Liceo Comercial B – 22 Prof. Sergio Moraga Arcil

Depto. De Matemáticas

COMPETENCIAS: - Desarrollo del pensamiento.

Objetivo: - Expresar números complejos en sus diferentes formas - Determinar las potencias de i

-Operar con números reales y complejos utilizando sus propiedades.Instrucciones:

- Lee la guía y analiza los contenidos, luego desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.

Estas serán revisadas al regreso de clases. Cualquier consulta al correo pconejeros123 @gmail.com .

Números Complejos

Noción de número complejo.

   En el Cálculo nos encontramos que ecuaciones como:  x² + 4 = 0, no tienen solución en los dominios de R (conjunto de números reales).  Un modo de superar esta limitación es definir un super-conjunto C que englobe al conjunto R, pero que abarque también a números más generales, los llamados números complejos, que puedan ser soluciones de ecuaciones como la de arriba.

Unidad imaginaria: Se define unidad imaginaria, representada por i, como aquel 'número' de tal que:  i² = -1,  o también expresado

i= y se designa por la letra i.

   De esta manera la ecuación  x² + 4 = 0, se solucionaría así:

1

Guía de Números Complejos III Nivel

Nombre: ……………………………………………………………………………………………………………… Curso:

Números imaginarios: Un número imaginario se denota por bi, donde :b es un número real, e i es la unidad imaginaria. Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

Potencias de la unidad imaginaria

i 0 = 1 i 1 = i i 2 = −1 i 3 = −i i 4 = 1  

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Ejemplo:

Determinar el valor de i 22 .

Solución:

Debemos dividir el exponente 22 por cuatro

22 : 4 = 5

2

i22 = utilizando las potencias, podemos escribir como (i4 )5 ∙ i2 ya que sabemos que i 4 es igual a 1 y 4• 5 es igual 20, nos sobraron 2 de la división escribimos i2 reemplazando nos queda 15∙ i2 que es igual a 1 • i2 igual a i2 que vale -1. Matematicamente seria:

2

I22 = (i4 )5 ∙ i2 = 15∙ i2 = 1 ∙ i2 = i2 = - 1

FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO

* Forma Binómica: z = 2 + 3 i

*Forma Cartesiana: z = ( 2 ; 3 )

Números complejos en forma binómica

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejos Z = a + bi y - Z = −a − bi se llaman opuestos.(la parte real y la parte imaginaria son opuestas).

Los números complejos z = a + bi y Z = a − bi se llaman conjugados.( la parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta).

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Ejercicios:

I.- Completar la siguiente tabla:

Número ComplejoZ

Parte RealRe (z)

Parte ImaginariaIm(z)

4

5 + 3 i2 8

– 4 2/31 –3

2 – √3 i5 i

0 44 00 0

II.- Calcular las siguientes potencias de i:

1) i0= 2) i1=

3) i2= 4) i3=

5) i4= 6) i5=

7) i6= 8) i7=

9) i127= 10) i94=

11) i44= 12) i48 =

13) i242= 14) i15 =

15) i69= 16) i243 =

OPERATORIA CON NUMEROS COMPLEJOS.

ADICION DE NUMEROS COMPLEJOS :

Dados dos números complejos z1 = (a , b) y z2 = (c , d) , se define la adición en C como : z1 + z2= (a + c , b + d)

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se suman la parte con la parte real y los imaginarios con los imaginarios.

Ejemplos : Sumar los complejos dados en forma cartesiana y expresar el resultado en forma biónica.Solución: 1) (4 , -7) + (3 , 1) debemos sumar la parte real con la real y la imaginaria con la imaginaria de la siguiente forma: parte real 4 + 3 = 7

parte imaginaria -7 + 1 = - 6 (aplicando regla de los signos de la adición) el resultado es (7; - 6) matemáticamente

(4 , -7) + (3 , 1) = (4 + 3 , -7 + 1) = (7 , -6) = 7 – 6i

SUSTRACCIÓN DE NUMEROS COMPLEJOS :

Dados dos números complejos z1 = (a , b) y z2 = (c , d) , se define la Sustracción en C como :

z1 - z2= (a - c , b - d)

La diferencia de números complejos  se realiza restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

Para la resta entre números complejos se debe recordar que :

( a + b i) − (c + d i) = (a − c) + (b − d) i

(a + b i) − (c + d i) = (a − c) + (b − d) i

Ejemplos:

Restar los complejos : 6

1) ( 2 + 3 i ) – ( 1 + 5 i ) debemos restarla parte real con la real y la imaginaria con la imaginaria de la siguiente forma: parte real 2-1 que es 1, parte imaginaria 3 –5 que

es -2(regla de los signos adición) el resultado es (1; -2) matemáticamente es

( 2 + 3 i ) – ( 1 + 5 i ) = ( 2 – 1 ) + ( 3 –5)i = 1 - 2 i

2) ( 5 + 2  i) − (4 − 2 i  ) = (5 − 4) + (2 –(- 2)) i  =1 + (2 +2)i = 1 + 4i

MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS .

Dados los números complejos z1 = (a , b) y z2 = (c , d) se define la multiplicación entre ellos como :

Ejemplos :

1) (5 ,3)⋅(−2,4 )=(5⋅(−2)−3⋅4 ; 5⋅4+3⋅(−2 ))

= (-10 - 12 ; 20 - 6)

= (-22 ; 14)

DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS.

Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador y se realizan las operaciones correspondientes

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Se define paraz = (a , b) y w = (c , d) la división entre ellos , como :

a+bic+di= a+bic+di

∙ c−dic−di = a ∙ c−a ∙di+c ∙bi−bi ∙ dicd

¿ = ac−adi+cbi−bd i2

c2−d2

Ejemplo:

1) 2+3 i1−5 i =

2+3 i1−5 i

. 1+5 i1+5 i =

2+10i+3 i+15i ²1²−(5 i) ² =

−13+13 i1+25 =

−1326 +

13i26 =

−12

+ 12i

2)

Ejercicios:

I.- Determinar el valor de las potencias de i:

A) i0= B) i1= C) i2=

D) i4= F) i45= G) i6=

H) i97= I) i 37 = J) i 121 =

II.- Resuelve las siguientes sumas o restas de números complejos:

1) (3+6 i )+(8−i )=

2) (4+3 i )−(3+7 i )=

3) (14+11i )−13i=

8

4) ( 10 + 3 i ) + ( 8 + 2 i ) =

5) ( 7 + 5 i ) – ( 3 – 4 i )=

6) ( 1 + ½ i ) + ( 3 – 3/2 i ) =

III.- Resuelve los siguientes productos de números complejos:

1) (2+5 i )⋅(−3+i )= 2) (4+i )⋅(7−i )=

3) (7 i )⋅(3+6 i )=

IV.- Multiplicación y División de Números Complejos:

1) ( 10 + 2 i ) . ( 3 + 15 i ) = 2) ( – 5 + 2 i ) . ( 5 + 2 i ) =

3) ( – 1 + i ) . ( – 1 – i ) = 4) (√2+√3 i) . (√3+√2 i ) =

5) ( – 4 + 2 i ) : ( 1 + i ) = 6) ( – 1 + i ) : ( – 1 – i ) =

7) (4 + 2 i ) : (6-i) = 8) (8+2 i )÷( 4+2 i )=

9) (√2+√3 i) : ( √2−√3 i ) = 10) ( – 3 + 4 i ) . ( 3 + 4 i ) =

11) (3+2 i ) / (4+3i )= 12) (−6+2i )÷ (−3+2i )=

13) 3 i÷(5+4 i )= 14) (7 +2i) •(11 – 3i)

V.- Dados los números complejos siguiente:

z1=3−3 i z2=−4+4 √3 i z3=

12−3 i

1) Realiza las siguientes operaciones indicadas

a) z1+z2 b) z1− z2 c)z1 · z2

9

d)

z1z2 e) z1+z3 f) z1 · z3+ z2

VI.- Determina el valor de las siguientes expresiones

1) (−7+5 i)−(3+10i )= 2 ). (5+7 i )(−3+8i ) =

3 ) (12 −2i)⋅(14

+4 i) = 4 ). (√7−√5 i ) : (√7+√5 i )=

VII) Dados los números complejos: z1 = 3 + 4i , z2 = -3 + i , z3 = -2i , z4 = 5 +4i

Determinar:

a) z1+ z2 = b) z2 + z4= c) z2 + z3=

d) z4 - z2= e) z1 - z2= f) z2 ∙z1=

g) z1÷z2= h) z2 ∙ z3 i) z3÷z2=

j) z1 - z4= k) z4 -z1=

Fecha de envió parte I; II y III segunda se mana de abril.

Fecha de envió parte IV; V; VI y VII cuarta se mana de abril.

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