Zavádění inovativních metod a výukových materiálůdo přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově

05_6_Mechanika tuhého tělesa Ing. Jakub Ulmann

6 Mechanika tuhého tělesa

6.1 Pohyb tuhého tělesa

6.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení

6.3 Skládání sil

6.4 Rozklad sil

6.5 Těžiště tuhého tělesa

6.6 Rovnovážná poloha tuhého tělesa

6.1 Pohyb tuhého tělesa

Zkoumali jsme pohyby těles, která jsme nahrazovali hmotným bodem (bod v prostoru, který má hmotnost, zanedbatelná velikost tělesa z hlediska řešeného problému).

Nyní nebudeme zanedbávat rozměry tělesa ani jeho tvar a budeme také uvažovat o jeho rotaci.

Budeme však zanedbávat deformační účinky sil.

Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění.

Rozlišujeme:

pohyb posuvný (všechny body předmětu se pohybují po stejné trajektorii, se stejnou rychlostí)

pohyb otáčivý

Celkový pohyb je pak složený z těchto dvou základních.

Př. 1: Demonstruj pomocí tužky: a) posuvný pohyb, b) otáčivý pohyb, c) otáčivý pohyb s osou otáčení

ležící mimo tužku.

Př. 2: Jaký pohyb je na obrázku?

Př. 3: Jaký pohyb koná (konají) brusný kotouč, píst ve válci motoru, disk, který při letu rotuje, dveře, kolo od auta při jízdě, Měsíc s tzv. vázanou rotací?

Př. 4: Jak by se pohyboval Měsíc bez vázané rotace?

6.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení

Př. 1: Do obrázku kolotoče (pohled shora) nakresli: a) stejně velké síly, které různě roztáčejí kolotoč, b) stejně velké síly v různých situacích, které kolotoč neroztáčejí ani nebrzdí.

Otáčivý účinek síly závisí na: • velikosti síly (větší síla má větší účinek), • vzdálenosti působiště síly od osy otáčení (ve větší vzdálenosti od osy otáčení má síla větší účinek) • směru síly

Veličina udávající otáčivý účinek síly se nazývá moment síly vzhledem k ose otáčení, značí se M.

Př. 2: Do obrázku jednoduché houpačky vyznač na obě strany po jedné síle tak, aby obě síly měly různé vzdálenosti působiště od osy otáčení a stejný moment síly. Směr sil zvol tak, aby byl jejich otáčivý účinek maximální.

Jedná se o páku a v tomto případě pro rovnováhu platí:Můžeme ověřit pomocí závaží na páce.

Př. 3: Na houpačce o délce 3 m, která je podložena ve svém středu se chce houpat dítě o hmotnosti 18 kg a jeho tatínek o hmotnosti 75 kg. Urči, jak daleko od středu si musí na houpačku sednout tatínek, pokud dítě bude sedět na konci druhé strany.

2211 rFrF

Př. 4: Nakresli do obrázku houpačky dvě síly v místě působení síly F tak, aby způsobily maximální a minimální moment ke středu otáčení.

Velikost momentu síly je určena vztahem:

kde F je velikost působící síly, r vzdálenost jejího působiště od osy otáčení a α je úhel, který svírá směr síly

s přímkou spojující její působiště s osou otáčení.

Jednotka momentu síly: 1NmMoment síly je vektorová veličina. Budeme pouze rozlišovat, zda působí po směru nebo proti směru hodinových ručiček.

sinrFM

Při řešení konstrukčních úloh se síly často rozkládají do dvou, na sebe kolmých směrů.

Tyto složky se počítají pomocí funkcí sin nebo cos.

Pokud známe složku síly kolmou na rameno páky,

použijeme základní jednoduchý vztah:

Př. 5: Urči momenty sil na obrázku. Osa je číslována v metrech.

rFM

6.3 Skládání sil

Př. 1: Najdi výslednice sil na obrázcích.

Provádíme vektorový součet:

Výslednice F je určena svou velikostí, směrem a polohou působiště.

nFFFF

...21

U tuhého tělesa působí zpravidla síly v různých místech.

Pokud nepůsobí síly ve stejném působišti, můžeme je posouvat po jejich nositelkách.

Výslednice rovnoběžných sil

Snadno určíme velikost, ale neznáme působiště.

K řešení takových příkladů nám pomůže podmínka, že výslednice musí mít stejné otáčivé účinky jako skládané síly.

Výsledný moment od výslednice musí být stejný jako součet momentů od jednotlivých sil.

F1 = 80 N

F2 = 40 N

nMMMM

...21

Př. 2: Urči momenty i výsledný moment sil na obrázku, pokud platí F1 = 60 N , F2 =20 N, r1 = 0,3 m, r2 =0,9 m.

a)

b)

Př. 3: Nahraď v těchto příkladech síly výslednicí.F1 = 60 N , F2 =20 N, r1 = 0,3 m, r2 =0,9 m. a)

b)

Př. 4: Nakresli do obrázku páky z předchozího příkladu všechny síly, které na páku působí. K silám zapiš jejich velikosti. Hmotnost páky zanedbej.

A BC

Které podmínky musí být splněny, aby tuhé těleso zůstalo v klidu (u hmotného bodu stačila podmínka nulové výslednice sil)?

Dokonale tuhé těleso zůstává v klidu tehdy, když jsou výslednice i výsledný moment

působících sil nulové.

Zapište matematicky:

Př. 5: Na vodorovnou páku o délce 1,5 m a zanedbatelné hmotnosti působí na koncích směrem kolmo dolů síly o velikostech 100 N a 200 N. Urči, ve kterém místě musí být páka podložena, aby byla v rovnováze.

Nyní budeme řešit výslednici bez podmínky rovnováhy.

Př. 6: Nahraď v tomto příkladě 2 síly výslednicí.

F1 = 80 NF2 = 40 N

d = 0,4 m

Účinek výslednice k jakémukoliv bodu musí nahradit účinek zadaných sil.

F1 = 80 NF2 = 40 N

d = 0,4 m

A

Př. 7: Na páku zanedbatelné hmotnosti působí 0,4 metru od sebe kolmo vzhůru síly F1 = 40 N a F2 = 120 N. Nakresli situaci a najdi jejich výslednici.

Př. 8: Na konce páky o délce d působí dvě rovnoběžné opačně orientované síly. Urči jejich výslednici.

F1 = 80 N

F2 = 40 N

d = 1,4 m

Př. 8: Na konce páky o délce d působí dvě rovnoběžné opačně orientované síly o stejné velikosti. Urči jejich výslednici.

F1 = 40 N

F2 = 40 N

d = 1,4 m

2.273 Najděte velikost a polohu působiště výslednice tří rovnoběžných sil, znázorněných na obr. Velikosti sil jsou F1 = 50 N, F2 = 80 N, F3 = 30 N, vzájemné vzdálenosti působišť jsou a = 0,6 m, b = 0,3 m.

2.274 Najděte velikost výslednice a polohu jejího působiště pro soustavu čtyř rovnoběžných sil, znázorněných na obr. Velikosti sil jsou F1 = 400 N, F2 = 200 N, F3 = 500 N, F4 = 300 N, vzájemné vzdálenosti působišť sil jsou a = 0,6 m, b = 0,3 m, c = 0,6 m.

6.4 Rozklad sil

Př. 1: Rozlož sílu F do vyznačených směrů.

Př. 2: Narýsuj rozklad gravitační síly tělesa do směru nakloněné roviny a do směru kolmého na tento směr.

Fg

Př. 3: Načrtněte rozklad gravitační síly do směrů lan a vypočítejte velikosti sil působící na lana, je-li hmotnost tělesa 50 kg.

90°45°

Př. 4: Načrtněte rozklad gravitační síly do směrů lan a vypočítejte velikosti sil působící na lana, je-li hmotnost tělesa 50 kg.

30°60°

Př. 5: Načrtněte rozklad gravitační síly do směrů lan a vypočítejte velikosti sil působící na lana, je-li hmotnost tělesa 50 kg.

Pozn.: písemná práce.

60°60°

6.5 Těžiště tuhého tělesa

Co je to těžiště?

Nejprve si ukážeme, jak těžiště najít, jaké má vlastnosti apod. a poté si těžiště definujeme.

U geometrických homogenních těles leží těžiště v jejich (geometrickém) středu.

Na ose souměrnosti, v průsečíků úhlopříček apod.

Př. 1: Odhadni polohu těžiště nakreslených těles. Předpokládej, že jsou homogenní.

Těžiště nemusí ležet v tělese.

Př. 2: Uveď příklad, kdy těžiště neleží ve středu válce.

Např. jeho pravá část bude z materiálu o vyšší hustotě.

Těžiště umíme najít experimentálně:

U dlouhých těles řešíme polohu těžiště pouze v jednom směru hledáním bodu, kde bude těleso v rovnováze.

Např. u běžkových lyží má poloha těžiště velký význam a nemusí ležet uprostřed.

Př. 3: Pokus se popsat postup jak najít těžiště u dvourozměrných těles.Nápověda na obrázku.

Moment gravitační síly je nenulový ⇒ těleso se otočí.

Moment gravitační síly je nulový ⇒ těleso zůstává v klidu. Svislá přímka z bodu A se nazývá těžnice.

Zavěsíme na jiném místě. Těžiště pak získáme jako průsečík min. dvou těžnic.

Těžiště zavádíme jako působiště výslednice tíhových sil působících na jednotlivé části tělesa v tíhovém poli.

Také můžeme říct, že je to bod, vůči němuž je výsledný moment působících tíhových sil od jednotlivých částí nulový.

Výsledná tíhová síla neotočí těleso.

Definice těžiště:

Těžiště tuhého tělesa je působiště gravitační (tíhové) síly působící na těleso

v homogenním tíhovém poli.

V homogenním tíhovém poli leží těžiště v hmotném středu tělesa. Hmotný střed je bod, který je pevně určen tvarem tělesa a rozložením hustoty.

Těžiště je středem tělesa z hlediska rozložení hmoty.

Pojem těžiště jako působiště tíhové síly ztrácí význam v beztížném stavu.

Poloha těžiště u člověka má velký význam – např. skok do výšky.

https://www.youtube.com/watch?v=RaGUW1d0w8g

Hmotný střed, kolem kterého obíhají kosmická tělesa na svých drahách, se nazývá barycentrum. U dvou těles stejné hmotnosti je barycentrum uprostřed spojnice jejich těžišť, u těles s výrazně rozdílnou hmotností leží barycentrum uvnitř hmotnějšího tělesa.

Např. barycentrum Země s Měsícem leží vzhledem k poměru hmotnosti obou těles na spojnici Měsíc-Země asi 1700 km pod zemským povrchem.

Př. 4: Určete polohu těžiště tělesa na obrázku.koule: r1 = 10 cm, m1 = 24 kg, r2 = 8 cm, m2 = 12 kg, tyč: d = 50 cm, m3 = 4 kg

Př. 5: Určete polohu těžiště tělesa ve tvaru činky, které se skládá z koule o hmotnosti 10 kg, tyče zanedbatelné hmotnosti a koule o hmotnosti 7 kg. Vzdálenost středu koulí je 1,5 m. V jaké vzdálenosti od středu větší koule se nachází těžiště.

6.6 Rovnovážná poloha tuhého tělesa

Existují tři druhy rovnovážných poloh:

1. stálá (stabilní) rovnovážná poloha

-při vychýlení vzrůstá potenciální energie, poté se výchylka samovolně zmenšuje a předmět se vrátí do původní polohy.

Pozn.: Velikost potenciální energie určujeme z výšky těžiště.

2. vratká (labilní) rovnovážná poloha:

- při vychýlení se potenciální energie zmenšuje, předmět se do původní polohy nevrátí.

3. volná (indiferentní) rovnovážná poloha

- při vychýlení se potenciální energie nemění, předmět se do původní polohy nevrátí.

Př. 1: Těleso je zavěšeno v bodě O. Popiš rovnovážné polohy jednotlivých poloh zavěšeného tělesa.

Rozhodujeme podle toho, zda je otočný bod pod nebo nad těžištěm.

Př. 2: Na obrázku jsou nakresleny na nakloněné rovině tři kvádry. Všechny jsou homogenní, jejich těžiště jsou tedy v jejich geometrických středech. Tření mezi podstavami kvádrů a nakloněnou rovinou je dostatečně velké, aby kvádry nesjížděly. Rozhodni, které jsou v rovnovážné poloze, a které naopak musí ihned spadnout.

Př. 3: Na obrázku je kvádr ve třech polohách. Která z těchto poloh je nejstabilnější?

Př. 2.280 Dřevěná a železná krychle mají stejné rozměry a stojí na vodorovné podložce. Která krychle má větší stabilitu?

Stabilitu tělesa určujeme podle množství práce, kterou musíme vykonat, abychom těleso přemístili

ze stálé rovnovážné polohy do polohy vratké.

12 hhgmW

Př. 2.281 Čtyřboký hranol o hmotnosti 88 kg má délku hrany čtvercové podstavy 0,2 m a výšku 0,8 m. Jakou má stabilitu (tj. jakou práci musíme vykonat, abychom jej překlopili), a) stojí-li na vodorovné podložce, b) leží-li na vodorovné podložce?

6.7 Dynamika otáčivého pohybu tuhého tělesa

1. Newtonův zákon

Těleso je v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, je-li výsledná síla působící na těleso nulová.

Analogicky pro otáčivý pohyb:Těleso je v klidu nebo v rovnoměrném otáčivém pohybu, je-li výsledný moment působící na těleso nulový.

2. Newtonův zákon

Zrychlení tělesa je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa.

Analogicky pro otáčivý pohyb:Úhlové zrychlení tělesa je přímo úměrné působícímu momentu a nepřímo úměrné momentu setrvačnosti tělesa.

Moment setrvačnosti

udává odpor k roztáčení či brzdění (míru setrvačnosti při otáčivém pohybu),

závisí na hmotnosti a rozložení látky vzhledem k ose otáčení.

značíme jej J

Moment setrvačnosti hmotného bodu o hmotnosti m vzdáleného r od osy otáčení je určen vztahem:

Ze vztahu je patrné, že čím bude látka tělesa dál od osy otáčení, tím bude mít těleso větší moment setrvačnosti.

Rozložení látky v tělese může být vzhledem k ose různé(prakticky nepoužitelný vztah).

2rmJ r

m

Základní vztah můžeme použít pro tělesa ve tvaru obruče.

Př. 1: Porovnej moment setrvačnosti ráfků s průměrem 26“ a 29“. Oba mají hmotnost 500 g. Jaká je jednotka momentu setrvačnosti?

Obecně platí:

Pokud změníme osu, bude moment setrvačnosti jiný.

Pro základní tvary těles byl odvozen celkový moment setrvačnosti sčítáním momentů jednotlivých dílků (tento matematický postup se nazývá integrace).

22

22

2

11 ... nn rmrmrmJ

Uvedené příklady: otáčející se kotouč, koule a tenká tyč (otáčející se kolem osy jdoucí jejich středem).

Př. 2: Urči moment setrvačnosti kotouče cirkulárky, jestliže má hmotnost 0,5 kg a průměr 30 cm.

Kinetická energie rotujícího tělesa

Obdobně jako vyjadřujeme kinetickou energii posuvného pohybu

můžeme vyjádřit kinetickou energii pohybu rotačního:

Př. 3: Urči kinetickou energii otáčivého pohybu kotouče cirkulárky, jestliže se otáčí s frekvencí 50 Hz a má hmotnost 0,5 kg a průměr 30 cm.

2

2

1vmEk

2

2

1JEk

Celková energie tělesa je pak dána součtem těchto energií:

22

2

1

2

1JvmEk

Př. 3: Při provádění piruety mění krasobruslaři rychlost otáčení. Jak to dělají a čím to můžeme vysvětlit.

Autor prezentace a ilustrací:

Ing. Jakub Ulmann

Fotografie použité v prezentaci:

Na snímku 1: Ing. Jakub Ulmann

Použitá literatura a zdroje:

[1] RNDr. Milan Bednařík, CSc., doc. RNDr. Miroslava Široká, CSc.: Fyzika pro gymnázia - Mechanika, Prometheus, Praha 2007

[2] Doc. RNDr. Oldřich Lepil, CSc., RNDr. Milan Bednařík, CSc., doc. RNDr. Miroslava Široká, CSc.: Fyzika – Sbírka úloh pro střední školy, Prometheus, Praha 2010

[3] Mgr. Jaroslav Reichl: Klíč k fyzice, Albatros, Praha 2005

[4] Mgr. Jaroslav Reichl, www.fyzika.jreichl.com

[5] Mgr. Martin Krynický, www.realisticky.cz