

YA YB

1S = 1z1

3z 2z

Sl. 3.8 v.

21

AY ; 23

BY


65

- a

- z/2

- z

M


m mz Mq(zm) )z(M m1 1 azi 0 –M –z 2 az 20 –M –a 3 az 20 3

22 z

aM)za(q

2z

IEaq

IEaMdz

IE)z(M)z(M

m

b

am

mmqV

6611 423

1

1

3.9. Za ramkata dadena na slikata so promenliva krutost na

svitkuvawe da se opredeli horizontalnoto pomestuvawe na to~kata C.

A BC

EI

2EI

F

EI EI

a a

a

Sl. 3.9.


66

Re{enie:

A BC

EI

2EI

F

EI EI

a a

a

YM

X

qA

qA

qA

Sl. 3.9 a. Od uslovite za ramnoteà gi opredeluvame reakciite vo potporite

0AX ; 0AY ; aFM A 2

- F a

Mq

- F a

- F a

- 2 F a

Sl. 3.9 b. Za da go opredelime horizontalnoto pomestuvawe gi koristime Kastiqanovite teoremi odnosno dodavame sila 00 F vo pravec na pomestuvaweto pa sledi


67

A B

C

EI

2EI

F

EI EI

a a

a

F = 00

13

4

z

z

z

z

2

Sl. 3.9 v. Tabela 3.9.

m mz mzM )F,z(M m 00

H

mF

)z(M

1 az 10 zFH 0 -z 2 az 20 zFaFH zF -a 3 az 30 aFzFH aF -z 4 az 40 zaF zaF 0

m

m

b

am

mm

m mF

dC dz

F)z(M)F,z(M

IEFA

00

4

10001

0

IE

aFdzzaFIE

dzazFIE

aa

3

00

11

Horizontalnoto pomestuvawe moème da go opredelime i so pomo{ na praviloto na Vere{~agin odnosno dodavame edine~na sila vo to~kata C vo pravec na baranoto pomestuvawe. Otkako }e gi nacrtame dijagramite na momentite od edine~nata sila pristapuvame kon mnoèwe na dijagramite


68

A B

C

EI

2EI

EI EI

a a

a

S = 11

Sl. 3.9. g.

M

- a

- a

- a

- a

Sl. 3.9. d.

4

1

1

mm

qm

mC A

IE

IEaFaaFa

IEaaFa

IE

3

21

21


69

3.10. Konstrukcijata na slikata e sostavena od gredata AB so moment na inercija na presekot I i nosa~ot BCD so moment na inercija na presekot 2I. Gredata i nosa~ot zglobno se povrzani vo to~kite A, B i D. Konstrukcijata e optovarena so sila G vo to~kata H. Da se nacrta dijagramot na napadnite momenti na nosa~ot, da se opredeli deformacionata rabota i da se najde ugibot vo to~kata H.

a

a

2a

A B

CD

F

HI

2I

2I

Sl. 3.10.

Re{enie: Konstrukcijata ja delime na dva dela vo to~kata B i vlijanieto na delot {to go otstranuvame go zamenuvame so soodvetni sili kako {to e prikaàno na slikite podolu

a

A B

F

HI

a

YB

BX

XA

YA

Sl. 3.10 a.


70

a

2a

B

CD2I

2I

X

Y

X

Y

D

D

B

B

Sl. 3.10 b. Od uslovite za ramnoteà gi odreduvame reakciite od 0DM sledi

02 aYaX BB ; BB YX 2

od 0AM sledi

02 aFaYB ; 2FYB ; FX B

od 01 )(X sledi

0 BA XX ; FXX BA

od 01)(Y sledi

0 BA YFY ; 2FYA

od 02 )(X sledi

0 BD XX ; FX D

od 02 )(Y sledi

0 BD YY ; 2FYD

Dijagramite na momentite se


71

1/2 F a

F a

F a

Mq

Sl. 3.10 v.

Deformacionata rabota ja presmetuvame so metodata na Vere{~agin

aFaaFaFaaF

IEaFaaF

IEAA

m

b

am

qmd

m

m322

232

2221

232

222

21

21

IEaF

32

127

Pomestuvaweto vo mestoto kade dejstvuva silata F e

IEaF

FAd

H

3

67


72

3.11. Vo to~kata na vrzuvawe na na dvata stapa AB i BC dejstvuva horizontalna sila F. Stapovite se izraboteni od ist materijal so modul na elasti~nost E. Povr{inata na popre~niot presek na stapot AB e A, dodeka na stapot BC povr{inata na popre~niot presek e 2A. Stapovite se so dolìna l i se zglobno povrzani na svoite kraevi. Da se najde vertikalnoto pomestuvawe na to~kata B.

l

A

B

C

F

E,A E,2A

aa a

Sl. 3.11. Re{enie: Silite vo stapovite od dejstvo na silata i od dejstvo na edine~nata sila {to se dodava vo pravec na baranoto pomestuvawe dadeni se vo tabelata {to sleduva

A

B

C

F

Nq1 Nq2

Sl. 3.11 a.


73

A

B

C

S = 1

N1 N2

Sl. 3.11 b. Tabela 3.11.

i qiN iN il 1

2F

21

l

2 2

F

21

l

Vertikalnoto pomestuvawe na to~kata B e

AElFlF

AElF

AEdz

AElNNn

ii

l

ii

iiqiB

41

21

221

21

21

1 0


74

3.12. Na re{etkata pretstavena na crteòt vo to~kata H dejstvuva sila F=6 kN, povr{inata na popre~niot presek na stapovite e A=2 cm2, a modulot na elasti~nost E=2,1104 kN/cm2. Rastojanieto a=2 m. Da se opredeli vertikalnoto pomestuvawe na to~kata E i vertikalnoto pomestuvawe na to~kata H.

a a a

a

A

B

C

D

E

G H

F

Sl. 3.12. Re{enie: Reakcii vo potporite od dejstvo na silata F

a a a

a

A

B

C

D

E

G H

F

YqA

XqA

XqB 1

2

3

45

67

89

10

11

Sl. 3.12 a.

0AM

026 BqXF sledi 18BqX kN

0iX

0 BqAq XX sledi 18 BqAq XX kN


75

0iY

0 FYAq sledi 18 FYAq kN Gi odreduvame silite vo stapovite koi se zapi{ani vo tabelata Reakcii vo potporite od dejsvo na edine~na sila 1S

a a a

a

A

B

C

D

E

G H

S = 1YA

XA

XB 1

2

3

45

67

89

10

11

Sl. 3.12 b.

0AM

024 BXS sledi 2BX kN

0iX

0 BA XX sledi 2 BA XX kN

0iY

0 SYA sledi 1 SYA kN Gi odreduvame silite vo stapovite koi se zapi{ani vo tabelata


76

Tabela 3.12.

i Nqi iN li

1 6 0 2 2 -8,5 0 2,8 3 6 0 2 4 0 0 2 5 8,5 1,41 2,8 6 -12 -1 2 7 -12 -1 2 8 0 0 2 9 -8,5 -1,41 2,8 10 18 2 2 11 0 0 2

Deformacionata rabota e

82221

21 11

1

211

1 0

2

,AE

lNdz

AEN

Ai ii

iqi

ii

l

ii

qid

J

pomestuvaweto vo to~kata H

Hd FA 21

sledi 676

82222 ,,FAd

H

mm

pomestuvaweto vo to~kata E

411

1

11

1 0

10544

,

AElNN

dzAENN

i ii

iiqi

ii

l

ii

iqiE m

3.13. Da se opredeli vertikalnoto pomestuvawe na to~kata C od

re{etkastata konstrukcija prikaàna na slikata.

A

B

C

2A FA

2A

a

a

Sl. 3.13.


77

Re{enie: Reakciite vo potporite gi opredeluvame od uslovite za ramnoteà

A

B

C

1 F2

3a

a

XAYA

XB

Sl. 3.13 a.

0AM

0 aXaF Bq sledi FX Bq

0iX

0 BqA XX sledi FXX BqA

0iY

0 FYA sledi FYA Gi odreduvame silite vo stapovite koi se zapi{ani vo tabelata Tabela 3.13.

i li Ai Ni 1 A 2A –F 2 2a A 2F 3 A 2A –F

Deformacionata rabota e

A

aFA

aFA

aFEAE

lNdz

AEN

Ai i

iii

i

l

i

id 2

222

121

21 2223

1

23

1 0

2

22121 2

A

aFE


AEaF

FAd

C

221


78


79

4. STATI^KI NEOPREDELENI KONSTRUKCII


80


81

Pri presmetka na stati~ki neopredelenite konstrukcii se koristat slednive postapki Presmetka po metodata na sili Kanonski ravenki po metodot na sili Kanonskite ravenki na metodot na sili go imaat sledniov oblik

01

qi

k

jjij S

kade {to se

ij vlijatelni koeficienti na elasti~nost

qi pomestuvawa na to~kite poradi nadvore{ni opteretuvawa

jS prekubrojni stati~ki nepoznati

Presmetka na vlijatelni koeficienti na elasti~nost i pomestuvawata na to~kite so pomo{ na Maksvel Morovite integrali

jimmimjm m

ij dz)z(M)z(MIE

1

mmimqm m

qj dz)z(M)z(MIE

1

kade {to se E modul na elasti~nost I moment na inercija

)z(M mi moment na svitkuvawe od dejstvo na edine~na sila iS

)z(M mj moment na svitkuvawe od dejstvo na edine~na sila jS

)z(M mq moment na svitkuvawe od dejstvo na tovar q Presmetka na vlijatelni koeficienti na elasti~nost i pomestuvawata na to~kite so pomo{ na postapkata na Vere{~agin

jijim m

ijm m

ij AIE

AIE

11

iqm m

qj AIE

1


82

kade {to se

jA povr{ina na dijagramot na napadnata golemina od edine~noto opteretuvawe 1jS

iA povr{ina na dijagramot na napadnata golemina od edine~noto opteretuvawe 1iS




teì{teto na povr{inata qA So presmetkite se opfateni slednive slu~ai: Presmetka na na stati~ki neopredeleni gredi pri svitkuvawe Presmetka na kontinuirani nosa~i Presmetka na ramninska ramka Presmetka na ramninska re{etka Presmetka na greda so elasti~no potpirawe Presmetka na vkrsteni gredi Koristewe na simetrija kaj konstrukciite Kanonski ravenki pri presmetka na temperaturni vlijanija Kanonski ravenki pri presmetka na pomestuvawe na potpori Presmetka na pomestuvawe kaj stati~ki neopredeleni nosa~i Presmetka po metodot na deformacii


83

4.1. Da se konstruiraat dijagramite na prese~nite sili i momenti M, Q, N na dadeniot stati~ki neopredelen nosa~.

a a

A B C

q

E,I

Sl. 4.1. Re{enie: Ekvivalentniot sistem e prikaàn podolu. Se dobiva so otstranuvawe na odvi{nite vrski i zamena na nivnoto dejstvo so nepoznati sili pri {to gredata preminuva vo stati~ki opredelen nosa~.

a a

A B CE,I

S1

Sl. 4.1 a.

Prvo gi odreduvame dijagramite na momentite od dejstvo na tovarot q. Reakcii vo potporite.

a a

A B C

q

E,I

YBqYAq

z21z

Sl. 4.1 b.

Mq

Sl. 4.1 v.


84

0 AM

02

aYaaq Bq sledi 2

aqYBq

0Y

0 BqAq YaqY sledi 2

aqYAq

az 10

2221

111

111zzqzaqzzqzYzM Aqq

az 20 02 zM q

Potoa gi odreduvame dijagramite na momentite od dejstvo na edine~nata sila. Reakciite vo potporite se opredeluvaat od uslovite za ramnoteà.

a a

A B CE,I

YBYA1S = 1

z21z

Sl. 4.1 g.

M1

Sl. 4.1 d.

0 AM

021 aSaYB sledi 2BY 0Y

01 SYY BA sledi 1AY

az 10 111 zzM

az 20 221 zzM


85

Tabela 4.1.

m zm mq zM mzM1 1 az 10

221

11zzqzaq

z1

2 az 20 0 z2

01111 qS

IEadzz

IEdz

IE)z(M an

m

b

am

mm

m

3

22 3

10

21

1

21

11

IEaqdz)z(zqzaq

IEdz

IE)z(M)z(M an

m

b

am

mmqq

m

m

24221 4

10

1

21

11

11

0243

2 4

1

3

IE

aqSIE

a sledi

161aqS

Reakcii vo potporite.

0 AM

022 1 aSaYaaq B sledi

85 aqYB

0Y

01 SYaqY BA sledi 16

7 aqYA

; aqYC 161

251263 aqM max ; Q=0 za ax

167

2161 aqM B

aqQA 167

aqQB 85

aqQC 161

MMmax

MB

Sl. 4.1 |.


86

QBl

QA

QBd QC

Q

Sl. 4.1 e.

4.2. Da se konstruiraat dijagramite na stati~kite golemini (napadniot

moment na svitkuvawe M, popre~nata sila Q i nadol`nata sila N) na nosa~ot prikaàn na skicata.

3a/4

a

A

D

C

q

a

E,I

E,IB

Sl. 4.2.

Re{enie: Osnovniot stati~ki odreden sistem e sledniot

3a/4

a

A

D

C

q

a

E,I

E,IB

S1

Sl. 4.2 a.


87

Gi odreduvame reakciite vo potporite od dejstvo na tovarot i momentite po segmenti od nosa~ot

3a/4

a

A

D

C

q

a

E,I

E,IB

z3

1z 2z

Sl. 4.2 b.

Mq

Sl. 4.2 v. 0AM

022

aYaaq Bq sledi aqYBq 41

0iY

0 BqAq YaqY sledi aqYAq 43

az 10

211

1111 2

143

2zqzaqzzqzYzM Aq

az 20

222 41 zaqzYzM Bq

az430 3

03 zM q

Gi odreduvame reakciite vo potporite i momentite po segmenti od nosa~ot od edine~na sila 11 S


88

3a/4

a

A

D

C

a

E,I

E,IB

z3

1z 2z

S = 11

Sl. 4.2 g.

M

- 3/4

3/8

- 3/8

Sl. 4.2 d.

0AM

0432 1 aSaYB sledi

83

BY

0iY

0 BA YY sledi 83

AY

0iX

01 SX A sledi 1AX Momenti po segmenti od nosa~ot

az 10

111 83 zzM

az 20

221 83 zzM

az430 3

331 zzM


89

Tabela 4.2.

m zm mzM1 mq zM 1 az 10

183 z 2

11 21

43 zqzaq

2 az 20 28

3 z 241 zaq

3 az

430 3 3z 0

Pomestuvawe od tovar q

1

01

211

1

11 8

321

431 zdzzqzaq

IEdz

IE)z(M)z(M an

m

b

am

mmqq

IE

aqzdzzdzzaqaa

64

083

41 4

3

43

032

022

Pomestuvawe od edine~na sila 11 S

IEazdzzdzzdz

IEdz

IE)z(M

aaan

m

b

am

m

6415

83

831 3

3

43

0

232

0

2

210

2

11

21

11

01111 qS

06415

64

3

1

4

IEaS

IEaq

sledi aqS 151

1

Reakcii vo potporite

0AM

0432

2 1 aSaYaaq B sledi aqYB 409

0iY

0 BA YaqY sledi aqYA 4049

0iX

01 SX A sledi aqX A 151


90

M

Sl. 4.2 |.

Q

Sl. 4.2 e.

N

Sl. 4.2 `. 4.3. Dadena e stati~ki neopredelena ramka so promenliva krutost

sprema skicata. So metodot na sili da se opredeli stati~ki nepoznatata golemina vo op{ti broevi vo funkcija od opteretuvaweto q i dolìnata a. Vlijatelnite koeficienti da se presmetaat preku Maksvel–Morovite integrali i za a=1 m i q=11 kN/m da se nacrtaat stati~kite dijagrami.


91

a

a

a a

AB

C D

EI

2EI

q

EI

EI

Sl. 4.3. Re{enie: Bidej}i ramkata e edna{ stati~ki neopredelena go formirame ekvivalentniot sistem so zamena na potporata vo to~kata A so sila S1. Kanonskata ravenka e slednata

a

a

a a

AB

C D

EI

2EI

q

EI

EI

S1

Sl. 4.3 a.

01111 S Gi odreduvame momentite od edine~nata sila i od tovarite dadeni vo tabelata {to sleduva


92

a

a

a a

AB

C D

EI

2EI

q

EI

EI

DY

DX

DM

Sl. 4.3 b.

Mq

3/2 q a1/2 a2

2

Sl. 4.3 v.


93

a

a

a a

AB

C D

EI

2EI

EI

EI

S = 11

DY

DX

DM

Sl. 4.3 g.

M1a

a

- a

- a

- a

Sl. 4.3 d. Tabela 4.3.

m zm )z(M mq )z(M m1 1 az 10 0 –z 2 az 20 0 –a 3 az 30

2

2zq

–(a–z)

4 az 40

zaaq

2

z

4

1

321

11 611

m

b

am

mIE

adzIE

)z(M


94

IEaqdz

IE)z(M)z(M

mm

lmqm

q

44

10

11 4

1 zamenuvame vo kanonskata

ravenka i dobivame

046

11 4

1

3

IE

aqSIE

a sledi aqS

223

1 od uslovite za ramnoteà

dobivame od 0iZ sledi 0DZ

od 0 iY sledi 0 aqYY DA ; aqYD 2219

od 0 DM sledi 023

DA MaqaY ; aqM D 2230

za a=1 m i q=11 kN/m YA=1,5 kN; YD=9,5 kN; MD=15 kNm. Pa stati~kite dijagrami se slednite prikaàni na slednite sliki

Q

- 9,5 kN

1,5 kN

- 1,5 kN - 1,5 kN

Sl. 4.3 |.

N

1,5 kN

1,5 kN

Sl. 4.3 e.


95

M

- 1,5 kNm

1,5 kNm

- 15 kNm

Sl. 4.3 `. 4.4. Za dadenata stati~ki neopredelena ramka so promenliva krutost

sprema crteòt, da se nacrtaat stati~kite dijagrami ako q·a=2F; F=10 kN; a=1 m.

A

B C

D

G

H

q

EI

2EI

F

EI EI

EI

a a

aa

a

Sl. 4.4.

Re{enie:


96

Bidej}i se raboti za sistem {to e 2 pati stati~ki neopredelen, imeno imame {est nepoznati golemini i ~etiri ravenki od uslovite za ramnoteà.

A

B C

D

G

H

q

EI

2EI

F

EI EI

EI

a

a

aa

a

S

S

S

S

G 2

1

2

1

1

2

3

4

5

Sl. 4.4 a. Go odreduvame ekvivalentniot sistem prikaàn na slika sl. 4.4 a. Kanonskite ravenki potrebni za odreduvawe na nepoznatite golemini se slednite

01212111 qSS

02222121 qSS


97

A

B C

D

G

H

EI

2EI

EI EI

EI

a

a

aa

a

S = 1

S = 1

G

1

1

1z

2z

z3

z4

z5

Sl. 4.4 b.

A

B C

D

G

H

EI

2EI

EI EI

EI

a

a

aa

a

S = 1

S = 1G 2

2

5z

1z

2z

3z

4z

Sl. 4.4 v.


98

A

B C

D

G

H

q

EI

2EI

F

EI EI

EI

a

a

aa

a

G

5z

1z

2z

3z

4z

Sl. 4.4 g. Vo slednata tabela dadeni se momentite na svitkuvawe predizvikani od edine~nite sili 1S , 2S i tovarot q. Tabela 4.4.

m mz mIE )z(M m1 )z(M m2 )z(M mq

1 az 10 IE –z 0 0 2 az 20 IE –a z 0 3 az 30 IE 2 –a a+z zF 4 az 40 IE z 0

2

2zq

5 az 50 IE a z

2

2aq

aaa

dzaIE

dzaIE

dzzIE 00

2

0

211

111

IE

adzaIE

dzzIE

aa

3

0

2

0

2

61911

IE

adzzIE

dzzaIE

dzzIE

aaa

3

0

2

0

2

0

222 6

1110110


99

IE

adz)za(IE

dzzaaIE

zdzaIE

aaa

3

0002112 4

310110

IEaFdz)a)(zF(

IE)F(

a

421 3

01

IEaqdz)a)(zq(

IEdz)z)(zq(

IE)q(

a a

485

21

21 4

0 0

22

1

IEaFdz)za)(zF(

IE)F(

a

4125

21 3

02

IEaqdz)z)(zq(

IE)q(

a

4

0

2

2 41

21

Dobienite izrazi gi zamenuvame vo kanonskite ravenki

085

443

619 43

2

3

1

3

IEaq

IEaFS

IEaS

IEa

041

4125

611

43 43

2

3

1

3

IEaq

IEaFS

IEaS

IEa

pri zamena za Faq sledi

012938 21 FSS

011229 21 FSS so re{avawe na sistemot na ravenki dobivame

F,S 48101

F,S 6902 Za da gi nacrtame dijagramite na stati~kite golemini gi odreduvame nepoznatite golemini od uslovite za ramnoteà lev del od nosa~ot

0 iY

01 SYA sledi F,YA 4810

0 iX

02 FSX A sledi 0AX

0 AM

0221 AMaFaSaS sledi aF,M A 0890 desen del od nosa~ot


100

0 iY

01 aqSYD sledi F,YD 5191

0 iX

02 SX D sledi F,X D 6960

0 DM

02

22

21

DMaqaSaS sledi aF,M D 8730

za F=10 kN i a=1 m sledi YA = 4,81 kN XA = 3,04 kN MA = 0,89 kNm YD = 5,19 kN XD = 6,96 kN MD = 13,73 kN Pa dijagramite na stati~kite golemini }e bidat slednite

Q3,04

4,81

6,96

5,19

6,96

Sl. 4.4 d.


101

N

5,19

4,81

6,96

Sl. 4.4 |.

M

0,89

2,15

4,81

4,81

1,05

0,190,19

0,87

Sl. 4.4 e.


102

4.5. Dadena e kvadratna ramka so zatvorena kontura ABCD so strana so dolìna a, modul na elasti~nost E i moment na inercija I. Na ramkata vo to~kata B dejstvuva spreg so intenzitet M. Da se konstruiraat dijagramite na napadnite momenti, na transverzalnite sili i na normalnite sili.

AB

CD

M

E,I

a

a

Sl. 4.5.

Re{enie: Osnovniot ekvivalenten sistem e prikaàn podolu.

AB

CD

M

E,I

a

a

S3

1S1S

2S

2S

3S

Sl. 4.5 a. Reakciiite vo potporite od dejstvoto na momentot M se odreduvaat od uslovite za ramnoteà

0 AM

0 MaX Bq sledi aMX Bq

0 BM


103

0 MaX Aq sledi aMX Aq

Reakcii vo potporite od dejstvo na edine~nite sili 11 S , 12 S ,

13 S zaradi geometrijata na konstrukcijata i nasokata i intenzitetot na edine~nite sili se nula.

AB

CD

M

E,I

a

a

X

XD

A

YD

Sl. 4.5 b.

Mq

- M

- M

Sl. 4.5 v.

AB

CD

E,I

a

a

S = 11

S = 11

Sl. 4.5 g.

M

- a

- a

1

a

Sl. 4.5 d.

A B

CD

E,I

a

a

2

2S = 1

S = 1

Sl. 4.5 |.

M

- a- a

2

a

Sl. 4.5 e.


104

AB

CD

E,I

a

a

S = 13

3S = 1

Sl. 4.5 `.

M3

1

- 1

1

1

Sl. 4.5 i.

Prekubrojnite nepoznati gi opredeluvame od sistemot na kanonski ravenki

01313212111 qSSS

02323222121 qSSS 03333232131 qSSS

Go koristime metodot na Vere{~agin za opredeluvawe na vlijatelnite koeficienti

IE

aaaaaaaIE

dzIE

)z(Mn

m

b

am

m

35

32

232

21 3

222

1

21

11

IEadz

IE)z(Mn

m

b

am

m

3

5 3

1

22

22

IEadz

IE)z(Mn

m

b

am

m

4

1

23

33

IE

aaaaaIE

dzIE

)z(M)z(Mn

m

b

am

mm

322

1

22

21

12 221

IE

aa)(aaIE

dzIE

)z(M)z(Mn

m

b

am

mm

222

2

1

23

21

1321

211

21

IE

aa)(aaIE

dzIE

)z(M)z(Mn

m

b

am

mm

222

2

1

23

22

2321

211

21

IEaMaaMaaM

IEdz

IE)z(M)z(Mn

m

b

am

mmqq

2

1

11 22

1


105

IEaMaaM

IEdz

IE)z(M)z(Mn

m

b

am

mmqq

6321 2

1

22

IEaMaMaM

IEdz

IE)z(M)z(Mn

m

b

am

mmqq

2

1

33 1

21

21

0235 2

3

2

2

3

1

3

IE

aMSIE

aSIE

aSIE

a

06

235 2

3

2

2

3

1

3

IE

aMSIE

aSIE

aSIE

a

04223

2

2

2

1

2

IEaMS

IEaS

IEaS

IEa

aMS

aSS 3635 321

aMX

aXX 321

12106

aMS

aSS 321

422

aMS

43

1

aMX22

83MS

Momenti vo karakteristi~nite to~ki

332211 MSMSMSMM q

8

18

024

3 MMa

Maa

MMM A

8

718

02

04

31

MMa

Ma

MMM B

8

18

02

04302

MMa

Ma

MM B

8

3182

0430 MMa

aM

aMM C

8

31824

301MMa

aMa

aMM B


106

M

- 1/8 M

1/8 M

- 7/8 M

3/8 M

- 3/8 M3/8 M

- 3/8 M

Sl. 4.5 j. 4.6. Re{etkastiot nosa~ so forma dimenzii i na~in na potpirawe

dadeni na skicata optovaren e so koncentrirana sila vo jazol D. Site stapovi se od ist materijal i imaat ednakvi povr{ini na popre~en presek. Da se najdat silite vo stapovite.

a a

a

A B C

D

F

Sl. 4.6. Re{enie: Ekvivalentniot sistem e prikaàn na slikata podolu


107

a a

a

A B C

D

F

S1

Sl. 4.6 a.

Reakcii vo potporite od dejstvo na silata F.

0 AM

02 aFaYCq sledi 2FYCq

0Y

0 CqAq YFY sledi 2FYAq

Silite vo stapovite pri dejstvo na silata F se dadeni vo tabelata

a a

a

A B C

D

F

YA YC

1 2 3

4 5

Sl. 4.6 b.


108

Reakcii vo potporite od dejsvo na edine~na sila 11 S

0 AM

02 1 aSaYC sledi 21

CY

0Y

01 CA YSY sledi 21

AY

Silite vo stapovite pri dejstvo na ednine~na sila se dadeni vo tabelata

a a

a

A B C

D

YA YC

1 2 3

4 5

S = 11

Sl. 4.6 v. Tabela 4.6.

i qiN iN1 li

1 2

F

21 2a

2 0 1 a 3

2F

2

1 2a

4 2F

21

a

5 2F

21

a

01111 qS

AEa

AElN

i

ii

32

3225

1

21

11


109

AEaF

AElNN

i

iqiiq

21225

1

11

02

12232

3221

AEaFS

AEa

FS322122

1

Silite vo stapovite

311111 21

322122

21 NFNSNN q

FNSNN q 322122

12122

514144 21

322122

21 NFNSNN q

4.7. Da se opredelat silite vo stapovite kaj stati~ki neopredelenata

re{etka ako site stapovi imaat ista povr{ina na popre~en presek A i se izraboteni od ist materijal so modul na elasti~nost E.

A

B

C

D J

H

F

a a

a

Sl. 4.7. Re{enie: Ekvivalentniot sistem e sledniot


110

A

B

C

D J

H

F

S1

S1

S2

S2

Sl. 4.7 a.

Gi opredeluvame silite vo stapovite od dejstvo na silata F.

A

B

C

D J

H

F

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1011

Y YAq Hq

Sl. 4.7 b.

Gi opredeluvame silite vo stapovite od dejstvo na silata 11 S .

A

B

C

D J

H

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1011

Y YA1 H1

1S = 1

1S = 1

Sl. 4.7 v.


111

Gi opredeluvame silite vo stapovite od dejstvo na silata 12 S .

A

B

C

D J

H

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1011

Y YA2 H2

2S = 1

2S = 1

Sl. 4.7 g. Opredelenite sili vo stapovite od dejstvo na silite F, 11 S i 12 S dadeni se vo tabelata podolu Tabela 4.7.

i qiN iN1 iN2 il 1 0 1 0 a 2 0 1 0 a 3 0 2 0 2a 4

F42

2 0 2a

5 F

21

1 0 a

6 0 0 1 a 7

F42

0 2 2a

8 0 0 2 2a 9

F21

0 1 a

10 0 0 1 a 11 F 1 1 a

Vlijatelnite koeficienti gi opredeluvame na sledniov na~in

AE

aAElN

i

ii

21411

1

21

11


112

AE

aAElN

i

ii

21411

1

22

22

AEa

AElNN

i

iii

11

1

212112

AE

aFAE

lNN

i

iqiiq

21211

1

11

AE

aFAE

lNN

i

iqiiq

21211

1

22

Kanonskite ravenki

01212111 qSS

02222121 qSS

021221421

AE

aFSAE

aSAE

a

021221421

AEaFS

AEaS

AEa

F,SS, 8469 21

F,S,S 8469 21

F,S 4501

F,S 4502 Sili vo stapovite

iiqii NSNSNN 2211 ; 111 ,,i

F,N 45301

F,N 45302

F,N 64103

F,N 77304

F,N 54705

F,N 45306

F,N 77307

F,N 64108

F,N 54709

F,N 453010

F,N 094011


113

4.8. Dadena e simetri~na ramka koja e simetri~no opteretena. Da se najdat nepoznatite golemini i da se nacrtaat dijagramite na momentite na svitkuvawe.

A B

C D

EI

2EI

q

2EI

EI

2a

a

Sl. 4.8. Re{enie: Bidej}i ramkata e simetri~na i dva pati stati~ki neopredelena ja presekuvame vo dolniot nosa~ i na mestoto na presekot dodavame edine~ni sili. Ekvivalentniot sistem e prikaàn na slednata slika

A B

C D

EI

2EI

q

2EI

EI

2a

a

2EI S1

S2

1S

2S

Sl. 4.8 a. Dijagramite na momentite od edine~nite sili i tovarot se dadeni na podolnite sliki


114

S = 111S = 1

2a

B

DC

A

a

Sl. 4.8 b.

-a

-a -a

-a

M1

Sl. 4.8 v.

2S = 1

C

EI

2EI D

a

B

EI

2EIA

2a

S = 12

Sl. 4.8 g.


115

1

1

1 1

1

M2

Sl. 4.8 d.

q

A B

aEI

2EI

2EI

EI

C D

2a

Sl. 4.8 |.

1/2 q a2

Mq

Sl. 4.8 e. Vlijatelnite koeficienti gi odreduvame so metodot na mnoèwe na dijagramite na Vere{~agin

IE

aaaIE

aaaIE

aaaIE

a

3

11 35

31

22

31

IE

aaIE

aaIE

aaIE

a

2

1221

211

21

221

21


116

IE

aIE

aIE

aIE

aIE

aIE

a

411

211

21111

221122

IE

aqaaqIE

aq

323

22

2 42

1

IE

aqaqIE

aq

3

123

22

2 32

2

Kanonskite ravenki se

01212111 qSS

02222112 qSS odnosno

03

235 4

2

2

1

3

IEaqS

IEaS

IEa

03

42 3

21

2

IEaqS

IEaS

IEa

sledi

41aqS

; 24

2

1aqS

1/24 q a2

M1

- 5

- 5 - 5

- 5

- 11

Sl. 4.8 `.


117

4.9. Da se konstruiraat dijagramite na vnatre{nite sili za nosa~ot prikaàn na skicata ako a=4 m, q=2 kN/m. Modulot na elasti~nost E i aksijalen moment na inercija I se ednakvi za site delovi od nosa~ot.

A B

C D

EI

EI

q

EI

2a

a

Sl. 4.9. Re{enie: Ramkata e {est pati stati~ki neopredelena pa ja koristime simetrijata na ramkata. Ekvivalentniot sistem e prikaàna na sl. 4.9 a.

A B

C D

EI

EI

q

EI

a

aa

a

S

S1

1

Sl. 4.9 a. Kanonskata ravenka e

01111 qS


118

A

C

EI

EI

a

a

q

Sl. 4.9 b.

- q a / 22

- q a / 22

Mq

Sl. 4.9 v.

A

C

EI

EI

a

a

S = 11

Sl. 4.9 g.


119

M

a

1

Sl. 4.9 d.

IEaaa

IEA

IE mmm

332

2111 3

21111

IEaqaaaq

IEA

IE mqmm

q

422

11 42

11

043

4

1

3

IE

aqSIE

a sledi 6

43

1 aqS kN

Sega moème da gi nacrtame dijagramite na vnatre{nite sili

Q

- 6 kN

8 kN

Sl. 4.9 |.

N

- 8 kN

- 6 kN

Sl. 4.9 e.


120

M

8 kNm

- 16 kNm

- 16 kNm

Sl. 4.9 `.

4.10. Kontinuiran nosa~ so nepromenliv popre~en presek so moment na

inercija I=100 cm4 i dolìna a=3 m, izraboten e od ~elik so modul na elasti~nost E=210000 N/mm2 i optovaren e po celata dolìna so ramnomeren kontinuiran tovar so intenzitet q=1 kN/m. Da se konstruiraat dijagramite na napadniot moment na svitkuvawe i na popre~ni sili. Da se najde vertikalnoto pomestuvawe vo to~kata S vo sredinata na vtoroto pole na nosa~ot.

a a a

A B C D

q

Sl. 4.10. Re{enie: Simetri~na ramka koja e simetri~no optovarena so kontinuiran tovar, pa ekvivalentniot sistem e sledniov

a a/2

A B

S1

Sl. 4.10 a.


121

01111 qS

n

m

l

mm dz

IE)z(M

10

21

11

n

m

l

mmmq

q dzIE

)z(M)z(M

10

11

Reakcii vo potpori od dejsvo na tovar q

a a/2

A B

YAq BqY1z z2

q

Sl. 4.10 b.

Mq

Sl. 4.10 v.

0AM

04

522

aaqaYaaq Bq sledi aqYBq

89

0iY

02

aqaqYY BqAq sledi aqYAq 83

za az 10

azzqazqzaq)z(M q1

12111 4

321

21

83

za 2

0 2az


122

222 2

1 zaq)z(M q

Reakcii vo potpori od dejsvo na edine~na sila

a a/2

A B

YA BY1z z2

S = 11

Sl. 4.10 g.

M1

Sl. 4.10 d.

0AM

01 SaYB sledi a

YB1

0iY

0 BA YY sledi a

YA1

za az 10

azzYzM A1

111

za 2

0 2az

1121 SzM


123

Tabela 4.10 a.

m zm )z(M mq mzM1 1 az 10

azzqa 1

1 43

21 a

z1

2 2

0 2az 2

221 zaq

1

IEadz)(dz

az

IEdz

IE)z(M

aan

m

l

mm

3512 2

02

2

01

21

10

21

11

n

m

l

mmmq

q dzIE

)z(M)z(M

10

11

IEaqdz)(zqdz

az

azzqa

IE

aa

32

02

22

01

111 24

1121

43

212

0241

35 3

1

IE

aqSIE

a sledi 2

1 401 aqS

11 MSMM q

za az 10

azzqa

azaq

azzqazM 1

1121

11 54

21

401

43

21

za 2

0 2az

22222

22 201401

401

21

azaqaqzqzM

a a a

A B C D

q

Sl. 4.10 |.


124

M

Sl. 4.10 e. Presmetka na ugibot vo sredinata na nosa~ot. Dodavame edine~na sila 10 S vo pravec na baranoto pomstuvawe i gi barame reakciite vo potpori od dejstvo na edine~na sila

a a/2

A B

YAo BoY1z z2

S = 1o

Sl. 4.10 `.

Mo

Sl. 4.10 z.

0AM

023

00 aYaS B sledi 23

0 BY

0iY

0000 SYY BA sledi 21

0 AY

za az 10

azzYzM A

11010

za 2

0 2az


125

22020 zzSzM Tabela 4.10 b.

m zm M(zm) mzM 0 1 az 10

azzqa 1

1 54

21 a

z1

2 2

0 2az

222 201

401

azaq

2z

110

11

10

021

54

211 dz)z(

azzqa

IEIE)z(M)z(M an

m

lmm

s

32

022

222 10662201

401

,dzz

azaq

a

m

4.11. Dadena e simetri~na ramka koja e antimetri~no optovarena. Da

se opredelat stati~kite nepoznatite golemini i da se nacrtaat dijagramite na momentite na svitkuvawe.

A

B C

D

G H

2a

F F

EI

EI

EI

2EI 2EIaa

aa

Sl. 4.11. Re{enie:


126

Bidej}i ramkata e simetri~na ja se~eme vo oskata na simetrija i na mestoto na presekot dodavame edine~ni sili pa ekvivalentniot sistem e sledniot

S

S

1

1

A

aa

F G

2EI

EI

B EI

a

EI

HF

2EI

D

a

C

Sl. 4.11 a.

S = 1

S = 1

1

1

A

2EI

G

EIaa

B C

EI a

H

2EI a

D

Sl. 4.11 b.


127

a

a

a a

a

a

M1

Sl. 4.11 v.

FF

A

2EI

G

EI

B

D

2EI aH

EI a

C

Sl. 4.11 g.


128

F a F a

Mq

Sl. 4.11 d.

Kanonskata ravenka e slednata

01111 qS

iim mm

b

am

m

m AIE

dzIE

)z(Mm

m

12

111

aa

IEaaa

IEaaa

IEaaa

IEa

31

231

IE

aaaIE

aaaIE

a

3

35

2

iqm mm

b

am

m

mqmq A

IEdz

IE)z(M)z(Mm

m

111

IE

aFaaFIE

aaaFIE

a

221

221

2

3

023

5 3

1

3

IE

aFSIE

a sledi FS

103

1 pa reakciite vo potporite se

FYY BA 103

aFMM BA 107

Dijagramot na momentite e


129

7/10 F a 7/10 F a

3/10 F a

3/10 F a

3/10 F a

3/10 F a

M

Sl. 4.11 |.

4.12. Ramka ABCD so forma na kvadrat vkle{tena e vo to~kite A i D.

Vo horizontalen pravec vo to~kite B i C dejstvuvaat sili so ist intenzitet F. Aksijalniot momentot na inercija na gredata BC e dva pati pogolem od momentot na inercija na stolbovite. Ramkata e izrabotena od ist materijal so modulot na elasti~nost E. Da se konstruiraat dijagramite na stati~kite golemini pri toa da se koristi svojstvoto na simetrija i antimetrija na konstrukcijata i na tovarite.

a

a

A

B CF

D

E,2I

E,I

F

E,I

Sl. 4.12. Re{enie: Ekvivalentniot sistem e prikaàna na slikata podolu


130

A

B CF

D

F

S1

S2

S31S3S

2S

a E,I

E,2I

E,I

Sl. 4.12 a. Zaradi antimetri~niot tovar na sili 032 SS Momentite od tovarite i od edine~nite sili se dadeni na slikite podolu

FF

A

E,I

B

a

D

E,I

CE,2I

Sl. 4.12 b.

Mq

Sl. 4.12 v.


131

S = 11

1S = 1

A

a E,I

B E,2I C

E,I

D

Sl. 4.12 g.

M1

Sl. 4.12 d.

Kanonskata ravenka

01111 qS

23

2222

122

12121

11aaa

IEaaa

IEA

IEdz

IE)z(M

iim mm

b

am

m

mm

m

IEa

3

43

iq

m mm

b

am

m

mqmq A

IEdz

IE)z(M)z(Mm

m

111

IEaF

IEaaaF

IE

20

21

2212

3

024

3 3

1

3

IE

aFSIE

a sledi FS

32

1

Sega gi odreduvame reakciite


132

FYA 32

; FX A ; aFM A 32

FYD 32

; FX D ; aFM D 32

Dijagramite na momentite, transverzalnite i aksijalnite sili se

A

B CF

D

F

S1

1S

M

X

Y Y

X

A

A D

D

MA

Sl. 4.12 |.

M

1/3 F a

2/3 F a

- 1/3 F a

- 2/3 F a

Sl. 4.12 e.


133

QF

- 2/3 F

F

Sl. 4.12 `.

N- FF

Sl. 4.12 z. 4.13. Niz cevkovod ABCDGH ~eli~na cevka so vnatre{en dijametar

dv=51 mm i debelina na yid na cevka =3 mm, se sproveduva parea so tezagreanost od tp=140 C. Dolìnite a=2 m, l=20 m, a modulite na elasti~nost E=210000 N/mm2, koeficientot na temeperaturna dilatacija t=12,510–6 K–1. Cevkata e nenepregnata na tp=20 C. Da se opredelat reakciite vo potporite, da se nacrtaat dijagramite na prese~nite golemini na nosa~ot pri {to sopstvenata teìna na cevkovodot da se zanemari i da se iskoristi svojstvoto na simetrija.

A B

C D

G H

l a l

a

Sl. 4.13. Re{enie:


134

Ekvivalentniot sistem e sledniot

A B

C

la/2

S1

S2

Sl. 4.13 a.

Reakcii vo potporite pri dejstvo na edine~na sila 1S1

A B

C

la/2

S = 11z1 z2

YA1

XA1

YB1

Sl. 4.13 b.

M1

Sl. 4.13 v.

0AM

011 aSlYB sledi laYB 1

0iY


135

011 BA YY sledi laYA 1

0iX

011 SX A sledi 11 AX Momenti

lz 10

11111 zlazXzM A

az 20

22121 zzSzM

az210 3

031 zM

Reakcii vo potporite pri dejstvo na edine~na sila 12 S

A B

C

la/2

S = 12z1 z2

YA2

XA2

YB2

Sl. 4.13 g.

M2

Sl. 4.13 d.

0AM

022 SlYB sledi l

YB1

2


136

0iY

022 BA YY sledi l

YA1

2

Momenti

lz 10

112121 zl

zYzM A

az 20

1222 SzM

az210 3

1232 SzM

A B

C

la/2

1

Sl. 4.13 |. Tabela 4.13.

m zm mzM1 mzM 2 1 lz 10

1zla 1

1 zl

2 az 20 2z 1 3

az210 3

0 1

01 2ttal ptq

02 q


137

n

m

b

am

m dzIE

)z(M

1

21

11

IE

laadzzdzzla

IE

ll

3

21 2

02

22

01

2

1

n

m

b

am

mm dzIE

)z(M)z(M

1

22

21

12

IEaladzzdzz

lz

la

IE

al

6

3212

022

0111

n

m

b

am

m dzIE

)z(M

1

22

22

IEaldzdzdzz

lIE

aal

3

9212 2

03

02

01

2

1

01212111 qSS

02222112 qSS

026

323 021

2

ttalS

IEalaS

IElaa

pt

006

926

3221

S

IEalS

IEala

Moment na inercija

85307513516464

4444 ddI mm4

3811

22

11 1027631053810123

20223

,,,IE

laa m/N

381112 107121

1053810126232022

632

,,,IE

ala 1/N

381122 10081

105381012629202

692

,,,IE

al 1/Nm

361 105312014010512

2220

,,q m

3

23

13 10531108560106381 ,S,S,

010540108560 23

13 S,S,


138

1121 S N 61772 ,S N

A B

C

la/2

S1

S2

XA

Y YA B

Sl. 4.13 e.

Reakcii vo potporite

0AM 021 SlYaS B sledi 322,YB N

0iY 0 BA YY sledi 322,YA N

0iX 01 SX A sledi 112AX N

MB

DM

MC

M

Sl. 4.13 `.

Q

Sl. 4.13 z.


139

N

Sl. 4.13 y.

4.14. Re{etkasta konstrukcija so strana a=1 m i povr{ina na popre~en

presek na stapovite A=2 cm2, modul na elasti~nost E=2,1107 N/cm2, koeficient na temperaturno {irewe t=12,510-6 K-1. Stapot 1 se zagreva za T=200 K. Da se opredelat silite vo stapovite.

A B

C D

6a

a

Sl. 4.14.

Re{enie: Ekvivalentniot sistem go dobivame so presekuvawe na stapot 1 i dodavawe na silite S1

A B

C D

1

2 3

4

5

6a

a

S11S

Sl. 4.14 a.


140

Kanonskata ravenka e:

01111 TS Gi odreduvame silite vo stapovite od dejstvo na edine~nata sila

11 S

A B

C D

1

23

4

5

6a

a

S = 111S = 1

Sl. 4.14 b.

Silite vo stapovite se dadeni vo tabelata podolu Tabela 4.14.

i iN1 li

1 1 a 2 1 a 3 1 a 4 1 a 5 2 2a 6 2 2a

AE

aaaAE

lNAE

dzAE

N n

iii

n

i

li

2142221411 22

1

21

1 0

21

11

Koeficientot T1 go odreduvame na sledniot na~in

TaTl ttT 11


141

A B

C D

1

2 3

4

5

6aa

1t

Sl. 4.14 v. 0214

1

TaSAE

at sledi a

AETS t

2141

10874100214

102101220010512 4116

1

,,S N

Silite vo stapovite

ii NSN 11 ; 61 ,,i

10874114321 SNNNN N

153282 165 SNN N


142

4.15. Vo nezagreana sostojba ramkata dadena na crteòt e nenapregnata. Koeficientot na temperaturna dilatacija na materijalot od koj e izrabotena ramkata e t, modulot na elasti~nost E, a momentot na inercija na gredata BC e dvojno pogolem od momentot na inercija stolbovite AB i CD. Da se opredelat stati~kite golemini kaj ramkata ABCD poradi zagrevawe na stolbot AB za T.

A

B C

DEI

T

EI

2EI2a

a

a

Sl. 4.15.

Re{enie: Vlijanieto na potporata se zamenuva so sila S1 pa ekvivalentniot sistem e prikaàn na slikata

A

B C

DEI

T

EI

2EI

2a

a

a

S1


143

Sl. 4.15 a. Na mestoto na silata S1 se dodava edine~na sila 11 S

A

B C

DEI

T

EI

2EI

2a

a

a

S =11

Sl. 4.15 b.

- a

- a

M1

Sl. 4.15 v.


144

01111 TS

IE

aaaaIE

aaaIE

AIEm m

3

1111 613

32

21211

Se crtaat dijagramite od aksijalnite sili od tovarot (temeperaturata T) i dijagramite od aksijalnite sili od edine~nata sila

T T

Sl. 4.15 g.

- 1

1

N1

Sl. 4.15 d.


145

TaaTTdzN tt

n

m

b

atT

212

111

026

131

3

TaS

IEa

t sledi Ta

IES t

21 1312

Pa dijagramite na stati~kite golemini se slednive

Ta

IEM tB

1312

M

MB

Sl. 4.15 |.

Ta

IEQQ tCB

1312


146

Q

QCB

Q

Sl. 4.15 e.

N

Sl. 4.15 `.


147

5. RAMNINSKI OSNOSIMETRI^NI

NAPREGAWA


148


149

Osno simetri~na sostojba na napregawata se javuva kaj formi so osna simetrija koi mnogu ~esto se koristat vo industrijata. Kaj vakvite formi se javuvaat samo radijalni pomestuvawa )r(u)r(ur i radijalni i cirkularni komponenti na deformaciite i napregawata

)r();r(r ; )r();r(r pri {to zabeleùvame deka site golemini se

funkcii od samo edna promenliva, a toa e polarnoto rastojanie r. Presmetka na brzovrtlivi diskovi so konstantna debelina Pri presmetka na brzovrtlivite diskovi so konstantna debelina gi primenuvame slednive postapki

32

2232

31111

83

N

N

N

NRr

rR

Rr

ER

)r(u

22

2222

18

3

N

NNr R

rr

RR)r(

22

2222

3311

83

N

NNRr

rRR

)r(

N

VRR

ako diskot nema centralen otvor

33213

81

NN

NRr

Rr

ER

)r(u

2221

83

N

Nr R

rR)r(

222313

8 N

NRrR

)r(

kade {to se u(r) radijalno pomestuvawe r(r) radijalna komponenta na napregaweto (r) cirkularna komponenta na napregaweto gustina na materijalot poasonov koeficient agolna brzina RN radius na nadore{en pre~nik bezdimenzionalen odnos me|u vnatre{niot i nadvore{niot

radius na diskot


150

r polarno rastojanie E modul na elasti~nost Presmetka na debeloyidni cevki optovareni so vnatre{en pritisok Pri presmetka na debeloyidni cevki optovareni so vnatre{en pritisok gi primenuvame slednive postapki kade stati~kite grani~ni uslovi imaat forma VVr p)Rr( i 0 )Rr( Nr pa vrednostite na pomestuvawata i napregawata na vnatre{niot i nadvore{niot radius od cilinderot se

22 11

1

)(REpu)Rr(u NV

VV

2

2

12

NV

NNR

Epu)Rr(u

VVr p)Rr(

0 )Rr( Nr

2

2

11

VV p)Rr(

2

2

12

VN p)Rr(

kade {to e pV vnatre{en pritisok vo debeloyidnata cevka Presmetka na debeloyidni cevki optovareni so pritisok od nadvore{na strana Pri presmetka na debeloyidni cevki optovareni so pritisok od nadvore{na strana gi primenuvame slednive postapki kade stati~kite grani~ni uslovi vo ovaj sluàj na optovaruvawe imaat forma 0 )Rr( Vr i NNr p)Rr( pa vrednostite na pomestuvawata i napregawata na vnatre{niot i nadvore{niot radius od cilinderot se

212

NN

VVR

Epu)Rr(u

22 11

1

)(R

Epu)Rr(u NN

NN

0 )Rr( Vr

NNr p)Rr(

212

NV p)Rr(


151

2

2

11

NN p)Rr(

kade {to e pN nadvore{en pritisok Presmetka na debeloyidni cevki izloèni na temperaturni vlijanija Pri presmetka na debeloyidni cevki izloèni na temperaturni vlijanija gi primenuvame slednive postapki kade krajnite re{enija za radijalnoto pomestuvawe, kako i radijalnoto i cirkularnoto napregawe se opredeleni preku slednite ravenki

r

RRr)()tt)((R)r(u N

NVNtN

11

111

111 2

2

r)tt( Vt 0

2

2 1111

1r

Rr

R)()tt(E)r( NNVNtr

2

2 11

2111

1r

Rr

R)()tt(E)r( NNVNt

kade {to se t koeficient na toplotno {irewe tN nadvore{na temperatura tV vnatre{na temperatura t0 temperatura


152

5.1. Da se opredeli maksimalniot broj na vrteì na brzovrtliv disk ako vnatre{niot dijametar e dV=40 mm, nadvore{niot dijametar dN=600 mm. Dozvolenoto napregawe e doz=100 N/mm2. Da se primeni hipotezata za najgolema deformacija na Mariot. Poasonoviot koeficient e 0,3, a gustinata na materijalot od koj e izraboten diskot e 7800 kg/m3.

Dn

dv

Sl. 5.1. Re{enie:

22

2222 18

3

N

NNr R

rr

RR

22

2222

3311

83

N

NN R

rr

RR

602 n

; n min-1

3222

2 104460040

,

,,

Dd

RR

N

V

N

V

22232322

2 22

1044104416060

78008

303

N

Vr D

rr

d),(),(,n,

222 2

200441173 n

Dr

rd

,,N

V


153

22232322

2 23033031

210441044160

607800

8303

N

VD

r,,

rd

),(),(,n,

222 257570

200441173 n

Dr,

rd

,,N

V

r e maksimalno ako prviot izvod po r go izedna~ime na nula

024124

173 23

22

r

Dr)(dn,

drd

N

Vr

2

31

31

2 82 N

V

Dr

rd

sledi 07706004021

21

1 ,,,Ddr NV m

r1

Dn

dv

r

Sl. 5.1 a.

sprema hipotezata na Mariot za najgolema dolìnaska deformacija ekvivalentnoto napregawe }e bide najgolemata vrednost od

r

r


154

Tabela 5.1.

r r r

m,dr v 0202

0 6,35n2 –1,91n2 6,35n2

m,rr 07701 2,89n2 3,28n2 1,91n2 2,41n2

m,Dr N 302

0 1,37n2 –0,411n2 1,41n2

82 101356 dozmaxe n, N/m2 sledi 3968356101 8

,

n min–1

5.2. Da se proveri naponskata sostojba kaj brzovrtliv disk so otvor

kade R=40 cm i r=10 cm, ako diskot se vrti so n=1000 min–1. Diskot e ~eli~en so 78,5 kN/m3 i Da se iskoristi hipotezata za deformaciona rabota na promena na oblikot.

r R

Sl. 5.2.

Re{enie: Radijalnata i cirkularnata komponenta na napregaweto se

2221

83

2 r

rCC

r

2221

831

2 r

rCC

od uslovot r na slobodniot rab da e sekoga{ nula grani~nite uslovi }e bidat


155

za r1=R=40 cm sledi r = 0 i r1=r=10 cm sledi r = 0

602 n

0301000040578

8303

0402

22

21

,,,

,CC

22

21

301000010578

83031

0102

,,,

,CC

sledi C1 = – 57120 C = 607

2

22 30

10005788

303571202

607 r,,

rr

22

3570571205303 r,r

,

2

22 30

10005788

3031571202

607 r,,

r

22

2050571205303 r,r

,

010 rr 98310 ,r kN/cm2 040 rr 41040 ,r kN/cm2

za to~ka C koga r = 25 cm

6710625 ,rr kN/cm2 8235025 ,r kN/cm2

Ekvivalentnoto napregawe sprema hipotezata za deformaciona rabota na Huber Mizes Henki

641482350671068235067106 2221

22

21 ,,,,,e kN/cm2


156

5.3. Debela ~eli~na cevka so vnatre{en radius r=40 cm i nadvore{en radius R=70 cm, izloèna e na vnatre{en pritisok p=25 MPa. Modulot na elasti~nost E=2,1105 MPa i poasonoviot koeficient =0,3. Da se opredeli radijalnoto pomestuvawe u(r) i normalnite napregawa r(r) i (r).

r

Rp

Sl. 5.3 Re{enie:

rBrAu

2rBA

drdu

r

2rBA

ru

r

22 11

11 rBAEE

rr

22 11

11 rBAEE

r

od grani~nite uslovi r(r=0,4)=25 MPa r(r=0,7)=0 MPa sledi

2540

301301301

101222

5

,B,A,

,,

070

301301301

101222

5

,B,A,

,,

A = 0,0000404


157

B = 0,000036

222

5 886501212000036030100004040301301

1012r,,

r,,,,

,,

r

222

5 886501212000036030100004040301301

1012r,,

r,,,,

,,

r,r,u 000036000004040

5.4. Debeloyidna ~eli~na cevka so vnatre{en dijametar d=2 cm i

nadvore{en dijametar D=5 cm izloèna e na dejstvo na nadvore{en pritisok p=20 MPa ramnomerno podelen po nadvore{niot obem na cevkata. Modulot na elasti~nost e E=210 GPa, a poasonoviot koeficient =0,35. Da se opredeli radijalnoto pomestuvawe u(r), normalnite napregawa vo radijalen pravec r(r) i vo cirkularen pravec (r). Da se najdat ovie vrednosti za vnatre{nata r=d/2 i nadvore{nata strana r=D/2 na cevkata.

d

D

p

Sl. 5.4 Re{enie:

rBrAu

2rBA

drdu

r

2rBA

ru

22 11

11 rBAEE

rr


158

22 11

11 rBAEE

r

od grani~ni uslovi r(r=d/2)= 0 r(r=D/2)= – p sledi

04111 22

dBAE

pDBAE

22

4111

21

1

DdE

pA

2

2 21

1

d

DdE

pB

r

d

dr

Dd

d

Ep)r(u 21

2

1

1

22

21

2

Dd

dEp)/dr(u

Dd

dD

Dd

d

Ep)/Dr(u 11

1

22 2

2

2 21

1r

d

Ddp)r(r

02 )/dr(r p)/Dr(r 2

2

2 21

1r

d

Ddp)r(

21

22

Ddp)/dr(


159

2

2

1

12

DdDd

p)/Dr(

za d=2 cm D=5 cm p=20106 N/m2 E=2,11011 N/m2 0,35

6211

610272

0500201

020101210202

,

,,

,,

)/dr(u m

6211

610155

0500201

050101210202

,

,,

,,

)/Dr(u m

02 )/dr(r 202 )/Dr(r N/mm2

647

0500201

2022 2 ,

,,

)/dr(

N/mm2

627

0500201

0500201

202 2

2

.

,,

,,

)/Dr(

N/mm2


160

5.5. Na debeloyidna cevka spre~eno i e pomestuvaweto od nadvore{nata strana. Od vnatre{nata strana dejstvuva pritisok pV=30 kN/cm2. Cevkata e ~eli~na so modul na elasti~nost E=2,1∙104

kN/cm2. Vnatre{niot radius na cevkata e r=25 cm, dodeka nadvore{niot radius e R=40 cm. Da se opredelat komponentite na radijalnoto i tangencijalnoto napregawe i pomestuvaweto vo pravec na radiusot na vnatre{nata kontura.

rRPV

Sl. 5.5

Re{enie:

rBrAu

211

1 rBAE

r

od grani~nite uslovi za r=40 cm; u=0 za r=25 cm; r=30 kN/cm2 sledi

040

40 BA

AB 1600

3025

1600301301301

210002

A,,A

,

A=–0,0038 B=6,0883

r,r,u 0883600380


161

2

0883611003801 r

,,Er

5.6. Deformaciiite na site to~ki vo eden debeloyiden cilindar vo

nenapregnata sostojba se nula ako vo niv vladee ednakva po~etna temperatura T0. Da se razgleda osnosimetri~en slu~aj na ramninski napregawa. Da se postavat ravenkite za komponentite na deformaciite i napregawata vo radijalen i tangencijalen pravec. Da se postavi diferencijalnata ravenka na ramnoteà na napregaweto preku pomestuvaweto u(r) vo radijalen pravec zemaj}i go vo predvid temperaturnoto pole T(r).

r

u(r)

T(r)

O

Sl. 5.6. Re{enie: Ravenkite na deformaciite se

2rBA

drdu

r

2rBA

ru

Od hukoviot zakon za ramninski napregawa

0TTEE t

rr

0TTEE t

r

0T)r(T)r(T

)T(E trr


162

)T(E tr

111

1 22TE

ru

drduET)(E t

trr

111

1 22TE

ru

drduET)(E t

trr

O

d

r

dr

r

r d r

Sl. 5.6 a.

02

2

dsindrdrd)drr)(d( rrr

aproksimacija 22 ddsin

0

rdr

d rr

011111 2

022

2

2

u

rdrdu)(

)(rE

drdT

drdTEu

rdrdu

rdrudE t

drdT)(u

rdrdu

rdrud

t 11122

2


163

6. TANKOYIDNI OSNOSIMETRI^NI

REZERVOARI


164


165

Pri odreduvawe na napregawata kaj tankoyidnite osnosimetri~ni rezervoari ja koristime Laplasovata ravenka

pRR c

c

m

m

kade {to se m napregawe vo meridijanska ramnina odnosno vo presekot na

sadot so ramnina koja ja sodrì oskata na simetrija na sadot c napregawe vo cirkularna ramnina odnosno vo presek

normalen na meridijanskata ramnina p pritisok debelina na yidot na sadot Rm radius na krivina vo meridijanski pravec Rc radius na krivina vo cirkularen pravec Presmetka na sferen sad pod dejstvo na ramnomeren pritisok od gas Pri presmetka na sferni sadovi blagodarenie na centralnata simetrija na sadot imame

RRR cm

npp pa dobivame cm

2Rpn

Presmetka na cilindri~en rezervoar pod dejstvo na vnatre{en pritisok Vo cilindri~niot del mR ; RRc i npp pa cirkularnoto

napregawe e

Rpn

c

dodeka meridijanskoto napregawe e

2Rpn

m


166

6.1. Sferen rezervoar za komprimiran gas so vnatre{en dijametar d, optovaren e so vnatre{en pritisok p. Da se opredeli minimalnata debelina na yidot na rezervoarot ako dozvolenoto napregawe e doz. Da se primeni hipotezata na Huber-Mizes-Henki.

dp

Sl. 6.1 Re{enie: Od ravenkata na Laplas sledi

pRR c

c

m

m ; Zaradi sfernata forma na rezervoarot cm ;

2dRR cm pa sledi

4pd

cm

Ekvivalentnoto napregawe sprema hipotezata na Huber - Mizes - Henki e

dozcmcmepd

4

22 sledi doz

pd

4


167

6.2. Daden e sferen rezervoar so vnatre{en dijametar d za ~uvawe na gas pod pritisok p. Da se opredeli debelinata na yidot na rezervoarot ako dozvolenoto napregawe na ednoosno zategawe na materijalot e Da se primeni hipotezata za najgolemo tangencijalno napregawe (hipoteza na Treska).

dp

Sl. 6.2 Re{enie: Spored hipotezata za najgolemo tangencijalno napregawe (hipoteza na Treska) pri~ina za nastanuvawe na grani~na sostojba na napregawata se maksimalnite tangencijalni napregawa. Za dvoosna sostojbana napregawata kade 321 vo koordinaten sistem 1 02 definirano e podra~je na sigurnost vo forma na {estoagolnik kade

1 e za 01 i 02

2 e za 01 i 02

21 e za 01 i 02

1

0

0

2

0

0

Sl. 6.2 a


168

04

pdem

04 pd

6.3. Dolg cilindri~n rezervoar so sferni dna ima vnatre{en

dijametar d=400 mm, i e izloèn na dejstvo na vnatre{en pritisok od p=80 bar. Da se opredeli minimalnata debelina na rezervoarot soglasno so hipotezata na najgolema specifi~na rabota za promena na formata, ako napregaweto na granicata na te~ewe na materijalot iznesuva T=240 N/mm2. Stepenot na sigurnost protiv pojava na trajni plasti~ni deformacii iznesuva s=1,5.

d

p

Sl. 6.3 Re{enie: Gi razgleduvame silite {to dejstvuvaat vo meridijanski pravec odnosno vo pravec na z oskata po dolìna na rezervoarot po {to go odreduvame i meridijanskoto napregawe

z

m

c

Sl. 6.3 a

0Z

0444

24

2222

mm dpdd)d(pd


169

44

2 pdd

pdm

Gi razgleduvame i silite vo sredina na cilindri~en del vo cirkularen pravec

z

c

1

d

c

p d 1

x

Sl. 6.3 b 0X

02 pc

mcdp

22

Ekvivalentnoto napregawe e sledno

sT

mcmce

22

spdpdpdpd T

e

4242

22

spdpd T

e

431212

422

000865010240

511084043

43

6

6,,,spd

T

m

9 mm


170

6.4. Cilindri~en rezervoar so radius R i viso~ina H celosno e ispolnet so te~nost so gustina Debelinata na obvivkata na rezervoarot e Dnoto na rezervoarot e debela plo~a ~ie vlijanie treba da se zanemari. Da se opredelat napregawata vo meridijanski i cirkulraen pravec vo obvivkata na rezervoarot vo to~ka koja se nao|a na dlabo~ina od 0,9H.

R

H

Sl. 6.4

Re{enie:

Silata {to dejstvuva vrz dnoto e )Hg()R( 2

Od uslovot za ramnoteà HgRR m 22 se odreduva meridijanskoto napregawe

2RHg

m

Pritisokot na dlabo~ina od H,90 iznesuva Hg, 90 pa so koristewe na Laplasovata ravenka

pRR c

c

m

m ; kade mR ; RRc sledi

RHg,

c

90


171

6.5. Rezervoar so cilindri~na obvivka i polusferi~no dno e ispolnet so te~nost so gustina Debelinata na yidot na rezervoarot e a modulot na elasti~nost na materijalot e E. Radiusot na polusferata i visinata na cilindri~niot del e R. Da se opredelat meridijanskata i cirkularnata komponenta na napregaweto vo to~kite A, B i C.

R

R

A

B

C

Sl. 6.5. Re{enie: za to~kata A od uslovot za ramnoteà

034

212 32

RRRgRm

sledi

2

65 Rg

m

od

pRR c

c

m

m kade mR i RRc i 0p

sledi

0c . za to~kata B od uslovot za ramnoteà


172

034

212 3

RgRm

sledi

2

65 Rg

m

od

pRR c

c

m

m kade mR vo cilindri~en del i RRm vo sferen del

soodvetno, Rc i Rgp

napregaweto vo cilindri~niot del posle zamenata e

2Rgc

,

dodeka napregaweto vo sferniot del e

2

61 Rg

c

.

Za to~kata C imame cm i RRR cm ; Rgp 2 pa ako

zamenime vo

pRR c

c

m

m sledi

2Rgcm

.

6.6. Da se opredelat napregawata vo konusniot rezervoar daden na

slikata. Rezervoarot e poln so voda.

a y

h

R = h tg a

r(y) = y tg a

Sl. 6.6.


173

Re{enie:

h - y

y

Rc

a

Q

m

a

Sl. 6.6 a.

sinyQ

costgyQ

m

22

yyryhyrgVgQ 22

31

yhtgyg

3222

2

22321

21

232

coshysin

yhgsiny

yhtgygm

; 10 hy

od ravenkata na Laplas

pRR c

c

m

m

mR ;

2cossiny

costgy

cos)y(rRc

pRR c

c

m

m

hy

hy

cossinhgcos

sinyyhgRp

hy c

c 12

22


174

m c

++

Sl. 6.6 b. 6.7. Da se opredelat napregawata vo rezervoarot daden na slikata.

Rezervoarot e poln so voda.

R

R cos

h( ) = R sin

Sl. 6.7.

Re{enie:


175

h( ) = R sin

r dr

r( ) = R cos

Sl. 6.7 a.

dr=ds sin m

d

ds =Rd

m

Sl. 6.7 b.

02 Qcos)v(rm

22 cosRQ

m

22

22

dcosRsinRcosRgdr)(h)(rgQ

23

223 22

duuRg

dudcosusin

dsincosRg

33

33 1

32

232 sinRgsinRg

2

33

2

331

31

2

132

cossinRg

cosR

sinRgm

pRR c

c

m

m

za sfera Rm = Rc = R


176

R)()(pR)( m

c

)sin(Rg)(hg)(p

2

3131

cossinRg)sin(RgR)(

c

2

2 1231

cossinsinRg

gR)(m

2

310

gRcos

)sin(gRlim)(m

2

2

32

2211

31

2

2

310 Rg)(

c

2

2

2

2

211

22

31

2Rg

cossinlimsinRg)(

c

R g1

3

2

3R g1 2

3

2R g

1-

+ +

-

m c

Sl. 6.7 v.


177

6.8. Dolg cilindri~en rezervoar so nadvore{en dijametar D=3000 mm, izloèn e na dejstvo na vnatre{en pritisok p=0,5 MPa. Da se opredeli napregaweto soglasno so hipotezata za specifi~na distorziska energija (energija za promena na formata) i za istiot rezervoar so isti dimenzii da se opredeli maksimalniot pritisok pmax ako doz=160 MPa.

3000 mm

20 mm

p

Sl. 6.8.

p = 0,5 MPa D = 3000 mm

537020

5150 ,,

,,Rpc

MPa

oz A

F

4434

962502

,,,ApF v MPa

1904

9624

3 22,,Ao

m2

118190443 ,,,

AF

oz MPa

4832118537118537 2222 ,,,,,zczce MPa maksimalniot pritisok go opredeluvame na sledniot na~in

p,

,pRpc 75

02051

p,,

,pAF

oz 236

190886

8864

962 2,p,pApF v

1601652367523675 2222 p,p,p)p,()p(zczce MPa

462165

160 ,,

p MPa


178


179

7. DINAMI^KI OPTOVARUVAWA


180


181

Vo presmetkite vlijanieto na dinami~kite sili obi~no se zema vo predvid preku takanare~eniot dinami~ki koeficient kd . Za da se najde maksimalnata sila, napregawe ili pomestuvawe dinami~koto optovaruvawe se zamenuva so stati~ko, a stati~kata sila, napregawe ili pomestuvawe se pomnoùva so dinami~kiot koeficient odnosno

stdd FkF , stdd k ili stdd k kade {to se kd dinami~ki koeficient Fst stati~ka sila Fd dinami~ka sila st napregawe od dejstvo na stati~ka sila d napregawe od dejstvo na dinami~ka sila st stati~ki ugib d dinami~ki ugib Presmetka na jaè pri digawe na tovar Pri odreduvawe na silata vo jaèto ja koristime slednava postapka

stdd NkN ; zqGN st ; gzkd

1

kade {to Nd vkupna sila vo jaèto G tovar q teìna na jaè na edinica dolìna g zabrzuvawe pri slobodno pa|awe z izminat pat na tovarot z zabrzuvawe na tovarot i jaèto Presmetka na udarno optovaruvawe Pri udar odnosno vzaemno dejstvo me|u dve tela vo dvièwe pri {to doa|a do nagla promena za mnogu kratok vremenski interval, na brzinite na dvete tela, pri {to }e razgledame dva slu~ai Slu~aj koga masata na udrenoto telo e mnogu mala vo odnos na masata na teloto koe {to pa|a Pri odreduvawe na dinami~kiot ugib ja koristime slednava postapka

stdd k kade dinami~kiot koeficient e st

dHk211


182

kade {to e H visina od koja teloto pa|a Slu~aj koga masata na udrenoto telo ne e zanemarliva Postapkata se sostoi vo barawe na pribli`no re{enie kade kontinuirano raspredelenata masa se zamenuva so edna koncentrirana masa na mestoto na udarot pa dinami~kiot koeficient e

GQ

Hkst

d01

1211

kade {to se koeficient na redukcija koj zavisi od na~in na potpirawe

na gredata i od vidot na udarot (nadolèn ili popre~en) Q0 teìna na gredata G teìna na teloto


183

7.1. Tovar so teìna G slobodno pa|a od viso~ina H vrz to~kata D od

nosa~ot ABCD. Formata i dimenziite se dadeni na skicata. Da se opredeli dinami~kiot koeficient kd. Masata na nosa~ot da se zanemari, a udarot da se smeta za apsolutno neelasti~en.

aa 3a/4

H

A

B

CD

GE,I

Sl. 7.1 Re{enie: Za da go opredelime dinami~kiot koeficient treba prethodno da go opredelime stati~kiot ugib preku opredeluvawe na vlijatelniot koeficient 11 odnosno 11 Gst

aa 3a/4

A

B

C D

GE,I

st

Sl. 7.1 a.


184

aa 3a/4

A

B

C D

S = 1E,I

11

1

Y

XB

B

AX

z3

1z

2z

Sl. 7.1 b. Tabela 7.1.

m zm )z(M m1 1 az 10

183 z

2 az 20 28

3 z

3 az

430 3 3z

33

43

0

231

2

01

1

21

11 6415

8321 adz)z(dzz

IEdz

IE)z(M

aan

m

b

am

mm

m

31512811211

aGHHk

std


185

7.2. Tovar so teìna G slobodno pa|a od viso~ina H vrz to~kata C od re{etkastiot nosa~ BCD. Site stapovi na re{etkata imaat razli~ita povr{ina na popre~en presek A dadeni na skicata i ist modul na elasti~nost E. Formata i dimenziite na re{etkata se dadena na skicata. Da se opredeli dinami~kiot koeficient kd. Udarot da se smeta za apsolutno neelasti~en.

B C

D

A

2A

G

A

Ha

a

Sl. 7.2 Re{enie: Gi odreduvame silite vo stapovite pod dejstvo na sila G. Silite vo stapovite nivnata dolìna kako i povr{inata na nivnite popre~ni preseci dadena e vo tabelata {to sleduva

B C

D

A

2AA

a

a

YD

XD

XB

G

1

2

3

Sl. 7.2 a.


186

Tabela 7.2.

i li Ai Ni 1 a A 0 2 a A –G 3 2a 2A 2G

Go odreduvame stati~kiot ugib {to nastanuva od dejstvo na silata G preku presmetka na deformacionata rabota

AE

GaAElNA

i i

iid

2

2121 23

1

2

AE

GaGAd

st

21

Dinami~kiot koeficient e

AE

GaHHk

std

21

211211

7.3. Da se opredeli dinami~kiot ugib vo to~kata C od re{etkastata

konstrukcija ako tovarot so teìna G pa|a od viso~ina H na to~kata C. Povr{inata na popre~niot presek na site stapovi e ista i iznesuva A. modulot na elasti~nost e isto taka ist za site stapovi i iznesuva E.

a a

a

H

A BC

D

G

1 2

34 5

Sl. 7.3


187

Re{enie: Gi opredeluvame silite vo stapovite od re{etkata od dejstvo na tovarot i od dejstvo na edine~nata sila i vrednostite gi zapi{uvame vo tabelata podolu dodeka reakciite vo potporite od dejstvo na tovarot i od dejstvo na edine~nata sila gi odreduvame od uslovite za ramnoteà

2GYA ;

2GYB

2GYA ;

2GYB

a aa

A BC

D

G

1 2

34 5YA BY

Sl. 7.3 a

a a

a

A BC

D

S = 1

1 2

34 5YA BY

Sl. 7.3 b


188

Tabela 7.3.

i Nqi iN li

1 2G

21

a

2 2G

21

a

3 – G – 1 a 4

22G

22

2a

5

22G

22

2a

Dinami~kiot ugib go opredeluvame na sledniov na~in

stdin k

5

1i

iiqist AE

lNN

AEaGaGaGaGaG

AE

22232

22

222

21

221

21

aGAEHHk

st

223

211211

AEaG

aGAEH

din

2

223223

211


189

7.4. Tovar G=19620 N pa|a od viso~ina H=0,03 m na sredinata na nosa~ot so dolìna l=6 m. Nosa~ot ima kruèn popre~en presek so dijametar d=15 cm i e izraboten od materijal so modul na elasti~nost E=21,6104 N/m2. Da se opredeli napregaweto vo sredinata na gredata.

A BC

G

E,I

a a

H

Sl. 7.4 Re{enie:

A BC

G

E,I

a a

YA BY

Sl. 7.4 a

ststmax

H

2

444

102485064

15064

,,dI m4

0164010248501062148

61962048 44

33,

,,IElG

st

m

2d

IMy

IM

WM

maxst

294304

6196204

lGM Nm

64 108388

2150

102485029430

,,,st

66 109611901640

03021083882

,

,,,h

ststmax

N/m2.


190

7.5. Tovar so teìna G pu{ten e slobodna da pa|a od viso~ina H pri {to udira vo sredinata na elasti~no potprena prosta greda so dolìna l. Aksijalniot moment na inercija na presekot na gredata za oskata normalna na ramninata na crteòt e I. Modulot na elasti~nost na materijalot od koj {to e izrabotena gredata iznesuva E, a krutosta na pruìnata e c. Da se opredeli dinami~kiot koeficient kd.

AB

C

c

G

EI

l/2 l/2

H

Sl. 7.5 Re{enie: za idealno kruta greda koga I ugibot vo sredinata na gredata vo

to~kata B iznesuva c/Q 4

, dodeka na krajot od gredata vo to~kata C

ugibot iznesuva c/Q 2

AB

C

c

G

EI

l/2 l/2

YA

YC

B1 C

Sl. 7.5 a


191

za idealno kruta pruìna kade c ugibot vo sredinata na gredata

vo to~kata B iznesuva IE

lG

48

3

AB

C

G

EI

l/2 l/2

YA YC

B2

Sl. 7.5 b Vkupniot stati~ki ugib iznesuva

AB

G

EI

B2

C

B1

Bst

Sl. 7.5 v

IE

lc

GIE

lGc

G

st 4841

482

21 33

st

Hk211

IEl

cG

Hk

4841

2113


192


193

I. POVA@NI MATEMATI^KI OBRAZSCI


194


195

Trigonometriski i hiperboli~ki funkcii

122 cossin

cossintg

sincoscossin)sin( sincoscossin)sin( sinsincoscos)cos( sinsincoscos)cos(

cossinsin 22 222 sincoscos

21

2 cossin

21

2 coscos

0 30 45 60 90 180 270 360

sin 0 21

22

23

1 0 –1 0

cos 1

23

22 2

1 0 –1 0 1

tg 0

33

1 3 0 0

ctg 3 1

33

0 0

Tabli~no derivirawe Osnovni pravila na deriviraweto Ako c e konstanta toga{

0)c( 1)x(

)x(g)x(f)x(g)x(f

)x(fc)x(cf

)x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f

2)x(g)x(g)x(f)x(g)x(f

)x(g)x(f

2)x(f)x(fc

)x(fc


196

Tablica na derivirawe na osnovni funkcii

Cy 0y nxy 1 nnxy

xy x

y2

1 (x>0)

xsiny xcosy xcosy xsiny

tgxy xcos

y 21

ctgxy xsin

y2

1

xarcsiny 21

1

xy

)x( 1

xarccosy 21

1

xy

)x( 1

arctgxy 211x

y

arcctgxy 1

12

x

y

xay alnay x (a>0) xey xey

xlny x

y 1 (x>0)

xlogy a x

elogalnx

y a1 (x>0, a>0)

Neodredeni integrali Osnovni pravila na integrirawe Ako )x(f)x(F toga{ C)x(Fdx)x(f

kade C e integraciona konstanta

dx)x(fAdx)x(Af kade A e konstanata A≠0

dx)x(fdx)x(fdx)x(f)x(f 2121

Ako C)x(Fdx)x(f i )x(u e derivabilna toga{

C)u(Fdu)u(f

Tablica na ednostavni integrali


197

Cnxdxx

nn

1

1

Cxlnx

dx

Caxarctg

aaxdx 1

22

Caxaxln

aaxdx

21

22

Caxxlnax

dx

22

22

Caxarcsin

xa

dx22

Caln

adxax

x

Cedxe xx

Cxcosxdxsin

Cxsinxdxcos

Ctgxxcos

dx2

Cctgxxsin

dx2

Cxtglnxsin

dx2

Cxtgln

xcosdx

42

Stepenuvawe na binomi

222 2 bbaaba

32233 33 bbabaaba

nnnnnnn b)(ban

ban

ban

aba 1321

33221

)!pn(!p!n

pn

n!n 321 )pn()!pn( 21

Razloùvawe na faktori

bababa 22


198

)bbaa)(ba(ba 2233 1222221222 nnnnnn babbaa)(ba(ba

)baba)(baba(bann

nnnn

nnnn 22 222222 223232221212 nnnnnn babbaa)(ba(ba 223232221212 nnnnnn babbaa)(ba(ba

Logaritmi

calogb ; abc za (a>0, b>1) clogalog)ca(log bbb

clogalogcalog bbb

alogn)a(log bn

b

alogn

)a(log bn

b1

xloglnxlogxln e 10 ;

xlnelogxlogxlog 10 Ravenki od prv stepen

111 cybxa

222 cybxa

DDx 1 ;

DDy 2

22

111 bc

bcD ;

22

112 ca

caD ; 0

22

11 baba

D

kvadratni ravenki

02 cbxax

aacbbx , 2

42

21

kubni ravenki

023 cbzazz ; 32123 zzzzzzcbzazz

azzz 321 ; bzzzzzz 133221 ; czzz 321

so smena 3axz se dobiva reducirana kubna ravenka


199

03 qpxx ; 3

3 2abp ;

279227 3 abacq

re{enieto e

vux 03 puv

qvu 33 odnosno

27

333 pvu

qvu 33

332

322

pqqu

332

322

pqqu

diskriminanta

27432

27442732

32

pqpqD

32

32pq

D=0 site tri koreni se realni, eden e dupli D<0 eden koren e realen i dva koreni se konjugirano kompleksni D>0 korenite se realni i razli~iti (casus irrecidibilis) Vo ovaj slu~aj se upotrebuva trigonometriska metoda

sinicosrirepqqu i

323

322

bidej}i D>0 i 032

32

pq pa p e negativno

322

32

pqr

2qcosr


200

32

32 pp

qr

qcos

3321

cospx

32

322

cospx

34

323

cospx


201

II. JAKOSNI HIPOTEZI


202


203

Hipoteza za najgolemo normalno napregawe Hipoteza na Galilei, Lame, Navier, Rankine

2222 4

21

214

21

21

xyyxyxxyyxyxe ;max

ako postoi samo normalno napregawe vo eden pravec i tangencijalno napregawe od torzija toga{

22 421

21 e

Hipoteza za najgolema dolìnska deformacija (dilatacija) Hipoteza na Mariote, S. Venant, Grashoff, Bach Ekvivalentnoto napregawe se dobiva od najgolemata vrednost od

321 e ; 312 e ; 213 e za ramninska sostojba na napregawata

22 42

12

1xyyxyxe )()(


22 42

12

1

e

ne smee da se primenuva kaj nelinearni elasti~ni materijali zad granicata na elasti~nost Hipoteza za najgolemo tangencijalno napregawe Hipoteza na Coulomb, Guest, Mohr Se koristi pri pojava plasti~ni deformacii predizvikani od lizgawa i soodvetni tangencijalni napregawa, pri {to ekvivalentnoto napregawe pri ramninska sostojba na napregawata e

22 4 xyyxe )(



204

22 4 e

Hipoteza za najgolema specifi~na distorziska energija (deformaciona rabota za promena na oblikot) Hipoteza na Huber, Mises, Hencky, Schleicher Pri ednoosno zategawe ekvivalentnoto napregawe e

231

232

2212

1 e

Pri dvoosna sostojba na napregawata ekvivalentnoto napregawe e

2122

21 e

Pri ramninska sostojba na napregawata ekvivalentnoto napregawe e

222

32

32 xy

xxxxe

Hipoteza na elasti~na grani~na sostojba Hipoteza na Mohr Ekvivalentnoto napregawe e

22 42

12

1

KK

e kade p

zK0

0

kade {to se

z0 dozvoleno napregawe na zategawe

p0 dozvoleno napregawe na pritisok


205

III. STATI^KI OPREDELENI NOSAÎ


206

Tablica III – 1. Re{avawe na stati~ki opredeleni nosa~i

red

en b

roj

Opt

ovar

uvaw

e na

no

sa~

Rea

kcii

Mak

sim

alen

mom

ent

Mak

sim

ama

len

otk

lon

f

mak

sim

alen

nak

lon

1

A

l

Ff

FYA

lF

IElF

3

3

IElF

2

2

2

A

l

f

lqYA

2

2lq

IElq

8

4

IElq

6

3


2

3

A

l

f

M

0AY

M

IElM

2

2

IElM

4

A

l

f

qo

2lqYA

6

2lq

IElq

30

4

IElq

24

3

5

A

l

f

o

2lq

YA

3

2lq

IElq

12011 4

IElq

8

3


3

6

A

l

F

f

a

FYA

aF

)al(IE

aF

3

6

2

IEaF

2

2

7

A

l/2

F f

l/2

B

2FYA

2FYB

4lF

IElF

48

3

IElF

16

2

IElF

16

2

8

A

l/2

q f

l/2

B

2lqYA

2lqYB

8

2lq

IElq

385 4

IElq

24

3

IElq

24

3


4

9

A

l/2

F f

l/2

B

a b

blFYA

alFYB

lbaF

lIEbaF

3

22

)bl(IEbaF

6

)al(IEbaF

6

10

A

l/2

F f

l/2

B

a F a

FYA FYB

aF

)al(IE

aF 22 4324

)al(IE

aF

2

)al(IE

aF

2

11

A

l/2

q f

l/2

B

o

6lqYA

3lqYB

227

3 lq

za l,x 57740

IElq, 4

006520

za l,x 5190

IElq

3

3607

IElq

45

3


5

12

A

l/2

M f

l/2

B

lMYA

lMYB

M

IElM 2

273

za l,x 42260

IElM

3

IElM

6

13

A

l/2

M f

l/2

B

M1 2

lMM

YA12

lMM

YB21

za 21 MM

1M

21

2

16MM

IEl

za2lx

2126

MMIE

l

21 26

MMIE

l

14

A

l/2

f

l/2

B

F

a

laFYA

)al(l

aFYB

aF

za del od A do B

IElaF,

2

06420

za to~ka C

alIE

aF

3

2

IElaF

6

IElaF

3

)al(IE

aF 326


6

15

A

l/2

f

l/2B

a

C

q

)al(l

qYA

22

2

2

2)al(

lqYB

za al

2

222

8lalq

za

lalx

22 22

2

2aqM B

za to~ka C

223 4324

allaIE

aq

)al(IE

lF 22 224

)al(IE

lF 22 424

)al(laIE

F 223 2624

16

A

l/2

f

l/2

B

FF

a a

FYA FYB

aF

za del od A do B

IElaF

8

2

za to~ka C

laIE

aF 326

2

IElaF

2

IElaF

2

)la(IE

aF

2

17

Al/2

f

l/2B

a a

C

2laqYA

2laqYB

2

2

42alq

2

2aqM A

2

2aqM B

za del od A do B

22

23

85

48al

IElq

za to~ka C

323 3624

alalIE

aq

)al(IE

lq 22 624

)al(IE

lq 22 624

)llaa(IE

q 323 6424

IV. STATI^KI NEOPREDELENI NOSAÎ


2

Tablica IV – 1. Re{avawe na stati~ki neopredeleni nosa~i

red

en b

roj

nosa

~

reak

cii

mom

enti

ugib

nakl

on

1

A

l

F

B

a b

2

23

2 lb

lbFYA

lb

lqFYB 2

2 2

2

lb

lbaFM A 1

2

bYM BB

za ax

xYMIE

xf AAx

36

2

za ax

IEaxFxYM

IExf AAx

63

6

32

lIEbaF

4

2

2

A

l

F

B

a b

FYA 1611

FYB 165

lFM A 163

lFM max 325

za 50,x

IElFf x

7687 3

IElF,f max

3

0093170

za l,x 55280

IElF

32

2

3

A

l

q

B

lqYA 85

lqYB 83

8

2lqM

2128

9 lqM max

za l,x 6250

za 50,x

IElqf x

192

4

IElqfmax

185

4

za l,x 5790

IElq

48

3


4

4

A

l

q

B

o

lqYA 052

lqYB 0101

15

20 lq

M A

515

20 lq

M max

za l,x 44280

za 50,x

IE,lq

f x

6426

40

IE,lq

f max

6418

40

za l,x 5520

IElq

120

30

5

A

l

q

B

o

lqYA 0409

lqYB 04011

20120

7 lqM A

623

20

,lq

M max

za l,x 6710

za 50,x

IElq

f x

349

40

IE,lq

f max

8327

40

za l,x 5980

IElq

80

30

6

A

l

F

B

a b

all

bFYA 23

2

bll

aFYB 23

2

2

2

lbaFM A

2

2

lbaFM B

3

222

lbaFM C

IElbaFfC

3

33

3

baba

IEFf max 33

2 32

za ba

lx3

2

0


5

7

A

l

F

B

a b

2FYY BA

8lFMMM CBA

IElFfC

192

3

0

8

A

l

q

B

2lqYY BA

12

2lqMM BA

24

2lqM C

za l,x 50

IElqf max

384

4

0

9

A

l

q

B

o

lq,YA 0150

lq,YB 0350

30

20 lq

M A

20

20 lq

M B

646

20

,lq

M max

za l,x 5480

za 50,x

IElqf x

768

4

IElqf max

764

4

za l,x 5250

0

V. VLIJATELNI KOEFICIENTI


220


221

Odreduvawe na vlijatelnite koeficienti so pomo{ na tablica Pri primena na postapkata na Vere{~agin za presmetka na vlijatelnite koeficienti ij , qi gi koristime izrazite

jijmimm m

imjmm m

ij AIE

AIE

11

imqmm m

qj AIE

1

kade {to se m broj na promeni na momentite ili krutosta na svitkuvawe

jiij aa vlijatelni koeficienti

qi

mIE krutost na svitkuvawe

jmA povr{ina na dijagram od edine~na sila

im teì{te

qmA povr{ina na dijagram od tovar

Proizvodite imjmA i jmimA i imqmA moàt da se prikaàt vo

oblik

mmimjm KlA pa vlijatelnite koeficienti moàt de se prikaàt

vo oblik

mm m

mij K

IEl

; mm m

mqj K

IEl

Goleminata Km se odreduva od slednata tablica kade {to se l dolìna na nosa~ot m, m ordinati na dijagramot na leviot kraj na posmatranata

dolìna l n, n ordinati na dijagramot na desniot kraj na posmatranata

dolìna l Vlijatelniot koeficient za delot od nosa~ot so dolìna l go presmetuvame na toj na~in {to vrz osnova na oblikot na dijagramot od edine~nite sili, od tabelata go odreduvame Km i go mnoìme so stvarna dolìna na delot od nosa~ot i potoa go delime so soodvetnata krutost za istiot del od nosa~ot.

jiij

K

m

n

m

m n

a1 a2

t

m n

nm nm

21 mm

21 )nm(m

21 tm

21

n

mn 21 nn

31 mn

61 )nm(n 2

61

)a(tn 1161

m

mm 21 nm

61 mm

31 )nm(m 2

61 )a1(tn

61

2

m n

m)nm( 21 n)nm( 2

61

m)nm( 261 )nm(n)nm(m 22

61

)a(n)a(mt 12 1161

a1 a2

t

mt 21 n)a(t 11

61

m)a(t 2161

)a(n)a(mt 12 1161

tt 31


226

qi

K

m

n

m

m n

a1 a2

t

kvadratna parabola

mt 32 nt

31 mt

31 )nm(t

31 )aa(tt 211

31

kvadratna parabola

m

mm 31 nm

121 mm

41 )nm(m 3

121

kubna parabola

m

mm 41 nm

607 mm

152 )nm(m 78

601

kubna parabola

n

mn 41 nn

152 mn

607 )nm(n 87

601

kubna parabola

m

mm21

nm201

mm51

)nm4(m201

VI. DOZVOLENI NAPREGAWA


226

Tabela VI – 1. Osnovni podatoci za jaglerodni ~elici, obi~ni so garantirani mehani~ki osobini JUS C.B0.500

hemiski sostav garantirani mehani~ki karakteristiki granica na razvlekuvawe

debelina C P S

cvrstina na zategnuvawe do 16 mm od 160 do 40 mm nad 40 mm

izdolùvawe pri kinewe

oznaka % % % kN/cm2 kN/cm2 kN/cm2 kN/cm2 % Č 000 33-50

Č 0270 0,17 0,06 0,06 34-42 21 20 19 28 Č 0370 0,20 0,06 0,06 37-45 24 23 22 25 Č 0460 0,25 0,06 0,06 42-50 26 25 24 22 Č 0545 0,30 0,05 0,05 50-60 30 29 28 20 Č 0645 0,30 0,05 0,05 60-72 34 33 32 15 Č 0745 0,30 0,05 0,05 70-85 37 36 35 10

Tabela VI – 2. Osnovni podatoci za ~elici za nose~ki konstrukcii JUS C.B0.501

hemiski sostav garantirani mehani~ki karakteristiki

C P S cvrstina na zategnuvawe

granica na razvlekuvawe

izdolùvawe pri kinewe

oznaka % % % kN/cm2 kN/cm2 % Č 0370 0,2 0,06 0,06 37-45 22-24 25 Č 0460 Č 0461 Č 0471 0,2 0,05 0,05 42-50 24-26 22 Č 0561 Č 0562 Č 0563 0,2 0,05 0,045 52-62 34-36 22


2

Tabela VI – 3. Ostanati mehani~ki karakteristiki modul na elsti~nost E= 2,0∙104 do 2,2∙104 kN/cm2 modul na lizgawe G= 7,7∙103 do 8,5∙103 kN/cm2 Poasonov koeficient 0,3 linearen koeficient na {irewe 1,21∙10–5 K–1

gustina 7850 kg/m3 Tabela VI – 4. Dozvoleni napregawa za ~elik

vid na napregawe I slu~aj na

optovaruvawe II slu~aj na

opteretuvawe

doz pritisok svivawe

zategnuvawe v32

v43

osnoven materijal

doz smolknuvawe

v33

2 v

343

doz pritisok na obvivka

na dupka dozI2 dozII2

doz smolknuvawe dozI, 80 dozII, 80

zakovki

doz zategnuvawe (da se

odbegnuva) dozI, 30 dozII, 30

VII. KRITI^NA SILA PRI IZVITKUVAWE


2

3

Kriti~na sila pri izvitkuvawe

l

0,5

lo

Fkr

l lo

Fkr

l lo

Fkr

l lo

Fkr

Slika VII-1. Tabela VII – 1. slu~aj Kriti~na sila Slobodna dolìna

1 2

2

4lIEF min

k

ll 20

2 2

22l

IEF mink

l,l 700

3 2

24l

IEF mink

l,l 500

4 2

2

lIEF min

k

ll 0

Dozvoleni naponi pri izvitkuvawe Tabela VII – 2.

neeelasti~no podra~je (Tetmaer)

Elasti~no podra~je (Ojler)

materijal E [kN/cm2]

[kN/cm2] [kN/cm2]drvo 3101 100 01940932 ,, 100

219870

leano èlezo

4101 80 200530201677 ,,, 80 2

198700

Č 0370 41012 , 5108, 12903530 ,, 5108, 2

1197400

Č 0461 41012 , 8101, 114031 , 8101, 2

1212200

Č 0561 41012 , 85 0620533 ,, 85 2

1222100

Koeficient na izvitkuvawe Tabela VII – 3.

minil0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 drvo 1,02 1,10 1,19 1,3 1,43 1,59 1,78 2,03 2,36 2,83 3,43 4,09 Č 0370 1,03 1,06 1,1 1,16 1,24 1,34 1,47 1,63 1,86 2,23 2,65 Č 0461 1,03 1,06 1,12 1,19 1,28 1,4 1,55 1,75 2,07 2,53 3,01 Č 0561 1,04 1,09 1,17 1,27 1,41 1,6 1,88 2,37 2,93 3,54 4,21

Tabela VII – 3. prodolènie

minil0

130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 drvo 4,79 5,56 6,38 7,26 8,2 9,19 10,24 11,35 Č 0370 3,11 3,61 4,14 4,71 5,32 5,96 6,64 7,36 8,11 8,9 9,73 10,6 11,5 Č 0461 3,53 4,1 4,7 5,35 6,04 6,77 7,55 8,36 9,22 10,12 11,06 12,04 13,07 Č 0561 4,95 5,74 6,58 7,49 8,46 9,48 10,57 11,71 12,91 14,17 15,48 16,86 18,29

VIII. MOMENTI NA INERCIJA I OTPORNI MOMENTI


2

Tabela VIII–1.

Moment na inercija Otporen moment Stati~ki moment Presek Povr{ina

cm2 Ix cm4 Iy cm4 Wx cm3 Wy cm3 Sx cm3 Sy cm3

x

y

h

b

hb

12

3hb

12

3bh

6

2hb

6

2bh

8

2hb

8

2bh

x

y

a

a

2a

12

4a

12

4a

6

3a

6

3a

8

3a

8

3a


2

x

y

a

a

2a

12

4a

12

4a

1223a

1223a

1223a

1223a

x

y

h

b

2hb

36

3hb

48

3bh

24

2hb

24

2bh

2

814 hb

24

2bh

x

y

a

a

432a

9634a

9634a

32

3a

4833a

27

3a

4833a

3

a

a

x

y

2332a

16354a

16354a

3

85 a

16353a

2

3a

723213a

x

y

R

2R

4

4 R

4

4 R

4

3 R

4

3 R

3

32 R

3

32 R


4

x

y

R

r

22 rR

44

4rR

44

4rR

44

4rR

R

44

4rR

R

33

32 rR

33

32 rR

x

y

R

d

R2

3R

3R

R

R

22R

22R

5

x

y

R

2R

98

84R

84 R

31910 R,

83 R

35020 R,

3

3R

x

y

h

b

H

B

hbHB

12

33 hbHB

12

33 bhBH

6

33 hbHB

6

33 bhBH

8

22 hbHB

8

22 bhBH

IX. TABLICI ZA PROFILI


2

êli~ni I nosa~i (profili) JUS C.B3.131-1962 kade {to se h visina na profil b {irina na pojas d debelina na rebro t debelina na pojas A povr{ina na popre~en presek g specifi~na teìna Ix, Iy momenti na inercija Wx, Wy otporen moment

h

b

d

b/4 t

x

y

Tabela IX–1. oznaka I 80 I 100 I 120 I 140 I 160 I 180 I 200 (I 220)

h= 80 100 120 140 160 180 200 220 mm b= 42 50 58 66 74 82 90 98 mm d= 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 7,5 8,1 mm t= 5,9 6,8 7,7 8,6 9,5 10,4 11,3 12,2 mm

A= 758 1060 1420 1830 2280 2790 3350 3960 mm2 g= 5,95 8,32 11,2 14,4 17,9 21,9 26,3 31,1 kg/m Ix= 77,8 171 328 573 935 1450 2140 3060 cm4 Iy= 6,3 12,2 21,5 35,2 54,7 81,3 117 162 cm4

Wx= 19,5 34,2 54,7 81,9 117 161 214 278 cm3 Wy= 3 4,88 7,41 10,7 14,8 19,8 26 33,1 cm3


2

Tabela IX–1. (prodolènie) oznaka I 240 I 260 (I 280) I 300 (I 320) I 340 (I 360) (I 380) I 400

h= 240 260 280 300 320 340 360 380 400 mm b= 106 113 119 125 131 137 143 149 155 mm d= 8,7 9,4 10,1 10,8 11,5 12,2 13 13,7 14,4 mm t= 13,1 14,1 15,2 16,2 17,3 18,3 19,5 20,5 21,6 mm

A= 4610 5340 6110 6910 7780 8680 9710 10700 11800 mm2 g= 38,2 41,9 48 54,2 61,1 68,1 76,2 84 92,6 kg/m Ix= 4250 5740 7590 9800 12510 15700 19610 24010 29210 cm4 Iy= 221 288 364 451 555 674 818 975 1160 cm4

Wx= 354 442 543 653 782 923 1090 1250 1460 cm3 Wy= 41,7 51 61,2 72,2 84,7 98,4 114 131 149 cm3

3

êli~ni [ nosa~i (profili) JUS C.B3.141-1962 kade {to se h visina na profil b {irina na pojas d debelina na rebro t debelina na pojas A povr{ina na popre~en presek g specifi~na teìna e Ix, Iy momenti na inercija Wx, Wy otporen moment

h

b

b/2

t

x

y

Tabela IX–2. oznaka [65 [80 [100 [120 [140 [160 [180 [200 ([220) [240 [260 ([280) [300

h= 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 mm b= 42 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 mm d= 5,5 6 6 7 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10 10 mm t= 7,5 8 8,5 9 10 10,5 11 11,5 12,5 13 14 15 16 mm

A= 903 1100 1350 1700 2040 2400 2800 3220 3740 4230 4830 5330 5880 mm2 g= 7,09 8,64 10,6 13,4 16 18,8 22 25,3 29,4 33,2 37,9 41,8 46,2 kg/m e= 14,2 14,5 15,5 16 17,5 18,4 19,2 20,1 21,4 22,3 23,6 25,3 27 mm Ix= 57,5 106 206 364 605 925 1350 1910 2690 3600 4820 6280 8030 cm4 Iy= 14,1 19,4 29,3 43,2 62,7 85,3 114 148 197 248 317 399 495 cm4

Wx= 17,7 26,5 41,2 60,7 86,4 116 150 191 245 300 371 448 535 cm3 Wy= 5,07 6,36 8,49 11,1 14,8 18,3 22,4 27 33,6 39,6 47,7 57,2 67,8 cm3


4

êli~ni agolni nosa~i (profili) JUS C.B3.101-1962 kade {to se A povr{ina na popre~en presek g specifi~na teìna e b {irina h visina d debelina Ix, Iy momenti na inercija I momenti na inercija Wx, Wy otporen moment W otporen moment i radius na enrcija

b d

x

y

e

b

d

e

h

d

x

y

e

b

d

e

Tabela IX–3.

oznaka 20x20x

3 25x25x

3 25x25x

4 30x30x

3 30x30x

4 30x30x

5 35x35x

4 40x40x

4 40x40x

5 45x45x

5 A= 112 142 185 174 227 278 267 308 379 430 mm2 g= 0,88 1,12 1,45 1,36 1,78 2,18 2,1 2,42 2,97 3,38 kg/m e= 6 7,3 7,6 8,4 8,9 9,2 10 11,2 11,6 12,8 mm2

Ix=Iy= 0,39 0,79 1,01 1,41 1,81 2,16 2,96 4,48 5,43 7,83 cm4 I= 0,15 0,31 0,4 0,57 0,76 0,91 1,24 1,86 2,22 3,25 cm4

Wx=Wy= 0,28 0,45 0,58 0,65 0,86 1,04 1,18 1,56 1,91 2,43 cm3 W= 0,18 0,3 0,37 0,48 0,61 0,7 0,88 1,18 1,35 1,8 cm3

i= 3,7 4,7 4,7 5,7 5,8 5,7 6,8 7,8 7,7 8,7 mm

5

Tabela IX–3. (prodolènie)

oznaka 50x50x

5 50x50x

6 55x55x

6 60x60x

6 60x60x

7 65x65x

7 70x70x

9 75x75x

8 75x75x

10 80x80x

8 A= 480 569 631 691 903 870 1190 1150 1410 1230 mm2 g= 3,77 4,47 4,95 5,42 7,09 6,83 9,34 9,03 11,1 9,66 kg/m e= 14 14,5 15,6 16,9 17,7 18,5 20,5 21,3 22,1 22,6 mm2

Ix=Iy= 11 12,8 17,3 22,8 29,1 33,4 52,6 58,9 71,4 72,3 cm4 I= 4,59 5,24 7,24 9,43 12,1 13,8 22 24,4 29,8 29,6 cm4

Wx=Wy= 3,05 3,61 4,4 5,29 6,88 7,18 10,6 11 13,5 12,6 cm3 W= 2,32 2,57 3,28 3,95 4,84 5,27 7,59 8,11 9,55 9,25 cm3

i= 9,8 9,6 10,7 11,7 11,6 12,6 13,6 14,6 14,5 15,5 mm Tabela IX–3. (prodolènie)

oznaka 80x80x

10 80x80x

12 90x90x

9 90x90x

11 100x100x

10 100x100x

12 110x110x

10 110x110x

12 120x120x

11 120x120x

13 A= 1510 1790 1550 1870 1920 2270 2120 2510 2540 2970 mm2 g= 11,9 14,1 12,2 14,7 15,1 17,8 16,6 19,7 19,9 23,3 kg/m e= 23,4 24,1 25,4 26,2 28,2 29 30,7 31,5 33,6 34,4 mm2

Ix=Iy= 87,5 102 116 138 177 207 239 280 341 394 cm4 Ih= 35,9 43 47,8 57,1 73,3 86,2 98,6 116 140 162 cm4

Wx=Wy= 15,5 18,2 18 21,6 24,7 29,2 30,1 35,7 39,5 46 cm3 Wh= 10,9 12,6 13,3 15,4 18,4 21 22,7 26,1 29,5 33,3 cm3

ih= 15,4 15,3 17,6 17,5 19,5 19,5 21,6 21,5 23,5 23,4 mm


6


oznaka 130x130x

12 130x130x

14 140x140x

14 140x140x

16 150x150x

14 150x150x

16 160x160x

15 160x160x

17 200x200x

16 200x200x

18 A= 3000 3470 3720 4220 4030 4570 4610 5180 6180 6910 mm2 g= 23,6 27,2 29,2 33,2 31,6 35,9 36,2 40,7 48,5 54,3 kg/m e= 36,4 37,2 40,2 40,9 42,1 42,9 44,9 45,7 55,2 56 mm2

Ix=Iy= 472 540 692 775 845 949 1100 1230 2340 2600 cm4 Ih= 194 223 282 318 347 391 453 506 943 1050 cm4

Wx=Wy= 50,4 58,2 69,3 78,2 78,2 88,7 95,6 108 162 181 cm3 Wh= 37,7 42,4 49,7 55 58,3 64,4 71,3 78,3 121 133 cm3

ih= 25,4 25,3 27,5 27,4 29,4 29,3 31,4 31,3 39,1 39 mm Tabela IX–3. (prodolènie)

oznaka 20x30x

3 20x30x

4 20x40x

3 30x45x

4 40x60x

5 40x60x

6 40x60x

7 40x80x

6 50x65x

5 50x65x

7 A= 142 185 172 287 479 568 655 689 554 760 mm2 g= 1,11 1,45 1,35 2,25 3,76 4,46 5,14 5,41 4,35 5,97 kg/m

ex= 9,9 10,3 14,3 14,8 19,6 20 20,4 28,5 19,9 20,7 mm2 ey= 5 5,4 4,4 7,4 9,7 10,1 10,5 8,8 12,5 13,3 mm2 Ix= 1,25 1,59 2,79 5,78 17,2 20,1 23 44,9 23,1 31 cm4 Iy= 0,44 0,55 0,47 2,05 6,11 7,12 8,07 7,59 11,9 15,8 cm4

Wx= 0,62 0,81 1,08 1,91 4,25 5,03 5,79 8,73 5,11 6,99 cm3 Wy= 0,29 0,38 0,3 0,91 2,02 2,38 2,74 2,44 3,18 4,31 cm3

7


50x100x

10 55x75x

7 60x90x

6 60x90x

8 65x80x

8 65x100x

9 65x100x

11 65x130x

10 75x130x

8 80x120x

8 A= 1410 866 869 1140 1100 1420 1710 1860 1590 1550 mm2 g= 11,1 6,8 6,82 8,96 8,66 11,1 13,4 14,6 12,5 12,2 kg/m ex= 36,7 24 28,9 29,7 24,7 33,2 34 46,5 43,6 38,3 mm2 ey= 12 14,1 14,1 14,9 17,3 15,9 16,7 14,5 16,5 18,7 mm2 Ix= 141 47,9 71,7 92,5 68,1 141 167 321 276 226 cm4 Iy= 23,4 21,8 25,8 33 40,1 46,7 55,1 54,2 68,3 80,8 cm4

Wx= 22,2 9,39 11,7 15,4 12,3 21 25,3 38,4 31,9 27,6 cm3 Wy= 6,17 5,32 5,61 7,31 8,41 9,52 11,4 10,7 11,7 13,2 cm3


oznaka 80x120x

10 80x120x

12 90x130x

10 90x130x

12 100x150x

10 100x150x

12 100x200x

12 100x200x

14 A= 1910 2270 2120 2510 2420 2870 3480 4030 mm2 g= 15 17,8 16,6 19,7 19 22,6 27,3 31,6 kg/m

ex= 39,2 40 41,5 42,4 48 48,9 70,3 71,2 mm2 ey= 19,5 20,3 21,8 22,6 23,4 24,2 21 21,8 mm2 Ix= 276 323 358 420 552 650 1440 1650 cm4 Iy= 98,1 114 141 165 198 232 247 282 cm4

Wx= 34,1 40,4 40,5 48 54,1 64,2 111 128 cm3 Wy= 16,2 19,1 20,6 24,4 25,8 30,6 31,3 36,1 cm3

LITERATURA


2

3

[1] Trajkovski D., Jakost na materijalite II, Univerzitet Sv. Kliment Ohridski, Bitola, 1998.

[2] Cukic R., Ruzic D., Otpornost materijala, Masinski fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 1992.

[3] Duli} B., Statika i jakost na materijalite I, Prosvetno delo, Skopje, 1978.

[4] Duli} B., Statika i jakost na materijalite II, Prosvetno delo, Skopje, 1978.

[5] Ra{kovi} D., Tablice iz otpornosti materijala, Gra–evinska kwiga, Beograd, 1976.

[6] Banic M., Jojic K., Nedeljkovic V., Radkovic D., Ruzic D., Cukic R., Prirucnik iz otpornosti materijala, Masinski fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 1978.

[7] Targ S. M., Teorijska mehanika, Gradjevinska knjiga, Beograd, 1979. [8] Vujosevic L., Duric S., Zbirka resenih zadataka iz dinamike, Naucna

knjiga, Beograd, 1979. [9] Raskovic D., Zbirka zadataka iz mehanike III Teorija oscilacija, Zavod

za izdavanje udzbenika SRSrbije, Beograd, 1969. [10] Raskovic D., Zbirka zadataka iz mehanike II, Zavod za izdavanje

udzbenika SRSrbije, Beograd, 1967. [11] Todorovska - Axievska Q., Zbirka zada~i po teorija na

oscilaciite, Univerzitet Sv. Kiril i Metodij, Skopje, 1983. [12] Djuric S., Dinamika i teorija oscilacija, Masinski fakultet Univerziteta u

Beogradu, Beograd, 1976. [13] Mescerski I. V., Zbirka zadataka iz teorijske mehanike, Gradjevinska

knjiga, Beograd, 1979. [14] Andonovi} B., Mehanika I, Univerzitet Sv. Kliment Ohridski,

Bitola, 1996. [15] Andonovi} B., Zbirka re{eni zada~i od mehanika I, Univerzitet

Sv. Kliment Ohridski, Bitola, 1996. [16] Josifovic M., Izbrana poglavja iz elasticnosti i plasticnosti, Masinski

fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 1972. [17] Vilos E., Tehnicka mehanika, Visa tehnicka skola, Bitola, 1975. [18] Popovic D., Mikicic D., Mehanika Reseni zadaci, Naucna knjiga,

Beograd, 1985. [19] Tanevska-Josifovska R., Grnarova-Vetexakovska E., Zbirka

zada~i od kinematika, Univerzitet Sv. Kiril i Metodij, Skopje, 1977.

[20] Ivanovski H., Teorija na oscilaciite, Univerzitet Sv. Kiril i Metodij, Skopje, 1983.

[21] Naerlovic-Veljkovic N., Mehanika II, Naucna knjiga, Beograd, 1980. [22] Djuric S., Zbirka zadataka iz kinematike, Naucna knjiga, Beograd,

1980. [23] Novacki V., Dinamika elasticnih sistema, Gradjevinska knjiga, Beograd,

1966. [24] Brcic V., Dinamika konstrukcija, Gradjevinska knjiga, Beograd, 1981. [25] Vilos E., Jakost na materijalite, Visa tehnicka skola, Bitola, 1976. [26] Vilos E., Jakost na materijalite II so dinami~ka jakost,

Univerzitet vo Bitola, Bitola, 1981. [27] Axiev T., Ma{inski materijali kniga 2, Ating, Skopje, 1996.


4

[28] Jankovic D., Ivanovic G., Todorovic J., Rakicevic B., Teorija kretanja motornih vozila, Univerzitet u Beogradu, Mašinski fakultet Beograd, 2001.

Documents

Zbirka Zadaci Od Jakost Na Materijalite II