Zavádění inovativních metod a výukových materiálůdo přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově

06_3_ Struktura a vlastnosti plynu Ing. Jakub Ulmann

Obsažené učivo je teoretickým základem principu všech tepelných strojů.

3 Struktura a vlastnosti plynu

3.1 Ideální plyn

3.2 Rozdělení molekul plynu podle rychlostí

3.3 Střední kvadratická rychlost a teplota plynu

3.4 Tlak plynu

3.5 Stavová rovnice ideálního plynu

3.6 Jednoduché děje s ideálním plynem

3.7 Práce vykonaná plynem

3.8 Kruhový děj a druhý termodynamický zákon

3.9 Tepelné motory

3.1 Ideální plyn

Plyn má ze všech skupenství nejjednodušší strukturu. Molekuly plynu jsou jednoatomové nebo víceatomové.

Ideální plyn je zjednodušený model skutečného plynu. Neexistuje, ale dobře se nám s tímto modelem počítá.

Má tyto vlastnosti:1. Rozměry molekul jsou ve srovnání se střední vzdáleností

molekul zanedbatelně malé. Mají jednoduchý tvar koule.

2. Molekuly na sebe navzájem nepůsobí přitažlivými ani odpudivými silami.

3. Vzájemné srážky molekul a srážky molekul se stěnami nádoby jsou dokonale pružné.

Př. 1: Jak se pohybují molekuly mezi srážkami?

Př. 2: Co můžeme říct o vnitřní energii jestliže molekuly na sebe navzájem nepůsobí přitažlivými ani odpudivými silami.

Př. 3: Rozhodni, za jakých podmínek se vlastnosti reálných plynů neshodují s vlastnostmi ideálního plynu.

3.2 Rozdělení molekul plynu podle rychlostí

Při vyšší teplotě je rychlost molekul větší.

Rychlosti jednotlivých molekul jsou však různé a v důsledku neustálých srážek se pořád mění.

Vzhledem k obrovskému počtu molekul vyjadřujeme tyto rychlosti pomocí statistických údajů.

Př. 4: Pokuste se graficky vyjádřit, jak bude vypadat sloupcový graf získaných hodnot.

Pro lepší pochopení zpracujeme statisticky výšku velkého počtu osob. Určíme si intervaly a budeme počítat, kolik osob do každého intervalu patří.

Poté budeme počty v daných intervalech vztahovat k celkovému počtu (poměrové či procentuální vyjádření).

Příklad statistického rozdělení - osoby podle výškyN – počet osob v daném rozmezí, N – celkový počet osob

(statisticky malý počet osob)

Velikost rychlostí molekul lze zjistit Lammertovým pokusem.

Nastavujeme rychlost otáčení příp. vzdálenost d a úhel …Zjistíme poměrově rozložení rychlostí v určitých intervalech.

Např. od 0 do 100 m.s-1, od 100 do 200 m.s-1…

Rychlosti molekul jsou překvapivě vysoké, jedná se však o chaotický pohyb molekul všemi směry.

http://www.vascak.cz/data/android/physicsatschool/template.php?s=mf_rozdeleni_rychlosti&l=cz

Získané údaje můžeme graficky vyjádřit a zpracovat pomocí metod matematické statistiky – Gaussova křivka.

Rozdělení molekul podle rychlosti pro kyslík o teplotě 300 K

vp nejpravděpodobnější rychlost

vs průměrná rychlost

vk střední kvadratická rychlost

1

P 395 m.sv =

1445 m.sv=

1

k 483 m.sv =

Střední kvadratická rychlost

Střední kvadratickou rychlost vypočítáme:

Př. 1: Plyn je tvořen třemi molekulami o rychlostech 200, 300 a 400 m.s-1. Urči: a) průměrnou rychlost molekul,b) střední kvadratickou rychlost molekul.

N

vvvv n

k

22

2

2

12 ...

Celkovou kinetickou energii vypočítanou z jednotlivých molekul vyjádříme:

Vypočítej celkovou kinetickou energie těchto tří molekul s průměrnou rychlostí a se střední kvadratickou rychlostí vypočítanou v a) a b).

Které nahrazení lépe odpovídá skutečnosti?

3.3 Střední kvadratická rychlost a teplota plynu

Celková kinetická energie molekul je součet kinetických energií všech molekul zvlášť . Toto je nereálné vyčíslovat.

Proto všem N molekulám přiřazujeme tzv. střední kvadratickou rychlost vk tak, aby celková kinetická energie byla stejná jako součet všech kinetických energií molekul

se skutečnými rychlostmi.

Střední kinetická energie jedné molekuly:kde m0 je hmotnost jedné molekuly

Jak vyjádříme kinetickou energii všech molekul?

2

002

1kk vmE

2

02

1kk vmNE

Stále neumíme nic vypočítat. Museli bychom zjišťovat rychlosti molekul…

J. C. Maxwell v roce 1866 zdokonalil kinetickou teorii plynů, která také vyjadřuje statistické rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu – viz předchozí grafy.

Jako první také vysvětlil, proč Měsíc nemůže mít vlastní atmosféru.

Střední rychlost molekul je vyšší než úniková rychlost na povrchu Měsíce, takže veškerá atmosféra by se rychle rozptýlila do vesmíru.

J. C. Maxwell teoreticky dokázal závislost mezi kinetickou energií jedné molekuly a termodynamickou teplotou.

kde k je Boltzmannova konstanta, k = 1,38.10-23 J.K-1

Tato závislost platí pro všechny plyny!

Podle teploty můžeme zjistit střední kvadratickou rychlost!

kTvmE kk2

3

2

1 2

00

Př. 1: Rozhodni zda budou mít při stejné teplotě všechny plyny také stejnou střední kvadratickou rychlost.

Př. 2: Jaký je poměr středních kvadratických rychlostí molekul vodíku a kyslíku (dvouatomové molekuly) při stejných teplotách?

Př. 3: Odvoď z uvedené rovnosti vztah pro střední kvadratickou rychlost v závislosti na teplotě.

Př. 4: Urči střední kvadratickou rychlost molekul O2 při teplotě 0°C. mu = 1,66 10–27 kg

Př. 5: Urči střední kvadratickou rychlost molekul H2 při teplotě 0°C.

3.4 Tlak ideálního plynu

Současné nárazy molekul na stěnu se projevují tlakovou

silou. Tlak plynu je pak dán vztahem:

Jednotka: Pa

Tlak plynu je vyvolaný nárazy molekul na stěny nádoby.Není z důvodu neuspořádaného pohybu molekul konstantní - kolísá kolem střední hodnoty ps .

Tento jev nazýváme fluktuace tlaku.

p

t

ps

S

Fp

Vzhledem k velké stlačitelnosti plynu může mít tlak plynu velmi rozdílné hodnoty.

Tlaková láhev na kyslík

Pro skladování a přepravu kyslíku se používají tlakové láhve vyrobené z legovaných chrom-molybdenových ocelí.

Plnicí tlak je 20 nebo 30 MPa a láhve s vodním objemem 50 litrů tedy 50 dm3 pojmou až 15 m3

kyslíku (při atmosférickém tlaku).

3.5 Stavová rovnice pro ideální plyn

Plyn, který je v rovnovážném stavu, lze charakterizovat stavovými veličinami T, p, V a hmotností plynu m nebopočtem částic N nebo látkovým množstvím n.

Rovnice, která vyjadřuje vztahy mezi těmito veličinami senazývá stavová rovnice. Lze ji vyjádřit v různých tvarech např.:

Př. 1: K čemu je dobrá stavová rovnice pro ideální plyn?

Př. 2: Ideální plyn uzavřený v nádobě o objemu 2,5 l má teplotu -13 °C. Jaký je jeho tlak, je-li v plynu 1024 molekul?

NkTpV

Mezi stavovými změnami ideálního plynu jsou důležité zejména takové změny, při kterých je hmotnost konstantní.Je-li m = konst.

Pro dva různé stavy pak platí:

3.87 Vodík má při teplotě 15 °C a tlaku 1,5 105 Pa objem 2 l. Jaký bude tlak vodíku, zmenší-li se objem na 1,5 l a teplota se zvýší na 30 °C?

.konstkNT

pV

2

22

1

11

T

Vp

T

Vp

k = 1,38.10-23 JK-1

Př. 3: Jak se změní objem balónku o objemu 4 l s počáteční teplotou 30°C a tlakem 130 kPa, když vystoupá do výšky 2000 m, kde je teplota 10 °C a kvůli poklesu okolního tlaku se sníží i tlak v balónku na 100 kPa .

Př. 4: Jak se změní objem ideálního plynu, jestliže se jeho termodynamická teplota zvětší dvakrát a jeho tlak vzroste o 25 %?

Př. 5: Sifónová bombička (retro) má objem 10 cm3 a obsahuje asi 7 g oxidu uhličitého. Vypočtěte tlak uvnitř bombičky při teplotě 20 °C na základě stavové rovnice pro ideální plyn.

3.6 Jednoduché děje s ideálním plynemJedná se o děje, při nichž je vždy jedna ze stavových veličin konstantní: izotermický (T = konst.), izochorický děj (V = konst.), izobarický (p = konst.)nebo děj probíhá bez výměny tepla: adiabatický Q = 0

3.6.1 Izotermický děj

Zákon Boylův- Mariottův

Při izotermickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je součin tlaku a objemu plynu konstantní.

.2211

2211

konstVpVp

T

Vp

T

Vp

Jednoduché děje znázorňujeme v diagramech pV, pT a VT (závislost tlaku na objemu…).

Souprava Vernier – sestrojení izotermy

Jeden stav – jeden bod. Snížíme-li objem, stoupne tlak – další bod.

Křivky se nazývají izotermy.

p

V

Př. 1: Jak poznáme, která křivka patří vyšší teplotě?

Př. 2: Znázorněte izotermy v pT diagramu a VT diagramu.

Př. 4: Vzduch ve stříkačce o objemu 20 ml a normálním tlaku jsme stlačili na 4 ml. Jaký by byl konečný tlak plynu, pokud by se teplota během stlačování neměnila? Jaký bude skutečný tlak? Proč?

Energetický rozbor

Dosadíme do 1. termodynamického zákona:

ΔU = W + Q

T = konst. ΔU = 0

0 = W + Q

Při izotermickém ději zůstává vnitřní energie konstantní.Př. 3: Rozeberte pro izotermický děj situaci, kdy:a) plyn rozpíná píst, b) vnější síla stlačuje píst.

3.6.2 Izochorický dějObjem plynu V je konstantní:Např. Papinův hrnec.

Zákon Charlesův Při izochorickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je tlak plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě.

2

2

1

1

T

p

T

p

.konstT

p

Př. 1: Nakresli pV a pT diagramy izochorického děje.

Př. 2: Urči pokles tlaku v automobilové pneumatice, pokud se vnější teplota sníží z 20 °C na -15 °C. Původní tlak v pneumatice byl 2,4 atm. Jak by se teplota musela snížit, aby tlak v pneumatice klesnul pod 2 atm a pneumatika začala být podhuštěná?

Energetický rozbor

Dosadíme do 1. termodynamického zákona:

ΔU = W + Q Při izochorickém ději je V = konst. W = 0

ΔU = Q

Teplo přijaté při izochorickém ději se rovná přírůstku jeho vnitřní energie.

Při izochorickém ději se nekoná ani nespotřebovává práce.

3.6.3 Izobarický děj

Tlak plynu p je konstantní:

Zákon Gay-LussacůvPři izobarickém ději s ideálním plynem stálé hmotnostije objem plynu přímo úměrný jeho termodynamickéteplotě.

2

2

1

1

T

V

T

V

.konstT

V

Př. 1: Nakresli pV a VT diagramy izobarického děje.

Př. 2: Teplota vzduchu uzavřeného v pohyblivém pístu udržujícím stálý tlak vzrostla z 0 °C na 50 °C . Urči původní objem plynu, pokud na konci děje plyn zaujímal objem 5 litrů.

Energetický rozbor

Př. 3: Rozhodni, zda je některá z veličin vystupujících v 1. termodynamickém zákoně (U, W, Q) při izobarickém ději vždy nulová.

1. termodynamický zákon zůstává při izobarickém ději v základním tvaru.

ΔU = W + Q

Poissonova konstanta

měrná tep. kap. při ohřevu za konst. tlaku

měrná tep. kap. při ohřevu za konst. objemu

konstpVVpVp 2211

3.6.4 Adiabatický děj

Při adiabatickém ději neprobíhá tepelná výměna mezi plynem a okolím.

Q = 0

V technické praxi tento děj nastává často, neboť při rychlejším ději si nestačí soustava vyměnit s okolím teplo. Např. při pumpování se zahřeje hustilka. Kompresor ledničky stlačením zvýší teplotu média.

Poissonův zákon

v

p

c

c

v

p

c

c

Při adiabatické expanzi z A do B (rozpínání) koná práci plyn a teplota se zmenšuje. Ochlazení je pozorovatelné při vypouštění plynu z nějaké bombičky (na vaření, sifónové, hasící přístroj…)

U vznětových motorů dochází při adiabatické kompresi z B do A (zmenšování objemu) k ohřátí vzduchu. Nafta se pak po vstříknutí sama vznítí.

Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jakofunkci objemu při adiabatickém ději se nazývá adiabata.

A

B

3.7 Práce plynuRozebereme si jednoduchý pokus: Stlačíme plyn v uzavřené stříkačce. Když píst pustíme, plyn ho vrátí zpátky ⇒ plyn koná práci.

Sílu můžeme vyjádřit pomocí tlaku:

Úpravami dostaneme:

Pokud bude konstantní tlak, můžeme psát:

sFWp

S

Fp

sSpWp

VpWp

Př. 1: Nakresli pV diagram děje, při kterém se objem zvětšuje a tlak se nemění. Začátek označ 1, konec 2.Vyznač v diagramu práci, kterou plyn vykoná.

Reálné děje jsou složitější – tlak nebývá konstantní, vzorec pak nemůžeme použít.

Při rozpínání koná plyn práci, jejíž velikost odpovídá obsahu plochy pod křivkou v pV diagramu.

Př. 2: Znázorni v diagramu práci, kterou plyn vykonal.

Př. 3: Který z dějů 1 – 2 je výhodnější a proč?

Př. 4: V následujícím pV diagramu jsou nakresleny tři děje. Rozhodni, který z nich nejlépe odpovídá stlačování pístu stříkačky s ucpaným otvorem.

Pracovní diagram obecně při proměnném tlaku

Práce vykonaná plynem při zvětšení jeho objemu je v pV diagramu znázorněná obsahem plochy, která leží pod příslušným úsekem křivky p = f(V).Práci lze vypočítat pomocí vyšší matematiky nebo sečíst jednotlivé obsahy proužků.

Př. 5: Jakou práci vykoná plyn při stálém tlaku 0,15 MPa, jestliže se jeho objem zvětší o 2,0 l?

Př. 6: Jakou práci vykoná plyn, jestliže se jeho původní objem 0,2 m3 při stálém tlaku 0,5 MPa ztrojnásobí?

Př. 7: Jakou práci vykonají vnější síly, aby vrátily objem z předchozího příkladu zpět, ale za tlaku 0,2 Mpa?

Př. 8: Znázorněte předchozí dva příklady do jednoho diagramu přesně ve zvoleném měřítku.

3.8 Kruhový děj a 2. termodynamický zákon

Práce, kterou může vykonávat plyn uzavřený ve válci s pohyblivým pístem při zvětšování objemu, má omezenou velikost. Plyn totiž nemůže stále zvětšovat svůj objem.

Tepelný stroj může trvale pracovat jen tehdy, pokud se plyn vždy po ukončení expanze vrátí zpět do původního stavu.

Kruhový děj je děj, při němž je konečný stav plynu totožný s počátečním stavem.

Př. 1: Najdi v pV diagramu bod, ze kterého by bylo výhodné začít činnost motoru, který by měl vykonat maximální práci.

p

V

Př. 2: Popište nejjednodušší děj, při kterém teplem vykoná plyn práci a poté se plyn vrátí do původního stavu.

p

V

Ax

Př. 3: Vyznač práci, kterou plyn vykonal. Doplň popis jednoduchého kruhového děje.

p

V

A

D C

B

Q1

Q2

Q2

Q1

Př. 4: Doplníme příklad 8 z předchozí kapitoly na jednoduchý kruhový děj. Jaká práce se získala u tohoto kruhového děje.

(Jakou práci vykoná plyn, jestliže se jeho původní objem 0,2 m3 při stálém tlaku 0,5 MPa ztrojnásobí? Jakou práci vykonají vnější síly, aby vrátily objem z předchozího příkladu zpět, ale za tlaku 0,2 Mpa?)

Př. 3.103 Na obr. je nakreslen graf kruhového děje s ideálním plynem v diagramu p-V. Sled stavů plynu je ABCA. Určete: a) práci, kterou plyn vykoná při ději zobrazeném úsečkou AB, b) práci, kterou plyn vykoná při ději zobrazeném úsečkou CA, c) práci, kterou plyn vykoná při kruhovém ději ABCA.

Př. 5: Vyznač v obrázku kruhového děje vykonanou práci.

Nakresli do tohoto obrázku kruhový děj stejného typu (izoterma – izochora –izoterma - izochora), ale s větší vykonanou prací během jednoho cyklu. Změna objemu je dána konstrukcí stroje a nelze ji měnit.

Čím se tyto dva děje liší?

Př. 6: Doplň popis kruhového děje, který je blízký ději reálnému.AB - izotermický děj, objem stoupá plyn koná práci,dodáváme teplo.BC -CD -DA -

p

V

A

D

C

B

Q

Q

Q

Q

T1

T2

Skutečný pV diagram čtyřdobého zážehové motoru

http://www.youtube.com/watch?v=-G5TcWg0TMc&feature=PlayList&p=9C5C2CA23640D4B3&playnext=1&playnext_from=PL&index=17

Energetický rozbor. Co se stane během jednoho cyklu?

Konečný stav plynu je totožný s počátečním stavem (bod A):

Pracovní látka přijme během jednoho cyklu teplo Q1 od ohřívače a předá teplo Q2 chladiči.

Teplo, které látka během jednoho cyklu přijme:

Z 1. termodynamického zákona celková práce W, kterou vykoná pracovní látka během jednoho cyklu kruhového děje, se bude rovnat teplu Q, které přijme od okolí:

Můžeme sestavit periodicky pracující stroj,který část tepla přeměňuje na práci.

QWp

21 QQQ

0U

Účinnost kruhového děje je dána vztahem:(Práce, kterou získáme vzhledem k energii, co tam vložíme.)

Schéma tepelného motoru:

Lze odvodit vzorec pro účinnost z teploty ohřívače a teploty chladiče:

Vyšší účinnost bude, budou-li teploty hodně rozdílné.

1

2

1

21

1

1Q

Q

Q

QQ

Q

Wp

1

2

1

21 1T

T

T

TT

V roce 1824 francouzský fyzik S. Carnot dokázal, že skutečná účinnost je menší než teoretická:

Př. 1: Odhadni, co můžeme považovat u parního stroje za teplotu ohřívače a co za teplotu chladiče.

http://www.youtube.com/watch?v=yda4STR1Pe4

Vypočítej max. účinnost parního stroje lokomotivy, je-li teplota páry na vstupu 300 °C a na výstupu 100 °C.

Druhý termodynamický zákon

Není možné sestrojit periodicky pracující tepelný stroj, který by jen přijímal teplo od určitého tělesa (ohřívače)

a vykonal stejně velkou práci.

Není možné sestrojit perpetuum mobile druhého druhu.

Kdyby to šlo, brali bychom teplo např. z moře…

Potřebujeme vždy chladič. Motor stojí v cestě tepelné výměně mezi ohřívačem a chladičem.

3.9 Tepelné motory

Tepelné motory jsou stroje, které přeměňují část vnitřní energie paliva uvolněné hořením na energii mechanickou.

Dělí se na:

1. parní motory (parní stroj, parní turbína) - pracovní látkou je vodní pára, která se získává v parním kotli mimo vlastní motor.

2. spalovací motory (zážehový motor, vznětový motor, proudový motor a raketový motor) - pracovní látkou je plyn, vznikající hořením paliva uvnitř motoru.

První parní stroj schopný dílenské práce sestrojil v roce 1784 skotský mechanik James Watt.

První provozuschopná parní lokomotiva byla sestrojena v Anglii v letech 1802 – 1807. Rychlost vlaků přes 20 km/h.

Parní turbína má mimořádný význam i v současnosti.Je součástí tepelných a jaderných elektráren.

Elektrárna s parní turbínou

Proč musíme chladit? Je to vlastně plýtvání energií…Ochlazenou páru, která točila turbínou, v kondenzátoru ochlazujeme a necháváme zkapalnit. Tím jí odebíráme energii, kterou ji potom musíme znovu pracně dodávat v kotli.

K roztočení parní turbíny nestačí pouze velký tlak horké páry na jejím začátku.

Aby pára turbínu roztočila, musí přes turbínu proudit ⇒na druhé straně turbíny musí být tlak co nejmenší.

Do okruhu elektrárny se zařazuje kondenzátor (chladič), který mění páru na vodu, a tím snižuje tlak na výstupu z turbíny.

Technické řešení odpovídá teoretickým poznatkům kruhového děje.

Př. 2: Pára se v kotli zahřívá na teplotu 500 °C. V kondenzátoru je ochlazována na 50 °C . Urči maximální možnou účinnost elektrárny s parní turbínou.

Př. 3.106 Jaká je teplota chladiče parního stroje, je-li při teplotě páry 200 °C jeho účinnost 21 %?

3.110 Plyn v tepelném stroji přijal během jednoho cyklu od ohřívače teplo 5,6 MJ a odevzdal chladiči teplo 4,7 MJ. Jakou práci při tom vykonal? Jaká je účinnost tohoto stroje?

Teoretické a skutečné účinnosti dalších tepelných motorů

zážehový motor 65 % do 33 %

vznětový 73 % do 42 %

raketový 75 % 50 %

Referáty: Pomocí schéma vysvětli funkci vybraného motoru. Viz. úlohy z učebnice str. 115 a 116.

Schéma si připrav jako obrázek příp. video, které promítneš na tabuli a popíšeš.

Použitá literatura a zdroje:

[1] RNDr. Karel Bartuška, CSc., prof. RNDr. Emanuel Svoboda, CSc.: Fyzika pro gymnázia – Molekulový fyzika a termika, Prometheus, Praha 2007

[2] Doc. RNDr. Oldřich Lepil, CSc., RNDr. Milan Bednařík, CSc., doc. RNDr. Miroslava Široká, CSc.: Fyzika – Sbírka úloh pro střední školy, Prometheus, Praha 2010

[3] Mgr. Jaroslav Reichl: Klíč k fyzice, Albatros, Praha 2005

[4] Mgr. Jaroslav Reichl, www.fyzika.jreichl.com

[5] Mgr. Martin Krynický, www.realisticky.cz

[6] Česká televize, pořad Rande s Fyzikou

Autor prezentace a ilustrací:

Ing. Jakub Ulmann

Fotografie použité v prezentaci:

Na snímku 1: Ing. Jakub Ulmann

Na snímku 17:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sauerstoffflasche.jpg