ddmatematike.files.wordpress.com€¦ · Web view– skup vrijednosti nezavisno promjenljive . x. za koje se može odrediti vrijednost funkcije . y; Kodomen. funkcije . C. f –

Ekponencijalne funkcije – osobine i grafik (urađeni zadaci)

1. Domen funkcije Df – skup vrijednosti nezavisno promjenljive x za koje se može odrediti vrijednost funkcije y;

2. Kodomen funkcije Cf – skup vrijednosti koje može imati zavisno promjenljiva y;3. Parnost/Neparnost funkcije: 10 f–ja je parna ako je f (−x )=f ( x )

, grafik funkcije je simetričan u odnosu na y–osu; 20 f–ja je neparna ako je f (−x )=−f ( x )

, grafik funkcije je simetričan u odnosu na koordinatni početak;

30 f–ja je ni parna ni neparna (ni p. ni n.) ako je f (−x )≠f ( x ) i f (−x )≠−f ( x ) . 4. Nula funkcije y=0 , tačka u kojoj grafik funkcije siječe x–osu, tj. važi f ( x0 )=0 .

Nula funkcije ima koordinate N (x0 , 0 ) .5. Presjek sa y–osom, f (0 )= y0 . Tačka u kojoj grafik funkcije siječe y–osu P (0 , y0) .6. Grafik funkcije

7. Znak funkcije: D+= {x|x∈Df∧ f ( x )>0} (vrijednosti funkcije su veće od nule ako

se grafik funkcije nalazi iznad x–ose) i D−={x|x∈D f∧f ( x )<0} (vrijednosti

funkcije su manje od nule ako se grafik funkcije nalazi ispod x–ose).

8. Monotonost funkcije (x1 , x2∈D f , x1<x2) : funkcija raste ako je f ( x1 )< f ( x2 ) ; funkcija opada ako je f ( x1 )> f ( x2 ) .

9. Konveksnost/konkavnost funkcije na nekom intervalu koji je podskup Df: funkcija je konveksna na intervalu ako se grafik funkcije nalazi ispod tetive određene tačkama koje pripadaju intervalu; funkcija je konkavna na intervalu ako se grafik funkcije nalazi iznad tetive određene tačkama koje pripadaju intervalu.

10. Asimptota – prava kojoj se grafik funkcije približava (ali je ne siječe) u beskonačno dalekim tačkama (tj. rastojanje između prave i grafika funkcije se smanjuje kada x→−∞ ili x→+∞ ).

11.1. Odrediti osobine i skicirati grafike sljedećih funkcija:

a) y=2x+1 ; b) y=2x−1 ; c) y=2x+1; d) y=2x−1

.

2. Odrediti osobine i skicirati grafike sljedećih funkcija:

a) y=2−x+1 ; b) y=2−x−1 ; c) y=2−x+1; d) y=2−x−1

.


a) y=−2x+1 ; b) y=−2x−1 ; c) y=−2x+1; d) y=−2x−1

.


a) y=−2−x+1; b) y=−2−x−1 ; c) y=−2−x+1; d) y=−2−x−1

.

************* moguće štamparske greške**************

1. a) y=2x+1

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y 1 18

1 14

1 12

2 3 5 9

1. Df =R

2. C f=(1 , +∞ )

3. Funkcija je ni parna ni neparna

4. D0=∅ .

5. Funkcija siječe y−osu

u tački y=2

, tj. P (0 , 2 )

.

6. Grafik

7. Znak funkcije: D+=R , D

−=∅

8. Funkcija je rastuća

9. Funkcija je konveksna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi ispod grafika)

10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu

1. b) y=2x−1

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y −78

−34

−12

0 1 3 7

1. Df =R

2. C f=(−1 , +∞ )


4. D0= {0 }

, . N (0 , 0 )


u tački y=0

, tj. P (0 , 0 )

.

6. Grafik

7. Znak funkcije: D+=(0 , +∞ )

, D−=(−∞. 0 )



y=1 kada x→−∞

Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2x+1 pomjera na više za 1 u odnosu

na grafik funkcije f 1 ( x )=2x.

10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=1

kada x→−∞

Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2x−1 pomjera na niže za 1 u odnosu

na grafik funkcije f 1 ( x )=2x

1. c) y=2x+1

x –3 –2 –1 0 1 2

y14

12

1 2 4 8

1. Df =R

2. C f=(0 , +∞ )


4. D0=∅

5. Funkcija siječe y−osu u tački y=2 , tj. P (0 , 2 ) .6. Grafik


−=∅


1. d) y=2x−1

x –2 –1 0 1 2 3

y18

14

12

1 2 4

1. Df =R

2. C f=(0 , +∞ )3. Funkcija je ni parna ni neparna

4. D0=∅

5. Funkcija siječe y−osu u tački y=1

2 , tj.

P(0 , 12 )

.6. Grafik


−=∅



10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→−∞

Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2x+1 pomjera u lijevo za 1 u odnosu


9. Funkcija je konveksna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi ispod grafika)10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→−∞

Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2x−1 pomjera u desno za 1 u odnosu


2. a) y=2−x+1

x –3 –2 –1 0 1 2

y 9 5 3 2 1 12

1 14

1. Df =R

2. C f=(1 , +∞ )


4. D0=∅


u tački y=2

, tj. P (0 , 2 )

.

6. Grafik


−=∅

8. Funkcija je opadajuća



kada x→+∞

Primjećujemo da se grafik funkcije

2. b) y=2−x−1

x –3 –2 –1 0 1 2

y 7 3 1 0 −12

−34

1. Df =R

2. C f=(−1 , +∞ )


4. D0= {0 }

, tj. N (0 , 0 )

.


u tački y=0

, tj. P (0 , 0 )

.

6. Grafik

7. Znak funkcije: D+=(−∞ , 0 )

, D−=(0 , ∞ )



10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=−1

kada x→+∞

Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2−x−1 pomjera na niže za 1 u odnosu

f ( x )=2−x+1 pomjera na više za 1 u odnosu

na grafik funkcije f 1 ( x )=2− x


2. c) y=2−x+1

x 3 2 1 0 –1 –2

y14

12

1 2 4 8

1. Df =R

2. C f=(0 , +∞ )


4. D0=∅



−=∅8. Funkcija je opadajuća9. Funkcija je konveksna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi ispod grafika)10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→+∞

Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2−x+1 pomjera u lijevo za 1 u

odnosu na grafik funkcije f 1 ( x )=2− x

2. d) y=2−x−1

x 2 1 0 –1 –2 –3

y18

14

12

1 2 8

1. Df =R

2. C f=(0 , +∞ )


4. D0=∅



−=∅



10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→+∞

Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2−x+1 pomjera u lijevo za 1 u


3. a) y=−2x+1

x 3 2 1 0 –1 –2 –3

y −7 −3 −1 012

34

78

1. Df =R

2. C f=(−∞ , +1 )


4. D0= {0 }

, tj. N (0 , 0 )


u tački y=0

, tj. P (0 , 0 )

.

6. Grafik

7. Znak funkcije: D+=(−∞ , 0 )

, D−=(0 , ∞ )


9. Funkcija je konkavna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi iznad grafika)


kada x→−∞


3. b) y=−2x−1

x 3 2 1 0 –1 –2

y −9 −5 −3 −2 −1 12

−1 14

1. Df =R

2. C f=(−∞ , −1 )


4. D0=∅

, tj. funkcija nema nula.


u tački y=−2

, tj. P (0 , −2 )

.

6. Grafik

7. Znak funkcije: D+=∅ , D

−=R



10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=−1

kada x→−∞


f ( x )=2−x+1 pomjera na više za 1 u odnosu


f ( x )=2−x−1 pomjera na niže za 1 u odnosu


3. c) y=−2x+1

x 2 1 0 –1 –2 –3

y −8 −4 −2 −1 −12

−14

1. Df =R

2. C f=(−∞ , 0 )


4. D0=∅

, tj. nema presjeka sa x−osom


u tački y=−2

, tj. P (0 , −2 )

.

6. Grafik

7. Znak funkcije: D+=∅ ,

D−=(−∞ , ∞ )



3. d) y=−2x−1

x 2 1 0 –1 –2

y −8 −4 −2 −1 −12

−14

−18

1. Df =R

2. C f=(−∞ , 0 )3. Funkcija je ni parna ni neparna

4. D0=∅ , tj. nema presjeka sa x−osom

5. Funkcija siječe y−osu u tački y=−1

2 , tj.

P(0 , −12 )

.

6. Grafik


−=(−∞ , ∞ )




kada x→−∞

Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=−2−x+1

pomjera u lijevo za 1 u odnosu


10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→−∞


pomjera u desno za 1 u


4. a) y=−2−x+1

x –3 –2 –1 0 1 2

y −8 −4 −2 −1 −12

−14

1. Df =R

2. C f=(−∞ , 1 )


4. D0= {0 }


7. Znak funkcije: D+=(0 , ∞ ) , D

−=(−∞ , 0 )



10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=1 kada x→+∞

Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=−2−x+1 pomjera na više za 1 u

4. b) y=−2−x−1

x –3 –2 –1 0 1 2

y −9 −5 −3 −2 −1 12

−1 14

1. Df =R

2. C f=(−∞ , −1 )


4. D0=∅

5. Funkcija siječe y−osu u tački y=−2 , tj. P (0 , −2 ) .6. Grafik


−=(−∞ , ∞ )



10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=−1 kada x→+∞

Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=−2−x−1 pomjera na niže za 1 u

odnosu na grafik funkcije f 1 ( x )=−2− xodnosu na grafik funkcije f 1 ( x )=−2− x

4. c) y=−2−x+1

x –2 –1 0 1 2 3

y −8 −4 −2 −1 −12

−14

1. Df =R


4. D0=∅

5. Funkcija siječe y−osu u tački y=−2 , tj. P (0 , −2 ) .6. Grafik7. Znak funkcije: D

+=∅ , D−=R

8. Funkcija je rastuća9. Funkcija je konkavna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi iznad grafika)10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→+∞


pomjera u desno za 1 u

odnosu na grafik funkcije f 1 ( x )=−2− x

4. d) y=−2−x−1

x –3 –2 –1 0 1 2

y −4 −2 −1 −12

−14

−18

1. Df =R


4. D0=∅

5. Funkcija siječe y−osu u tački y=−0,5 , tj. P (0 ; −0,5 ) .6. Grafik7. Znak funkcije: D

+=∅ , D−=R

8. Funkcija je rastuća9. Funkcija je konkavna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi iznad grafika)10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→+∞


pomjera u lijevo za 1 u odnosu

na grafik funkcije f 1 ( x )=−2− x

************* moguće štamparske greške**************

Documents

ddmatematike.files.wordpress.com€¦ · Web view– skup vrijednosti nezavisno promjenljive . x. za koje se može odrediti vrijednost funkcije . y; Kodomen. funkcije . C. f –