NÚMEROS COMPLEJOS

INTRODUCCION: A través del tiempo el hombre tuvo que resolver ecuaciones, fruto del desarrollo de otras ciencias y para ella fue necesario diseñar nuevos conjuntos numéricos tales como los enteros, racionales, irracionales, reales, complejos, etc.

Leopoldo Kronecker describió en el siglo XIX la evolución larga y gradual de la comprensión del sistema de número por el hombre.Sabemos por ejemplo que cualquier número real al elevarlo al cuadrado será positivo o cero siempre. En cambio un número imaginario al ser elevado al cuadrado no tiene necesariamente que ser positivo y de ahí que estos nuevos números cumplirán nuevas propiedades, lo que nos ayudara a resolver problemas de ecuaciones más complicadas.

GEROLAMO CARDANO (1501 – 1576)Gerolamo Cardano es uno de los personajes más curiosos en la historia de las matemáticas. Nació en Paris, Italia; fue el médico más famoso de su época, fue astrólogo de reyes, príncipes y papas (estuvo encarcelado por haber publicado un horóscopo de Jesús), fue también jugador empedernido y en sus tiempo libre, se dedico todos los aspectos de las ciencias, y en particular, a las matemáticas. Fue un escritor muy prolífico: escribió libros de medicina, astronomía, física y matemáticas; de sus 21 libros de matemáticas, dos se hicieron famosos: uno es su Liber de Ludo Alene (Libro de los juegos de azar), un manual para jugadores que inicio el estudio científico de las probabilidades, y el otro es Arz Magna (Arte Mayor), “la obra cumbre del álgebra clásica”, donde explica las reglas para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, atribuyendo el descubrimiento del método su discípulo, Ludovico Ferrari; en esa obra menciona a las raíces negativas (las llamaba “falsas”) y las imaginarias (las llamaba “ficticias”).

Veamos un ejemplo de su trabajo: Cardano fue el primero en operar con raíces cuadradas de números negativos; trataba de resolver el siguiente problema que se discutía entre las matemáticas de la época:

“Dividir el número 10 en dos partes, de tal forma que una de las partes, multiplicada por la otra, de 40”

Demostrando su espíritu aventurero, Cardano escribió: “ésto es claramente imposible, pero

probemos”, y encontró los dos números: 5+√−15 Y 5−√−15 cuya suma es 10 y cuyo producto es 40; pero también concluyó que trabajar con estas cantidades sería “tan alambicado como inútil”.

El primer matemático que utilizo el símbolo i para √−1 fue Leonard Euler en 1748.

El esoterismo de éstos números “imaginarios” no desapareció hasta que Casper Wessel, un agrimensor noruego, en 1798, Jean Robert Argand, un contable francés, 1806 y Kar Lf, Gauss, un matemático profesional alemán, en 1813, encontraron independientemente, una interpretación geométrica para dichos números.

NÚMEROS COMPLEJOS

DEFINICION (según Gauss):Un número complejo es aquel par de la forma:

Z = (a ; b) , a R b R

Ejemplo:

Z = (3 ; -4)

Re(Z )=3Im (Z )=−4

W = (1 ; √−2 ) C R

Además:

C = {(a ; b) / a R b R}

Re (Z)(PARTE REAL)

Im (Z)(PARTE IMAGINARIA)

REPRESENTACION GEOMÉTRICA:

Sea: Z = (a ; b) , a > 0 b < 0

RADIO VECTO R

POLO

AFIJO

a

b

Im

|Z|

Re

A este gráfico se le conoce como “PLANO COMPLEJO o PLANO DE GAUSS”.Donde: |Z| es el moduelo de Z

|Z|=√a2+b2

Ejemplos:Z=1−i→|Z|=√12+(−1 )2=√2

Z=3 i →|Z|=3Z=−5 →|Z|=5

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS

Sea Z = (a , b) y W = (c ; d)

⇒Z=W⇔a=c∧b=d

Ejemplo: Si

Z=W y Z=(6x− y ;14 )

W=(7 ; x−x )

¿ x + y ?

Solución: Igualando ambos números complejos, obtenemos:

6 x− y=7∧x−x=14

=2−2

⏟⇓ x=2

6 (2 )− y=7y=5

x + y = 7

OPERACIONES EN C:

Sean Z = (a ; b) W = (c ; d)

1) ADICIÓN

Z + W = (a +c ; b + d) .

2) MULTIPLICACION

Z . W = (ac – bc ; ad + bc)

Ejemplo: Z = (2 ; -1) W = (3 ; 4)

Entonces: Z + W = (5 ; 3)Z . W = (10 ; 5)

Z = (1 ; 2) W = (5 ; 6)

Z + W = (6 ; 8) Z . W = (-7 ; 16)

CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS

Sea: Z = (a ; b)

1) COMPLEJO REAL:

(a ; b)

(c ; d)

Forma practica

Cuando b=0

. Es decir:

Z=( a ; 0 ) a R

Ejemplo:(1 ; 0) < > 1

Complejo (0 ; 0) < > 0Nulo

Representándolos en el plano complejo:

-1 0 1 2

(-1;0) (0;0) (1;0) (2;0) Re

Im

* (1 ; 0) + (2 ; 0) = (3 ; 0) < > 3* (2 ; 0) (3 ; 0) = (6 ; 0 ; 0 + 0) = (6 ; 0) < > 6

2) COMPLEJO IMAGINARIO PURO:

Cuandoa=0∧b≠0

Es decir:

Z=(0 ; b ) b R – {0}

Ejemplo: (0 ; √2 )Representación en el plano complejo:

Re

Im(0 ; 2)

(0 ; 1)

(0 ; -1)(0 ; -2)

)2;0(

3) COMPLEJO IMAGINARIO:

Cuando a≠0∧b≠0

Z=( a ; b )Ejemplo: Z = (2 ; 4) ; W = ( ; e)

GRAFICAMENTE:

C. REAL

C. IM AG INARIO PURO

COMPLEJOS

IMAG INARIOS

SEGÚN EULER

x2+1=0x2=−1x=√−1

CANTIDADES IMAGINARIAS:Son aquellos números que resultan de extraer una raíz de índice par a un número real negativo.

Así por ejemplo: √−1 ; √−2 ; 4√−5 ; 2 n√−16 , donde n N. de todos estos, el más

importante es √−1 ; al cual denominaremos unidad imaginaria, cuya denotación universal es:

i=√−1UNIDAD IMAGINARIA:

El número complejo (0 ; 1) es la unidad imaginaria; tiene la particular notación de: i = (0 ; 1)

TEOREMA: i2=−1 ; i=(0 ; 1)

Prueba: i2 = (0 ; 1) (0 ; 1) = (0 – 1 ; 0 + 0) = (-1 ; 0) = -1

i2 = -1

TEOREMA:∀ y∈R :(0 ; y )= yi

Prueba: yi = (y ; 0) (0 ; 1) = (0 – 0 ; y + 0) = (0 ; y) (0 ; y) = yi

Aplicaciones: √−16=√16 (−1 )=√16√−1=4 i

√−5=√5(−1)=√5 √−1=√5 i

FORMA BINOMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Z=a+bia, b R ; i = √−1

Demostración:

Z=( a ; b )=(a ; 0 )+(0 ; b )=a(1 ; 0)⏟

1

+b (0 ; 1 )⏟i

Z=a+biPOTENCIAS ENTERAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

Estudiaremos el comportamiento del número in; n Z.

i1 = i i5 = i4 . i = i i9 = i8 . i = i

i2 = -1i3 = i2 . 1 = -ii4 = i2 . i2 = (-1) (-1) = 1

i6 = i4 . i2 = -1i7 = i4 . i3 = -ii8 = i4 . i4 = 1

i10 = i8 . i3 = -ii11 = i8 . i3 =-ii12 = i8 . i4 = 1

Observamos que las potencias enteras de i se repiten cada cuatro veces y solo toman uno de los cuatro valores: i ; -1 ; -i ; 1; esto merece una especial atención.

Podemos deducir lo siguiente:

i40

=1 ; i40+1 =i ; i4

0+ 2=−1 ; i4

0+3 =−i

Generalizando: i±40

+k=ik ; ∀ k∈Z

Donde: 40

: MÚLTIPLO DE 4

Ejemplos:

i23=i40+3=−i

i45=i40

+1=i

i82=i40+2=−1

i522=i40

+2=−1

i1346 66=i40+2=−1

i2333 87=i40+3=−i

i2¿

=i40

=1

NOTA: 2n=4

0

, n≥2 .

i−1=1i

×i3

i3=−i i−3=1

i3×ii=i

i−2=1

i2×i

2

i2=−1 i−4=1

i4=1

i−224=1 ; i−77591=i3=−i ; i−1111=i

Por lo tanto, deducimos que: i−n=(−1)n ( in ) ; n∈NEjm:

i−15=(−1 )15( i15)=−i15=−(−i)=ii−2222=(−1)2222 (i2222 )=+i2222=i2=−1

Ejemplo: Calcular: i3682 + i1783 + i-241

Solución:Se observa que:

3682=40

+2

1783=40

+3

−241=−(40

−3 )=40

+3

⇒i3682+ i1783+i−241=i40

+2+i40+3 +i4

0+3

=i2+i3+ i3

=−1−i−i=−1−2 i

PROPIEDADES:

1) i + i2 + i3 + i4 = 0

2) i4k + i4k + 1 + i4k + 2 + i4k + 3 = 0 ; k Z

3) in + in + 1 + in + 2 + in + 3 = 0 ; n Z

Ejemplo: Calcular: ∑k=1

99

ik

Solución:

∑i=1

99

ik=i+i2+i3+i4⏟0

+. . .. .. .+i99+i100−i100⏟0

= -1

RELACIONES ENTRE NÚMEROS COMPLEJOS

1) COMPLEJO CONJUGADO (Z )

Si Z = a + bi Ejemplo: Z = 3 + 5i

Z=a−bi

Z = 3 – 5i 2) COMPLEJO OPUESTO (Z*)

Si Z = a + bi Ejemplo: Z = 8 + 6i

Z∗¿−a−bi

Z*= -8 – 6i

Ejemplo: Si Z = 3 – 2i

Calcular: |W|, si W = 2Z* - Z

Solución:

W=2(−3+2i )−(3+2 i)=−9+2 i

∴|W|=√(−9 )2+22=√85

OPERACIONES:Si Z = 3 + 4i y W = 6 – i Entonces:

Z+W=9+3iZ⋅W=(3+4 i)(6−i )=18−3i+24 i−4 i2

=22+21i

Representación Geométrica de Z = x +yi ; (x > 0 y > 0) de su conjugado y su opuesto.

(Eje imaginario: Im)

Z = x+yi

Z* = -x - yi = x - yi

(E je Real: )Re-x

-y

x

y

Z

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Sean los números complejos Z1, Z2 ; Z2 (0 ; 0).

Para efectuar la división

Z1

X2 habrá que multiplicar a Z1 y Z2 por Z2 , con lo cual se

obtiene:

Z1=a+bi , Z2=c+diZ1

Z2

=a+bic+di

=(a+bi)(c+di)

(a−bi)(c−di )

=(ac+bd )+(bc−ad )ic2+d2

∴a+bic+di

=ac+bdc2+d2

+bc+adc2+d2

i

Ejemplo: Sea Z = 3 + 4i ; W = 6 – i

⇒ZW

=3+4 i6−i

)(6+i)(6+ i)

=14+27 i36−i2

=1437

+2737i

⇒ Re(ZW )=1437

; Im(ZW )=2737

POTENCIACIÓN:La potenciación en forma binómica tiene muchas limitaciones; por ello se utiliza cuando las potencias son pequeñas.Ejemplo:

Efectuar:

(1+i)2=1+2i+i2=2i

(1+i)4= [(1+i)2 ]2=(2i)2=−4

(1−i)2=1−2i+i2=−2i

(1−i)4=[(1−i)2]2=(−2 i)2=−4

Se observa: ( 1 + i )4 = ( 1 – i )4 = -4

Ejemplo: Reducir:

W=( 1+i1−i )

5

+( 1−i1+i )

9

Solución:Efectuamos por separado:

1+i1−i

=(1+i)2

(1−i )(1+i )=2 i

2=i ;

1−i1+i

=(1−i )2

(1+i)(1−i )=−2 i

2=−i

Reemplazando tenemos:

W = (i)5 + (-i)9 = i – i = 0 W = 0RESULTADOS IMPORTANTES:

(1 + i)2 = 2i ; (1 – i)2 = -2i

(1 + i)3 = 2 + 2i ; (1 – i)3 = -2 – 2i

(1 + i)4 = -4 ; (1 – i)4 = -4

1+i1−i =i ;

1−i1+i = -i

Ejemplo: Simplificar:

[1+i

1− 1+i

1− 1+ i

1−1+i1−i

]40

Solución:

Sabemos que:

1+i1−i = i

Entonces tenemos:

[ 1+ i

1−1+i1− i ]

40

=[ 1+i1−i ]

40

=140=140

=1

PROPIEDADES DE Z

1) (Z+W )=Z+W 5) Z+Z=2Re(Z )

2) Z=Z 6) Z−Z=2 Im(Z )

3) Z⋅W=Z⋅W 7) (Zn)=(Z )n ; ∀ n∈N

4) ( ZW )= Z

W; W≠0

8) Z=Z⇔Z es complejo o real

PROPIEDADES DE |Z|

1) |Z|≥0 6) |Z+W|≤|Z|+|W|

2) |Z|=0⇔Z=0 (Desigualdad Triangular)

3) Z⋅Z=|Z|27)

|Z|=|Z|=¿¿

4) |ZW|=|Z||W|

8)|Zn|=|Z|n

5)

| ZW

|=|Z||W|

; W≠09)

|n√Z|=n√|Z|

RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Sea: Z = 2i √Z =m + ni ; m, n, R (m + ni)2 = Z = 2im 2 – n 2 + 2mni = 2i = 0 + 2i

Igualando términos:

m2 – n2 = 0 m2 = n2 m = n mn = 1 n2 = 1 m = 1

m y n tienen mismo signo: m = n

m + ni =

→1+i→−1−i

Pero es el caso particular de un imaginario puro. ¿Qué pasa cuando un complejo tiene parte real y parte imaginaria? Veamos:

Sea: Z = a + bi

√Z=±[√|Z|+a2

∗√|Z|−a2

i ]Donde * : SIGNO DE “b”

Ejemplo: Para Z = 2i |Z| = 2Z = 0 + 2i a = 0

√Z=±[√ 2+02

+√ 2−02

i]=±[ 1+i ] →1+i→−1−i

Para: Z=3+4 i→|Z|=√32+42=5 a = 3

√Z=±[√ 5+32

+√ 5−32

i]=±[ 2+i ] →2+i→−2−i

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

Sea: Z = a + bi un número complejo diferente del nulo.

|Z|

a

b Z=(a;b)=a+bi

Re

Im

a = |Z| Cos , b = |Z| SenZ = a + bi = |Z| Cos + iSen

Z = |Z| Cos + iSen

ARGUMENTO DE Z

Es aquel # REAL asociado con el ángulo que forman el radio vector y el eje real.

Arg (Z )=θ+2kπ ; k∈Z

Ejemplo: Expresar

Z=12

+ √32i

en su forma polar.

Solución:

|Z|=√( 12 )

2

+( √32 )

2

=√ 14

+ 34

=1

Vemos que:

tgθ=√3/21/2

=√3

∴θ=60 °=π3

⇒Z=1 [Cos π3 +iSen π3 ]

En general :

Z=Cos (π3 +2kπ )+ iSen (π3 +2kπ )FORMA POTENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO

Teorema de EULER: e iθ=Cosθ+iSenθDonde: e : es el número de Euler (e 2,718281)

: argumento en radianes

Entonces, tenemos una nueva representación para el complejo:

|Z|

½Re

Im

23

Z = |Z| (Cos + iSen) = |Z| ei

∴ Z=|Z|eiθ Forma Exponencial

FORMA “CIS” PARA REPRESENTAR A UN NÚMERO COMPLEJO

Z=|Z|CISθDonde: CIS = Cos + iSen

FORMA FASORIAL

Z=|Z||θL : fasor

Donde: | = Cos + iSen = Cis

Ejemplo: Sea Z = (4 ; -3) Z = 4 – 3i

|Z| = 5

tg =

− 34

= 270° + 53° = 323°

Luego: Z = 5[Cos323° + iSen323°](FORMA POLAR)

Z = 5 ei323° (FORMA EXPONENCIAL)Z = 5 Cis323° (FORMA CIS)Z = 5 |323° (FORMA FASORIAL)

POTENCIACIÓN

Si: Z = |Z| [Cos + iSen]

⇒ Zn=|Z|n[Cosnθ+ iSennθ ]Demostración:[Cos + iSen]n = [ei]n = ein

= Cosn + iSenn

Ejemplo: Si

Z=12

+ √32i

. Hallar: Z45

Solución:Obtenemos que: |Z| = 1 =

π3

Z = eπ3i

⇒Z45=(eπ3i)45

=e15 πi=Cos15π⏟−1

+i Sen15 π⏟0

∴Z45=−1

RADICACION

Sean Z y W C, entonces tenemos que:

n√Z=W⇔W n=Z ; n N , n 2

Como: Z C Z =|Z| ei

W C W = |W| ei

Sabemos: n√Z=W→W n=Z

Reemplazando:

[|W|e iα ]n=|Z|eiθ|W|n . ein =|Z|ei( + 2k)

Igualando términos:

¿|W|n=|Z|→|W|=n√|Z|

¿nα=θ+2kπ→α=θ+2kπn

RAÍZ ENESIMA DE Z

Sean Z y W C

W K=n√|Z|ei( θ+2kπ

n )

En forma polar:

W K=n√|Z|[Cos( θ+2kπn )+iSen(θ+2kπ

n )]K . 0 ; 1 ; 2 ; … 3n – 1

Ejemplo: Si Z = 1 + i, Calcular 3√Z

Solución:De los datos: |Z| = √2 ; = /4

- Si k = 0:

W 0=3√√2[Cos( π /4

3 )+iSen( π12 )]=6√2eiπ /12

- Si k = 1:

W1=6√2[Cos (π4 +2π

3 )+iSen(3 π4 )]=6√2[−√2

2+i√2

2 ]=−6√162

+6√162

i

- Si k = 2

FÓRMULA DE DEMOIVRE

W 2=6√2[Cos(π4 +4 π

3 )+iSen(17π12 )]

=6√2ei17π12

RAIZ CÚBICA DE LA UNIDAD

Sea Z 0 1. Halle 3√1

Solución:Por la fórmula de DeMoivre:

K = 0:

W0 = Cos0° + iSen0° = 1 {RAÍZ ARITMÉTICA}

K = 1:

W 1=Cos2π3

+ iSen 2π3

=− 12

+ √32i

K = 2:

W 2=Cos4 π3

+iSen 4 π3

=− 12

− √32i

OTRA FORMA:

Sea:3√Z=x→ x3=Z=1

x3 – 1 = 0 (x – 1) (x2 + x + 1) = 0

⇒ x−1=0∨x2+x+1=0

x=1∨x=−1±√12−4 (1)(1 )2(1)

=−1±√3 i2

x = 1 x=− 1

2+ √3

2i ∨ x=− 1

2−√3

2i

PROPIEDADES:

1) 1+W+W 2=0

1+W=−W 2

1+W 2=−WW+W 2=−1

2) W30

=1 W 30+1 =W W 3

0+2 =W 2

Ejemplo: Hallar A = ( 1 + W – W2 ) (1 – W + W2 ) A = ( 1+ W – W2 ) ( 1 - W + W2 )

Solución: A =

(1 + W + W2⏟0

- W2 - W2 )(1 + W + W2 -⏟0

W - W )

= (-2W2) (-2W) = 4W3 = 4 1

Donde: W es cualquiera de las raíces imaginarias de la unidad.

01) Reducir:

S = (1 + i)8 + (1 – i)8

Rpta.:

02) Reducir:

S= 1+i1−i

+1−i1+ i

+ 8

(1+i)4

Rpta.:

03) Reducir:

21−i

+ 52+i

Rpta.:

04) Efectuar:

( 1+i5

1−i5+ 1−i5

1+i5 )2

Rpta.:

05) Reducir:

P=(1+i )9

(1−i)7

Rpta.:

06) Calcular xy si:

(x – 3) + 4i = 2 + (y – 2)i

Rpta.:

07) Hallar “b” para que el complejo Z sea imaginario puro.

Z=3+4 i1+bi

Rpta.:

08) Si a, b R, indicar la condición para que:

a+bib+ai ; se convierta en un número real.

Rpta.:

09) Si: Z1 = -2 + 3i ;

Z2 = i - Z 1. Calcular Im (Z 2)

Rpta.:

10) Efectuar y luego dar como respuesta el modulo del complejo:

Z1=3√−2

4√4 i√i−6√−89√ i

Rpta.:

11) Si: 3√ x+ yi=m+ni , calcular:

A=(1−x

m3 )(1+y

m3)Rpta.:

12) Hallar Z, tal que |Z| sea mínimo y que:

|Z + (2 ; 0)| = 2

Rpta.:

13) Calcular “ab”, si:

a2−bi

=2−i /a ,b∈ R

Rpta.:

14) Sea el complejo:

Z = 1 + i. Calcular: Z8

Rpta.:

15) La expresión:

(1+i)2 (1+3 i)i−3 es igual a:

Rpta.:

16) Si Z = a + bi, una solución de la ecuación Z3 = i, es:

Rpta.:

17) Efectuar:

√2√i−√i+ 5√1

Rpta.:

18) En C los valores de x e y, al resolver la ecuación siguiente:

xi1+ yi

=3 x+4 ix+3 i , son

Rpta.:

19) Hallar la raíz cuadrada de: 16 – 30i

Rpta.:

20) Hallar las tres raíces de:

3√−i

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

Simplificar:

i28+i321+i49+i50+ i17

i1921+ i1932−i1960+i1973−i1983

a) i b) -1c) 1 d) -1e) 3

01) Calcular:

E=√3+4 i+√3−4 i

a) 3i + 2 b) 4c) 41 + 2 d) 3i – 2 e) 3

02) Efectuar:

S= 1+i1−i

+1−i1+ i

+ 8

(1+i)4

a) -3 b) 5c) 4 d) -2 e) 3

03) Reducir:

Z= √−2a√ i

1+ i

a) –i b) i + 1c) -i + 1 d) -12 e) i

04) Reducir:

M=(1+i)2 (1+3i )

i−3

a) -1 b) -2c) 0 d) 10e) 2

05) Calcular el valor de “a” para que sea real el complejo:

Z=2−ai1+2 i (a R)

a) 1 b) -4c) -1 d) -3e) -2

06) Indicar el complejo por el cual se tiene que multiplicar a (2 – 3i) para obtener: (11 – 10i)

a) 4 – i b) 1 + 4ic) 1 – 4i d) 1 – 4i e) 4 + i

07) Reducir:

P=(1+ i)19

(1−i)17

a) 1 + i b) 2ic) -2 d) -4e) 1

08) Efectuar:

P=( 1−i7

1+i7+ 1+ i7

1−i7)4

a) 0 b) i + 7c) 4 d) i + 1e) 1

09) Calcular:

( 1+√7i2 )

4

+( 1−√7 i2 )

4

a) 0 b) i + 2c) 4 d) i – 1 e) 4 + i

10) Hallar el argumento de Z

Z=(1−i)(√3+√3 i)

√6+√2 i

a) 360° b) 150°c) 330° d) 270°e) 120°

11) Calcular “a” en:

1a

=

π2√i 1+i

1−i

a) 2e b) e + i

c) e√3

d) ee) e / 2

12) Reducir:

[ 4 (Cos7 °+ iSen7 ° ) ] 8− ¿

[ 2(Cos8 °+ iSen8 ° )] 9 ¿¿

[ 4(Cos9 °+ iSen 9 ° )] 10⋅¿

[2 (Cos2 °+ iSen2 °) ] 4 ¿¿¿

a) 8 + i b) √3+2 i

c) √3+i d) 2−√3 i

e) i

13) Si “Z” es un número complejo no nulo, talque: Z2=Z .

Exprese Z en forma polar; además, Arg(Z) III cuadrante.

a) Cos

π4 + iSen

π4

b) Cos

4 π3 + iSen

4 π3

c) Cos

7π6 + iSen

7π6

d) Cos

6π5 + iSen

6π5

e) Cos

9π7 + iSen

9π7

14) Indicar una de las raíces cúbicas de i:

a) eπ3i

b) eπ5i

c) eπ2i

d) e5 π6i

e) N.A.