Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Wykład 6: Praca i energia
dr inż. Zbigniew Szklarski
http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
2
Energia a praca
Energia jest to wielkość skalarna, określająca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał. Np. energia kinetyczna jest związana ze stanem ruchu ciała.
Praca jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana w wyniku działania na ciało siłą. Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest dodatnia, a gdy energia jest ciału odebrana, praca jest ujemna. Praca jest równa zmianie energii.
Jednostką pracy i energii w układzie SI jest 1J.
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
3
cossFW sF
ABs
Wektor przesunięcia
F
A B
φ φ
vAvB
Wskutek wykonanej nad ciałem pracy wzrasta jego
prędkość od vA do vB czyli rośnie energia kinetyczna
AB vv
Praca stałej siły
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
4
Pracę wykonuje składowa x-owa siły F
2
2tatvs x
A
F φ
Fx
samsFW xxAB
t
vva AB
x
tvv
s AB
2
zatem
kAkBABAB
ABABAB
EEmvmvW
tvv
t
vvmW
22
2
1
2
1
2
Praca wykonana przez siłę
nad cząstką swobodną jest
równa zmianie energii
kinetycznej cząstki
2
2
1mvEk
ale vmp
m
pEk
2
2
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
5
Praca zmiennej siły
Załóżmy, że siła F zależy od położenia x czyli F(x)
Dzielimy przedział <x1, x2> na
odcinki Δx, na których można
przyjąć, że siła jest stała.
Obliczamy pracę ΔW wykonaną przez siłę stałą na odcinku Δ x
ΔW = F Δx
2
1
x
x
xFWSumując otrzymamy
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
6
Gdy Δx 0
2
1
2
1
x
x
x
x0x
FdxxFW lim
B
A
rF
dABWW ogólnym przypadku:
dtddt
dvr
rv
skoro
więc
Moc jest definiowana jako : P = dW/dt
B
A
t
t
AB tdW vF
B
A
t
t
tPdWABvF
P
2
1
x
x
xFW
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
7
k
k
k
k
Energia potencjalna – nie tylko grawitacyjna
2
1
2
1
2
2x
x
x
x
xkxdxkW
)( 1xxkF
Praca siły zależnej od położenia – siły harmonicznej
rkF
2
1
2
1
x
x
x
x
dxkxFdxdWW
22
21
2xx
kW skoro
2
2kxEEW pp
Energia potencjalna sprężystości
W – praca wykonana przez siłę sprężystości
Problem z energią potencjalną sprężystości ?
Powieszenie masy m wydłużyło sprężynę o x
Energia potencjalna rozciągniętej sprężyny:
kosztem:
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
8
2
2
1kxEs mgxE p
mgkxmgxkx 2
1
2
1 2
Warunek równowagi: mgkx ??
Stan równowagi – po wygaśnięciu drgań – uzupełnienie zasady zachowania energii: Qmgxkx 2
2
1 Ile energii traci
sprężyna - połowę !!
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
9
Energia potencjalna
Aby móc wprowadzić pojęcie energii potencjalnej, pole sił
musi mieć określoną własność - taką, że praca wykonana w
tym polu nie może zależeć od drogi, wzdłuż której zachodzi
przemieszczenie
Takie pola i siły nazywamy zachowawczymi
Energia potencjalna Ep jest to energia związana
z konfiguracją układu ciał, działających na siebie
siłami.
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
10
Praca wykonana przez siłę
zachowawczą nie zależy od
drogi lecz zależy jedynie od
położeń punktów A i B.
WABdroga1 = WAB
droga2 =
WABdroga3
Praca wykonana przez siłę
zachowawczą nad cząstką
poruszającą się po drodze
zamkniętej jest równa zeru.
WAA = WAB + WBA = 0
Droga 1
Droga 3
Droga 2
L
0dWAA rF
•
A
•B
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
11
Przykład
Dane jest pole wektorowe o składowych Fx= Ky; Fy= Kx; Fz= 0;
gdzie K jest stałą. Sprawdzić czy to pole jest zachowawcze
obliczając pracę po konturze trójkątnym o bokach y = x; y = 0;
x = x0.
Rozwiązanie
jKxiKyF ˆˆ
A(0,0)
B(x0,x0)
C(x0,0)
B
A
C
B
A
C
rdFrdFrdFrdFW ˆˆˆˆ
jyixr ˆˆ
KxdyKydxdyFdxFrdF yx
.....
000
00
yx
xyB
A
xy
x
AB KxdyKydxrdFW
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
12
ISTOTNE SIŁY RZECZYWISTE
Siły centralne:
Siła ciężkości (siła grawitacji)
Siła oddziaływania elektrostatycznego (siła
kulombowska)
są siłami zachowawczymi
Siła tarcia NIE JEST siłą zachowawczą !
rF ˆ)(rf
rF ˆr
MmG)r(
2
rF ˆr
4π
1)r(
2
0
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
13
Jak obliczać energię potencjalną?
r
A
pp d)A(E)(E rFr
)BA(W)A(E)B(E pp
r
p d)(E rFr
Z definicji
Wartość energii potencjalnej w punkcie opisanym wektorem rjest określona z dokładnością do stałej - równej Ep(A), którą można obrać umownie.
Sens fizyczny ma jedynie różnica energii potencjalnej pomiędzy dwoma punktami.
Umowa: A leży w nieskończoności czyli Ep(∞)=0
Jak obliczać energię potencjalną grawitacji?
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
14
gF
r
r
ggr
rdrGMmrdFW
3
drrrdr
r
MmG
r
MmG
r
drGMmW r
r
g
2
0
EEEW rpgr
MmGEp
lub3
rF
r
MmGg r
r
MmGg ˆ
2F
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
15
Siła zachowawcza Energia potencjalna układ:
rF ˆr
MmG)r(
2
gF
m mgx)x(Ep
r
MmG)r(Ep masa m – masa M
rF ˆr
4π
1)r(
2
0
r
4π
1)r(E
0
p
rF ˆkr)r(
2
p kr2
1)r(E masa m – sprężyna k
masa m - Ziemia
ładunek q –ładunek Q
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
16
Związek pomiędzy siłą a energią potencjalną
pE
Przypadek jednowymiarowy
Uogólnienie na 3D
x
xp dxF)x(Edx
dEF
p
x
r
p d)(E rFr
kjiF ˆ
z
Eˆ
y
Eˆ
x
E ppp
kji ˆz
ˆy
ˆx
pEgrad
operator „nabla”
stąd ?...F
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
17
rkji
gradF
k)ˆzyˆk(x
Ep
zatem:
UWAGA! Praca wykonana nad układem przez siłę zewnętrzną
jest przeciwna do pracy wykonanej przez siły układu.
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
18
Przykład – siła sprężystości
Energia potencjalna układu masa-sprężyna dana jest wzorem:
Korzystając z zależności wyprowadzić wzór na siłę
sprężystości.
Rozwiązanie:
pEgradF
2
p kr2
1)r(E
)zyk(x2
1kr
2
1)r(E 2222
p
kxzyxk2
1
x)zy,x,(E
x
222
p
kyzyxk2
1
yE
y
222
p
kzzyxk2
1
zE
z
222
p
kjigrad ˆkzˆkyˆkxEp
rkjigradF
k)ˆzyˆk(xEp
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
19
Zasada zachowania energii
W układzie izolowanym, w którym zmiany energii pochodzą jedynie od sił zachowawczych energia kinetyczna i potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli energia mechaniczna Emech nie może ulegać zmianie.
0 = ΔEk+ ΔEp 0 = Ek2 - Ek1+ Ep2 - Ep1
Ek1+Ep1 = Ek2 + Ep2 Ek+Ep = const
0)EE(dt
dpk
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
20
Zastosowanie zasady zachowania energii dla oscylatora harmonicznego
0)EE(dt
dpk
2
vmE
2
k 2
xkE
2
p
0)( 2
xk
2
vm
dt
d 22
0dt
dxx2
2
k
dt
dvv2
2
m0 kx
dt
xdm
2
2
równanie oscylatora harmonicznego
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
21
Podsumowanie
Istnieje ścisły związek pomiędzy pracą a energią
O energii potencjalnej układu można mówić tylko dla sił zachowawczych
Zasada zachowania energii mechanicznej pozwala rozwiązywać zagadnienia, które są trudne lub niemożliwe do rozwiązania na gruncie zasad dynamiki
Całkowita energia jest wielkością stałą. Energia może być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być wytwarzana ani niszczona
W = ΔEmech+ ΔEterm +ΔEwew
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
22
Energia relatywistyczna
Lukrecjusz (99 p.n.e.-55 p.n.e.) „De Rerum Natura” –„Rzeczy nie mogą powstawać z niczego, a gdy zostały stworzone, nie mogą zamienić się w nicość” – pierwsze sformułowanie ZASADY ZACHOWANIA MATERII.
Lavoisier (1743-1794) zasada zachowania masy
Einstein (1915r) „Teoria względności połączyła w jedną zasadę: zasadę zachowania masy i zasadę zachowania energii”.
Masa relatywistyczna
2/120
2
2
0 )1(
1
m
c
v
mm
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
23
m0 m zatem energia kinetyczna:
dla małych prędkości, gdy = v/c <<1
Zasada równoważności masy i energii:
Każda ilość dostarczonej energii
powoduje wzrost masy ciała.
Przykład:
powstawanie deuteronu (jądra deuteru)
mp = 1,00731 u
mn = 1,00867 u
md = 2,01360 u
20
2
1vmEk 22
02
02 cmcmmcmmcEk
20
2
1vmEk
2c
Em
Hnp 21
10
11
Δm = 0,00238 u E = 2,225·106 eV
22.03.2018 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka
24
Taka energia wyzwala się jako kwant - energia wiązania.
Energia całkowita = en. spoczynkowa + en. kinetyczna
stąd
Energia a pęd
nierelatywistycznie:
relatywistycznie
stąd
kEcmcm 20
20
120 cmEk
HRW, t4
02 2 mEp k
20
222 cmEEcp kk
220
22 cmcpE
E = 2,225·106 eV